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摘要:“常微分方程”是高校数学学科的专业基础课程之一。该文以南昌大学“常微分方程”课程的教学实践为例,探讨在教学中如何融入数学史、数学家故事、数学思想方法和数学模型等数学文化元素，以培养学生的学习兴趣、创造性思维和应用实践能力等各方面数学素养。
关键词:数学文化；常微分方程；数学素养
“常微分方程”是本科数学专业的基础课程，它是“数学分析”“高等代数”“解析几何”等基础课程的理论延续，也是学习“泛函分析”“拓扑学”“微分方程定性理论”“稳定性理论”“数学物理方程”和“偏微分方程”等主干课程的必要基础[1]。南昌大学数学系面向数学与应用数学专业本科二年级学生开设了“常微分方程”课程，总共授课16周次，共64学时、4学分，使用的教材是王高雄等主编的《常微分方程》第三版。通过学习这门课程，学生能够掌握构建常微分方程数学模型的思想方法，培养学生运用数学理论解决实际问题的能力。李大潜先生指出：“数学的课堂教学，特别是主干数学课程的数学教学，在讲授数学知识的同时，将有关数学的重要发现与发明摆到当时的历史环境中来分析，并结合现今的发展及应用，揭示它们在数学文化层面上的意义及作用，因势利导，顺水推舟，达到画龙点睛的效果，使学生在润物细无声之情境中得到深刻的启示。”[2]关于数学文化的内涵，首届国家教学名师顾沛教授提出：“狭义的数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义的数学文化是指除上述内涵以外，还包含数学史、数学家、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系。”[3]近年来，“常微分方程”的教学实践融入了一些数学文化元素，使学生的数学素养得到了较好的提升。
1引入数学史和数学家故事，激发学生的学习兴趣
吴文俊先生指出：“如果将数学的历史发展、一个领域的发生和发展、一个理论的兴旺和衰落、一个概念的来龙去脉、一种重要思想的产生和影响等许多历史因素都弄清楚了，对数学也会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚深刻，还能对数学的未来发展起到指导作用，知道数学究竟应该朝怎样的方向发展才能产生最大的效益。”[4]
1.1常微分方程的发展历史。17世纪，牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）创立了微积分学，之后出现了常微分方程理论。常微分方程的发展伴随着解的存在性（Existence）、唯一性（Uniqueness）和稳定性（Stability）三大核心问题，大致经历了5个时期：（1）发展初期以求通解为主要研究目标。比如莱布尼茨利用分离变量法研究一阶微分方程的求解问题，伯努利（Bernoulli）数学文化融入“常微分方程”教学的探索与实践朱能尹建东（南昌大学数学系江西·南昌330031）方程被提出和求解，欧拉（Euler）利用积分因子法将一阶线性微分方程转化为恰当微分方程求解，拉格朗日（La-grange）利用常数变易法求解非齐次线性微分方程，克莱罗（Clairaut）研究奇解问题等等。（2）定解理论研究时期。比如刘维尔（Liouville）证明了里卡蒂（Riccati）方程不存在一般的初等解，柯西（Cauchy）建立了初值问题解的存在唯一性定理，利普希茨（Lipschitz）条件的提出以及皮卡（Pi-card）逐步逼近法的应用等等。（3）解析理论研究时期。主要通过定义一些特殊函数求解特殊方程,比如贝塞尔（Bessel）方程、勒让德（Legendre）方程和高斯（Gauss）几何方程等。（4）定性理论研究时期。这个时期主要以解的大范围性态为研究内容，这得益于庞加莱（Poincare）创立的定性理论和李雅普诺夫（Lyapunov）创立的运动稳定性理论。（5）到20世纪中后叶，随着计算机技术的迅猛发展，常微分方程进入了求特殊解时期。比如混沌、奇异吸引子和孤立子等一些特殊解的重要发现。
1.2数学家的趣闻轶事。在“常微分方程”教学中，可以适度穿插数学家的奇闻轶事，以较好地激发学生的学习兴趣。如在教学常微分方程绪论时，介绍德国著名数学家莱布尼茨的故事。17世纪末，莱布尼茨在给牛顿的信中首次提出“微分方程”这个数学名词，并且最早使用分离变量法求解微分方程。莱布尼茨的研究领域非常广泛，他与同时代的牛顿在不同国家各自创建了微积分学，发明了沿用至今的微积分符号，开创了数理逻辑，提出了二进位制，被后人尊称为“符号大师”。在教学伯努利方程求解时，介绍伯努利家族成员的故事。17～18世纪的伯努利家族是一个数学家辈出的家族，共出现了10余位数学家，其中雅各布（Jakob）、约翰（Johann）和丹尼尔（Daniel）是伯努利家族在微分方程领域贡献最卓著的三位数学家。著名的伯努利方程是由雅各布提出的，他在概率论、微分方程、无穷级数求和、变分法和解析几何等领域都有突出贡献，比如著名的伯努利大数定律，就是以雅各布的名字命名的。在教学恰当微分方程和积分因子时，介绍数学家欧拉的故事。欧拉是18世纪数学界的中心人物，被同时代数学家尊称为“大家的老师”。欧拉的研究领域极其广泛，在许多学科领域都能见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。由于在研究天文学时长期观测太阳，欧拉的双眼先后失明。在失明的十余年间，凭借非凡的毅力、惊人的记忆力和心算能力，他完成了生平近一半的著作，且行文流畅，被誉为“数学界的莎士比亚”。在教学非齐次线性微分方程求解时，介绍了数学家拉格朗日的故事。拉格朗日在数学、力学和天文学中都有极其卓越的贡献，他促进了数学分析及变分法的发展，为分析力学和天体力学发展奠定了理论基础，被拿破仑称赞为“一座高耸在数学世界的金字塔”。在教学柯西问题解的存在唯一性定理时，介绍数学家柯西的故事。19世纪初，柯西在微积分中引进了极限概念，为微积分的理论基础做出了巨大贡献。柯西是一位多产的数学家，年轻时投稿论文一度造成“巴黎纸贵”现象。这些数学家的奇闻轶事能够使学生得到启发，有利于培养学生持之以恒和勇于创新的学习精神。
2剖析数学思想，培养创新思维
剖析“常微分方程”课程的数学思想方法，使学生能够较好地掌握常微分方程的理论方法和发展规律，逐步形成创新思维并提高创新能力。
2.1化归思想。化归思想指将复杂难解或生疏未知的问题，通过某种转化过程归结为简单或熟悉已知的问题，从而使原问题得以解决的一种思想方法。化归思想是常微分方程的重要思想方法，主要使用在一阶或高阶微分方程的求通解和求解初值问题[1]。一阶微分方程求通解问题体现的化归思想：可化为变量分离方程的类型，根据方程系数分类讨论，通过适当的变量变换转化为齐次微分方程，进一步经变量变换后转化为变量分离方程求通解。伯努利微分方程通过变量变换转化为线性微分方程求通解，而线性微分方程可以利用常数变易法及通过变量变换转化为变量分离方程，也可以通过积分因子转化为恰当微分方程。一阶隐式微分方程须引进参数变量，将原方程转化为导数已解出的方程类型，结合原方程的参数形式得到原方程的参数形式通解。高阶微分方程求通解问题通常采用这几种方法：求常系数齐次线性微分方程基本解组的欧拉待定指数函数法（又称为特征根法)、求常系数非齐次线性微分方程特解的比较系数法和拉普拉斯（Laplace）变换法、求一般非齐次线性微分方程特解的常数变易法、求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。一阶微分方程求解初值问题体现的化归思想：利用皮卡逐步逼近法证明解的存在唯一性定理，将求微分方程初值问题的解转化为求积分方程的连续解，进一步证明积分方程的解的存在唯一性。对于高阶微分方程求解初值问题，其主要思想是通过变量变换将求高阶线性微分方程的初值问题的解转化为求一阶线性微分方程组的初值问题的解。
2.2逐步逼近思想。一阶微分方程初值问题的解的存在唯一性定理是常微分方程理论中最基本的定理，其证明的核心思想是皮卡逐步逼近思想方法。具体分为五个步骤：第一步，证明一阶微分方程初值问题y'=f(x,y),y(x0)=y0在区间[x0-h,x0+h]上的解等阶于积分方程y=y0+xx0乙f(x,y)dx在同区间上的连续解；第二步，构造皮卡逐步逼近函数序列{φn(x)}:φ(x)=y0,φ(x)=y0+xx0乙f(ξ,φn-1(ξ))dξ(n=1,2,…)，并证明此函数序列在定义区间上有定义、连续且满足|φn(x)-y0|≤b；第三步，证明构造的函数序列在定义区间上一致收敛；第四步，证明limn→∞φn(x)=φ(x)是积分方程的连续解；第五步，利用利普希茨条件证明解的唯一性。在教学中，增加介绍了用压缩映像原理证明解的存在性，以及借助Gronwall不等式证明解的唯一性，促进了学生创新思维能力的提升。
3构建数学模型，提高应用实践能力
列宁指出：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似’中。”常微分方程在物理学、力学、生物学、化学、天文气象学、生理医学和电子工程学等领域都具有重要应用，是数学理论解决实际问题的有力工具。例如海王星的发现、放射性物质的处理、电磁波的传播、天气变化的预测等，都应用了常微分方程[5]。
3.1传染病模型。对于突然暴发的各种难以控制的传染病，为分析受感染人数的变化趋势，预测传染病传播的高峰时间，防止传染病的蔓延，须建立适当的数学模型。本文就一般的传染病规律讨论传染病的数学模型。传染病最基础的SI模型的建立基于三个基本假设：（1）传染病传播期间其地区不考虑人口的出生、死亡和流动，总人数不变；（2）将人群分成易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，也称健康者和病人，在时刻t的健康人数为S(t)和染病人数为I(t)则有S(t)+I(t)=N；（3）开始染病人数为I0且一个人染病后经久不愈也不会死亡，单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例常数为k，也称为传染系数。根据以上假设可建立微分方程模型：I'(t)=kI(t)[N-I(t)],I(0)=I0。解得I(t)=NI0[I0+(N-I0)e-kNt]-1。当t→∞时，有I(t)→N表明最后每个人都被染病，这与实际情况不符。在现实生活中，已感染者经过隔离或经治愈产生免疫或死亡后，都不会将疾病传给易感染者，因此，SI模型不太符合预测生活中传染病的传播规律。须考虑更多的实际因素，适当修正SI模型，得出更加复杂的SIS、SIR、SIRS、SEIR、SEIRS等模型，从而更加准确地预测传染病的传播规律和发展趋势，为预防和控制传染病传播提供理论基础和数据支撑。
3.2人口模型。18世纪末，英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在调查英国100多年的人口统计资料时，假设人口增长率r是常数，建立了著名的人口增长模型：P'(t)=rP(t),P(t0)=P0。其中P(t)表示时刻t的人口数量，P0是初始时刻t0的人口数量。解得P(t)=P0er(t-t0)。当r>0时，可知人口数量按指数规律无限增长。但从长期看来，这与实际情况不吻合。由于自然资源和环境条件的限制，人口增长会减缓。19世纪，荷兰生物学家Verhulst引入常数Pm表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数，假设净相对增长率为r[1-P(t)/Pm]，即净相对增长率随P(t)的增加而减小，直至P(t)趋于Pm时净增长率趋于零，从而提出了著名的人口阻滞增长模型（也称Logistic模型）：P'(t)=rP(t)[1-(P(t)/Pm)],P(t0)=P0，其解为P(t)=(P0Pm)/[P0+(Pm-P0)e-r(t-t0)]，该解函数的图像呈S型曲线，可见人口增长的速度是先快后慢，随着时间趋于无穷时，P(t)趋于Pm此模型所描述的人口变化趋势与实际人口比较吻合。Logistic模型在解决其他实际问题时也有着广泛应用，比如传染病传播的控制、新产品的销售和技术革新的推广等。通过对经典数学模型的分析，引导学生认识与理解数学模型的构建，让学生探究严谨的数学问题，同时让他们学会利用常微分方程数学建模思想解决日常生活中遇到的实际问题。这样既提高了学生的数学理论水平，又提高了学生的应用实践能力。
4结语
南昌大学将数学史、数学家故事、数学思想方法和数学模型等数学文化元素融入“常微分方程”课程教学，较好地提升了学生的数学素养。在今后的教学中,应继续探索将数学文化融入其他数学专业课程教学，促使学生的综合素养得到全面提高。
作者:朱能 尹建东 单位:南昌大学数学系
