数学思维论文范例

1国外数学思维的研究

国外数学思维的研究，在理论和实践层面都给予了高度关注．其中，在理论层面比较有代表性的人物是弗赖登塔尔、斯托利亚尔、奥加涅相等，在实践层面比较有代表性的人物是克莱因、道尔、波利亚等．以下着重介绍下国外实践层面值得关注的数学思维研究．数学教育家舍费尔德在波利亚的解题系统基础上，在《数学解题》中指出，数学解题的智力活动含有4个方面，其中在第2方面指出“启发法则，即克服困难的思维策略”，在第3方面指出的“调控”就是思维活动之反思在起作用．舍费尔德认为在数学教学中，教学生如何去思考问题比教学生解决问题更重要，强调的就是数学思维的重要性．另外，在数学课程标准方面，新加坡义务教育阶段数学教学大纲(新加坡尚未使用课程标准)的基本理念中指出“数学是发展和提高人的逻辑推理能力、空间想象能力以及分析和抽象思维能力的重要工具”，“学生在学习和应用数学的过程中发展计算能力、推理能力、思维技巧和问题解决能力”，数学思维和逻辑推理、空间想象、计算、问题解决等能力是并列的;新加坡高中数学教学大纲将数学分为H1、H2、H3等3个层次，H1和H2层次在教育目标中指出“发展数学思维和问题解决能力，并将这些技巧运用在问题解决中”，层次较高的H3层次则指出“在数学推理证明、创造性的数学问题解决和数学模型的使用中培养思维的严谨性”，对数学思维培养的要求更是落到了问题解决、推理证明、模型使用等实处．新加坡在2009年和2013年国际学术评估项目(PISA)数学素养测试中均仅次于上海，排名第2．对数学思维的重视，是取得如此成绩的原因之一．近年来，土耳其叶迪特佩大学KILI?，Hülya等就小学六年级学生数学思维技能教学中使用素材进行了实证研究;西班牙阿利坎特大学FernándezC等就小学教师对学生问题解决中的数学思维关注进行了理论研究．这2项研究是对小学领域的研究，但其研究方法和研究成果的使用范围是可以延伸到中学，甚至大学的．

2国内数学思维的研究

如果说国外的相应研究更加注意对于实际数学思维过程的深入考察，那么，国内关于数学思维的研究则是一种规范性的研究．总体上，数学思维研究可归纳为3个方向:为思维而数学思维、为数学而数学思维和为教育而数学思维．数学思维研究的开端和第1个方向是“为思维而数学思维”，也即从一般思维出发研究数学思维．20世纪前，国内数学思维研究“所建构的‘数学思维论’的基本理论框架往往就是从一般的思维论研究中直接借用过来的”．甚至于近几年刚出版的某些“数学思维论”的著作，所建构的“数学思维论”的基本理论框架也是从一般的思维论研究中直接借用过来的．只是在数学思维的形式与方法上作了一定的延伸和拓展．例如，将数学建模等新的数学思维的形式与方法融入进来，从思维研究的最新成果“左脑思维”和“右脑思维”等角度来审视数学思维．数学思维研究的第2个方向是“为数学而数学思维”，也即从数学特殊性出发，来研究特有的数学思维．王仲春认为:“数学思维是指人类关于数学对象的理性认识过程，包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程．”王梓坤院士在《今日数学及其应用》一文中指出，当代数学思维是一种定量思维，通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等一系列工作，以获得对数学对象的本质和规律性的认识过程．这一方向的数学思维研究，不再单单是从一般思维出发研究数学思维，开始从数学特殊性出发来研究数学思维．当下，数学思维研究的第3个方向是“为教育而数学思维”，也即指向数学教育(甚至于数学教学)的数学思维研究，服务数学教育(教学)．这一研究方向的代表学者，在国内可追溯到孔子．《论语•述而》中有:“子曰，学而不思则惘，思而不学则殆．”这里，孔子指出了学与思之间的关系，特别是前半句更是强调了“思”对于“学”的重要性，强调学习知识之后，需要再进行思维层面的理解和感悟．当代比较具有代表性的是任樟辉在1997年的著作《数学思维论》中提出“从数学思维的角度看，学生是思维的主体，教师是学生思维的主导，而思维的材料就是教材或数学知识”;其在2001年的著作《数学思维理论》中又指出“数学思维是针对数学活动而言的，它是通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等一系列工作，以获得对数学对象(空间形式、数量关系、结构模式)的本质和规律性的认知过程”．另外，也在1997年，郭思乐和喻纬出版的《数学思维教育论》，更加直接地从数学思维教学目的论、数学家的数学思维论、数学思维教育过程论、数学思维观念论和数学思维教学论等5个方面进行了详细的阐述．同时，曹才翰等认为“数学思维形成的过程是主体以获取数学知识或解决数学问题为目的，运用有关思维方法达到认识数学内容的内在的信息加工过程”．随后，郑毓信在其著作《数学思维与数学方法论》中，也提出数学思维研究应“为数学教育服务”;单墫则更加具体地提出“考虑中学数学教材、大纲或是课程标准时，不能仅考虑实用性，不能简单地罗列数学知识，而更应当考虑需要培养哪些思维品质，如何去进行思维的训练，充分发挥数学是思维的科学的特点．”此后至今的10多年，为教育而数学思维的相关研究不断深入．这在数学课程标准中有着明显的体现，其中具体涉及“培养哪些思维品质”和“如何去进行思维训练”．对于“培养哪些思维品质”，2011年颁布的《义务教育数学课程标准》中有强调抽象思维、推理思维、创造性思维、形象思维，2003年颁布的《高中数学课程标准》中有强调理性思维、抽象模式、结构研究事物的思维方式、批判性的思维习惯、逻辑思维、统计思维与确定性思维、直观思维．对于“如何去进行思维训练”，2011年颁布的《义务教育数学课程标准》在学有余力的学生、提高思维水平、必要的板书、信息技术、教学方式的多样化、评价方式等方面进行了一定的阐述，2003年颁布的《高中数学课程标准》在数学的应用价值、科学价值和文化价值、算法的基本思想、数据收集与处理、严格的逻辑法则、框图、复数的一些基本知识、现代计算机技术等方面进行了一定的阐述．同时，2011年颁布的《义务教育数学课程标准》也强调“教材内容的呈现应体现过程性”，这对于学生“形成良好的数学思维习惯有着重要的作用”．显然，“为教育而数学思维”的研究是当下数学思维研究的主流方向，以下对此作进一步介绍．

3为教育而数学思维的研究现况

最早“为教育而数学思维”，在数学思维研究的前2个阶段也有出现，但都还只是“在相应的一般性理论框架中嵌入若干数学的例子”．这些数学教育案例尽管在一定程度上起到了一定的作用，但其价值是不大的．近年来，“为教育而数学思维”的研究不断深入，呈现出以下4个方面的研究．

3．1从数学知识出发

一、指导学生明确思维目的

思维是具有目的性的，学生在学习中明确一堂课的学习目的是相当重要的，然而，教师在长期的教学过程中，引导学生明确思维目的，其意义更为重大。教师在教学中要引导学生明确思维培养的重要性，明确思维能力的培养并不仅仅是有助于对当前知识的学习，而且对自己将来的学习、工作、生活都将带来深远的影响。只要学生明白了思维培养对自己的重要性，有了明确的思维目的，在思维的培养中自然更加配合。

二、通过巧妙的问题，激发学生思考

知识来源于对疑问的解答，而疑问的解答过程正是人们的思维的分析。可以说，疑问便是思维的目标，有了疑问，学生的思维才有了方向。因此在现代的数学教学中，对教师提问水平的要求也越来越高，问题必须具备两种特性——质疑性和启发性。在以往的教学中，教师所提的问题基本上都是课本上明确存在的，提问也就变成了教师看着书本问，学生望着书本答，这样一问一答的模式，使得一堂课下来，学生只要看着书本就能回答所有问题，根本不需要做任何思考，思维培养更无从谈起。因此，当前教师需要改变这样的现状，创新提问的模式，给学生足够的思维空间，让学生能够结合课堂对问题进行深入思考、分析、比较。以此来增加学生对所学知识的理解，同时培养学生的思维能力。当然，问题的提出也不是盲目的，它也要满足：难易适度、新颖独特、具有启发性等特点。

三、通过各种训练，帮助学生掌握科学的思维方法

思维能力的培养光靠老师口头上的教导是不够的，它还需要通过各种相关的训练来强化。

1、分析、比较思维的训练

一、当前初中数学课缺乏创新思维的现状

（一）教学模式排斥创新

如今虽然课改效果已经开始凸显，但是考试制度的存在就已经对教学模式进行了限制。如今的数学课堂教学仍然是主要抓进度、抓得分，将那些可能激发学生创新思维的东西都转化成了一种固定的知识，而让学生去死记硬背，学生仍然是学习的机器，缺少或没有创造思维的机会。

（二）课堂教学中难以顾及学生思维的创新

虽然新课改，教师都会参加培训，但是在进行具体的课堂教学时仍然是很多教师都只注重知识的讲解分析，并且有很多多余动作，占用大量课堂时间。教师的注意力没有顾及到学生的思维状态，只看到了学生的表面动作。

（三）学生没有良好的创新思维习惯

因为应试教育的现状以及以老师、教材为主导的教学方法的长期熏陶，学生的思维受到教材与教师的影响，缺乏足够的创新的能力，有的学生的思维甚至都处于“怠速”状态，很难启动加速。长期下去学生的思维只能够墨守成规，过于迷信书本与权威，缺少自己的想法，不敢向书本和权威质疑。殊不知“尽信书不如无书”。中学数学的创新教育不是去开拓与创新未知的知识与知识体系，而要通过一定氛围与条件来引导、启发学生去进行探究、实践、思考，让他们自己去发现“新”现象，并通过联想、判断、推理和综合分析，归纳出结论，并运用所学知识和方法创造性地解决生产、生活及学习中的问题，变接受知识为发现知识，这就是中学数学教学中的创新教育。

摘要：文章通过问卷网以调查问卷的形式和线下访谈的方法,对笔者所在学校参加过数学建模竞赛的同学和未参加过数学建模竞赛的同学对数学建模对自身综合素质的影响进行了调查研究。调查表明,大部分学生都能认识到数学建模学习和竞赛对其自身综合素质的提升是有帮助的，但是大多数学生对数学建模的意义认识还不到位。文章对调查结果进行分析，结合笔者的切身体会对地方高校数学建模课程教学及学生参加竞赛提出某些建议。

关键词：数学建模；大学生；综合素质；研究

一、前言

随着社会的不断进步和发展，大学生想要在激烈的人才竞争中脱颖而出，就必须要不断提高自己的综合素质，而良好的综合素质不仅应具有坚实的理论基础，扎实的专业知识，还应该具有较强的创新能力、与他人合作的能力、较强的语言表达能力、以及稳定的心理状态。许多科学家断言未来科学技术的竞争是数学技术的竞争，这无疑对数学能力提出了更高的要求，不可否认数学建模课程教学及建模竞赛是提升大学生数学能力的有效途径。

二、数学建模竞赛及其赛题特点

全国大学生数学建模竞赛是在每年9月份举行，竞赛面向全国高校的所有在校本科大学生，竞赛由一到三名学生组成一队，在三天内完一篇竞赛论文。参赛者可以自由地收集资料、调查研究，使用任何工具，但是不能与外界人员讨论。在三天时间内，每个队要完成一篇论文。通过分析研究历届大学生数学建模竞赛试题，我们发现试题大都来源于实际生活，紧密结合社会热点，具有很强实用性和较大的挑战性。例如，2018年的A题“高温作业专用服装设计”，这个问题是一个热传导模型，外部的高温通过高温作业服和空气的两重削弱到合适的温度来保护人体，我们可以做出一些合适的假设，将整个问题简化成外部高温能量先经过1层，再经过2层，再经过3层，再经过4层，最后到达皮肤所剩余的辐射能量。其中需要注意的是，人体也有温度辐射出去，这会对外部温度的传播有影响。这个问题的本质就是导热。外界环境温度给定，内部人体温度给定，中间的物性参数给定，就几乎能给出定解。所以先列微分方程，再给边界条件，最后matlab数值暴力求解。针对问题一，我们通过热力学热传导方程建立4层热传导模型，得出温度变化的规律，分析出影响热传导的因素，并绘制出温度变化图。我们再考虑其边界条件和人体等因素建立适当的偏微分方程，从而求解得出温度在人体表面的分布状况。针对问题二，我们通过建立皮肤传热模型，列出了Pennes方程。但由于皮肤短时间暴露在强热流环境下,Pennes模型难以描述热流非稳态热传递过程。根据傅里叶热流定律，并考虑皮肤生物组织传热速度有限的物理事实，我们可以利用非稳态下的一维热流方程，即非傅里叶公式的线性展开进行求解，建立出生物传热热波模型，对高温作业专用服装的热防护性能进行了评价，并通过构建遗传算法模型求解II层厚度的最优值，由于考虑到约束条件带来的影响，我们根据二重结构编码的特点，设计交叉算子和变异算子，在原来基本遗传算法的基础上，对二重结构编码进一步分析，加快了算法的收敛速度，使模型求解精度上升。针对问题三，我们针对约束多目标优化问题，建立了基于Pareto排序的多目标遗传算法模型，通过分析附件2给出的假人皮肤外侧的测量温度，挖掘种群中Pareto支配关系，将II层和IV层的厚度作为目标函数，通过增加决策变量IV层的厚度来优化II层的厚度，以便求解目标函数II层和IV层的厚度，得出目标函数的最优厚度解。而这些问题，题目中并没有涉及，需要学生团队发挥聪明才智去挖掘。应该说对于每个问题的考察、分析都是对学生分析问题、解决问题能力的一种锻炼。

三、笔者所在学院数学建模基本情况

专题是基于数学教育关注的话题而设置的一个栏目，是对数学教育领域内一些重要现象和核心问题进行研究而形成的成果汇总.《复印报刊资料•初中数学教与学》（以下简称《初中数学教与学》）杂志设置的专题栏就是由若干篇有共同特质的论文对某一个核心问题进行研究.对这些文章进行探析发现，2017年12期杂志的专题论文主要研究初中数学核心素养的培养、中考试题评析、数学实验教学、中小学衔接、课堂情境设计及深度学习和数学文化，每个主题中都蕴含着数学教育原理、思想和方法，给读者提供一个学习与分享的窗口.

一、2017年度《初中数学教与学》专题栏目论文梳理

《初中数学教与学》是精选众多期刊中关于初中数学教学的精良之作，为读者提供初中数学教育中最热门的论点和话题、最新颖的数学思想和教学方法、最独特的学习技巧和数学文化等.2017年《初中数学教与学》专题栏共涉及12个主题，具体情况见表1.表1中表明每一个专题下转载论文数量为4篇或5篇，约占每期论文容量的观点摘录2篇，与相关题录一起占本期杂志的一个页面.专题栏转载的51篇论文中，有29篇独立撰写，其中14篇是中学教师所写，11篇是教研部门的人员所写，4篇是高校教师所写；有22篇是合作撰写，其中16篇有中学教师参与，可见中学教师是数学教育核心问题研究的主体力量.所转论文的原发刊有22种，转发量最多的是《数学通报》《中学数学教学参考》《中国数学教育》《中学数学》《中学数学杂志》《数学教育学报》，占总量的58.82%.24个观点摘编来源于16种期刊，来源最多的是《中学数学》，有5篇，其次有《中学数学研究》《教育研究与评论》《中国数学教育》等等.

二、初中数学教育专题研究现状

1.围绕一个热门主题：初中生数学核心素养的培养与发展

2017年度《初中数学教与学》12期杂志中有5期专题栏的内容都是围绕核心素养这个热门话题展开研究.研读5期杂志中的20篇论文，以挖掘所研究的问题、方法、结论.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等.透过数学核心素养方面的20篇论文，发现一个显著的特点就是围绕课堂教学开展研究，可见，课堂是培养和发展学生数学核心素养的主阵地.研究者黄玉华以苏科版七年级下的证明为例，从课堂教学的维度提出通过数学课程改革、数学教学活动、数学教育评价这3条培养途径落实核心素养.研究者杨慧娟、柴晓龙、马勇军从一线教学实践出发，以一节数学课中的三个细节为例，具体说明在教学中发展学生的数学模型思想的教学策略.李树臣以青岛版《数学》八年级上册第5章的“几何证明初步”为例，引导学生在探索活动中感受推理和演绎推理的区别及联系，并掌握演绎推理的基本模式.研究者牟天伟、张燕以人教版数学八年级下册“平均数”为例，具体说明发展学生数据分析的观念的教学策略，让学生经历数据处理的过程、掌握数据分析的知识和技能、对数据形成积极的情感与态度.研究者楚秉晶以反比例函数的教学为例，提出“数学抽象”须着眼于概念的分离与构建、概念的概括与普适化、概念的定义与符号化、概念的系统化.

2.聚焦于两个核心问题：教师教和学生学

【摘要】

数学教师专业课程改革实践说明，数学教育实践课程对提高高等院校数学师范专业学生的教学能力发挥着极其重要的作用。在教学过程中合理、多样的数学教学评价可以促进学生对实践课程的学习，从而有助于提升师范生入职后教学工作的起点。平时作业评价、学业考试评价、同行专家评价和综合档案评价四个方面评价方式的结合对师范生教育理论知识、教学基本功和教学基本技能的提升发挥着重要作用。

【关键词】

数学教育；实践课程；能力；评价

《中小学教师专业标准》（试行）在以学生为本、师德为先、能力为重和终身学习的基本理念下，三维空间上对中小学教师专业素质阐述三个方面的内容：专业理念与师德，专业知识，专业能力。作为一个特殊职业——数学教师，应具备的三维内容，在空间直角坐标系中的常规布局为：专业理念与师德是X轴，专业知识是Y轴，专业能力是Z轴。直观上X和Y轴是整个坐标系的基础，Z轴是高度。一名优秀的准数学教师——师范毕业生应该具备很强的专业能力。针对我系数学教育实践课程的评价方式的单一性，我提出了以下几个方面的评价方法。

一、平时作业评价

作业评价犹如一架照相机，静态的记录某一课程日常学习阶段学习的状态和结果。通过调查发现大多数高校的数学教育实践课程作业评价仍以书面解题、简答题作业为主要形式。数学教育实践课程的书面作业形式可是以多元化的，比如：阅读、调研、合作解决问题、小论文、听后感、综述、教学设计等。比如：课程《数学教学案例分析与研究》、《数学教学设计》，讲授基础理论知识阶段时作业类型可以抄写理论知识以巩固所学内容，可以指导学生查阅相关知识点并书写小论文；讲授如何进行教学设计时作业类型有查阅优秀的数学教学设计，调查某一教学课题的不同教学设计对学生产生的不同结果分析，数学教学设计中对教学知识点的不同理解或不同解决方法做小论文，一组讨论、设计与众不同的教学设计等。丰富的作业评价形式避免了习题作业评价导致的抄袭现象，同时激发了学生的学习兴趣，也培养了师范生合理制定教学计划，科学编写数学教案，有效组织教学课堂的教育教学能力。

1优化教学内容

1.1建立经济数学案例库

广泛进行专业调研，重新修订教学大纲，建立经济数学案例库．通过咨询专业课教师，考察经济、管理和金融等方面的实例，结合历年数学建模实例，以素质教育为根本，以培养创新人才为目标，重新修订教学大纲，并建立经济数学案例库．所选取的案例涉及专业课各领域，并囊括微积分、线性代数和概率论与数理统计的数学建模及数学实验案例．

1.2深化分层教学改革

数学学习可以提高学生的逻辑思维能力和计算能力，突出数学的应用，使学生学以致用．在实际教学过程中，尽量减少枯燥的理论证明，突出数学的实用性．本次教学改革在承接分层教学改革的成果上，从授课内容和教学目标上进行调整，更加突出应用．对于A层学生，授课过程中渗透数学建模和数学实验的思想，并结合案例教学法，提高学生的综合能力，使学生掌握利用一种软件和所学的数学方法解决经济和管理等方面问题的能力，为后续的就业工作提供帮助．A层教材每章都配备了相应的数学模型案例，如连续和极限部分配置正方形椅子能否在不平的地面上放平稳问题，导数和积分部分配置利润最大化问题，线性代数部分配备规划模型和lingo软件求解，概率论和数理统计部分配备预测模型及Excel软件数据处理．数学模型的讲解和实践作业相结合，指导学生建立并求解规划模型和数据预测模型，以论文的形式作为实践作业，并选取优秀的学生论文进行讨论和学习．对于B层学生，经济数学的讲授主要融入数学实验的思想，使学生能够运用数学软件进行相关计算．对于C层学生，讲授经济数学主要是为了数学素养的提高，在基础数学知识够用的原则下，补充数学文化的知识，所选知识的目的一是数学思想的传承，二是突出趣味性，三是思维的发散性．如给学生补充斐波那契数列、黄金分割、哥尼斯堡七桥和一笔画问题，历史上的数学危机、分形与分形艺术，典故“韩信点兵”和“田忌赛马”等，逆向思维的题目“海盗分金”、知识同化问题“脏脸的小孩”等．对C层所谓的“差生”实行教学改革以来，学生学习数学的兴趣明显提高，授课效果显著，比单纯地讲授数学基础知识更利于学生接受，从期末成绩来看，改革后成绩有了很大幅度的提高．

2创新教学方法

2.1采取“四规则”教学法

摘要：文章通过分析数学建模竞赛与数学建模培训的意义，研究了数学建模在创新型人才培养中的作用，探讨了数学建模与创新型人才培养的内在联系，指出数学建模竞赛的目的是培养学生实践创新能力和团队协作精神，最后提出将数学建模培训与大学生创新教育相结合的创新人才培养模式。结合学校实际，给出了开展数学建模培训的一些有效措施，使大学生能更好地服务于社会。

关键词：数学建模；创新型人才；教学实践；素质教育

一、概述

《报告》指出：创新是引领发展的第一动力。要加快建设创新型国家，就需要瞄准世界科技前沿，倡导创新文化，培养创新人才。因此，如何培养大批创新人才是当前我们国家面临的最为紧迫的课题之一。高等院校作为培养科技人才和实施素质教育的前沿阵地，肩负着为国家培养创新型人才的重任。如何用好这个前沿阵地，实施科教兴国，也将是各大高校需要重点研究的课题。近几十年来，随着计算机科学的发展，数学的应用正以空前的深度和广度向金融、经济、生物、医学、环境、交通等领域渗透，数学建模正逐步成为众多领域的关键工具[1]。许多高校正将数学建模教学、培训及竞赛与贯彻落实创新教育有机地结合起来，通过数学建模来培养和提高大学生的综合素质和创新能力，因此，对于数学建模与创新人才培养的关系，一直是教育教学研究方面的热点，国内外诸多的学者从人才培养模式等诸多方面做了深入研究[2-8]，本文将结合我校数学建模竞赛与培训活动实践，就两者的关系做进一步探讨。

二、数学建模的历史与现状

数学建模主要是应用理论知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型，并利用求解结果客观地解释实际问题的过程。注意到数学建模对于社会发展的巨大促进作用和对提升学生素质的重要意义，自上世纪六七十年代开始，美国和英国的一些学校开始开设数学建模课程，重点讲授把实际问题转化为数学问题的方法，以培养学生的建模能力。1983年，清华大学的萧树铁教授在我国首次开设数学建模课程；1985年，美国开始出现一年一度的大学生数学建模竞赛；1987年，姜启源教授编写了我国第一本数学建模教材；1989年，我国首次由北京大学、清华大学、北京理工大学选出3个队参加美国大学生数学建模竞赛。经过三年的参赛，大家认为举办此类竞赛意义显著，遂于1992年由中国工业与应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛。到1994年，这种大学生数学模型联赛引起了相关部门的高度重视，我国开始由教育部高教司和中国工业与应用数学学会联合主办“高教社杯全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）”，每年一届。2007年CUMCM被列入教育部质量工程首批资助的学科竞赛之一，由于该项赛事的重要意义，使其影响力不断提升，参赛规模逐年扩大，2017年，来自全国34个省/市/区（包括香港、澳门和台湾）及新加坡和澳大利亚的1418所院校/校区、36375个队（本科33062队、专科3313队）、近11万名大学生报名参加本项竞赛，是目前全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。

三、数学建模竞赛与创新型人才培养