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摘要：大学数学基础课程三位一体教学范式以建构主义的意义协商、抛锚教学、算法图式和随机进入等四个核心理论为基础。教学范式中，真实的问题情境，激发学生学习的兴趣；精心的教学设计，符合学习心理的规律；丰富的教学形式，提供有效的技术支持；多维的教学目标，提高学生的综合素质。经过十年教学改革研究和实践检验，该教学范式取得明显成效。
关键词：意义协商；抛锚教学；算法图式；随机进入；多媒体；微课程
瑞士的皮亚杰最早提出建构主义，而且施万克、弗罗登塔尔明确表示：建构主义理论与数学教育理论是相通的，建构主义对数学教学改革有着重要的影响。我们教学团队针对传统教学中存在的“重教轻学”以及重外部刺激轻内部心理过程和主观能动性的缺点，以建构主义中的意义协商、抛锚教学、算法图式和随机进入等四个核心理论为基础，进行了教学改革实践、省级教改课题研究和理论探索，创造了以学生为主体并具有意义建构的学习环境，建立了大学数学基础课程三位一体教学范式，该教学成果的基本结构如图1所示：①第一位：也是主体结构，改革传统教材，开发了《微积分》《线性代数》和《高等数学习题课教程》教材［1，2，3］，以此为基础进行课堂教学改革；②第二位：基于计算机技术的多媒体课件；③第三位：基于网络技术的微课程精品资源，在爱课程（中国大学MOOC）上线［4］。
一、主要特点和优势
建构性学习需要精选学习素材，建构主义理应取代工具主义、理性主义而成为主导课程资源建设的理念。我们进行教材改革，将其作为主要载体，并以计算机技术和网络技术为“双翼”，三位一体，成为教学范式的动力系统和技术支持。
（一）简易通俗实用
在基础知识和基本理论的呈现过程中，注意采用启发式方法，尽量把数学知识的传授处理成一个“发现”的过程。譬如，对于重要概念和理论的引入，尽可能从实际问题入手，阐述其产生的背景及其典型应用。对于重要定理的导出或证明，尽量采用“诱导发现”或“归纳、类比发现”的过程。对于重要的数学思想方法，则尽量抓住经典的数学问题，引导学生经历从发现问题、提出问题到最终应用数学思想方法研究、解决问题的全过程。教材中图表丰富，在数学知识的阐述过程中，注重从直观的几何意义或实际背景引入和解释概念和定理，深入浅出，在保持概念理论叙述严谨性的基础上，力求形象直观、通俗易懂。数学哲学观和系统论渗入到教学范式中。不管是横向上，还是纵向上看各章内的各知识点之间，既有联系，又有区别，构成一个有机的整体。一方面，许多理论、方法和性质会一脉相承地“移植”或“遗传”，但另一方面，有时存在着重要的“变异”，使得学习更有效率、更有效果。
（二）融入现代技术
数学软件不仅可以构造实物，还可以构造虚拟的模型，帮助我们提高对有关问题的感性认识，加深对概念及方法的理解，可以帮助学生寻找特定信息、完成认知操作、寻找某种设想等。与教材配套的微课程资源中就有相关的数学软件程序，并且在多媒体课件中有演示，它们不仅可以用于课堂，增强教学效果；也可以用于自学，拓展教学空间。笔者重视每个知识点的教学设计，在多媒体课件和微课程资源中，许多数学知识的呈现方式与教材中的呈现方式不同，都是先由数学软件画精确图，或用简单的例子做引入，大胆猜想，再细心验证，同时帮助学生理解，这更贴近数学知识发生、发展的历史进程，简洁、清晰又高效地建构起认知结构。
（三）以方法论为指导
多媒体辅助教学的实验研究表明许多概念依靠多媒体的直观演示来引入，使学生兴趣盎然。但在高等数学教学过程中如果过分依赖直观形象，缺乏必要的抽象思维训练的话，学生在后续学习时会倍感吃力，因此要注重把握好多媒体辅助教学的“分寸”，在高等数学教学中既借助多媒体演示概念的形成过程，又做方法论剖析，将外部操作内化为思维建构。例如在引入定积分概念时，用多媒体动态演示曲边梯形面积和物理问题，强调“以常代变、近似求和、精确求值”等基本知识技能，强调“以常量认识变量、从量变认识质变”等基本思想方法，是唯物辩证法的对立统一规律在高等数学中的应用。这样以方法论指导制作多媒体课件，可以起到画龙点睛的效果。利用多媒体课件将高等数学概念中的运动变化趋势形象地显现出来，方法论层面的指导也使得学生准确地把握概念的本质及核心，有利于产生正迁移。
二、实施原则和关键
中国数学教育一直以来重视双基（基本知识和基本技能），笔者提出的教学范式与时俱进地认识双基，认为高等数学教学应继承发扬这种传统。与此同时，随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，高等数学课程建设和教学中应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵。例如，为了适应信息时展的需要，高等数学应引入算法，把最基本的数据处理等作为新的数学基础知识和基本技能；应淡化形式，注重实质，删减繁琐的计算、人为的技巧难题和过度的细枝末节，发展学生的数学应用意识，这些做法彰显了数学能力的本质，对于培养学生的数学能力具有很好的作用。另外，该教学范式还重视基本数学思想方法的形成过程，使得基本数学思想方法与基本数学知识和基本数学技能一起构建起三维的数学基础构件，再将基本数学活动经验变成这三维构件的粘合剂。事实上，高等数学教学中随处可见数学活动，学生在其中获得的基本数学活动经验，与数学基本知识、基本技能、基本思想方法融合在一起，形成稳固的高等数学认知结构系统。
（一）基于“意义协商”，主动建构
建构主义学习理论认为学习是获取知识的过程，学生在一定的情境下，借助教师以及学习伙伴的协作和会话，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得知识。其中“意义建构”是全部学习过程的终极目标，所要建构的意义是指事物的性质、规律以及事物之间的内在本质联系。在学习过程中帮助学生建构意义，就是要帮助学生深刻理解当前学习内容所反映的事物性质、规律以及事物之间的联系。笔者所遵循的核心理念是：学习者与周围环境的信息交流，对知识的理解（即对知识意义的建构）起着关键性的作用。学生在教师的组织和向导下进行讨论和交流，建构起学习共同体，在共同体中，批判地考察各种理论、观点和假说，进行协商和辩论，从而有效地完成对知识的意义建构。教学范式中的多媒体课件和微课程资源并不是教材的简单重复，常以反例、错例及一题多解的形式呈现，这是加深理解数学知识的极好素材，可以将它们作为补充资源，放在微课程的教学反思、反馈评价模块中。例如，学生总能发现，有些题目的错误解法虽然“失败”了，但坚持下去，进行反思，吸取其中的合理因素，最终却能解决问题，甚至引出重要的数学知识和方法。这不仅是一种好的学习方法，而且从数学历史来看，这也与数学知识螺旋式上升、不断发展的进程相一致。又如，将批改作业时发现某学生的错误、不规范的书写格式等，用手机拍摄下来，以图片和微视频的方式上传到网络平台上，组织即时讨论，不仅该学生印象深刻，而且其他学生也受益，教师也能及时发现教学中的薄弱环节。
（二）基于“抛锚教学”，创设情境
建构主义教学理论特别强调设计生态性的学习环境，笔者所设计的新型学习环境的核心特征是：学生通过小组协作活动来解决帖近于现实生活情境的问题。在此过程中，教学双方潜心搜索有效信息，交流数据资料，精心设计多媒体等形式的知识媒体，共同建构和分享知识。教师承担着组织者、教练或顾问的角色，他们也常常通过小组形式协作进行教学工作。这种新型学习环境主要以现代信息技术为平台建构而成，为学习者提供学习管理、互动交流和信息加工处理工具；为学习者提供了自由探索和自主学习的空间，在此空间中学生可以利用各种工具和资源（如纸质资料、多媒体音像资料以及Internet上的数据信息等）来达到自己的学习目标。这些媒体和资料不止是用于辅助教师的讲授，更关注支持学生的协作式学习和主动探索。下面以微分中值定理为例，说明其具体环节。该课例的关键就是创设情境，使学习能在和现实情况基本一致或相类似的情境中发生。简短的引入后，用PPT呈现庐山云雾图片：绵延山脉中，云海在上升和下降，如诗如画。引导学生用数学的眼光欣赏自然美景，用连续曲线段勾勒出山脉的轮廓，用水平线的水平移动模拟云海的运动。在上述情境下，设计与当前学习主题密切相关的有感染力的真实性事件或问题作为学习的中心内容。这些事件或问题就是“锚”，这一环节被形象地比喻为“抛锚”。整体上看图2，这些点为最大值或最小值点。再看这些点的局部，例如不妨考虑最大值点，用动画重复直线的平行移动，发现：水平线在向上移动的过程中，它与曲线的交点和目标点的连线的斜率在左边为非负，右边为非正，最终的趋势是斜率为零。数学家费马（Fermat）将该过程用精确的数学语言刻画出来，得到Fermat引理及其证明。再回看整体图，Rolle定理的条件保证最值点存在，由此得到启发，用Fermat引理证明Rolle定理，板书证明过程。引导学生回忆原来所学的知识：用参数方程表示曲线在相关科学研究和应用中有重要意义，指出数学家柯西（Cauchy）在这方面继续做工作，得出了Cauchy中值定理。考虑到这是非数学专业类课程，教师只是引导学生猜想：它的证明方法也是通过构造辅助函数解决的，鼓励同学们课后进行讨论完成证明。教学接近尾声时，保留在黑板上的板书和多媒体课件相互衬映，呈现出如下框架和内容（其中箭头线用彩色粉笔突出显示）：图4微分中值定理之间的关系在教学结束时提出如下问题：问题6数学工作者一直在研究微分中值定理。正如回想中学时椭圆、双曲线和抛物线可以统一定义为圆锥曲线一样，我们是否也可以将各种形式的微分中值定理加以统一呢？由于有多媒体动画所带来的直观感受，同学发现几个中值定理的图形中蕴涵着一种共性，即在直线AB移动过程中两交点与目标点所构成的三角形面积值逐渐缩小为零，得到结论：可用《线性代数》中的行列式表示三角形面积。再简单介绍几位数学教师的成果，制作微课程资源作为课堂教学的延伸和拓展，并鼓励同学们进一步探究。数学教育实验研究表明，个体在环境中总是依据自己特有的经验定向进行认知活动，有的人偏爱静态的特征性认知思维方式，有的人偏爱动态的功能性认知思维方式，教师应会识别和尊重学生的思维，引导学生朝合适的方向建构知识。高等数学的产生不是偶然的，每一个知识点都有着真实的背景，是人类在长期生产实践和科学活动中发展的成果。教师应从具体实例出发创设情境，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。上述课例精心进行教学设计，引导学生对微分中值定理知识进行了“组织”，让学生掌握了中值定理等重点知识，也更好地理解了极限的局部保号性等难点知识，提高了学生的概括能力和运用数学知识分析和解决问题的能力。
（三）基于“算法图式”，同化顺应
目前有些高等数学课程、教材和教法忽视了学生思维发展的特点，采用单一的表征方式呈现数学知识，难以激励学生主动使用自己最佳的认知工具。同化与顺应是学生与学习环境相互作用的两个基本过程。同化是认知结构数量的扩充（图式扩充），而顺应是认知结构性质的改变（图式改变）。通过同化与顺应，在“平衡———不平衡———新平衡”的循环中，学生的认知结构逐步建构起来并得到丰富、提高和发展。笔者以算法为载体，针对不同认知思维方式，提供多样化的图式表征，如静态的表格式和动态的流程图式，让学生选用适合自己思维方式的外在表征形式，使其建构的认知结构取向与外在问题表征形式产生共鸣，达到最佳学习境界。经过教学研究，笔者发现大学数学基础课程内容极易程序化和算法化，因此对教材内容进行研究和加工，将计算机程序设计和算法思想引入教学设计中，得到流程图，重新组织教学顺序，将相关算法流程图或板书或用PPT演示或上传至网络教学空间，有效地解决了困扰着教师的教学难题。我们为知识点设计知识谱系，构造紧密的知识网络，在多媒体课件、微课程中，通过设计模块、按钮等功能生动地呈现出来。例如，六类多元函数积分关系如图5所示，它们有机结合，构成一个系统，也宛如六位成员构成了一个家族，以定积分思想方法为其核心和“血脉”，可以通过它们的定义、计算公式及相互之间的关系定理的推导过程理解这一点。其中“五角星”部分的粗线所表示的是在高等数学学习和工程技术中有着重要理论和应用价值的几种重要关系，即：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及曲线（面）积分的计算。
（四）基于“随机进入”，设计碎片
由于事物的复杂性和问题的多面性，教师很难真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构，往往从不同的角度可以产生不同的理解。针对此弊端，在教学中笔者引导学习者随意通过不同途径和不同方式进入同一内容，从而达到对同一事物或问题的全方位的认识与理解，这就是“随机进入教学”。这种多次进入，绝不是像传统教学中那样，只是一般的知识、技能的简单重复和巩固，这里的每次进入都有不同的目的和不同的侧重点，因此多次进入的结果是使学习者获得对事物全貌的理解与认识上质的飞跃。如前所述，建构主义者提出在设计教学进程时教学活动不必非要按严格的直线型层级进行，学生可以非线性地从知识结构网络的任何部分进入或开始。微课程为此提供了一种碎片化、移动化的学习新体验，能更好地满足学生对大学数学基础课程知识点的个性化、按需选择学习，既可查缺补漏又能强化巩固知识，是传统课堂教学的一种重要补充和拓展。例如泰勒公式这一知识点，它是从拉格朗日中值公式中发现规律而推广得到的，如果将其进一步推广得到泰勒级数，再认识其适用范围的局限性从而引出傅立叶级数，知识点跨度大，其本质联系很难在教材中充分体现出来。因此，笔者将这些知识点碎片化，制作多媒体课件和微课程资源，作为辅助资源让学生自主强化学习。要处理好微课程与传统课程的辩证关系。微课程是课堂教学的改编，微课程还要像微电影一样，体现微的特性。教材是整个数学史的浓缩，并且受篇幅、严谨性等影响，教材中往往难以体现定义和定理等的背景、意义及其思想方法，无法回归数学知识的发生、发展过程。而这可以通过微课程来实现，在微课程中，我们可以通过猜想、合情推理，阐明数学理论中的深刻思想方法，可以在不失严谨的前提下，用通俗直观的语言处理教材内容。更为重要的是还可以将优质微课程资源共享，像看电影那样，回放观看，反复强化，达到传统课堂教学难以达到的效果。例如用多媒体动画演示极限过程、无穷小的比较、幂级数和傅立叶级数的逼近以及概率论与数理统计中的蒲丰投针实验等，在此基础上制作微视频，能起到良好的教学效果。
三、教学启示与展望
教学范式中，真实的问题情境，激发学生学习的兴趣；精心的教学设计，符合学习心理的规律；丰富的教学形式，提供有效的技术支持；多维的教学目标，提高学生的综合素质。教学范式有利于学生掌握陈述性知识、作为程序性知识的智慧技能和作为特殊程序性知识的认知策略，增强学生解决问题的意识和能力，促进他们掌握结构化、图式的知识以及熟练的技能和灵活的解题策略。与此同时也注重在以下方面体现情感、态度与价值观的培养与发展：引导学生体验数学与生活的联系，使学生对数学产生一种亲和力，缩短与数学的心理距离，从而激发主动学习的愿望和动机，有了学生情感的积极参与和教师的及时鼓励，教学自然生动有趣。在学习中，学生会感受到自己的思维过程与科学家的探索过程产生共鸣，对科学家的探索、创新精神和努力更加感兴趣。另外，在教学中注重从数学美和艺术美的角度设计教学过程、设计黑板板书以及制作课件等，能更好地展现数学知识的“旋律”和“意境”。思想政治工作融入高等数学课程教学中，教学范式将重视培养学生运动与静止、普遍联系、螺旋式发展等唯物辩证观，通过协商、平等来培养社会主义核心价值观，通过最简单的实例和反例，大胆猜想、小心求证，让学生明白“不忘初心、方得始终”，也培养学生的自信和批判思维，这极有利于培养创新和实践能力。新课程标准指出：“教师应当向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、技能和思想方法，获得广泛的数学活动的经验。”在大学数学教学中贯彻新课程理念是一个新的研究领域，值得我们进一步研究。
作者:曾广洪 桂国祥 阮小军 单位:江西师范大学数学与信息科学学院 南昌大学理学院