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数学建模的敏感性分析范文1
【关健词】项目；风险；风险评价方法
一、引言
现代项目具有一次性、投资大、周期长、要求高等特点，其过程是在复杂的自然和社会环境中进行，受众多因素的影响，是一个充满各种风险的过程。项目风险有些是和项目自身特点密切关联，有些可能是承包商管理混乱引起，有些则可能是外部环境变化所致。为避免和减少损失，了解项目的风险源，在评价基础上，建立风险防范预案十分重要。对项目风险评价理论和方法的研究一直是风险管理界的热门课题，本文主要讨论项目风险评价中几种常用的方法。
二、风险定性评价方法
风险定性评价方法是一种典型的模糊评价方法，评价人利用一些经验做法，快速地对项目风险进行估计，并采取防范措施。
（一）主观估计法
主观估计法就是用主观概率对风险进行估计，所谓主观概率是根据对某事件是否发生的个人观点，取一个0―1之间的数值来描述事件的发生可能性和发生后所带来的后果。因此，主观估计法常表现为某人对风险事件发生的概率和带来的后果做出迅速的判断，这种判断比客观全面的显性信息判断所需的信息量要少。虽然主观估计是由专家或风险决策人员利用较少的统计信息做出的估计，但它是根据个人或集体的合理判断，加上经验和科学分析所得，因此在应用中有一定成效。
主观估计法主要适用于资料严重不足或根本无可用资料的情况，对于那些不能进行多次实验的事件，主观估计法常常是一种可行的方法，使用这种方法关键是要有经验丰富的项目风险分析人员。
（二）模糊数学法
风险的不确定性常常是模糊的，所以模糊数学方法可用于风险评价和分析。在风险评价过程中，有很多影响因素的性质和活动无法用数字来定量地描述，他们的结果也是含糊不清的，无法用单一的准则来判断。为了解决这一问题，美国学者L・A・Zadeth于1965年首次提出模糊集合的概念，对模糊行为和活动建立模型。模糊数学从二值逻辑的基础上转移到连续逻辑上来，把绝对的“是”与“非”变为更加灵活的东西。在相当的限度上去相对地划分“是”与“非”，这并非是数学放弃它的严格性去造就模糊性，相反是以严格的数学方法去处理模糊现象。
（三）蒙特卡罗模拟法
蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法，它是估计经济风险和工程风险常用的一种方法。蒙特卡罗风险模拟法的基本思想是将待求的风险变量当作某一特征随机变量。通过某一给定分布规律的大量随机数值，解算出该数字特征的统计量，作为所求风险变量的近似解。
蒙特卡罗风险模拟法全面考虑风险事件的风险因素，可以直接处理每一个风险因素的不确定性，使决策更加合理和准确，它是一种多元素变化的方法，在模拟过程中，可以编制计算机软件对模拟过程进行处理，大大节约了时间，此方法较注重对风险因素相关性的识别和评价，这给使用此法带来了难度和困难，通常费用也较高，但它对概率的分析偏差一般最小，从整个工程项目的经济性上，将是最节省的方法之一。无论在理论上，还是在操作上都较前几种方法有所进步，因此比较适合在大中型项目中应用。
（四）故障熟分析法
故障熟分析方法是上世纪60年代初由美国贝尔实验室在预测民兵导弹发射随机失效概率时提出的，其后波音公司研制出了FTA的计算机程序，进一步推动FTA的发展。到了60年代中期，随着概率风险估计在核电站安全分析中的应用，故障树方法成为主要的定性分析方法。
三、风险定量评价方法
对项目风险进行定量评价，使分析目标更加具体，可信度更高，可为风险决策分析提供科学的数据。
（一）决策树法
决策树法，简称DTA，适用于未来可能有几种不同情况，并且各种情况出现的概率可以根据资料来推断的情况。决策树把可选方案及有关随机因素有序表现出来而形成的一个树。决策者根据决策树所构造出来的决策过程的有序图示，不但统观决策过程全局，而且能在此基础上对决策过程进行合理分析、计算和比较，从而作出择优决策。
决策树的模型图：为决策结点：是决策树的根基，它表示决策问题的起点。为状态结点：是决策方案分枝的终点，又是一个备选方案可能遇到的自然状态的起点。为结果点：表示执行某一方案在某一自然状态发生时可能达到的结果。通常指盈利额和亏损额。
决策树分析方法的步骤：（1）画出决策树：画法：从左至右分阶段展开。顺序依此为：分析决策点、备选方案（方案枝）、各方案所面临的自然状态（状态节点、概率分枝）及其概率、各方案在不同自然状态下的损益值。（2）推算各备选方案的期望值：备选方案的期望值沿决策数的反方向自右至左计算。（3）方案选择：比较不同方案的期望值，从中选择收益最大或损失最小的方案为最佳方案。
（二）敏感性分析
敏感性分析是针对潜在的风险性，研究项目各种不确定因素变化一定幅度时，计算其主要经济指标变化率及敏感程度的一种方法。进行敏感性分析，一般是分析项目的内部收益率随不确定因素变化的情况。从中找出对项目影响较大的因素，然后绘出敏感性分析图，分析敏感度，找出不确定因素变化的临界值，即最大允许的变化范围。
敏感性分析步骤：（1）选定不确定因素，并设定这些因素的变动范围；（2）确定分析指标；（3）进行敏感性分析；（4）绘制敏感性分析图；（5）确定变化的临界点。
（三）影响图
影响图（Influence Diagrams，ID）是表示决策问题中决策、不确定性和价值的新型图形工具，影响图是一个由终点集和弧集构成的有向图。只有随机结点的影响图称为概率影响图。概率影响图是影响图的一种特殊形式，它将概率论和影响图理论结合，专门处理随机事件间的相互关系，对随机事件进行概率推理，并在推理过程中对事件发生的概率及其依赖与其它事件的发生概率做出完整的概率评估。影响图是复杂的不确定性决策问题的一种新颖有效的图形表征语言，数学概率完整，关于概率估计、备选方案、决策者偏好和信息状态说明完备，具有决策树不可比拟的优点。
（四）贝叶斯方法
英国学者T.贝叶斯1763年在《论有关机遇问题的求解》中提出一种归纳推理的理论，后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法。采用这种方法作统计推断所得的全部结果，构成贝叶斯统计的内容。认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的统计学者，组成数理统计学中的贝叶斯学派，其形成可追溯到20世纪30年代。到50～60年代，已发展为一个有影响的学派。时至今日，其影响日益扩大。
已具备先验概率的情况下，贝叶斯决策过程的步骤为：
（1）进行预后验分析，决定是否值得搜集补充资料以及从补充资料可能得到的结果和如何决定最优对策。（2）搜集补充资料，取得条件概率，包括历史概率和逻辑概率，对历史概率要加以检验，辨明其是否适合计算后验概率。（3）用概率的乘法定理计算联合概率，用概率的加法定理计算边际概率，用贝叶斯定理计算后验概率。（4）用后验概率进行决策分析。
（五）层次分析法
层次分析法，简称AHP，是20世纪70年代由美国学者T.L.Saaty最早提出的一种多目标评价决策方法。其分析的基本原理是：将复杂的问题分解为若干要素，据它们的相互关联度和隶属关系组成一个多层次分析结构模型，并在各要素中比较、判断、计算，以获得不同要素的权重，为方案决策提供依据。
AHP法的建模步骤：（1）对构成评价系统的目的、评价项目（准则及替代方案等要素建立多级递阶的结构模型。（2）在多级递阶结构的模型中，属于同一级的要素应以上一级要素为准则，进行两两比较，根据评价尺度确定其相对重要性，以此建立判断矩阵。（3）通过一定计算，确定各级要素的相对重要度，并检验判断矩阵的相容性是否在允许的误差范围内，对于没有通过相容性检查的判断矩阵，就应该去除。（4）进行综合重要度的计算，对各种替代方案进行排序，从而为决策提供依据。
四、结语
通过以上的分析我们可以知道，不同的方法只能在一定程度上说明问题，要做到科学的决策，应针对不同项目的产业背景，具体到特定项目中去，并针对项目风险所处的不同阶段，对相应方法做适当调整，进而做出判断，而不能一概而论。
参考文献：
[1]阎长俊,陈阳等.建设项目风险研究综述[J].沈阳建筑工程学院学报(自然科学版),2002.1.
[2]王卓甫等.工程项目风险管理――理论、方法与应用[M].中国水利水电出版社,2002.
[3[何俊德.项目评估――理论与方法[M].华中理工大学出版社,2002,9.
[4]李典庆,张圣坤.海洋结构物风险评估方法的研究进展[J].中国海洋平台,2008,6.
[5]戚安邦.项目管理十大风险[M].中国经济出版社,2009,1.
数学建模的敏感性分析范文2
[关键词]装备费用估算；估算工作管理；估算方法选择
[中图分类号]F123.7 [文献标识码] A [文章编号] 1009 — 2234（2012）05 — 0066 — 02
随着我军装备建设逐步发展以及对装备采办效益的日益重视，装备费用估算已经逐渐成为装备建设决策的重要支撑之一。Bernard Londeix 〔1〕指出，估算贯穿整个产品生命周期，是一个不断持续的过程，不是一劳永逸的，并且持续的估算与项目行为监控是紧密协调的。可以说，费用估算是一项系统工程，必须要以系统的观点来统筹装备费用估算工作。然而在费用估算工作实践中，还存在估算的随意性、一次性、不系统性等问题。目前装备费用估算方面的研究主要集中在估算技术、模型方法上，对估算工作管理的研究较少。而如何组织装备费用估算、如何有效运用成熟估算技术方法使之发挥作用是装备费用估算顺利进行和取得预期效果的重要保证。
系统的识别费用估算涉及的各项具体工作，分析其中相互制约、相互联系的内在逻辑关系，利用系统工程思想，将其整合为一个有机的整体，有利于统筹费用估算工作全局。在装备费用估算中，笔者将费用估算工作分为估算工作计划、工作实施、结果检验与评价三个阶段。其内容包括估算时机的选择、估算目标的确立、估算团队的建立、估算方法的选择、估算结果检验以及估算结果评价。
一、估算工作计划
（一）估算时机的选择
一般地，装备发展建设决策与管理的需要决定了费用估算的时机。系统的识别估算时机，及时地收集项目数据信息并进行费用估算，是装备全寿命费用管理的重要手段。
根据我军装备相关法规，武器装备在早期如下阶段有费用估算需求，见图1。
其中A点、B点是经费指标值的估算，C点是经费概算。由于国家战略需求，某型武器装备从装备建设十年规划中纳入到装备建设五年计划或直接纳入到装备建设中长期专项计划，然后再纳入装备研制年度计划。这期间有三个决策点需要费用估算来辅助决策：可预期的军费规模能否满足战略需求，如果不能满足，经费缺口有多少。
图1 武器装备发展规划计划期费用估算需求
武器装备列入年度计划之后，在如下阶段有费用估算需求，见图2：
需要注意的是，估算时机不只是一个点，而是一个时间区间。在一个估算点上，可能需要对多个待估内容进行估算，而同一个待估内容也需要随着项目进展在不同的时机进行渐进估算。一般的，估算时机选择的同时也决定了所能获取信息的程度。在一个具体的估算时机上，对估算需求的程度与所能掌握信息的程度通常是负相关的。
（二）估算目标的确立
根据估算所处的时机及估算的具体任务，拟定估算目标，包括：（1）识别估算内容，待估装备属于什么类别，估算哪个阶段费用；（2）确定假设与约束条件；（3）确定估算精度要求。
估算内容是待估项目的一项费用指标值，比如装甲车的研制费用、舰船的大修费用等。准确识别待估装备的类别以及费用阶段，是后续估算方法选择的前提。
假设与约束条件是估算理论方法及其应用的基本前提条件。估算对象（武器装备）处于特定的历史条件下，待估算的内容（费用）则是建立在这种既定的“历史条件”前提下，并且假设这种“历史条件”不变或可预测的变化。这其中的“历史条件”就是指估算的假设和约束条件，主要包括装备项目需求定义、生产率、劳动力价格、技术水平、物价指数等。
估算精度是估算结果的置信区间，不能凭主观意愿确定，也不是越高越好，而是要综合考虑估算时机、决策需求以及具体装备来确定。
二、估算工作实施
（一）估算团队的建立
大型项目一般建立估算团队进行费用估算。团队建立要遵循两个原则：一是业务素质互补原则；一是独立客观原则。
估算的业务素质包含两个部分，一是相关知识储备，一是估算从业经验。一个合格的估算者要具备数据统计分析、数学建模、工程经济学、估算预测理论、估算支持软件运用等相关知识储备。从业经验要求估算者要有一定的实践经验，不能仅是纸上谈兵。除此之外，估算团队成员还应该有待估装备的工程技术知识背景。比如飞机研制费用估算，就要求估算者对飞机的结构及性能参数有一定了解。
独立客观原则要求估算者独立客观的进行估算。Bernard Londeix指出〔1〕，直接涉及到项目结果（成本、时间）的任何人都不应该做估算，包括项目经理、技术工程师等。虽然这些人有很深的技术背景并对项目充分了解，但他们或者迫于上级压力，或者出于对技术的自信，很可能导致其估算偏于乐观，脱离实际。笔者认为估算者的选择决定估算者的立场。在军品市场，军方希望估算结果偏低而承制方则希望估算值越高越好，这些当然都是一厢情愿。只有相对客观的估算结果才有助于科学的管理决策。所以出于独立客观性考虑，费用估算团队成员的选择要慎重考虑装备项目结果对他们是否有直接或间接的利益关系。只有脱离利益关系，才有可能得到相对客观的估算结果。比如，可以请几乎没有利益关系的第三方来充当估算顾问。此外，估算团队要独立于管理层，并要赋予其一定的权利，以便工作的顺利开展。
（二）估算方法的选择
目前常用的装备费用估算方法主要有类比法、算法模型法、专家法、工程估算法等。按建模方法来分，算法模型法又分为回归法、灰色理论法、支持向量机法、人工神经网络法等。特别的，针对一些特殊装备，比如军用软件，也有一些针对性的成熟算法模型。
估算方法的选择是装备费用估算取得预期效果的核心。费用估算方法各有利弊，分别有其适用的范围和约束条件。
在选择估算方法时还应遵循如下原则：（1）该方法是否容易被人接受，能否获得管理层认可；（2）该方法是否易于使用，所需时间和人力资源是否容易满足；（3）该方法所必需的数据信息是否易于获得；（4）如果是国外的方法模型，要考虑该方法模型建立的背景是否与国内类似，如何修正等。
三、估算结果检验及评价
（一）估算结果检验
费用估算值的获得不是估算的终点。经过方法模型获得具有一定精度的估算值之后，一般需要对估算方法模型进行检验。检验的目的主要是考察估算方法模型的稳定性，以便下一步用于管理决策。常用的方法是费用影响因素敏感性分析。
敏感性分析，又称敏感度分析，是分析各种不确定性因素变化一定幅度时，对费用结果的影响程度。对费用结果影响程度较大的不确定性因素称为敏感性因素。装备费用的敏感性因素主要有性能参数、时间进度、技术成熟度、生产率、市场环境等。
通过装备费用敏感性分析，可以起到如下作用：（1）计算影响因素敏感度，检验估算方法模型稳定性。敏感度越小，说明估算方法模型越稳定。若敏感度偏高，则需考虑改进估算方法模型。（2）识别装备费用风险。敏感性因素是项目风险产生的根源，而风险识别是进行风险评估与规避的基础。（3）确定影响因素预测值的变化范围，便于在管理过程中对其进行控制。（4）对费用敏感因素敏感度进行排序，帮助决策者清楚了解各种因素对装备费用的影响程度，从而科学地进行费用—效能权衡。
（二）估算结果评价
实践是检验真理的唯一标准。装备费用估算的评价一般在装备项目结束后进行。目前装备费用估算评价主要做法是，直接把估算值与实际值相比较，通过误差率计算精度，一般公式是：
A=（1-■）×100%
其中：A表示估算精度；Ve表示估算值；Vr表示实际发生值。
如果是多次渐进估算，则可以就多次渐进估算的结果进行综合评价，公式为：
σ=■■（■）2
其中：σ表示估算值近似标准差；n表示进行n次估算；
Vi表示第i次估算值；Vr表示实际发生值。
显然上述评价方式估算精度越高越好，近似标准差越小越好。
在装备建设发展中，无论从宏观角度还是从微观角度，都存在许多的未知因素，影响着装备建设各阶段的管理决策。为了克服未知结果可能带来的消极后果，提高决策的科学性，就需要有科学根据的预测。装备费用估算是装备发展建设预测工作中重要的组成部分，是我军装备建设论证经济可承受性、提高国防采办效益的重要支撑工具之一。本文系统的研究了装备费用估算工作的组织管理，提出了三段式管理过程，将装备费用估算工作统筹为一个有机整体，对估算工作实践具有一定的指导意义。其中，对于如何基于过程而不是目前仅基于结果的估算结果评价，是下一步需要深入研究的方向。
〔参 考 文 献〕
〔1〕 Bernard Londeix.软件开发成本估算〔M〕.吴裕宪，译.北京：清华大学出版社，1991：10-12.
〔2〕 刘晓东.装备寿命周期费用与控制〔M〕.北京：国防工业出版社，2008：44-49.
数学建模的敏感性分析范文3
【关键词】 信息管理； 数据建模； 模糊集合； 灰色系统
一、会计建模理论与方法述评
为了充分发挥会计的职能，数学家、法学家、工程师等参与会计理论的研究，使会计程序进一步渗透到企业生产经营管理的许多环节。会计管理与会计核算工作也越来越融入到企业的生产经营管理活动之中。会计管理和会计核算技术的模型化，也成了未来会计发展的基本趋势。但任何定量化的核算都是以充分的定性分析的结论为依据的。
在会计管理和会计核算技术的模型构造中，笔者按这些技术在会计领域中应用的先后顺序，将其分为会计核算技术模型和会计管理技术模型两大类。会计核算的技术模型主要针对存货计价、资产折旧、利息计算、票据贴现、债券摊销、债券发行、股票计价、成本计算等内容。这些内容在初、中级会计中得到详细的解读。会计管理的技术模型主要针对成本的性态分析、完全成本的计算、变动成本的计算、标准成本的计算、盈亏平衡分析、存货管理、质量成本分析、经营杠杆分析、敏感性分析、模拟技术、网络技术、投入产出、相关分析、线性规划、影子价格、价值工程、排队管理、动态规划、经营预测和管理决策等内容。这些内容在中、高级会计中作了系统的构造和分析。
对于一个具体的问题，究竟选择构造什么样的模型，并不是一成不变的。但任何模型都要经过检验才能判定其是否合适，是否合格。只有通过检验的模型才能用以科学的估计和预测。在社会经济系统中，人们通常遇到的问题是信息不完全（可能是参数信息不完全、结构信息不完全、关系信息不完全、运行行为信息不完全）的情况。如果掌握的数据不明确或者缺乏，那就难以建立确定的完整的模型。会计核算技术和会计管理的量化模型，大多是数理统计的方法。这些方法的严重不足是：1.要求大样本；2.要求样本有较大的分布规律；3.计算工作量也都较大；4.还可能出现量化的结果与定性分析的结果不符。为了解决这些问题，以下笔者选择了现代数学的两种不确定性理论：模糊理论和灰色理论，并对其在会计管理和会计核算中的应用作系统的分析和评价。
二、会计管理的模糊评价模型
美国加利福尼亚大学的扎德教授在1956年，发表了著名的论文《模糊集合》，标志着模糊学的诞生。他在论文中引进了模糊集合这个概念。为了描述某个对象是否属于某个模糊集合，他用了0到1之间的数来表示它的隶属程度，而不是普通集合中有十分明确的界限。普通集合对于给定的隶属只有两个：属于为1、不属于为0，模糊集合可以在1和0之间连续取值，用隶属程度表示研究对象属于某一模糊集合的种种状态。
模糊评价模型是对事前难以确定的目标的模糊性用定量的方法进行评价的一种方法，可用于会计管理和会计核算的各个方面。
“模糊”（FUZZY）现象的特征是：概念本身没有十分明确的外延，一个对象是否合乎这个概念没有确定。如大、中、小；好、中、差；宏观、中观、微观。由于客观事物存在模棱两可的现象，因而对这些事物就没有办法精确，过于精确了反而模糊，适当的模糊反而精确。研究模糊性问题不能用经典数学的分析方法，而要用模糊数学的分析方法。
笔者以会计信息质量的综合评价为例，来说明构造模糊评价模型的基本原理。因为评价会计信息质量的综合指标还仅仅是理论上存在的一个评价标准。通常用到的综合指标是会计信息集合所产生的净收益。即使用会计信息集合产生的决策价值大于获得会计信息集合的成本之间的差额。这一指标既不符合实际，也不便于操作，而是需要将其进一步具体化，提出一些更具体且更易判定的质量标准。例如，反映会计信息质量的具体指标可用：1.真实性；2.相关性；3.可比性；4.一致性；5.及时性；6.明晰性；7.重要性；8.成本性等，也可以从其他方面来衡量。但每一项会计信息的质量指标仅反映了会计信息在某一方面的质量特征；一项指标好，并不能说明会计信息就好，一项指标差，也不意味着会计信息就差。但毕竟不能用一个具体的指标来直接反映会计信息质量的综合状况。然而，单项质量指标为我们提供了改进会计信息质量的基本途径，即通过采取措施来提高单项质量指标。以下笔者就借用模糊数学来综合评价会计信息集合的优劣。
为了提高会计信息的质量，可以从各单项指标入手，制定各种改进方案。例如，改进计提折旧方法，以提高准确性；进行物价调整以提高相关性。但综合评价的原理还给我们以下不同的启示：
第一，某项质量指标的改进，可能会引起其他单项指标的降低，但只要其边际决策价值大于边际成本，则这项改进便可以提高会计信息的质量，这是值得采用的。比如某项质量指标的改进可以增加会计信息的相关性，但同时降低了会计信息的可比性。只要这种做法更有利于会计信息使用者进行决策，则是应予肯定的。
第二，对于某一单项指标，如果任何改进方案的边际决策价值都不大于边际成本，则该指标在目前条件下已经达到最优。这说明改进后对决策并无多大帮助，即边际决策价值为零，但会计信息的提供是需要成本的，因此该改进是无益的。
第三，某一单项指标的重要性是变化的。会计信息集合的边际决策价值越是大于边际成本，则该项指标对整个会计信息质量的影响越大，从而也就越重要。在实际工作中，最重要的单项质量指标，也是我们首先应予改进的质量指标。
综合而言，模糊评价法的优点是评价准确，能把定性问题化为定量模型来分析，使分析结果有一定的说服力；缺点是分析人员需要较高的数学能力和数据处理能力。
三、会计数据的灰色动态模型
灰色动态模型是依据华中工学院邓聚龙教授提出的灰色系统理论建立的数学模型。建模是灰色理论的核心，灰色建模克服了传统建模要求数据完整、信息明确、分布典型有规律等缺陷。灰色建模可以在“少数据、少信息、任意分布”的条件下，直接将离散的时间序列转化为微分方程，建立起能描述自然科学与社会科学中许多抽象系统发展变化的动态模型。系统建模主要是通过数的生成或序列算子作用，寻找其规律；然后根据灰色理论的建模思想完成系统建模的。
灰色建模与预测的应用表明，灰色系统理论是在“小样本”、“贫信息”和“不确定”的条件下建立的。同传统的数据建模与应用相比具有以下几个方面的特性：
（1）用灰色数学来处理不确定量，使之量化。在数学发展史上，传统的经典数学是建立在决定论框架内的分析数学。随后又产生了用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动的概率数学。模糊数学的出现，与其说提供了一个实用工具，倒不如说提供了一种新的视野，让我们能有机会去评价似是而非的一些问题。我们不再使用明确的逻辑判断，去说“是”或“否”，而是使用一个逼近于某个属性的特征数值。模糊数学研究那些没有清晰界限的特殊事物，而灰色系统理论则认为不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化。
（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。灰色系统视不确定量为灰色量。提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能利用时间序列来确定微分方程的参数。
（3）灰色系统理论能处理贫信息系统。灰色预测模型只要求较短的观测资料即可，这和时间序列分析、多元分析等概率统计模型要求较多资料很不一样。因此，对于某些只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具。
综上所述，利用灰色动态模型研究会计管理等问题，能使会计中许多抽象的问题实体化、数量化；将变化规律不明显的情况，找出规律，分析其变化。通过分析揭示系统发展的优势、劣势、潜力、危机，以作出正确决策。但是这种方法要求使用人员具有较好的数学基础，并具有较强的计算机数据处理能力。
【参考文献】
[1] 邓聚龙.灰色系统基本方法[M].武汉：华中理工大学出版社，1987.
[2] 刘思峰，党耀国，方志耕，等.灰色系统理论及其应用[M].北京：科学出版社，2004.
[3] 张鸣，张艳.企业财务预警前沿[M].北京：中国财政经济出版社，2004.
[4] 翟立林，周士高.管理决策理论与方法[M].北京：中国建筑工业出版社，1987.
数学建模的敏感性分析范文4
从工程应用的角度出发，研究问题的精度就需要进行合理的控制，另外，任何理论、方法都应以实践应用为目的，这样才具有价值。综合上述两点，从工程应用的角度去分析各种土的本构关系是非常有必要的。
本构关系是反映材料的力学性状的数学表达式，表示形式一般为应力-应变-强度-时间的关系[1]。土的本构关系十分复杂，除受时间因素影响外，还受温度、湿度等因素影响。同时，强度可以视为土体应力-应变发展的一个特殊阶段，因此本文主要讨论土的应力-应变关系。
2.本构关系的发展
对于一般的岩土工程问题，稳定问题是主要问题，如地基稳定问题、斜坡稳定问题等，一般采用极限平衡法对土体进行分析。这种分析不考虑土体破坏前的变形过程及变形量，只关心土体处于最后整体滑动时的状态及条件，实际上是刚塑性或理想塑性的理论。此外，随着计算手段、试验手段的提高，也极大地促进了本构关系的发展[1]。
2.1.弹性本构关系
弹性本构关系主要分为线弹性模型与非线性弹模型性两种。基于广义虎克定律的线弹性理论形式简单，参数少，物理意义明确，已有广泛的工程应用基础。
2.1.1.线弹性模型
线弹性模型将土的应力-应变关系视为线性关系，顾只需要确定土的2个材料常数：E（弹性模量），（泊松比）或基于这两个材料参数所导出的其他形式的两个参数，便可确定这种土的本构关系。
2.1.2.非线性弹性模型
应力应变关系的非线性是土的基本变形特征之一，所建立的非线性弹性模型有割线模型和切线模型。割线模型是一种计算材料应力应变全量关系的模型，而切线模型是立在增量应力应变关系基础上的弹性模型。具有代表性的非线性弹性模型有：邓肯-张双曲线模型、沈珠江模型等。
2.1.3.高阶非线弹性理论模型
这种模型可表示为全量应力应变关系，也可以表现为增量应力应变关系；可以存在变形能函数，也可以不存在，按照不同建模条件出现不同的理论模型。
2.2.弹塑性本构关系
随着土本构关系模型的发展，增量弹塑性理论模型在现代土力学中得到广泛应用。在这类模型中，土的弹性阶段和塑性阶段是相互耦合的，而土体的破坏只是这种应力应变关系发展的最后阶段。具有代表性的模型有：剑桥模型、莱特-邓肯模型等。
3.本构模型中的计算参数及比较
由于土性的复杂及土本身的不可重复性，在土力学中可以有通用的本构模型，但不会有通用的模型参数。使用任何模型时必须针对具体的土进行试验，确定其参数[2]。
3.1.部分本构模型的参数
综合上述模型，各模型的计算参数各不相同，其计算参数详见表1：
从表1中可以看出，各种本构模型所需要的计算参数的数量各不相同。
3.2.部分本构模型参数的确定
本构模型需要参数才能进行计算，而获得相关参数的方法主要依赖相关土工实验，只有少数参数能够依靠相关经验进行选择。常见的实验方法如表2所示，从下表可以看出，获取K-G模型参数需要做非常规的真三轴等p试验，因为该试验环境特殊且每组真三轴实验所需要的试样均多余常规三轴实验，故实验量较大，因此难进行。相比之下，其余模型中需要的参数均可以通过常规室内实验得到，具有较好的实用性。
3.3.参数对比
从工程应用的角度出发，如果计算模型所需要的参数越少，获取越容易，则能够得到广泛应用。反之，随着应用的增加，必将反作用于理论，使之能够得到改良，从而实现良性循环。从参数数量和获取难度的对比上而言，K―G模型实用性较差，而邓肯-张双曲线模型经研究发现，其中n、F、D对其结果影响较小[3]，在适当的情况下可退化为5参数模型；剑桥模型的参数只有3个，因而两者得到了较为广泛的应用。
4.结语
从工程实用的角度出发，本构关系应力求公式简洁，参数物理意义明确且容易通过常规实验获取。
本构关系可以唯一，但针对不同的土，参数必定是不同的。因此，本构关系的发展不能一味追求“创兴”，也需要对如何能够更为方便、准确地获取计算参数而多做研究。
依托不断发展的计算机技术，如何实现本构关系的程序化，也是非常有意义的事。利用计算机强大的运算能力，我们不仅可以计算更为复杂的实际问题，而且可以运用复杂的本构关系。
参考文献：
[1]李广信.高等土力学[M].北京：清华大学出版社，2004.
数学建模的敏感性分析范文5
自动微分转换系统（DFT）由LASG和LSEC联合研制开发，目前已拥有成熟的版本。本文对DFT系统的功能、特色及其基本应用作了全面的介绍，并给出了一些颇具说服力的数值试验结果。同时，本文提出了统计准确率评价的概念，这对评价一类自动微分工具及其微分模式代码的可靠性与有效性提供了一种客观的尺度。最后，本文还详细讨论了运用切线性模式求解雅可比矩阵的问题，给出了求解初始输入矩阵的有效算法。
关键词 自动微分 切线性模式 数据相关分析 统计准确率
1.引言
计算微分大致经历了从商微分，符号微分，手写代码到自动微分几个阶段。与其它几种微分方法相比，自动微分具有代码简练、计算精度高及投入人力少等优点。自动微分实现的基本出发点是：一个数据相对独立的程序对象（模式、过程、程序段、数值语句乃至数值表达式），无论多么复杂，总可以分解为一系列有限数目的基本函数（如sin、exp、log）和基本运算操作（加、减、乘、除、乘方）的有序复合；对所有这些基本函数及基本运算操作，重复使用链式求导法则，将得到的中间结果自上而下地做正向积分就可以建立起对应的切线性模式，而自下而上地做反向积分就可以建立起对应的伴随模式[1]。基于自动微分方法得到的切线性模式和伴随模式，在变分资料同化[2]、系统建模与参数辨识[3]、参数的敏感性分析[4]、非线性最优化以及数值模式的可预测性分析[5]等问题中有着十分广泛的应用。
迄今为止，已有数十所大学和研究所各自开发了能够用于求解切线性模式的自动微分系统，比较典型的有TAMC系统[6]、ADJIFOR系统[7] 和ODYSSEE系统[8]。在一些特定的运用中，它们都是比较成功的，但在通用性和复杂问题的处理效率上还存在许多不足。通常，自动生成切线性模式的关键难题在于对象自身的强相关性，这给系统全局分析（如数据IO相关分析和数据依赖相关分析）和微分代码的整体优化都带来了很多困难。同时，对于程序对象不可导处的准确识别和微分处理，至今仍还没有一个统一而有效的算法。另外，最优或有效求解稀疏雅可比矩阵一直是衡量一个自动微分系统有效性的重要尺度。
统计准确率被我们视为评价一类自动微分工具及其微分模式代码可靠性与有效性的重要尺度。其基本假设是：如果对于定义域空间内随机抽样获得的至多有限个n维初始场（或网格点），微分模式输出的差分和微分逼近是成功的；那么对于定义域空间内所有可能初始场（或网格点），微分模式输出的差分和微分逼近都是成功的。微分模式统计准确率评价的具体方法是：在所有随机抽样得到的初始场（或网格点）附近，当输入扰动逐渐趋向于机器有效精度所能表示的最小正值时，模式输出的差分和微分之间应该有足够精度有效位数上的逼近。
DFT系统具有许多优点，它能够完全接受用FORTRAN 77语言编写的源代码，微分代码结构清晰，其微分处理能力与问题和对象的规模及复杂性无关。它基于YACC实现，具有很强的可扩展性。DFT系统具有四个重要特色。它通过对象全局依赖相关分析，准确求解雅可比矩阵的稀疏结构，自动计算有效初始输入矩阵，从而可以用较小的代价求得整个雅可比矩阵。同时，它可以自动生成客观评价微分模式效率与可靠性的测试程序，对奇异函数做等价微分处理，并采用二元归约的方法，在语句级层次上实现微分代码优化。
2.系统概况
DFT系统主要由两部分组成：微分代码转换和微分代码评价，图2.1。微分代码转换部分接受用户输入指令并自动分析对象模式，生成切线性模式代码及其相关测试代码，后者直接构成微分代码评价系统的主体。微分代码评价是DFT系统的一个重要特色。DFT系统的开发小组认为，一个微分模式如果在可靠性、时间和存储效率上没有得到充分的验证，至少对实际应用而言，它将是毫无意义的。
原模式
切线性模式
统计评价结果
图2.1 DFT系统结构简图
2.1 微分代码转换
DFT系统是基于YACC在UNIX环境下开发的，其结构图2.2所示。通过DFT系统产生的切线性模式代码成对出现，并在语句级程度上做了简化，可读性很强，如图2.4。
切线性模式
评价函数集
图2.2 微分代码转换
微分代码转换部分从功能上分为四个部分：词法分析，语义分析，对象复杂性及数据相关分析和微分代码转换。对于一组具有复杂数据相关的程序模式对象，通常需要系统运行两遍才能得到有效而可靠的微分代码。这主要有两方面的考虑：其一，根据对象的复杂性（如最大语句长度、最大变量维数、子过程或函数数目、子过程或函数内最大变量数目等对象特征）选择合适的系统参数以求最优的运行代价；其二，模式内各子过程或函数之间以及一个子过程或函数内往往具有很强的数据相关性，需要事先保存对象的相关信息并且在考虑当前对象的属性之前必须做上下文相关分析。
图2.3 PERIGEE源程序代码
图2.4 DFT系统生成的切线性代码
2.2 微分代码评价
通常，评价一个编译系统的性能有很多方面，如处理速度、结果代码可靠性及质量、出错诊断、可扩展和可维护性等。对于一类自动微分系统来说，由于软件开发人力的局限以及对象模式的复杂多样性，通过自动转换得到的微分模式并非常常是有效而可靠的（即无论是在数学意义上还是在程序逻辑上应与期待的理想结果一致），因而在微分模式被投入实际应用前，往往需要投入一定的人力来对其做严格的分析测试。
对切线性模式做统计评价测试的主要内容可以简单叙述为：在网格化的模式定义域空间内，选择所有可能的网格点形成微分模式计算的初始场；在不同的网格点附近，随机选取至少 个线性无关的初始扰动，对每个扰动输入分别进行网格点逼近，统计考察模式输出差分和微分在有效位数上的逼近程度。图2.5描述了整个测试过程，它包含网格点数据随机采样（1）和网格点数据逼近（2）两级循环。
图2.5 切线性模式代码的测试过程
3.系统主要特色
DFT系统并不是一个完整的FORTRAN编译器，但它几乎可以接受和处理所有FORTRAN 77编写的源模式代码，并且可以很方便地扩展并接受FORTRAN 90编写的源模式代码。本节将着重介绍DFT系统（版本3.0）的以下几个重要特色。
3.1 结构化的微分实现
DFT系统采用标准化的代码实现，切线性模式的扰动变量和基态值变量、微分计算语句和基态值计算语句总是成对出现，并具有清晰的程序结构。微分代码保持了原模式本身的结构和风格（如并行和向量特性、数据精度等），即语句到语句、结构到结构的微分实现。在奇异点或不可导处，DFT系统对微分扰动采取简单的清零处理，实践证明这对抑制扰动计算溢出具有重要意义，但并不影响评价测试结果。
3.2 全局数据相关分析
DFT系统具有较强的数据相关分析能力，它包括全局数据IO相关分析、全局数据依赖相关分析、全局过程相关分析以及数据迭代相关分析几个不同方面。数据依赖相关与数据IO相关关系密切，但又存在根本不同。前者强调每个变量在数学关系上的依赖性；而后者描述了一个对象的输入输出特性，且具有相对性，即任何一个变量参数，无论它是独立变量还是依赖变量，在数学意义上都可等价为一个既是输入又是输出的参数来处理。
DFT系统记录所有过程参数的IO属性表，通过深度递归相关计算，准确计算每个过程参数的最终IO属性。DFT系统通过对数据相关矩阵做模二和及自乘迭代计算（An+1= AnAn2）来完成数据的依赖相关分析，这种算法具有很好的对数收敛特性。DFT系统通过全局过程相关分析的结果，自动生成模式的局部或整体相关引用树结构（如图3.1），这对用户分析复杂数值模式和微分评价测试都具有很好的指导作用。DFT系统还具有分析局部数据迭代相关和函数迭代相关的能力，这两种形式的数据迭代相关是自动微分实现颇具挑战的难题之一。
图3.1 GPS Rayshooting模式的相关树结构片段
3.3 自动生成测试程序
基于IO相关分析的结果，DFT系统自动生成微分测试代码，分别对切线性模式的可靠性和运行代价做统计评价测试。特别地，DFT系统还可将任何模式参数都视为输入输出参数，生成在数学意义上等价的测试代码，这样处理的不利之处在于往往需要极高的存储开销。
3.4 基于语句级的代码优化
目前，DFT系统仅仅具备局地优化能力。在语句级微分实现上采用二元归约的方法对微分代码进行优化是DFT系统的一个重要特色。根据右端表达式的乘法复杂性及含变元数目的不同，DFT系统采取不同的分解策略。二元归约的方法避免了微分计算中的许多冗余计算，在一些复杂的非线性表达式的微分计算中具有最小的计算代价，同时也非常适合于微分系统的软件实现。同时，对于某些特殊的运算操作（除法、乘方）和特殊函数（如sqrt、exp），DFT系统较好地利用了基态值计算得到的中间结果，避免了微分实现中的冗余计算。
4.系统应用
运用自动微分工具得到的切线性模式，可以在无截断误差意义下求解函数的数值微分和导数、稀疏雅可比矩阵。同时这些结果在数值参数敏感性分析、非线性最优化以及其它数值理论分析中有着非常重要的应用。这里简单介绍切线性模式的几个基本应用。
4.1 符号导数和微分
如果输入为数学关系式，DFT系统可以自动生成对应的微分表达式和梯度，而与数学关系式的复杂程度无关。例如我们输入关系式：
，
（1）
DFT系统将自动生成其符号微分形式及其梯度形式分别为
，
（2）
4.2 数值导数和微分
切线性模式最基本的应用就是在一定扰动输入下求解输出变量的扰动（响应）。表4.1给出了DFT系统在对IAP 9L模式、GPS Rayshooting模式和GPS Raytrace模式三个数值模式做切线性化的具体应用中，一些不同计算粒度、不同引用深度和不同程序风格的核心子过程，以及它们的切线性模式在SGI 2000上运行的统计评价测试结果，其中切线性模式的可靠性指标都准确到六个有效数字以上，在运行时间、存储开销和代码复杂性方面分别是原模式的两倍左右，比较接近于理想的微分代价结果（1.5倍）。除了IAP 9L模式由于过于复杂仅做粗略统计外，其余模式都用非注释语句行数来表示各自的代码复杂性。
表4.1 DFT系统在三个数值模式中的统计评价测试结果
性能指标
对象模式 运行时间（10-3秒） 存储开销（字节数） 代码复杂性
原模式 切线性
模式
原模式 切线性
模式
原模式 切线性
模式
Xyz2g 2.530 6.160 5524 11048 55 89
IntCIRA 1.560 2.750 1334 2661 41 65
Dabel 0.035 0.072 60 120 27 49
LSS 8.300 17.50 669 1338 79 143
RP 42.40 85.10 3605 7210 22 38
Vgrad1 0.100 0.212 18564 36828 24 54
RefGr 43.00 86.00 718654 1437308 35 78
LL2JK 0.626 1.350 2622 5244 22 32
RayFind4 62.70
×103 125.4
×103 9856 18212 111 179
EPSIMP 1.760 11.50 4455 8910 13 27
Hlimits 0.830 1.880 242577 484254 37 74
Int3sL 26.90 51.20 820029 1639458 46 90
MAKE
NCEP 1340 3920 722925 1445850 45 84
Curvcent 0.013 0.0385 27 54 27 54
DYFRM 3.800
×103 7.250
×103 5000* 9500* 161 279
PHYSIC 2.750
×103 5.385
×103 3000 5000* 1399*
(含注释行) 2826*
(含注释行)
适当设置输入扰动的初值，运用切线性模式可以简单求解输出变量对输入的偏导数。例如，对于一个含有 个输入参数的实型函数
（3）
这里设 ， 。运用DFT系统，可以得到对应的切线性模式
（4）
其中 ， 为切线性模式的扰动输入参数。可以通过以下办法来求得偏导数：
（5）
其中 。如果对于某个 既是输入参数又是输出参数，可以类似以下过程引用的办法来处理。对于过程引用的情形，例如一个含有 个输入参数的子过程
（6）
其中 ， 为输入参数； ， 为输出参数； ， 既为输入参数又为输出参数。运用DFT系统，可以得到对应的切线性模式为
（7）
其中 ， ， ， 分别为切线性模式的微分扰动输入、输出和输入输出参数。可以通过以下输入扰动设置并引用切线性模式（7）来求得偏导数：
a) 设置 ； （ ， ）； （ ）可以同时求得 （ ）和 （ ），其中 。
b) 设置 （ ）； ； （ ， ）可以同时求得 （ ）和 （ ），其中 。
4.3 稀疏雅可比矩阵
运用上节讨论的方法来求解稀疏雅可比矩阵，具有极高的计算代价。例如，一个含 个独立和 个依赖参数的子过程，为求解整个雅可比矩阵就需要反复调用 次切线性模式，当 相当大时，这对许多实际的数值计算问题是不能接受的。事实上，如果雅可比矩阵的任意两列（行）相互正交，那么可以通过适当设置扰动输入值，这两列（行）的元素就可以通过一次引用切线性模式（伴随模式）完全得到。设 和 分别为雅可比矩阵的行宽度和列宽度，即各行和各列非零元素数目的最大值，显然有 ， 。这里介绍几种常用的求解方法。
正向积分 当 时，通常采用切线性模式来计算雅可比矩阵。根据雅可比矩阵的稀疏结构，适当选择右乘初始输入矩阵，可以获得接近 的计算时间代价。DFT系统采用一种逐列（行）求解的方法，来有效求解右（左）乘初始输入矩阵。其基本思路是：按照某种列次序考察雅可比矩阵的各列；考察当前列中所有非零元素，并对这些非零元素所在行的行向量做类似模二和累加运算（即将非零元素视为逻辑“1”， 零元素视为逻辑“0”），从而得到一个描述当前列与各行存在“某种”相关的标志向量（其元素都是“1”或“0”）；依据此标志向量，就很容易得到一个与之正交的列初始向量 ，其中与当前列序号对应的元素设置为“1”，而与标志向量中非零元素序号对应的元素设置为“0”， 与标志向量中非零元素序号对应的元素设置为“-1”，显然，该列初始向量是唯一的，并且对应着当前右乘初始输入矩阵的最后一列；逐一考察已求解得到的列初始向量，如果某列初始向量与当前求解得到的列初始向量按下面定义的乘法（见过程4）正交，那么这两列就可以合并，即将当前列初始向量中非“-1”的元素按照对应关系分别赋值给该初始向量，并从记录中删除当前列初始向量；重复以上过程，继续按照给定列次序考察雅可比矩阵的“下一列”。不难说明，按照不同列次序求解得到的右乘初始输入矩阵可能不同。其中逐列求解右乘初始输入矩阵的过程可以简单叙述为：
1）将右乘初始输入矩阵 所有元素的初值均设置为 ， ， 。 。
2）如果 ，转6）。否则，如果雅可比矩阵 的第 列中的所有元素均为 ， ，重复2）的判断。否则转3）。
3）计算标志向量 。令 ，做如下计算：
， ;
4）设 为 的列向量。在 上定义乘法 ，对任意的 ，我们有：a） ；b)如果 ，必有 和 。然后，做如下计算：
， ;
， 6);
2);
5）令 ，并做如下计算：
， ;
令 ， 。如果 ，转6）；否则，重复2）的判断。
6）对 ， ，如果 ，则 。取 的前 列，这样，我们就得到了一个 维右乘初始输入矩阵。
这里需要说明的是，运用上面的方法求得的右乘初始输入矩阵不仅与求解雅可比矩阵的列序有关，而且与过程4）中的合并顺序也有关系。至于如何最优求解右乘初始输入矩阵，目前还很难讨论清楚。但是，大量模拟试验结果表明，运用上面自然次序求得的右乘初始输入矩阵宽度 已经非常接近于其下界值 。
反向积分 当 和 时，通常采用伴随模式来计算雅可比矩阵。根据雅可比矩阵的稀疏结构，适当选择左乘初始输入矩阵，可以获得接近 的计算时间代价。其中左乘初始输入矩阵的求解过程完全可以按照上面的方法进行，但是在处理前必须先将雅可比矩阵转置，最后还需将得到的初始输入矩阵转置才能最终得到左乘初始输入矩阵。同时，其行宽度 也已经非常接近于其下界值 。
混合积分 如果将切线性模式和伴随模式相结合，往往可以避免梯度向量运算中的诸多冗余计算。例如，ADJIFOR系统在求解雅可比矩阵时，在语句级微分实现中首先用伴随方法求得所有偏导数，然后做梯度向量积分；其计算时间代价与 和模式的语句数目有关，而其存储代价为 。具体讨论可参考文献[7]。
5．结论
切线性模式在无截断误差意义上计算函数的方向导数、梯度或雅可比矩阵，以及在模式的可预测性及参数敏感性分析、伴随模式构造等相关问题中有着广泛应用。DFT系统主要用于求解FORTRAN 77语言编写的切线性模式，具有很强的全局数据相关分析能力。此外，DFT系统还具有其它几个重要特色，如结构化的微分实现、自动生成微分测试程序以及基于语句级的微分代码优化。本文简单给出了DFT系统在求解数值和符号导数和微分、稀疏雅可比矩阵中的应用。为评价一类自动微分系统，本文初步提出了统计准确率的概念。
参考文献
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数学建模的敏感性分析范文6
关键词：信用风险；KMV信用风险模型；违约距离；GARCH模型；SV模型
中图分类号：F830.9 文献标识码：A 文章编号：1003-3890（2013）07-0059-08
一、引言
自2008年美国次贷危机以来，各国金融机构及监管部门越来越重视信用风险的管理。准确的度量信用风险是信用风险管理的前提和基础，而精确度量信用风险仍然存在较大困难，在业界和学术界依然是一个热门课题。
对于信用风险度量的研究大致分为三个阶段：定性分析阶段，1970年以前，大多数金融机构主要采用专家法与评级法，但这些方法都过分依赖主观评价，不能客观准确的度量信用风险。基于财务指标的分析阶段，这种模型主要有Logistic模型、Probit模型、多元判断分析模型、Altman[1]在1968年建立的5变量Z计分模型以及1977年发展的7变量ZETA计分模型[2]。这些模型主要依赖企业的财务指标，而这些财务指标都是历史数据，且企业中普遍存在会计信息失真现象，因此，此方法度量信用风险存在较大误差。20世纪90年代，国内外专家开始采用人工智能，神经网络等理论对财务数据建立分析预测模型。此方法一定程度上提高模型预测的准确度，但这些模型对样本选择的依赖程度较高，不适合广泛推广。现代模型阶段，当前比较流行的定量度量信用风险的模型有JP摩根的Credit Metrics模型和KMV模型，及瑞士第一信贷银行的Credit Risk+模型与麦肯锡公司的Credit Portfolio View违约模型。Credit Metrics模型与Credit Portfolio View模型都直接依赖于信用评级机制。而中国信用评级相对滞后，在短期内利用该模型不能准确度量信用风险。Credit Risk+模型的风险驱动因素是债务人的违约率，在中国应用现有数据估计该参数比较困难，且模型要求债务之间是相互独立的。
KMV模型以现代公司理论和期权理论为理论基础，以有时变性和前瞻性的资本市场价格为数据，可度量任何公开招股公司的信用风险。巴塞尔银行监管委员会在2004年通过的《巴塞尔新资本协议》提倡使用内部评级法管理信用风险，并推荐使用KMV模型进行内部评级。KMV模型是中国信用风险管理中应用最广泛的模型。
近年来，国内外大量文献已经表明KMV模型度量信用风险具有一定的准确性，并且尝试寻找改进KMV模型提高信用风险度量的准确度。Bohn[3]通过公司债信用利差比较分析了评级机构与KMV模型的结果。Kealhofer和Kurbat[4]研究发现穆迪的KMV模型比传统的评级模型能捕捉更多信息，对信用风险的反应更快。Crosbie和Bohn[5]通过应用莫顿模型的变型，改进基于股权价值的资产市场价值与波动率的计算，提高了KMV模型的精确度。Dionysiou，Lambertides和Charitou[6]基于KMV模型发展了一种更简单的违约预测模型，避免了传统KMV模型求解非线性方程组的困难，并通过实证证明了该模型具有较强的预测能力。W·lee[7]利用遗传算法寻找最优违约点，改进了KMV模型，利用该模型对台湾数据做了实证分析，结果表明该模型能够准确找到违约点，提高银行信用风险管理水平。
中国学者也运用KMV模型对中国上市公司信用风险进行了实证研究。马若微[8]通过实证研究得出KMV模型运用到中国上市公司财务困境预警中是完全可行的，而且KMV模型的预测精度优于基于历史数据的Logistic，Fisher等模型。周子元，杨永生[9]对影响违约距离大小的参数进行了敏感性分析，发现股权价值波动率是影响违约距离最为敏感的因素。彭大衡，张聪宇[10]的研究也表明违约距离对无风险利率的敏感性较弱；对股价的敏感性随着股价高低而不同，而对股权价值波动率的敏感性则非常强。这些表明准确估计波动率是提高KMV模型中违约距离准确性的关键，进而可提高对公司信用风险度量的准确度。
传统的KMV模型采用上市公司价格历史波动率来近似替代现实波动率，而股市波动在不同时间和条件下具有不稳定性，显然这种方法是不准确的。对波动率单独建模并与KMV模型的结合，可以有效改进模型效果。由于GARCH模型比较容易估计，中国学者目前主要是应用GARCH模型与KMV模型的结合。如鲁炜，赵恒珩等[11]与闫海峰，华雯君[12]，利用GARCH模型估计股权价值波动率，建立了修正的KMV模型，研究发现该模型要优于传统的KMV模型。
目前对波动率的度量模型主要包括两大类：一类是基于历史数据和以前波动率基础上的波动性模型，这类波动率模型有着确定的函数形式。如1982年Engle提出的自回归条件异方差（Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity）模型[13]（简称ARCH模型）和1986年Bollerslev提出的广义ARCH模型[14]（简称GARCH模型），该类模型能够较好地刻画波动的时变特性。另一类主要是基于参数基础上的波动率模型，这类波动率模型的波动率方程中引入了新息项。如Taylor 1986年提出的随机波动模型[15]（Stochastic Volatility，简称SV模型），此模型是由一个不可观测的随机过程决定。由于金融时间序列数据波动性规律不断的发生变化，SV模型更加适合于金融领域的实证研究。对于这两类模型在理论和实证上的比较研究——其中主要是GARCH类和SV类之间的比较研究。Taylor，Eric，Kim和Shephard等[16][17][18][19]研究表明，SV类模型对金融时序的刻画能力明显优于GARCH类模型的刻画能力，它能够准确捕获金融时间序列的异常波动性和波动集簇性，为金融时间序列提供了更实际、更灵活的建模方法。余素红和张世英[20][21]通过实证分析比较了SV模型与GARCH模型对上证综合指数的刻画能力，认为SV模型拟合实际数据的效果优于GARCH模型。
虽然SV模型从理论和实证角度更适合于对金融数据的建模，但由于估计困难，目前还没有人尝试将SV模型与KMV模型相结合考察上市公司的信用质量。
本文将分别采用GARCH模型与SV模型来估计上市公司的股权价值波动率，并结合KMV模型。通过实证，对比分析GARCH-KMV模型与SV-KMV模型对信用风险的度量效果，结果表明SV-KMV模型优于GARCH-KMV模型。
全文的组织如下：第二部分模型的构建：简单介绍GACH，SV两种波动率模型及KMV信用风险模型；第三部分实证研究：给出本文所选样本，模型的参数估计及实证结果分析；第四部分给出本文结论与启示。
二、模型的构建
（一）GARCH模型
1982年Engle提出的自回归条件异方差ARCH模型，1986年Bollerslev提出的广义ARCH模型，简称GARCH模型。该类模型能够较好地刻画波动的时变特性。
（二）SV模型
可以看到，SV模型中的波动性不仅依赖于以前的波动，而且还依赖于当期的新息项，由于考虑了当期的新息项，使得SV模型能更为准确地刻画金融时序的波动。
2. SV模型的参数估计。虽然SV模型更适合金融时间序列波动的估计，但是SV模型中包含着潜在变量，难以获得SV模型精确的似然函数，因此模型的参数估计要比GARCH模型困难。
目前SV模型的参数估计方法主要有伪极大似然估计（QML）、广义矩方法（GMM）估计、有效矩方法（EMM）估计、马尔科夫链蒙特卡洛模拟（MCMC）方法等，其中MCMC方法是目前SV模型参数估计效果最好的。MCMC方法的基本思想是，构造一个平稳分布为？仔（x）的抽样，基于这样的抽样做出各种统计推断。其算法的核心是对一个给定的多元概率密度，通过反复从一个马尔可夫链中取样来生产变量，该马尔可夫链具有不变的分布，因此可以根据遍历性对变量进行估计。
（三）KMV模型
1. 模型的建立。假设当公司的资产价值低于一定水平时，认为公司就会违约，与这一水平相对应的资产价值为违约点（Default Point，简称DP）。假设在给定的某个未来时期，公司资产价值服从某个分布，该分布的特征由资产价值的期望与标准差（波动率）描述；未来资产价值的均值到所需清偿负债的账面价值之间的距离为违约距离（Distance to Default，简称DD）。根据违约距离与预期违约概率的映射关系，可得出预期违约概率（也称为违约频率，Expected Default Frequency，简称EDF）。EDF是指在正常的市场条件下，借款公司在一定时期内发生违约的概率，KMV模型认为当资产的均值下降到所需清偿负债的账面价值之下时违约发生，因为事先无法准确判断借款公司是否会选择违约，所以只能估计违约的可能性大小。
KMV模型以经典的莫顿模型为基础，计算公司资产价值及其波动率，进而求得违约距离DD及违约概率EDF。具体分为以下3个步骤：
其中VA表示公司资产的市场价值；？滋，？滓A分别表示资产价值的漂移率和波动率；dWt表示维纳过程。如果DP表示公司债务的账面价值，也就是期权的执行价格，可以解出公司的股权价值与资产的市场的市场价值的关系式为：
通过（1）式和（2）式得到非线性方程组。解出此方程组，即可求出资产价值VA与资产价值波动率？滓A。
（2）计算违约距离DD。KMV模型中，违约距离DD为资产价值偏离违约点DP的标准差的个数，即达到违约点资产价值须下降的百分比对于标准差的倍数。DD计算公式为：
（3）预期违约概率（EDF）的确定。理论上的违约概率为债务到期日公司资产的市场价值小于公司负债的账面价值的概率，假设资产价值服从正态分布即：
理论的EDF与现实存在很大差异，在实际应用中，KMV模型通过建立大规模的企业违约信息数据库计算出企业的经验违约概率，根据观察所有距离违约点相同个标准差的企业中有多少家企业违约，计算出经验违约率。计算公式如下：
由于中国历史数据的严重缺乏，确定违约距离和实际违约频率之间的准确映射无法实现，而直接运用国外的对应结果，会导致很大偏差。因此，本文将直接结合违约距离考察上市公司的相对违约风险大小。
2. 参数的设定。（1）股权价值VE。本文采用2008年以后的股票市场数据，并根据中国证券市场实际情况，把上市公司股权市场价值分为非流通股和流通股两部分。对于非流通股的定价本文采用加权平均的方法，以每股净资产作为非流通股的单价，流通股的定价为平均收盘价。公式为：
非流通股权价值=非流通股数×每股净资产
流通股权价值=流通股数×平均收盘价
股权价值VE=流通股权价值+非流股权价值
（2）违约点DP。对违约点的设定采用KMV公司推荐的方法，即：DP=SD+50%LD其中，SD为流动负债，LD为长期负债。
（3）无风险利率r。本文采用央行公布的当年1年期定期存款利率的加权平均来表示，其中，2008年r=0.039，2009年r=0.041，2010r=0.025，2011年r=0.025。
（4）股权价值波动率？滓E。在KMV模型中，股权价值波动率？滓E对违约距离的影响最大，因此准确估计股权价值波动率对改进KMV模型准确性有着重要意义。由于金融市场波动具有集聚性及尖峰厚尾性，目前大多数学者采取易估计的GARCH模型估计股权价值波动率来提高准确性。但已有研究表明SV模型从理论和实证角度更优于GARCH模型，因此本文将分别采用GARCH模型与SV模型来估计上市公司的股权价值波动率，并结合KMV模型。对比分析GARCH-KMV模型与SV-KMV模型对信用风险的度量效果。
三、实证研究
（一）样本数据与研究设计
本文选取沪深两市A股20家上市公司股票作为研究对象，其中10家为2009年与2010年ST公司，并相应的选取与其所在行业与资产规模方面相配对的10家非ST公司，采用ST公司和非ST公司2008—2010年的数据进行参数的确定。本文所有数据选自Wind数据库。
计算选取的20家公司2008—2010年每日收盘价的对数收益率，yt=lnPt-lnPt-1，其中Pt为第t日的收盘价，Pt-1为第t-1日的收盘价。
2008—2010年GARCH模型、SV模型所得波动率及传统方差波动率的比较，如图1-图3所示。
得到股权价值波动率以后，利用Matlab软件使用迭代算法求解非线性方程组，得到资产价值及资产价值波动率。由得到的资产价值及资产价值波动率，计算出KMV模型的违约距离。ST公司与其配对的非ST公司的违约距离结果如表1所示。
为了更加直观的对比分析GARCH-KMV模型与SV-KMV模型对上市公司信用质量度量效果，对比分析2008—2010年ST公司与非ST公司两种违约距离，如图4～图9所示。
为对比分析两种违约距离对上市公司信用风险度量能力的整体度量效果，应用SPSS软件分别对所得ST公司与非ST公司两种违约距离GDD与SDD逐年进行独立样本T检验和非参数Mann-Whitney U检验。实证结果如表2及表3。
（二）实证结果分析
1. 股权价值波动率是KMV模型非常重要的影响因素。GARCH模型与SV模型原理不同，由图1-图3可以看出两种模型所求得的股权价值波动率整体一致，但有个别公司个别年不相同。仅对本文所研究样本而言，GARCH模型估计的股权价值波动率要偏高一些，传统波动率介于SV模型与GARCH模型之间。
2008—2010年GARCH-KMV模型中违约距离GDD与GARCH模型得到的股权价值波动率的相关系数分别为-0.965，-0.975，-0.910。SV-KMV模型中违约距离SDD与SV模型得到的股权价值波动率的相关系数分别为-0.968，-0.972，-0.987。首先可以得出两种模型中违约距离与股权价值波动率都是负相关，股权价值波动率越高，违约距离越小，公司越接近违约，信用质量越差。其次违约距离与股权价值波动率相关程度非常高，证明股权价值波动率是KMV模型非常重要的影响因素。
2. 对比分析SV-KMV模型与GARCH-KMV模型，SV-KMV模型得到的违约距离SDD能更好的区分上市公司的信用质量。由表1分别比较2008—2010年ST公司的违约距离与非ST公司的违约距离，由于违约距离越大说明信用状况越好，因此为了表述方便，我们将ST公司违约距离小于非ST公司时作为正确判断，大于非ST公司时作为错误判断。首先考虑违约距离GDD的情况，发现2008—2010年ST公司GDD小于其所对应的非ST公司总数的占研究样本总体的比例，即正确率，分别为50%、100%、80%。而违约距离SDD的情况，正确率为80%、100%、100%。对比分析，说明两种违约距离均能度量上市公司的信用风险，违约距离SDD正确率较高，能更好的区分ST公司与非ST公司信用状况。
观察2008—2010年ST公司与非ST公司两种违约距离对比分析图，对比分析图4与图5，可得2008年违约距离SDD对ST公司与非ST公司的信用质量区别更明显，尤其是第一、四、七对公司，GDD时ST公司大于非ST公司，而SDD时ST公司小于非ST公司。由图6与图7，可以看出2009年两种违约距离对ST公司与非ST公司信用质量的度量效果差别不大，SDD略好于GDD。图8与图9说明2010年违约距离SDD对ST公司与非ST公司的信用质量区别更明显。因此，进一步说明利用SV-KMV模型比GARCH-KMV模型对上市公司的信用风险的度量更准确。
从整体的角度，SDD对上市公司信用风险的度量效果也好于GDD。由表2和表3，观察独立样本T检验与非参数Mann-Whitney U检验结果，ST公司、非ST公司的违约距离T检验与M-W U检验的T值、Z值在违约距离SDD的情况下要比GDD时更加显著。说明违约距离SDD情况下，ST公司的SDD与非ST公司存在差异更明显，SDD比GDD更好的区分上市公司的信用质量。
考虑非ST公司与ST公司违约距离均值差与秩均值差，SDD的均值差与秩均值差每年都大于GDD的均值差与秩均值差，这表明违约距离SDD时，ST公司与非ST公司的信用状况差异更明显。进一步说明SV-KMV模型对上市公司信用风险的度量要比GARCH-KMV模型效果更好。
3. 行业分析。由于SDD比GDD更能准确区分ST公司与非ST公司的信用状况，在此基础上本文采用违约距离SDD仅对所选样本公司进行同行业的ST公司与非ST公司信用状况对比分析。本文所选20家样本公司中，按行业分类：2家房地产行业；8家制造业-石油；2家制造业-食品；2家制造业-金属；2家制造业-机械；2家制造业-电子；2家综合行业。
对于制造业-机械业，ST思达2008—2010年的SDD分别是1.288、1.741、2.883，与其对应的上海机电分别为1.261、2.299、2.944。可以看出只有2008年ST思达的SDD高于上海机电，2010年两公司SDD也非常接近。观察两公司股权价值波动率，2008年ST思达的股权价值波动率为0.727低于上海机电0.765，2010年分别为0.344和0.334，非常接近。因此股权价值波动率是导致两家对比公司误判与SDD接近的主要原因。进一步说明股权价值波动率是KMV模型的重要因素。
对于制造业-电子业，ST精伦与大连控股SDD分别为1.281、1.853、2.600，1.199、1.944、2.931。只有2008年ST精伦的SDD比大连控股高，观察两家公司2008年股权价值波动率，2008年ST精伦的股权价值波动率低于大连控股。进一步说明股权价值波动率是KMV模型的重要影响因素。
对于房地产业、制造业-石油、制造业-食品、制造业-金属与综合类行业，所选取的ST公司的违约距离SDD均低于与其对应的非ST公司，且相差幅度较大。说明KMV模型能够很好的区分这些行业公司的信用状况。
综合所研究样本的行业分析，各行业的上市公司信用状况存在差异，由好到差的顺序为：制造业-石油、制造业-食品、房地产业、制造业-电子、综合类、制造业-机械、制造业-金属。
四、结论与启示
由于股权价值波动率是KMV模型的重要参数，因此准确的估计股权价值波动率对提高KMV的准确性意义重大，本文分别利用SV与GARCH波动率模型估计股权价值波动率，对KMV模型重要参数股权价值波动率进行了改进，分别应用改进的KMV模型GARCH-KMV模型与SV-KMV模型对中国上市公司的信用质量进行了实证研究。研究表明：
1. 股权价值波动与KMV模型的结果违约距离高度负相关。股权价值波动率是KMV模型的重要影响因素，股权价值波动率越高，违约距离越小，公司的信用质量越差。
2. GARCH-KMV与SV-KMV模型均能度量上市公司的信用状况，但SV-KMV模型要比GARCH-KMV模型度量效果更好。加入SV模型改进的KMV模型对上市公司信用风险的度量能力明显提高，能更好的区分ST公司与非ST公司的信用质量。
3. 各行业信用状况存在差异，仅针对本文研究样本而言，信用质量由好到坏顺序为：制造业-石油、制造业-食品、房地产业、制造业-电子、综合类、制造业-机械、制造业-金属。
本文通过利用更精确的波动率模型计算股权价值波动率进而提高了KMV模型对信用风险度量的准确性，有利于投资者正确估计上市公司信用风险，从而做出恰当的决策。此外，观察本文所研究的每一个样本公司，无论是违约距离GDD还是SDD，2008年违约距离最小，而2009年，2010年违约距离逐渐增加。这一变化趋势恰好与中国自2008年以来的宏观经济走势一致，说明中国上市公司信用质量与宏观经济状况息息相关。本文的研究并没有考虑宏观经济变量的影响，因此将信用风险模型与宏观经济变量相结合可能会成为今后信用风险度量研究的重要方向。
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