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摘要：
高等数学是高等学校许多专业的一门重要的核心基础课。根据高等数学课程的特点，在教学中采取过程启发式教学方法，使学生参与到浓缩了的课程基本概念的创立过程中，改变学生被动学习的教学模式，激发学生的学习兴趣，对培养学生的创造性思维能力，提高学生的数学学习能力，掌握应用高等数学的知识解决实际问题的能力都有着积极的意义。
关键词：
高等数学；数学思维方式；过程启发式教学法
人类社会取得的任何科学成果，建立的任何学科，都离不开思维活动。高等数学的创立和发展，完美地体现了数学思维方式的重要作用。学习高等数学，必须学好数学思维方式。北京大学丘维声教授在《数学的思维方式与创新》一书中指出，数学史上每个定理的发现，公式的建立，理论的形成无不经历数学思维方式的五个重要环节，即：观察--抽象--探索--猜测--论证。也就是在现实生活中观察到具有普遍性的相关现象或问题，通过研究，揭示出问题的共同规律，把其中共性的东西抽象出来，形成初步的数学概念或规律，再经过针对这些概念和规律的探索，结合大胆而合理的猜测，给出结论（定理）。当然要建立起一个完整的理论体系，还必须对这个结论（定理）加以严格的理论证明。我们现在使用的教科书，在编排时，有严谨的逻辑结构要求，有篇幅限制，有课时约束，因而无法还原上述完美的数学思维过程，而是把这样的思维过程逆倒过来。一般而言，教科书的编排遵循的是这样的顺序：概念—定理—公式—例题—练习。如果教师按照这样的程序组织教学，教师费力地教，学生只能被动地学。还常会出现这样的场景：当教师提出一个抽象的数学概念时，学生不知出处，感觉茫然，不知怎么会有这个概念；当教师再给出一个针对性的定理，学生更加感觉突然，不知有何用处；当教师对定理进行严格的证明，虽然证明过程严谨无误，对于数学基础好的学生，尽管可以理解，但会感觉知其然而不知其所以然；对数学基础不够好的学生，就会感到枯燥无趣，难于理解和接受，学习效果一定不好。学好高等数学不仅是学习数学课程的需要，还会直接影响倒后续专业课程的学习，甚至影响到学生今后的发展。近些年，有许多高等学校的数学教师，尝试在高等数学的教学中使用过程启发式教学法，在课堂上追溯高等数学的历史，甚至要追溯到它的根，体察它的演变，引导学生亲历这个过程。作者经过多年的探索实践，深感这种教学方法改变了传统的教学模式，它强调学生对高等数学基本概念的建立过程的参与，调动了学生的学习积极性和主动性，对学生学好这门举足轻重的课程起到了重要作用。
一、过程启发式教学法的含义
过程启发式教学法并非指某一种具体教学方法，而是一种教学思想、教学理念。是将教师的主导作用和学生学习的主动性统一起来。在整个教学过程中，教师针对某个知识点，或者某一章节，或者整个学科的内容，精心准备，合理安排，精巧设计。课堂上首先通过引导、设疑和启迪，激发学生的学习兴趣和求知欲,还原这些知识点最早的观察点，鼓励学生积极主动思维,引导学生大胆合理探求，抽象出课堂教学的概念内容；其次，适时地归纳、总结和完整地展示课程的逻辑结构，使学生学会学习方法，全面掌握相关的知识；最后组织学生温课，让学生自己发现学科创始人伟大的思维过程，学习经典，体验辉煌，同时还可发现整个探索过程中自己表现出来的特长以及暴露出来的问题。学生的学习过程就是浓缩了的学科创立过程，强调了学生的过程参与，锻炼了学生的数学思维能力。过程启发式教学法是一种既能使学生更好的理解掌握相关知识，又能发展学生本身智能的教学方法。
二、过程启发式教学法的探索
（一）精心设疑，引起学生兴趣，引发学生思考
设疑是过程启发式教学的首要环节，也是整个教学过程成功与否的关键。合理的疑问能够引起学生的兴趣，因为兴趣是最好的老师。在兴趣的驱使下，学生能够兴奋起来，没有顾虑，没有畏难情绪，积极想办法利用已知的知识尝试解决老师的问题。即使解决不了（高等数学课堂上几乎所有的设疑，都是学生用已知的知识解决不了的问题，因为那是新知识的引例）,在这个过程中，学生复习了以前的知识，了解到那些知识的应用范围和局限性。而老师在这个过程中充当“益友”的角色。鼓励学生各抒己见，大胆参与，必要时指出学生的问题，使探索思维在合理的范围内。例如，在引入高等数学的定积分概念时，还原了微积分的创始人牛顿、莱布尼茨的问题设疑，其一，几何问题。计算直角曲边梯形的面积，学生可能把已知的直边图形的面积公式、圆的面积公式尝试了很多，教师只需提醒面积公式正确，但不能解决任意曲边图形的面积问题。其二，运动学问题，计算变速直线运动的路程，学生会用匀速直线运动、匀变速直线运动的路程计算方法进行尝试，教师要提醒的是，这里的运动方式是变速（不一定是匀变速）直线运动。
（二）启迪思维，揭示思维过程，指出学习方法
高等数学的教学，不仅仅是要教会学生相关的数学知识，更重要的是要启迪学生思维，提高学习能力，使学生学会学习。所谓授人以鱼，不如授之以渔，授人以鱼只救一时之及，授人以渔则可解一生之需。高等数学的经典理论，具有完美的逻辑结构、创造性的思维方式和精巧的运算方法。教师这时候担当的角色是“益友+良师”。教师依据教学内容和学生的实际反应情况，灵活运用有针对性的启发形式，启发学生思维，引导学生去分析问题并能在一定程度上解决问题。穿插介绍数学发展史上的精彩片段，介绍创始人的思维过程，使学生了解数学知识的起源，学会良好的学习方法。发现数学之美，知识之美，学会学习，爱上学习。例如，在介绍二元函数的连续性与偏导数存在性的关系时，教师可引导学生联系二元函数的几何背景进行思考：二元函数在某一点连续，是要求在该点及该点的某一邻域内要有定义，而且极限值与该点的函数值相等（二元函数的极限包括各个方向的极限，又不仅仅是各方向的极限）。几何意义上的连续，好比一个曲面在某一点及某个邻域内没有破洞；而二元函数在某一点的偏导数存在，要求该点沿着两个坐标轴方向的导数存在，即沿着两个坐标轴方向的增量比的极限存在。几何上，相当于一个曲面在某点沿某两个互相垂直的方向光滑无间断。这样学生很容易得出正确的结论，即：二元函数在某一点连续不一定有偏导数，反之，在某一点有偏导数也不一定连续。通过这样学习，学生不仅掌握了这两个重要的概念，也掌握了数形结合的学习方法。
（三）归纳总结，提高学习能力，完成课程内容
采用过程启发式教学方法，学生经过一个特定的思维过程，切身感受到所谓抽象的数学概念，其实是人类智慧的结晶，来源于现实中很朴素的问题（高等数学所涉及到的大多数是这样）。此阶段的教师要担当起“良师”的角色，梳理清楚大家通过观察、猜想、探讨得到的普遍性或共性东西，进而总结出高等数学层面的概念、定理或者公式。构成课堂教学的知识脉络结构（如果有可能,也可以由学生来完成）,建立起完整的知识体系。最后，在解决了最初设疑的基础上,展开更广泛的数学应用.给学生更多的知识联想，思考其延伸的作用。例如物理学上的求变速直线运动速度，几何上求光滑曲线的切线斜率，诸如此类的问题，都可以归结为求增量比的极限计算问题，抽象出来，就形成了一个崭新的数学概念-———导数。这时候，学生很容易理解，导数就是这样建立起来的。曲线的切线斜率是导数的几何意义、几何应用；直线运动的速度是导数的物理意义、物理应用。
三、过程启发式教学的收获
高等数学具有高度的抽象性，严谨的逻辑性和广泛的应用性。学习高等数学不仅仅是学习数学知识，还应该努力培养学生的创造性思维能力，运用数学的能力。大卫.吕埃勒认为，“对那些想要理解事物本性的人来说，数学至今仍然是一个重要的准备。”过程启发式教学活动使学生能够在教师的引导下，主动参与到一个严密完整的数学理论的形成过程，很好地体验了数学的思维方式在创新中的重要作用的,使学生领略数学创新的风采,受到数学思维方式与创新的熏陶和训练,提升了自己的创造性思维能力，提高了数学素质。而这种素质的提高，有利于学生再接受一个新的数学理论时（可能学习更多的数学分支），由于创造性思维能力将起到直接或潜移默化的作用，就能主动地探索这一新知识的来龙去脉和应用价值。另一方面，当你面临有待解决的问题时，能主动尝试用数学的立场、观点和方法寻求解决问题的策略，这就是运用数学的能力。对于新生，最初接触过程启发式教学法时，很好奇，有些拘谨，教学进度显得缓慢，但是教学效果好，学生的学习积极性高，对所学的知识理解得深刻，解题思路清晰，能灵活运用所学的知识。逐渐地，学生的思维能力有所提高，探讨的过程比较顺利了，学生在课堂上敢于表明自己的观点，课堂气氛活跃起来，完全可以按照正常的教学进度进行。随着课程的深入进行，这种教学方法的优势愈发明显，面对教师的设疑，学生能够自主地完成接下来的教学过程，教学进度，教学效果有了很大的提高。过程启发式教学法对教师提出了更高的要求。首先，教师对教科书的内容要有全局的把控。还要充分了解各个章节的具体内容，并能把这些内容有机地接合起来，成为有灵魂、有生命活力的生物体。再结合学生的实际情况，包括数学基础，学习习惯，学习能力，性格特点，班级学习风气等等，设计出适合课程内容和学生情况的设疑问题，把握课堂的探讨方向，及时引导，善于总结。既是课堂教学的教师，更是教学活动中的设计师。
作者：何红英 单位：西安市职工大学
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.
[2][法]大卫.吕埃勒.林开亮等译.数学与人类思维[M].上海：上海科学技术出版社，2015.
[3]丘维声.数学的思维方式与创新[M].北京：北京大学出版社，2011
