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一、微积分发明的历史
人类在历史长河的漫长积累中创造了辉煌的现代文明，任何一次科学的飞跃以及技术的突破，都是历经数代乃至数十代人的共同努力而成的。诚如微积分的发明者之一牛顿所言“：如果说我看得比别人更远一些，那是因为我站在了巨人的肩膀上。”早在三国时期（公元263年），数学家刘徽就提出“割圆术”的思想：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”大意就是我们可以用一个与圆内接的正多边形来近似描述一个圆形，在多边形的边数较少的情况下，这种近似的误差较大，不过这种误差在边数不断增加的情况下将会逐渐减少，最终消失。割圆术在分割的过程中用到的是基础的几何与代数，形象而又直观。不过它最重要的价值是在于提出了一种极限的思想萌芽，告诉我们可以通过逼近的手段得到一个任意精确度的结果。极限的概念和物理中的质点运动有着非常密切的关联。一般而言，一个宏观质点在空间中的运动一定是有时间连续性的，也就是说，该质点的位置、速度以及加速度都是随着时间不断地进行着连续过渡，这些物理量在某个时刻的前后并不存在跳跃变化。从极限的角度来理解那就是：若一个时刻与下一个相邻时刻之间的间隔可以被无限小地逼近，那么在这个时间间隔里这些物理量的相应变化也应该是无限微小的。牛顿将这两个无限小量的比值与运动学的定义结合起来，使得无限微分的概念有了一个明确的物理原型。而后，微分的逆过程又和求变速运动、变力做功等问题产生直接对应，牛顿-莱布尼兹公式在解决这些问题上发挥了重要作用。至此，微积分的理论基石被完全奠定，经典力学的结构也由此日趋完整。
二、微积分的思想方法
微积分的思想包含了有限与无限、近似与精确的辩证统一。这种统一在数学上已经得到了严格的证明，因此在物理学特别是经典物理学的范畴内，微积分已成为一种重要工具用于描述并解决各类物理问题。我们以质点运动学中“变力做功”这一经典问题为例，来阐述微积分的思想以及方法。在中学物理中，我们已经对质点运动过程中力的做功有了明确的定义，即力与质点沿着该力方向所发生位移的乘积。根据这一定义，可以直接获得直线运动情况下恒力的做功。可是一旦涉及到更一般的情况，如运动过程中作用于质点上的力不断随着质点所处的空间位置而变化，之前的定义就会遇到困难。此时，运用有限元近似的处理方法将成为一种解决的可能。我们可将质点的运动轨迹分割为有限数量的小段，每一个小段都近似为直线段；另一方面，因为质点经过的每一小段长度都很小，所以在同一个小段内质点的位置改变不明显，所受到的力可以近似看成一个恒力。于是利用之前的做功定义，可以得到质点在任意一个小段内受到的外力做功的近似值，将这些近似值进行累加就获得总功的近似值。值得一提的是，通过这种方法得到的近似值与精确值之间的误差是可以控制到任意小的，只要我们将轨迹分割到足够短、数量足够多即可，这一点与前述“割圆法”是类似的。微积分在思想上的重要突破就是：当这种分割持续到无限，每个小段的长度都任意小的时候，对无限多个微小量的求和数值是收敛的！而且该收敛的数值就是变力做功的精确值。于是，初等数学的求和计算就过渡到了定积分。
众所周知，定积分的计算包含被积函数、积分变量、积分上下限等基本要素，在“变力做功”的例子中，这些基本要素均可以找到一一对应的物理内容。因为力是空间位置的函数，而空间位置的变化则体现在每一段无穷小的位移量上，这二者的点乘积即为做功的微元，这些微元的累积代表总功。质点运动轨迹的终点和起点分别由定积分的上、下限来表示。现在“，变力做功”这个初等代数解决不了的问题已经完全转换成了一个定积分计算。定积分实际上就是无限微分（即求导数）的一个逆过程。一个函数的导数可以按下列步骤来演算：首先假设函数的自变量产生一个有限大小的增量，则函数也随之产生一个相应的变化量，可得变化量与增量的比值，再求得该比值在增量趋近于零时候的极限，就得到了导数函数，之前的函数则称为该导数的原函数。牛顿-莱布尼兹公式告诉我们：对导数函数求定积分等效于求其原函数在上、下限的函数值之差。所以在“变力做功”的问题上，只要能找到力函数的原函数，就意味着存在解析解。
三、从微积分的角度看物理问题
微积分思想方法的应用，极大地拓展了分析各类物理问题的范围。在中学物理中，很多的物理量是通过两个或者多个物理量的乘积来定义的。如位移可表示为速度与时间间隔的乘积，速度可表示为加速度与时间间隔的乘积，做功可表示为力与位移的乘积，电势可表示为电场强度与空间距离的乘积，磁通量可表示为磁感应强度与面积的乘积等等。在这类乘法定义中，均是采用一个恒定量乘以某段时间间隔或空间（可以是一维、二维或三维）间隔。在经典物理的框架内，时间与空间都是连续且均匀变化的，而恒定的物理量并不随着时空的变化而变化。这些显然都是特殊情况，是为了让初次接触物理者尽快建立起相应的物理概念而设定的。一般情况下，我们所讨论的物理量均是以时间和空间为基本变量的函数，类似“变力做功”，这些问题只能通过微积分的方法来进行求解。由微积分的思维方式理解物理问题的关键在于：采用无穷多次的分割，将目标物理量分解为微小的单元量，每一个单元量都与中学物理的定义相互对应，最后对这些单元量进行累积。
实际上，这种计算方法是非常直观明确的，它们均是建立在物理学的基本定义之上。在写出积分表达式后，如果被积的函数是一个恒量，由提取公因子可知这个恒量可以放在积分号的外面，于是中学物理中的各类定义就能得以重现。如果被积函数是一些常见的函数，此时微积分的计算就会显示出它的强大功能。当然，有一些较复杂的函数不容易找到其原函数的解析表达式，这时候可能需要运用到一些积分的运算技巧，如分部积分、换元法等等。即使这些技巧无效，在计算机技术高度发达的今天，这些困难也都可以找到解决方案。“数值定积分”的算法思想就是将函数的积分区间等间距分割为N个点，将这N个点对应的数值代入被积函数将得到N个函数值，这些函数值的总和乘以积分区间上相邻两点的距离就是积分的数值结果。只要让N的数值足够大，最后的结果与精确值之间的误差就会任意小。所以，在大学物理课上讲解微积分，主要是培养学生掌握这种分析问题的思维习惯，不应该让繁杂的数学运算阻碍他们看清问题的本质。
四、总结
总的来说，以形象直观的物理模型为载体，将微积分的思想方法融入各类物理问题的讲解中，有助于学生更快地理解并掌握这一高等数学的方法，同时强化了对经典物理理论体系的认识。采用微积分计算，中学物理的大量公式（除了基本定义）均可推导出来，这将进一步激发学生的学习信心与热情，对学生自我学习能力的培养具有重要的促进作用。
作者：欧聪杰 单位：华侨大学信息科学与工程学院
