数学拓展知识范例

摘要：拓展性课程是国内学校课程的重要建设内容之一，教材编写是影响学生拓展性课程“学习机会”的重要因素．研究选取浙教版《义务教育拓展性课程数学新探索》七~九年级上册3本教材，借鉴数学教材探究活动分析框架，从学习进度、内容特征、呈现方式、探究活动特征等方面分析教材编写得失．研究表明，选取的3本拓展性课程教材对基础性课程进行了拓展延伸；教材设计体现“学为中心”理念；多样化拓展课题凸显课程层次性；但活动形式以个人解答为主，突出数学运算与推理．建议在数学拓展性课程中提高对数学基础性知识的应用与整合，加强数学建模素养在课程中的渗透，均衡不同类型拓展活动的比例，设计开展STEAM教育，以提高课程实践性及综合性．

关键词：初中数学；拓展性课程；教材研究；STEAM

1研究背景

21世纪初，为适应社会发展对多样化人才的需求，拓展性课程作为国内学校课程的重要建设内容之一应运而生．它属于普通中小学课程，面向全体学生，是在基础性课程的基础上，为拓展学生知识并发展其潜能而开设的课程[1]．虽然拓展性课程在国内开发与实施已历时十余年[2]；但已有的课程实践研究表明，大部分学校把由学校提供的拓展性课程等同于教师自行开发拓展性课程，因此出现了课程质量不高[2]、散乱无序等问题，特别是开发的学科类拓展性课程易演变成基础性课程内容的练习巩固与延伸，这些都有悖拓展性课程建设初衷．2015年浙江省教育厅颁发的《关于深化义务教育课程改革的指导意见》首次明确提出将义务教育课程分成基础性课程和拓展性课程，并对拓展性课程开发与实施要求予以说明，掀起了浙江省中小学拓展性课程开发与实施热潮．与此同时，在“立德树人”背景下，数学核心素养已成为数学课程改革的新指向[3]．虽然《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《义务课标》）与浙江省教育厅的《关于建设义务教育拓展性课程的指导意见》（以下简称《指导意见》）都未对学科核心素养内涵进行界定，但初中数学课程仍承担着落实学生数学核心素养的重任[4]，《指导意见》更明确指出以培养学科核心素养为导向建设知识类拓展性课程[5]．因此，如何以培养数学核心素养为导向，选择与组织拓展性课程教学内容成为影响课程开发与实施效果的关键因素[6–7]，同时这也是学校开展拓展性课程建设的薄弱环节．为此，浙江省教研室组织省内各地数学教研员、特级教师，联合高校数学教育学者编写了初中数学拓展性课程教材《义务教育拓展性课程数学新探索》（以下简称《数学新探索》）．教材编写是影响学生拓展性课程“学习机会”的重要因素[8]，研究结合拓展性课程建设要求，构建研究框架分析《数学新探索》编写特征，以期对提高学校学科类拓展性课程的开发与实施提供启示．

2研究设计

2.1研究对象

研究对象为《数学新探索》七~九年级上册共3本教材，该套教材依据浙江省教育厅《关于深化义务教育课程改革的指导意见》和浙江省教育厅办公室《指导意见》编写，与浙教版初中数学教材同步．

摘要：初中的数学课堂对学生未来的发展具有很大的影响，起着承上启下的作用。初中数学的教学，能够为学生学习高中数学知识做铺垫。初中数学的课下训练是课堂中最重要的环节之一，有效的课下训练能够巩固学生的数学知识，而且学生通过课下训练不仅能够培养做题技巧，还能培养学生良好的学习态度。

关键词：初中；数学；课下训练

一、引言

现在数学的教学逐渐开始重视课下训练。在数学课堂中，练习是必不可少的，那么应该如何保证学生能在课堂教学时间很短的情况下，掌握到数学知识呢？那就是进行课下训练，因为课下训练能够帮助学生巩固知识，拓展数学知识技能。

二、初中数学的课下训练

教师在上课时讲解的知识和学生做的习题训练组成了学生的知识结构。学生在上课时学习知识固然很重要，但是也应该在课下进行训练来巩固课堂上所学的知识，课后训练不仅能够检验课上的学习效果，还能够帮助熟练掌握所学知识。因此，我们应该重视课下训练，特别是初中阶段的学生，因为初中阶段的数学学习是非常重要的。例如我们在讲解八年级上册《勾股定理》这一课时，勾股定理的基础知识虽然很简单，但是对以后的数学学习有很大的帮助。勾股定理是解决几何问题最重要的方法之一。勾股定理的运用非常广泛，就连我们在物理课程中求力、求物体的合速度，都会用到勾股定理。甚至我们在日常的生活中也会用到勾股定理，例如修建房屋，建筑师判断墙体是否垂直，都要用到勾股定理。所以，勾股定理的运用十分广泛。我们在讲解这一课时，不能只局限于基础知识的讲解，还要为学生巩固知识，培养学生能够将知识运用实际生活中去。因此，教师不仅要根据书本为学生布置课后训练，还要在原有的基础之上，为学生布置一些能够将勾股定理知识拓展开的其他课后习题，将勾股定理的题和我们的日常生活当中的能够看见的东西结合起来，例如一道这样的题：“有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4．5米的墙上，任何东西只要移至五米以内，灯就自动打开，一个身高1．5米的学生，要走到离门多远的地方才能将灯打开？”这样和日常生活结合在一起的例题还有很多，能够帮助学生在练习时将生活与数学知识点结合起来运用到生活当中，所以，教师应该重视课下训练，认真为学生讲解课下训练的习题。因此，课下训练是十分有意义的，能够帮助学生巩固知识和拓展知识。

三、初中数学教学中课下训练的方法

摘要：提问是数学课堂中的重要组成部分，一个好的问题可以瞬间点燃学生的智慧，启发学生的思维，让他们快速捕捉到知识的关键。小学数学课堂需要通过精心设计问题，从而促进学生的学习，充分调动学生学习的主动性，通过构建“问学”课堂，达到以问促学的教学成效。

关键词：小学数学；“问学”教学模式；课堂教学

小学数学教学中，数学问题一直普遍存在，不管是数学概念分析、数学方法的讲解还是数学思想的渗透，都需要应用到不同形式的数学问题，基于数学问题而形成的“问学”教学模式，可以更好地强化数学课堂的生成性与启发性。在数学问题课堂中，教师可以通过问题情境法、实践探究法、交流质疑法等，激发学生学习的热情，让学生在进行数学问题探讨的过程中感受数学的魅力，促进学生数学知识体系的建构以及数学能力的提升。

一、创设问题情境，激发学生的学习热情

实践中很多教师会通过创设问题情境，进一步引出问题，在生动、直观的问题情境中，引导学生深入探究、思考数学问题，形成探究思维，提高数学问题思考的效率。在教师要创设问题情境的时候，必须要结合学生已有的知识系统、学习经验、认知能力以及现实生活等，找准教学切点，通过灵活而多元的方式进行问题情境的创设，让创设出来的问题情境更吸引学生，激发学生探究数学问题的热情。教师对情境教学切点的选择中，必须要密切结合小学生的知识系统、认知水平，防止创设的问题情境远超过学生的知识系统，导致学生无法理解问题。比如，在《圆的认识》这节课的教学中，教师可以结合学生现实中常见的事物进行问题情境的创设，通过多媒体设备展示圆形的生活物品，包括井盖、圆形的杯子口等，然后通过电脑处理，将这些物品的形状变成正方形或者不规则的图形，提出这样的问题：“圆形的物品改变了形状，是否还可以正常使用？”这类问题是很多学生在生活中没有考虑过的，在探究问题的时候，学生自然会分析圆形的特征，将圆形的特征和圆形物品的功能结合在一起，自然会接近这节课堂中的核心知识，完成知识的理解和习得。不管是选择情境内容，还是进行数学问题的设置，教师都要密切结合学生的现实生活，保证问题情境和问题内容中牵涉到的物品、现象等都是学生所熟悉的，同时还要与课堂教学目标、教学内容等结合在一起，这样才能调动学生的学习主观能动性，让学生全身心地投入到数学问题的探究中，经过不断剖析，掌握知识的要点，完成生活经验到数学知识的迁移学习。

二、组织实践探究，强化学生的问题体验

教师要设计各种形式的数学实践探究活动，将数学概念性知识转化为实践操作的流程中，让学生亲眼见证、经历、感受数学知识的生成过程，由此可以更深入地理解数学概念、定理和其他相关知识，强化学生的数学问题体验。在实验探究中，教师要保证学生的主体性地位，教师扮演着指导者、促进者的角色，指导学生在探究、动手、思考的过程中，逐步走进知识、获得知识，提升学生的独立思考能力、探究能力和自主学习能力。在学生进行实践探究的过程中，教师应该尽量降低干扰的程度，减少干扰次数，确保学生在问题探究中的主体性、独立性得到最大程度的发挥。比如，在学习“圆柱的表面积”的相关知识的时候，教师进行数学实验，促使学生明白圆柱体的表面展开是长方形，并且指导学生掌握长方形边长和圆柱体底面周长、高的关系。在探究实践中，教师可以提出这样的问题：“圆柱侧面展开是怎样的图形？圆柱体的底面和图形的边长是怎样的关系？”学生带着这些问题进行实践探究，在动手中便可以获得问题的答案，从而可以发现，长方形的长便是圆柱体底面的周长，而长方形的宽便是圆柱体的高，由此便可以掌握了本节课中的重难点知识。在实践探究中，教师提出科学而有趣味性的问题后，便将课堂交给学生，让学生自己动手，带着问题探究、操作，在必要的时候进行浅层次的指引，可以让学生加深对实验学习的印象，让学生主动完成课堂中知识体系的建构，习得圆柱体面积的相关知识。

在小学数学课堂教学中，促使课堂教材资源实现有效拓展，既可以通过多角度提供教材资源，利于学生兴趣性、自主性培养；也可以通过教材资源活力的提供，利于数学学科价值充分体现，具有不容忽视的实施价值。

一、小学数学课堂教材资源有效拓展的重要性分析

（一）通过多角度提供教材资源，利于学生兴趣性、自主性培养小学数学教师通过多角度拓展、提供相应的教材资源，使得小学生能够在逐步营造的宽松、有趣课堂氛围下学习，利于学生兴趣性、自主性的培养。具体来说，一方面，多元化教材资源的拓展与提供，使得学生对数学课堂学习形成更为浓厚的兴趣，另一方面，借助教材资源的拓展，有针对性地扩宽学生的自主思维意识，从而使得小学生自主学习能力得以逐步提升。

（二）通过教材资源活力的提供，利于数学学科价值充分体现

数学教师不懈努力，促使教材资源呈现多元化、多角度发展趋势，不仅利于学生学习兴趣性、自主性的培养与提升，而且利于数学学科价值的充分体现。具体来说，课堂教材资源的多元化拓展，能够使得小学生在教材资源自主架构的过程中重塑学习情感，从观察生活、验证数学知识点、联系实际等出发，充分体现数学学科价值。

二、小学数学课堂教材资源拓展的有效路径

小学数学课堂教学过程中，数学教师有针对性地拓展教材资源，可以从立足学生兴趣，赋予数学学习趣味性，开展兴趣性拓展；依托师生互动、学生错误拓展教材资源，开展关注型拓展；数学联系实践，凸显拓展资源的现实性，开展实践型拓展；依托学习难点，通过拓展资源提升学习自主性，开展解惑型拓展等入手，不断优化拓展路径，提升课堂教学效果。

一、利用数学人物故事渗透感恩社会的教育

在初中数学中，有很多数学人物故事都可以作为感恩教育的题材，教师应该根据教学安排，结合教材中的相关数学人物，对学生进行感恩社会的教育，从中培养学生热爱祖国、感恩社会的意识。例如，数学家华罗庚由于家贫连初中都没有上，但其坚持自学，获得了清华大学数学系主任的赏识，被安排在清华大学图书馆工作，并逐渐成为清华大学的一名助教，为他研究数学提供了便利条件。感受到清华大学对自己的栽培和帮助，华罗庚放弃在美国的优厚待遇，毅然回到祖国，成为我国数学发展的主要奠基人。数学家陈景润早年从厦门大学毕业后，在厦门大学任教，但由于他一门心思钻研数学，并不适合从事教学工作。国家了解到这种情况后，将陈景润调入中国科学院研究所工作，让他专心研究数学。为了报效国家和社会对他的关心，陈景润刻苦钻研，经过10多年的推算，终于攻克了哥德巴赫猜想，为我国赢得了不朽的荣誉。通过数学人物故事教育，学生从这些数学人物身上认识到一个人的责任和担当，认识到自己对祖国和社会的责任，进而从心底里产生爱祖国、爱社会的情感，认真去完成自己的学习任务，以便将来报效国家和社会。

二、利用数学知识拓展渗透感恩自然与生命的教育

在初中数学教学中，教师不仅可以通过数学知识和数学人物故事对学生实施感恩教育，而且可以通过数学知识拓展，使学生认识到自然和生命的重要性，培养学生感恩自然、感恩生命等情感。例如，在讲解数列的知识时，可以将数列知识拓展到资源利用方面，借助我国资源的枯竭程度，计算我国资源每年的平均损耗量，以这个平均损耗量为公差，计算我国资源储量的枯竭年限。通过该知识在资源利用领域的拓展，使得学生对我国自然资源有个大致的认识，从而树立正确的资源观，从我做起，自觉形成节约资源的习惯，并积极参与宣传节约资源的活动。除此之外，还可将三角形知识拓展到结构平衡领域，将一个平衡的三角形机构比作一个完整的家庭，家庭中的每个人都是三角形中的一个角。一旦有个角出现意外，对三角形来说都是致命的，整个三角形的完整结构就会被打破。也就是说，整个家庭已经不是一个完整的家庭，给其他成员的打击也将是致命的。因此，教育学生必须热爱生命，不能由于受到一些小的挫折就轻易以自杀结束生命，更不能因为一时的不如意就伤害自己的家人或他人，等等。

作者：苏祥 单位：广西那坡县民族初级中学

计算机与课程教学整合具有重要作用，除了能拓展内容，还能促进课堂互动与模式创新优化。初中数学教学中科学、合理地运用计算机，既能对课堂教学内容与资源进行补充、拓展，还能促进学生的认知与理解，强化学生在学习中的主体行为，使其在互动、探究、交流、创新中完成认知，以此实现多方面发展。当下计算机在数学课堂中的应用存在融合性不强、缺乏实效性问题，需要通过研究改进与有效整合。

一、拓展与丰富教学资源

计算机技术在初中数学教学中的应用，可扩充教学资源，除了具有拓展数学文化视野的作用，还能在补充资源的协助下，加快学生的理解与认识，使其高效吸收和掌握课程知识及要点。计算机支持下的数学教学，一般情况下，可提前在网络中搜集资源，引入数学文化历史，强化学生对数学发展的认识，体会数学思想方法的形成过程，以及培养学生学习数学的观念和态度。另外，将生活中的数学资源以图片或者视频形式展示，除了能够激发学生对数学学习的兴趣之外，还能在生动形象的数学资源协助下，帮助学生理解、消化、掌握数学知识。以轴对称为例，教学前可搜集现实中轴对称的事物和现象，在课堂中利用计算机技术展示。通过蝴蝶、易拉罐、梯子、车轮、风筝等直观呈现，学生的眼球就会被这些熟悉的事物所吸引，进而在观察中感受轴对称图形的美，明确特点，引导学生关注生活中的数学，最大限度地激发学生学习与了解这部分内容的欲望，使其在拓展资源的调动和影响下主动参与欣赏与创造美。

二、创新教学方式

在计算机与数学教学的整合中，需要明确技术特点和优势，在此基础上结合初中数学课程内容和实际学情，以及学生兴趣与认知心理等，有针对性地整合与创新教学[1]。依托计算机技术能够促进教学方式的优化与创新，针对重难点和抽象知识内容，借助计算机创设生活情境，将知识融入生动场景中，以此引导学生思考和讨论。计算机使数学与生活紧密结合，课堂氛围好，能使学生依据生活经验与所学内容思考，并在过程中合作交流，易于掌握数学知识，并且能够增强其分析与处理现实中数学问题的能力。数学教学与计算机整合还可通过动画演示，或制作微课突出重点的方式，针对抽象性知识，或者是难度比较大的部分，充分、合理地利用计算机技术，将教学生动化与形象化，化繁为简，将静态内容动画化，使学生理解、接受，并明确知识本质，强化自身主体行为，有助于认知成效和能力的共同提升。以一元一次方程为例，利用计算机播放商场打折的视频，并依据其设计习题，吸引学生之余，更重要的是使其在过程中提炼主要信息，在分析与探讨中列出一元一次方程式以解决问题。又比如，在探索平行线的性质时，通过计算机动态演示同位角、内错角及同旁内角的数量关系，引导学生轻松理解并掌握其性质。

三、引导自主学习

数学教学中计算机的应用，需强化自主学习能力培养。计算机应用可渗透到预习中，改变以往放任预习和过度干涉预习的做法，依据新课内容，结合新课标确定三维目标，紧接着将各个目标任务问题化[2]，形成预习提纲，利用计算机网络进行分享。学生提前围绕提纲自主学习，能够使数学教学整体效果得到提升，事半功倍，还能锻炼学生思维，培养学生自学能力。在数学课堂中，将各种资源，如课件以及数学教学视频通过计算机整合，全部分享给学生，确保学生可在课后依据学习情况自主进行选择和再次学习。数学课堂中以计算机为契机，教师引导学生观看提前准备的视频及设置的问题，后面以探讨为主。针对自学未能掌握的内容和重难点，教师进行点拨，在学生无法通过合作探究解决问题的情况下，针对普遍性问题精讲，可借助计算机将重难点和疑难问题生动化与简单化，促使其更好地吸收与掌握，而且在互动中强化思维。综上所述，初中数学教学与计算机的有效整合，需要从实际出发，主要包含拓展资源、创新教学方式、引导自主学习等。通过打造个性化数学课堂，使学生在学习中强化主体意识和行为，从而积极独立思考与合作探究，促进学生学习成效与能力的提升。

摘要：

随着教育理念的不断革新，初中教师在开展初中教学课堂时，对于学生的思维和能力的培养的重视程度也在不断地提升。开展数字化思想在初中教学教育中的拓展应用研究，可以有效的引导学生，在进行初中数学课堂内容的学习的过程中，全面开发自身的数字化思想，提升自身的数学化能力。在实现数学理论知识的灵活应用的同时，也形成了更加理性、科学性的思维，从而收获更好的初中数学课堂学习效果。在数学学科的发展道路上获得更加广阔的发展空间和更加理想的发展前景。

关键词：

数字化思想；初中数学教育；拓展应用

随着社会的不断发展，对于具有创新精神的思维开拓性人才的需求也在不断的提升[1]。因此在初中数学课堂上，培养学生的数学化思想的重要性不可忽视。将数学化思想应用于初中数学教学课堂中，可以促使学生在良好的掌握初中数学课堂教学内容的同时，提高自身的数学学习能力，全面提升了自身的数学化能力和创新能力，为日后高中乃至大学的数学知识学习奠定了坚实的基础。

一数学化思想的基本概念

数学化思想的建立人是荷兰数学家汉斯。汉斯所倡导的数学化思想的主要内容就是：将数学思想应用于对事物的观察和理解以及世界观的建立当中，并且应用数学的理性思维解决生活中的实际问题。因此数学化思想是一种较为理性客观的思想理念。由此可知数字化思想的应用更加注重理性思考能力的开发。应用数字化思想，可以更加客观性、有序性以及系统的角度去分析和解决问题，从而在数学化能力的掌握过程中，得以自身综合素质的全面提升。

一、数学实验的教学状况及现存问题

1.在教学理念上，学校普遍比较重视传授基本知识和技能

而不够重视数学实验课程在拓展素质教育、培养学生科研创新能力方面所起到的作用。学校往往把数学实验课程看作是次要课程或理论课程的练习版，而忽略了其在人才培养中的地位和作用，更谈不上制定其对学生科研创新能力培养的总体目标和要求，所以数学实验课程对学生创新精神和实践能力培养的作用得不到充分体现。

2.在教学内容上，主要以基础实验、验证性实验为重点，对探究性实验、应用性实验以及拓展性实验的学习课时少

普遍强调对程序语言、程序内容、程序步骤的细节性描述，很少有程序思想、程序设计思路等内容。

3.在教学方法上，主要针对基础实验、验证性实验，学生普遍在教师示范下进行数学实验，或者根据教材自我练习。

学生练习过程中缺乏独立解决问题的意识与能力，缺乏学习的主动性，教师往往直接传授解决办法，而缺乏引导，这样，数学实验课程对学生创新实践能力培养的作用和效果就无法体现。另外，数学实验教学中缺乏教与学的自由度，过分强调教学要求的统一性，忽略学生的个性发展，从而制约了学生主动性的发挥和创新能力的表现，一些学生的创新设想很难实现。