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数学思想方法论文范文1
1．数形结合初中数学是一门比较抽象的学科，其包括了空间和数量的关系．数是较为抽象的，而空间是较为直观，对空间感要求较高．为了帮助学生处理好二者的关系，初中数学教学中可以采用数形结合的数学思想方法，通过数与形相互转化，帮助学生深化对于数学知识的理解，加深学生的印象，在提高学生数学成绩的同时，开阔学生的思维，提高学生处理数学问题的能力，培养学生的空间想象能力．
2．归纳总结初中数学教学在为学生讲解新的数学知识的同时，还要注重学生对于已学知识的总结和归纳．在数学知识学习的过程中，总结归纳比之学习新知识更为重要．学生要通过日常的学习，将数学的类型题、不了解的数学知识点、数学的重难点、经常会忽略的数学习题进行归纳总结，有助于帮助学生加深记忆，提高初中数学复习和学习的效率，还能促进教师提高教学的积极性．归纳总结的数学思想方法能够提高学生的观察、总结以及创新能力，进一步促进学生的全面发展，提高数学成绩．
3．方程函数学生在学习初中数学的过程中，方程思想和函数思想是经常会运用到的．教师要引领学生形成方程和函数的思想，借助方程和函数建立模型，解决数学问题，认识数学的本质，打破传统，创新思维．方程和函数思想是帮助学生在处理数学重难点问题时利用顺向思维进行数学方程和函数的构建，从而解决数学问题，帮助学生充分、全面的观察数学问题，提高数学成绩．
4．分类讨论初中数学教学中教师要引领学生形成分类讨论的思想方法，深入观察、探讨问题，透过现象看本质，将数学问题进行分类讨论．初中数学问题都是有规律而言的，学生通过分类讨论不仅能够提高学生分类、观察的能力，而且能够帮助学生形成分类的思考模式，加强学生之间、学生与教师之间的沟通和交流，形成良好的学风，帮助学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高学习效率．
二、初中数学教学中数学思想的教学方法
1．与时俱进，树立正确的数学思想方法的意识经济在发展，时代在进步，初中数学教学中数学思想的教学方法也要进行改革，教师要与时俱进，树立正确的数学思想方法的意识，提高对于数学思想方法的认识．初中数学教学中数学思想方法、教学模式以及教学方法要根据学生的特点进行调整，树立正确的教学目标，认识到数学思想方法的重要性，在日常的教学活动中帮助学生树立数学的思考模式和思想方法．
2．回归教材，充分并深刻掌握教材的重点知识现在很多的初中学生在学习数学的过程中将精力都用在了研究难度较大，较为复杂的题型，但是这样并不能提高学生的数学成绩．研究书本外的数学知识并不适合大多数的学生，学生研究书本外的知识不仅不能提高数学成绩，还会分散学生的精力，造成事倍功半的情况．初中数学教材都是国家根据学生的特点、学生的实际情况由众多的教育专家、资深数学教师编纂而成，是最为适合初中学生进行数学学习，掌握数学知识的．所以，初中数学教师要引导学生回归教材，充分并深刻的分析、掌握教材的重点、难点知识．学生只有回归教材，研究教材中的重点、难点，才能不脱离实际，符合新课程改革的要求，提高数学成绩．
数学思想方法论文范文2
所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，他在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学教学中提出问题、解决问题过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。掌握数学思想方法，就是掌握数学的精髓，因此要使学生领悟、掌握和熟练地使用数学思想方法，不是机械的传授。下面我就在一次函数教学中用到哪些数学思想方法谈谈个人的一些做法：
一、数形结合思想方法
“数无形，少直观，形无数，难入微”。“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简，使抽象变得直观。如：一次函数y=-x+5图象不经过哪一象限？解法一：根据图象性质，k＜0,b＞0过一二四，即不过三象限。解法二：若忘了一次函数图象性质，可做出此函数的图象，问题就迎刃而解了。这就是利用了数形结合思想方法。
三、分类思想方法
当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论，例如一次函数y=kx+b的图象经过哪几个象限，这时就要分四类讨论：
(1)当k＞0,b＞0时，图象经过一二三象限；
(2)当k＞0,b＜0时，图象经过一三四象限；
(3)当k＜0,b＞0时，图象经过一二四象限；
(4)当k＜0,b＜0时，图象经过二三四象限。
三、整体思想方法
整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。例如：已知y+b与x+a（a,b是常数）成正比例，（1）试说明y是x的一次函数：（2）如是x=3时，y=5，x=2时，y=2，求y与x的函数关系式。解决这个问题（1）时，我们就要把y+b与x+a都看成一个整体，设y+b=k（x+a）得出y=kx+ak-b，从而说明y是x的一次函数，解决问题（2）时，当我们把握两组数值代入解析式y=kx+ak-b中后得到一个三元二次方程组，显然不能求出每个未知数的值，但我们可以把ak-b看作一个整体，就可以求出k=3，ak-b=4，从而求出y与x的函数的关系式是y=3x-4，在这个问题中两次运用到整体思想方法。
四、模型思想方法
当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。如若想找出一次函数y=kx+b与x轴、y轴交点，可根据点在坐标轴上的特征，x轴上的点纵坐标为0，即当y=0时，x=-b/k，即与x轴交点为（-b/k，0）。y轴上的点横坐标为0，即当x=0时，y=b，因此与y轴交点为（0，b）。这就用到了方程这一模型思想方法。
五、类比思想方法
当我们要探究一次函数y=kx+b的图象及其变化规律时，由于一次函数y=kx+b的图象可以看作是由正比例函数y=kx的图象平移|b|个单位长度而得到的，因而可以利用之前已经学习正比例函数y=kx的图象及其变化规律类比得出一次函数y=kx+b的图象及其变化规律。
六、特殊与一般思想方法
数学思想方法论文范文3
关键词 计算构建哲学
1 引言
计算学科的飞速发展，改变着人们的生活、工作、学习和交流方式。计算意味着什么？计算学科意味着什么？这些都成为哲学工作者和从事计算机研究、开发的人员必须面对的重大的元问题。建构计算学科根本问题的理论框架，形成计算学科的元理论――计算学科中的哲学问题就成为当务之急。“计算学科中的哲学问题”的提出是在计算机日益成为人们生活重要组成部分时，从哲学的层面对计算机文化现象与计算学科的重新定位和反思。
2 计算学科中的哲学问题提出的客观依据
2.1 计算学科的发展要求从哲学高度对计算学科进行理论阐释
计算学科包括算法理论、分析、设计、效率、实现和应用的系统的研究。全部计算学科的基本问题是，什么能（有效地）自动进行，什么不能（有效地）自动进行，它来源于对数理逻辑、计算模型、算法理论、自动计算机器的研究，形成于20世纪30年代后期。经过几十年的发展，计算学科业已形成了一个庞大的知识体系。主要体现在三大层面：
（1）计算学科的应用层。它包括人工智能应用与系统，信息、管理与决策系统，移动计算、计算可视化、科学计算等计算机应用的各个方向。
（2）计算学科的专业基础层。它是为应用层提供技术和环境的一个层面，包括软件开发方法学、计算机网络与通信技术、程序设计科学、计算机体系结构和电子计算机系统基础。
（3）计算学科的基础层。它包括计算的数学理论、高等逻辑等内容。
还有支撑这三个层面的理工科基础科目，包括物理学（主要是电子技术科学）和基础数学（含离散数学）等。
从计算学科这一庞大知识体系中不难发现，它欠缺计算学科中的哲学问题支撑。计算学科的进一步发展需要从哲学层面对计算学科中的根本问题、重大问题进行理论阐述、分析和评价。因而提出计算学科中的哲学问题就成为计算学科发展的必然趋势。
2.2 计算教育的现状催化计算学科中的哲学问题
ACM和IEEE/CS是美国在计算教育研究领域最有影响的组织。在1989年ACM提交的《Computing as a Discipline》报告中，它不仅第一次规定了计算学科的定义，回答了计算学科中长期以来一直争论的一些问题，更重要的在于它为计算教育创建了一个“新的思想方法”（a new way of thinking），这种“新的思想方法”是对计算教育科学几十年来的概括和总结，也是美国ACM和IEEE/CS联合发表的《Computing Curricula 1991》报告（简称CC91）以及《Computing Curricula 2001》报告（简称CC2001）的基本指导思想，其实这种“新的思想方法”的实质就是计算学科中的哲学问题的内容。
在国内是结合我国的实际情况进行研究，以ACM和IEEE/CS的报告为依据进行分析研究的。中国计算机学会教育委员会和全国高等学校计算机教育研究会组织了“Computing as a Discipline”以及“CC91”的系列研讨活动，对CC2001进行跟踪研究，并分别推出中国“计算机学科教学计划1993”和《中国计算机科学与技术学科教程2002》，提出和完善了具有哲学性质的核心概念的思想。
然而，所有这一切关于计算学科的研究还停留在计算学科方法论层面，没有进一步站在哲学的高度，从新的视角，实现计算机和哲学的有机结合。
3 构建计算学科中哲学问题的现实意义
3.1 计算学科中的哲学问题有助于计算学科的发展
（1）计算学科中的哲学问题有助于确立正确的思想原则，把握正确的研究方向
计算学科中的哲学问题及其方法论是在科学哲学和一般科学技术方法论的指导下建立的，它直接面对和服务于计算学科的认识过程，使人们对计算学科的认识逻辑化、程序化、理性化和具体化，它有助于我们在计算学科的研究中确立正确的思想原则，把握正确的研究方向。
（2）计算学科中的哲学问题有助于计算学科的建设和人才培养
学科建设和培养高素质人才，是一个永恒的话题。计算学科中的哲学问题有助于解决这个问题。计算学科中的哲学问题从学科的核心概念、学科的形态、学科的根本问题、学科的方法等方面出发，深刻地揭示了计算学科的本质，提升对计算学科的认识，从而有助于计算学科的建设。计算学科中的哲学问题对培养计算专业人才也有重要作用。它可以提高抽象思维能力和逻辑思维能力，培养发现问题、解决问题的素质，掌握正确的思维方法，加速其成才。
3.2 计算学科中的哲学问题提供一种独特的研究领域和创新方法
（1）计算学科中的哲学问题代表一个独立的研究领域
计算方法、概念、工具和技术已经开发出来了，而且在许多哲学领域得到了应用，这才是它的迷人之所在。再就是以模型为基础的科学哲学、科学哲学的计算方法论等以阐释科学知识的方法论为目的的领域；最后还有成为当今社会的“显学”的计算伦理学、人工伦理学等哲学问题。
（2）计算学科中的哲学问题能为哲学话题提供一种创新的方法
计算正在改变着哲学家理解那些哲学基础和概念的方式，计算学科中的哲学问题也为哲学提供了令人难以置信的丰富观念，为哲学探究准备新颖的主题、方法和模式提供新的哲学范式，为传统的哲学活动带来了新的机遇和挑战。
4 构建计算学科中哲学问题的基本框架
4.1 计算学科中哲学问题的定义
计算学科中的哲学问题，是个很古老的话题，但在思想史上，成为独立的研究领域却是非常晚的事。计算学科中的哲学问题是从哲学高度对计算学科的重要问题、根本问题进行理论分析、阐释和评价的。它像数学哲学一样，是一种元理论方法。它具有哲学方法论的批判功能。因而计算学科中的哲学问题可以定义为批判性研究的哲学领域，它涉及到计算的概念、本质和基本原理以及对计算学科方法论的提炼和应用，目的是为计算学科的概念基础提供系统论证，从而建立新的理论框架。
4.2 计算学科中哲学问题的基本框架
它包括四个层次和七大方面。
（1）四个层次
①寻求统一计算理论，是计算学科中哲学问题研究纲领的“硬核”。其基本问题就是对计算本质进行反思；同时对计算学科的发展和应用进行分析、解释和评价，重点关注计算学科发展的未来走向。
②创新。其主要目的是为各种计算理论提供哲学方法。创新是计算学科中的哲学最具特色的，也是使计算学科中的哲学问题得以在哲学殿堂确立地位的关键所在。
③体系。利用计算的概念、方法、工具和技术来对传统和新的问题进行建模、阐释和提供解决方案，为上述创新目标的各个分支提炼理论分析框架。
④方法论。这一目标属于传统的科学哲学，它以创新为基础，对计算学科及其相关学科中的概念、方法和理论进行系统梳理，为其提供元理论分析框架。
（2）七大方面
计算学科中的哲学问题除四大层次外，还应包括以下七大方面。
①计算学科的本质探讨。包括：计算是不是一门学科？学科的本质是什么，学科的根本问题是什么？核心是什么？等等。
②计算学科的思维方式。使用计算机解决问题的过程基本上是模拟人类大脑解题的过程，因此有必要分析人类是如何解决问题的，以及在解决问题的过程中人类是如何进行思维活动的。
③计算学科的基本问题、重大问题和未来走向。基本问题是反映计算学科本质的，能对计算学科各分支领域中的核心问题所具有的共性进行高度概括。重大问题是计算学科中的重要的理论模型的瓶颈问题及其未来走向。
④计算学科的创新及其素质要求。计算学科的创新，就是要围绕计算学科的基本问题、重大问题、走向问题、热点问题以及阻障问题进行理性分析、深入探讨和哲学评价，以期推动计算学科的可持续发展。由此就提出对从事计算职业人员的素质要求的研究。
⑤计算学科的方法论分析。计算学科方法论是关于计算领域认识和实践过程中的一般方法的含义、性质、特点、内在联系和变化发展的系统研究。
⑥计算学科的价值原则、伦理原则。价值原则和伦理原则是指对从事计算职业的人员的价值观要求以及道德规范的研究。
⑦计算学科重大成果的哲学分析。如人工智能的哲学问题，现实世界与虚拟空间的哲学问题，语言与知识、信息与内容、形式语言和超文本理论的哲学问题等。
5 小结
计算学科中哲学问题的重点是计算学科的本质探讨，如寻求统一的计算理论，对计算本质的理论反思等。计算学科中的哲学问题的难点是创新，是利用计算的概念、方法、工具和技术来对传统和新的问题进行建模、阐释和提供解决方案，为上述创新目标的各个分支提炼理论分析框架以及计算学科发展中的重大问题的哲学分析等。（本文获“2005年全国青年教师计算机教育优秀论文评比”三等奖）
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数学思想方法论文范文4
关键词：初中数学 教学 有效措施 创新教学
众所周知，数学是中学科目中较为重要的内容之一，在学生全面素质发展中占有重要的地位。随着课程改革的不断深入，初中数学也从传统教学的枷锁中挣脱出来，有了全新的发展方向。本文就初中教学效果的加强进行了简要的分析和探究。纵观初中数学的发展现状，有一些改善是值得欣喜的，但是当前教学方法虽有所更新，仍存有一定问题。这些问题间接或直接影响了教学效果的呈现。笔者从以下从几个方面展开了分析。
一、初中数学课堂教育现状
学习是一种个性化的行为，在数学课堂教学中，作为教师，应当在课堂教学环境中创设一个有利于张扬学生个性的学习场所，让学生在一定的学习氛围中展开学习。但是，由于长期以来应试教育的不良影响压制了学生的学习积极性，数学教学效率跌落到了低谷。广大教育工作者们为了改变这种情况，进行了系统的完善和优化。新课程改革下，数学教学的目标变得务实和长远，不难看出，措施改革的优化为学生学习效果的表现带来很大的助力。在这样关键的时刻，不能忽视个别问题的解决和培养。
二、初中数学中的问题及措施
（一）营造活跃的课堂学习氛围
数学是一门极具严谨思维和周密计算的科学科目，对学生的思维运转提出了高要求。但是，从目前的情况来看，初中数学教学课堂上，教师过于重视学生的技巧练习，强调记忆却不加强理解、强调模范却不鼓励创新，这些不完善的教学方法限制了学生主观能动性的发挥，使数学这门颇具趣味性的学科变成了一门“难学的课”、“枯燥的课”，最终让教学变得枯燥沉闷，严重缺乏热情和活力。
面对这样的课堂，教师如不从深处入手，很难达到教育教学的目标。正所谓“教学相长”，对于教师来说，学生不仅是受教育者，更是传递信息的纽带。现在的学生成长在新事物的包围中，享受着物质生活带来的乐趣，忽视了学习知识所带来的快乐。因此，教师要给予学生发现学习乐趣的眼睛，从学生感兴趣的地方改进教学。
例如，在教学案例几何的方法求证中，无论是课本教材还是板书讲演，都有枯燥难懂的特点，并不能引起学生积极的思考。很多教师往往对此束手无措，这样的情况下，教师可以将新的元素融入课堂教学之中。现下，中学生对计算机的兴趣比较大，教师可以采取多媒体讲述的方法，将几何求证做成PPT、FLASH动画等新颖的形式。带给学生带来新鲜感。
（二）加强初中数学思想方法的培育
营造良好的学习氛围是提升教学效果的一个方面。除此之外，教师要不断发挥自主创新的意识，改进教学方法，提高学生的综合实力和兴趣养成。对于学生来说，数学教学的学习方法是一个难以掌握和理解的问题。有些教师甚至摒弃和忽视了学生数学思想方法的培育，在完成教学目标的同时，对具体知识、结题技巧的训练比较突出，忽视了数学思想方法的运用。而在知识应用的过程中，也过于注意解题的技能经验，对教学深次的方法不能很好地归纳和总结。学生对数学方法的运用是知识转化为教学能力的重要手段，是学生建立完善的数学价值的方法，运用数学思想方法，可以更好的深化数学教学改革。所以说教师对知识归纳方法的积累至关重要。
在教育意义之中，教学方法的重要意义不言而喻。俗话说：“授人以鱼，不如授人以渔。”“鱼”和“渔”的比喻恰似数学教学方法的应用，通过不同的渠道达到数学学习的加强。在解题的过程中，可以利用学生现有的知识，结合相关条件，从不同的角度对问题进行全面分析，通过这些经验的积累，培养学生思维的运转。例如，在三角形内角和的教学过程中，教师可以先让学生估算不同类型的三角和内角度数，然后逐个计算，得到结论三角形内角和为180°。在此基础上，再进行细分的实验验证，让学生剪出各式三角形的纸片，等边、直角、锐角三角形不限。运用“剪一剪”“拼一拼”“算一算”的方法，拼成一个平角。在后期实验的部分，教师完全可以让学生自我创造，根据一种三角形的计算方法，即可得出不同类型三角的内角度数。教学中，学生很好的接受了数学学习方法的渗透，为自身知识的深入和创新奠定了基础。
（三）提高学生的主观能动性
数学教学要让学生在获取知识的同时，挖掘自身的潜力，提高综合素质，激发学生对数学知识的探究。俗话说：“好记性不如烂笔头”，于此可见，智慧来自于亲身的体验和实践。只有学生经过自身的实践，才能获得属于自己独特的收获。教师选择的方法要科学有效，根据不同的教学内容变换不同凡人教学方法。
在目前的教学课堂上，教师一般处于对教学内容的考虑，单一的运用某一种教学方法进行教学，学生很容易感到乏味和枯燥。因此，在教学中，教师要将各种方法进行组合搭配，比如，对比法和和归纳法，完全可以搭配起来运用，将带给学生更多的新鲜感。
总结：
综上所述，为了加强初中数学的学习效率，使学生在课堂上敢于发表自己的意见，教师要深入到学生中间去，构建和谐融洽的学习环境。教师要从学习和生活两个方面了解学生，关心学生，真正做到“课上的师生、课下的朋友、课后的亲人”。学生出现疑问的时候，教师要耐心细致的进行讲解，这些问题的解决都会减少学生的学习压力，在初中数学教学活动中建立良好的师生关系，为学生创设轻松愉悦的学习环境。
参考文献：
[1] 童莉.初中数学教学知识的发展研究[D].西南大学博士学位论文2009
数学思想方法论文范文5
【关键词】中职数学；RMI原理；信息技术；整合
【中图分类号】G712 【文献标识码】B
【论文编号】1671-7384（2015）09-0083-03
RMI原理概述
1. RMI原理即关系映射反演原理
RMI原理即关系映射反演原理（关系Relation、映射Mapping、反演Inversion），是由中国著名数学教育家徐利治教授于1983年首先得出的，它是经过建立一种映射，把所研究的对象从一个结构系统中映射到另一个结构系统中去，利用新的结构系统中的知识，研究问题的解，然后再通过反演，得到原来问题的解答的一种解决问题的思维方法。它是实现化归的一种重要的、规范化的原理。因此，在较复杂的数学问题解决过程中，可以考虑借助于RMI这一模式简化数学问题，达到解决问题的目的。
RMI原理的内容可用框图表示如图1所示。
图1 RMI原理
简单地解释这个框图就是：我们要求的未知目标原象x是一个不容易求出的量，通过含有x的原象关系结构R，利用映射M（一一对应）将所求问题映射到映象关系结构R*，从R*中找出未知原象x的映象x*，如果x*可以确定下来，再通过反演即逆映射M-1就可以将未知目标原象x确定下来。值得注意的是，这里用到的映射M与反演M-1必须是确实可行的，否则整个过程都将无任何意义。
2. RMI原理的具体应用
人们一看到RMI原理，会产生很多的疑问，不知道其是何意。其实，早在我国古代就已经有人运用它来解决问题了，“曹冲称象”就是一个典型的实例。在当时的技术条件下，直接称大象的质量是很难办到的，于是曹冲就想到了利用现代物理学的有关浮力的原理，把称量大象的质量转化为称量与其等重的石块的质量，称量大象转化为称量石块，问题一下子就被解决了。简单地说，RMI原理的基本思想就是数学的化归思想。
此外，我们在利用对数来计算庞大的数字的乘、除、乘方、开方等运算时，常常用的就是这一模式。一般是先取其对数，然后利用对数的性质将乘、除、乘方、开方等运算转化为加、减、乘、除等运算，计算出结果后再求反对数，就得到所需计算的结果。
中职数学教学中RMI原理与信息技术的整合
1.在解决几何问题中的整合应用
学习数学不仅要学习它的知识内容，还要掌握数学的思维、思想和方法。掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解与记忆，领会数学思想方法是通向正迁移大道的“光明之路”。结合中职数学的具体内容渗透数学思想方法，不仅能使学生更好地理解和掌握数学内容，更有利于学生感悟数学思想方法，初步理解数学内容的精神，感受数学科学的精髓和思想。在教学中，教师应注意这种思想在中职数学中的渗透，使学生领会RMI这种重要的数学思想，使他们学会运用这种思想解决在数学学习中遇到的困难，从而达到锻炼思维、激发学习数学的兴趣的目的。而适时引入多媒体、网络等信息化教学手段进行教学，可以大大加快学生对知识理解的进程。
例如，中职数学教材中有这样一个问题：在铁路的同侧有两个工厂A、B，要在路边建一个货场C，使A、B两地到货场C的距离之和最小，如图2所示。问货场C应在什么位置？
图2
要解决这个问题首先要把它数学化，把它变成一个几何问题，即用到建模的思想，然后利用RMI原理进一步求解。因此，可把此问题映射到平面几何中对称的结论，作A以铁路为轴的对称点A’，连结A’B，A’B与铁路的交点就是货场C，此过程中我利用几何画板制作了一个课件，利用软件绘制的生动、形象的图形，让学生通过对直观图形进行观察和测量，理解抽象的理论概念，从而证明C点到AB两点距离之和最短。再反演回到问题的开始，即可得出结论，在整个解题过程中渗透此原理，而信息化教学手段的应用又降低了学生的学习难度，达到了很好的整合效果。
2.在解决应用问题时的整合应用
应用问题从来都是中职学生学习数学的一个难点，教学过程中如何突破难点是一个需要认真思考的问题。数学思想方法总是蕴含在具体的数学基本知识里，处于潜形态。如何挖掘问题中深层次的信息是关键，要获得问题的答案，当然会想到把它化归成我们熟悉的问题来解决，RMI原理的应用就顺理成章了。例如，在人教版中等职业教育课程改革国家规划新教材数学（基础模块）上册（2009版）3.3中有下列例题：一家旅社有客房300间，每间房租20元，每天都客满，旅社欲提高档次并提高租金，如果每间房租每增加2元，客房出租数会减少10间，不考虑其他因素时，旅社将房租租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
我们先设提高x个2元时，利润为y元，把问题映射到y关于x的函数，求出函数的最值，再反演回到问题的开始的原象，问题便得以解决。具体过程思维框图如图3所示。
图3
教师可用多媒体课件把配方的过程加以演示，以提高教学效率。
3.在求函数值域问题中的整合应用
又如求函数f（x）=0.2-x+1（x∈R）的值域，由于直接求原函数的值域有困难，学生很难想出思路，教师适时进行引导，把此问题映射为求其反函数f -1（x）= log（x-1），再求反函数的定义域x>1，反演回到原函数的值域y>1，具体过程思维框图如图4所示。
图4
此时，教师“另辟蹊径”，利用教学软件给出函数y=0.2-x+1（x∈R） 的图像，如图5所示。
图5
学生直接从图像上即可看出函数的值域，遵循了教学的直观性原则，可见“数形结合”的重要性，也体现了信息化教学的优点。
4.求函数解析式时的整合应用
函数中的换元法，也是RMI原理应用的一种表现，即将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量（中间变量），然后找出函数对中间变量的关系，从而取表达式。我们看如下例子：
已知 ，求f（x）的表达式。
本题很难用定义法解决，即通过配方、凑项等使之变形为关于“自变量x”的表达式。因此，可用一个新的变量代替函数中原来的自变量表达式，在此过程中要注意自变量的范围。其过程用框图表示如图6所示。
图6
解题过程：令u=（u≠1），
则x=，
于是f（u）=，
以x代u得：f（x）=x2-x+1。
我在讲授时利用PPT制作了课件，把整个化简的过程加以展示，上课时只须用鼠标作“一指禅”，每次轻轻一点，相关的步骤就自动展现出来。课件还有一个优点就是具有可重复性，老师可根据学生的接受情况，随时返回需要重复的内容，这样提高了课堂的效率，增大了课堂的容量。
以上内容阐述了笔者在中职数学教学中把RMI原理的应用与信息技术整合的几个教学实例，使RMI原理这棵“老树”在信息化教学手段下发出了“新芽”，达到了预期的整合目的。当然，RMI原理的思想方法作为数学思维的重要特点之一，体现了数学的抽象性，是数学思想、数学方法的重要体现。它也不是万能的，因为它并不能独立解题，而是基于应有的数学知识之上，寻求一种将“未知、复杂、困难”的问题转化为“简单、容易”的映射。在新的领域中，使问题得到解决，再“反演”回原来的领域中去。 笔者同时也认为，信息化教学手段更不是万能的，首先，不是每个数学知识点都能用上多媒体，用得不好还有可能分散学生的注意力，干扰学生的解题思维，削弱课堂教学效果，数学课件的设计始终应将解决数学教学中的问题放在第一位；其次，应用多媒体课件上课，教学密度加大了，留给学生思考的时间却少了，有可能产生学生对一些内容感到“一知半解”的结果。因此，我们要不断地探索和实践，这是我们广大教师的责任和追求。
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数学思想方法论文范文6
摘 要：问题转化是数学中常用的思想方法。问题转化思想在微积分教学中的应用很多，包括极限的数学定义、微分中值定理、洛比达法则、定积分以及微分方程等。转化的形式是将一个问题转化为另一个问题，转化的原则是由繁到简，由难到易，直至问题解决。
关键词：问题转化；微积分；极限；微分中值定理；定积分
微积分是高等数学的主要内容，是一般非数学类专业大学生的重要基础课之一。关于学生学习该课程的作用在教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”的《数学学科专业发展战略研究报告》[1]中指出了五个方面：提供必要的数学工具，学会数学方式的理性思维，领会数学文化，培养审美情操以及为终身学习打下基础。这是在现阶段对高等数学教育的指导性文件。其中的工具和基础作用是以往一直强调的，而数学思维以及文化和审美方面在过去并未受到足够的重视。我们认为：思维方式的培养应该以概念、理论等知识点为载体，教师在点点滴滴的教学中有意提升，使这项工作日常化，形成习惯。至于文化和审美方面的培养则需要更高理念的支持。
数学思维方式有很多形态，如归纳、类比、转化等等。其中问题转化是数学中最基本最常用的一种思维方式，它的基本思想为将一种形式的问题转化为另一种形式的问题，将较难的问题转化为简单的问题，从而实现问题解决。这里作者就问题转化思想在微积分教学中的应用谈谈个人的想法和做法。
1 从极限的描述性定义到数学定义的转化
众所周知，极限是整个微积分的基础，它的定义在微积分各部分内容中都有应用。但很多学生在学到极限的数学定义时，无法将其与形象直观的描述性定义画等号，从而产生排斥心理。这种情况甚至影响了他们后继学习高等数学的兴趣。在教学中如何实现从极限的描述性定义（下面简称为A）到数学定义（下面简称为B）的转化是每个教师面临的一大考验。这里我们介绍一种分段转化的教学模式[2]，即在A，B中间插入两种过渡形式A1，A2，下面是数列极限从描述性定义到数学定义的分段转化：
A：当n无限增大时，xn无限接近于a；
A1： 可以任意小，只要n足够大；
A2： （ 为事先给定的一个正数，无论它多么小），只要n足够大；
B：对于任意给定的一个正数 （无论它多么小），总存在正整数N，只要n>N，就有 。
对于函数极限的定义，可类似进行分段转化：
A：当x无限接近于a时， 无限接近于A；
A1： 可以任意小，只要 足够小；
A2： （ 为事先给定的一个正数，无论它多么小），只要 足够小；
B：对于任意给定的一个正数 （无论它多么小），总存在一个正数 ，只要 ，就有 。
恰当地为难于理解的概念设置铺垫是教师在教学中发挥作用的主要方面。李大潜院士在文[3]中指出：教师“要遵循学生的认识规律，要设身处地的站在学生的角度来思考，不应该把自己的高观点直接加到学生身上。拔苗助长的做法只能影响学生打基础，不利于他们今后的成长。”教学实践表明，对极限定义的分段转化符合学生的认知规律，能够尽快实现学生对极限数学定义的认同，进而使学生在解决问题中自觉运用极限的思想方法。这种转化也为定性描述到定量定义提供了一种范例。
2 四个微分中值定理的转化
作为一元函数微分学应用的基础，中值定理是微积分的核心内容之一。从罗尔定理，到拉格朗日中值定理，再到柯西定理，最后到泰勒中值定理[4]，四个定理逐渐深入，层层递进，充分展现了一元可微函数的性质。但这里因为定理多，理论性强，学生在学习中感到吃力。在这一部分教师的作用就是将知识条理化，帮助学生由低级到高级，由简单到深入地理解和掌握这一块知识。
首先看罗尔定理，它告诉我们对于闭区间上连续、开区间内可导的函数，如果还满足两端点函数值相等，那么在区间内必存在一点，函数在该点的导数等于零，也就是在曲线上有一点处的切线平行于x轴。其次，罗尔定理可以推广为拉格朗日中值定理：去掉两端点函数值相等的条件，结论就是曲线上有一点处的切线平行于两端点的连线。而罗尔定理仅仅是拉格朗日中值定理的特殊情况。但是一般情形的导出又恰恰是通过将问题转化为特殊情形实现的。这里蕴含了重要的方法论价值。将拉格朗日中值定理中的曲线以参数方程表示，这可以得到第三个中值定理—柯西定理。并且拉格朗日中值定理还是柯西定理的特例。在问题形式不断转化的过程中，知识就这样一步步展开。最后是著名的泰勒中值定理。因为和泰勒级数的交融关系以及在工程技术中被高频使用，泰勒中值定理实际上是微积分中的一个重量级公式，尤其是在工程师们的眼里。
这个定理因为涉及到高阶导数使得我们无法像前面一样给出直观的解释，但就是这个看起来十分繁琐冗长的结果却可以通过连续运用柯西定理推导出来。这正体现了自然界中的一个常见规律：简单问题叠加后将不再简单；复杂问题往往可以分解成若干简单问题。泰勒定理之精妙所在还在于将微分表达式中的线性主部推广到了任意次多项式，并且将高阶无穷小给出了具体表达式，使人们不仅能够对函数的近似表示有所选择，而且可对误差进行控制。可以说泰勒公式将微分中以直代曲的思想进行得完全彻底。再回头我们会发现，在泰勒定理中n=0时的特殊情况就转化成了拉格朗日中值定理。从而可以将朴素的拉格朗日中值定理蕴含于泰勒定理中。
中值定理的演化犹如人类社会的演化，时而平缓，时而急剧，但一直在起作用的恰恰是最基本的规律。通过教师的有效整合，可以将该部分的各知识点有机地串联起来，形成一个网络。既便于学生理解掌握，又承载了一定的思想方法，收到一举多得的效果。 转贴于
3 洛比达法则的使用
作为微分中值定理的应用范例之一是洛比达法则[5] ，它是微积分中又一个十分经典的问题转化的案例。洛比达法则有多种形式，但核心都是求未定式的极限。在一定条件下两个无穷小（或无穷大）比值的极限等于它们分别求导后的比值的极限。这里需注意的是法则并没有告诉我们极限值是多少，只是将原来的比值极限转化为另一种形式的比值的极限。使用洛比达法则的前提之一是后者的极限易求出。我们只是通过这种转化将问题由繁化简、由难化易，直至最后解决。这里如果问题朝着相反的方向转化，那就要立即停止，另想它法。在教学中教师强调这种转化可以提醒学生进行积极有效地思维，并有意识地训练问题转化思想的运用。
4 关于定积分的定义与性质
初学定积分的人会感觉其定义及其繁琐。为减轻初学者的心理压力，教师可以将冰冷的定义转化为通俗的语言。事实上，定积分蕴含了重要的变量求和思想，这种思想在科学研究和工程计算中十分常见。概括地讲定积分可以分为四步：①分割：将一个量分为若干个小量；②近似：对每个小量进行近似，这里的关键技术是用常量代替变量；③求和：将所有小量的近似值相加；④取极限：当分割无限加细时总量近似值的极限即为其精确值。
类似的事情在二重积分上发生了，仅仅是变量从一个发展到两个，问题的形式和解决的方式可以说是完全重复。那么三重积分的情况怎样呢？也只是再多一个变量而已。如此一来我们就通过这种升级转化实现了一重积分到二重积分、三重积分的过渡。不仅如此，对于两类曲线积分和两类曲面积分也可以继续沿用前面问题转化的思想，顺利引出相应的定义。至此，七类积分的全貌已现，而我们也可以重新归纳积分的本质，即是对可变量的求和。
除了定积分的定义，定积分还有七个著名的性质。由于这些性质的证明要用到定义，而定义形式又具有一致性，因而相应地产生了其他类型积分的性质。不过第二类曲线积分和第二类曲面积分的性质稍有不同，需加注意[6]。
5 微分方程中的问题转化
解微分方程的目的是寻求方程的通解或特解，其中最原始的方法是积分。由于积分问题本身的难度，使得人们十分关注那些能够积出来的方程类型，而对于其他类型的微分方程只好试图通过问题转化化成已解决的类型，因而在这里转化的工作司空见惯。如齐次方程就是通过变量代换化为可分离变量的方程，甚至包括可化为齐次方程的方程类型。另外关于可化为一阶方程的二阶微分方程也总结了三种类型。
特别值得一提的是在解常系数线性微分方程时，我们引入了一个重要的代数方程—特征方程，将原问题的解的形态完全转化为相应的特征方程的根的情况。这种转化将微分方程问题转化为代数方程问题，这种跨领域的转化大大降低了问题的难度，成为问题转化领域的又一个经典案例。
6 结束语
问题转化作为一种重要的思想方法它蕴含于许许多多的概念、定理和公式中，需要我们在教学中不断发现、整理，以充实教学实践。当然还有其他的思维方式也需要教师在教学实践中有意识地运用。大学数学作为一门公共基础课，不仅为学生后继课程的学习准备知识基础，更是培养新一代青年科学思维方法的良好素材。随着时间的流逝，具体的概念或公式可能记不清楚了，但是作为数学文化价值的科学思维方式，如果培养了，则会使学生终身受益[7]。
参考文献
[1]教育部高等教育司.高等理工科专业发展战略研究报告[M].北京:高等教育出版社.2006:1-11.
[2]Donald Trim.Calculus[M]. Scarborough， Ontario:Prentice-Hall Canada Inc. 1993:82-83.
[3]李大潜.关于高等数学教学改革的一些客观思考，大学数学课程报告论坛论文集(2009).北京:高等教育出版社.2010:3-7.
[4]同济大学数学系.高等数学(第六版)(上册)[M].北京:高等教育出版社.2007:128-145.
[5]吴建成.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2005:153-157.
