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概率统计技巧范文1
对于很多学习数学的高中生来货说，对于高中数学来说，概率题型是比较让人头疼的，它是高中数学中比较需要逻辑思维能力的，那么接下来给大家分享一些关于高考数学概率题解题技巧，希望对大家有所帮助。
高考数学概率题解题技巧高中数学的高考概率解答题是高考的六道大题之一，也是难点之一.由于其题型变化多端，故很多学生经常容易混杂，甚至束手无策.本文旨在通过题型分析，形成一套完整的体系构架，从而使学生胸有成竹，对概率题答题有个更全面的认识和掌握.
解高考概率问题，首先要分清问题涉及到的概率类型，如等可能型，互斥型，相互独立型，还有几何概型，每种类型都有相应的处理方法。
平时做题的时候广泛使用表格法，使有关内容、解题方法和技巧一目了然;从浩瀚的题海中归纳、总结出的题型解法，对解题具有很大的指导作用;用系列分析对教材的重点、难点进行诠释，对掌握这方面知识起到事半功倍的效果.
(1)在具体情境中，了解高中数学随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。(2)通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。(3)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。(4)了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率，初步体会几何概型的意义。(5)通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
高考数学统计题(1)随机抽样
①能从现实生活或其他中提出具有一定价值的统计问题。②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
(2)用样本估计总体
①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1)，体会他们各自的特点。②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
(3)变量的相关性
①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
高考数学算法的含义、程序框图题(1)①通过对高中数学解决具体问题过程与步骤的分析(如，二元一次方程组求解等问题)，体会高中数学概率题算法的思想，了解算法的含义。②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中(如，三元一次方程组求解等问题)，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
(2)基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
概率统计技巧范文2
关键词： 线性代数与概率论（统计） 教学改革 案例教学 应用能力
数学课是高等院校中理工、经管类各专业学习的基础理论课，其开课目的在于培养各专业人才所必备的数学素质，也为学生后续专业课的学习打下坚实的基础，其重要性是不言而喻的。近年来，独立学院的专业设置多彩纷呈，对数学基础课提出多元化、小型化、分散化的要求，同时要求精简学时提高效率。线性代数与概率论（统计）自然也不例外。独立院校学生的数学基础相对薄弱，这就对数学教师在线性代数与概率论（统计）课程的教学提出了更高的要求。以东莞理工学院城市学院为例，机械设计制造及自动化、安全工程、物流管理、工商管理等专业都开设了线性代数与概率论这门课程，学时安排48。教什么？怎么教？如何让学生在这48学时中把该学的知识掌握好，这是作为数学教师的我思考最多也是最难的问题。
一、现状分析
线性代数与概率论（统计）是把两门应用性非常强的课程合而为一。不管是线性代数还是概率论（统计）都过于强调细节而将理工、经管等学科中所需要的丰富的数学内容排除在外。现有线性代数与概率论（统计）教材偏重于“现成结论的应用”，而忽视了数学教育是引导学生实现数学再发现再创造的教育发展规律，“应用”这一块还应该在教学中强化。此外，由于没有数学实验缺乏实践的机会，使得理论和实践严重脱节。一些学生经常问老师数学有什么用，学生看不到应用就认为没有用，就没有了学习兴趣，这就影响到学生应用数学的能力和数学素质的提高。
在教学方法上，线性代数与概率论（统计）这种应用性很强的课程，过于注重概念、定理的推导和证明，过于注重计算和解题的技巧，一味使用传统的填鸭式教学导致学生觉得这门课程过于抽象无法理解，该学的学不到。东莞理工学院城市学院的学生本来抽象能力就不是很强，这样过于偏重证明和解题技巧的教学使他们非常难以接受。这完全不符合培养学生创新能力和应用能力的初衷。
原先的线性代数与概率论（统计）都是两门单独的课程，各方面都不觉得有压力。但现在线性代数与概率论（统计）只有48课时，“够用为度”不好把握。课时的严重压缩对线性代数与概率论（统计）产生的教学压力非常大。
二、教学思考
根据上述现状和出现的问题，提出以下几点建议和措施，希望对做好线性代数与概率论（统计）课程的教学提供一些帮助。
（一）调整教学内容
在教学内容的选择上要以“淡化理论，够用为度”为指导思想。传统的线性代数或者概率统计的教学过多地强调数学的严密性和理论的严谨性，教师花大量时间用于定理的证明、方法的推导或者解题技巧的讲解，只注重传授知识，往往缺乏对知识的学以致用。因此，教学效果一直不好，学生普遍感到学起来很吃力。这样的教学导致学生应用意识不强，只知道套公式套方法解书上的习题，这叫读死书。线性代数与概率论（统计）是应用性很强的学科，它的生命力和发展动力在于它与其他学科的密切联系，没有了这种关系，线性代数与概率论（统计）就成了无源之水，无本之木，产生不出有意义的问题和方法[1]。如果在教学中，教师不让学生了解线性代数与概率论（统计）在本专业的应用，不提高学生用线性代数与概率论（统计）的知识解决实际问题的能力，这显然不符合独立学院培养高水平应用型人才的目标。我们应该重新调整、更新教学内容，以适应应用型人才的培养。教学内容的选择要淡化理论，突出基本，使学生学好该学的，为应用打下坚实的基础;教学内容要注重理论与实际的结合，强化培养学生的应用能力。
线性代数与概率论（统计）第一部分是线性代数。线性代数定理多、符号多、计算方法多且麻烦，且前后内容交错，行列式、矩阵、向量、线性方程组，一学期下来学生都搞不清楚这些内容的联系，也不知道学了些什么、有什么用。其实在这四部分内容当中，行列式、矩阵、向量及向量组都是求解线性方程组的基础。线性方程组才是线性代数这门课程的中心。因此，在线性代数这部分内容，首先确定以线性方程组为中心[2]，在求解线性方程组的方法中引入行列式和矩阵的概念，并以矩阵秩的概念给出线性方程组有解的充要条件。对任何一个线性方程组，在有解的情况下，我们都能利用初等变换求出它的全部解。那么在线性方程组有无穷多个解的情况下，解与解之间的关系又如何呢？能否利用有限个解表示这无穷多个解呢？而要解决这两个问题，我们必须讨论向量组的线性相关性的有关理论。由此可见，以线性方程组为主，可以将行列式、矩阵、向量组等概念联系起来。这层关系必须给学生指明。其次可讲一次线性方程组的应用专题，结合学生的专业性质，选取一些应用实例，让学生充分认识到线性代数的应用点，同时培养学生应用线性代数解决实际问题的能力。
线性代数与概率论（统计）第二部分是概率论（统计）。概率论（统计）是研究随机现象的规律性的一门数学课程。理论严谨，应用广泛，是理工和经管类部分专业一门重要的基础理论课。对于这样一门应用性很强的学科，应注重学生数学素质的培养，使学生掌握概率论与数理统计在社会实践中的重要性，这样学生才会下定决心学好这门课程。在教学内容的选择上除了基本概念和方法外，还可融入很多实际生活中的实例。因为概率论（统计）的产生来源于生活，从生活中很容易找到生活中的实际问题作为教学素材激发学生的学习兴趣。
（二）改进教学方法
1.结合专业特点，引入案例教学。
学生普遍感觉线性代数与概率论（统计）教学枯燥乏味，缘由就是教学太过抽象，教学方法单一。可在教学中引入实际案例，充分调动学生的主观能动性，主动学起来。在线性代数教学中，可引入线性方程组在各学科中的应用，如（工科专业）在物理电路中的应用、（经济管理专业）在经济平衡中的应用、在减肥食谱中的应用，等等。结合专业特点，讲讲一些实际生活中的例子可以拉近课程与学生之间的距离，让学生了解原来数学离我们并不远。这样就激发了学生的学习兴趣，一举两得。
2.变填鸭式教学为互动启发式教学。
在教学过程中提出一些思考性和启发性都很强的问题，引导学生们自己分析、研究和讨论，让学生自己发现问题，分析问题，然后解决问题[3]。在线性方程组的应用专题或假设检验中，我们完全可以让学生思考，如何对问题进行数学建模，作出假设，求解问题。
（三）编制课程学习指导书
线性代数与概率论（统计）这门课程开课已久，但适合独立学院学生的课程学习指导书倒是少之又少。因此，我们可编制线性代数与概率论（统计）的学习指导书，在书中不仅要列出知识要点，而且要编制配套的例题和习题，辅导学生学好这门课。
三、结语
“要给学生一桶水，老师先要有十桶水”。如果要做好线性代数与概率论（统计）课程的教学工作，教师就一定要多下苦功。教学相长，除了教师在教学方法和内容的改进外，教学还需要学生的主动配合。希望教师在实践中能多总结出一些教学经验，促进教学工作的进步。
参考文献：
[1]陈晓红.概率论与数理统计教学探索[J].南京航空航天大学学报：社会科学版，2005，7（2）：84-86.
概率统计技巧范文3
1.概率——没有偏题怪题
概率方面，出题的方向和题目的类型也都完全在预料之内，没有偏题怪题。只要考生有比较扎实的基础，复习全面，是很容易拿到高分的。细致地分析起来，今年的题目有这样几个特点：
一是依旧强调对概念的理解。如数学一和数学三的填空题，都是考查概念。数一的第七题，考查对概念的进一步理解。只要掌握好概念，客观题是很容易拿到分数的。
二是仍以计算为主。如在正确掌握概念的基础上，还是以计算为主。无论是数一数三的解答题还是客观题，每道题都需要计算。所以计算还是我们考试的主体。
三是考查学生的分析能力。如数学一的第8题，就考查我们的分析能力。直接根据概念做是做不出来的，需要分析出他们的关系，从而解出最后结果。还有数三的第8题，需要先分析出X+Y=2的所有可能情况，然后才能得出正确结果。
概率论与数理统计和高等代数不同，高等代数中计算技巧多一些，而概率论与数理统计概念和公式比较多，对计算技巧的要求低一些，但对考生分析问题的能力要求高一些，概率论与数理统计中的一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。
要达到考试的要求只要公式理解的准确到位，并且多做些相关题目，考卷中碰到类似题目时就一定能够轻易读懂和正确解答。概率论与数理统计中的公式不仅要记住，而且要会用，要会用这些公式分析实际中的问题。我在这里推荐一个记忆公式的方法，就是结合实际的例子和模型记忆。比如二项分布，要结合他的实际背景，伯努利试验中成功的次数的概率。这样才是在理解基础上的记忆，记忆的东西既不容易忘，又能够正确运用到题目的解决中。只有掌握了最本质的概念，在此基础上做一定量的题去巩固所学知识。这样才能对概念的理解更加到位，从而做题更加轻松快捷准确。
2. 线性代数——增加试题的灵活技巧性
纵观这次的线性代数考题，在掌握基础知识和具备一定的计算功底的基础上，又增加了试题的灵活性和技巧性，需要学生对知识间的联系熟练掌握，这点达到了，在线代拿高分不难。2013年考研数学中线性代数部分的两道大题一道考在矩阵方程这一部分，另一道考在二次型这一块，与以往出题方式有点不同。
第20题(数一、数三)表面上考矩阵方程，实质上是线性方程组求解的问题。考查学生的思维能力，需要学生对各知识模块熟练掌握且能灵活应用知识间的联系，这类考法在线性代数里不是很常见，难度虽不大，但是需要学生有思路。因此如果能转化到线性方程组求解，这个题就很容易做了。
第21题(数一、数三)，考查的是二次型，第一问是求二次型的矩阵，这个问题没有难度，但是有较大的计算量，需要学生有一定的计算功底，且需要熟练掌握矩阵的乘法，第二问是考查二次型在正交变换下的标准型，这个问题涉及了向量内积、向量正交、实对称矩阵的正交变换、求矩阵的特征值等几个知识点，此题综合性较强，也有一定的技巧性，需要学生能综合灵活应用所学知识，由于只需要求二次型的标准型，而且是在正交变换下，所以只要求得二次型矩阵的特征值即可，这是此题解题的思路和关键，本题集中体现了线性代数命题的特点：涉及的基本概念比较多，不同的概念之间的联系比较复杂。考生需要具备比较全面的知识储备才能比较顺利地突破考题所设置的所有关卡。
数学一总体评析
考研数学刚刚结束，数学一卷子考点分布均匀，覆盖了考研数学一各个考点，这跟往年特点吻合，从难度来讲，除了个别题目有一些特点之外，总体的感觉还是难度持平，跟往年相比，尤其是跟去年相比持平。这是高数的情况。线代概率的话，线代大题有一道题出得比较新颖，形式上新颖，运算量比较大，概率数一这两个是非常传统的题目。
概率统计技巧范文4
网络教学已经成为新时期教育教学改革的一个重要突破口，其作用已是深入人心，它克服了许多传统教学中的缺陷和不足，尤其在培养学生创新能力、个性发展方面起到了显著的效果。《概率统计》网络教学平台还有很多潜能等待我们发掘和利用，同时我们台上传播的知识进行消化和吸收。因此，如何在信息化、网络化的教学环境下，更好地构建、运用及深度开发网络教学平台，激发网络教学平台的交互式能量，是每位高校数学教师密切关注的课题。
二、《概率统计》交互式网络教学平台的开发
以我校实施完全学分制为契机，基础教学学院依托数字化校园的网络环境，在原有精品课程平台建设的基础上，整合我校现有大学数学课程教学资源，建立了大学数学课程网络教学大平台，为教学双方提供了更好的信息化，网络化教学环境，为更好地提升我校创新型人才培养水平和教学质量奠定了基础。对于《概率统计》课程而言，虽然已经建成了《概率统计》精品课程，但由于课堂教学的课时相对较短，与学生的互动环节较少，因此，概率统计教学团队在对教学资源进行优化整合的基础上，对网络教学平台进行深度开发，改变传统教学过程中“教”与“学”的关系，实现向交互式的双向教学方式的转变。为了更好地适应我校《概率统计》课程的教学要求，我们将整个《概率统计》网络教学平台划分为十个子数据库:教师队伍信息库、教材及教案库、教学软件库、教学课件库、例题及数据库、教学视频库、数学实验库、答疑系统、评价系统及师生互动论坛。
1．教学团队师资力量强，教师结构合理，既有从事多年有教学经验的老教师，也有学有所成的硕士与博士，他们教学效果好，工作效率高。在“教师队伍”中，详细介绍概率统计教学团队教师的具体情况，让学生能够一目了然地弄清楚每一位教师的擅长点，以及教学风格，为更好地在课程教学中开展师生互动提供了有利条件。
2．教学团队经过多年的教学改革，积累了丰富的教学经验和教案，编写了相关教材，辅导书和习题册。在“教材及教案库”中，存储一些电子教材及一些实用的参考书籍，同时将对应课程的教学大纲、教学日历、内容简介，以及各章节的电子教案放入教案库中，方便学生预习、自主学习。
3．在“教学软件库”中，放入概率统计课程的在线备课系统，可以让教师根据教学需要和学生的实际情况，及时对课程教学中的内容进行修正和完善，使得课程教学更具有针对性和实用性。
4．在“教学课件库”中，存放概率统计课程的PPT教案，为教师备好每一堂课提供方便。同时，在进行集体备课时，可以从教学课件库中调出对应的课件，供所有教师参考和探讨，集全体教师之智慧和精华，备出更具有针对性的教案。
5．在“例题及试题库”中，存放概率统计课程的典型例题、同步测试题、综合测试题以及历年考研试题。让学生在学习中及时发现自己存在的不足，及时对相关知识点进行补学和充实，同时也让励志考研的同学及时掌握考研的方向，了解清楚该门课程的考研大纲，为学生的考研打好坚实的基础，吸引更多的学生加人我校的考研队伍。
6．在“教学视频库”中，存放一些与各种概率统计课程相关的教学视频，同时，对于教学团队中讲课水平特别突出的教师，将他们的部分教学过程录制成视频，存放入该视频库中。教师可以在休闲的时候随时点击这些视频，学习这些教师的授课技巧。这样，更有利于加强数学教师的教学素养和提高教学水平，尤其对于刚走上教学岗位的年轻教师，这种视频更具有实用价值。
7．“数学实验库”是一个符合当代教研教改需求的非常具有实用价值的数据库，针对目前比较流行且简明易懂的MATLAB软件，在该数据库中存入概率统计课程中各章节的数学实验，编写部分程序，同时留有实验题目，让学生自主编写。
8．如果学生在自学过程中遇到难题及不懂的知识点，就可以在“答疑系统”中直接询问老师，没有必要为了一个问题而跑到办公室去询问教师，这样节省了很多的时间。
9．“评价系统”是一个教师教学评价系统，而教师教学评价是教学质量评价中的重要内容。通过该评价系统，我们可以及时收集教学过程中的相关信息，了解学生的心理动态，及时完善自己的教案，更正自己在教学过程中所存在的不足，提升自己的教学水平。
概率统计技巧范文5
概率统计理论性系统性强，对实践的要求很高，单靠理论推导是不够的。在概率统计课程第一节课的教学中，应该结合学生专业特点，通过典型具体的可操作的实例进行入门教学，学生在学习过程中不仅重视知识和技能，也要重视过程、方法、情感体验、态度、价值观、学习能力、创新精神和实践能力等[8]。例如在给计算机专业的学生上概率统计课时，可应用蚁群算法、遗传算法求解旅行商问题、登山队中的0-1背包问题等，在求解程序中添加算法搜索迭代进化过程的图形演示；又如提出问题：在钦州三娘湾，看见白海豚的可能性有多大？等等，启发学生积极思考，努力探索，初步体会概率统计的应用。运用具体的典型实例，使学生能切实感受到概率统计知识应用的鲜活情景。在教学过程中，教师寻找合适的切入点，通过创设概率统计知识的应用情景，使学生切身感受到所学知识的实际应用，激发学生强烈的学习兴趣，体现了“数学建模”、“数学实验”的教学思想，反映了“厚基础，宽口径，重应用”的教学理念。很多时候，学生对书本以外的与书本相关的知识很感兴趣，非常渴望了解许多前沿性的知识内容。通过案例分析，组织讨论，学生对算法的机理———概率选择、全概率公式、贝叶斯公式及其运用必定会产生浓厚的兴趣，产生进一步探究的强烈愿望。这样不仅可以将理论和实际联系起来，并且通过接触实际问题，提高学生综合分析问题和解决实际问题的能力，加深学生对教学内容综合性、应用性、技巧性和创意性的理解，体现“实践—认识(理论)—实践”的螺旋式上升的过程。
2深刻理解概率统计课程的重要性
概率统计知识与日常生活紧密相关，学生可以通过实践活动来体会概率统计知识的具体应用，感受概率统计知识与现实生活的密切联系，体验到概率统计知识在解决实际问题中的作用，获得学习数据处理的方法，对调动学生学习兴趣，培养学生动手能力，培养学生调查研究的习惯和实事求是的科学态度，提高学生合作交流能力和综合实践能力都有积极作用。然而由于课时不多，学生往往重视不够，教师在教学中应想方设法使学生重视概率统计知识，注意培养学生的应用意识和能力。信息时代人们面临着很多的机会和选择，往往需要在不确定的情境中，在大量无组织的数据中，做出合理的决策和选择。如：海洋水域预报，江河、海洋水位预测，天气预报，债卷的收益评估，股市风险，寿命期望预期，数据的归一化处理，相关性分析，方差分析等。概率统计在密码学、信息安全、自动控制、工程设计、管理、天文、气象、水文、地质、地震、农林、化工等领域有广泛的应用。各种保险、商品有奖销售、彩票中奖等机会问题，已成为人们日常生活谈论的热门话题。由此可见，算法知识、概率统计知识的运用已经涉及社会生活的方方面面，与社会需求相适应，以培养符合社会需要的人才为目标的高等教育，应当对教学内容进行适当的调整，适当增加应用性的内容，以使学生更多树立应用的意识和习惯，提高学生运用所学的知识和方法分析处理发生在身边的各种事情的能力。
3运用计算机技术辅助教学，改进教学方式
概率统计是十分活跃的、有特色的数学分支，为计算机应用提供方法和素材，有利于拓展计算机技术的应用范围；同时，计算机技术的发展又促进概率统计的教学，计算机技术极大地延展了概率统计知识应用的深度和广度，计算机能够处理大量的信息，通过计算机网络搜集数据、绘制统计图表等。两者结合，能充分发挥各自的长处，相得益彰，体现了现代越来越多的人所接受的观点：高技术本质上是数学技术。让学生亲自参与各种活动和讨论，教师由知识和技能的传授者变为教学和学习活动的策划者、组织者、引导者和合作者，学生由被动接受知识和技能的角色转变为学习和实践活动的设计者、主持者、参与者和体验者。通过现代化教学手段，使教师的教学过程更加生动逼真，更加丰富多彩；增加教和学的信息量，使学生更主动地学习，促进教与学的良性互动，有利于学生的学习、理解和掌握。
4理论联系实际，学以致用，大力开展社会实践
学生掌握一定的知识后，给予学生学习相应的课程和社会实践机会。在概率统计教学过程中适当增加实践内容，培养学生应用所学的知识解决实际问题的意识和能力。对日常生活中遇到的随机现象，提出问题，让学生自己尝试做抽样试验，收集数据，用所学到的概率统计方法处理数据，并作出推断。通过亲身体验，使学生养成应用概率统计知识和计算机技术手段解决问题的意识和习惯，有助于教学目的的达成。
5结语
概率统计技巧范文6
关键词：连续型随机变量；期望；求法
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0078-02
如何快速有效地计算随机变量的数学期望是学习概率统计课程和随机过程理论必须掌握的一个知识点，但在一般的概率统计和随机过程教材（如[1，2]）中，计算数学期望主要采用的是定义和性质等常规方法。基于此，文[3]针对离散型随机变量期望计算，给出了对称法、公式法、分解法、递推法和母函数等求法及其技巧。在这些工作的基础上，本文针对连续型随机变量期望计算，通过实例介绍了Laplace-Stieltjes变换法、重期望公式法、利用相同概率性质的随机变量分解法和计算高维Markov过程平均吸收时间的方法。
一、Laplace-Stieltjes变换法
例1 设一非负随机变量X的分布函数为F（t）=■■■G■（t-u）d（1-e■），t>00， t≤0，其中n为确定正整数，λ■，j=1，2，…，n均为已知正数，a=λ1+…+λn，G■（t）为非负随机变量的分布函数，且0
解：因F（t）的Laplace-Stieltjes变换为■（s）=■e■dF（t）=■■■■（s），故E（X）=-[■（s）]′|s=0=■1+■■。
二、重期望公式法
例2 设供货商每月向某经销商供应的货物量X服从（10，30）（单位：1万件）上的均匀分布，该经销商每月实际需要的货物量Y服从（10，20）（单位：1万件）上的均匀分布。若该经销商能从供货商得到足够的货物，则每1万件货物可获30万元利润，若得不到足够货物则需从其他途径进货，此时每1万件可获10万元利润。求该经销商每月的平均利润。
解：因每月利润Z取决于货物供应量X，故由重期望公式得：
E（Z）=0.05[■E（Z|X=x）dx+■E（Z|X=x）dx]。
当x∈（10，20）时，E（Z|X=x）=0.1[■30ydy+
■（10y+20x）dy]=50+40x-x2，
当x∈（20，30）时，E（Z|X=x）=3[■ydy=450，于是E（Z）≈433，（万元）。
三、利用相同概率性质的随机变量分解法
例3 在M/G/1排队系统[4]中，顾客的到达是参数为λ的Poisson流，顾客的服务时间独立同分布，具有分布函数G（t），t>0和有限均值α。到达和服务独立。证明对服务台忙期b的数学期望E（b），当λα小于1时，E（b）=α（1-λα）-1，当λα大于或等于1时，E（b）=∞。
证明：设η表示忙期b中首个顾客的服务时间γ内到达的顾客数，则E（η）=λα。称服务时间γ内到达的η个顾客ξ1，…，ξη为“特殊顾客”，其后到达的顾客为“普通顾客”。因顾客类型和服务顺序不影响忙期b的长度，为研究需要，重新定义服务顺序为：服务完忙期首个顾客后，立即服务ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X1），接着开始服务ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X2），如此下去，直到最后开始服务ξη及其后所有新到的“普通顾客”（这段时间记为Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。由于b，X1，…，Xη都表示从一个顾客开始服务直到服务结束的一段时间，故它们具有相同的概率性质，分布相同，且X1，…，Xη独立于γ和η。从而
E（b）=a+∑■■E（X1+…+Xj）P{η=j}=a+λaE（b）。证毕。
四、计算高维Markov过程平均吸收时间的方法
例4 对两部件串联系统，若部件1、2的寿命分别服从参数为λ1的负指数分布和分布函数为X2（t）的一般概率分布，修理时间的分布函数为Yi（t），i=1，2，部件修复如新。t=0时刻部件全新且同时开始工作。求系统的首次平均寿命。
解：定义状态1：系统工作；状态2：部件1在修理，系统故障；状态3：部件2待修，系统故障。设部件2寿命的危险率函数为λ2（t），时刻t系统所处的状态为S（t），ξ2（t）表示时刻t部件2的年龄，ηi（t）表示时刻t部件i已用去的修理时间（i=1，2）。令状态2，3为吸收状态，则{S（t），ξ2（t），ηi（t），t>0，i=1，2}为带两个吸收状态的向量Markov过程。定义状态概率P1（t，x）dx=Pr{S（t）=1，x≤ξ2（t）
[■+■+λ1+λ2（x）]P1（t，x）=0， （1）
边界条件P1（t，0）=δ（t），初始条件P1（0，x）=δ（x），这里δ（t）为狄拉克函数。
对（1）关于t取Laplace变换易解得P1*（s，x）=
e■[1-X■（x）]。注意到系统首次寿命L的补分布■（t）=Pr（L>t）=■P1（t，x）dx（因为■（t）表示时刻t系统正在工作的概率），从而系统的首次平均寿命E（L）=■*（0）=λ■■-X■*（λ1）。
注1：当X2（t）=1-e-λ2t，t>0时，可得E（X）=（λ1+λ2）-1，与文[5]运用概率分析方法得到的结果（n=2的情形）完全一样。
五、结语
通过实例可以看到，本文介绍的连续型随机变量数学期望的求法可以解决一些具体问题中的期望计算，可为学习概率统计、随机过程及工程概率应用提供重要的参考，因此，理解和掌握这些方法是大有裨益的。
参考文献：
[1]李贤平.概率论基础[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.
[2]张波，张景肖.应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，2004.
[3]徐传胜.离散型随机变量数学期望的求法探究[J].高等数学研究，2005，8，（1）.
[4]唐应辉，唐小我.排队论――基础与分析技术[M].高等教育出版社，2006.
