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勾股定理证明方法范文1
关键词：高三化学实验；高效复习
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）04-206-01
何谓勾股定理？勾股定理又叫毕氏定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。据考证，人类对这条定理的认识已经超过了4000年。据史料记载，世上有300多个对此定理的证明。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。这是数学中任何定理都无法比拟的。
本文中仅介绍勾股定理的证明方法中最为精彩的两种证明方法，据说分别来源于中国和希腊。
1、中国方法：画两个边长为 的正方形，如图，其中 为直角边， 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 为边，右图剩下以 为边的正方形。 于是得 。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2、希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形。 如图，在 中， ， ， ， 。容易得到， ，作 ，
故 ，所以 ，
即正方形 的面积与矩形 的面积相等。
同理可证得，正方形 的面积与矩形 的面积相等。
所以 ，即 。至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等；⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。
勾股定理证明方法范文2
在现今的课堂教学中，如何培养学生的人本意识、质疑精神和批判精神无疑是教育的最高目标，但囿于现实的教育体制、急功近利的教育观念、桎梏人的教育思想，要实现上述目标无异于缘木求鱼、南辕北辙。“钱学森之问”就是对这种教育现实、教育结果的最直接的反映。教育者只能戴着思想的镣铐在刀刃上跳舞，退而求其次。在课堂教学中培养学生发现问题、提出问题的意识和能力，即对问题意识的培养，是不得已而为之的做法。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上的或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”可见培养受教育者问题意识的重要性。
在具体的数学课堂教学上，可以从下列途径培养学生发现问题、提出问题的意识和能力;当然还可以从其他更多的途径进行训练。
1.从建立概念（或命题）的过程中发现问题、提出问题
在苏科版《数学》（八年级上册）《第3章勾股定理》、《3.1勾股定理证明》的教学中，通过画图，用三个正方形面积来验证了直角三角形斜边、直角边之间的关系，得到了一个正确的命题：勾股定理，而后介绍公元前1000多年前《周髀算经》记载的“勾三股四弦五”的结论。此时可引导学生对勾股定理来思考：对勾股定理可以提出哪些问题？举数例如下：
（1）中国人老早就发现了勾股定理，那么外国人有没有发现勾股定理？如发现了，最早是什么时候、是谁发现的？（这个问题如何解答呢？咨询、查图书资料、网上搜索……）
（2）勾股定理有哪些应用呢？（求边长、计算、证明其他命题、图案设计、列方程……）
（3）如何证明勾股定理？（咨询、查图书资料、网上搜索……几何的、代数的、三角的、面积的、向量的……多种方法）
（4）到目前为止，勾股定理有多少种证明方法？（咨询、查图书资料、网上搜索……）
（5）勾股定理有逆定理吗？如有，如何证明它？
再如，学过勾股定理的逆定理之后，接着就建立勾股数的概念，可以要求学生对勾股数可提出哪些问题呢？举数例如下：
（1）填空：
32+（ ）2=52， （ ）2+62=102，52+（ ）2=132， 52+（ ）2=182，
72+（ ）2=252， 92+（ ）2=412，722+（ ）2=972，902+562= （ ）2。
从32+42=52及上面的练习可知：至少有一组勾股数3、4、5，即勾股数是存在的。那么，勾股数是有限的还是无限的？
（2）能不能建立公式求勾股数？
（3）勾股数与直角三角形是什么关系？
（4）古人是怎样发现勾股数的？
2.从问题中发现问题、提出问题
仍然以勾股数概念的建立为例，给出下列问题：
n是大于1的正整数，下列三个数n2-1、2n、n2+1是不是勾股数？
自然，可以让学生自己去判断这三个自然数是不是勾股数，很快就可以得出结论：这三个自然数是勾股数。于是，就可以引导学生思考、去探究、去提出问题：
（1）设自然数k，这三个数的k倍k（n2-1）、k（2n）、k（n2+1）是不是勾股数？如何判断呢？（这个问题是引导学生思考：由勾股数的定义去判断出，由一组勾股数就可以得到许多组勾股数）
（2）n取不同的值，就得到不同的勾股数，是不是就求出了所有的勾股数？（这个问题是引导学生思考勾股数是有限的还是无限的，怎样用有限去表达无限）
（3）这三个数是怎样得到的？（这个问题是引导学生思考、探求发现这三个数的途径）
3.从命题的证明过程中发现问题、提出问题
问题：如图：AD为ABC的高，∠B=2∠C，
用轴对称图形说明：CD=AB+BD。
给出如下解答：
（1）如图，在CD上取一点E使DE=BD，连结AE;ADBE，
AB=AE，∠B=∠AEB，
而∠AEB=∠C+∠CAE，
所以∠B=∠C+∠CAE;
又∠B=2∠C，
2∠C=∠C+∠CAE，
∠C=∠CAE，AE=EC，
AE +BD=DE+EC，
即AB+BD=DC。
（2）上面的证明有没有错误？有没有不完善的地方？有没有漏洞？如果有的话，在哪里？
勾股定理证明方法范文3
摘要：数学作为一门课程，越来越多的学者开始从文化这一视角来关注数学。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》明确指出：“数学是一种文化”。每一学科都有它的历史，数学也不例外。 数学的过去融合在现在与未来之中，所以一套教材要返璞归真的反映知识的来龙去脉，思想方法的深刻内涵以及科学文化的进步。就必须融入一些数学史料和简略的数学史知识，以便学生开拓视野，启发思维，增加学习兴趣，这也使得在推进新一轮的数学课程改革的过程中，甚是实验教材的数学史的内容和分布选的十分必要，正基于此，本文由于时间有限，就对人教版和北师大版初中数学教材中“勾股定理”一章数学史编排模式进行做一个比较研究，抛砖引玉，以便大家对数学实验教材中的数学史部分有更多的关注和重视。通过的比较发现：两版本教材在数学史的设计上各具特色，都力求通过多种方式出现数学史，北师大版比人教版在此更加注重学生的实践操作能力和交流能力的培养，人教版更关注学生的情感；反思发现两版本教材在数学史融入教学中的弱点：缺乏与信息技术的整合、数学史的运用过于浅显。
关键词：数学史 勾股定理 教材 比较研究
1、引言
数学史的教育价值以为大多数学者所承认，并越来越得到国内外数学教育界的重视。张奠宙先生曾经指出：在数学教育中，特别是中学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》也明确提出，数学是人类文化的重要组成部分，数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中，“教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料”。数学是积累的科学，它的发展并不合逻辑，数学发展的实际情况与我们学校里的教科书很不一致。根据历史发生原理，学生对数学的理解与数学本身的发展有很大的相似性。因此，一套好的教材若要返璞归真地反映知识的来龙去脉、思想方法的深刻、内涵以及科学文化的进步，就必须融入一些简略的数学史以启发思维、开阔视野、激发兴趣。这就使得在教材的修订与编写过程中，合理设计数学史内容及其编排方式显得尤为重要。本文仅对人民教育出版社和北京师范大学出版社初中数学教材（以下简称“人教版”、“北师大版”）中勾股定理一章的数学史进行比较分析。
2、调查与分析
本文首先对人教版《义务教育课程标准实验教科书数学（八年级下册）》和北师大版《义务教育课程标准实验教科书数学（八年级上册）》勾股定理一章中的数学史进行了统计，具体见下表。
从上表可以看出，在勾股定理这一章中两版本初中数学教材都呈现了大量的相关史料，但在数学史的呈现方式和选材上，又各有侧重点。据上表，两版本教材在本章各出现数学史14处、13处，主要分布在正文、习题、专题和阅读材料中。（在人教版中是以“阅读与思考”呈现相关数学史料的，而北师大版则以“读一读”这一栏目呈现史料，为统一起见，统称阅读材料；这里的“专题”多是指在有关知识内容旁边以框架的形式将某些内容作简短介绍。）此外，北师大版第一节（探索勾股定理）和第三节（蚂蚁这样走最近）的引入是在历史名题“折竹抵地”和“蜘蛛与苍蝇”问题的基础上改编的，虽然表面文字上看不出历史的影子，但是我们在统计时仍把这两处归为数学史料。
2.1 勾股定理证明的教材编排
2.1.1教材中对勾股定理的证明的设计模式
在正文中对勾股定理的证明上，两版本教材采取了不一样的处理形式。人教版在出示赵爽弦图后，结合三组图对弦图的证明做了详尽的解释，直至得出最终答案：。而北师大版在正文两处分别呈现了弦图的两种证法以及对青朱出入图证法（无字证明）的解释。与人教版不同的是，北师大版在这两处更注重学生的实际动手操作。如在弦图证明时，不像人教版那样对弦图证明进行一步一步的解释，而是简洁的介绍了用弦图证明的“割补”思路，最后以“这里所有三角形和正方形的面积都能够求出，相信同学们可以比较容易地验证勾股定理了”这句话结束，接下来的工作是由学生自己完成，学生经过计算很容易就验证了定理的正确性。在介绍“青朱出入图”证法时，通过“你能将两个小正方形中多出的部分剪下正好补到大正方形上去吗？”设问，水到渠成让学生自己动手、动脑、动嘴操作。在这之后还设计了“做一做”栏目，共4问，前三问主要是让学生亲身经历拼“青朱出入图”这一过程，这样留给学生更多的是动手操作的机会；而最后一问 “利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？与同伴交流”不仅为学生提供了实践的机会，还能充分调动学生思维，有利于学生从多方、多角度思考问题；此外，学生在交流各自观点的同时，不仅丰富了自身思维，看到自己与他人思路的区别，还有利于表达能力的发展。
2.1.2其他证明方法的编排模式
两版本都不同形式的出现了勾股定理的几种证明方法，除在正文中对赵爽弦图证明做相关解释外，人教版还以阅读材料的形式呈现了勾股定理证明的另外三种方法（毕达哥拉斯证法、弦图的另一种证法及总统证法）。由于“阅读与思考”这一栏目用方框框起来，并且是放在勾股定理这一节最后，这就容易使教师和学生认为，这些内容是补充材料，可学可不学，可看可不看。再加之受现行考试制度和传统考试文化的影响，大多数教师对这些内容要么略微提一下，要么是要求学生下来自己看，还有一部分教师根本就对这些内容视而不见，直接越过。作为学生来说，本来学习压力就大，平时一本本做不完的练习册，加之有的学生还要进行课外辅导。哪有时间去看这些考试不考的内容，就算是有时间，这个年龄阶段的学生还想在这难得的空余里玩一会，做点平时想做但没时间做的事情。据本人的了解，能主动去看这些内容的学生毕竟是少数。这样以来，这些数学史对大多数学生来说就失去了其本身应有的地位和价值，难以发挥其所期待的育人功能。
与人教版的设计模式不同的是，北师大版除了在正文中介绍了弦图的两种证法和对青朱出入图的解释外，把勾股定理的另外三种证法（总统证法、达芬奇的实验研究法以及毕达哥拉斯的证法）分别放在了不同小节的习题当中。这样教师和学生就不得不重视这些数学史内容了，因为课后习题大都是教师先布置给学生做，最后教师再“处理”。暂且先不说这种设计模式是否发挥了数学史的真正价值。但从某种层面上说，教师和学生至少会被“逼着”关注这些内容。学生在做这些习题或当教师处理这些习题时，就会了解到证明勾股定理的其他证法，同时也有利于学生从多方面多角度看问题，有利于发散思维能力的培养。因此，从这一层面上可以说，在勾股定理证明法的编排模式上北师大版较人教版更为合理。
2.2其他内容的设计
人教版在章前图文并茂，不仅呈现了2002年北京国际数学家大会的会标“赵爽弦图”，还简要解释了勾、股、弦所表示的含义，并在此基础上提出了两个问题，进而交待了这一章所要学习的主要内容。这样的设计不仅激起了学生的求知欲、好奇心，还能让学生在学习新知识之前对本章要干啥有一个大概的了解，同时也便于学生在学习完这章后的自我评估。比起北师大版在章前简单列出各文明古国关于勾股定理说法的设计更为人性化。
两版本教材在介绍数学家时，都是简要的说明数学家的生平（如国籍、年代、出生地等）及做出的贡献，并没有体现数学家遭遇的困惑、挫折、失败的经历。使学生觉得数学家所想到的定理是理所当然的，未能体现数学家在创作过程中斗争、挫折以及数学家所经历的艰难漫长的道路。相比北师大版，人教版在此有一个特色，也是人教版整套教材的特色，即在介绍数学家时附有数学家的头像（本章附有毕达哥拉斯图像），这样能唤起学生对数学家及数学史的亲近、肃穆之感。而北师大版在这方面就稍显逊色，根据刘超的统计，在初中六本教材中人教版有五处附有数学家图像，而北师大版仅有一处（并不是此章）。
3、几点思考
3.1教材采用历史名题进行引入，但是引入过于平淡，体现不出实际价值。
人教版在勾股定理及其逆定理的开始分别以数学家的故事和古埃及人得到直角的方法引入数学知识，而北师大版在第一、三节都是以实际问题情境引入数学内容的，但这两处的情境都来源于数学历史名题。两版本在此对数学史用的都比较浅显，没有深挖史料背后隐藏的数学思想方法，数学史只是作为一个情景用来引出相关内容的，显得过于平淡和简单，也显示不出实际的一个教学价值。这只是数学史融入教学的初级阶段，但我们并不能说这种融入方式是低级的或是不好的。一方面，初级阶段是数学史融入教学，进入高级阶段不可逾越的阶段，具有重要意义，比如激发学习兴趣、调动积极性；另一方面，教材的这种设计也体现了教材的灵活性和多样性，便于教师在不同情况对内容的重新加工。因此，对这两种引入方式我们不可妄加断言其好坏，唯独希望各相关领域人员对数学思想、方法做认真的思考，对数学史料进行加工和创造，深挖史料背后隐含的价值，充分发挥数学史的作用和价值。
3.2数学史与教材的整合与立足于学科本源，返璞归真，适度形式化。
两个版本教材中虽然说数学史料都比较丰厚翔实，但编排方式单一，多以成人的语言呈现出来，较为抽象，概括；在教材设计上又大多表现为阅读与思考（选学内容），历史图片，数学家故事等形式，以至于多事在章末的阅读材料形式出现居多。我觉得，数学史的内容的呈现方式应该是多样化的，除了目前已有的形式外，还应结合学生的心理年龄特征，知识接受水平对数学史进行选择，编排，比如卡通，连环画等形式，也可以将数学游戏等编排进其中，这样学生学习起来更加容易接受和容易理解，也更能实现数学史的教育价值。
3.3应加强与现在信息技术的相结合
现代信息技术的发展使得计算机已经成为数学文化与数学教育现代化之间的桥梁。《义务教育数学课程标准（修订稿）》在基本理念中明确提出：“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计要注意信息技术与课程内容的整合开发并向学生提供丰富的信息资源”。而两版本教材除了让学生自己上网搜索相关内容外（并没有提供相关网站），并没有涉及与信息技术有关的内容。而“勾股定理”作为几乎是全世界中学都要介绍的定理，其证明方法就有400多种，并且这些证法反映了东西方不同的文化，在教材中却没能与信息技术挂上钩，是不是有点可惜。这应引起两版本教材编写者的重视，以便在教材修订时注重相关数学史与信息技术的整合。
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勾股定理证明方法范文4
关键词 勾股定理 数形结合 课后拓展
自“科教兴国”战略实施多年以来，我国的教育体制已逐渐从应试教育向素质教育转变。然而，这种转变的有效性仍值得检验。素质教育的本质就是以培养、激发学生的创新思维为目的，以特色的教学模式为手段，调动学生的积极思维欲望，不拘一格地带动学生对知识敢想、多想，以达到学生更深层次地理解所学知识，使其真正转变为自己的知识，并能在以后的学习、生活中加以利用。就数学而言，数学课堂教学研究一直是国内外教育改革的焦点之一，课堂被认为是学生构建知识，老师组织学习最重要的现实环境，它被喻为“人世间最复杂的实验室之一”。作为一名初中数学教育工作者，如何能在课堂中带动学生的听课积极性，使学生对我们所教内容产生浓厚的兴趣，而不认为是教条式的填鸭，显得至关重要。勾股定理是中国几何的根源，是中华数学的精髓。在此，作者以初中二年级数学课程“勾股定理”作为课程实践案例，进行了一次简单尝试。
一、以历史故事开始，激发学生兴趣
笔者改变了以往“勾股定理”教学中照书念的本本模式，而是不惜用去10分钟时间给学生讲讲勾股定理的起源。在引领学生将书翻到勾股定理章节后，告诉学生，大家书本上看到的这位毕达哥拉斯，是公元前四百多年前发现了直角三角形的三边关系，而最早有关该定理的文字著作出自我国商朝约公元前200年左右的《周髀算经》，由商高发现。并在三国时代由赵爽对其做出详细注释，又给出了另外一个证明引，我们的祖先是不是也很智慧呢？此时，全班几乎所有学生目光都从书本移开，极为专注地看着笔者，眼神中带着强烈的求知欲望。笔者转而引导学生开始上课，每个孩子都带着浓厚的兴趣想要学好我们祖先发现的伟大定理。
二、数形结合，形象理解抽象概念
通过带领学生从看图18.1-2中快速计算正方形ABC、A’B’C’面积，并展开猜想，引出“勾股定理”的命题。随后，将学生分组，一组4人，给每组分发下去4个全等的直角三角形纸板，短直角边标有a(勾)字样，长直角边和斜边分别标有b(股)及c(弦)。让每一位同学都在仔细观察“赵爽弦图”的同时，用纸板摆出“赵爽弦图”，使学生对赵爽的证明过程有一个初步形象的直观认识，然后给学生做出赵爽对“勾股定理”的详细推导。学生们在小组参与弦图旋转、摆放的过程中，个个乐此不疲，相互提醒。虽然，教室中看似多了点吵闹，但笔者发现，在学生眼、手、口并用的实际操作中，勾股定理的学习少了许多课本填鸭式的枯燥，换之而来的是学生们积极的参与、激烈的讨论和更为浓厚的兴趣。
三、举一反三，调动思维
在定理证出后，笔者立即向学生提问：谁能给出快速说出更多的均以整数为边的勾股数的方法？底下同学开始议论，一位同学的回答引得全班哄堂大笑，上网！笔者也忍俊不禁，告诉他很会利用现代高科技工具，算是一项能力，但不是独立解决该问题的最佳办法。此时，已有学生说出6、8、10，9、12、15等等。笔者微笑点头肯定，整数勾股数三遍等量放大比例同样也是勾股数，三边不可约分的整数勾股数是以质数为最短边，并且只有一组以其为最短边的勾股数。至于原因，不过该内容已超纲，有兴趣的同学可以课下研究、探讨。
四、课后总结，课外拓展
重点内容“勾股定理”授课完毕，继而启发学生对“勾股定理”的实际应用。学生通过做门框、湖水等实际应用题对勾股定理的实用性有了更加现实的认识，也有了数学建模的简单概念。邻近下课时，给学生布置了家庭作业，让学生用一个礼拜的时间观察生活中有关勾股定理应用的现实例子，并加以简单介绍。之后腾出一节课给学生自由发挥，介绍自己对勾股定理的实践观察，学生们积极上台发言，表达欲望强烈，在其他同学获取知识的同时，讲述的同学也在大家肯定的掌声中增强了自信心，课外拓展取得了很好的效果。
五、结语
固定不变的是已有的知识，持续发展进步的是我们的思维。初中学生正处在一个思维活跃的阶段，在初中数学课堂基本理论的教学中，适时带入一些生动灵活的素材，如讲述所教内容的历史小故事，团体讨论、课外拓展等，培养起学生自动自发的学习意识，积极思考的求知欲望和举一反三的实践能力，会使我们的教学质量得到较大幅度的提高，培养出更多的勤思考、爱动脑和成绩好的优秀学子。
参考文献：
[1] 吴登文. 数学课堂教学中认知水平的变化―以四地勾股定理教学课例分析为素材[J].理科教学探索.2010.12,(45~51).
勾股定理证明方法范文5
【关键词】同一法；勾股定理；解题思维生长点
1我怎么没想到
常见的勾股定理教学中，命题引入方式有两种：
（1）直接呈现式.有以下几种具体呈现形式：
①呈现毕达哥拉斯观察到的地板图案，请学生观察并提出问题：“你认为这三个正方形的面积之间存在着怎样的关系？”如图1；
②呈现以特殊数3，4，5为边长的直角三角形的三边正方形图，请学生算一算：“这三个正方形的面积之间存在着怎样的等量关系？”如图2；
③呈现弦图，请学生观察并分析其中几何图形的面e关系，如图3.
（2）问题发生式.此种教学法的常见形态有：
④测量猜想式.如：作两个直角三角形，使其两直角边分别是3cm和4cm，5cm和12cm，测一测斜边的长度；
⑤格点转移式.如：在网格中，作一个直角边长分别为3、4的直角三角形，量一量该直角三角形的斜边长是多少？若利用圆规，以斜边长为半径作弧，可发现圆弧经过另一个格点，数出半径长恰好是5个单位长度.同理，可以测量出直角边长分别为5、12的直角三角形的斜边长为13.
笔者初上讲台，使用直接呈现式的教学方式.每当展示勾股图的时候，笔者感受到学生的惊叹连连：“好聪明啊！”“他是怎么想到去算正方形面积的呢？”“我怎么就想不到呢？”“为什么会想到研究一个三边长为3、4、5的直角三角形？”虽然学生向笔者投来敬佩的目光，但似乎，疑问多于赞叹.
毕达哥拉斯从地板的图案上顿悟出勾股定理，是机缘巧合，但讲这样的故事就是学习数学了吗？
再次教学，笔者开始改用问题发生式教学，提出问题：你会求直角三角形的斜边长吗？笔者以为，用问题驱动的方式可以引导学生积极展开思维.而事实上，因为量一量的对象是特殊边长的直角三角形，结果也特殊，所以在量一量的环节，学生表现平静，无疑无赞.当笔者再接下来问：“这三个数据之间有什么特殊的关系吗？”学生的表现更是一愣一愣的，几分钟内，教室内只听见小小的嘀咕声，却没人说得出结果.当笔者再次点醒：“你没有发现32+42=52、52+122=132吗？”教室内顿时如炸开了锅一样，“原来是这样啊！”、“我怎么就没想到呢？”
一句话：“我怎么没有想到？”
――“我怎么没有想到以直角三角形的三条边为边构建正方形？”；
――“我怎么没有想到3、4、5之间、5、12、13之间会有什么相同的数量关系？”；
课后，学生问我：“老师，你是怎么想到的？你可以把你想到的方法告诉我吗？”
――“是啊，我是怎样想到的呢？前人是如何想到的呢？”笔者自问，并深深地思考：“毕达哥拉斯的顿悟虽是一种重要的解题方式，但学生对此的惊讶多于理解！是什么方法能让人想到这样的构图法解题？我该如何解题（求直角三角形的斜边长）、我该如何构图？”
2我该如何解题
再次执教这节课，笔者深深地思考：“如果没有勾股定理，我们应当如何求解直角三角形的斜边长？”
2.1从认知角度进行解题类别分析
求线段长度是常见的题型.一般在梳理问题条件时，需要从两个方向进行准备分析：一是问题条件的准备，二是知识准备.初中范围内，几何以三角形为基础，展开学习四边形、多边形、圆形，依据归纳转化的思想，当我们对知识系统中的上层知识进行学习、研究时，常常将其转化为对基础问题的求解，如求解多边形内角和时，将多边形转化为三角形进行求解；学习平行四边形的性质时，将四边形转化为三角形进行学习；解决不规则图形面积时，常常将不规则图形转化为规则图形进行处理.所以，对图形常见的处理方式是高级向低级的转化，不规则的图形向规则的图形进行转化，这是一种下位学习的方式，也是一种下位式的解题方式；奥苏伯尔曾在对认知结构进行分析的基础上，提出关于命题学习的三种分类：上位学习、下位学习、并列学习.通过命题学习，我们获得了命题的结论性知识，用命题的“结论解题”是数学解题中常常偏好的一个方向，只要能对问题的模式进行识别、会从命题的条件辨别异同，能在求同思维及求异思维的指导下进行分析，就可以解题.这是一种原型式的、特征式的解题方式.这种解题方式的缺点就是以结论为主，以原型模式辨别为主，很少在解题过程中明确解题的生长基础，并寻找解题的生长点.
借鉴奥苏伯尔的命题学习分类，我们也将解题学习分为三类：上位式解题、下位式解题、并列式解题.上位式解题：在解决问题时将问题向上一个层级的概念、命题进行转化，借助包容程度更高的命题、概念帮助解决问题；下位式解题：将问题向从属的概念、命题进行分解、转化，借助基础地、熟悉地、简易的知识结构解决问题，这也是一种常用的解题方式；并列式解题：在解决问题时，没有将问题的结构进行上位、下位概念命题的转移，利用同层级的概念、命题解题，比如：同一法证明勾股逆定理，文献[1]借助逆命题解题都是属于并列式解题的例子.
同一法在初中范围内应用不多，主要是因为用此法解题，不用调动上、下位的概念图式，对培养学生命题域的知识结构效用不大，所以在数学学习过程中，甚少出现，只是在涉及互逆命题的证明或使用互逆命题时，才被人记起，而这样的互逆命题教学，在初中的数学教学过程中，所占的比例仅仅微乎其微.
2.2同一法为勾股定理的推导提供解题生长点
近日，笔者在进行八年级《直角三角形的性质》教学时，频频接触到一组组互逆命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；②直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；如果一个直角三角形中，有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.教学时，笔者着重对这些互逆命题的证明，及一些使用逆命题互助解题的例题进行重点教学，其间教授了同一法.而后又接触到勾股定理的教学.笔者在备课时以解题生长式的理念进行备课思考：如何求解直角三角形的斜边长呢？解决此命题的解题基础和解题生长点在何处？
解题基础分析：（1）关于勾股定理命题证明的条件只有一个：直角三角形；（2）与直角三角形边长有关的知识概念储备：无.
解题生长点分析：这样的命题解决，如何进行？解题的生长点在哪里？从条件分析，还是从储备知识分析？储备知识无，那么只能从条件入手，条件如何转化？此图中只有一个直角三角形，条件单一，如何转？转向何处去？
曾经学过的知识中，除三角形的三边关系，全等三角形的知识，其余者无.其中“三角形的三边关系”用不上，那么知识储备中就只有全等三角形的知识.“单木不成林”，单单一个三角形，哪来全等关系？可除了全等，还有何法？
不禁地，笔者想到才接触的同一法：是否可利用同一法将图形进行再建构？如果图中具有多个全等三角形，那么图形会变成……，尝试之后，笔者顿觉思路大开，原来，奥妙藏于此图中.笔者兴奋不已，借助同一法，进行了一堂非常顺利的勾股定理证明的教学课.以下为教学实录：
师：“前两节课我们用同一法解决了一些图形性|单一、不易于被证明的问题.同一法告诉我们：对于无法求解的线段，可在原图四周，重新建构一条长度相同的线段（或性质相关图形），通过证明新旧两图全等，而获得原线段长度.”
（呈现问题）……
师：“现在，我们如何求直角三角形的斜边AB的长？”
生：“我们可以在ABC外再寻找长度等于AB的线段.利用圆规，分别以点A、B为圆心，AB长为半径作弧，圆弧经过格点E和F.因为线段BE、AF与线段AB一样，都是一个3×4的矩形对角线，所以AB=BE=AF，同理可证线段EF=AB.发现新组成的四边形ABEF是一个小正方形，被包含在大正方形CMNK中，可以证明小正方形四周均为全等的直角三角形.”
“这样的图形能帮助你求线段AB的长吗？”
“能.如果能算出正方形ABEF的面积，就可以知晓边长AB的值.”
“如何求小正方形ABEF的面积呢？”
此时，全班的声音异常整齐：“用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积！”
接下去的计算与推广证明过程便没有任何难度了.（图4、图5是两个学生的不同做法）
如何由一条线段想到构建四条边的正方形，如何由一个小直角三角形想到用4个全等的直角三角形进行拼图，思维的来源并不是空穴来风，重新构建，“同一法”证明给了我们极大的启示.图4图5
借助图4，证明勾股定理结论的过程为：设直角ABC的两条直角边长为a、b，
易证四边形ABEF、CMNK为正方形.
因为S正方形CMNK=S正方形ABEF+4×SABC，
所以a+b2=AB2+4×12ab，
所以AB2=a2+b2.
即：c2=a2+b2.
证明至此，学生对于为何要构建正方形，为何要计算三个正方形面积之间的关系的理解便水到渠成了.
在此次证明中，正是因为证明的条件不多，图形不丰富，且曾经所学习的基础知识不够充分，所以只好选择同一法，通过构造一个与原图全等的图，并在丰富了图形之后，试图获取原图的图形性质.当我们构造一个全等的直角三角形之后，不妨再构造一些，进而获得了一个嵌入式的双正方形.利用小学的面积知识，便轻松地推导出勾股定理.此次解题证明初入时为并列式解题思路，后继发展为上位式解题方式，是初中数学中为数不多的上位式解题的典型题.
3思维的两种表现形式与教学方式
3.1直觉式顿悟与发生式学习
毕师关于勾股定理的发现是一种直觉式顿悟.“直觉是一种人们没有意识到的对信息的加工活动，是在潜意识中酝酿问题而后与显意识突然沟通，于是一下子得到了问题的答案，而对加工的具体过程，我们则没有意识到”[2].在顿悟之前毕师经过了观察，“观察是人们对事物的一个知觉过程.……知觉与人的经验分不开”，“直觉判断，个体利用自己的经验对知觉对象可能具有的属性作出一种判断”[3].毕师的发现是直觉式的，建立在他的经验之上，对着地板图案的观察，毕师能够将其中的图形结构进行重组分析，进而突显直至顿悟发现勾股定理.而对于初中学生，他们数学的直觉、数学经验、知识结构、数学方法尚不完善，虽说数学教学是要踩着历史的脚印前进，但要求十三、四岁的孩子们也能独自经历毕师的思维之路，困难程度不言而喻.
故而，勾股定理的认知，是否该是一种发生式的、过程式的学习方式呢？
发生式命题学习，是将命题产生的过程揭示出来，使学生在体悟命题发生和发展的认识中获得命题的学习方式[3].这种学习，也可以称为是一种过程性学习，从一个概念到另一个概念过渡的过程，方法的过程，推理的过程，获得思维的过程均在教学的范畴之中.概念固然是数学知识结构中的重要结点，但数学学习不仅仅是概念的习得，更重要的是如何在概念之间进行推理，使得概念点之间能够发生联结，这就是思维.数学是思维的体操，“数学是玩概念的”，数学要学习的，就是如何在概念之间产生往回地、多向地联结.所以，笔者认为勾股定理的教学中，三个正方形的面积计算不是主要的，如何想到构建正方形才是教学释疑的又一个重点.
3.2命题教学的结论性学习与生长式规则性学习
喻平认为，概念是数学的基础，数学命题由概念组合而成，在条件概念与结论概念之间，有“规则”连结，故命题学习也称规则学习[3].
笔者认为，规则是思维发生的过程与表现形式，思维的发生是有方向性、目的性的，是具有生长性的，因此，命题的规则性教学，应当从规则的生长性上进行考虑，包括生长点的分析与思考.其实，数学的学习就是规则性的学习，这是一种学习的方法论.规则具有自主的生长能力，解题时，思维在条件性概念与结论性概念之间进行各种方式地联结，若联结成功，则规则的生长成功.
对于教学而言，侧重结论式教学与侧重规则性教学，对学习者的思维培养效果有较大不同.若进行结论式教学，学习者的思维生长能力较弱；若进行发生式学习，在联结对象未知的情况下，思维的活跃程度相对更高，对解题者概念系、命题系的调动范围更大更积极，对思维能力的锻炼也就越高.所以，规则性学习是命题学习的一个重点内容，其价值高于结论性概念的获取.学习命题，不仅仅学习结论性知识，更有规则性内容.另外，命题教学的价值方向，就是提高解题能力，而解题教学的重点，是寻找具有生长基础（生长点）与生长方向的规则，进而培养思维的能力.
借助于同一法，笔者将“求解斜边长”的问题进一步扩大，进行上位式转化，进而顺利地解决了勾股定理的推导问题.既是教学思考必得，也是教学偶得，飨与读者.
参考文献
[1]陈明儒，岑霞丽.逆思补形分割[J].中学数学教学参考，2014，（4）：38-39.
[2]钱学森.思维科学探索[M].太原：山西人民出版社，1985：22.
勾股定理证明方法范文6
为使学生学好当代社会中每一位公民适应日常生活、参加社会生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养学生运算能力、发展思维能力和空间观念，使学生能够运用所学知识解决实际问题，逐步形成数学创新意识。
二、教材内容分析
本学期数学内容包括第一章《勾股定理》、第二章《实数》，第三章《图形的平移与旋转》，第四章《四边形性质探索》，第五章《位置的确定》，第六章《一次函数》，第七章《二元一次方程组》，第八章《数据的代表》。
第一章《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。其中勾股定理的应用是本章教学的重点。
第二章《实数》主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。本章的内容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。本章的教学重点是平方根和算术平方根的概念和求法，教学难点是算术平方根和实数两个概念的理解。
第三章《图形的平移与旋转》主要内容是生活中一些简单几何图形的平移和旋转。简单几何图形的平移是本章教学的重点，简单图案的设计是本章的难点。
第四章《四边形性质探索》的主要内容是四边形的有关概念、几种特殊的四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）的性质和判定以及三角形、梯形的中位线，其中几种特殊四边形的性质和判定是本章教学的重点，推理证明是本章的难点。
第五章《位置的确定》主要讲述平面直角坐标系中点的确定，会找出一些点的坐标。
第六章《一次函数》的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。其中一次函数的图像的表达式是本章的重点和难点。
第七章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题。
第八章《数据的代表》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数和能找出中位数及众数。
三、学生情况分析：
初二（1）班共有学生44人，从上学期期未统计成绩分析，及格人数分别为5人，优秀人数分别为0人，与其他几个平行班比较，优秀生及格生都少，另外这两个班的学生中成绩特别差的比较多，成绩提高的难度较大。在这样一个以少数民族为主的学生群体中，学生的数学基础和空间思维能力普遍较差，大部分学生的解题能力十分弱，特别是几何题目，很大一部分学生做起来都很吃力。从上学期期末统测成绩来看，成绩最好是78分，差的只有几分，这些同学在同一个班里，好的同学要求老师讲得精深一点，差的要求讲浅显一点，一个班没有相对较集中的分数段，从几分到70多分每个分数段的人数都差不多，这就给教学带来不利因素。
四、教学目标
1、正确理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本运算，并能熟练地进行二次根式的化简。
2、掌握二次根式加、减、乘、除的运算法则，能够进行二次根式的运算。掌握二次根式的化简，进一步提高学生的运算能力。
3、理解四边形及有关概念，掌握几种特殊四边形的性质定理及判定。
4、理解相似一次函数的概念，掌握一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。
五、教学措施及方法
1、成立学习小组，实行组内帮辅和小组间竞争，增强学生学习的信心及自学能力。
2、注重双基和学法指导。
3、积极应用尝试教学法及其他新的教学方法和先进的教学手段。
4、多听听课，向其它老师借签学习一些优秀的教学方法和教学技巧。
六、本学期教学进度计划
第一周：第一章《勾股定理》
第二周：第二章《实数》
第三周：第二章《实数》的复习和第三章《图形的平移与旋转》
第四、五周：第四章《四边形性质探索》。
第六周：第五章《位置的确定》。
第七周：第六章《一次函数》，介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。
第八周：第七章《二元一次方程组》，要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题。
第九周：第八章《数据的代表》和总复习。
第十周：综合复习和训练。
七、本学年教学成绩目标：