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讨论单调性的步骤范文1
一、集合
（一） 知识定位及复习策略
集合这部分的主要内容是集合的概念、表示方法和集合之间的关系和运算。纵观近几年高考题，集合的考查以选择题、填空题为主要题型。集合的概念和基本运算是本章的重点内容，也是高考的必考内容。
复习中首先要把握基础知识，深刻理解本章的基础知识点，重点掌握集合的概念和运算。
本章常用的数学思想方法主要有：数形结合的思想，如常借助于维恩图、数轴解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论、集合的包含关系等。复习时要重视对基本思想方法的渗透，逐步培养用数学思想方法来分析问题、解决问题的能力。
（二） 规律方法总结
1、集合中元素的互异性是集合概念的重点考查内容。一般给出两个集合，并告知两个集合之间的关系，求集合中某个参数的范围或值的时候，要特别验证是否符合元素之间互异性。
2、考查集合的运算和包含关系，解题中常用到分类讨论思想，分类时注意不重不漏，尤其注意讨论集合为空集的情况。
3、新定义的集合运算问题是以已知的集合或运算为背景，引出新的集合概念或运算，仔细审题，弄清新定义的意义才是关键。
二、函数
（一） 知识定位及复习策略
函数是高中数学的核心内容，函数的思想方法贯穿了高中数学的始终。近几年高考试题函数热点之一是考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数的图象。函数、方程、不等式关系密切，要学会对具体问题抽象概括、分析探索、透彻理解，从而构造函数，借助方程、不等式的知识，最终解决问题。实现函数、方程、不等式的沟通与转化，是高考的又一热点。考查函数内容的同时，用函数的思想观点研究问题，以及数形结合思想、分类讨论思想的灵活熟练应用，也是高考的一个重点。
（二） 规律方法总结
1、求函数解析式时，针对条件的特点可选用换元法、待定系数法、凑项法、列方程组法等进行求解。其中换元法是常用的方法，但要特别注意正确确定中间变量的取值范围，否则就不能正确确定函数的定义域。
2、判断函数单调性主要的方法有定义法、导数法、图象法。
（1）用定义法判断单调性的步骤是：①任取x1,x2 M，设定x1
（2）用导数法判断单调性的步骤是：①求f、(x)，令f、(x)=0，解此方程，求出它在定义域区间内的一切实根；②把函数的间断点（包括f(x)无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；③确定f、(x)在各小开区间内的符号，根据f、(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。
（3）利用图像法求函数的单调区间要注意找准关键点，判断好函数图象的特征，如对称性。
3、判定函数奇偶性要注意先判断定义域是否关于原点对称，再根据f(-x)与f(x)的关系继续判定。偶函数f(x)=f(-x) 可以延伸为：f(-x)=f(x) =f(｜x｜) ，可以免去讨论符号的麻烦。
4、二次函数求最值的方法一般是配方法或应用二次函数的单调性。二次函数在某闭区间上的最值有三种情况：轴定区间定；轴定区间动；轴动区间定。给定二次函数的定义域求其最值或值域是基本题型，一般要结合其单调性及对称性画出图象解决。要注意所给定义域与对称轴的关系。
5、利用函数的零点研究方程根的问题主要注意数形结合思想方法的应用。方程f(x)=0有实根函数f(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点。
三、基本初等函数
（一） 知识定位及复习策略
基本初等函数的内容是函数的基础，也是研究其他较复杂函数的转化目标，掌握基本初等函数的图象和性质是学习函数知识的必要的一步。与指数函数、对数函数有关的试题，大多以考查基本初等函数的性质为依托，结合运算推理来解题。所以这部分内容更注重通过函数图象读取各种信息，从而研究函数的性质，熟练掌握函数图象的各种变换方式，培养运用数形结合思想来解题的能力。
（二） 规律方法总结
讨论单调性的步骤范文2
【关键词】导数；单调性；凹凸性；拐点
导数是进一步学习数学和其他自然科学的基础，是现代科学技术研究必不可少的工具。导数反映了函数随自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，它使人们能够用数学工具描述事物变化的快慢及解决与之相关的问题。
一、利用导数求切线方程
导数的几何意义是，曲线 在点 处的切线斜率，即
例1
求曲线 在点（1，2）处的切线斜率，并写出该点处的切线方程与法线方程。
解：所求的切线斜率为 。由于 ，于是 。
所求的切线方程为 ，即
所求法线方程的斜率为
所求的法线方程为 ，即
二、利用导数分析函数的单调性
函数单调性的判定法：设函数 在区间 上连续，在 内可导。
（1）如果在 内 ＞0，那么函数 在 上单调增加；
（2）如果在 内 ＜0，那么函数 在 上单调减少
例2讨论函数 的单调性
解：（1）函数的定义域为
（2）
（3）令 得 ，这两点把定义域区间分为 ， ， ， 四部分。
由此可知，在区间 和 内函数 单调增加，在区间 和 内单调减少。
注：导数等于零的点和导数不存在的点可能是函数单调区间的分界点
求函数的单调性的一般步骤为：
（1）确定函数的定义域
（2）求出使函数 或 不存在的点，并以这些点为分界点，将函数定义域分为若干子区间。
（3）确定 在各个子区间的符号，进而确定 的单调区间。
三、利用导数的性质证明不等式
例3 证明：当 ＞0时， ＞
证明：设 ，则
当 ＞0时， ＞0，所以 为单调增加，又因为 ，故当 ＞0时， ＞ ，即 ＞0
因此＞
注：当不等式不能做差或作商是可以用导数的性质来解决。
四、利用导数求函数的极限
在求函数 极限时常会遇到两个函数 ， 都是无穷小或都是无穷大的情况，即“ ”，“ ”型的极限，这类极限不能直接用四则运算法则求极限，那么可以用洛必达法则来求其极限。
洛必达法则：若函数 ， 满足
（1） ，
（2）在点 的某个去心邻域内 ， 存在，且 ≠0
（3） 存在或无穷大
则极限 存在（或为无穷大），且 =
注：当 换为 时，定理仍然成立
例4 求
解：这是 型未定式
= =
例5求
解：这是 型未定式
= = =0
五、利用导数求函数的极值
极值判定法：设函数 在点 处连续，且在点 的某个邻域内可导（点 除外），若在该邻域内
（1）当 ＜ 时，有 ＞0；当 ＞ 时，有 ＜0，则函数 在点 处有极大值 ， 为 的极大值点；
（2）当 ＜ 时，有 ＜0；当 ＞ 时，有 ＞0，则函数 在点 处有极小值 ， 为 的极小值点；
（3）若在点 的左右两侧近旁， 的符号相同，则函数 在点 处没有极值。
例6求函数 的极值点与极值
解：（1）函数 的定义域为
（2） ，令 ，得 ，
， 将函数 的定义域 分为3个子区间，在每个子区间内讨论 的符号。
（3）列表讨论如下
（4）由表可见， 为函数的极大点， 为函数的极大值； 为函数的极小点， 为函数的极小值。
由此题可知求函数 极值点和极值的一般步骤：
（1）确定函数 的定义域
（2）求出导数 ，并求出函数 的全部驻点和不可导的点
（3）列表讨论 在上述各点近旁的符号
（4）判定函数 的极值点，并求出函数的极值
六、利用导数求函数的最值
设 在 内的驻点为 ， ，…， ，则比较 ， ，…， ， 的大小，其中最大的便是 在 上的最大值，最小的便是 在 上的最小值。
例7求函数 在 上的最大值与最小值
解：
解方程 ，得到 ， ，由于
比较可得 在 取得它在 上的最大值 ，在 取得它在 上的最小值
七、利用导数研究函数的凹凸性与拐点
定理：设函数 在 上连续，在 内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在 内 ＞0，则 在 上的图形是凹的；
（2）若在 内 ＜0，则 在 上的图形是凸的.
例8求曲线 的拐点坐标及凹凸区间.
解：（1）函数 的定义域为
（2） ，
令 ，即 ，解得 ， .
从而 ， 把定义域区间分为3个区间： ， ，
（3）列表讨论曲线的凹凸性和拐点
由上表可知，曲线在区间 ， 内是凹的，在区间 内是凸的。曲线的拐点坐标为 ，
求曲线 凹凸区间及拐点坐标的一般步骤为：
（1）确定函数 的定义域；
（2）求出函数 的二阶导数 ，解出 =0的全部实根，并求出二阶导数 不存在的点；
（3）判断上述各点两侧 是否异号，如果 在点 的两侧异号，则点（ ， ）是曲线 的拐点；如果 在点 的两侧同号，则点（ ， ）不是曲线 的拐点。
八、导数在经济分析中的应用
（一）边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率。经济函数的导数，反映的是这个经济现象的瞬时变化率，可以近似的描述该经济函数的边际。
1、边际成本
设总成本函数为 ，其导数 称作边际成本，记作MC。它表明在生产或购销中，产量或购销量在Q水平上再增加一个单位引起的成本的改变量 。
2、边际收入和边际利润
设某产品的总收入函数为 ,称其导数 为边际收入，记作MR.。
设某产品的总利润函数为 ,称其导数 为边际利润，记作ML.。
例9设某产品的总成本函数和收入函数分别为
，
其中，Q为该产品的销售量。试求
（1）该产品的边际成本、边际收入和边际利润
（2）生产50个单位产品时平均单位成本和边际成本本值
解：（1）边际成本为
边际收入为
利润函数为
则边际利润为
(2) 时的平均单位成本为 ， 是的边际成本为
这表示生产第50个或第51个单位产品时所追加的成本为17.5
（二）、弹性分析
若函数 在点 处可导，则 的值称为函数 在点 处的弹性，记作 。
函数 在点 处的弹性 反映了当自变量 变化1%时，函数 变化的百分数为
若需求函数为 则需求弹性为
若供给函数为 则供给弹性为
例10某商品的需求函数为 ，求 时，需求对价格的弹性。
解：
当 时， ≈－1.7
其经济含义是，当 时，价格每上升1%，需求量则减少1.7%
讨论单调性的步骤范文3
【关键词】数学;自主学习;课堂教学
一、思来源——提升动机
要让学生自主探究，就不能让他们处于被动地位，只按照老师的意图去思考、接受知识.需要学生自己思考，自觉收集信息，做好预习工作，在老师讲课前就对将学知识有所了解.这样学生有较大的自，按照自己的思维方式去探究、发现、学习，养成自主解决问题的习惯.老师要充分研究教材，列些预习提纲辅助思考.提纲问题要富有启发性，反映本节课的重难点，引导学生思考知识点的内在联系、深层含义.
例如：函数的单调性.（自学阅读）
问题：1.函数单调性定义中有哪些关键词？尝试用自己的语言描述.
2.尝试说出对单调性的理解.尝试说出单调区间与函数定义域的区别与联系.
3.尝试举例说明一个单调递增/减函数及其单调区间，能否对已学过的具体函数作单调性的判断？
4.尝试思考：学过不单调的函数吗？能否举例说明？
5.你能否看懂例题？若不理解，能否指出不理解的内容在哪，并作记号？若理解，你能否模仿例题独立完成课本练习，并尝试小结证明函数单调性的步骤？
6.你能否尝试小结：判断函数单调性的方法以及证明函数单调性的方法？
预习渗透分层次教学思想，学困生要求基本看懂预习内容，尝试完成简单练习，带着疑问听课；中等生要求初步理解和掌握预习内容，尝试完成练习；优等生要求深刻理解和掌握预习内容，独立完成习题.通过学生的自主预习，逐个完成对重难点的突破，提升学习动机.
二、思引入——激发兴趣
老师用生动形象的语言，通过具体事例、直观实物、多媒体演示手段等精心构建与生活相关的问题情境，逐步引导学生获取新知识.
例如：等比数列的前n项和引入.
话说八戒随师父取经后，回到高老庄，开了家公司，当了CEO，投资一项目缺经费，急忙赶到花果山问猴哥借钱.悟空想了想，弄了一份合同，说：“没问题，咱俩谁跟谁啊，借你五百万.第一个月还1元，第二个月还2元，下个月要还的是上个月的两倍，还两年就行，意思意思.你看成么？”如果你是八戒，你会签字吗？
通过有意思的故事吸引注意，启发学生思考、计算，带入新课内容.
在上课伊始，适合的导入为课堂注入新鲜气氛，告别枯燥呆板，学生更想自主探究、阐明观点，有利于收集、处理信息能力及思维能力的培养.
三、思过程——主动参与
在数学课堂教学过程中，要教会学生学习，创设条件给学生以实践的机会，让学生主动地参与进来，成为学习的主人.学生提问和回答时，教师从旁加以指导，穿插提议、示错、安排，及时给出正确评价.
例如：空间几何体的体积.
问题：底面积、高分别相等的柱体体积之间有怎样的关系？那么如何求柱体的体积？它们的体积是多少？
数学实验：取一摞书放在桌上，将它们堆放成长方体，再用手推一下改变一下形状——平行六面体，这时高度，每页纸的面积，你能获得怎样的结论？介绍祖暅原理.通过做倒沙实验得到球的体积公式.
课堂中学生亲自动手、思考，为理解探索结果而讨论，印象深刻，感受乐趣，体会成功的喜悦.师生沟通合作，形成和谐气氛.老师精心设计启发性问题，具体明确、难度适中，通过画图、规范书写等直观印象使学生对知识的理解尽快从感性认识上升到理性思维.
四、思应用——培养能力
学习知识点后关键还在于如何应用，在分析解决问题的过程中让学生学会反思和自我总结，激发学生潜能.课堂提供了一个很好的舞台,让每名学生都有展示自己才华的机会，要启发学生各抒己见，再因势利导点评.
先让学生独立进行思考，鼓励学生说出自己的解题思路，让其他同学给予评价，分析对错，给出不同解法.本题有综合法、分析法、比较法、三角换元法、数形结合法、向量法、复数法等多种解法，共同探讨，一题多解，拓展思维.
在共同探究过程中，教师要注意对深度的把握，讨论不要太过偏离方向.点评要以表扬为主，消除学生的恐惧感，增强他们的自信.解题过程融入数学知识和思想方法，长期思索，必将收益显著.
五、思结果——乐于探究
作业布置也对数学教学质量产生一定影响，教师应根据学生的个性差异布置作业，体现自主探究的思想，促进学生的自学能力与实践能力的提高.
例如：向量的应用：
作业布置：
1.在教师提供的练习中自选作业，有最低数量限制.
2.每人搜集一道向量应用的题目或向量创新题.
讨论单调性的步骤范文4
关键词：问题驱动教学；教学改革
中图分类号：H191
[科研课题]本文系黑龙江省教育科学规划课题“适应高等应用型人才培养《高等数学》课程的改革与创新”课题编号：GZC1211036
目前高职数学教学所面临的问题
一、要想知道如何解决问题，首先我们要知道问题在什么地方
1、 基于应用型人才培养模式带来了严重的冲击
2.因材施教——学生给我们带来的思考
3、源于教学内容基本没变但学时却相对减少
二、问题驱动式的内涵
所谓学问，就是从问题出发探索真理，任何科学研究都是由问题驱动的，问题驱动式教学就是把问题作为教学的出发点，通过设计的问题引发学生的认识冲突，激发学生求知欲，并通过问题的引导，让学生探索新知识。其内涵就是通过质疑、探究与情景的和谐统一，把培养学生的问题意识，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力贯穿于教学的全过程。
三、问题驱动式教学法在高职高等数学教学中的应用
本文以函数的单调性和极值教学为例，说明问题驱动教学法的几个教学环节：
教学环节一、设置问题，激发兴趣，引出本节课的理论教学；
引出上节课所留的应用题，此题有背景资料，即让学生通过自学了解导数在经济学中的应用，同时此题也是一个引例，引出本节课所要学习的函数的单调性和极值的概念。
应用题：某段电话线的架设其总成本满足函数 （ 为架设线路长度，单位为 ，成本单位为万元），试分析当线路长度分别为 和 时的边际成本，说明含义，再求出成本最低时的线路长度。
师：在总结学生做题的同时，引出函数图像和函数导数的图像。
[设计意图]：此题为二次函数，学生可以通过初中的知识来求解此题。借此题来寻求判断函数单调性的更一般的方法，用导数来判断函数的单调性。引出本堂课的教学内容，请同学观察此函数图像和函数的导数的图像，借此得出函数的单调性和导数符号之间的关系。
教学环节二、理论知识教学
一、单调性的判别法
1、定理（略）
例：
师生共同讨论做题。
师：请学生借助Matlab软件，画出此函数图像。
[设计意图]：以图辅数，通过学生自己绘制的函数图形加深对定理内容的理解，对定理产生认同感，增强对定理实用性的理解。
1、 问题：请同学观察图像，找出单调性改变点处有什么特点。
[设计意图]：以图辅数，通过教师的引导，学生的总结，给出极值的定义。
二、函数极值及其求法
1、极值定义（略）
2、极值点的注意事项：
以判断题的形式将极值点概念的注意事项涵盖其中，做此题后，请学生总结极值点的注意事项。
3、极值点的判定
问题：结合黑板上的图像同学们请同学们总结，极值点都出现的位置有什么数学特征。学生会找到极值点的必要条件。
问题：导数为0的点一定是极值点吗？我的图像（ ）里还有导数为0的点，你能通过图像特征看出它在哪里吗？
注意：个别导数为0的点，不影响函数的单调性。
[设计意图]：学生往往认为导数等于0的点就是极值点，以图辅数，使学生对知识有更深层次的理解，即个别导数为0的点不影响函数的单调性。引出极值点的充分条件。
问题：那么现在我们可以得出求函数单调区间和极值的步骤，请同学来总结一下。
[设计意图]：让学生梳理所学知识点，将所学知识系统化，得出结论。
4、求函数单调区间和极值的步骤
5、例题及练习题师生共同完成。 使学生掌握求函数单调区间和极值的方法，同时学习书写格式。 巩固练习，纠正错误，团队做题，以强带弱。
教学环节三：运用新知，解决问题
在本环节中，让学生再做一个具体案例题目，进一步提高学生分析问题和解决问题的思路和能力，让学生在分析、解决问题的过程中，一方面加深对理论知识的理解和运用，另一方面提高自己的实务能力。
教学环节四：核心知识点总结与作业
让学生谈谈在解决具体问题的过程中是如何分析问题的？在解决问题的过程中遇到了哪些问题？最后怎么解决的？让学生对所学知识进行整理、巩固、消化、吸收。教师也要进行小结，帮助学生梳理知识点，巩固所学。最后，一定要留有课后作业。
四、问题驱动式教学中应注意的问题
1、问题的设计要有应用性和趣味性，要提出好的问题。
例如在“导数概念”这一节课的教学中，我设计的问题为：
设某商品的总收益 是销售量 的函数 ，求当销售量为50个单位时的总收益变化率，并解释其经济意义.
微积分处理的就是增量分析问题。分析增量x，y，这是微积分的灵魂。可对于刚接触微积分的学生，对增量x的感受是“一头雾水”。有了上面的问题，增量就可以理解了。作为经销商，他首先要考虑的问题是，在销售量为 时，在 的基础上调整销量x时，市场的反应（收益的增减量y）如何？研究的是x与相应的y的关系y=f（ +x）-f（ ）。
此题中 ，所以 。其经济意义为：在销售量为50个单位的基础上，如果再多销售一个单位，总收益将增加64个单位。有了上面的问题，增量就可以理解了。从考察变量之间的关系，到认识增量之间的关系，完成这一飞跃，才真正理解微积分。
2、问题驱动的形式多种多样，也不必每一节课的教学都要问题驱动，不能因为是问题驱动式教学“硬来”，太拘泥于形式主义，弄巧成拙，作茧自缚。所提出的问题也要恰当，应根据学生的特点及认知水平设计问题，问题始终保持在欲知未知、半生不熟的中等强度上，这样才能激发学生去思考、去解决问题。
例如：在函数的凹凸性及拐点的教学中，我就是让学生观察逻辑斯蒂曲线，
曲线如图所示，其反映了一般产品的成长过程、耐用消费品的变化规律等。函数是单调增加的，让学生通过观察得出，在 的两侧增加的规律有所不同。在 的左侧函数是随着的变化其增加幅度大，而在 的右侧函数随着x 的变化其增加幅度小。从而给出函数凹凸的概念。
讨论单调性的步骤范文5
一、要想实现高效课堂，教师首先有效地做好课前的准备
1.让统计数据说话，知己知彼，避免无的放矢。
测试过后，教师应做好数据的分析工作，把每个学生的试卷都拿来逐一分析，在阅卷时详细记录下每个同学的典型错误，对学生的错误进行整理，在讲评卷也能起到有的放矢的作用。
2.小组讨论――重参与、常互动、共同进步。
根据教室的布局，我们通常把学生分成4人一小组（前后位，不固定名单，随着班级的座位表变化）。我们认为每个学生都有自己的过人之处，无论成绩好坏，都会给小组提供养分。我们的目的就在于加强同学之间的交流，增强学生的自信心，加强学生的表达能力。这样下来，一套试题有一大部分的题目都在同学们的讨论中消化了。当然还有一些题目是小组内的悬疑。这些问题根据不同组的学习能力差异会有所不同，但又个别题目是比较统一的（老师在评卷时就能分析出这种情况）。所以，教师应该在学生讨论的过程中流动地参与到每一个小组，发现问题，指导学生解决问题（接下来在课内进行详细讲评的题目可以先不解答）。通过讨论，学生在互相交流中加深对知识的理解，也增强了题目在课堂上的参与性，提高了学习效率。
二、学生是课堂的主角，把讲台让给学生
1.让学生“上台讲课”
以学生说题为主，暴露过程，避免以教代学。所谓“说题”，就是在试卷讲评课上，要求某一学生面向全体同学，依据所学知识，经独立思考后，对试卷中相关题目的命题意图、审题情况、涉及知识、试题类型、答题规范等进行阐述的过程。
具体操作：
步骤一：课前确定“说题”学生，并要求他们作好充分准备。
步骤二：课堂上先由学生说意图、说审题、说知识、说答案、说题型、说反思等。同时，其他同学可进行补充、修改、完善。然后教师根据学生的“说题”进行点评、点拨。
2.教师评讲――把握好两大原则
2.1分门别类，集中评讲
评讲试卷时，不必按题号顺序进行，可以采用分类化归集中评讲的方法。
一是涉及相同知识点的题，集中评讲。一份试卷中总会有些考题是用来考查相同的或相近知识的（特别是单元测试卷），对于这些试题宜集中起来进行评讲，这样做可以强化学生的化归意识，使他们对这些知识点的理解更深刻，同时节省时间，提高了课堂效率。如《因式分解》章节测试时，可以按它的提公因式法、公式法、因式分解法及分组分解进行分类评析。
二是形异质同的题，集中评讲。形异质同的题是指教学情景相异但数学过程本质相同或处理方法相似的试题。这类过程本质相同或处理方法相似的试题宜集中进行评讲。如判断一元二次方程根的情况和判断二次函数的图像与x轴交点的情况，看似两个不同的题型，其实质都是根据“b2-4ac”的值进行的判断。
三是形似质异的题，集中评讲。形似质异的试题是指数学情景貌似相同，但数学过程本质却不相同的试题。对于这类试题也宜集中评讲。要指导学生透过表面现象看内在本质，注意比较异同，防止思维定势产生的负迁移。如：
已知P是AB边上的一点，过P点作直线截ABC所得小三角形与ABC相似的直线有几条？ （ ）
A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条
此题形似运用三角形相似的定理“平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似”，但又超出了这个定理。
2、抓典型，讲透彻，举一反三
在学生试题中反映出来的一致问题，教师将对它进行详细的解答。在点评过程中，教师应对知识进行归纳、方法进行总结。教师通过个别题目的讲解，使学生理解知识更透彻，掌握解题方法。
这个小题主要考查分段函数的单调性的基本概念。所以，教师在讲解的过程中先引导学生复习一下单调性的基本概念。然后，我们再与学生复习判断函数单调性的常用方法――定义、图像、导数等。最后，我们使用以上方法解决问题。
方法一、要使f（X） 在 上单调递增，则函数的每一个部分都是递增的，得到① ，② ，即 。还有一个容易忽略的条件，第一段的最大值小于第二段的最小值才能保证函数满足单调性的定义，得到 ，故答案选C。
方法二、利用图像
由分段的单调性可知 。
通过画图，对一次函数进行上下移动，让学生得到一个直观的体会，也验证了方法一。
方法三、特殊值法
在ABCD所给出的答案中选取特殊值代入原函数进行检验。例如，a=1，a=2，a=3，a=4 等。这种方法比较适合这种类型的题目――通过答案可以比较明确地找到特殊值。最后，进行变式训练，着重在审题、知识串联、方法上进行巩固。
三、及时反馈，注重评后巩固
讨论单调性的步骤范文6
摘要：本文主要从五个方面通过举例来阐述定义域的作用，强调定义域在解有关函数问题重要性，培养学生严谨敏锐的思维能力。
关键词：函数 定义域 对应法则
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，是确定函数图象与解析式的关键，在函数中有着很重要的作用。看似函数的定义域（或变量的允许值范围）非常简单，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。现就函数定义域的作用小结如下：
一、确定函数关系式
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：
故函数关系式为：.
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：
即：函数关系式为： （ ）
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。
二、确定函数最值
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
例2：求函数在[-2，5]上的最值.
解：
当 时，
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，没有注意到定义域的限制。
其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间 上，它的最值应分如下情况：
⑴ 当时， 在 上单调递增函数
；
⑵ 当时，在上单调递减函数
；
⑶ 当 时， 在上最值情况是：
，
.即最大值是 中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
函数在[-2，5]上的最小值是- 4，最大值是12.
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便很容易做出。
三、确定函数值域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例3：求函数的值域.
错解：令
故所求的函数值域是.
剖析：经换元后，应有，而函数在[0，+∞）上是增函数，
所以当t=0时，ymin=1.
故所求的函数值域是[1， +∞）.
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。
四、确定函数单调性
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
例4：指出函数 的单调区间.
解：先求定义域：
函数定义域为.
令，知在 上时，u为减函数，
在上时， u为增函数。
又 .
函数在上是减函数，在
上是增函数。
即函数 的单调递增区间，单调递减区间是。
如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解。
五、确定函数奇偶性
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：
例5：判断函数 的奇偶性.
解：
定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称
函数是非奇非偶函数.
若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性
如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：
函数 是奇函数.
错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。
综上所述，在确定函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，定义域起着至关重要的作用，若能思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，不忽略定义域在函数中的作用。就会避免解函数问题的一些错误。
参考文献：
[1]王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社.1998
