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摘要：
在新课改的要求下，数学史逐渐融入小学数学教育，其重要性在小学数学教材中相关数学史内容的编排上得以体现。数学史作为数学文化的一部分，不仅对学生具有极大的德育、智育和美育价值；也有助于小学数学教师加深对学生数学认知过程的了解，提升对教材的理解能力，并形成独特的教学风格。
关键词：
数学史；小学数学教材；数学文化
数学，起源于人类对生产生活中实际问题的探索与解决。数学史凝聚着无数数学家和数学工作者的智慧，不仅在国际教育界得到认可，也受到我国数学教育工作者的重视。在新课改明确提出将数学史融入小学数学教育后，我国多个版本的小学数学教材都对数学史的内容进行了选择和编排。数学史的学习，不仅能激发小学生数学学习的兴趣，有助于他们对知识的理解，更能展示出知识形成的线索，有助于教师的数学教学。
一、数学史与小学数学教育的关联建立与发展
德国数学家海尔布罗纳与法国数学家蒙蒂克拉分别于1742年和1758年出版的《世界数学史》与《数学史》，标志着一个独立研究领域———数学史的出现。之后，数学史的教育价值得到了众多学者的关注和研究［1］85－89。1972年，研究数学史与数学教育关系的国际研究小组（HPM）成立，数学史渗透到数学教学中、数学史与学生的认知提升、数学史与教师的专业发展等都是其研究与关注的主要内容。数学史，是数学文化中非常重要的一部分，它揭示了数学知识的产生和发展的曲折过程，包含数学知识，思想方法，思维过程，是人类智慧宝库中的结晶［2］98－99。教育部在2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中强调数学史的教育功能，在教材编写建议中明确提出“介绍有关的数学背景知识”，认为这样不仅可以让他们对数学的发展历程有所认知，还可以让他们初步体会数学在人类社会发展史做出的非凡贡献，体验到数学的价值，激发他们学生学习数学的欲望。2005年5月，我国“第一届全国数学史与数学教育会议”在西北大学召开，来自全国多个省市以及国外著名大学的众多学者参加了此次会议。会议围绕如何将数学史与数学教育相结合以及如何在数学教学中运用数学史这一主题展开。该会议提出了研究数学史的重要目的———为历史而历史、为数学而历史、为教育而历史［3］108－109。在2011年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，对这一内容进行了进一步的细致化。在“教材编写建议”部分中提到，数学文化是教材中不学发展史的相关材料，帮助小学生了解数学在推动人类文明发展过程中所起的重要作用，增加小学生对数学的学习兴趣，感受数学家严谨和认真的治学态度，欣赏数学所蕴含的逻辑美与形式美等。例如，可以引入《九章算术》、《几何原本》、珠算、黄金分割等数学史料。在教材内容设计上，《标准》还提倡要为学生提供一定量的数学阅读材料，包括背景材料、史料知识等，供学生选择阅读［4］63。可以看出，虽然我国数学史与数学教育关系的研究起步较晚，但自新课改实施以后，对于数学史与数学教育的联结与互动日益重视起来。在“一纲多本”的理念下，我国小学数学教材编写呈现出丰富多样的态势，数学史作为数学背景知识的重要内容之一也呈现出多维度的渗透与融入小学数学教材中的特点。下面以人教版和苏教版两个不同版本的小学数学教材作为对象进行简要分析。人教版小学数学教材，从一年级上册到六年级下册共十二册，每册平均约110页。其中，一年级上册、一年级下册、二年级上册、二年级下册、四年级下册和六年级下册均未安排数学史相关内容。涉及的数学史内容包括三年级上册的分数表示法、乘号的来历、古代计时工具介绍；三年级下册的七巧板、加减符号、小数的表示法、除号的来历、指南针等等。纵观涉及数学史内容的6本教材发现，除了六年级上册只有一处数学史内容———鸡兔同笼外，其余各册所含较多，共23处。且每处篇幅大小不等，从1／4页到一页不等。苏教版小学数学教材平均每册110页左右。其中，一年级上册、一年级下册、二年级上册、二年级下册、三年级下册、五年级上册和六年级下册均未涉及数学史内容。其余几册共有13处，分别为三年级上册的24时计时法、分数的产生、古代计数法；四年级上册的计算工具的发展、古代乘法计算（铺地锦）；四年级下册的哥德巴赫猜想、古代欧洲“双倍法”、计算乘法、用字母表示数；五年级下册的古代方程思想方法的发展、求公因数方法；六年级上册的鸡兔同笼、黄金比［5］80－83。以此为基础，对两种版本的教材关于数学史的相关方面进行进一步分析、比较，可以发现：首先，数学史在数学教材中呈现的时段具有以下特点：一是一、二两个年级均未涉及数学史内容；其次，在数学史的呈现方式上，两个版本的教材都有“文字给出”、“文字为主辅以图片”、“图片为主辅以文字”和“连环画”四种形式。其中，“文字为主且辅以图片”形式占多数；再次，在数学史内容的选择上，两种版本的教材皆选取了著名数学家的故事（如高斯、杨辉等）、相关数学知识史料（如分数的表示法、除号的来历等）以及经典数学问题（哥德巴赫猜想）等具有教育意义的素材；最后，在选材时空上，跨越中外，横跨古今，如此广阔时空的数学史内容，既可以让学生感受数学的发展历程，又能够拓展学生在数学方面的视野。
二、数学史学习与小学生的发展
读史可以明智。数学史是一部厚重的、丰富多彩的文化史，它如同人类演变史一样，再现数学发展的原貌和全景，展现出伟大数学家们不断探索的艰辛的数学历程和数学的独特魅力。小学数学教材中数学史的融入对小学生的发展具有重要的促进作用，兼具德育、智育和美育价值。
（一）德育价值
学者骆祖英早于1996年所写的《略论数学史的德育教育价值》一文中指出了数学史具有不可替代的德育教育价值。第一，数学史的学习有助于爱国主义、国际主义教育。数学，归根结底来源于生产和生活实际问题的解决，与社会政治、经济、文化等的发展有着密切的联系。我国数学具有辉煌的发展历史，在14世纪以前曾是数学大国，取得的数学成就得到了世界的公认。近现代也涌现出了多位数学大师，如华罗庚、陈景润、陈省升等，他们均作出了令世界瞩目的伟大成就。在我国数学不断发展的同时，国外数学领域也有瞩目的成果不断诞生。因此，对数学史的学习和了解，不仅能够使小学生感受祖国的光辉荣耀，激发学生的民族自信心和自豪感，同时，也能接轨国际数学教育，了解其他民族文化中有关数学的应用，并体会到数学文化的多样性，为数学的无穷魅力所折服。第二，数学史的学习有助于加深对辩证唯物主义的认识。数学教育，多数时候是以相对概念出现的，如“大”与“小”、“多”与“少”、“加”与“减”、“有理”与“无理”等。因此，从发展历程而言，数学就是在不断的对立、转化的循环往复中取得进展的，数学史不仅是一部矛盾史，也是一部运动发展史，充满了辩证唯物主义。对数学史的学习，将有助于加深学生对辩证思想的认识与体会。第三，数学史的学习有助于学生人格和精神的成长。数学上的每一步前进，都需要数学家们艰辛的探索和实践，哪怕是一个小小的证明，都需要极大的耐心和勇气作支撑。伟大的数学家，如欧拉、华罗庚等，身残志坚，为钻研数学作出了很大的牺牲。数学史充满了数学家们为真理而献身的事迹，他们的伟大人格和崇高精神为小学生们照亮了学习的旅程，激励他们勇敢地克服困难，为数学奋斗［6］。
（二）智育价值
美国数学家、数学史学家莫里斯•克莱因曾说过，由于在课堂学习中，学生也会遇到数学家曾遭遇的各种难点和问题，因而历史对于课堂教学具有极其重要的指示和借鉴作用［7］11－14。作为学生，虽然以学习间接经验为主，不必重复历史，但也不该从历史停止的地方开始学习。新课改强调小学生的学习方式不应只限于接受、模仿与记忆等，而应积极进行自主学习与合作探究。小学生要逐步在教师的引导下，懂得主动去发现、探索并感受知识的形成过程，如此将有助于培养学生的创造力和自主学习能力；此外，数学史也是一部思维发展史。数学思维作为数学的灵魂，是数学中最根本、最精彩且最有价值的部分。因此，小学生学习数学，应该遵循“重现法则”，小学数学教材中通过系统地呈现数学史料，渗透数学思想，将重要的数学思想方法和思维方式深入浅出地呈现给小学生。学生通过对和自己所学相关的数学史内容的观察、猜测、推理与交流等活动，逐步得到数学思维的训练，并提高思考问题和解决问题的意识，进而能够促进学生增长知识，发展智力。通过了解，更好的体会数学知识的价值及其应用。
（三）美育价值
数学，源于自然，是对自然之美的探索和解密。数学的内在美具有的神奇魅力，是驱使数学家们奋斗和拼搏的内在动力。随着社会的进步和发展，数学史的美学价值，逐渐引起教育界的注意并被挖掘出来。如黄金分割比0．618，是古往今来被认可的呈现数学美的典型案例。公元前6世纪，古希腊的哲学家、数学家毕达哥拉斯在研究正五边形和正十边形的作图中初涉这个比例。随后在公元前4世纪，柏拉图学派中最杰出的数学家———欧多克索斯，在处理“不可公度量”问题时对此进行研究，并依此建立的比例理论推动了数论和几何学的发展。最后，在欧几里得的《几何原本》著作中，黄金分割这一理论得到系统的论述并成立。德国天文学家开普勒称黄金分割为“神圣分割”。此后，黄金分割比0．618尤其受到建筑师们的青睐。无论是古埃及的神奇金字塔，印度的名著泰姬陵，还是中国的艺术博物馆———故宫等，这些享誉全球的建筑尽管风格各异，构造奇美，但都有意无意地使用0．618法则，尽显和谐之美，使人赏心悦目。数学史上类似的例子比比皆是，数字与音乐、数学与围棋等方面的探究成果无不彰显了数学所潜藏着的智慧和美。因此，提及数学之美，倘若只是注意到对称，无疑是大大窄化了数学背后所蕴涵的思维之美、方法之美与文化之美。透过教材所呈现的有关数学史料、图片，不仅能让小学生获得数学美的熏陶，提高审美意识，也有助于教师在欣赏数学美的同时学会寻找、挖掘教材中更多的美的元素。
三、数学史学习与小学数学教师的专业成长
数学作为小学的核心课程，对小学生今后的数学学习打下坚实基础起着十分重要的作用。数学史对小学生发展的重要意义，要求小学数学教师不仅需要具备扎实的数学课程专业知识，也需要有宽厚的数学文化底蕴，具备广泛的数学史常识，并能将之有效的融入数学教学之中。因此，数学史在小学数学教育中的融入，对于小学数学教师的专业成长也具有积极的推动作用。
（一）有助于加深对学生数学认知过程的了解
小学生的数学学习包含复杂的认知活动。但由于数学学科严密的逻辑性和高度的抽象性与小学生的思维水平、学习能力存在一定的差距，使得他们在数学学习时总会出现各种各样的错误，如对负数的认识。其实回顾负数概念的发展历程，数学家们也同样经历过各种障碍，甚至大数学家欧拉都对其表示怀疑。认知的历史发生原理提出“个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程”的观点［8］2－3。即学生在数学学习过程中所遇到的一些困难和认知障碍在一定程度上与前人所遇见的极为相似。因此，教师们可以通过对数学史料的学习和分析，梳理出有关数学知识的发生过程，通过数学家所走过的曲折道路去认识学生可能存在的困难，从而在教学中正确认识并把握学生数学学习的认知过程，从而提高教学的质量。
（二）有助于提升对教材的理解能力
香港大学学者肖文强曾说过，一个数学教师，需要像一个独奏表演者一样，可以凭借自己的理解和领会能力去演绎音乐作品，但要演绎得十分美妙，表演者自身必须先了解并熟悉这部作品［9］48－49。数学史是认识数学、了解数学、学习数学的重要工具，一旦脱离，教育者则丢失了数学宝贵的财富，只剩下简单的逻辑、公式与例题。苏联著名教育心理学家维果斯基也曾指出影响个体所处的社会文化对个体的认知发展具有十分重要的影响［10］131。不同的教材使用，要求教师要有广泛的知识面和深刻的理解能力，而精选的数学史料则能帮助教师加深对数学的认识，提高对教材的理解和掌控能力。
（三）有助于形成独特的教学风格
教师要将数学文化融会贯通，必须真正读懂教材。数学史在小学数学教材中占据越来越重要的地位，以注释、小知识点的形式呈现，展现古往今来的数学家、数学成就、数学难题等。教师在授课时，倘若只是局限于知识静态教学，学生则在长久的学习和艰难的探索中容易对数学失去兴趣。所以，充分利用数学史，开创独特的教学模式，向学生介绍著名的数学典故，展示优秀的数学成果，将数学知识置于历史长河中，让数学知识以动态的形式走进学生的心中，将有助于教师形成独特新颖的教学风格［11］21－24。
四、总结
数学史源远流长，丰富多彩，将数学史的相关内容编排进小学数学教材中，不管是对于小学生的学习，还是对于小学数学教师的教学都有积极的促进作用。但目前小学数学教材中数学史的呈现多数仅限于静态的点，还难以在学生头脑中动态的联系起来。随着电子教材、多媒体等现代教学媒体技术的广泛应用，数学家、数学教育者、小学数学教材编写者应探索更多的将教育史融合于教材中的方式方法，提供广泛的资源库和电子链接，开发数学史选修课程，编写数学史读本等，真实地展现数学充满挫折和困难的发展历程，而不仅限于静态的数学成果的呈现。作为一线教育者的小学数学教师，应通过课题研发、专项培训、改革教育模式、与高校教师联手等方式努力提升数学史素养，不断提升自身专业水平。
作者：李星云 单位：南京师范大学小学教育研究所
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