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卷积神经网络综述范文1
【关键词】人工智能 图像识别 深度学习
1 概述
图像识别技术是人工智能研究的一个重要分支，其是以图像为基础，利用计算机对图像进行处理、分析和理解，以识别不同模式的对象的技术。目前图像识别技术的应用十分广泛，在安全领域，有人脸识别，指纹识别等；在军事领域，有地形勘察，飞行物识别等；在交通领域，有交通标志识别、车牌号识别等。图像识别技术的研究是更高级的图像理解、机器人、无人驾驶等技术的重要基础。
传统图像识别技术主要由图像处理、特征提取、分类器设计等步骤构成。通过专家设计、提取出图像特征，对图像M行识别、分类。近年来深度学习的发展，大大提高了图像识别的准确率。深度学习从大量数据中学习知识（特征），自动完成特征提取与分类任务。但是目前的深度学习技术过于依赖大数据，只有在拥有大量标记训练样本的情况下才能够取得较好的识别效果。本文认为研究如何在标记数据有限的情况下继续利用深度学习完成物体识别任务具有重要意义。这也是未来人工智能研究的重要方向之一。
2 传统图像识别技术
传统的图像识别技术包括：图像获取、预处理、特征提取、分类。在图像输入后，需要先对图像进行预处理。一幅标准灰度图像，如果每个像素的像素值用一个字节表示，灰度值级数就等于256级，每个像素可以是0～255之间的任何一个整数值。一幅没有经过压缩处理的640×480分辨率的灰度图像就需要占据300KB的存储空间。通常我们需要将图片的亮度及对比度调整合适，才能使图片更加清晰、便于观察。
许多采集到的图片带有或多或少的噪声，需要对图片的噪声进行消除。对图片噪声的消除可以使用不同的去噪方法，如中值滤波、算数平均滤波、平滑线性滤波和高斯滤波等。不同滤波器分别适用于不同情况的噪声。如椒盐噪声便适合使用中值滤波器，高斯噪声便适合使用平滑线性滤波和高斯滤波。有时候，我们需要对图像细化处理（如指纹细化，字符细化等），以便获取主要信息，减少无关信息。细化操作，可以得到由单像素点组成的图像轮廓，便于后续特征提取操作。
基本的图像特征提取包括边缘、角点等提取。一般使用不同的特征提取算子结合相应的阈值得到这些关键点。另一类在频域中进行特征提取的方法主要是通过傅里叶变换，将图像基于频率分为不同的部分，从而可以在频谱中反映出原始图像的灰度级变化，便可得到图像的轮廓、边缘。
在完成图像的预处理和特征提取之后，我们便能够对图像进行识别、分类。常用的分类器有K-近邻（KNN），支持向量机（SVM），人工神经网络（ANN）等等。K-近邻算法原理是，当一个样本的k个最相邻的样本中大部分属于某一类别时，该样本也应当属于同一类别。支持向量机是通过寻找支持向量，在特征空间确定最优分类超平面，将两类样本分开。人工神经网络模仿生物大脑中的神经网络结构，通过误差反向传播不断优化参数，从而得到较好的分类效果。
3 基于深度学习的图像识别技术
一般认为深度学习技术是由Hinton及其学生于2006年提出的，其属于人工神经网络分支。深度神经网络模仿人脑的神经机制来分析样本，并尽可能地对样本的特征进行更深度的学习。以图片为例，利用深度学习技术对样本的特征进行学习时，由低层特征到高层特征越来越抽象，越来越能表达语义概念。当样本输入后，首先对图像进行卷积与下采样操作，卷积和下采样操作是为了进行特征提取和选择。以原始像素作为输入，深度学习技术可以自动学习得到较好的特征提取器（卷积参数）。深度学习的训练过程，首先将当前层的输出作为下一层的输入，进行逐层分析，使得每一层的输入与输出差别尽可能小。其后，再联合优化，即同时优化所有层，目标是分类误差最小化。
传统的深度神经网络往往网络中的节点数太过庞大，难以训练。人们构造出卷积神经网络，以权值共享的方式减少了节点数量，从而能够加深学习的深度，使系统能学习到更抽象、更深层的特征，从而提高识别正确率。目前较成功的深度学习网络结构有AlexNet、GoogLeNet、ResNet等。
与传统识别技术相比，深度学习技术具有以下优势：
（1）无需人工设计特征，系统可以自行学习归纳出特征。
（2）识别准确度高，深度学习在图像识别方面的错误率已经低于人类平均水平，在可预见的将来，计算机将大量代替人力进行与图像识别技术有关的活动。
（3）使用简单，易于工业化，深度学习由于不需要领域的专家知识，能够快速实现并商业化，国内较知名的深度学习创业公司有专注人脸识别的Face++、研究无人车的驭势科技等。
4 存在问题与未来展望
虽然深度学习具备诸多优点，但目前来看深度学习仍有许多不足之处。首先，由于深度学习模型为非凸函数，对其的理论研究十分困难，缺乏理论保证。在对数据进行调整时，仍是简单的“试错”，缺少理论支撑。
同时，由于深度学习过于依赖数据量和计算资源。对一个新概念的学习，往往需要数百个甚至更多有标记的样本。当遇到有标记的样本难以获取或者代价太大时，深度学习就无法取得好的学习效果。并且深度学习需要十分昂贵的高性能GPU，这使得深度学习难以平民化。目前深度学习训练速度较慢，往往需要几天甚至一个月。其模型扩展性差，缺少“举一反三”的能力，样本稍加变化，系统性能便会迅速下降。目前的深度学习属于静态过程，与环境缺乏交互。
对其的解决方案目前主要有两点：
（1）针对于模型扩展性差的问题，通过引入迁移学习，研究不同任务或数据之间的知识迁移，提高模型的扩展能力、学习速度，同时降低学习成本，便于冷启动。
（2）与强化学习结合，研究在动态环境下进行深度学习，提高深度学习与环境交互的能力。
参考文献
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卷积神经网络综述范文2
当今世界，无线通信技术发展迅速，无线通信进入第五代（5G）时代需实现上千倍容量，毫秒延迟和大量的连接[1-2]。为了满足上述要求，一些关键技术，如大规模多输入多输出（Mul-tiple-InputMultiple-Output，MIMO），毫米波（MillimeterWave,mmWave）等已被提出。这些技术在工程应用中均表现出相同的特点，即具有处理大型无线数据的能力。对于无线通信，其对移动速度和通信质量具有较高的要求，然而在满足大数据和高速复杂场景中的通信需求中，传统的通信技术存在以下固有的局限性：（1）复杂场景中信道建模困难：通信的设计系统在很大程度上依赖于现实的信道条件。而在实际应用中，这些模型的建模在复杂的场景中变得十分困难[3]。例如，在大规模MIMO系统中天线数量的增加改变了信道属性[4]，相应的信道模型存在未知的因素。很多情况下，信道不能用严格的数学模型来描述。因此，设计适合信道模型的算法必不可少。（2）鲁棒的信号处理算法的需求：使用低成本硬件，例如低功耗、低分辨率模数转换器[5]引入了额外的信号非线性失真，这需要使用高鲁棒的接收处理算法，例如，信道估计和检测的算法。然而,使用这些算法可能会增加计算的复杂度。在这种情况下，具有实时大数据处理能力且更有效和高鲁棒的信号处理算法是必需的。（3）块结构通信受限系统：传统的通信系统由几个处理模块，如信道编码、调制和信号检测，尽管研究人员多年来尝试优化每个算法的处理模块并在实践中取得成功，但并不能使得整个通信系统能得到最优的性能，因为通信的根本问题取决于接收端可靠的消息恢复[6]。因此，如果对每个模块进行的子优化替换为端到端的优化，就有希望进一步改进系统性能。深度学习（DeepLearning,DL）近年来因成功应用在计算机视觉、自动语音识别和自然语言处理等领域而获得广泛关注，是典型的大数据依赖的学习框架。同时，研究人员也把DL广泛应用到了无线通信的物理层[7-11]。与传统的机器学习算法[12-14]相比，DL显著增强了特征提取和结构灵活性。特别是基于DL的系统通过端到端优化灵活地调整参数来自动调整模型结构，这可以代替手动从原始数据中提取特征。基于DL的通信系统具有良好的应用复杂场景主要有如下原因：首先，DL是一种数据驱动的方法，其模型是在大型训练数据集上优化得到的，基于DL的通信系统不需要建立数学模型。其次，能够处理大数据也是DL重要的特点，DL采用分布式并行计算体系结构，保证了计算速度和计算速度处理能力。DL系统由于其拥有快速开发并行处理体系结构，如图形处理单元，在处理大数据上具有巨大的潜力。最后，基于DL的通信系统可实现整个系统性能的改进，因为模型经过端到端的训练优化了整体的性能，而对单个模块结构没有要求。本文旨在对近年来在基于大数据的DL在无线通信物理层的研究作出综述，本文的组织结构如下：第二节简要概述无线通信物理层的系统框图。第三节介绍了几个DL应用到通信物理层的示例。第四节讨论了未来研究的领域和挑战。第五节是全文总结。
1通信系统模型
它是一个模块结构，包括信道编码、调制、信道估计、信道均衡、信道译码和信道状态信息（ChannelStateInformation，CSI）反馈等模块。通信算法是在长期的研究中发展起来的，以优化通信系统其中的模块。之前有研究试图利用传统的机器学习方法，作为特定模块的替代算法。DL架构最近被引入到几个处理模块中以适应新兴的复杂通信场景，以期达到更优的性能。
2几个典型的DL应用到物理层的案例
本节给出了一些DL应用在通信物理层的典型例子，包括联合信道估计和信号检测、联合均衡和信号译码、大规模MIMOCSI压缩反馈和mmWave大规模MIMO混合预编码。下面分别进行介绍。
2.1联合信道估计和信号检测
一般信道估计和信号检测是接收机的两个独立过程。首先，CSI通过导频来估计，然后利用估计的CSI在接收端恢复发送符号。文献[7]提出了一种联合信道估计和信号检测方法。具体地说，一个带有五层全连接层的深度神经网络（DeepNeuralNetwork,DNN）用于联合信道估计和检测，这里将信道看作一个黑盒子。在离线训练中，发送数据和导频形成帧，然后这些帧经过一个时变信道。该网络把接收信号作为输入，通过训练网络来重构发送数据。当导频不足、去掉循环前缀和非线性失真几种情况下，基于DNN的信道估计和检测方法都优于最小均方误差方法。
2.2联合均衡和信号译码
文献[15]提出了一种联合均衡和信号译码的方法，该方法中在不知道CSI情况下，基于神经网络的联合均衡器和解码器可以实现均衡和译码。这里使用两个神经网络，首先,卷积神经网络（ConvolutionalNeuralNetworks，CNN）用于恢复失真的发送数据，然后DNN解码器对CNN网络均衡后的信号进行解码。实验结果表明，在各种信道条件下，该方法的性能优于其他基于机器学习方法。其中分别表示比特流符号，发送符号，接收符号，均衡后的符号和译码后的符号。
2.3大规模MIMOCSI压缩反馈
在频分双工网络中，大规模MIMO依赖于CSI反馈来实现基站端天线的性能增益。然而，大量天线导致过多的反馈开销。已经大量工作通过利用CSI的空间和时间的相关性来减少CSI反馈开销。利用CSI的稀疏特性，压缩感知（Compressedsensing，CS）已被应用于CSI压缩反馈中。然而，传统的CS算法面临挑战，因为现实世界的数据并不完全稀疏，现有信号恢复算法的收敛速度很慢，这限制了CS的适用场景。CsiNet[16]被提出来模拟CS信道压缩反馈的过程。取角延迟域的信道矩阵作为输入，编码器的第一层是生成两个特征图的卷积层。然后将卷积后的数据重新排列为N×1大小的适量，再利用全连接层生成M×1大小的压缩数据(MN)。由于不需要CS测量矩阵，减少了反馈开销。在解码器上，利用一个全连接层、两个残差层和一个卷积层对压缩的CSI进行重构。结果表明，CsiNet算法在不同压缩比和复杂度上的性能明显优于基于CS的方法。
2.4基于DL的mmWave大规模MIMO混合预编码
mmWave一直被认为是一种5G的重要方案，其中混合模拟和数字预编码是一种重要的可以减少硬件复杂性和能耗的方法。然而，现有的混合预编码方案受限于高计算复杂度，且不能充分利用空间信息。为了克服这些局限性，文献[17]提出了一个基于DL的mmWave大规模MIMO混合预编码框架，其中每个预编器的选择被视为一种DNN的映射关系。具体地说,通过训练DNN选择混合预编码器来优化mmWave大规模MIMO的预编码过程。实验结果表明，基于DNN的混合预编码方法能降低mmWave大规模MIMO的误码率和增强频谱效率，在保证更优的性能的同时，能大大减少所需的计算复杂度。
3挑战
DL在无线通信系统物理层中的应用是一个新的研究领域，虽然已有的研究表现出了较好的结果，但是在未来的研究中一些挑战值得进一步探讨。（1）模型的选择在基于DL的通信框架下，神经网络的设计是核心挑战。许多基于DL的技术都是按照通用模型开发的。例如，计算机视觉总是使用CNN，而LSTM则通常用于自然语言处理领域。然而，我们想知道是否有基于DL的无线通信模型，我们认为，通用模型将有助于在实践中得到实现。在工程项目中，不仅通用模型提高了优化通信框架的便利性，也可以减少模型选择的成本和时间。在可以得到通用的模型之前，这个问题还需要广泛的探索。（2）系统性能与训练效率的权衡现有的工作表明了基于DL的数据驱动模型在物理层通信中的强大功能。然而，即使DL可以通过端到端学习来优化通信系统性能，当所有通信模块被融合在一起时，训练过程将花费很长时间。为了提高训练效率，达到良好的系统性能，可以保留部分通信模块，以实现训练效率和系统性能两者之间的权衡。（3）严谨的数学证明和基本的理论总的来说，基于深度学习的通信框架的性能已经在信道估计、均衡、CSI反馈等场景得到了证明，然而，我们还没有推导出严谨的数学证明和基本的理论来进一步验证其框架的性能。推导出基本的理论也会有所帮助我们了解通信框架，这将是改进网络和开发更高效的通信框架的基础。同时，训练所需的训练集大小也是不一定的，基于DL的通信框架是否能得到最优的性能仍然存在不确定性。（4）真实数据集的获得近年来DL技术应用于各种领域，并且得到飞速发展，这很大程度上归功于能够获得真实的开源数据集。训练和测试数据集的质量和数量对基于DL框架的性能有很大的影响。在计算机科学领域，随着自然语言处理，计算机视觉和自动驾驶的飞速发展，已经提供了许多公开的的数据集，如ImageNet和MNIST。然而，在基于DL的无线通信领域，虽然有一些数据集可以应用于某些领域，但目前存在的可用数据集很少。为了便于研究，未来还需要有一些可靠的数据集。
卷积神经网络综述范文3
【关键词】Android平台 人脸检测 人脸识别系统
1 引言
近年来，信息安全越来越受到人们关注，身份验证和识别技术成为众人瞩目的焦点，生物特征识别技术和人工智能技术不断更新发展，其中，人脸识别技术因具有并发性、非接触性、非强制性、操作简单等特点，被越来越广泛地运用到各个领域中。Android系统是目前移动设备的主流操作系统之一，在移动操作系统市场份额中占据了主导地位。随着人们在移动领域信息安全意识的提高，在移动平台上进行人脸识别具有广阔的发展前景，同时也面临诸多挑战。本文结合Android移动终端的特点，研究基于Android的人脸识别系统的实现，更好地满足移动领域信息安全方面的市场需求。
2 人脸识别原理
人脸识别技术是一种基于生理特征的识别技术，通过计算机提取人脸特征，并根据这些特征进行身份验证的一种技术。广义的人脸识别过程包括人脸图像采集及预处理、人脸检测与特征提取和人脸的对比与识别三大部分，其原理如图1所示。
人脸检测的算法有很多种，典型的有特征抽取算法、人脸小波检测、基于模板匹配、神经网络、支持向量机方法、Adaboost算法等。本文选择Adaboost算法实现人脸检测。人脸识别技术包括特征提取和特征识别，实现方法可概括为3类：基于几何特征方法（欧式距离判别法）、基于模板方法（特征脸方法、神经网络方法等）和基于模型方法（隐马尔科夫方法）。本文选择基于LDP的特征脸算法实现人脸特征提取与特征识别。
3 人脸识别算法
3.1 图像预处理
现实生活应用人脸检测与识别系统时，人脸的图像是在各种随机的场景下由摄像头或照相机拍摄的，因此受到光照变化、背景色彩、设备质量以及人脸姿态等因素的影响，需要对其进行预处理，主要包括光照补偿、滤波去噪处理和几何归一化的处理，经过这些处理，后期操作中将得到较好的识别效果。
首先定位人眼。为了提高定位效率，先确定人眼在人脸图像中的大概位置，然后基于这个大致的范围，采用灰度积分投影和灰度差分积分投影相结合的方法精确定位人眼：
M（y）=kphori（y）- Dhori（y）
其中，k为系数，K phori（y）为灰度积分投影，Dhori（y）为灰度差分积分投影。
其次是脸部图像的几何变换和剪裁，根据所检测到的人眼位置，通过图像旋转、剪裁、缩放等手段，使得脸部图像中人眼是对齐的且不包含背景、额头、耳朵和下巴，并将处理后的脸部图像缩放到70×70固定大小。
再次是分离直方图均衡，这个过程能够使得每一个脸部图像都具有相同的对比度以及亮度。
最后是图像平滑，图像平滑能够有效地减少图像的噪声。
3.2 人脸检测
自适应增强（adaptive boosting，AdaBoost）是一种需要监督的机器学习算法。特征选取和特征计算决定了AdaBoost算法的运行速度。Viola等人提出了基于Haar特征的AdaBoost人脸检测算法。本文使用Haar 特征进行特征提取。
基于特征的检测能对选定区域的状态进行编码。矩形特征是对输入图像使用矩形进行提取特征。Haar特征是一些由黑白矩形组成的特征，脸部的一些特性可以用矩形特征简单地描述，矩形特征值是两个不同的矩形区域像素和之差。如果图像特征表示眼睛的颜色比脸颊上端的颜色深。可以用特征值来编码特征，特征值定义为：
V=Sum黑-Sum白
其中，Sum黑、Sum白分别表示黑色和白色矩形覆盖区域的像素和。
使用Viola等人提出的积分图像的概念，可加快矩形特征的计算速度。进而计算出Haar特征的特征值，定义积分图中位置（x，y）处的值为待测图像位置（x，y）处的上方和左侧所有像素之和。
S（x，y）=s（x，y?1）+i（x，y）
C（x，y）=c（x?1，y）+s（x，y）
其中，c（x，y）为积分图在（x，y）点处的值，i（x，y）为原图像素点（x，y）处的灰度值，s（x，y）表示一行灰度值的累加和。初始时s（x，-1）=0，c（-1，y）=0。
弱分类器对正负样本分类的准确率应大于 1/2，这样训练算法最终收敛。一个弱分类器 h（x，f，p，θ）：其中 1 表示人脸，0 表示非人脸。
计算在每个特征f下的所有样本特征值，并进行排序。然后扫描一遍排好序的特征值，从而确定特征f的一个最后阈值，最终训练成一个弱分类器。所有迭代得到的弱分类器，并按照―定的权值叠加起来，得到一个强分类器。将多个强分类器连接起来，得到Adaboost级联分类器。如图2所示。
3.3 人脸特征的提取
局部二值模式LBP（Local Binary Patterns）是一种从局部纹理定义中衍生出来的算法，所谓的纹理是图像分析中常用的鉴别特征，它所含有的信息能够表征物体表面的变化。由于其优秀的分类特性和计算的简便性，使得其广泛的运用于图像检索、人脸分析和工业检测等领域。
Ojala等人提出的LBP算子的模板大小被定义为3x3，以此模板依次扫描图像中的像素点，将该模板的中心点位置的灰度值与周围位置的8个灰度值相比较，若邻域位置的灰度值大于中心位置的灰度值则该邻域位置标记为l，相反标记为0；将这中心像素点周围的8个像素点顺时针依次连接组成8位二进制数；将该二进制数转换为十进制数，替代中心像素点位置的像素值。
gc代表中心像素位置的灰度值大小，P为该中心位置周围邻域像素点的个数，gi（i=O，l，...，P-1）是周围第i个像素位置的灰度值。则以（xc，yc）为中心位置的一个局部邻域的纹理特征可以表示为：
LDP算法结合了LBP的优点，在其基础上考虑到特征的方向性，能更有效和更为鲁棒的描述人脸。与LBP码相类似，我们需要对得到的卷积结果进行二值化处理，需要选定一个阈值。这里我们对返回的卷积结果的绝对值b0，b1，b2，b3，b4，b5，b6，b7从大到小进行排序，取其中第K个大小的值为阈值，大于该阈值的赋值为1，相反为0。
LDP算子对于存在噪声和非均匀的光照变化的图像具有更好的鲁棒性。
4 Android平台人脸识别系统设计
4.1 Android JNI技术
本文所研究的人脸识别算法是由C语言实现，并且调用了Opencv库，这样相对于使用Java语言实现有较高的执行效率。Android系统应用层采用的Java语言，但Android系统中也提供了JNI接口使得在Android程序中能方便的调用C语言或其他语言。JNI位于本地库与Java框架层之间，其结构如图3所示。
4.2 系统功能模块
Android平台上的人脸检测与识别系统主要由图像采集模块、人脸图像预处理模块、人脸检测模块、人脸注册模块和人脸识别模块等共五个模块组成。
图像采集模块：利用Android平台摄像头进行图像采集，调用Opencv库，实现调用摄像头、对拍摄的物体进行自动对焦、连续拍照等功能，快速获取图像帧的信息。
人脸图像预处理模块：对采集到的图像帧进行光照补偿、滤波去噪处理和几何归一化的处理等处理。
人脸检测模块：经预处理的图像采用Adaboost人脸检测方法获取人脸，并对裁剪出的人脸图像进行标记。
人脸注册模块：经过训练后可以输入姓名，然后可连续录制十张照片，并按照人脸检测中的步骤提取出10张人脸照片保存到SD卡中，将人脸姓名和编号按顺序写入faceN.txt文件中。
人脸识别模块：根据测试者人脸图像计算人脸LDP特征，得到识别结果。如果测试者的人脸特征在我们设置的阈值的内则，输出识别人脸的姓名，否则提示人脸库中无此人，请摆正人脸配合识别。
本文设计并实现了基于Android的人脸识别系统。针对Android平台的硬件能力有限的特点，开发了一种适用于Android平台的系统资源消耗较少的人脸识别系统。系统开发过程中主要使用了Adaboost人脸检测算法和基于LDP特征脸的人脸识别算法，采用OpenCV视觉开源库在Android平台上加以实现，目前该入脸识别系统已经达到较高的识别水平，具有很好的实用性和应用前景。
参考文献
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卷积神经网络综述范文4
随着各行各业对板带材质量要求的不断提高，轧辊偏心成为影响产品质量的不容忽视的重要因素。厚度控制过程中的轧辊偏心控制技术的开发和研究仍然是板带材轧制所面临的共同课题。我国对轧辊偏心控制问题的研究还不深入，本论文的工作就是试图在这方面做些努力。
本文的研究内容是厚度控制过程的轧辊偏心控制技术，着重探索应用重复控制抑制轧辊偏心的控制方法，从频域和离散域两个方面提出厚度控制系统的重复控制器的设计方案，并对方案在稳定性、稳态特性、过渡过程特性和鲁棒性方面进行理论分析，同时对系统进行仿真研究。本文的主要工作如下：
⑴ 给出了冷轧厚度控制的数学模型和轧件硬度波动前馈补偿的控制模型；对轧辊偏心进行了系统、深入的研究，给出获得偏心信号模型的改进快速傅立叶变换的方法；
⑵ 针对单输入单输出PID厚度控制系统，首先提出了单轧辊偏心扰动重复控制频域设计方案，在重复控制环节中引入一种补偿器，有效提高了系统稳态精度。其次提出了多轧辊偏心扰动重复控制频域设计方案，提出了轧辊偏心的并行重复控制器结构。
⑶ 针对多输入多输出厚度、张力控制系统，首先给出了系统控制对象模型，其次提出了单轧辊偏心重复控制频域设计方案，然后扩展到多轧辊偏心控制系统，并给出了单轧辊偏心扰动和多轧辊偏心扰动时重复控制补偿器的设计方法。
⑷ 针对重复控制对偏心扰动的基波及其谐波抑制效果较好，而对基波和谐波附近频率扰动的抑制较差问题，提出了一种鲁棒重复控制结构，这种结构对轧辊偏心扰动信号的周期不确定性有较强的鲁棒性。
⑸ 因工程中普遍采用数字化设计，对于流量AGC、反馈AGC控制结构及流量AGC、反馈AGC、轧件硬度前馈的控制结构分别提出了单轧辊偏心、双轧辊偏心及多轧辊偏心鲁棒数字重复控制器设计方案。这些设计方案能有效地降低补偿器阶次。
理论分析和仿真结果证明上述提出的系统设计方案的有效性。
Application study on roll eccentricity control on cold rolling AGC system based on repetitive control
Abstract
As the tolerance requirement for the thickness of steel plate and strip products getting tighter and tighter, the roll eccentricity is becoming more and more important factor affecting the product quality. To precisely control the flat rolled products in cold rolling, an investigation on roll eccentricity becomes essential and such research is lacked in our country so far. In this thesis, attention is focused on control of gauge of steel plate and strip in the presence of periodic disturbances such as the eccentricity.
Repetitive control system, known to be effective for periodic disturbance, seems to fit naturally with the eccentricity compensation problem. The roll eccentricity control technologies in cold rolling of flat rolled strip based on repetitive control theory are mainly studied in this dissertation. The key innovations of this paper are summarized as follows:
⑴ The mathematical models of steel plate and strip gauge control are presented. A control scheme of feed forward compensation for material rigidity is put forward. Through theoretical analysis, the characteristics of roll eccentricity are summarized. An modified Fast Fourier Transform algorithm of acquiring roll eccentricity signal is proposed.
⑵ For SISO PID gauge control system, design in the frequency domain based on repetitive controller rejecting single roll eccentricity disturbance is introduced. A compensator is included for the first time in the control scheme. In addition, a control structure of repetitive controllers resisting multi roll eccentricity disturbance is proposed. All the design schemes have been analyzed. Simulations show that proposed schemes are effective.
⑶ For MIMO gauge and tension control system, repetitive control for a single roll eccentricity compensation is first presented.The structure is then extended to the case of multiple roll eccentricity. The design method of compensator of repetitive controllers is introduced. Theoretical analysis and simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of the repetitive control structure proposed.
⑷ Repetitive control is useful if periodic disturbances act on a control system. Perfect (asymptotic) disturbance rejection can be achieved if the period is known exactly. For those cases where the roll eccentricity period changes, a robust repetitive controller structure is proposed. It uses a robust repetitive control structure in the feedback configuration, so that small changes of period do not degrade the disturbance rejection properties. The robust repetitive controller shows good result for rejecting eccentricity.
⑸ The digital robust repetitive control schemes compensating single and multiple roll eccentricity are proposed. The design framework can reduce the order of compensator effectively. The gauge adopt the structure of constant volume flow AGC and feedback AGC , avoiding system instability caused by control delay of measurement of height instrument. The material rigidity feedforward is added to the gauge control structure. The theoretical analysis and simulation results on the two gauge control structure show a good performance on the rejection of disturbances such as eccentricity.
目 录
摘 要 1
Abstract 2
1 绪论 1
1.1 问题的提出 1 1.3 重复控制理论研究现状 12
1.4 本文的主要工作及各部分内容安排 14
1.4.1 主要研究内容 14 2 轧辊偏心问题的理论分析和冷轧板板带厚度控制模型 17
2.1 轧辊偏心问题的理论分析 17
2.1.1 辊身和辊径不同轴的情况 17 2.1.3 偏心信号的采集和处理 20
2.1.4 应用MMFFT方法的偏心控制方案 31
2.2 带钢厚度控制模型 35
2.2.1 带钢冷轧过程的基本方程 35
2.2.2 厚度反馈控制模型 38
2.2.3 前馈控制模型 41
2.3 本章小结 44
3 冷轧SISO板厚控制过程中轧辊偏心的重复控制 45
3.1 单轧辊偏心扰动重复控制系统 45
3.1.1 厚度控制系统结构及组成 45 3.1.3 重复控制环节的设计 54
3.1.4 重复控制和鲁棒PID控制混合设计 58
3.2 双轧辊偏心重复控制系统 61
3.2.1 双轧辊偏心重复控制系统的结构及仿真 61
3.2.2 系统稳定性分析 62
3.3 多轧辊偏心重复控制系统 65
3.3.1 多轧辊偏心重复控制系统的结构及仿真 65
3.3.2 系统稳定性分析 66
3.4 本章小结 67
4 MIMO厚度、张力控制系统的轧辊偏心重复控制 69
4.1 厚度和张力控制系统结构和对象模型 69
4.1.1 过程控制模型 69 4.1.3 厚度、张力及速度控制系统的解耦 75
4.1.4 闭环控制系统仿真 78
4.2 单轧辊偏心扰动重复控制系统 80
4.2.1 系统结构 80
4.2.2 系统穩定性分析 80
4.2.3 系统品质分析 83
4.2.4 系统鲁棒性能分析 84
4.2.5 重复控制器设计 84
4.2.6 系统仿真 85
4.3 多轧辊偏心扰动重复控制系统 86
4.3.1 系统结构 86
4.3.2 系统稳定性分析 87
4.3.3 系统性能分析 88
4.3.4 系统鲁棒性分析 89
4.3.5 系统设计及仿真 90
4.4 本章小结 96
5 周期不确定的轧辊偏心鲁棒重复控制系统 97
5.1 周期不确定轧辊偏心扰动的重复控制原理和结构 97
5.1.1 常规重复器的结构及其对周期不确定扰动抑制分析 97 5.2 周期不确定单轧辊偏心扰动的鲁棒重复控制系统 106
5.2.1 系统稳定性分析 107
5.2.2 系统动态性能 108
5.2.3 系统鲁棒性分析 108
5.2.4 系统仿真 109
5.3 多周期偏心扰动的鲁棒重复控制系统 110
5.3.1 系统的结构及稳定性 110
5.3.2 双轧辊偏心扰动的鲁棒重复控制系统仿真 112
5.4 本章小结 113
6 厚度控制过程的轧辊偏心扰动数字鲁棒重复控制 114
6.1 数字重复控制器抑制扰动信号的原理 115
6.2 单周期(基波)扰动的鲁棒数字重复控制系统 116
6.2.1 系统结构 116
6.2.2 单周期扰动鲁棒重复控制系统的稳定性 119
6.2.3 单周期扰动鲁棒重复控制系统约束条件分析 121
6.2.4 单轧辊偏心(基波)扰动数字鲁棒重复控制系统 124
6.3 基波及二次谐波扰动鲁棒数字重复控制系统 126 6.3.2 数字重复控制器的设计 129
6.3.3 单轧辊偏心扰动(基波及二次谐波)鲁棒数字重复控制系统 129
6.4 多周期扰动鲁棒数字控制系统 131
6.4.1 系统的结构及鲁棒稳定性 131
6.4.2 双轧辊偏心扰动鲁棒数字重复控制系统 134
6.5 本章小结 135
7 总结与展望 136
7.1 本文的工作总结 136
7.2 今后研究展望 136
参 考 文 献 138
在学研究成果 145
致 谢 146
绪论
问题的提出 冷轧过程中，影响产品厚度精度的因素很多，但大体可分为两大类[3～5]，即轧件工艺参数的变化和轧机状态的变化。轧件工艺参数的变化，主要包括材料的变形抗力和坯料尺寸以及张力、工艺等轧制工作条件的变化。板带材的化学成分和组织的不均匀、焊接时的焊缝等都会造成材料变形抗力的变化，在冷轧时引起出口厚度的波动。热轧钢卷(来料)带来的扰动主要有热轧带厚不匀，这是由于热轧设定模型及AGC控制不良造成的，来料厚度不均匀将使实际压下量产生波动，导致轧制压力和弹跳的变化，进而影响产品厚度精度；热轧卷硬度不匀(变形阻力)，这是由于热轧终轧及卷取温度控制不良造成的。来料厚差将随着冷轧厚度控制逐架减少。但来料硬度确具有重发性，即硬度较大或较小的该段带钢进入每一机架都将产生厚差。冷轧时带钢前后张力的变化、轧制速度的变化及摩擦系数波动等也是造成轧出厚度波动的原因。带钢轧制过程中的张力变化会改变变形区应力状态，从而造成轧制压力的波动和轧出厚度的不均。轧制速度变化主要是通过摩擦系数、轴承油膜厚度来影响轧制压力和实际辊缝，导致轧出厚度的变化。轧机本身的扰动主要包括不同速度和压力条件下油膜轴承的油膜厚度将不同(特别是加减速时油膜厚度的变化)、轧辊偏心、轧机各部分热膨胀、轧辊磨损等。轧辊偏心是高频扰动，会引起板厚周期性波动，影响产品质量。
此外还有工艺等其它原因造成的厚差，属于这类的有：不同轧制乳液以及不同速度条件下轧辊－轧件间轧制摩擦系数的不同(包括加减速时的摩擦系数的波动)；全连续冷连轧或酸洗－冷连轧联合机组在工艺上需要的动态变规格将产生一个楔形过渡段；酸洗焊缝或轧制焊缝通过轧机时造成的厚差。这一类属于非正常状态厚差，不是冷轧AGC所能解决的，是不可避免的。
根据产生带钢厚度偏差的不同原因，可采取相应的厚度调节方式和措施来消除或减少它。目前，按其调节方式概括为[6,7]：
⑴ 调节压下量即改变辊缝；
⑵ 改变带钢在机架前、后张力或一侧的张力，即改变轧件塑性曲线的陡度；
⑶ 改变轧制速度；
⑷ 同时改变轧辊辊缝与带钢张力。
在上述调节方式中，最常用的是调节压下的厚度控制方法[8～10]。调节压下量即调节辊缝有两种不同方式，即：
① 电动杆涡轮带动压下螺丝转动使工作辊之间的相对辊缝产生变化来实现带钢厚度控制的。由于电机、减速机的惯性很大，电机及传动系统的启动、制动时间长，因此，从厚度控制指令发出到轧出预定的带钢厚度其控制时间更长。另外，因需大的电机、减速压下 它是通过电机、减速机、蜗机等机电设备，故轧机成本高，而且维修也不方便； 为了克服诸多因素对板带材厚度的影响，提高产品的厚度精度，已经开发了和发展了多种厚度控制系统[15～17]，如测厚仪反馈AGC、压力AGC、流量AGC、监控AGC和前馈AGC等。传统AGC在控制精度方面各有其独特的特点，在轧机上得到广泛的应用[18～20]。
⑴ 测厚仪反馈AGC
测厚仪反馈AGC系统是在带钢从轧机轧出后，通过轧机出口测厚仪测出实际轧出厚度值，并将其与给定厚度值比较，得出厚度偏差：
(1.1)
再通过厚度自动控制装置将变换为辊缝调节量的控制信号，输出给压下或推上机构，以消除厚度偏差。用测厚仪信号进行厚度反馈控制时，由于考虑到轧机机构的限制、测厚仪的维护以及为了防止带钢断裂而损坏测厚仪，测厚仪一般装设在离直接产生厚度变化的辊缝有一定距离的地方，这就使检测出的厚度变化量和辊缝控制量不在同一时间发生，所以实际轧出厚度的波动不能得到及时反映。结果整个厚度控制系统的操作都有一定的时间滞后，用下式表示： 式中为滞后时间，为轧制速度，是轧辊中心线到测厚仪的距离。由于存在时间滞后，所以这种测厚仪反馈式厚度自动控制系统很难进行稳定控制。因此目前普遍采用利用弹跳方程对变形区出口厚度进行检测，然后进行反馈控制。这将大大减少滞后，但由于弹跳方程精度不高，虽然加上油膜厚度补偿等措施仍不能保证精度。这正是当前推出流量AGC的原因。安装了激光测速仪后可精确实测前滑，因而流量方程精度大为提高，用变形区入口及变形区出口流量相等法，根据入口测厚仪及机架前后激光测厚仪可准确确定变形区出口处的实际厚度，因而提高反馈控制的精度。根据流量变形区入出口流量相等：
(1.3)
式中： 分为入出口带钢宽度； 分为入出口的速度， 分为入出口带钢的厚度。一般情况下，入出口宽度变化不大，因而有：
(1.4)
从而得到出口厚度：
(1.5)
⑵ 间接测厚反馈AGC
为了避免直接测厚仪产生的时间滞后，常采用压力间接测厚反馈AGC系统。即借助于测量某一时刻的轧制压力和空载辊缝，通过弹跳方程计算出此时刻的轧出厚度，亦即：
(1.6)
式中：为轧出厚度，为轧制压力，为预压靠值，为空载辊缝，为轧机刚度系数。利用此测得的厚差进行厚度自动控制就可以克服前述的传递时间滞后，实现稳定的反馈控制，提高产品厚度精度。然而，在计算带钢出口厚度的算式中，是在轧辊轴承处测出的辊缝值，轧辊偏心对实际辊缝的影响在此反映不出来，这就给控制系统带来了误差。假定在某一时刻，偏心对辊缝的实际影响为，那么此时的实际辊缝值为，实际造成的厚度厚度波动值应为(假设该时刻没有其它因素使变化)
(1.7)
但由于此时辊缝仍为，所以由计算得出的厚度波动为：
(1.8)
因和符号相反，显然。这样，就给以作为反馈量的间接测厚AGC系统引入了误差，造成了间接测厚AGC系统调节质量的降低甚至恶化。即当有偏心存在时，实际板厚减少了，但由于这时轧制力增大，间接测厚AGC系统反而认为板厚增加了，因此控制器就越朝着使板厚减少的方向动作，结果使得比没有压力的AGC系统时的板厚精度更为低劣。
由此可见，间接测厚AGC系统克服了时间延迟，是一种实用、有效的厚度自动控制系统。但是，如前所述，间接测厚AGC系统不但不能对偏心有所抑制，而且还会由于轧辊偏心的存在而导致其控制质量的进一步变差。当产品精度要求较高或轧辊偏心较严重时，间接测厚AGC就不可能达到满意的控制效果。所以，在配置有间接测厚AGC系统的轧机上，常常附加一些抑制偏心影响的措施，如设置死区、带通滤波等。这些措施避免了轧辊偏心对间接测厚AGC系统的恶劣影响，却不能消除轧辊偏心对轧出厚度所产生的直接不良影响。
⑶ 前馈AGC
考虑到来料厚差是冷轧带钢产生厚差的重要原因之一，因此冷连轧机一般在第一机架前设有测厚仪，可直接量测来料厚差用于前馈控制，机架间亦设有测厚仪用于下一机架的前馈控制。前馈AGC的原理是根据来料厚度波动信号，再根据轧制速度作适当延时，在波动部分进入机架的同时调节辊缝，以消除厚度偏差。辊缝调节量为：
(1.9)
式中：为轧件塑性系数。
⑷ 张力AGC
冷轧带钢，特别是后面的机架，带钢愈来愈硬，越来越薄，因此塑性变形越来越困难，亦即其值越来越大，因而使压下效率越来越小。
(1.10)
式中：为压下效率，当远远大于时，为了消除一个很小的厚差需移动一个很大的。
采用液压压下后由于其动作快使这一点得到补偿，但对于较硬的钢种，轧制较薄的产品时精调AGC还是借助于张力AGC。当然张力AGC有一定的限制，当张力过大时需移动液压压下使张力回到极限范围内以免拉窄甚至拉断带钢。
⑸ 监控AGC
机架后测厚仪虽存在大滞后但其根本优点是高精度测出成品厚度，因此一般作为监控。监控是通过对测厚仪信号的积分，以实测带钢厚度与设定值比较求得厚差总的趋势(偏厚还是偏薄)。有正有负的偶然性厚差是通过积分(或累加)将相互抵消而得不到反映。如总的趋势偏厚应对机架液压压下给出一个监控值，对其“系统厚差”进行纠正，使带钢出口厚度平均值更接近设定值。为了克服大滞后，一般调整控制回路的增益以免系统不稳定，或者放慢系统的过渡过程时间使其远远大于纯滞后时间，为此在积分环节的增益中引入出口速度。其后果是控制效果减弱，厚度精度降低。克服大滞后的另一种办法是加大监控控制周期，并使控制周期等于纯滞后时间，亦即每次控制后，等到被控的该段带钢来到测厚仪下测出上一次控制效果后再对剩余厚差继续监控，以免控制过头。这样做的后果亦将减弱监控的效果。为此，有些系统设计了“预测器”，通过模型预测出每一次监控效果，继续监控时首先减去“预测”到的效果，使监控系统控制周期可以加快，并且不必担心控制过头而减少控制增益。
即此偏心将使带钢出口厚度产生的波动，这一严重影响是不容忽视的。不仅如此，如前所述，轧辊偏心还会对压力AGC系统产生不良的影响，使其调节质量恶化。所以，要想轧出高精度带钢，必须考虑补偿轧辊偏心影响的措施。采用厚度外环和压力内环的目的亦是为了抑制偏心的影响。轧辊偏心将明显反映在轧制压力信号和测厚仪信号中。对轧制力来说，实测的轧制力信号实际是由给定轧制力(其中包括来料厚度和来料硬度带来的影响)和偏心信号综合组成[1]，考虑到这两部分信号在控制策略上是相反的，因此在未投入偏心补偿时必须通过信号处理将轧制力信号分解成两个部分。从轧制力信号提取出的偏心信息可以用下式表示：
(1.11)
式中：分是幅值、频率和初相角。频率与转速有关，幅值决定偏心大小，而初相角则决定于信号的初始坐标点，为此需在轧辊上设有单脉冲编码器(多脉冲等于将轧辊转角分成多个等分，并以其中一个坐标点作为初始坐标点)。从正弦特性可知，只有两个幅值相等但反相，频率相等并且初始角相同的两个信号相加才能完全互相抵消。否则，频率不同的正弦信号无法相加；幅值不同则无法完全消除偏心影响；初始角对不准则无法抵消，如果差还可能加剧而不是抵消。由于在实施控制时还要考虑液压执行机构惯性问题，采用这种两个完全相反的正弦波抵消的办法实施起来难度较大。
轧辊偏心控制技术的研究情况
轧辊偏心，一般可归纳为两种类型，一种是由辊身和辊颈不同轴度误差所引起的偏差，另一种是由辊身椭圆度(不圆度)引起的偏差，由于轧辊偏心的干扰，辊缝偏差一般可达0.025～0.05mm。轧辊转一周，其干扰变化一次，故轧辊偏心的干扰发生高频周期变化，从而造成成品带钢厚度的波动。轧辊偏心，主要是指支撑辊偏心，因为工作辊直径小，其偏心量只有几个；而支撑辊直径一般为1500mm左右，轧辊磨床加工精度能保证轧辊椭圆度约为，上下辊叠加。随着用户对产品质量要求日益严格，这种轧辊偏心的干扰越来越不能忽视。为了有效抑制偏心干扰，对系统各个部分的快速性和准确性都要求很高，任何部分的误差和时滞都会影响补偿效果，甚至可能使偏心的不良影响加剧。计算机在工业过程控制中的普遍应用和液压压下(推上)装置在轧机上的应用为解决这个问题提供了硬件上的可能性。由于电动机压下装置惯性大，传输效率低(一般)，对周期性高频变化无能为力，一般只能在控制系统中设置“死区”，以避免压下螺丝周期性频繁动作。而液压压下系统惯性小，压下速度和加速度都显著提高(一般，同时具有设备重量轻、有过负荷保护能力等优点。对于消除由轧辊偏心所造成的这种高频变化的周期波动，必须采用这种液压压下(推上)系统。 第一类解决办法按其信号检测和模型辨识的在线和离线方式，可分为开环控制和闭环控制。按其信号处理手段可分为简单处理法、各种滤波器法和傅立叶级数法。早期的简单处理方法包括用千分尺直接测定支持辊的移动或间接测定轧辊轴承座的移动，并根据这个测定值调整安装在轧辊上的自整角机输出的正弦波的相位和振幅，按照与支撑辊移动相反的方向实施补偿。滤波器方法是一种常用的偏心信号检测方法。各种滤波器方法都程度不同地存在些问题，不可避免地混进偏心以外的频率成分，而又毫无办法地漏掉了偏心信号中的谐波分量。除了滤波器以外，还有解决偏心控制问题的傅立叶分析法。这一方法一般来说要比滤波器方法的信号处理精度高，补偿效果显著。北京科技大学孙一康教授和他的博士研究生刘淑贞在20世纪90年代初以上海第三冷轧带钢厂的高精度四辊可逆冷轧机为试验背景，配以必要的测量仪表和计算机系统，并利用快速傅立叶变换的偏心控制方案，利用相干时间平均方法的偏心控制方案和复合建模偏心控制方案进行大量的现场实验，取得了满意的实验效果[35～37]。
澳大利亚的E.K.Tech等提出的用于冷轧机的改进的带钢厚度控制器和我国原冶金部自动化院陈振宇教授等提出的冷轧机轧辊偏心自校正调节器则应属于第二类。在消除轧辊偏心影响的同时，也抑制了其它干扰因素对带钢厚度均匀性的影响。Tech方案是根据轧制原理，建立一套包括支持轧辊偏心效应、轧机部件的塑性变形过程和弹性变形形变在内的控制设计模型并估计偏心信号周期。反馈控制器对轧制力、滞回、与轧机有关参数和轧制力调整机构的非线形响应进行补偿。此方法在把偏心分量从厚度计法厚度误差估计中分离出来，通过前馈方法补偿偏心干扰效应的同时，也实现了准确的厚度估计，通过反馈回路完成了综合厚度控制。这一方法在澳大利亚公司的冷轧机的初步现场实现表明，它可使轧辊偏心对轧制力和带钢出口厚度的影响减少30％，使总的厚度精度提高40％。但此方法要求对轧机系统各部分的机理和参数都了解得很清楚，而且对测厚仪的安装位置等也有限制，这对有些轧机而言是难以实现的。
国外对偏心诊断、智能和最优控制的研究较深入和富有成果，主要有：Kugi等提出基于稳定传递函数的因数分解逼近和最小均方算法；Aistleitner K等提出采用神经网络进行偏心辨识的方法；Garcia等提出了采用多处理器实时偏心诊断方法和实时模糊偏心诊断方法；Fechner等提出了神经偏心滤波器，该滤波器用于在线偏心控制时对于变化的偏心周期具有较好的适应性，该方法还用到了递归最小二乘学习算法；Choi 等提出了偏心最优控制方法等。
除此之外，欧美日各大公司的工程专家也提出了多种轧辊偏心的补偿方法，这些方法又可以分为下面三类：
⑴ 被动轧辊偏心控制方法。这类方法不是试图补偿轧辊偏心对轧件厚度的影响，其主要目的是使辊缝控制系统对轧辊偏心引起的厚度干扰影响不敏感，而不需要辊缝按照辊缝偏心函数进行校正，这就排除了厚度变化增大的可能；
⑵ 主动轧辊偏心补偿法。这类方法一般包括轧辊偏心分量检测和随后得出的补偿信号送到辊缝调节器中以补偿轧辊偏心，轧辊偏心分量是从反映主要轧制参数(如轧制力、辊缝、轧件出口厚度以及带钢张力等)的信号中测得的，根据检测信号的不同处理方法，这类方法可分为下面两种：
① 分析法 轧辊偏心分量是通过应用数学分析法(例如傅立叶分析法)从检测信号中提取出来；
② 综合法 轧辊偏心分量是通过复制轧辊偏心分量得到，信号复制可采用机械法和电量法；
⑶ 预防轧辊偏心控制法。这类方法是在轧制前创造一些条件以便能减小偏心对厚度的影响，而在轧制中不采用任何校正措施。
国外公司典型的偏心补偿方法有：
⑴ 死区法 死区法是一种被动偏心控制法，此法通常可消除控制信号中的周期分量；
⑵ 轧制力法 轧制力法是一种主动式轧辊偏心方法，把出口厚度的误差信号转换成附加轧制力基准信号；
⑶ 辊缝厚度控制法 辊缝厚度控制法是利用安装在轧机工作辊之间的传感器测出轧制过程中的辊缝偏差，由德国Krupp提出的辊缝控制(IGC)系统就由辊缝传感器组成的，它们被装在机架每侧的工作辊辊颈之间，这样，它们不会受到带钢的损坏；
⑷ 前馈控制法 已经在轧机辊缝控制中得到广泛的应用，它包括以下三个步骤：
① 在上游机架的前几机架的轧制道次中，分段测出带钢厚度波动；
② 当带钢每一段即将进入末尾即机架轧制辊缝中时，确定所需的厚度修正量；
③ 在末尾几机架中对带钢每一段实施厚度修正。应用这种方法能够补偿包括轧辊偏心在内的各种因素在内的厚度偏差。一般在中间使用张力控制系统主要有两种。第一种是通过调节上游机架的速度进行带钢张力控制，第二是调节下游机架的辊缝进行带钢张力控制。成功采用前馈控制系统控制轧辊偏心的关键在于轧机电机能否使速度调节器获得适当的速度响应特性；
⑸ Newmann法 这种方法是由德国穆勒－纽曼公司的Newmann等人提出的，它是利用随支承辊同时旋转的凸轮来模拟轧辊偏心，位移传感器测出凸轮偏心，然后发出电子信号，传送给辊缝调节器。这种方法虽然简单，但没有得到广泛应用。原因是：
① 在机架中安装支承辊之前，显然要仔细测定每一个支承辊偏心幅度和相移；
② 在轧辊偏心测定结束后，每个凸轮和支承辊偏心相移必须一致。由于支承辊偏心明显非正弦变化，所以要把它和凸轮正弦变化对应起来相当困难；
③ 支承辊与凸轮外形的不协调性也是造成轧辊偏心不能得到补偿重要原因；
④ 不能补偿工作辊椭圆度造成的辊缝变化；
⑹ Alsop法 以测厚仪原理为基础进行辊缝控制。假设带钢厚度发生波动，使轧制载荷产生低频波动，而轧辊偏心使载荷产生相当高的频率波动，载荷信号的低频分量在任何通道都不会衰减，它将产生正反馈，正反馈大小为： 式中：为轧机纵向刚度，另一方面载荷信号的高频分量仅能通过一个通道，就这部分来说，载荷回路中产生负反馈信号，增益大小为，这样回路会产生信号，它被送到辊缝调节器以补偿轧辊偏心；
⑺ Smith 法 英国戴维联合仪器公司的Smith提出以测厚仪原理为基础的辊缝控制系统中轧辊偏心补偿法，它的缺点是使用了金属构件类型的整流器，它会产生于控制信号的波幅差不多的噪声信号；
⑻ Howard法 英国戴维联合工程公司的Howard提出利用在轧制过程中两个所测定的参数来测定轧辊偏心，第一个参数是安装在轧机每侧的载荷传感器测出轧制力的波动量，第二个参数为即将进入轧机的轧件厚度波动量；
⑼ Shiozaki(盐崎)、Takahashi(高桥)法 也称为轧辊偏心傅立叶分析法(FARE)，它是日本的石川岛播磨公司(IHI)Shiozaki、Takahashi提出的，该方法应用了轧辊偏心量ec和轧制力变化量之间的关系：
(1.13)
式中：Q为轧件塑性系数，为轧机纵向刚度。因为轧辊波动量与支承辊旋转一周周期一致，于是可得：
(1.14)
式中：A为偏心量幅值，为支承辊角位置与轧辊零偏心位置之间的相位角。由于轧制力波动包含有许多不同频率的分量，对于一级谐波来说，根据简单傅立叶级数，其变化量表达式为：
(1.15)
式中：B、C为常数。在支承辊旋转一周的时间内，通过测量轧制力的变化量就可以获得A、B、C和，按照预设定的时间间隔对测定的轧制力进行采样，其中T是支承辊旋转一周所需时间，为旋转一周的采样个数。可得：
，，， (1.16)
通过FARE法测出偏心信号通过压力控制回路可以调节辊缝，以便减小或增大偏心补偿载荷，偏心补偿载荷信号将持续累积到轧辊偏心载荷分量在轧制载荷信号中完全消失为止。然后，当再也测不出偏心载荷分量时，FARE输出信号就被存储在存贮器中。随着轧制持续运行，FARE信号不断存储于存储器中，并且持续计算；
⑽ Cook法 西屋电气公司的Cook提出的方法是建立在假设轧辊偏心所起的轧制力变化为正弦变化，变化周期等于支承辊旋转周期基础上。假设，轧制力为
(1.17)
式中：为支承辊旋转一周对应的平均轧制力，为轧制力变化的振幅，为支承辊选定零位与平均轧制力对应的支承辊位置之间的夹角，为轧辊角位置。于是得到：
(1.18)
式中：分为上下支承辊对应的补偿信号波幅：
， (1.19)
式中：为轧机纵向刚度。
⑾ Fox法 Cook法的应用局限于双驱动布置的电机，而检测轧辊偏心需花费大量的时间，西屋电气公司的Fox利用上下支承辊之间的差异产生的摇摆现象控制偏心。根据Fox法，在压靠时将轧辊转动但不咬入轧件时测定轧制力，假定轧辊偏心变化量呈正弦变化，此时在一个偏摆周期内，两轧辊轧制力信号分别等于： 式中：分为上下支承辊角位置，分为偏心引起的轧制力波动幅度。
⑿ Ichiryu等人的方法 日本日立公司的Ichiryu等人提出提出连续测定入口带钢厚度和轧制力，然后使用这些测量值获得出口厚度，根据相关函数，利用统计方法就可以测出轧辊偏心造成的干扰量，然后从控制系统中消除；
⒀ Hayama(叶山)方法 该方法已应用在三菱重工研制的自动轧辊偏心控制系统中，这种方法的原理是使用在线和离线方法检测轧辊偏心，然后加权求和。离线法是在压靠条件下利用摇摆现象测定轧辊偏心，在线法是在轧制条件下，通过使一个支承辊相连的脉冲发生器信号和所测的轧制力信号联系起来，进行轧辊偏心检测；
⒁ Yamagui(山口)法 日本日立和新日铁公司的山口提出的轧辊偏心方法是通过出口厚度偏差采样测得的从头前转期间的数据计算出轧辊偏心补偿信号；
⒂ Weihrich和Wohld法 德国西门子公司的Weihrich和Wohld提出的轧辊偏心的方法是基于测厚仪原理，通过求和放大器用辊缝的输出信号和载荷传感器输出信号来计算板带出口厚度，而求和放大器的输出信号也包含有轧辊偏心成分。利用辊缝值和成正比的信号就可以通过信号混合器产生轧辊偏心总的信号，同时也改变入口处板带厚度变化成分和入口处板带稳定成分，利用高通滤波器，从混合器输出信号中去掉稳定成分；
⒃ Gerber法 伯里斯(bliss)公司的Gerber开发了一套自适应数字化偏心补偿(ADEC)系统，该系统利用了声学技术的最新成果，即具有复制信号中的任意选定交变成分的技术；
⒄ Ooi(大井)法 日本住友公司的Ooi利用支承辊平衡液压缸的这些机构来控制偏心。这种方法是使带有电动压下结构的轧机无须进行任何显著的的改进就可以实现系统高精度的快速效应。支承辊偏心通过傅立叶分析就可以确定出上下辊操作及驱动侧位置相关的轧辊偏心成分；
⒅ Ginzburg法 国际轧钢咨询公司及联合工程公司的Ginzburg提出两种轧辊偏心补偿方法，第一种方法是利用差拍现象，尤其是利用上下支承辊向同一方向发生偏心时轧辊偏心最小的事实；第二种方法是在轧制过程中对轧辊偏心进行连续补偿。
总之，随着对该高质量板带材需求的日益提高，轧辊偏心控制问题得到各国轧钢控制界的普遍重视，各种检测和控制方法相继出现。国外大公司一般在这个领域获得专利，我国在这个领域尚有差距，需要促进对轧辊偏心控制技术问题的理论分析和研究，不断使其走向深入和完善。
重复控制理论研究现状 针对周期信号发生器正反馈带来的非平凡问题在如何保证系统稳定问题，Hara等证明，如果对象是正则的且不是严格正则的，系统就能保证稳定[48]。为了克服这种重复控制系统不易稳定的局限性，Hara等1988年提出在重复控制环节中引用低通滤波器来滤掉高频部分，以高频部分牺牲一些特性来实现系统的鲁棒性。因此低通滤波器的选择对于重复控制非常重要，它的引入一方面有利于系统稳定，另一方面，却带来系统的稳态误差，它反映了闭环系统特性和系统鲁棒稳定性间一种折中考虑。1985年和1988年Hara等提出了基于状态空间的设计方法。近来，鲁棒优化控制和结构奇异值方法也用来设计和分析重复控制[49,50]。Peery 和 Ozbay(1993)利用无穷维优化控制原理提出了一种2步法设计优化重复控制器。他们同时提出通过优化重复控制器的滤波器进一步改善系统主要特性的方法。Guvcac(1996)对于连续时间的重复控制系统结构奇异值提出鲁棒稳定和动态特性分析方法，即分别用－1和1代替系统内模的延迟部分估计结构奇异值的下确界和上确界，这样就把原来的无穷维问题化作有穷维问题。可以利用这种结构估计连续时间重复控制系统的稳定性和鲁棒特性。但是，得出结构奇异值的下确界比用1代替时小，上确界又比用－1代替时大。直到延迟足够大这种估计才能得到满意的结果。另外，这种估计还需满足相位要求，因此这种结构不能用来综合。
重复控制器不断被改进，且被数字化[51～54]。为了减小控制器离散化造成的误差，很多研究者关注于用离散化方法直接设计重复控制器。Tomizuka等提出一种针对稳定开环对象的零相位偏差跟踪的重复控制器(Zero Phase Error Tracking Controller)，这种方法特点是滤波器的结构和对象同阶并满足时延。基于相同的补偿器结构，Tsao和Tomizuka(1988，1994)进一步获得使系统鲁棒稳定的内模零相位低通滤波器的方法，给出了和非模型动态的关系，确定了鲁棒稳定的充分条件。这种方法可以用于最小相位和非最小相位系统。Alter 和Tsao推导出基于二维模型匹配算法的重复控制算法，并它应用到线性马达的控制过程。Kim和Tsao(1997)综合前馈、重复和反馈控制方法，实现电液执行器的鲁棒特性控制。Tsao 等把重复控制利用到凸轮机械的非圆旋转。在极点配置方法中，Ledwich 和Bolton提出了LQ(Linear Quadratic)设计方法。Hillerstrom和Sternby(1994)提出了基于标准Bezout辨识的极点配置方法。Bamich 和 Pearson(1991)提出了采样数据提升技术(lifting technology)并将其用于设计最优采样数据重复控制系统。Langari 和Francis(1996)提出基于结构奇异值的采样数据鲁棒控制系统的鲁棒分析方法。
Srinivasan和Shaw提出了频域设计方法[55,56]，并提出了被称作重构谱的频率函数[57,58]，利用它来判定重复控制系统的相对稳定性。如果在没有重复控制环节时闭环系统稳定，则对于频率，是系统稳定的充分条件。设计重复控制的离散时间重构谱的改进方法由Srinivasan和Shaw于1993年提出。基于谐波频率处对象频率响应的系统稳定改进方法在1995年由Sadegh提出。 Hanson(1996年)提出一种序贯重复控制系统。首先利用最优控制设计能增加闭环动态硬度的内环控制器，然后基于零相位偏差跟踪控制设计外环重复控制器以保证跟踪或抑制周期输入。由于这是两步设计(两个控制器分别设计)，所设计的控制器阶次必然高。内环最优控制器的特性将在最大峰值2处被外环重复器降低。Guo提出利用替代基于重复控制零相位跟踪控制中的。选择和做为灵敏度函数进行频率调整，以抑制磁盘驱动伺服控制的二次谐波干扰的抑制。众所周知，基于重复控制的零相位偏差跟踪控制需要是低通滤波器，且频带尽可能宽。因为的选择必须兼顾重复控制特性和稳定鲁棒性，因此灵敏度函数的频率调整受这种因素限制。Li和Tsao成功应用鲁棒重复控制于磁盘伺服控制。
本文的主要工作及各部分内容安排
主要研究内容
由于重复控制对周期性信号具有很好的自学习能力，因此对周期性扰动具有很好的抑制作用。重复控制只需知道扰动信号的周期，对信号的初始状态，如初相角和幅值等没有要求，这样大大简化信号的检测，同时降低了控制难度。重复控制的难点在于对系统稳定性要求较高。国内外将重复控制应用于轧辊偏心控制的文献不多。围绕研究带钢高精度厚度控制的目的，本文以获得厚度精度控制为目标，重点研究厚度控制过程中应用重复控制抑制轧辊偏心扰动。本文主要做两方面的工作。首先针对厚度控制过程中轧辊偏心补偿问题的特点，将先进的的重复控制理论和自动控制理论有机结合应用到这个问题中来，提出控制方案；其次从稳态精度、稳定性和鲁棒性三个方面进行理论分析，对控制方案进行计算机仿真研究。
⑴ 首先提出了单轧辊偏心扰动重复控制抑制的单输入单输出(SISO)厚度控制系统频域设计方案，方案中为了弥补重复控制延迟环节前引入滤波器带来的控制精度问题，提出一种补偿器，给出了补偿器的设计方法。厚度控制采用测厚仪测厚的反馈AGC控制方案，用Smith预估器补偿被控对象滞后，补偿后的广义对象采用常规PID控制。同时还给出了一种将鲁棒PID控制器和重复控制设计结合在一起的混合设计方法。其次提出了多轧辊偏心扰动重复控制补偿的SISO厚度控制系统频域设计方案。对系统的稳定性、鲁棒性和系统动态品质进行了分析，同时对控制方案进行了仿真研究；
⑵ 针对多输入多输出厚度、张力控制系统，首先提出了单轧辊偏心重复控制频域设计方案，然后扩展到多轧辊偏心控制系统。采用逆奈奎斯特方法对被控对象进行解耦。对控制方案进行了理论分析和仿真研究，证明重复控制抑制单周期和多周期偏心扰动的有效性；
⑶ 针对重复控制对偏心扰动的基波及其谐波抑制效果较好，而对基波和谐波附近频率信号扰动的抑制较差，同时轧制过程中因各种原因造成轧辊偏心信号的周期可能波动或者偏心扰动信号不能准确测量或辨识情况，提出了一种鲁棒重复控制结构，从理论上证明了这种鲁棒重复控制较常规重复控制性能优越，对扰动信号的周期波动不敏感，具有很强的鲁棒性。将这种结构用于厚度控制系统，仿真结果证明了这种结构对周期不确定轧辊偏心信号具有很强的抑制能力。
⑷ 因工程中普遍采用数字化设计，分别提出了单轧辊偏心、双轧辊偏心及多轧辊偏心鲁棒数字重复控制器设计方案.这种设计能有效地降低补偿器阶次。厚度控制采用流量AGC和反馈AGC结合的控制结构，避开因测厚仪测厚滞后造成的系统不易稳定的弊端。所有方案都进行了理论分析，同时对所提出的硬度前馈和厚度反馈的控制结构在偏心扰动和硬度扰动下进行了仿真，结果证明这些方案的有效性。
各部分内容安排
全文共分7个部分，每部分的具体内容安排如下：
第一章首先阐述了冷轧板带厚度控制方法和研究现状，指出了抑制轧辊偏心扰动在高精度厚度控制过程中的重要性；其次，综述了国内外轧辊偏心的研究成果及现状。
接着全面介绍了重复控制概念的基本内涵、应用的对象和重复控制理论的研究成果；最后给出了本文的主要研究内容。
第二章首先全面而系统的归纳了轧辊偏心的的特点和性质，在此基础上，给出了获取偏心信号的改进傅立叶方法；其次给出了几种厚度控制模型，提出了硬度波动前馈控制模型。
第三章首先给出了单轧辊偏心扰动重复控制抑制的单输入单输出(SISO)厚度控制系统频域设计方案；其次提出了多轧辊偏心扰动重复控制补偿的SISO厚度控制系统频域设计方案。对系统的稳定性、鲁棒性和系统动态品质进行了分析，同时对控制方案进行了仿真研究。
第四章针对多输入多输出厚度、张力控制系统，首先提出了单轧辊偏心重复控制频域设计方案，然后扩展到多轧辊偏心控制系统。对控制方案进行了理论分析和仿真研究。
第五章针对周期不确定轧辊偏心信号，提出了一种鲁棒重复控制结构，从理论上证明了这种鲁棒重复控制较常规重复控制性能优越，并对其抑制周期不确定轧辊偏心信号进行了仿真。
第六章分别提出了单轧辊偏心、双轧辊偏心及多轧辊偏心鲁棒数字重复控制器设计方案，给出降低补偿器阶次的方法。对所有方案都进行了理论分析和计算机仿真。
第七章对全文工作进行了总结，提出了下一步工作设想。
轧辊偏心问题的理论分析和冷轧板板带厚度控制模型
轧辊偏心问题的理论分析
广义上说，轧辊和轧辊轴承形状的不规则引起辊缝周期性变化称为轧辊偏心。轧辊偏心会导致轧件厚度周期变化，轧辊的偏心可以归纳为两种基本类型。一种是由辊身和辊径的不同轴度引起的偏差所引起的；另一种是由轧辊本身所具有的椭圆度所产生的。而实际情况可能是两者共同作用的结果。
辊身和辊径不同轴的情况
图2.1 辊身和辊径不同轴的情况
如图2.1所示，为辊径的轴心，为辊身的轴心，为辊身的半径，X为与之间的距离。偏心运动轨迹相当于辊身表面可移动点A绕辊径轴线转动，即偏心波形为的轨迹。设支承辊转动的角速度为，，在三角形中， 由余弦定理可知：
(2.1)
设t=0时，＝0，=，。由正弦定理得：
(2.2)
从而有：
(2.3)
因而有轧辊偏心运动轨迹的参数方程为：
(2.4)
根据以上参数方程，得轧辊偏心波形如图2.2所示。
图2.2 轧辊偏心波形
图2.3 辊身为椭圆时的示意图
轧辊具有椭圆度的情况
如图2.3 所示，o是轧辊的轴心，是理想辊身的半径，a 和b 分别是实际椭圆截面的长轴和短轴。实际情况可能不是椭圆。偏心波形为椭圆周上可移动点A与理想圆周的径向距离的轨迹，r为A到轧辊轴心线的距离。设辊身转动的角速度为，t=0时，，则有:
(2.5)
又由椭圆方程 得 ：
即
从而
因此有
(2.6)
因而得到轧辊偏心曲线方程为
(2.7)
得到的偏心波形类似于图2.2。
如果两个辊的角速度相同，那么合成的偏心信号仍然是同频率的周波。这是因为周期信号可以分解为一系列的正弦波之和。而两个同频率的正弦波之和仍是正弦波。设和为两个角频率为的正弦波，其中
(2.8)
则合成的波形为
(2.9)
式中：
(2.10)
(2.11)
合成波形的振幅发生变化，相位发生偏移，频率保持不变。轧辊偏心波形一般不是纯粹的正弦曲线，而是包括多次谐波的复杂的周期波。它有以下特点：⑴ 周期性 轧辊每转动一周，偏心信号重复出现一次；⑵ 频率和幅值不是固定不变的。当轧制速度变化时，其频率也随之成比例变化。在轧制过程中，由于轧辊的热膨胀和磨损，偏心信号的幅值也会发生缓慢变化；⑶ 偏心信号不仅含有多次谐波，而且还含有各种各样的随机干扰。
偏心信号的采集和处理
轧辊偏心对厚度的影响可以用出口厚度变化的频谱分析来评估，斯太尔克利用快速傅立叶变换(FFT)，从出口厚度数字化信号中分离所有周期分量，并依据所有轧辊转速和尺寸，能够辨别出大部分频谱峰值，通过对频谱选择过滤同时结合反变换FFT技术，每个轧辊对出口厚度变化的影响都能测量出来。从上面分析中，我们知道轧辊偏心信号是包括多次谐波的高频周期波，偏心信号的频率与轧制速度成正比。在生产过程中，由于随机噪声、缓慢变化量等的存在，采集的偏心信号会出现突变、漂移等无规则变化，但总的偏心信息不会突变。轧辊更换以后，它的偏心量就基本上确定了。，并在短时间内不会突变。根据这一特点，在每次换辊以后，在正常轧制状态下，对轧制压力信号进行采集，从中提取偏心成分，建立偏心模型。进而对轧辊的偏心进行补偿。
将采集到的轧制力信号进行A/D转换，然后进行去均值(去掉直流分量)和相干时间平均处理，使噪声干扰得以减弱或消除，提高信噪比；对预处理后的信号进行快速傅立叶变换(FFT)，建立轧辊偏心参数模型。在轧辊上安装一个光码盘，以产生两列脉冲。一列相对轧辊某一固定点，每转一周发出一个脉冲，此脉冲作为采样和控制的初始定位信号；另一列是轧辊每转一周，光码盘发出128个脉冲数列以进行FFT，建立模型。相干时间平均方法适应于周期信号或重复信号，它将各个周期信号和噪声信号同时叠加后加以平均，如果噪声是随机的，则在叠加过程中会相互抵消，而信号是有规律的，叠加平均后幅值不变。必要条件是噪声应具有一定随机性，而信号则具有重复性，且两者互不相干。
设混有噪声的信号为，信号反映系统的某种基本特征。在相同的条件下，具有重复性。噪声为均值为零，方差为的平稳随机信号，且、互不相关。对第i个样本采样M次，然后做相干平均得：
(2.12)
傅立叶变换是在以时间为自变量的信号与以频率为自变量的频谱函数之间的变换关系。傅立叶变换可以辨别出或区分出组成任意波形的一些不同频率的正弦波。快速付立叶变换是建立在离散时间概念上的，它不单纯是对离散时间付立叶变换的近似，而是从离散付立叶变换出发，有一整套自成体系的、 离散时间域中的严格的基本定理和数学关系。离散付立叶变换能把一个有限长度序列映射成另一个有限长度序列，因而很适合于数字计算机计算。利用离散付立叶变换的一些代数结构，可以实现高速算法，快速付立叶变换能使离散付立叶变换的计算时间成数量级的缩短。快速付立叶变换的出现使付立叶变换已不仅仅是一种理论概念，而且成为一种技术手段。
⑴ 离散付立叶变换[65 ,66]
当用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而计算机输出所得的频谱值，自然也是离散的。因此，必须针对各种不同形式信号的具体情况，或者在时域和频域上同时取样，或者在时域上取样，或者在频域上取样。信号在时域上取样导致频域的周期函数，而在频域上取样导致时域的周期函数，最后将使原时间函数和频率函数都成为周期离散的函数。
从严格的数学意义上讲，离散周期序列的付立叶变换是不存在的。但是，如果利用周期函数可能展开为付立叶级数的指数形式并使用冲激序列，则可以把付立叶级数逐项作积分变换，从而在形式上得到付立叶变换对。
设为一周期连续信号，如果以抽样间隔为的抽样率进行抽样，抽样结果为，则可表示为：
(2.13)
设一个周期内的抽样点数为，即到，则
可写成：
于是有：
(2.14)
对进行抽样等于先将它的一个周期抽样成，然后把这一个周期进行延拓。所以有：
(2.15)
式中上的符号表示周期重复，它是离散时间周期冲激序列，是的一个周期内抽样所得的数值；为抽样序号，；为抽样间隔；为的周期；为任意整数。
令，并将展开成付立叶级数
(2.16)
式中：，的单位为，系数可表示为：
(2.17) (2.18)
对式（2.18）进行付立叶变换得：
(2.19)
定义
(2.20)
由于
所以。这里是的个周期，。也就是说的周期为，在每个周期内，。于是，式(2.20)可写成：
(2.21)
上式说明，周期离散时间序列经付立叶变换后在频域中是离散频率的周期序列，这种形式的变换也称为离散付立叶级数变换。在数学上，离散周期序列的付立叶级数变换可简明表示为：
(2.22)
(2.23)
为了方便，令，则式(2.22)和式(2.23)可表示为：
(2.24)
(2.25)
离散付立叶级数变换是周期序列，仍不便于计算机计算，但离散付立叶级数每个周期序列却只有(一个周期内取点个数)个独立的复值，只要知道它的一个周期的内容，其它的内容也就知道了。同时限制式(2.24)中的和式(2.25)中的都只在区间内取值，就得到了一个周期的和一个周期的之间的对应的关系：
(2.26)
(2.27)
这就是有限长序的离散付立叶变换对。
上两式所示的离散付立叶变换对可以看成是连续函数在时域、频域取样所构成的变换，可以看作是连续付立叶变换的近似，是一种很有用的变换方法。然而，当数据有较长的长度时，这种变换的计算量是很大的。分析式(2.26) 和式(2.27)可知，当用直接方法计算DFT时，总运算量及总运算时间近似地比例于，这在很大时，所需的运算量及总算时间近似地比例于，这在很大时，所需的运算量非常可观，要想用DFT方法对信号作实量处理一般是有困难的。
⑵ 快速付立叶变换(FFT)
快速付立叶变换是为减少DFT计算次数的一种快速有效的算法。它使DFT的运算大为简化，运算时间一般可缩短一至二个数量级，其突出的优点在于能够快速高效地和比较精确地完成DFT的计算。
FFT改善DFT运算效率的基本途径是利用DFT中的权函数所固有的两个特性，一个是的对称性，即，另一个是的周期性，即。利用的对称性，可根据正弦和余弦函数的对称性来归并DFT中的某些项，结果可使乘法次数约减少一半。假定是一个高复合数，可利用权系数的周期性，把点DFT进行一系列分解和组合，使整个DFT的计算过程变成一个系列迭代运算过程。因为迭代运算的计算量要比直接计算的计算量少很多，尤其是当很大时，可能成百位甚至成千倍地减少。快速付立叶变换算法正是基于这一基本思想而发展起来的。权系数的周期性是导出FFT算法的一个关键因素，高复合性则是实现FFT算法的一个重要条件。根据不同的分解方法，可以导出多种FFT算法，如按时间抽取的FFT算法，按频率抽取的FFT算法，的高复合性则是实现FFT算法的一个重要条件。根据不同的分解方法，可以导出多种FFT算法，如按时间抽取的FFT算法，按频率抽取的FFT算法，为复合数的FFT算法等。时域抽点算法的迭代过程是基本在每级把输入时间序列分解为两个更短的子序列，频域抽点算法的迭代过程则基于在每级把输出频率序列分解成两个更短的子序列。
以2为基时域抽点FFT算法是最基本最常用的算法，基2算法要求采样点数为2的整数次幂。设有一个点序列，而，首先将按序号之奇偶分解为两个点的子序列，因而得：
(2.28)
如采用下列变量替换：(当为偶数时)，(当为奇数时)，则上式可变为：
(2.29)
又因
所以上式又可改写为：
(2.30)
由于对于均有定义，而及只对有定义，因此，有必要就情况下对2.30作出说明。根据DFT的周期性可得：
(2.31)
考虑到：
则上式可改写为：
(2.32)
经整理后得：
(2.33)
式中：和可分别写成序列和的点DFT。
式(2.33)表明，一个点DFT可分解成两个点DFT，而这两个点DFT又可组合成为一个点DFT，效果是相同的，但是运算量却大不相同。很明显，如果以一次复乘和一次复加称为一次运算，那么，计算两个点DFT约共需运算，此外再加上按式(2.33)组合需要次运算，所以按先分解后组合的方式计算一个点DFT总共约需次运算。当较大(即)时，它的运算量比直接运算点的DFT约可减少一半。
因为是2的幂，所以可进一步将每个点子序列按奇偶号分解为两个点子序列，再令每两个点子序列组合成一个点DFT……。上述分解过程还可继续进行，直到第次分解，每个子序列都只有两点。这样，就把点DFT的运算转化为级组合运算，M级组合就是M级迭代过程。每次迭代要求N/2次复乘和N次复加，M级迭代约需次复乘和次复加。每次迭代要求次复乘和点DFT的迭代运算过程是基于在每级把输入时间序列分解成两个更短的子序列，因此称为时域抽点算法。图2.4 说明了此迭代运算过程。
图 2.4 N点基2 FFT的M级迭代过程
经过FFT变换结果，就可以计算出各次谐波的振幅和相角，从而建立轧辊的偏心模型，其振幅A＝，相角，频率随轧辊速度变化而变化。
偏心模型还必须转换为与采集脉冲对应的离散点的模型，即将带有三个参数的正弦波偏心模型转换成128个脉冲对应的离散点模型。轧辊偏心控制对检测和控制系统的准确性和快速性要求很高，定位定点采样保证了通过数据处理获得的偏心模型的唯一性和准确性。把正弦波的一个周期分成N段，列成表格，用步长DELTA扫过这个表，用序号作为角度参数，查表求出序列的值。假设每两个采样点之间的时间间隔维t，则正弦频率为。当步长不是整数时，采用点可能落在两表值之间，可以采用线性内插法加以修正。
⑶ 基2时域FFT算法的改进(MMFFT)
针对轧辊偏心信号本身及其控制问题的特点，对传统的基2时域FFT算法进行改进(MMFFT)。改进分两部，第一步改进的是取消传统FFT方法对采样持续时间的限制，使快速付立叶变换算法适用于处理轧辊偏心波动这类周期未知或变动的周期信号，同时又能抑制FFT固有的泄漏效应。第二步改进是就偏心控制问题而言，将周期信号中各次正弦波的绝对频率转换为相对频率，从而提高算法在偏心控制中应用的可靠性和实用性。
① 第一步改进(Modlified FFT)
人们对DFT感兴趣主要是因为它是连续付立叶变换的一个近似。近似的准确程度严格说来是被分析波形的一个函数，两个变换之间的差异是因DFT需要对连续时间信号取样和截断而产生的。因而在应用DFT解决实际问题时，常常遇到混叠效应、栅栏效应和泄漏效应等问题。
对一个连续信号x(t)进行数字处理时，要在计算机上进行计算，而计算机的输入只允许是数字信号，所以必须对连续信号x(t)进行抽样，即
(2.34)
式中：为对x(t)抽样所形成的序列。T为抽样间隔，为抽样率，。如果抽样率选得过高，即抽样间隔过小，则一定的时间里抽样点数过多，造成对计算机存贮量的需要过大和计算时间太长。但如果抽样率过低，则在DFT运算中将在频域出现混叠现象，形成频谱失真，使之不能反映原理的信号。这样将使进一步的数字处理失去依据，而且也不能从这个失真的频谱中恢复出信号来。因此，对连续信号的抽样率需大于奈奎斯特频率，即抽样率至少应等于或大于信号所含有的最高频率的两倍，即。
如果x(t)是一个周期信号，它只具有离散频谱，那么，x(t)抽样后进行FFT运算得出的频谱就是它的离散频谱。但是如果x(t)是个非周期函数，它的频谱是连续的，把x(t)的抽样进行DFT运算得到的结果就只能是连续频谱上的若干点。因为这就好象是从栅栏的一边通过缝隙观看另一边的景象一样，所以称这种效应为栅栏效应。如果不附加任何特殊处理，则在两个离散的变换线之间若有一特别大的频谱分量，将无法检测出来。减少栅栏效应的一个方法就是在原记录末端填加一些零值变动时间周期内的点数，并保持记录不变。这实质上是人为地改变了周期，从而在保持原有线连续形式不变的情况下，变更了谱线的位置。这样，原来看不到的频谱分量就能够移动到可见的位置上。
泄漏效应是由于在时域中对信号进行截断而引起的。实际问题中，所遇到的离散时间序列x(nT)可能是非时限的，而处理这个序时时，需要将其限制为有限的N点，即将它截断。这就相当于将序列乘以一个矩形窗口，如果对有限带宽的周期函数抽样后的截断长度并不正好是其周期的整数倍，就会导致离散付立叶变换和连续付立叶变换之间出现显著的差异。这是因为，根据频域卷积定理，时域中的，则频域中与进行卷积。这里，和分别是的付立叶变换，这样将使截断后的频谱不同于它加窗以前的频谱。泄漏效应的产生是由于矩形窗函数的付立叶变换中具有旁瓣亦有一定带宽而引起的。如图2.5所示。为了减少泄漏，应尽量寻找频谱中窗函数，即旁瓣小、主瓣窄的窗函数。或者通过限制采样的持续时间来抑制泄漏效应。
图2.5 矩形窗口的时域与频域图形
