数学拓展知识范例

摘要：拓展性课程是国内学校课程的重要建设内容之一，教材编写是影响学生拓展性课程“学习机会”的重要因素．研究选取浙教版《义务教育拓展性课程数学新探索》七~九年级上册3本教材，借鉴数学教材探究活动分析框架，从学习进度、内容特征、呈现方式、探究活动特征等方面分析教材编写得失．研究表明，选取的3本拓展性课程教材对基础性课程进行了拓展延伸；教材设计体现“学为中心”理念；多样化拓展课题凸显课程层次性；但活动形式以个人解答为主，突出数学运算与推理．建议在数学拓展性课程中提高对数学基础性知识的应用与整合，加强数学建模素养在课程中的渗透，均衡不同类型拓展活动的比例，设计开展STEAM教育，以提高课程实践性及综合性．

关键词：初中数学；拓展性课程；教材研究；STEAM

1研究背景

21世纪初，为适应社会发展对多样化人才的需求，拓展性课程作为国内学校课程的重要建设内容之一应运而生．它属于普通中小学课程，面向全体学生，是在基础性课程的基础上，为拓展学生知识并发展其潜能而开设的课程[1]．虽然拓展性课程在国内开发与实施已历时十余年[2]；但已有的课程实践研究表明，大部分学校把由学校提供的拓展性课程等同于教师自行开发拓展性课程，因此出现了课程质量不高[2]、散乱无序等问题，特别是开发的学科类拓展性课程易演变成基础性课程内容的练习巩固与延伸，这些都有悖拓展性课程建设初衷．2015年浙江省教育厅颁发的《关于深化义务教育课程改革的指导意见》首次明确提出将义务教育课程分成基础性课程和拓展性课程，并对拓展性课程开发与实施要求予以说明，掀起了浙江省中小学拓展性课程开发与实施热潮．与此同时，在“立德树人”背景下，数学核心素养已成为数学课程改革的新指向[3]．虽然《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《义务课标》）与浙江省教育厅的《关于建设义务教育拓展性课程的指导意见》（以下简称《指导意见》）都未对学科核心素养内涵进行界定，但初中数学课程仍承担着落实学生数学核心素养的重任[4]，《指导意见》更明确指出以培养学科核心素养为导向建设知识类拓展性课程[5]．因此，如何以培养数学核心素养为导向，选择与组织拓展性课程教学内容成为影响课程开发与实施效果的关键因素[6–7]，同时这也是学校开展拓展性课程建设的薄弱环节．为此，浙江省教研室组织省内各地数学教研员、特级教师，联合高校数学教育学者编写了初中数学拓展性课程教材《义务教育拓展性课程数学新探索》（以下简称《数学新探索》）．教材编写是影响学生拓展性课程“学习机会”的重要因素[8]，研究结合拓展性课程建设要求，构建研究框架分析《数学新探索》编写特征，以期对提高学校学科类拓展性课程的开发与实施提供启示．

2研究设计

2.1研究对象

研究对象为《数学新探索》七~九年级上册共3本教材，该套教材依据浙江省教育厅《关于深化义务教育课程改革的指导意见》和浙江省教育厅办公室《指导意见》编写，与浙教版初中数学教材同步．

在小学数学课堂教学中，促使课堂教材资源实现有效拓展，既可以通过多角度提供教材资源，利于学生兴趣性、自主性培养；也可以通过教材资源活力的提供，利于数学学科价值充分体现，具有不容忽视的实施价值。

一、小学数学课堂教材资源有效拓展的重要性分析

（一）通过多角度提供教材资源，利于学生兴趣性、自主性培养小学数学教师通过多角度拓展、提供相应的教材资源，使得小学生能够在逐步营造的宽松、有趣课堂氛围下学习，利于学生兴趣性、自主性的培养。具体来说，一方面，多元化教材资源的拓展与提供，使得学生对数学课堂学习形成更为浓厚的兴趣，另一方面，借助教材资源的拓展，有针对性地扩宽学生的自主思维意识，从而使得小学生自主学习能力得以逐步提升。

（二）通过教材资源活力的提供，利于数学学科价值充分体现

数学教师不懈努力，促使教材资源呈现多元化、多角度发展趋势，不仅利于学生学习兴趣性、自主性的培养与提升，而且利于数学学科价值的充分体现。具体来说，课堂教材资源的多元化拓展，能够使得小学生在教材资源自主架构的过程中重塑学习情感，从观察生活、验证数学知识点、联系实际等出发，充分体现数学学科价值。

二、小学数学课堂教材资源拓展的有效路径

小学数学课堂教学过程中，数学教师有针对性地拓展教材资源，可以从立足学生兴趣，赋予数学学习趣味性，开展兴趣性拓展；依托师生互动、学生错误拓展教材资源，开展关注型拓展；数学联系实践，凸显拓展资源的现实性，开展实践型拓展；依托学习难点，通过拓展资源提升学习自主性，开展解惑型拓展等入手，不断优化拓展路径，提升课堂教学效果。

摘要：初中的数学课堂对学生未来的发展具有很大的影响，起着承上启下的作用。初中数学的教学，能够为学生学习高中数学知识做铺垫。初中数学的课下训练是课堂中最重要的环节之一，有效的课下训练能够巩固学生的数学知识，而且学生通过课下训练不仅能够培养做题技巧，还能培养学生良好的学习态度。

关键词：初中；数学；课下训练

一、引言

现在数学的教学逐渐开始重视课下训练。在数学课堂中，练习是必不可少的，那么应该如何保证学生能在课堂教学时间很短的情况下，掌握到数学知识呢？那就是进行课下训练，因为课下训练能够帮助学生巩固知识，拓展数学知识技能。

二、初中数学的课下训练

教师在上课时讲解的知识和学生做的习题训练组成了学生的知识结构。学生在上课时学习知识固然很重要，但是也应该在课下进行训练来巩固课堂上所学的知识，课后训练不仅能够检验课上的学习效果，还能够帮助熟练掌握所学知识。因此，我们应该重视课下训练，特别是初中阶段的学生，因为初中阶段的数学学习是非常重要的。例如我们在讲解八年级上册《勾股定理》这一课时，勾股定理的基础知识虽然很简单，但是对以后的数学学习有很大的帮助。勾股定理是解决几何问题最重要的方法之一。勾股定理的运用非常广泛，就连我们在物理课程中求力、求物体的合速度，都会用到勾股定理。甚至我们在日常的生活中也会用到勾股定理，例如修建房屋，建筑师判断墙体是否垂直，都要用到勾股定理。所以，勾股定理的运用十分广泛。我们在讲解这一课时，不能只局限于基础知识的讲解，还要为学生巩固知识，培养学生能够将知识运用实际生活中去。因此，教师不仅要根据书本为学生布置课后训练，还要在原有的基础之上，为学生布置一些能够将勾股定理知识拓展开的其他课后习题，将勾股定理的题和我们的日常生活当中的能够看见的东西结合起来，例如一道这样的题：“有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4．5米的墙上，任何东西只要移至五米以内，灯就自动打开，一个身高1．5米的学生，要走到离门多远的地方才能将灯打开？”这样和日常生活结合在一起的例题还有很多，能够帮助学生在练习时将生活与数学知识点结合起来运用到生活当中，所以，教师应该重视课下训练，认真为学生讲解课下训练的习题。因此，课下训练是十分有意义的，能够帮助学生巩固知识和拓展知识。

三、初中数学教学中课下训练的方法

摘要：提问是数学课堂中的重要组成部分，一个好的问题可以瞬间点燃学生的智慧，启发学生的思维，让他们快速捕捉到知识的关键。小学数学课堂需要通过精心设计问题，从而促进学生的学习，充分调动学生学习的主动性，通过构建“问学”课堂，达到以问促学的教学成效。

关键词：小学数学；“问学”教学模式；课堂教学

小学数学教学中，数学问题一直普遍存在，不管是数学概念分析、数学方法的讲解还是数学思想的渗透，都需要应用到不同形式的数学问题，基于数学问题而形成的“问学”教学模式，可以更好地强化数学课堂的生成性与启发性。在数学问题课堂中，教师可以通过问题情境法、实践探究法、交流质疑法等，激发学生学习的热情，让学生在进行数学问题探讨的过程中感受数学的魅力，促进学生数学知识体系的建构以及数学能力的提升。

一、创设问题情境，激发学生的学习热情

实践中很多教师会通过创设问题情境，进一步引出问题，在生动、直观的问题情境中，引导学生深入探究、思考数学问题，形成探究思维，提高数学问题思考的效率。在教师要创设问题情境的时候，必须要结合学生已有的知识系统、学习经验、认知能力以及现实生活等，找准教学切点，通过灵活而多元的方式进行问题情境的创设，让创设出来的问题情境更吸引学生，激发学生探究数学问题的热情。教师对情境教学切点的选择中，必须要密切结合小学生的知识系统、认知水平，防止创设的问题情境远超过学生的知识系统，导致学生无法理解问题。比如，在《圆的认识》这节课的教学中，教师可以结合学生现实中常见的事物进行问题情境的创设，通过多媒体设备展示圆形的生活物品，包括井盖、圆形的杯子口等，然后通过电脑处理，将这些物品的形状变成正方形或者不规则的图形，提出这样的问题：“圆形的物品改变了形状，是否还可以正常使用？”这类问题是很多学生在生活中没有考虑过的，在探究问题的时候，学生自然会分析圆形的特征，将圆形的特征和圆形物品的功能结合在一起，自然会接近这节课堂中的核心知识，完成知识的理解和习得。不管是选择情境内容，还是进行数学问题的设置，教师都要密切结合学生的现实生活，保证问题情境和问题内容中牵涉到的物品、现象等都是学生所熟悉的，同时还要与课堂教学目标、教学内容等结合在一起，这样才能调动学生的学习主观能动性，让学生全身心地投入到数学问题的探究中，经过不断剖析，掌握知识的要点，完成生活经验到数学知识的迁移学习。

二、组织实践探究，强化学生的问题体验

教师要设计各种形式的数学实践探究活动，将数学概念性知识转化为实践操作的流程中，让学生亲眼见证、经历、感受数学知识的生成过程，由此可以更深入地理解数学概念、定理和其他相关知识，强化学生的数学问题体验。在实验探究中，教师要保证学生的主体性地位，教师扮演着指导者、促进者的角色，指导学生在探究、动手、思考的过程中，逐步走进知识、获得知识，提升学生的独立思考能力、探究能力和自主学习能力。在学生进行实践探究的过程中，教师应该尽量降低干扰的程度，减少干扰次数，确保学生在问题探究中的主体性、独立性得到最大程度的发挥。比如，在学习“圆柱的表面积”的相关知识的时候，教师进行数学实验，促使学生明白圆柱体的表面展开是长方形，并且指导学生掌握长方形边长和圆柱体底面周长、高的关系。在探究实践中，教师可以提出这样的问题：“圆柱侧面展开是怎样的图形？圆柱体的底面和图形的边长是怎样的关系？”学生带着这些问题进行实践探究，在动手中便可以获得问题的答案，从而可以发现，长方形的长便是圆柱体底面的周长，而长方形的宽便是圆柱体的高，由此便可以掌握了本节课中的重难点知识。在实践探究中，教师提出科学而有趣味性的问题后，便将课堂交给学生，让学生自己动手，带着问题探究、操作，在必要的时候进行浅层次的指引，可以让学生加深对实验学习的印象，让学生主动完成课堂中知识体系的建构，习得圆柱体面积的相关知识。

一、数学实验的教学状况及现存问题

1.在教学理念上，学校普遍比较重视传授基本知识和技能

而不够重视数学实验课程在拓展素质教育、培养学生科研创新能力方面所起到的作用。学校往往把数学实验课程看作是次要课程或理论课程的练习版，而忽略了其在人才培养中的地位和作用，更谈不上制定其对学生科研创新能力培养的总体目标和要求，所以数学实验课程对学生创新精神和实践能力培养的作用得不到充分体现。

2.在教学内容上，主要以基础实验、验证性实验为重点，对探究性实验、应用性实验以及拓展性实验的学习课时少

普遍强调对程序语言、程序内容、程序步骤的细节性描述，很少有程序思想、程序设计思路等内容。

3.在教学方法上，主要针对基础实验、验证性实验，学生普遍在教师示范下进行数学实验，或者根据教材自我练习。

学生练习过程中缺乏独立解决问题的意识与能力，缺乏学习的主动性，教师往往直接传授解决办法，而缺乏引导，这样，数学实验课程对学生创新实践能力培养的作用和效果就无法体现。另外，数学实验教学中缺乏教与学的自由度，过分强调教学要求的统一性，忽略学生的个性发展，从而制约了学生主动性的发挥和创新能力的表现，一些学生的创新设想很难实现。

摘要：基于新课改的视野背景，小学数学课堂逐步引入了对话教学，努力实现结合生本的对话教学设计新模式，促成了数学课堂教学的新形态，发挥出事半功倍的教学潜力与作用。本文立足于目前小学数学的教学现实，重点分析和探究了对话教学理论的目标设计及其实践应用，并积极探索推动其实施的合理对策。

关键词：对话教学理论;小学数学教学;设计研究

新课改教育环境下，教育者愈加关注沟通互动式的课堂教学形式，在小学数学教学中普遍开始运用对话教学理论，学校高度重视师生之间的对话合作环节，同时实践证明也获得了优秀教学成果。对话教学以话题的导入为引领，再针对此问题，展开师生之间的层层有效对话，最终完成教学目标。数学教师应当深思并探讨怎样开展有效的对话教学，以推动数学教学质量的提高。

1对话教学理论中话题的设计类型与基本要求

导学性话题又可称作铺垫型话题，旨在引导学生逐步接近问题的解决。这类话题通常具有较为集中的指向，直接揭示数学知识的本质属性及要义，一般适用于教授数学概念或规律。其功能在于它的导引作用，即按照教学目标与学生现状的需求，引导他们学会利用自身积累的知识经验，借助某些循序渐进的感知以及体验，实现对数学知识架构本质的理解，进而建构起科学的数学模型。思辨性话题也就是可以引发师生展开争论性对话的话题，通常具备适宜的难度，偶尔为扩充思维空间与容量，也能够加强话题的开放性。争论性话题可以为辩论双方创造独立思考与倾听各种声音的机会，同时又能营造各自充分说理情境。并让学生在认知方面去伪存真，从而达到辨明真理的效果。该类话题围绕学生思维的关键节点、新知识点的探究位置以及错误的澄清纠正处进行设计。拓展性话题即在实现主要目标之后，为深入拓展思维所引发创造性想象的话题，一般用于学生课程结束时的对话阶段，具有一定的挑战性和现实性。学生在解答问题过程中，要从知识库当中依照生活原型提取数学模型，然后予以诠释，其实质即将数学知识回归到实际生活中去，进而有效拓展了学生的思维实践能力。拓展性话题通常运用在新知识或者重难点处，学生要在探究时历经数学知识的再创造过程，从而顺利实现数学知识的建模。拓展性话题有助于培养学生的思维水平、合作意识、开放心态以及科学探究精神。话题设计的基本要求是应当具有价值性，即教师要擅长着眼于数学知识本身的结构与逻辑系统，将话题的启发点指向课本的重难点，并使其承载特定的目标要求，赋予其数学价值。有价值的话题一般有学科自身较为明确的主要认知目标要求，并且还蕴藏了部分非认知性目标以及切合学生现实个性发展的目标。

2小学数学对话教学模式的设计实践

2.1联系数学教学的现状，有效融入对话教学

一、利用数学人物故事渗透感恩社会的教育

在初中数学中，有很多数学人物故事都可以作为感恩教育的题材，教师应该根据教学安排，结合教材中的相关数学人物，对学生进行感恩社会的教育，从中培养学生热爱祖国、感恩社会的意识。例如，数学家华罗庚由于家贫连初中都没有上，但其坚持自学，获得了清华大学数学系主任的赏识，被安排在清华大学图书馆工作，并逐渐成为清华大学的一名助教，为他研究数学提供了便利条件。感受到清华大学对自己的栽培和帮助，华罗庚放弃在美国的优厚待遇，毅然回到祖国，成为我国数学发展的主要奠基人。数学家陈景润早年从厦门大学毕业后，在厦门大学任教，但由于他一门心思钻研数学，并不适合从事教学工作。国家了解到这种情况后，将陈景润调入中国科学院研究所工作，让他专心研究数学。为了报效国家和社会对他的关心，陈景润刻苦钻研，经过10多年的推算，终于攻克了哥德巴赫猜想，为我国赢得了不朽的荣誉。通过数学人物故事教育，学生从这些数学人物身上认识到一个人的责任和担当，认识到自己对祖国和社会的责任，进而从心底里产生爱祖国、爱社会的情感，认真去完成自己的学习任务，以便将来报效国家和社会。

二、利用数学知识拓展渗透感恩自然与生命的教育

在初中数学教学中，教师不仅可以通过数学知识和数学人物故事对学生实施感恩教育，而且可以通过数学知识拓展，使学生认识到自然和生命的重要性，培养学生感恩自然、感恩生命等情感。例如，在讲解数列的知识时，可以将数列知识拓展到资源利用方面，借助我国资源的枯竭程度，计算我国资源每年的平均损耗量，以这个平均损耗量为公差，计算我国资源储量的枯竭年限。通过该知识在资源利用领域的拓展，使得学生对我国自然资源有个大致的认识，从而树立正确的资源观，从我做起，自觉形成节约资源的习惯，并积极参与宣传节约资源的活动。除此之外，还可将三角形知识拓展到结构平衡领域，将一个平衡的三角形机构比作一个完整的家庭，家庭中的每个人都是三角形中的一个角。一旦有个角出现意外，对三角形来说都是致命的，整个三角形的完整结构就会被打破。也就是说，整个家庭已经不是一个完整的家庭，给其他成员的打击也将是致命的。因此，教育学生必须热爱生命，不能由于受到一些小的挫折就轻易以自杀结束生命，更不能因为一时的不如意就伤害自己的家人或他人，等等。

作者：苏祥 单位：广西那坡县民族初级中学

一、充分发挥学生的主动性

学生在每周四前确定所讲课题。课题在班内公开拍卖，教师标出此课题可获得的加分，有能力的学生都可以竞标，充当讲课活动的讲课人，讲课成功，该学生就可以获得此课堂的加分。可供选择的课题有：（1）教师讲课过程中，感到有价值又需要总结的知识点，标为课题；（2）对于学生来说比较陌生，考虑到中下等学生未必当堂领会的知识点，当场标为课题悬赏；（3）学生学习过程中，遇到的问题，可以登记，如果是共性的（3人以上）可以申请为课题；（4）优等生的学习经验、体会、总结等一切有价值的东西都可以申请为课题，如果有学生学习、听课（3人以上），则此课题立项。每周四确定课题后，讲课学生需在周四晚自习把讲课教案交教师当面审查，如不符合实际情况，必须进行修改或撤项。一般来讲，例题的选取应符合授课对象的实际水平，力求简单、通俗、易懂，要给学生留出有针对性的作业，留足检查、讲解的时间，争取把问题彻底弄懂。

二、在教学中帮助学生拓展思维

类比是联想的典型表现形式，它表现为由此及彼再及彼的思维拓展运动。学生通过类比思维可以将以前所学过的数学公式、定理和新的知识进行研究性的对照，在这一过程中，教师的职责就是让学生通过类比和联想从已经掌握的数学知识和经验迁移到即将学习的高中数学知识上，这有利于学生快速学习新的高中数学知识。实践表明，利用类比来进行联想式教学，能够帮助学生启迪思维，锻炼科学的思考方法，养成严谨的推理习惯，拓展学生的知识视野和范围，加强他们的逻辑思维能力，提高他们对于学习数学的主动性和积极性。比如，在讲到等比数列的时候，我就用等差数列来进行类比。我们知道，等差数列是高中生最早接触到的最简单的数列，但它也是最基础的数列，能为学生建立最初的数学模型。等差数列的规律是，从数字的第二项开始，后面每一项与前一项的差都是一个有规律的常数的数列。这个数列具有代表性，揭示了数列的基本特征。解题时，我先将一个等差数列和一个等比数列书写到黑板上，请学生认真观察这两组数列，并说出他们的相同点和不同点。学生利用所学过的等差数列的概念和模型去感知新的数列，发现从第二项开始，后面每一项与前面一项的比值是一组固定常数的数列。其相同点在于后项与前项发生关系产生新的常数，并且这个数是固定的，不同的地方在于前者的关系是差，后者的关系是比。利用类比联想教学可以让学生利用旧有知识快速接受新知，增强学生的思维活跃性，在学生进行广泛联想和类比的过程中不知不觉地拓展思维习惯，帮他们建立起牢固的数学模型。这样，学生得到的不再仅仅是考试的能力，更提高了自身素质。

三、建立和谐的师生关系，鼓励学生勇于创新

和谐的师生关系是平等的学习者关系。在传统的教学中，教师是权威，不容辩驳，也不容质疑，就算在教师模棱两可的情况下，只要是教师说出的答案，学生就会无条件地接受并记在笔记里。很多时候，这并不是教师强迫学生如此，而是在长期的师生教学中形成的思维惯式。由此可见，教师的教学行为与学生的学习行为之间仍然存在脱节现象，教师讲完课之后，就布置作业给学生，教师的“教”与学生的“学”被生硬地分离开来。这就使得教师与学生、“教”与“学”之间缺乏有机联系，缺乏必要的互动关系，因而导致教师的“教”和学生的“学”变得孤立而盲目、散漫而无章法。一道复杂的数学题就像是拥有多条路径的城池，虽然我们在经验里认为路途有远近之分，坦途与坎坷之分。但是，在基础教育阶段的中学数学教学中，不应该由教师来决定哪条路是捷径，是简便方法，哪条路是最正确的道路。因为正如上文所言，教师教学的目的不是到达那个城堡，不是简单地为了获得结果，而是侧重学生学习的过程，在这个过程中要充分尊重作为学习个体的学生的个性差异所带来的思维习惯的不同与解题思路的不同，最大限度地激发学生学习的潜力，调动学生思维的积极性。

四、结语