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分类讨论的思想方法范文1
【关键词】数学；分类思想方法；教学
数学思想方法与其他的数学思想方法一样，是探究、解决问题的重要的思想方法。在探究、解决问题中正确地运用数学分类思想方法能化繁为简，化难为易；能使思维有序、全面、缜密；对于提升学生的思维品质和提高学生分析问题和解决的题的能力起到积极的促进作用。下面就分类思想方法的意义、原则、作用和步骤；初中数学教材中运用分类思想方法进行教学的主要内容；初中数学分类思想方法教学的三个阶段等三个方面谈谈个人的看法。
一、分类思想方法的意义、原则、作用和步骤
1、分类思想方法的意义。 将研究对象按照一定的标准，划分成几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做分类讨论。其实质：“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略。
2、分类的原则。划分后的各个子项应当互不相容（不重）；划分后的子项应当穷尽母项（不漏）；每次划分都应按同一标准。
3、分类的作用。可化繁为简，化难为易；可使思维有序，有条理；可使思维全面、缜密。
4、分类讨论的步骤。确定同一分类的标准；恰当的把对象整体进行分类；分类要做到“不重、不漏”；讨论要按一定的层次逐类逐级进行，最后概括小结、归纳，得出问题的结论。确定分类标准是分类讨论的重要一环。
二、初中数学教材中运用分类思想方法进行教学的主要内容
1、运用分类思想方法进行数、式教学的内容有理数的分类，相反数，绝对值，大小的比较，运法则；数的分类，平方根，立方根，无理数的形式；式的分类，式加减，二次根式的化简等。
2、运用分类思想方法进行方程与不等式（组）教学的内容方程的分类，不等式的性质，不等式（组）的解集，一元二次方程的解法等。
3、运用分类思想方法进行函数教学的内容。特殊点的坐标，分段函数、一次函数、反比例函数、二次函数的图像和性质等。
4、运用分类思想方法进行图形认识教学的内容。线的分类，面的分类，垂线性质，三线八角，三角形按边（角）的分类，三角形高的位置，三角形外心的位置，三角形全等的条件，等腰三角形边与角的计算，勾股定理的应用，四边形的分类，弧的分类，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆周角定理等。
5、运用分类思想方法进行图形与变换教学的内容。相似三角形的对应关系、三角形相似的条件，相似多边形的性质，相似三角形性的质，位似中心的位置等。
三、初中数学分类思想方法教学的三个阶段
1、抓住时机，渗透分类思想。
（1）在概念教学中，渗透分类的思想。有些数学概念是由分类给出的，一般按概念的分类形式进行分类。例如，有理数意义教学：整数、分数统称为有理数或正数、负数、零统称为有理数。
（2）在法则探究中，渗透分类思想方法。例如，有理数的加法法则的探究，可分为：同号两数相加；异号两数相加；一个数同零相加三种情形：
①（+2）+（+1）=+（2+1）=+3， （-2）+（-1）=-（2+1）=-3；
②（+2）+（-1）=+（2-1）=+1， （-2）+（+1）=-（2-1）=-1；
（+2）+（-2）=0；
③（+2）+0=+2， （-2）+0=-2，0+0=0.
最后归纳出有理数的加法法则。
（3）在图形求解中，渗透分类思想方法。例如，等腰三角形的两边分别是3、4，求它的周长。分析：根据等腰三角形的腰可分为：当3为腰时，则4就是底边；当4为腰时，则3就是底边二种情形：
①当3为腰时，则4就是底边，此时等腰三角形的周长为10；
②当4为腰时，则3就是底边，等腰三角形的此时等腰三角形的周长为11。
2、启发诱导，揭示分类思想方法的本质。
（1）根据问题的需要，进行分类。
例如，解关于x的不等式：mx>-1
分析：据不等式的性质可分为m>0，m=0和m
①当m>0时，不等式的解为x>-1/ m；
②当m=0时，不等式左边=0，右边=-1，因为0乘任何数得0，0>-1，此不等式解集为一切实数；
③当m
（2）分类要求明确的标准。例如，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的探究，可按根的情况分为：两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根等三种情况来讨论。
3、深化探究，运用分类的思想方法研究问题。
（1）根据字母的取值范围进行分类。例如，已知函数y=kx2+（k-1）x-1（k是实数），如果函数的图象与x轴只有一个交点，求k的值。
分析：这里可从函数分类的角度讨论，分k=0和k≠0两种情况解决问题。
解：①当k=0时，函数就是一个一次函数，y=-x-1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。
②当k≠1时，函数就是一个二次函数，y=kx2+（k-1）x-1，当=（k-1）2-4×k×（-1）=0，得k=-1，抛物线y=-x2-2x-1的顶点（-1，0）在x轴上。
分类讨论的思想方法范文2
关键词：数学教学 思想方法 分类讨论 数形结合
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）05（a）-0171-02
在一个人的知识结构中，哪些东西最重要？哪些知识可让一个人终身受益？知识海洋广阔无垠，现代社会更是知识爆炸时代，知识呈几何级数增长发展，一个人要学会所有的知识是绝对不可能的。那么我们的教育要达到什么样的功能呢？在有限的时间内，培养和提高学生的思维素质，这才是教育的根本目的。数学在基础教育中是培养学生逻辑思维能力、提高思维素质最有力和最好的工具，这种功能是其它任何一门课程所不能比拟、不能取代的，这已形成共识。正如法国学者劳厄所言：“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西。”在数学中遗忘之余，所剩的东西就是数学思想方法。某哲人也曾说过：“能使学生获得受用终身的东西的那种教育，才是最高尚和最好的教育。”数学思想方法的教学正是这样一件有意义的工作。而我们大多的初中数学教师和学生对数学思想方法的理解和认识却仍维持在似懂非懂、可有可无的边界线上。
《九年义务教育数学教学大纲》明确指出“使学生受到必要的数学教育，具有一定的数学素养，对于提高全民族素质，为培养社会主义建设人才奠定基础是十分必要的”。又指出：“初中数学的基础知识，主要是概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。这其中既把数学知识的“精灵”―― 数学思想和方法纳入基础知识之中，又凝聚了形成知识所经历的思想方法、规律及逻辑过程。如果说历史上是数学思想方法推进了数学科学，那么在教学中就是数学思想方法在传导数学精神，在对一代人的数学素质施加深刻持久的影响。
初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有符号与变元的思想、化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、方程的思想、函数的思想等，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。
1 符号与变元的思想方法
有人认为在中学数学学习和教学中要处理好六个飞跃（“六关”）。
（1）从算术到代数，即从具体数字到抽象符号的飞跃。
（2）从实验几何到推理几何的飞跃。
（3）从常量到变量的飞跃（函数概念的形成和发展）。
（4）从平面几何到立体几何的飞跃。
（5）从推理几何到解析几何的飞跃。
（6）从有限到无限的飞跃。
其中，从具体数字到抽象符号的飞跃，掌握符号与变元的思想方法是初中数学乃至整个中学数学重要目标之―― 发展符号意识的基础。从用字母表示数，到用字母表示未知元、表示待定系数，到换元、设辅助元，再到用f（x）表示式、表示函数等字母的使用与字母的变换，是一整套的代数方法，列方程、解方程的方法是解决已知量与未知量间等量关系的一类代数方法。此外，待定系数法、根与系数的关系，乃至解不等式、函数定义域的确定、极值的求法等等，都是字母代替数的思想和方法的推广，因此，符号与变元的思想方法是中学数学中最基本的思想方法之一。为什么有不少学生总认为3a>a，-a
2 化归的思想方法
“化归”是转化和归结的简称。化归是数学研究问题的一般思想方法和解决问题的一种策略。在数学方法中所论及的“化归”方法是指数学家在解决问题的过程中，不是对问题进行直接攻击，而是把待解决的问题进行变形，转化，直接归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题解答的一种手段和方法。
但是如果问题较复杂，往往通过一次“化归”还不能解决问题，可连续地施行转化，直到归结为一个已经能解决或较易解决的问题，其“化归”的次数是随着问题的难易而定。
中学数学处处都体现出化归的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容上，有加法与减法的转化，乘法与除法的转化，乘方与开方的转化，以及添加辅助线，增设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，在教学中首先要让学生认识到，常用的很多数学方法实质上就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的。其次要结合具体教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。在具体教学过程中设出问题让学生去观察，探索转化的路子。例如在求解分式方程时，运用化归的方法，将分式方程转化为整式方程，进而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程组时的“消元”，解一元二次方程时的“降次”都是化归的具体体现。
3 数形结合的思想方法
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，也就是数与形。数与形是中学数学的主体，是中学数学论述的两大重要内容。数形结合的思想方法是指在研究某一对象时，既分析其代数意义，又揭示其几何意义，用代数方法分析图形，借助图形直观理解数、式中的关系，使数与形各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地结合起来。数形结合思想方法采用了代数方法与几何方法中最好的方面：几何图形形象直观，便于理解；代数方法的一般性与严谨性、解题过程的机械化、可操作性强，便于把握。因此数形结合的思想方法是学好初中数学的重要思想方法。
辩证唯物主义认为，事物是互相联系并在一定条件下可以互相转化的。“形”与“数”既有区别又有联系，直角坐标系的建立产生了“坐标法”，从而实现了它们之间的转化。在代数与几何的学习过程中，自始至终贯彻“数形结合”的思想。它不仅使几何、代数、三角知识互相渗透融于一体，又能揭示问题的实质，在解题方法上简捷明快，独辟蹊径，既能开发智力，又培养创造性思维，提高分析问题和解决问题的能力。著名数学家华罗庚说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，切莫忘，几何、代数统一体；永远联系，切莫分离”。数形结合，直观又入微，不少精巧的解法正是数形相辅相成的产物。
数形结合的思想，可以使学生从不同的侧面理解问题，加深对问题的认识，提供解决问题的方法，有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。数形结合的载体是数轴，依靠数轴反映出数与点的对应关系，是学生学习数学的一大飞跃。运用数形结合的思想方法思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何直观，也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决。
（1）由“数”思“形”，数形结合，用形解决数的问题。
运用图形方法解题的关键在于图形的构造，而构造图形是一项创造性的思维活动，图形的构造无规则可循，也不能生搬硬套，墨守成规，同步自封。从宏观上讲，构造图形就是善于科学抽象，善于抓住起关键作用的一些量和相依关系，巧妙地运用数学符号，式子规律去刻划其内在的关系。其思考途径，用图表示如图1。
比如通过数形结合的数学思想方法来学习相反数、绝对值的定义，有理数大小比较的法则，函数等，可以大大减轻学生学习这些知识的难度，数形结合思想的教学应贯穿于整个数学教学的始终。
（2）由“形”思“数”，数形结合，用数解决形的问题。
数形结合解决问题，常以纯代数问题转化为几何问题，即变抽象为具体来加以讨论，以达到事半功倍之目的。其实，对于一些纯几何问题转变为代数问题来解决也有此功效。
例如B、C为线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若AD=a，Bc=b，则MN=？
分析：由题意可知，B、C两点的位置有两种情况（图2）。
综上所述，数形结合的实际效果，或是化抽象为直观，或是化技巧为程序操作，无论哪一种形式都更好地实现了从未知到已知的转化，所以说数形结合是转化的一种手段。
4 分类讨论的思想方法
“分类”源于生活，存在于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，分类思想方法是一种等价特殊化。其基本思想是：为了解决一个有关一般对象X的问题，可将x分解为特殊的组合，而关于特殊对象的问题是易于解决的。人们可以从这种对象的组合过渡到解的组合而获德原问题的解。
分类也是研究数学问题的重要思想方法，它始终贯穿于整个数学教学中。从整体布局上看，中学数学分代数、几何两大类，采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现；从具体内容上看，初中数学中实数的分类，式的分类，三角形的分类，方程的分类，函数的分类等等，也是分类思想的具体体现。对学习内容进行分类，降低了学习难度，增强了学习的针对性，在教学需要时启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。
在初中数学中，分类讨论的问题主要表现三个方面：（1）有的概念、定理的论证包含多种情况，这类问题需要分类讨论，如几何中三角形的分类、四边形的分类、角的分类、圆周角定理、圆幂定理、弦切角定理等的证明，都涉及到分类讨论。（2）解含字母系数或绝对值符号的方程、不等式，讨论算术根、正比例和反比例函数中的比例系数、二次函数中二次项系数a与图象的开口方向等，由于这些系数的取值不同或要去掉绝对值符号就有不同的结果，这类问题需要分类讨论。（3）有的数学问题，虽然结论唯一，但导致这结论的前提不尽相同，这类问题也要分类讨论。
分类时要注意：（1）标准相同；（2）不重不漏；（3）分类讨论应当逐级进行，不能越级。
5 函数与方程的思想方法
函数思想是指用运动、变化、联系、对应的观点，分析数学与实际生活中的数量关系，通过函数这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决的思想。方程思想是指把表示变量问关系的解析式看作方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决的思想。
函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映。它的本质是变量之间的对应。辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。函数思想方法，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。它有别于象前面所述的几种数学思想方法，它是内容与思想方法的二位一体。初中代数中的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数虽然安排在初三学习，但函数思想从初一就已经开始渗透。这就要求教师在教学上要有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养。
例如，进行代数第一册“求代数式的值”的教学时，通过强调解题的条件“当？？时，”渗透函数的思想方法―― 字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值。这实际上是把第三册中函数问题的一种前置，既渗透了函数思想方法，又为函数的学习埋下了伏笔。
又如，用直角三角形边与边的比值定义的锐角三角函数：在直角坐标系中，由角的终边上一点引出的三个量x，y，r中任意两个量之比定义任意角的三角函数等，一系列的知识体系，自始至终贯穿了函数、映射、对应的思想方法。
再如，通过讨论矩形面积一定时，长与宽之间的关系；长一定时，面积与宽的关系；宽一定时，面积与长的关系。将静态的知识模式演变为动态的讨论，这样实际上就赋予了函数的形式，在学生的头脑中就形成了以运动的观点去领会知识，这是发展函数思想的重要途径。
当然，初中数学学习的思想方法还有很多，如观察与实验、分析与综合、归纳与类比以及集合论的思想方法，几何变换的思想方法等等。我们在教学实践中应立足于数学思想方法教学，充分挖掘教材中的数学思想方法，有目的、有意识、有计划的渗透、介绍和强调数学思想方法，减少盲目性和随意性，去精心设计每一个单元、每一堂课的教学目标以及问题提出、情景创设等教学过程的各个环节。
只有让学生掌握了这把金钥匙，才能使学生学好数学，提高数学素养，增强创新意识，提高创新能力。
方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：（1）建模思想。（2）化归思想，如在初中数学中，三元一次方程组可以化归为二元一次方程组，二元一次方程组最终化归为x=a的形式。
对初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面：一方面是建模；另一方面是会解方程。对于后者来说，解方程的关键在于转化，即将新的问题化归为以前可以解决的问题，利用以前的算法解决。这种化归、迭代的思想正是当代计算机的思想。
方程与函数思想紧密联系、相互渗透，方程思想在函数中的应用可形成如下的结构系统：方程思想―系数法、消元法、判别式法―求解析式、判别函数图象之间的位置、求函数图像交点。
上述数学思想不是孤立的，例如：运用函数思想解题时，往往要借助函数图像的直观性，即同时又要用到数形结合思想。因此，在解题过程中，必须善于把握运用各种数学思想的时机，对于一些难度较大，或综合性较强，或背景较新颖的问题，更应注意运用数学思想去寻求其合理解法，从而避免繁杂运算，避免“超时失分”。
参考文献
[1] 刘美荣.初中数学教学中的反思[J].中国科教创新导刊，2009（6）.
[2] 陆晓卿.初中数学教学点滴谈[J].西北职教，2008（4）.
分类讨论的思想方法范文3
关键词： 新课程 分类讨论思想 数学新教材习题 渗透
新课程实施的背景下，高中数学对学生的考查，不仅仅局限于“双基”的考查，而更重视对学生的数学思想方法的考查.数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题，通常混称为“数学思想方法”.常见的数学四大思想方法为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合.数学思想是学生必须具备的基本数学素养.数学思想是解题的灵魂，指导正确解题的核心，只有掌握了数学思想，才能真正理解数学知识的内涵.
分类讨论思想方法是高中数学中最基本的思想方法，它根据所研究的问题的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，按不同情况分类，然后逐一研究解决.其本质为“化整为零，积零为整”；原则为标准相同，不重不漏.其步骤是：①明确对象的全体，②确定分类标准，③科学分类，④逐类讨论，⑤归纳小结，⑥得出结论.其好处为分类讨论思想可以提高全面考虑问题的能力，形成周密严谨的数学素养，对形成理性思维、发展智力具有基础性作用.随着新课改的实施，在新教材中各处都有相应的渗透和体现，稍加引申就能加深对分类讨论思想方法的理解与深化.本文以人教版课程实验教科书（A）必修一为例，初探分类讨论思想在新课程实施中的渗透.
例一：（12页，B组3题）
设集合A={x|（x-3）（x-a）=0，a∈R}，B={x|（x-4）（x-1）=0}，求A∪B，A∩B.
分析：集合A中的条件a∈R，就已经告诉我们A中的元素与a的取值有关，分析问题时候注意此条件，就不难发现要对a的取值进行讨论.
解：（1）当a=3时，A={3}，B={4，1}，A∪B={1，3，4}，A∩B=?.
（2）当a=4时，A={3，4}，B={4，1}，A∪B={1，3，4}，A∩B={4}.
（3）当a=1时，A={3，1}，B={4，1}，A∪B={1，3，4}，A∩B={1}.
（4）当a≠1，3，4时，A={3，a}，B={4，1}，A∪B={1，3，4，a}，A∩B=?.
备注：在讲解过程中，注意为什么需要分类讨论及分类讨论的原则.如果不对a进行讨论，在进行集合的交并运算的时候，就不符合集合中元素的互异性.同时也加深我们对集合中元素的性质的理解.
变式：（44页，A组4题）
A={x|x=1}，B={x|ax=1}，若B?哿A，求a的值.
解：（1）当a=0时，B=?，符合B?哿A.
（2）当a≠0时，B={}，A={-1，1}，
B?哿A，
=-1或者=1，
a=-1或1.
综上所述：a=0，-1，1.
例二：（44页，A组9题）
已知函数f（x）=4x-kx-8在［5，20］上具有单调性，求实数k的取值范围.
分析：函数f（x）在［5，20］上具有单调性，但是单调性不明确，有增减两种可能，进而需要进行分类讨论.
解：函数f（x）=4x-kx-8的对称轴为x=.
（1）当函数f（x）=4x-kx-8在［5，20］为单调递增时，
有≤5，解得k≤40.
（2）当函数f（x）=4x-kx-8在［5，20］为单调递减时，
有≥20，解得k≥160.
综上所述，实数k的取值范围是k≤40或k≥160.
备注：通过这道题向我们渗透了单调性中求参数取值范围的问题，仔细分析，充分利用这道题，我们可以进一步引申出有关二次函数中的相关问题.
变式：1.已知函数f（x）=4x-kx-8在［5，20］上具不具有单调性，求实数k的取值范围.（也可以利用补集的方法）
2.求函数f（x）=4x-kx-8在［5，20］上的最小值（最小值，最值）.
3.求函数f（x）=4x-8x-8在［a，a+1］上的最小值（最大值，最值）.
4.函数f（x）=4x-kx-8在区间［5，20］上的最大值为2，求k的值.
以上只是一些比较简单的变式，还可以有其他的变式.但是我们通过这些简单的题对分类讨论思想加深了理解，同时也学到了关于一元二次函数有关参数范围问题的解题方法.
例三：（60页，B组第一题和75页，B组第2题）
（1）求不等式a＞a（a＞0，且a≠1）中的x的取值范围.
（2）若log＜1（a＞0，且a≠1），求实数a的取值范围.
分析：以上两题考察的是指对数函数的单调性，底数都不确定，所以需要对底数做讨论.
解：（1）1°当a＞1时，有2x-7＞4x-1，解得x＜-3;
2°当0＜a＜1时，有2x-7＜4x-1，解得x＞-3.
综上所述，当a＞1时x的取值范围是x＜-3;当0＜a＜1时，x的取值范围是x＞-3.
（2）1°当a＞1时，log＜1恒成立;
2°当0＜a＜1时，log＜1=loga，0＜a＜.
所以实数a的取值范围是{a|0＜a＜或a＞1}.
分析：在指对数函数的教学中，一直要渗透底数对函数的性质的影响，养成良好的分类讨论的习惯.
变式：已知x满足a+a≤a+a（a＞0，a≠1），函数y=log・log（ax）的值域为［-，0］，求a的值.
解：由a+a≤a+a（a＞0，a≠1）?圯（a-a）（a-a）≤0?圯x∈［2，4］
由y＝log・log（ax）?圯y=（logx+）-
y∈［-，0］?圯-≤（logx+）-≤0?圯-2≤logx≤-1，
2≤x≤4
①当a＞1时，logx为单调增函数，
log2≤logx≤log4，log2=-2且log4=-1，无解.
②当0＜a＜1时，logx为单调减函数，log2≥logx≥log4，
分类讨论的思想方法范文4
关键词：中考试题；数学；思想方法
通过对数学思想方法的合理应用，学生可以在很大程度上简化数学问题的难度，使原本复杂的问题变得更加简单，抽象的问题变得更加具象。近年来随着我国教育改革的不断深化，不管是在初中数学课堂的教学过程中还是在中考数学试题的命题中都十分重视数学思想方法。学生利用数学思想方法的能力能够反映他们对知识点的理解和应用能力，能够展示他们解题的思维能力，是衡量学生数学解题能力的重要依据。
一、数学思想方法分析
（一）数形结合思想方法
在数学学习过程中，最常碰到的就是数与形的问题，其中数和形之间是存在密切联系的，数是形的一种抽象概括，而形则是数的一种具体表达。这就告诉我们在进行数形问题的解决时，可以将这两者进行转换，也就是说数的问题可以用形来解决，而同样形的问题也可以借助数来计算。在进行数学问题解答的时候我们要把抽象的数学语言和具体的图形结合起来，利用图形作为辅助工具进行问题的解答。
（二）分类讨论思想方法
当一道数学试题具有不唯一解的时候，就需要应用到另外一种数学解题思想方法，那就是分类讨论思想方法。学生在进行解题的时候可以按照一定的原则把问题所涉及的情况分成若干类别，然后按照类别进行逐一的讨论，在全部的类别讨论完成之后，再把这些类别所得出来的结论进行汇总就是问题的完整答案。这种思想方法的本质其实就是“化整为零”，把复杂的问题拆开进行讨论，这种数学思想方法的一般应用步骤如下：首先仔细阅读问题，确定一个正确的分类标准；其次，针对特定的问题进行分析，按照设定好的分类标准对所有情况进行分类，要保证做到分类不重复不遗漏；然后，对所有的情况进行分别讨论，逐步得出结论；最后，将各类的结论进行分析和汇总，重复的结论进行合并，最终得出问题的完整答案。
（三）等价转化思想方法
把未知的问题转变成为已知问题，把复杂的数学问题简单化所应用到的数学思想方法就是转化思想。转化思想让学生从问题的另外一个角度进行考虑，通常这种思想方法能够把非常规的问题转变成为常规的问题，把复杂的问题转化成为简单的问题，从而能够使得问题迎刃而解，极大地节省了学生解题过程中所需要花费的时间。
（四）配方法以及待定系数法
在初中数学学习过程中，配方法的使用是非常频繁的，利用这种数学思想方法可以解决一些理论性或者比较实际的问题。在有关方程计算的问题中对配方的应用比较多，比如说利用它可以推导一元二次方程或者是求根公式；计算方程的极值点，并且大体描绘出方程的图像轮廓等。在进行方程配方的时候一定要谨记一定规律，那就是在进行配方的时候方程两边要加上一次项系数一半的平方。待定系数法就是利用特定的字母将数学问题的未知量表示出来，然后通过带入未知量，求解方程组从而求出待定系数的大小，使问题得以解决。
二、中考试题中数学思想方法的具体应用
下面就以2015年泰州市中考数学试题的第14题进行简要分析，来探究具体数学思想方法的应用。题目如下：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点。
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图1①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；
（3）如图1②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t
学生在进行第一问求解的时候，首先需要做的就是根据旋转的性质得到等腰直角三角形PMO，然后再根据已知条件∠OPA=45°以及P（0，2）就可以很轻松地得出M（-2，0）。进而应用待定系数法即可求得直线AB的解析式，所得的POM如图2所示。
然后在进行第二问的求解时，作出如图3所示的图形，具体做法就是过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为点D，根据题目中所给的已知条件就可以得出三角形QCD为等腰直角三角形，所以就可以得出，QD=QC然后再设Q点的坐标，得出QC点之间的关系式，根据QD与QC之间的关系进一步求出QD的表达式，最后充分应用二次函数的最值定理就能够得出想要的答案。在解答第三问的时候，学生需要注意，因为它所涉及的情况不唯一，会存在∠BPQ=45°，∠PBQ=45°，∠PQB=45°这三种情况，学生需要对这三种情况进行分别讨论，然后把得出的结果进行汇总，才是问题的最终答案。在解答这道问题的时候上面所提到的数学思想方法基本都有应用，当然题目还涉及线动旋转和相似三角形存在性问题、曲线上点的坐标与方程的关系、等腰直角三角形的判定和性质、二次函数最值求解问题，以及三角形的勾股定理和方程思想都有所涉及。
综上所述，我们知道数学思想方法是帮助学生解决数学问题的重要指导性思想和工具，它是数学知识的灵魂所在。不过学生要想具备优秀的数学思想方法，并不是一蹴而就的，这种思想方法的学习过程是潜移默化的，它需要学生在数学学习过程中不断总结和积累。当学生掌握了数学思想方法之后，还要注意对它们的巩固和应用，保证学生在利用数学思想方法进行解题的时候可以做到信手拈来。
参考文献：
[1]刘金英，贯忠喜，何志平.2011年中考数学试题分类解析：数与代数[J].中国数学教育，2012（01）.
分类讨论的思想方法范文5
[关键词] 等腰三角形；分类讨论；几何法；代数法；策略
近年来中考数学压轴问题的几何背景越来越普遍地以各种几何图形为载体，诸如等腰三角形、圆、正方形等. 压轴试题以这些特殊的几何体为背景，与二次函数进行有机联系进行考查，笔者称之为动态几何问题. 因其知识考查细致、知识衔接处能力要求更高、更全面，所以往往成为区分学生数学能力和数学素养的重要考题. 本文以近几年部分中考试题为例，谈谈解答此类问题的策略和方法.
策略：分类讨论
分类讨论思想是中学数学一种重要的数学思想方法，其在解决复杂数学问题时往往带来了清晰的思路，因此也成为初中数学思想方法的重点之一，在解决许多的初中数学问题时有着不可替代的作用. 分类讨论思想最早出现在数学著作《几何原本》中，欧几里得早在该书中对五条经典公设做出了通俗易懂的证明，其证明中就采用了分类讨论的数学思想. 如今，中学数学教育中分类讨论策略更是往往用在压轴型问题的解决上，其能很好地区分学生思维的严密性、逻辑性等，值得我们在教学中不断渗透.
（1）求点A和点B的坐标.
提示：在所求的等腰三角形中，以顶点进行分类，即形成不同的阶段讨论，属于等腰三角形中的基本问题，值得注意的是，这样的问题，检验环节必不可少，并需注意代数运算的准确性.
总之，等腰三角形中的压轴类问题离不开数学思想方法――分类讨论思想，初中数学学习的最高境界是掌握这样的数学思想方法，即所谓的三维知识模块，将千变万化的试题化有形于无形，通过思想方法看到问题的本质、解决的思路，这是教师“教”与学生“学”都不断追求的目标. 通过上述案例，不仅在等腰三角形中需要这样的思想方法作为指导，具体到计算方法时，往往是几何法和代数法的运用或交替使用.
分类讨论的思想方法范文6
【关键词】解题思想，函数思想，转化思想
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。在解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。要有意识培养学生地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。数学思想是数学的核心，是数学发现的源泉，是解决数学问题的钥匙.解题思想是数学思想在认识论与方法论层面上的结晶，是决定性因素。
一、方程的思想
方程是数学的一个重要的概念。方程思想是通过对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，将问题化归为方程的问题，利用方程的性质、定理，实现问题与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的
例1 我国古代数学名著《孙子算经》中有一著名的“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有头，下有足，问：鸡兔各几何？（孙子在其著作中给出这一问题的解法，恰是解方程组的过程，虽然当时并没有方程或方程组的概念.这是一个简单的二元一次方程组.）
二、函数思想
函数是数学中的重要内容.函数内容是贯穿于代数知识的主线.不仅有具体的函数知识，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，而且很多数学内容都与函数有关，如数列可以看成定义在自然数集上的函数等.在解决数学的某些问题时，函数往往是非常有利的工具.函数思想指运用函数的概念和性质，通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题。
三、转化思想
在解决数学问题时，转化思想是数学中最基本的思想方法. 所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题。
四、分类讨论思想
当我们要解决的问题不能统一处理时，譬如较为复杂的计算题、作图题、论证题等，要按问题出现的各种情况进行讨论，分别做出与各类相应的结论，这种处理问题的思想称为分类讨论思想.运用这一思想，可以帮助人们进行全面严谨的思考和分析，从而获得合理的解题途径和正确的答案.在解决问题中如不能对问题进行正确的分类，就会发生丢解，错解的错误.其方法和步骤如下：（1）确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围；（2）确定分类标准科学合理分类；（3）逐类进行讨论得出各类结果；（4）归纳各类结论。
注：此例是关于指数函数性质的问题，解决问题过程中对指数的底进行了正确的分类讨论.
五、 数形结合思想。数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系的，也是可以相互转化的.数指数量关系，形指空间图形.把问题涉及的数量关系与空间形式结合起来考察，根据具体问题的具体特点，或者把数量关系转化为图形的性质问题，或者把图形的性质转化为数量关系问题，这种处理问题的思想和方法就是数形结合的思想方法，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化，达到化难为易的目的.
