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常见的建立数学模型的方法范文1
一、数学建模的重要意义
把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题,即称为数学模型。数学模型能解释特定现象的显示状态,能预测对象的未来状况,能提供处理对象的最有效决策或控制。在小学数学教育中开展数学建模的启蒙教育,能培养学生对实际问题的浓厚兴趣和进行科学探究的强烈意识,培养学生不断进取和不怕困难的良好学风,培养学生分析问题和解决问题的较强能力,培养学生敏锐的洞察力、丰富的想象力和持久的创造力,培养学生的团结协作精神和数学素养。
二、数学建模的基本原则
1.简约性原则。生活中的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统,对原型进行一定的简约性即抓住主要矛盾。数学模型应比原型简约,数学模型自身也应是“最简单”的。
2.可推导原则。由数学模型的研究可以推导出一些确定的结果,如果建立的数学模型在数学上是不可推导的,得不到确定的可以应用于原型的结果,这个数学模型就是无意义的。
3.反映性原则。数学模型实际上是人对现实生活的一种反映形式,因此数学模型和现实生活的原型就应有一定的“相似性”,抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键。
三、数学建模的一般步骤
数学课程标准向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习内容,这些内容的呈现以“问题情景——建立模型——解释应用——拓展反思”的基本形式展开,这也正是建立数学模型的一般步骤。
1.问题情境。将现实生活中的问题引进课堂,根据问题的特征和目的,对问题进行化简,并用精确的数学语言加以描述。
2.建立模型。在假设的基础上利用适当的数学工具、数学知识,来刻划事物之间的数量关系或内部关系,建立其相应的数学结构。
3.解释应用。对模型求解,并将求解结果与实际情况相比较,以此来验证模型的科学性。
4.拓展反思。将求得的数学模型运用到实际生活中,使原本复杂的问题得以简化。
四、数学建模的常见类型
1.数学概念型,如时、分、秒等数学概念。
2.数学公式型,如推导和应用有关周长、面积、体积、速度、单价的计算公式等。
3.数学定律型,如归纳和应用加法、乘法的运算定律等。
4.数学法则型,如总结和应用加法、减法、乘法、除法的计算法则等。
5.数学性质型,如探讨和应用减法、除法的运算性质等。
6.数学方法型,如小结和应用解决问题的方法“审题分析——列式计算——检验写答”等。
7.数学规律型,如探寻和应用一列数或者一组图形的排列规律等。
五、数学建模的常用方法
1.经验建模法。学生的生活经验是学习数学最宝贵的资源之一,也是学生建立数学模型的重要方法之一。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学一年级上、下册中的“时、分”的认识时,由于学生在生活中已经多次、反复接触过钟表等记时工具,看到或听说过记时工具上的时刻,因此,他们对“时、分”的概念并不陌生,教学是即可充分利用学生这种已有的生活经验,让学生广泛交流,在交流的基础上将生活经验提升为数学概念,从而建立关于“时、分”的数学模型。
2.操作建模法。小学生年龄小,生活阅历少,活动经验也极其有限,教学中即可利用操作活动来丰富学生的经验,从而帮助学生感悟出数学模型。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册中的“三角形特性”时,教师让学生将各种大小、形状不同的三角形多次推拉,学生发现——不管用力推拉哪个三角形,其形状都不会改变,并由此建立数学模型:“三角形具有稳定性。”
3.画图建模法。几何直观是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路、预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用,而且贯穿在整个数学学习和数学建模过程中。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学三年级下册《数学广角》中的“集合问题”时,让学生画出韦恩图,从图中找出重复计算部分,即找到了解决此类问题的关键所在,也建立了解决“集合问题”的数学模型——画韦恩图。
4.观察建模法。观察是学生获得信息的基础,也是学生展开思维的活动方式。如何建立“加法交换律”这一数学模型?教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册的这一内容时,教师引导学生先写出这样一组算式:6+7=7+6、20+35=35+20、300+600=600+300、……,然后让学生认真、有序、多次地观察这组算式,并组合学生广泛交流,学生从中即可感悟到“两个加数交换位置,和不变。”的数学模型。
5.列表建模法。把通过观察、画图、操作、实验等获得的数据列成表格,再对表格中的数据展开分析,也是建立数学模型的重要方式。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册的“植树问题”时,教师组织学生把不同情况下植树的棵数与段数填入表格中,学生借助表格展开观察和分析,即可建立相应的数学模型——“在一段距离中,两端都植树时,棵数=段数+1;两端都不植树时,棵数=段数-1;一端不植树时,棵数=段数;在封闭曲线上植树时,棵数=段数。”。
6.计算建模法。计算是小学数学教学的重要内容,是小学生学习数学的重要基础,是小学生解决问题的重要工具,也是小学生建立数学模型的重要方法。例如,教学人教版课程标准实验教科书数学六年级下册第132~133页的“数学思考”中的例4时,教师就让学生将实验数据记录下来,然后运用数据展开计算,在计算的基础上即可建立数学模型——过n个点连线段条数:1+2+3+4+……+(n-1)=1/2 (n2-n)。其主要过程如下:
过2个点连线段条数:1
过3个点连线段条数:1+2
过4个点连线段条数:1+2+3
过5个点连线段条数:1+2+3+4
……
常见的建立数学模型的方法范文2
关键词：元算法；数学模型库；扩展元算法；专题数据处理
中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）31-0041-02
专题数据处理模型库是指通过各类数学模型，充分挖掘其空间分布规律、关联规律、分类规律等内容，从而获取专题数据处理所需的信息，为空间分析和制图提供重要支持。专题数据处理数学模型库广泛应用在非空间特性数据分析、挖掘空间数据、专题地图制图等多个领域。目前，多数制图系统和GIS系统中，数据处理主要借助函数、插件等固定形式完成算法，哪怕建立的模型库管理系统中已存在的模型，例如：针对环境、农业、交通等建立模型库，已有的模型库重用性、扩展性效果不佳，应用至其他领域必须实施较大改动，需要重新编制算法模型或相对应的管理系统。现阶段，GIS和专题制图技术的不断发展，模型库设计方法无法满足数学模型共享性、重用性的要求，也无法实现用户对动态生成数据模型和智能化管理方面的要求。分析上述问题，根据已有的数学模型库系统展开研究，提出基于元算法数学模型库系统，在系统中增设扩展元算法模型库，介绍可视化生成数学模型库，将设计的数学库模型系统挂连至外界GIS框架内方便进行专题作图，获得良好的应用效果。
1简述元算法相关概念及特征
元算法是指从数学模型中抽象而来最具体的算法单元体，其可以标识算法模型的一般特征，通过聚合建立的数学模型具有共享性、重用性的特点。同时，具体使用过程中，必须综合考虑各领域数学模型的特殊性，必须建立针对具体领域所使用的元算法模型。元算法主要特征如下：1）元算法应概括所有专题数据处理算法的特征，换句话来说，任何一个算法均由多个元算法组成，上述元算法过于细化。2）创建的元算法专题数据处理模型采用程序的表示方法，这要求每个算法必须来自客观实际，确保能够被程序应用，并非空穴来风设计。3）专题数据处理模型可在通常情况下，元算法作为算法中的最小单元，不可再分，单元算法也不能过于具体化，太具体会加大重复工作量。建立的数据库系统在确保概况性的基础上，保证元算法具有不可分性。
2设计在元算法基础上的数学模型库
模型库系统平台主要功能是管理或维护模型资源，具有模型分析、模拟功能。基于元算法设计数学模型库系统，该系统的特点主要表现在底层模型库组织方式和表达方式上。由于元算法模型具有普遍性、概况性的特点，采用元算法模型粒度控制尺度设置数学模型库，实现对数学模型资源的管理和维护，为各个领域的专家、用户提供管理控制工具。这种设计形式与已有的模型库系统比较具有以下优点：1）具有简捷性的特点：本系统与原有模型库系统本质的区别在于，该系统是从最基本的模型表示方法入手，把GIS中的算法分解成具有普遍意义的元算法段元。合理控制模型六度确保用户能够自由构建所需的算法模型，在一定程度提升算法模型设计的弹性。2）通用性和合理性的特点：本系统针对GIS中反复出现的数据处理算法，把算法管理逐渐从GIS中进行分离，完成数据处理与数据可视化分离的操作，借助模型库系统便于处理数据。
3建立元算法专题数据处理数学模型库
1）元算法模型主要分类
为便于管理，不得将元算法当做一类进行处理，专题数据处理中把元算法细化为基本元算法子集和扩展元算法子集。专题数据处理模型库系统中，为便于管理，根据元算法模型的参与运算目数划分，主要包括单目和双目元算法模型。参与运算的预案算法有的是单目的，例如：正弦、绝对值等；有的是双目运算，例如：加法、指数运算等等，具体情况如图1。
图1 数学模型库“基本元算法”子集内容
2）扩展元算法子集内容
扩展元算法是指由基本元算法组合而成的形式，在实际使用中常见的特殊元算法。对专题数据进行处理过程中，所用的扩展元算法主要来源于以下方面：①包括矩阵、方程等这类相对复杂的运算法，这种复杂的算法主要由基本元算法组合而成，建立数学模型系统也比较复杂，例如：矩阵乘法运算等。②在模型库中重复出现的特殊算法，这些算法在专题数据处理中频繁出现，例如：数据数字特征算法，为防止重复繁琐的算法，必须将这类特殊算法进行提取当做扩展元算法处理，内容如图2。
图2 扩展元算法子集主要内容
3）专题数据处理数学模型库内部组织
专题数据处理模型库系统采用向对象法描述模型库的组织体系结构，实现合理管理模型库内部各种算法的目的。以UML部分算法为例进行设计，如图3。
图3 元算法数据模型库组织结构图
图3中MathModel设置一个公共结构，上述算法模型以直接或间接实现该公共接口，确保每种算法模型采用恰当的变量对象参与运算中。中间第一层接口依据模型变量角度进行划分，依据每个算法参与变量的角度选定相应的实现接口，该接口实现处理输出结果的功能。最下层表示单目元算法和双目元算法，每种算法依据运算目数选定继承基类。每一个算法类实现并继承设定的基类和接口，完成所继承接口与基类的各种算法，设计变量数值和类型后参与运算中。上述设计不单保障算法模型每个变量数值，也确保其实施统一的文件格式输出，达到各算法模型之间相互连通的目的。
4）基于元算法数学模型生成
数学模型可视化生成借助多个元算法模型进行组合或嵌套，是指在原有的模型库系统正确引导下下，挑选创建数学模型库系统所需的元算法部件，无需再次实施编程即可创建所需的数学模型库。
基于元算法主要采用两种方式设计数学模型库，一种在元算法模型基础上创造新的数学模型库，如：计算一条直线上两点之间的距离，数学表示公式为：[y=x1-x2]，该公式所用的数学模型有：减法元算法（[（x1-x2）]）和绝对值元算法（[x1-x2]），采用上述两组元算法模型组建所需的数学模型。另一种方法是借助原有的数学模型和元算法建立新的模型。如：专题数据处理过程中常用的界限等差分级模型，[Ai=L+iH-LM]，该数学公式中的[Ai]表示第i个分级的界限值， M代表该式子的分级数，采用H、L分别表示最大值和最小值，间隔递增模型（[Ai=L+iH-LM+i（i-2）2D]），其中D表示公差值，通过分析可知，前面的数学公式是后者一部分，建立后面公式的数学模型时，可将前者的模型当做子模型直接参与建立数学模型库中。例如：在建立等比分级数学模型（[Ai=L（HL）VM]）和间隔等比数学模型（[Ai=L+1-qi1-qM（H-L），q表示公比值]）过程中，其可视化生成步骤如下：
首先，创建模型所需的变量因素，设定其所需的参数。其次，依据系统中通用的元算法模型创建有关的子数学模型，主要由单目、双两类数学模型组成，上述数学公式的L、H均为单目模型，其余因子为双目数学模型。最后，把建立的新模型导入专题数据处理模型，根据数学模型生成步骤，创建专题数据处理数学模型库系统。
4 结束语
总之，根据元算法数据模型库设计思路，深入研究专题数据处理常用的数学模型库，设置相对应的扩展元算法模型，建立在元算法基础上的专题数据处理数学模型库。这种数学模型库系统具有较好的共享性、可重用性，能有效提升数学模型库开发效率和利用率，值得在各个领域推广使用。
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常见的建立数学模型的方法范文3
数学模型的难点在于建模的方法和思路，目前学术界已经有各种各样的建模方法，例如概率论方法、图论方法、微积分方法等，本文主要研究的是如何利用方程思想建立数学模型从而解决实际问题。实际生活中的很多问题都不是连续型的，例如人口数、商品价格等都是呈现离散型变化的趋势，碰到这种问题可以考虑采用差分方程或差分方程组的方式进行表示。有时候人们除了想要了解问题的起因和结果外还希望对中间的速度以及随时间变化的趋势进行探索，这个时候就要用到微分方程或微分方程组来进行表示。以上只是简单的举两个例子，其实方程的应用极为广泛，只要有关变化的问题都可以考虑利用方程的思想建立数学模型，例如常见的投资、军事等领域。利用方程思想建立的数学模型可以更为方便地观察到整个问题的动态变化过程，并且根据这一变化过程对未来的状况进行分析和预测，为决策的制定和方案的选择提供参考依据。利用方程建立数学模型时就想前文所说的那样，如果是离散型变化问题可以考虑采用差分思想建模，如果是连续型变化问题可以考虑采用常微分方程建立模型。对于它们建模的方式方法可以根据几个具体的实例说明。
2方程在数学建模中的应用举例
2．1常微分方程建模的应用举例
正如前文所述，常微分方程的思想重点是对那些过程描述的变量问题进行数学建模，从而解决实际的变化问题，这里举一个例子来说明。例1人口数量变化的逻辑斯蒂数学方程模型在18世纪的时候，很多学者都对人口的增长进行了研究，英国的学者马尔萨斯经过多年的研究统计发现，人口的净相对增长率是不变的，也就是说人口的净增长率和总人口数的比值是个常数，根据这一前提条件建立人口数量的变化模型，并且对这一模型进行分析研究，找出其存在的问题，并提出改进措施。解:假设开始的时间为t，时间的间隔为Δt，这样可以得出在Δt的时间内人口增长量为N(t+Δt)－N(t)=rN(t)Δt，由此可以得出以下式子。dN(t)dt=rN(t)N(t0)=N{0(1)对于这种一阶常微分方程可以采用分离变量法进行求解，最终解得N(t)=N0er(t－t0)而后将过去数据中的r、N0带入上述式子中就可以得出最后的结果。这个式子表明人口数量在自然增长的情况下是呈指数规律增长的，而且把这个公式对过去和未来的人口数量进行对比分析发现还是相当准确的，但是把这个模型用到几百年以后，就可以发现一些问题了，例如到2670年的时候，如果仍然根据这一模型，那么那个时候世界人口就会有3．6万亿，这已经大大的超过了地球可以承受的最大限度，所以这个模型是需要有前提的，前提就是地球上的资源对人口数量的限制。荷兰的生物学家韦尔侯斯特根据逻辑斯蒂数学方法和实际的调查统计引入了一个新的常数Nm，这个常数就是用来控制地球上所能承受的最大人口数，将这一常数融入逻辑斯蒂方程可以得出以下的式子。dN(t)dt=rN(t)(1－N(t)Nm)N(t0)=N{0(2)该方程解为N(t)=Nm1+NmN0e－r(t－t0)一个新的数学模型建立后，首先要做的就是验证它的正确性，经过研究发现在1930年之前的验证中还是比较吻合的，但是到了1930年之后，用这个模型求出的人口数量就与实际情况存在很大的误差，而且这一误差呈现越来越大的变化趋势。这就说明当初设定的人口极限发生了变化，这是由于随着科学技术的不断进步，人们可以利用的资源越来越多，导致人口极限也呈现变大的趋势。
2．2差分方程建模的应用举例
如前文所言，对于离散型问题可以采用差分方程的方法建立数学模型。例如以25岁为人类的生育年龄，就可以得出以下的数学模型。yk+1－yk=ryk(1－ykN)，k=0，1，2，…即为yk+1=(r+1)yk［1－r(r+1)Nyk］其中r为固有增长率，N为最大容量，yk表示第k代的人口数量，若yk=N，则yk+1，yk+2，…=N，y*=N是平衡点。令xk=r(r+1)Nyk，记b=r+1。xk+1=bxk(1－xk)这个方程模型是一个非线性差分方程，在解决的过程中我们只需知道x0，就可以计算出xk。如果单纯的考虑平衡点，就会有下面的式子。x=f(x)=bx(1－x)，则x*=rr+1=1－1bx因为f''(x*)=b(1－2x*)=2－b，当|f''(x*)|＜1时稳定，当|f''(x*)|＞1时不稳定。所以，当1＜b＜2或2＜b＜3时，xkk∞x*．当b＞3时，xk不稳定。2．3偏微分方程建模的应用举例在实际生活中如果有多个状态变量同时随时间不断的变化，那么这个时候就可以考虑采用偏微分方程的方法建立数学模型，还是以人口数量增长模型为例，根据前文分析已经知道建立的模型都是存在一定的局限性的，对于人类来说必须要将个体之间的区别考虑进去，尤其是年龄的限制，这时的人口数量增长模型就可以用以下的式子来表示。p(t，r)t+p(t，r)r=－μ(t，r)p(t，r)+φ(t，r)p(0，r)=p0(r);p(t，r0)=∫r2r1β(r，t)p(t，r)d{r其中，p(t，r)主要表示在t时候处于r岁的人口密度分布情况，μ(t，r)表示的r岁人口死亡率，φ(t，r)表示r岁人口的迁移率，β(r，t)表示r岁的人的生育率。除此之外，式子中的积分下限r1表示能够生育的最小岁数，r2表示能够生育的最大岁数。根据人口数量增长的篇微分方程可以看出实际生活中的人口数量与年龄分布、死亡率和出生率都有着密不可分的关系，这与客观事实正好相吻合，所以这一个人口增长模型能够更为准确地反应人口的增长趋势。当然如果把微分方程中的年龄当做一个固定的值，那么就由偏微分方程转化成了常微分方程。另外如果令μ(t，r)=－r，p(t，r)=N(t)，N(0)=N0，φ=rN2(t)/Nm，那么上述偏微分方程就变成了Verhulst模型。偏微分方程在实际生活中的应用也相当广泛，物理学、生态学等多个领域的问题都可以通过建立偏微分方程来求解。
3结束语
常见的建立数学模型的方法范文4
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2013）01B-
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数学课程标准强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在获得对数学理解的同时，思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”。由此可见，学生学习数学不能局限于教材内容，还应结合生活、生产实际，提高实际应用能力；而教师则应把培养学生的实际应用能力渗透在教学中，让学生带着生活经验和所学知识走进数学活动，通过数学模型的建构和应用，获得多方面的发展。
重视数学建模意识的培养和数学模型的应用契合新课程“三维目标”的要求，有助于突破学习数学就是“套公式计算题目”的观念。下面谈谈在数学教学中培养学生建模能力的主要做法。
一、让学生熟悉数学建模的步骤
对具体事物进行构造数学模型的过程称为数学建模。如图所示，通过数学建模来解决实际问题的过程大致由三个部分组成。
要让学生了解数学建模，首先要让学生明确数学建模的核心在于“两个转化”：把实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为数学模型。生活中的数学问题，其实际背景中的数量关系往往比较隐蔽。初中学生生活经验不丰富，又缺乏用数学眼光审视实际问题的能力，这是他们学习数学建模的难点。为了让学生了解数学建模的步骤，更快地解决上述问题，在教学中可从以下四个方面去引导学生。
1.去粗取精：从大量的实际材料中选出具有数学意义的材料、数据，删除与数学无关的内容。
2.由表及里：把选择的数学材料用精确的数学语言、相应的数学符号表述出来。
3.以新换旧：把这些经过数学化的材料组成一个数学模型。
4.由此及彼：运用已学的数学知识对数学模型问题进行定性定量求解，用以解决实际问题。
二、让学生了解建立数学模型的常用方法
建立数学模型的途径和方法有很多，最常见的有五种：一是运用方程知识建立数学模型；二是运用不等式组与一次函数知识建立数学模型；三是运用三角函数知识建立数学模型；四是运用统计知识建立数学模型；五是运用几何知识建立数学模型。让学生了解建立数学模型的方法，能帮助学生提高通过数学建模去解决实际问题的能力。而要让学生了解数学建模的方法，必须在数学建模实例中让学生体验选择建模类型的数学环境。例如，实际问题中等量与不等量的关系犹如特殊与一般的关系，当问题面对确定的数量时往往建立方程（组）模型，面对数量变化趋势进行决策时往往建立不等式（组）模型；当问题涉及的两个变量之间的关系式不好直接写出或遇到诸如“总运费最少、利润最大”等决策性问题时，可通过建立函数模型，运用函数的相关知识来解决。
三、对学生进行数学建模能力的训练
1.引导学生用数学方法去解决具体的实际问题
这种训练目的是为了激发学生关注生活中数学问题的兴趣，使学生加深对生活中数学问题的认识，学会用数学的眼光审视生活中的有关问题，提高实际应用能力。训练的具体做法：
一是把学生感兴趣的生活问题引入数学课堂教学，激发他们的学习兴趣。例如，在2011年南非世界杯足球赛前夕，安排一节与足球运动有关的数学建模专题课，其内容包括门票销售、最佳射门位置、足球在地面的投影面积、足球上黑白两色皮的块数等。这些问题不仅可以训练学生的数学建模能力，而且还能极大地激发学生的好奇心和求知欲。
二是经常让学生进行“查一查、算一算、看一看、想一想”的活动，使他们加深对生活中数学问题的认识。例如，让学生看一看家里或公共场所里地砖的形状，想一想为什么可以用正方形、正六边形甚至可以用相同的不规则多边形进行拼接。
三是组织学生开展“如果你是×××”的活动，强化训练学生解决实际问题的能力。例如，让学生解决“某宾馆大厅有一高度为2.4米，坡度为30°的台阶，经理提出要在台阶上铺设红地毯。如果你是采购员，应采购多长的地毯？”“乒乓球拍每付20元，乒乓球每盒5元。两家体育用品商店开展促销活动，甲店决定顾客买任何商品都八折优惠，而乙店则采取‘购买一付球拍赠送乒乓球一盒’的优惠措施。班委决定购买球拍4副和乒乓球数盒（大于4盒）。如果你是体育委员，应选择哪家商店购买？”这样的实际问题。
2.引导学生把生活中的实际问题转化为数学问题
这种训练目的是为了培养学生去粗取精、去伪存真的能力，提高学生对数学材料的检索能力。训练采用的措施：
一是引导学生对教材中的材料和自己平时收集到的实际材料进行筛选，排除与数学无关的材料，用比较准确的数学语言、相应的数学符号、数学图形把问题的主要意思表述出来。
二是指导学生把实际问题简化为数学模型，使其中的相关元素呈现出来。例如“跳水运动员进行10米跳台的跳水训练，跳台长3米，跳台支柱在岸上距池边1米，在跳某个规定动作时，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，求运动员落到跳台所在的平面时与起跳点的距离。”这个实际问题，面对这么多数据，学生感到无从下手。教师引导学生，根据物理知识可知运动员身体（看成一点）在空中的运动路线是一条抛物线。然后以跳台所在的水平直线为横轴，运动员所站位置为原点建立平面直角坐标系，从所给条件中找到抛物线经过（0，0）点，最大值为，入水点坐标为（2，-10），由此可求出抛物线的解析式。实际问题就是求抛物线与坐标横轴的交点。这样通过建立函数模型，学生很快就解决了问题。
3.引导学生根据相关材料构造数学模型
这种训练目的在于培养学生分析、推理、概括、推断能力，使学生能根据相关材料构造数学模型。训练采用的方法：
一是通过明确数量关系去建立模型。对方程、不等式类型的问题，着重指导学生明确问题中的等量或不等量关系。例如这样一个数学问题：在“锤子、剪子、布”游戏中，李浩赢了21次，得108分，其中用“剪子”赢“布”7次。请用所学的数学知识求出李浩用“布”赢“锤子”、用“锤子”赢“剪子”各多少次。这道题中的等量关系有：用“布”赢“锤子”的次数+用“锤子”赢“剪子”的次数=21-7；用“布”赢“锤子”的得分+用“锤子”赢“剪子”的得分+用“剪子”赢“布”的得分=108。通过建立方程模型就能解决这个问题。
二是通过认识问题特征去建立数学模型。例如对“求代数式+的最小值”这个问题，在学生感到无从下手时，可提示学生：这个代数式的形式与我们学过的什么式子相类似？学生很快就会联想到勾股定理和平面直角坐标系内任意两点的距离公式。因此，可建立几何模型，利用勾股定理构造直角三角形，原题转化为求两点之间的最短距离；或通过建立函数模型，把原题转化为“求（x，0）点到（0，2）与（12，3）这两点的距离之和的最小值”。通过这样点拨，学生就能举一反三，知道利用相应的方法建立数学模型去解决问题。学生一旦具备了数学建模意识和建模能力，就能激发出创新思维的火花。
常见的建立数学模型的方法范文5
下面结合本人教学实践，谈几种常见数学模型的构建方法，与同行们共切磋.
一、方程与不等式模型
这类型的数学模型的构建，常以市场经济为背景，或以环保、当前时事为载体，综合各种代数知识考查分析、综合与分类讨论的能力.
例1国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推行农村医疗保险制度，某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可到定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者垫付医疗费用，年终到医保中心报销、医疗费的报销办法：
报销比例标准不予报销70%80%
（1）设某农民一年的实际医疗费为x元（500
（2）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费=实际医疗费-按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？
（3）若某农民一年内自付医疗费不少于4100元，则该农民当年实际医疗费至少为多少元？
评析解决本题关键是准确获取图表中的信息，抓住自付医疗费为2600元及不少于4100元，把生活中的问题转化为数学问题――方程或不等式的模型，同时把实际医疗费分段进行讨论.
解（1）y=710（x-500）(500
（2）设该农民一年内实际医疗费为x元，则当x≤500时，不合题意.
当500
答：该农民一年内实际医疗费为7500元.
（3）设该农民一年内实际医疗费为x元.
500+（10000-500）×0.3=335010000.
500+（10000-500）×0.3+（x-10000）×02≥4100，解得x≥13750.
答：该农民当年实际医疗费至少为13750元.
二、方程与函数模型
函数与方程是中学代数的重点，它主要以函数为主线，建立函数图像及性质，相关知识的综合，提炼并构建方程模型或函数模型.
例2通过实际研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x（min）变化的函数图像如图（y越大表示注意力越集中），当0≤x≤10时，图像是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤40时，图像是线段.
（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式.
（2）一道数学综合题，需要讲解24 min，则老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36？
评析此问题是发生在学生身边的实际问题，先建立两个函数关系式的数学模型，然后利用数形结合，运用待定系数构造几个方程，使问题得到解决.
解（1）设0≤x≤10时的抛物线为y=ax2+bx+c，由图像知抛物线过（0，20），（5，39），（10，48）三点，
c=20，
25a+5b+c=29，
100a+10b+c=48，解得a=-15，
b=245，
c=20.
y=-15x2+245x+20(0≤x≤10).
（2）设20≤x≤40时，直线解析式为y=kx+m，由图像知直线过（20，48），（40，20）两点，
20k+m=48，
40k+m=20，解得k=-75，
m=76.y=-75x+76.
当0≤x≤10时，令y=36，得36=-15x2+245x+20，
解得x1=4，x2=20（舍去）；
当20≤x≤40时，令y=36，得36=-75x+76，
解得x=2007=2847.
因为2847-4=2447>24，所以老师可以通过适当安排，在学生的注意力指标数不低于36时，讲授完这道数学综合题.
三、几何模型
《新课程标准》理论指导下的基础课程，在几何内容的设置上，着重加强“几何模型构建及其探究过程，培养应用能力”等方面的内容.因此，考查学生建立几何模型解决问题能力的试题已日益受到中考命题专家的青睐和使用，此处不再举例说明.
总之，数学模型的构建是解决问题的过程，也是一个实际问题转化为数学问题的过程.在这一过程中，数学模型构建是关键，也是难点.解题时应注意：（1）仔细审题，理解实际背景材料和所掌握的信息，对问题作出简化，并且提出假设.（2）数学模型的构建，将实际问题利用数学工具寻求有关事物之间的联系转化成为数学问题来解决.（3）求解数学模型与检验，从而得到实际问题的解答.
常见的建立数学模型的方法范文6
一、合情推理――数学发现的基本方法
合情推理是根据已有事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。在解决问题的过程中，合情推理为猜测、探索提供思路。
1.采用归纳法进行合情推理
归纳法是从个别事实概括出一般原理的推理方法。例如，在教学《圆的面积》时，教师首先呈现以下图形供学生观察后，设问：请根据圆与大、小正方形位置和大小的的关系，猜想圆面积的计算公式？
生1：圆的面积介于小正方形和大正方形之间。
生2：圆的面积介于2r2和4r2之间。
生3：估计是3r/2左右。
……
获解原问题的方法。
2.通过特殊值法实现化归
“特殊值法”，就是求解一个较一般数学问题遇到困难时，先考虑这个问题的一种特殊情况，找出一种简单情形进行解决，利用特例的结论再来求解一般问题。
例如：求解甲比乙多1/7，乙比甲少几分之几？
一般解：根据条件乙为1，甲为1+1/7；先求乙是甲的几分之几？1÷(1+1/7)=7/8；再求乙比甲少几分之几，即1-7/8=1/8。条件和问题中单位“1”发生变化，相应甲乙所对应的数值也随之变化，学生解答时往往会产生混淆，容易出现计算错误。
化归解：根据条件，先假设甲为8，乙为7；再求乙比甲少几分之几？（8-7）÷8。用特殊值法解，在始终把握基本数量关系的前提下，使得复杂的数据换算得以简单化。
3.通过语义转换实现化归
一个数学符号式子的最初意义或常用意义容易被固化，而在问题解决中，式子意义解释的寻求和提取因环境而异，不同的问题环境会激活不同的意义解释，不同的意义理解造成问题解决的不同思路和不同难度。
二、数学模型―――数学应用的基本方法
数学模型方法就是对所研究的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决原型问题的方法。从广义的观点看，数学概念、性质、法则、公式都是数学模型。从狭义的观点看，解决小学数学中的具体的数学问题，特别是解答应用题都需要构建数学模型来解决。
1.数学概念（方法）的建立
数学概念建立或数学方法归纳的过程实质就是建立数学数学模型的过程。学生通过操作、比较、归纳、分析和综合，在对对象的各个属性形成较为清晰的表象后，教师引导学生将这些对象属性进行剖析，将对象的本质属性抽象出来，并将这种本质属性概括到同类事物当中去，于是就形成关于对象的数学属性的基本模型。
如数学活动课上，师生一起探讨“在正方形四周植树”的问题，学生活动后，组织交流。
生1：每个顶点栽一棵，一共需要：4×4-4=12 棵。
生2：顶点上的树属于其中的一条边，这样每条边上的树只有3棵，再用3x4=12 棵。
生3：先算每条边中间植树的棵数，2×4=8 棵，再加上顶点位置的4棵，也是12棵。
生4：把顶点上的4 棵树分别属于正方形上下两条边。这样左右两条边只有2棵，列式为4×2+2×2=12 棵。
师：方法不同，列式不同，但殊途同归，至少要栽12 棵。在解决问题的过程中，你觉得关键要注意什么？
生：就是顶点上的棵数不能多算，只能算一次。每条边上树的棵数×边数- 顶点的个数。
师：如果在正三角形、正五边形、正六边形草坪四周植树，每边都要植4 棵，每块草坪分别需要多少棵呢?小组选择一个问题进行研究。
在以上教学过程中，教师先让学生独立思考，提出个性化的解决问题的策略，从多个角度，多种途径进行解释，理解在正方形四周植树的计算方法。然后教师引导学生比较求同，在众多表面上形态各异的思维策略背后蕴藏的共同的具有更高概括意义的数学思想方法，进而体会到解决问题的一般数学模型：“每条边上树的棵数×边数- 顶点的个数。”在这种思想方法的指引下，学生掌握了多边形各边植树的计算方法。
2.运用数学问题的解决
解决数学问题的关键步骤就是通过分析数量关系，把题中的实际问题抽象成一个纯数学的关系结构，从而构成数学模型,依据该数学模型固有的解决问题的策略进行运算。
三、数形结合―――数学理解的基本方法
数形结合是指将数（或量）与形（或图）结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略，即根据问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质和特征来研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，从而利用数形的辩证法和各自的优势，得到解决问题的方法。
1.以形直观的表达数
其实质就是抽象对象或关系的“可视化”，将抽象的东西“原型化”，有利于利用形象思维和直观思维。
借助“形”的直观建立数学概念。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分数、小数；利用交集图理解公因数与公倍数，等等。借助“形”的操作形成数学规则。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。
借助“形”的启发获得解题思路。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等，是寻找解题途径最有效的手段之一。
2.以数精确地研究形
