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［摘要］高等数学类课程在数学教育专业的课程设置中占据着重要地位，但由于其抽象性、逻辑性较强，学生在传统教学模式下学习效果不佳。通过归纳整合将该类课程内容分成三类，并结合专业特色，进行了基于翻转课堂模式的教学实践。分析比较了两种教学模式下学生在知识技能、方法获取、情感体验等维度的差异，结果表明翻转课堂教学模式有利于提高学习效果，并提出了一种可操作的评价机制。
［关键词］高等数学;数学教育;翻转课堂;评价维度
根据基础教育改革发展的需要，高师院校要以实践为导向优化课程体系，培养乐教、适教、善教的优秀人才。王智秋、郜舒竹从专业人才培养的目标的规格出发，提出了由高等数学基础、数学教育类课程和应用数学的理论和实践等三个方面构成的课程设置基本框架。李雪梅从适应基础教育改革的角度，认为应以高等数学思想方法为主线，精简整合必修课程。徐建星从MKT理论的视角，以五门高等数学类课程等为基本课程，构建了面向数学学科知识的课程模块。以上学术讨论集中于数学教育专业数学类课程体系的构建，可以看出高等数学类课程在其中占据着重要地位，对于宏观把握课程设置的标准有着积极的推动作用。但关于具体的教学模式涉及不多，缺少可操作的有效实施方式和评价机制，影响了课程改革的进一步发展。而“翻转课堂”的教学模式以其建构性和互动性的特征，实现了以学为中心的教学理念。相关教学案例在其他专业和课程的教学中得到了应用，并被证明有利于课程目标的达成。基于此，研究“翻转课堂”模式融入到高等数学类课程教学的设计、实施和评价过程，以期推动数学教师职前职后人才发展的有效衔接。
一、翻转课堂模式下课程的设置理念
高等数学类课程以其抽象性强、逻辑严密而让很多学生望而生畏。传统教学模式下，学生在课堂上听教师的讲解，课后模仿例题完成相应练习，不去了解概念和方法的来龙去脉，缺乏自主学习的兴趣和实践能力。长久以往，学生难免对内容感到枯燥乏味，甚至产生学习高等数学只是为了进行更难的计算等错误认识。特别是师范专业的学生，会把重心放在教育教学类课程，导致错失了对数学思想和方法的理解，无法感受到高等数学的魅力。“翻转课堂”与传统课堂的显著性区别在于“翻转”了课堂参与者的角色。在这种模式下，学生成了教学的主体，参与自主学习、协作学习等教学活动。教师则需要在各个教学环节中提供必要的引导和辅助。“翻转课堂”的实现需要有效整合基于混合学习的“线上+线下”学习资源，这就对教师的教学设计能力提出了更高的要求。相比于传统课堂上教师可以时刻关注学生的动向，翻转课堂的学习环节则分成了课前、课中与课后三个阶段。其中课前自主学习的环节，要依靠教师设置的任务点和提供的资料来进行引导。
二、翻转课堂模式下高等数学类课程的实施
(一)合理分类，差异化设计。根据数学教育专业高等数学类课程的总体设置，将各章节的具体内容归纳整合再次划分为三大类，分别提供差异化的学习资源和教学设计。如“极限的概念”“导数的概念”等内容的核心是针对某个问题介绍相关基本定义，将其归为概念介绍类。这类课的课前自主学习阶段，要多提供给学生相关的数学史、思想方法方面的文献资料，遵循历史重现的原理，让学生体会从描述性的现象到符号化的语言的演变过程，渗透其中蕴含的数学思想。同时引导学生讨论初等数学课程中相关的知识，练习用数学语言表达想法，培养其用高观点解释初等问题的意识。如“极限的运算”“函数的微分法”等内容主要是由相关基本概念延伸出的性质和运算法则，将其归为计算推导类。这类课的主要目标是让学生明确进行计算的前提，并运用新的运算性质。对本专业学生而言，并不需要追求每个定理的严格证明，但可多设置课堂讨论和展示，辨析是否符合使用条件。同时设计适量的计算题，用以掌握常见计算技巧，也强化用数学符号进行规范书写的习惯。如“函数的单调性和凹凸性”“旋转体的体积”等内容主要是应用所学的数学知识解决具体问题，将其归为实际应用类。这类课程要突出数学的工具性，广泛提供综合性和衔接性的应用案例，渗透数学建模的思想，强调抽象化实际问题的过程。比如圆锥的体积公式，既可以用小学课堂的实验法来探索推理，又可以利用定积分的微元法严格计算得到。同时引导学生用数学软件来辅助思考及简化计算，以及课后的进一步研究，培养应用能力和创新意识。
(二)对照实验，翻转式教学。《高等数学基础》课程是数学教育专业必修课，直接影响专业人才培养的质量。前期依托省级职业教育精品在线开放课程项目的建设，该课程已储备了丰富的网络课程资源，并及时在校内精品课程网站与“福建职业教育与终身教育”网站。我们选择本课程中的相关章节进行了课程教学实践。在十八周的教学实践内，从多个平行班中选择一个班级进行“翻转课堂”的教学实践;将另一个班级作为对照班，采取传统的授课方式开展教学。下以“极限的概念”内容为例，阐述翻转课堂的教学过程。“极限”思想是贯穿整个高等数学的一个重要思想，它是符号化的抽象数学语言，具有复杂的逻辑结构，需要学生在学习过程中不断自主建构。本节内容归属于概念介绍类，是在掌握了函数的概念和性质的基础上，通过观察极限的变化趋势，引入极限的定义，并让学生建立无限的思想观。在课前的自主学习阶段，实验班学生根据教师所设置的任务点，观看课程视频及其他学习资源，了解极限概念的演变历程。然后从特殊的函数———数列出发，探究这种相对简单的而且直观的极限，体验由特殊到一般，由简单到复杂，由具体到抽象的思考过程。同时教师在讨论区提出设计好的问题:0.9，0.99，0.999……这个数列的极限是多少，鼓励结合已学的初等数学方法给出说理或证明。课上，师生首先就讨论题进行互动分享，问题集中于“该极限到底是小于1，还是等于1”。接着分小组展开说理汇报。有的小组认为它不断接近于1，但是永远小于1。有的小组利用无限循环小数化成分数的办法，也有的小组利用方程思想，支持极限为1的观点。再经过学生热烈的互评，大部分同学接受了后者的结论，但仍然对这种与自己朴素、直观的感受相悖的现象感到困惑。在互动的基础上，学生的兴趣与热情被激发起来。适时引入新的想法:将该数列写成一个等比数列求和的形式，描述性地可以理解成当n“充分大”时，其与1的“距离”小于任意一个给定的常数。进一步地可以将这些定性的动态词汇用更加严谨的符号化语言表述出来。随后结合分形几何的内容，通过几何画板软件动态体验科赫雪花的产生过程，并体会其中随着迭代次数的增加，该曲线长度趋向于无穷大，但所围成的面积却趋向于定值的奇妙结果。让学生思考能否用现代的符号语言加以阐释，以便获得更加深刻的理性认识。
三、翻转课堂教学效果评价
(一)评价维度的设置。为了评价“翻转课堂”教学模式在不同类型课上的教学效果，依据对课程目标设计的三个维度———知识与技能维度、过程与方法维度、情感态度维度，设计评价指标，并利用SPSS22.0软件进行统计分析，并对统计结果做进一步检测和验证。对于知识与技能维度的评价，主要通过课堂练习和课后作业情况来实现。课堂练习以判断题、选择题为主，评测学生对知识的理解与技能掌握程度，引导学生分享各自的观点，教师可以及时地参与其中，并答疑解惑。课后练习则布置计算和证明题，考核学生能否按照规范的解答过程，书面表达出正确结论。对于过程与方法维度的评价，主要通过课堂互动情况，及线上平台提供的资源利用情况共同来实现。在线资源不仅仅是课程微课，还包括相关的扩展阅读材料，如背景文档、科普视频、电子图书资料等等。通过合理设置需完成的任务点，最大程度上开阔学生的知识面。同时利用线上讨论区，教师总结学生该阶段存在的普遍性问题，以便在课堂讨论时产生更大的共鸣，从而帮助学生将重难点逐渐内化，并记录其交流表达和协作学习情况。评价时关注学生是否能应用合适的学习方式探索新的问题，是否能积极与他人讨论分享观点。对于情感态度维度的评价，主要通过对全部学生的问卷调查，以及部分学生的深度访谈来实现。对学生而言，这是一个很好的师生沟通渠道，可以大胆地提出自己的问题和建议。教师也可以通过开放式的谈话，了解学生对翻转教学的学习体验与感受，有针对性、策略性地完善教学薄弱环节，提高教学效率，真正实现“教学相长”。评价时关注学生是否认识到高等数学类课程对科技巨大的推动作用和实用价值，由此改善学习态度和探究热情。
(二)评价结果的分析。通过对数据进行分课程类型的整理与统计，将两个班的得分进行比较分析。其中知识与技能维度满分100分，过程与方法维度满分70分，情感态度维度满分30分。对于高等数学中“概念介绍类”课程，通过t检验发现三个维度上的P值均小于显著性水平0.05，因此可以认为在统计学意义上，不同的教学方式对“概念介绍类”课程的学习有显著的影响。但翻转课堂模式下的标准差普遍较大，也反映了不同程度的学生在参与过程中的学习差异。在访谈中发现，本类课程提供了较多的概念演变的历史知识，有部分学生却未仔细阅读，仍然用以前的知识结构来理解新概念。与之相反，自主性较好的同学反映，由于课前材料的故事性较强，完成起来不会有太多障碍。同时联系了初等数学中的相关知识，通过参考教材加以比较，他们在课堂上非常乐意分享各自的观点，气氛比较活跃。对于高等数学中“计算推导类”课程，翻转课堂教学模式下的三项均值全部高于传统讲授模式。通过t检验可以看出，过程与方法维度和情感与态度维度上的P值均小于显著性水平0.05。但知识与技能维度的P值超过了0.05，说明就这一维度而言，在统计学意义上差异并不明显。通过查阅答题情况和个别访谈，发现这部分内容对逻辑推理能力要求较高，且需要有一定的知识积累，能较灵活地运用相关的公式和定理。在课堂上尽管经历了合作分享和教师答疑，但讨论时的参与程度也各有不同，这种个体差异导致知识内化的程度不一致。所以就这类课程的知识和技能维度而言，翻转课堂教学模式可能因为有较多交流讨论环节，而占用了教师示范和学生进行巩固练习的时间。对于高等数学中“实际应用类”课程，通过t检验可以看出，三个维度上的P值均小于显著性水平0.05，因此可以认为在统计学意义上，不同的教学方式对“实际应用类”课程的学习有显著的影响。主要原因可能是:首先本类课程积极引入数学软件进行教学，学生们可以获得更加直观的图像展示，这就提高了学生的学习兴趣和对知识内容的注意力;其次课前的问题更加贴近生活，涉及的方法是初等数学方法的有效延伸，学生可以不用太纠结于复杂的理论推导，而且还可以运行感兴趣的软件程序，感受数学工具的强大功能，这也使更多的学生愿意尽力完成任务。
(三)实践效果的反思。通过对教学效果的评价可以看出，教师在对三类课程进行“翻转课堂”式的教学设计时，要针对课前、课中、课后的反馈情况，及时调整教学设计方案，控制教学内容的范围和深度，协调好讲解和讨论的时间分配，有不同的侧重点。如“概念介绍类”课程应着重于课前的资料准备，多提供阅读材料，让学生先有一个认知的起点，尽量减少概念的抽象性和枯燥性。“计算推导类”课程则要预留足够的课堂讲授时间，便于教师总结方法和示范正确步骤，并要求学生及时练习。“实际应用类”课程则尽量鼓励学生在课后就问题做进一步的探索，可以是对现有解决方案不足的分析，也可以提供新的解决方案，特别是结合实际需求开展后续研究的情况。
四、结语
针对高等数学类课程，应不断积累并更新教学资源库，积极融入“数与代数”“图像与几何”“统计与概率”“综合与实践”内容，培养学生准确地表征数学概念、解释数学法则和程序。同时，利用“翻转课堂”的教学模式，一方面，先验知识基础不同的学生都可以基于自身知识结构参与学习任务，提供不同阶段的解决方案，获得学习成就;另一方面，赋予了学生更大的学习自主性，让他们更早地尝试从高等数学的观点审视与理解小学数学的知识体系，体现了以学为中心的教学理念。在“高教社杯”全国大学生数学建模大赛、“互联网+”大学生创新创业大赛等竞赛中，学生利用数学知识解决了空气质量数据的校准、巡检线路的排班等复杂实际问题，载誉而归的同时，体现出了较强的创新意识和知识运用能力。通过统整同类课程构筑合理、实用、相辅相成的课程模块，强化应用意识、拓展专业能力，基于“翻转课堂”模式的课程教学有利于设计培植工匠精神、涵养一专多能，促进专业人才培养目标的达成。但也要注意到，在科技高速发展的背景下，需要动态地考虑教学内容的选取，才能给面向未来的教师打下坚实的数学基础。
作者:李骏 单位:闽江师范高等专科学校初等教育系
