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一、引言
作为计算机相关专业核心基础课程，离散数学在国内外大学计算机专业教学中均受到充分的重视。近年来，计算机专业离散数学课程的教学改革受到国内各高校关注，更多地注重应用信息技术辅助于教学过程，并结合计算机学科背景、计算机专业应用开展教学，如在教学中引入数学实验或数学建模、网络精品课程、双语教学，以及近年来的MOOC课程等。同时，众多的学校也在教学思想、方法上进行改革，包括在教学过程中融入程序设计、应用案例、数学建模以及数学文化等。这些教学改革措施取得了一定的效果，但针对目前计算机专业教学面临的就业问题、学科专业创新思维培养、课程教学学时限制等，离散数学课程教学还存在一系列需要探讨的问题。注意到，这些教学改革能够增加学生的学习兴趣与学习信心，强化学习过程。但根据我们多年的教学实践，从离散数学课程的理论性强、抽象程度高的特点以及学生学习该课程时的基础等方面分析，这些教学改革措施实施并不容易，难以达到预期的效果，甚至可能出现本末倒置的情况。特别是网络课程学习、动画辅助教学等教学效果并不理想，这是有离散数学课程特点决定了的。我们认为要从计算机专业学科体系高度出发思考如何进行研究性教学，要抓住计算机学科发展规律、离散数学课程特点，以增强学生理论知识、抽象思维能力、逻辑思维能力、自主学习能力，以及理解计算机科学核心思想和方法为目标进行教学改革。本文在分析各类教学改革措施基础上，探讨新时期下离散数学教学内容与教学模式。
二、离散数学教学模式
基于现有的研究基础与教学实践经验，笔者认为，要达到离散数学的主要教学目标，需要进一步探讨如下几个方面的问题:如何通过应用案例有效地增加学生学习兴趣?如何有效训练学生计算思维?如何增强学生的创新能力?如何选择教学实验?针对目前国内高校计算机专业体系安排以及教学学时压缩和增强学生自主学习能力难度较大的现实，笔者认为，离散数学教学内容应该以数理逻辑、集合论以及代数结构、图论为主，同时注重如下几方面的教学内容的设计:应用案例、计算思维训练、“本原性学科问题”导学设计等。离散数学采取传统教学方式与现代计算机辅助教学方式结合的教学模式是最佳选择。前者强调有益于学生独立自主的学习思考的教学过程，后者强调可以适当使用多媒体方式展示有大量文字信息的内容给学生，以节省时间，让学生快速地了解教学内容。特别地，基于历史上学科发展过程的视角的“本原性学科问题驱动”教学模式是一种适宜于离散数学课程的教学模式，主要基于如下两方面的思考:一方面，离散数学课程一般在低年级开设，学生对计算机专业还没有深入的理解，如果仅仅是提供离散数学课程中逻辑性、抽象性非常强的概念、性质给学生，会使得学生在思维与方法上脱离计算机科学专业而导致其学习兴趣不强，从而影响后续理论与实践课程的学习。在新的就业形势下，有必要开展新的教学模式研究。另一方面，教学经验表明，学生对课程相关主题的研究历史(相当程度上也是计算机学科的发展历史)和研究具体过程表现出浓厚的兴趣，从而启发我们，是否可以将学科本质问题或学科相关主题的研究或发展历史过程与离散数学课程的理论教学结合起来?希望学生在学习过程中不仅仅能看到成熟的离散数学成果，也能够看到原始问题，看到计算机学科本质、计算机学科发展过程，能够真正理解为什么要学、学什么以及怎么学的问题，能够积极主动了解、理解或甚至参与学科相关问题的提出、发展的过程，这个过程类似于计算机科学家或数学家的研究活动过程。因此，研究与设计来源于历史、可以反映研究过程并适合于课程教学的离散数学本原性学科问题是很必要和重要的。
三、离散数学教学内容
目前，国内大多数高校计算机专业离散数学课程教学内容主要包括四个部分:数理逻辑、集合论、代数结构以及图论，而国外大部分计算机专业离散数学课程主要包括数理逻辑(证明方法)、集合、图论、离散概率以及组合数学部分基础或算法分析等内容，少数还讨论数论。国内有少部分高校采用国外教材从而在教学内容上与后者一致，前者更合适国内计算机专业教学体系，并能更好地衔接研究生考试。整体上，国内高校离散数学教学内容与学时安排上是比较统一的，适合国内绝大部分高校计算机专业的实际情况。
1．应用案例设计
应用案例教学在离散数学教学中已受到相当程度的重视，但如何选择案例仍然值得研究。教学案例应该是能够很好地融合到理论学习中，学生通过课堂教学、课外自学逐步了解、理解案例的理论背景以及学科思想与方法。但限于当前学生学习任务重，自学时间少，具体分析讨论的案例应该精而少。例如，笔者近年教授的计算机专业学生的专业方向是信息安全，便设计了如下的教学案例:图论应用案例描述:软件水印因为其种类繁多、检测和分析困难而成为研究的热点之一，尤其是抗攻击能力较好的动态图软件水印特别受到关注。动态图水印是由Collberg和Thomborson提出的一种基于图论的软件水印技术，DGW的基本思想是用一个图的拓扑结构来表示水印数据，当输入一个特定的序列后可以触发后该拓扑结构在程序运行时动态创建，从而提取出图的拓扑结构得到水印数据。实现动态图软件水印的基本步骤略。相关问题:①分析图基础概念与图的拓扑结构定义;②定义图结构与水印映射关系;③图的遍历;④设计一种图结构与映射关系，使得动态图软件水印拥有更高的数据率，从而获得更好的隐蔽性和鲁棒性;⑤定义图的Catalan数。该案例具有如下特点:①是计算机科学领域当前研究前沿热点;②可以扩展到遥感影像数字水印，这有着学校特色与交叉学科优势;③本案例主要涉及到图论多个知识点，并可以扩展到代数结构部分，是理论知识与应用融合的典型案例。
2．计算思维训练
计算思维是运用计算机科学的基础概念进行问题求解、系统设计、以及人类行为理解等涵盖计算机科学之广度的一系列思维活动。计算机专业学生对计算思维的学习要求更高，这更有利于理解与应用计算机理论、方法与技术，更有利于开展创造性工作。离散数学课程的特点决定其在培养学生计算思维过程中将起到重要作用。例如，传统离散数学教学中，在介绍图论起源即K?nigsberg七桥问题时，常常仅作为历史故事以及从建模角度引入图论，而从计算思维角度，考虑从解决问题的层次进行分析，将清晰、抽象地描述该问题，并特别地该问题的解决方案表示为一个信息处理的流程。这样，在保证相当充分且必要的理论学习的基础上，展现给学生的是一个完整的计算机科学最为核心的思维方式，可以有效地训练学生计算思维，并增强学习兴趣。
3．本原性学科问题示例
下面是一部分“本原性学科问题”示例。①从数学到命题逻辑:介绍亚里士多德、布尔、弗雷格以及罗素等对数理逻辑发展所做的工作;②符号逻辑代数:学习了解布尔、维恩以及皮尔斯等在符号逻辑的提出、发展到成熟的过程;③哈夫曼编码:介绍哈夫曼提出哈夫曼编码的历史背景与详细过程，以及其应用模式;④网络与生成树:主要基于凯莱的工作介绍树的提出、分析模式，特别是凯莱定理的提出与证明;⑤代数学中的抽象:拉格朗日、柯西、凯莱为早期群理论所做的工作;⑥七桥问题与欧拉回路:基于早期欧拉的论文完整呈现历史上七桥问题的提出到求解的完整过程;⑦Icosian游戏于哈密尔顿回路:呈现Icosian游戏中的离散数学思想。
四、结论
本文探讨了新时期离散数学教学模式与教学内容设计，提出了不简单依赖于信息技术辅助手段，而是回归到以学科思想、方法引领下的离散数学理论教学、学生主动学习的教学模式。将“本原性学科问题”的教学模式融入并统领离散数学理论教学过程，设计本原性学科问题指导下的本原性学科问题、应用案例、课程实验，从而让学生能够在了解、理解甚至参与学科相关问题的提出、发展的研究过程中学习离散数学理论，最终在强化理论学习的基础上，调动学生学习的积极性、参与性、创造性。教学实践表明，所提出的研究内容与方法对提高学生理论学习以及就业竞争力具有较好的效果。本研究的后续工作主要是在进一步实践中总结提高，特别是进一步完善“本原性学科问题”模式与具体教学过程设计。
作者：薛思清 单位：中国地质大学计算机学院
