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等腰三角形的性质范文1
阅读与思考
等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论．
⑴
图1中，，，．
⑵
图2中，只要下述四个条件：
①；②；③；④中任意两个成立，就可以推出其余两个成立．
B
C
A
D
图1
A
D
B
C
1
2
图2
例题与求解
【例1】如图，在ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，
则∠A=___________．
（五城市联赛试题）
解题思路：图中有很多相关的角，用∠A的代数式表示这些角，建立关于∠A的等式．
A
B
C
D
E
【例2】如图，在ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．
（安徽省竞赛试题）
解题思路：∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线．
A
B
C
D
E
F
【例3】如图，在ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．
（北京市竞赛试题）
解题思路：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．
A
E
B
C
D
【例4】如图，在ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M为ABC内一点，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度数．
（北京市竞赛试题）
B
C
M
A
B
C
M
A
图3
N
解题思路：作等腰ABC的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB为一边，向点C所在的一侧作等边ABN，连结CN，MN(如图2)；或以AC为一边，向点B所在的一侧作等边ACN，连结BN(如图3)．
B
C
M
A
图1
D
O
B
C
M
A
图2
N
【例5】如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形．求证：AMN的周长等于2．
（天津市竞赛试题）
解题思路：欲证AMN的周长等于2，只需证明MN=BM+CN，考虑用补短法证明．
B
A
C
D
N
M
【例6】如图，ABC中，∠ABC=460，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=210，试确定∠CAD的度数．
（北京市竞赛试题）
解题思路：解本题的关键是利用DC=AB这一条件．
B
D
C
A
能力训练
A级
1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_____________．
2．如图，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM=_____________．
3．如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O，则
∠BOQ=____________.
4．如图，在ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延长线取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离是____________．
(第2题)
B
A
C
D
E
F
M
N
A
B
C
Q
P
O
(第3题)
A
B
C
D
(第4题)
5．如图，在ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（
）
A．900-∠A
B．900-∠A
C．1800-∠A
D．450-∠A
6．如图，在ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（
）
A．600
B．450
C．300
D．不确定
（安徽省竞赛试题）
A
C
B
E
F
第5题图
第6题图
7．ABC的一个内角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（
）
A．1400
B．800或1000
C．1000或1400
D．800或1400
(“希望杯”邀请赛试题)
8．三角形三边长，，满足，则三角形一定是（
）
A．等边三角形
B．以为底边的等腰三角形
C．以为底边的等腰三角形
D．等腰三角形
（北京市竞赛试题）
9．如图，在ABC中，AB=AC，D，E分别是腰AB，AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G，求证：DG=EG．
（湖北省竞赛试题）
A
B
C
D
G
E
10．如图，在ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CEBE，求证：CE=BD．
（江苏省竞赛试题）
A
B
C
D
E
11．已知RtABC中，AC=BC，∠C=900，D为AB边中点，∠EDF=900，将∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC，BC(或它们的延长线)于E、F，当∠EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图1)，易证：SDEF+SCEF=SABC，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
（牡丹江市中考试题）
A
B
C
A
B
C
A
B
C
E
D
F
E
D
F
D
F
图1
图2
图3
12．如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O为ABC内一点，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度数．
（天津市竞赛试题）
B级
1．如图，在ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，则∠MNP=_________．
A
B
C
N
M
P
(第1题)
A
B
C
P
E
F
(第2题)
A
B
C
N
M
(第3题)
2．如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下4个结论：①AE=CF；②EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=SABC；④EF=AP．当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)．上述结论正确的是____________．
（苏州市中考试题）
3．如图，在ABC中，AB=BC，M，N为BC边上两点，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，则∠MAC的度数是____________．
4．如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB的大小是（
）
A．800
B．500
C．400
D．200
A
(第4题)
B
C
D
(第5题)
A
B
C
D
A
B
D
E
C
M
(第6题)
5．如图，在ABC中，∠BAC=1200，ADBC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（
）
A．200
B．250
C．300
D．450
6．如图，在ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延长线于M，连CD，下列四个结论：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC．其中正确结论的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，已知ABC为等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，并且使AE=BD，连结CE、DE，求证：CE=DE．
A
B
C
D
E
8．如图，ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又ABC′、A′BC、AB′C都是ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC．
⑴
证明：C′BD≌B′DC；
⑵
证明：AC′D≌DB′A；
⑶
对ABC、ABC′、A′BC、AB′C，从面积大小关系上，你能得出什么结论？
（江苏省竞赛试题）
A
B
C
D
A′
B′
C′
9．在ABC中，已知AB=AC，且过ABC某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，试求ABC各内角的度数．
（江苏省扬州中学测试题）
10．如图，在ABC中，∠C=900，∠CAD=300，AC=BC=AD，求证：CD=BD．
A
B
C
D
等腰三角形的性质范文2
教学目标
（一）教学知识点
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
1．经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．
2．探索并掌握等腰三角形的性质．
（三）情感与价值观要求
通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学方法
探究归纳法．
教具准备
师：多媒体课件、投影仪；
生：硬纸、剪刀．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
[师]那什么样的三角形是轴对称图形？
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．
[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P138探究中的方法，剪出一个等腰三角形．
……
[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
[师]有了上述概念，同学们来想一想．
（演示课件）
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．
[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．
[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．
[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．
[生齐声]它们是同一条直线．
[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．
[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
[师]很好，大家看屏幕．
（演示课件）
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
（投影仪演示学生证明过程）
[生甲]如右图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
所以BAD≌CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
[生乙]如右图，在ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
所以BAD≌CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．
（演示课件）
[例1]如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：ABC各角的度数．
[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．
[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出ABC的三个内角．
[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
（课件演示）
[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P141练习1、2、3．
练习
1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．
答案：（1）72°（2）30°
2．如右图，ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？
答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．
3．如右图，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
答：∠B=77°，∠C=38.5°．
（二）阅读课本P138～P140，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P147─1、3、4、8题．
（二）1．预习课本P141～P143．
2．预习提纲：等腰三角形的判定．
Ⅵ．活动与探究
如右图，在ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．
求证：AE=CE．
过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．
结果：
证明：延长CD交AB的延长线于P，如右图，在ADP和ADC中
ADP≌ADC．
∠P=∠ACD．
又DE∥AP，
∠4=∠P．
∠4=∠ACD．
DE=EC．
同理可证：AE=DE．
AE=CE．
板书设计
§14．3．1．1等腰三角形（一）
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1．等边对等角
2．三线合一
三、例题分析
四、随堂练习
五、课时小结
六、课后作业
备课资料
参考练习
一、选择题
1．如果ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）
A．某一条边上的高;B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线;D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）
A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°
答案：1．C2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．
等腰三角形的性质范文3
例1已知一个等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为12和9两部分，求这个三角形的腰长和底边长.
分析：等腰三角形被一条中线分成的两部分，一部分是由一腰和另一腰的一半组成的，另一部分是由底和一腰的一半组成的.哪部分为12，哪部分为9呢？从下面两图形（图1）中可以看出，存在两种可能，故应当把两种情况都考虑进去.
所以三角形的腰长为8，底边长为5；或腰长为6，底边长为9.
例2已知一个等腰三角形的一条边上的高等于这条边的一半，求顶角的度数.
分析：这条边可能是底边，也可能是腰，所以需要分情况讨论.
解：(1)若这条边为底边时，如图2，ADBC，AD＝BD＝CD，则ABD和ACD为等腰直角三角形，所以∠BAC＝45O＋45O＝90O；
(2)这条边为腰时，
所以∠DAC＝30O，所以∠BAC＝150O.
故可知这个等腰三角形的顶角可能是90O或30O或150O.
例3 已知点A和点B，以它们为两个顶点作等腰直角三角形，则一共可作出（ ）.
A.3个 B.4个 C.6个 D.7个
分析：本题没有指明AB是腰还是底边，所以需分类讨论.
解：（1）以AB为底边，有C1、C2两个点符合要求，如图5；
解析：当10cm的边为腰，6cm的边为底时，其周长为10＋10＋6=26cm；当10cm的边为底，6cm的边为腰时，其周长为10＋6＋6=22cm.因此，该等腰三角形的周长是22cm或26cm.应选D.
请思考：若等腰三角形的两边长分别为9cm和4cm，求其周长时，还会有两解吗？为什么？（一解，22cm）
例5已知等腰三角形的周长为20cm，一边长为8cm，则其它两边长分别是______.
解析：若长为8cm的边是腰，则另一腰也是8cm，底边为4cm；若长为8cm的边是底边，则每一条腰长＝（20－8）＝6cm.故答案为8cm，4cm；或6cm，6cm.
请思考：若等腰三角形周长为20cm，一边长为4cm，求其它两边长时，还会有两解吗？为什么？（一解，8cm，8cm）
等腰三角形的性质范文4
一、相关知识回顾
1，等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
2，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任何一点到这条线段两端点距离相等。
二、已知等腰三角形两个顶点，探求第三点的位置所在已知线段AB，求作一点C，使AABC为等腰三角形。
由等腰三角形的定义可知：点C在以点A为圆心，AB为半径的圆上或在以点B为圆心，BA为半径的圆上(与直线AB的交点除外)。
由线段垂直平分线的性质可知：点C在线段AB的垂直平分线上(与AB的交点除外)。
由此可得：点C只能在以上述作法的两个圆上或AB的垂直平分线上(与AB的交点除外)，如图1虚线部分。
三、中考试题分析
例l (2005年山东省东营市)如图2，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(1，1)，在X轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有(
)。
(A)4个
(B)3个
(C)2个
(D)1个
析解：已知点A与O是等腰三角形的两个顶点，在X轴上寻找满足条件的点P可按如下方法：
如图3，(1)以A为圆心，AO为半径画圆，与X轴有异于点O的一点，记为Pl；以O为圆心，OA为半径画弧，与X轴有两个交点，记为P2、P3；
(2)线段OA的垂直平分线与X轴有一个交点，记为P4。
综上可得：符合条件的点P共有4个，故选A。
例2(2007年重庆市)已知，如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____________。
析解：易知，点D与O是等腰三角形的两个顶点，在边BC上寻找满足条件的点P可按如下方法：
如图5，(1)以O为圆心，OD(长为5)为半径画圆，与BC边有一个交点，记为P1；以D为圆心，DO为半径画圆，与BC边有两个交点，记为P2、P3，由已知结合勾股定理等知识可算得：P1(3，4)、P2(2，4)、P3(8，4)。
(2)线段OD的垂直平分线与边BC的交点P4，但此时等腰三角形的腰长不等于5，不合题意。
因此符合条件的点共有3个，其坐标分别是(3，4)、(2，4)、(8，4)。
例3 (2001年江苏省徐州市)边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图6所示，在平面内找点P，使APAB、APBC、APCD、APDA同时为等腰三角形，这样的点P有几个?作出这些点(保留作图痕迹，不写作法)，并写出它们的坐标(不必写出解答过程)。
析解：(1)如图7，以AD为等腰三角形的底，而X轴为AD的垂直平分线，所以所求的点P必在X轴上。
以点A为圆心，AB长为半径画圆，与X轴有两个交点，记为P1，P2，由AD∥BC且AB=CD可推知，P1，P2两点符
等腰三角形的性质范文5
三角形的全等和相似是研究图形问题最基本的方法和策略. 它是研究四边形、圆等复杂图形以及函数等知识的重要工具.
三角形的知识在中考试题中占有相当重要的地位，希望同学们努力掌握好基础知识以及最基本的解决问题的方法和策略，能灵活地解决相关问题.
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形是初中数学的基础内容之一，中考考点的核心就是它与分类讨论结合考查. 举例如下：
一、 关于角的讨论
例1 （2013·钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）.
A. 80° B. 80°或20°
C. 80°或50° D. 20°
【解析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°；②80°角是底角时，顶角为180°-80°×2=20°. 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°. 故选B.
【变式】若将80°改为100°要注意100°角不能做底角.
例2 在ABC中，∠A=50°，当∠B=_____°时，ABC是等腰三角形.
【解析】①∠B是顶角时，∠A一定是底角，则有∠B=80°；②∠B角是底角时，∠A若是底角，则有∠B=50°，∠A若是顶角，得∠B=65°.
【点评】这一类问题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底角，做题时要注意分情况进行讨论，这是解决问题的关键.
二、 关于边的讨论
例3 （2013·淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）.
A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 6
【解析】因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论. ①当3为底时，其他两边都为1，1+1<3，∴不能构成三角形，故舍去；②当3为腰时，其他两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7.
【变式1】（2013·凉山州）已知实数x，y满足x-4+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______.
【答案】20.
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.
（1） 判断这个一元二次方程的根的情况；
（2） 若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积.
【答案】（1） b2-4ac=（2k-3）2≥0，所以方程有实数根.
（2） 分两种情况讨论：①若腰为3，则x=3是方程的一个根，可求得三边为3，3，2.那么这个等腰三角形的周长为8，面积为2. ②若底为3，则b2-4ac=（2k-3）2=0，可求得三边为2，2，3. 那么这个等腰三角形的周长为7，面积为.
【点评】本例考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在已知条件中没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键.
例4 （2013·玉林）如图1，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有______个，写出其中一个点P的坐标是______.
【解析】本例考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质. 如图2，从x轴上考虑，以OA为腰长的等腰三角形有3个，P4（5，0），P2（8，0），P5（-5，0），以OA为底边的等腰三角形有1个，P8
，0. y轴上情况与x轴相似，P3（0，5），P1（0，6），P6（0，-5），P70
，，故满足条件的点P共有8个.
【变式1】如图3，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB左右移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的任意两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有______个.
【答案】设正方形边长为a. 分类讨论如下：①腰长为a的等腰三角形有4个；②腰长为a的等腰三角形有4个；③以CD为底边的等腰三角形有1个. 共9个.
【变式2】如图4，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB.
（1） 求AC的长和点D的坐标；
（2） 说明AEF与DCE相似；
（3） 当EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.
【答案】（1） AC=20，D（12，0）；
（2） 欲证AEF与DCE相似，只需要证明两个对应角相等. ∠CDE=∠CAO，∠AEF
=∠DCE；
（3） 当EFC为等腰三角形时，有三种情况：①当CE=EF时，AEF与DCE的相似比为1，则有AE=CD=20，E（8，0）.
②当EF=FC时，此时过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE的中点，FME∽ABC得出=，那么AEF∽DCE的相似比为5∶6，E
，0.
③当CE=CF时，F点与A点重合，E点与D点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在.
例5 如图5，半圆O的半径为4 cm，AB是☉O的直径，BC切☉O于点B，且BC=4 cm，当点P在☉O上运动时，是否存在点P，使得PBC为等腰三角形？若存在，有几个符合条件的点P，并分别求出点P到线段BC的距离；若不存在，请说明理由.
【解析】本例是等腰三角形与圆相结合的一个综合题，解决问题的关键是分BC为腰、BC为底边两种情况来解决. 如图6，①BP1=BC，②CP2=BC，③CP=BP，即作BC的垂直平分线交☉O于P3，P4.
例6 如图7，抛物线y=-x2+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B.
（1） 求抛物线解析式和顶点坐标；
（2） 若P是坐标轴上一点，且PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标.
【解析】本例是等腰三角形与二次函数结合的综合题.
（1） 由该函数图像经过A点（1，0），由0=-1+4+n得n=-3，解析式是y=-x2+4x-3
=-（x-2）2+1，顶点坐标为（2，1）.
（2） 由题意知，B点坐标是（0，-3），AB的长是，要注意的是问题中强调“以AB为腰”所以不必习惯性地分AB为腰，AB为底边两类讨论，而是分P点在x轴或y轴上进行讨论. ①当P点在x轴上时，P点坐标为（1+，0），（1-，0），（-1，0）；②当P点在y轴上时，P点坐标为（0，3） ，（0，-3+），（0，-3-）.
【变式】如图8，已知二次函数的图像经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O. P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C.
（1） 求出二次函数的解析式；
（2） 当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；
（3） 当m>0时，探索是否存在点P，使得PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1） 设y=ax2+bx，把A、B点坐标代入，求出解析式为y=-x2+4x；
（2） 根据点P（m，-m2+4m），点C（m，m）的坐标代入，得PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2
+3m=-m
-2+，PC的最大值为；
（3） 当0
当m≥3时，PC=m2-3m，OC=m，分三种情况：
①当OC=PC时，m2-3m=m，解得：m=3+或m=0（舍去），P（3+，1-2）；
②当OC=OP时，（m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，-5）；
等腰三角形的性质范文6
所谓“操作”，是指人用手活动的一种行为，也是一种技能，含义很广泛.一般是指劳动、劳作，或者按照一定的规范和要领操纵动作，数学中的操作题一般是需要对数的设置或对图形的变换、剪拼等，由于此类试题既可以有效地巩固数学知识，又可以提高同学们的动手能力，所以中考中频频“上演”此类问题.
重点题型例析
一、对数的操作
例1（2014.娄底）按照下面所示的操作步骤，若输入值为3，则输出的值为________.
分析：由操作程序可知，32=9
解：由32=9
反思：解此类题时，应正确地选择运算操作程序，避免：①错选“否”的运算程序；②错把10作为一个结果参与运算；③不按每一步的结果得数进行计算，如32+2x5=19.
二、对式的操作
例2 （2014.台州）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n次的运算结果=________.（用含字母x和n的代数式表示）
分析：要探究操作的第n次运算结果，可分别将第2、3、4次的分式计算、化简，再将化简后的分式列表分析、发现规律.
解：依题意，可列表如表1.
四、阅读与操作
例4 （2014.山西）阅读下列材料，按要求完成相应的任务.
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形――筝形，所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似.
定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图4，四边形∠ABCD是筝形，其中AB=AD，CB=CD.
判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形.②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.
显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点.如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：
（1）清说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条.
（2）请仿照如图5的画法，在如图6所示的8x8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都涂上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）.
分析：（1）利用菱形的性质以及结合图形得出筝形的性质分别得出异同点即可.（2）利用轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意得出答案，显然答案不唯一.
解：（1）相同点：①两组邻边分别相等；②有一组对角相等；③有一条对角线垂直平分另一条对角线：④有一条对角线平分一组对角；⑤都是轴对称图形；⑥面积等于对角线乘积的一半.不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分；②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行；④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补；⑥菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是轴对称图形不是中心对称图形.（2）答案不唯一，如图7所示中的任意一种情形.
反思：求解此类问题时，一定要充分借助网格特点进行作图，解题的关键是正确理解平移、轴对称、旋转以及中心对称图形、轴对称图形的意义.
五、裁剪操作
例5 （2014.宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图8所示的两种方法裁剪（裁剪后边角不再利用）.
A方法：剪6个侧面：B方法：剪4个侧面和5个底面，
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.
（1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数.
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
分析：（1）根据一张硬纸板用A方法剪6个侧面 ，B
六、对图形的分割操作
例6 （2014.漳州）如图9，ABC中，AB=AC，∠A=36。，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括ABC）：
（1）在图9中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是______度和______度.
（2）在图10中画2条线段，使图中有4个等腰三角形.
（3）继续按以上操作发现：在ABC中画n条线段，则图中有______个等腰三角形，其中有______个黄金等腰三角形.
分析：（1）利用等腰三角形的性质以及∠A的度数，进而得出这两个等腰三角形的顶角度数.（2）利用（1）中思路进而得出符合题意的图形.（3）利用画1条线段可得到2个等腰三角形，画两条线段可得到4个等腰三角形，画3条线段可得到6个等腰三角形，进而得出规律求出答案.
解：（1）如图9所示AB=AC，∠A =36。，故当AE=BE时，∠A= ∠ABE=36。，则∠AEB=108。，则∠EBC=36。，故这两个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度.
（2）画法不唯一，如图10所示，四个等腰三角形分别是：ABE，BCE，BEF，CEF
（3）如图11.画1条线段可得到两个等腰三角形，画两条线段可得到4个等腰三角形，画3条线段可得到6个等腰三角形，…，在ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形.
反思：本题既是一道操作题，又是一道问题的探究题，求解时应注意作图技巧，灵活运用等腰三角形的性质，其中探究出分割图形的规律是解题关键.另外，在（2）中当画出线段BE时，余下的也可以过C作∠C的平分线交BE于点F
七、折叠操作
例7 （2014 临沂）对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开，
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A’处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA’，EA’，展开，如图12.
第三步：再沿EA’所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，得到折痕EF，同时得到线段B’F，展开，如图13.
（1）证明：∠A BE=300.
（2）证明：四边形BFB’E为菱形.
分析：（1）根据点M是AB的中点判断出A’是EF的中点，然后判断出BA'垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BE=BF，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠A’BE=∠A 'BF，根据翻折的性质可得∠ABE= ∠A 'BE，然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证.（2）根据翻折变换的性质可得BE=B'E，BF=B'F，然后得出BE=B'E=B'F=BF，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明.
解：（1）由对折AD与BC重合，折痕是MN，故点M是AB的中点，故A’是EF的中点，因∠BA’E= ∠A =90。，故BA’垂直平分EF，故BE=BF，故∠A' BE= ∠A 'BF，由翻折的性质，∠ABE=∠A'BE，故∠ABE= ∠A 'BE=∠A，BF，故∠ABE（）×90。=30。.
（2）沿EA’所在的直线折叠，点B落在AD上的点B’处，故BE=B'E，BF=B'F因BE=BF，故BE=B'E=B'F=BF，故四边形BFB'E为菱形.
反思：本题通过操作，意在考查矩形、菱形、线段垂直平分线等知识.解答折叠问题的一般思路：分清折叠前后的对应边、对应角、对称轴，利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角，进行相关的计算或证明.
中考命题预测
1.在ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有____条.
2.如图14，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动____格.
3.如图15，将一副七巧板拼成一只小动物，则∠AOB=____.
4.如图16，小亮拿一张矩形纸如图16 （1），沿虚线对折一次得图16 （2），将对角两顶点重合折叠得图16（3）.按图16（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（）.
A.都是等腰梯形
B.都是等边三角形
C.两个直角三角形，一个等腰三角形
D.两个直角三角形，一个等腰梯形
5.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图17）：
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图l8）.
请解答以下问题：
（1）如图18，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论.
（2）在图18中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出{符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
6.现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可以打开铺平再折第二次）.使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图19（虚线表示折痕）.
除图19外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图20（1）至图20（3）中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作.如图19（2）和图19（1）是相同的操作）.（上接第26页）点同时从点P 出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时问为t（s）.
（1）求PQ的长.
（2）当t为何值时，直线AB与00相切？
3.如图8，在平行四边形ABCD中.AD=4 cm，∠A=60。，BD AD.一动点P从A出发，以每秒l cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD.