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数学建模分析法范文1
关键词：管式间接蒸发冷却器 数学模型 实验验证
Abstract: It introduces some mathematical models of tube type indirect evaporative cooler and compares them， select one of the best methods and validate it with laboratory works， the result indicates that this method is suitable for instruct engineering practice. Key words: Tube Type Indirect Evaporative Cooler；mathematical model；validation
主要符号表
— 换热器效率
— 质量流量，kg/s
— 焓，J/kg
— 对流传质系数，kg/（m2·s）
— 对流换热系数，W/m2·℃
— 空气比热，J/kg·℃
— 二次空气与水膜的热湿交换效率
— 一次空气的换热效率
— 以空气湿球温度定义的饱和空气定压比热，J/kg·℃
— 最大热容量，W/℃
— 最小热容量，W/℃
1 引言
空调系统在改善人类生产、工作和生活环境的同时，消耗着大量的矿物燃料和CFC等制冷工质. 全球气候变暖和大气臭氧层受到破坏等对当代人类生存构成严重威胁的灾难性气候变化，都和暖通及制冷行业有关.间接蒸发冷却器是一种直接从自然界获取冷量、不使用CFCs、无环境污染的高节能性空调制冷装置，与一般常规制冷机械相比，总体上来说COP可提高2.5--5倍，从而可以大大降低空调制冷能耗，因此在空调领域有着广阔的应用前景［1］。
间接蒸发冷却既有直接蒸发冷却又有热交换，在间接蒸发冷却器中被处理的空气在没有增加湿度的情况下明显的被冷却了。目前间接蒸发冷却的型式主要有板式间接蒸发冷却器和管式间接蒸发冷却器两种，板式间接蒸发冷却器的优点是换热器换热效率较高，体积相对较小，但是由于其流道窄小，因而流道容易堵塞，尤其在空气含尘量大的场合，随着运行时间的增加，换热效率急剧降低，流动阻力增大，并且布水不均匀、浸润能力差，换热器表面结垢、维护困难。管式间接蒸发冷却器流道较宽，不会产生堵塞，流动阻力小，布水相对比较均匀，容易形成稳定水膜，有利于蒸发冷却的进行。
2 管式间接蒸发冷却器数学模型的分析
2.1 已建模型综述
在间接蒸发冷却器的热工性能分析中，许多研究者都进行了不同程度的理论和实验研究。Kettleborough和Hsieh等提出了通过润湿率来估计表面的润湿状况对逆流间接蒸发冷却器冷却性能的影响，并引入“焓势”的概念，但实际表面的润湿率难以准确确定。Peterson和Hunn等对交错流式间接蒸发却器进行了实验分析，并提出了相应的冷却性能分析模型；在二次空气出口状态为饱和空气，一次空气出口干球温度近似等于二次空气出口湿球温度的条件下，理论计算和实验结果基本一致，但间接蒸发冷却器在实际工作时，并不满足这一条件。P.L.Chen等提出了有关间接蒸发冷却器热性能和阻力性能的计算模型。Perez－Blance和Bird对单根垂直管蒸发冷却器建立了稳态一维模型；在假设水膜温度不变的条件下，导出了实验测定用的热质交换系数计算公式，并进行了相应的传热传质实验；在实验结果中表明，对流换热系数实验值与按Chilton－Colburn类似律计算出的数值相差25％。Rana和Charan对水平单管蒸发式散热器进行了传热传质实验研究，实验确定的传质系数与按Lewis关系式计算的结果相差较大，其比值在在0.8～9.35之间，但作者没有给出理论解释［2］。西安交通大学的鱼剑琳［2］建立了一个研究管外对流换热系数以及可进行间接蒸发冷却实验的实验装置。同济大学的段光明［8］也对管式间接蒸发冷却器内部传热传质过程进行了探讨分析，总结了当时管式间接蒸发冷却器的理论数学模型，然后建立了数学模型并进行了实验验证。
综合上述文献可知，以往在针对间接蒸发冷却器传热传质分析方面和在数学模型的建立过程中，都有一些不足之处，如：把整个热质交换过程简化为在一整体换热壁面上，按顺流形式完成的，没有考虑到不同形式间接蒸发冷却器的具体结构特点；认为淋水侧壁面上形成的水膜完整；在湿壁侧，二次空气与水膜之间传质系数是根据Lewis关系式（），用空气与干壁面的换热系数来确定的，没有考虑到壁面上流动水膜对传热和传质的影响。由此可以看出，关于管式间接蒸发冷却器的研究工作还远远不足，特别是对于二次空气与一次空气和淋水均匀为交错流动的横置式管式间接蒸发冷却器还需要进行深入的理论分析和实验研究。
2.2 数学模型的建立
间接蒸发冷却器热质交换数学模型虽然各不相同，但都是建立在传热传质的基本原理上，将一个复杂的间接蒸发冷却过程分解为一次空气、二次空气和水三者之间的热质交换。通过对这三部分的热平衡及湿平衡的分析，建立起数学模型并对其进行求解。
间接蒸发冷却既区别于一般的气－气换热，又不同于冷却塔中的绝热蒸发过程，从传递过程理论看，在TIEC中热量的交换和质量的迁移同时发生，尤其在管外的二次空气侧，二次空气与水膜在温差和水蒸汽浓度差的共同作用下进行热湿交换，因此一次空气与二次空气及水膜间的传递过程十分复杂。为了便于研究间接蒸发冷却器的性能，从实际目的出发，必须对其作出相应的简化假设。文献［2］假设：热质交换过程是稳定的，管外的水膜是完整一致的，管内的一次空气流速和管外的二次空气流速是一致的，水蒸发速度对二次空气流速产生的影响可以忽略。文献［3］假设整个管壁上的水膜温度相同，并忽略管壁的导热热阻，即假设整个管壁的温度均匀一致，在二次空气侧，水滴在空气中进行的热质交换传递过程忽略不计。文献［4］假设水膜为稳态连续流动，对湿空气饱和线进行线性化处理，并假设空气饱和曲线为温度的线性函数，通过假设将具有湿表面换热器的传热传质简化为一维问题。文献［5］假设热质交换在稳定状态下进行，并且方向是垂直于管壁的，水、一次空气和二次空气的比热在考虑的温度范围内为常数，由辐射产生的传热忽略不计，湿度为平衡态，水膜中心向其表面传热的阻力忽略不计。
2.3 优选的经典模型
间接蒸发冷却器的热工计算主要集中在求解机组的冷却效率以及一次空气的出口状态参数等问题上。文献［6］提出一种新型简便的间接蒸发冷却器的计算方法，该数学模型首先定义基于湿球温度的饱和湿空气定压比热，用以计算湿空气的焓及焓差，之后运用ε－NTU传热单元数法分别计算一次空气的换热效率εp和二次空气与水膜的热湿交换效率εs，然后建立基于εp和εs的间接蒸发冷却器的冷却效率公式。
文献［6］的间接蒸发冷却器的效率定义为：
一次空气和二次空气间的换热过程，总能达到热的平衡，因此：
根据定义的饱和湿空气比热公式
(3－3)
可以得到：
这里：－称之为热容比或称之为水当量比
将公式（3－4）代入一次空气换热效率公式 (3－5)
可得：
将二次空气的热湿交换效率公式代入等式 （3－6）
可得：
最后将等式（3－7）代入一次空气换热效率公式（3－5）可得：
更进一步，假设一次空气的换热效率为100%，二次空气与水膜的焓效率为100%，即在理想的状态下，间接蒸发冷却器的效率为：
文献［6］建立的管式间接蒸发冷却器冷却效率和一次空气换热效率及二次空气－水膜热湿交换效率的关系式，通过分别计算一次空气侧的换热效率和二次空气侧的热湿交换效率，可以根据关系式求出间接蒸发冷却器的效率。公式（3－9）给出了管式间接蒸发冷却效率的一种简便的算法，式中饱和湿空气定压比热Cwb可以通过查表获得，因此只有一次空气和二次空气两个变量，也就是说，间接蒸发冷却器的冷却效率主要与一次空气和二次空气的流量比有关，而一次空气和二次空气的流量是容易控制和测量的。并且已有研究表明[9]，在二次空气与一次空气的质量流量之比小于0.8时，随着二次空气流量的增加，间接蒸发冷却器的冷却效率有所增加，这是因为二次空气流量增加，壁面水膜的传热和表面蒸发得到加强，蒸发量越大，二次排风带走的热量就越多，从而提高了间接蒸发冷却器的热交换效率。
3 实验验证
4 结语
管式间接蒸发冷却器的工程应用正处于起步阶段，虽然对应的管式间接蒸发冷却器的物理数学模型不少，但是综合而言，现有的数学物理模型推导较为复杂繁琐，工程实用性不强，研究人员也一直在对数学模型进行改进。文献（6）中建立的数学模型借鉴了其它模型的优点，提出一种新型简便的间接蒸发冷却器的计算方法，这种计算方法简单，利用手算就可以进行，并且误差较小，计算出来的理论值与实验测得的实验值相差甚微。并且根据实验得出，二、一次风量比的最佳值为0.6～0.8之间，这与经验值也是相符的。这种计算方法既体现了管式间接蒸发冷却器中的传热传质过程，同时又由于计算简单，是一种非常适合工程应用的计算方法。
参考文献
1. 黄翔. 面向环保、节能、经济及室内空气品质联合挑战的蒸发冷却技术[J]. 建筑热能通风空调，2003，22（4）：1－4
2. 鱼剑琳. 管式间接蒸发冷却器的研究，西安交通大学，博士学位论文，1996
3. Chen， P. L.， H. M. Qin， Y. J. Huang and H. F. Wu， A heat and mass transfer model for thermal and hydraulic calculations of indirect evaporative cooler performance[A]， ASHRAE Trans， 1991，Vol.97，Part1：852-865
4. Maclaine-cross I L， Banks P J. A general theory of wet surface heat exchangers and its application to regenerative evaporative cooling［J］.Journal of Heat Transfer， 1981， 103: 579-585
5. Wojciech Zalewski. Piotr Antoni Gryglaszewski. Mathematical model of heat and mass transfer processes in evaporative fluid coolers（j） Chemical Engineering and Processing 36 (1997) 271-280
6. J.L.Peterson，P.E.An Effectiveness Model for Indirect Evaporative Coolers[A]. ASHRAE Tans， Vol.99， Part2：392-399
7. 周斌.间接蒸发冷却器中均匀布水的实验研究，西安工程科技学院，硕士学位论文，2005
数学建模分析法范文2
一、构建函数模型的思路及步骤
二次函数作为最基本的初等函数，它既简单又具有丰富的内涵和外延，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可以建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它的平面曲线，讨论相互之间的联系。这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编出层出不穷、灵活多变的数学问题。同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校的重要知识基础。
案例1：某垄断厂商销售一种产品，每件售价m元，销售价受销售量的影响，要想多售出1件，销售价应下调的百分数为n，生产这种产品的成本单价为b元，每多生产1件这种商品，成本的增加率为a.生产这批产品厂商投入的固定资金为c元，国家应如何确定对该厂商单位产品的税金，才能使这项税收额最高？
分析：这个问题应从两个方面考虑：（1）厂商想获取最大利润，从而根据国家公布的单位产品的税金决定产量。（2）国家在保证厂商利益的前提下希望该项税收额最高。设国家确定的这种产品的税金为t元，厂商生产这种产品的产量为x件，则总税金为tx元，厂商的利润为y=（m-nx）x-[（b+ax）x+c]-tx=-（n+a）x2+（m-b-t）x-c.这是一个二次函数，因此问题就转化为求二次函数的最大值问题。
通过以上分析，可以看出构建函数的具体步骤为：
第一步：阅读理解，认真审题。
第二步：引进数学符号，建立函数模型。
第三步：利用数学的方法将得到的函数模型予以解答，求出结果。
第四步：再转译成具体问题作出解答。
其中根据收集的数据去体现解决问题的一般过程如下：
（1）收集数据。
（2）根据收集的数据在平面直角标系内作出散点图。
（3）根据点的分布特征，选择一个能刻画出散点图特征的函数模型。
（4）选择其中的几组数据求出函数模型。
（5）将已知数据代入所求的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复（3）（4）（5），若符合实际，则进入下一步。
（6）用求出的函数模型解释实际问题。
二、培养建模意识的教学策略
建模意识的培养，在某种程度上表现为学生对力所能及的实际问题的数学化能力，这就要求我们结合适当的实际问题，注意发展学生的数学建模能力，让学生在弄清楚实际问题，分析处理资料的过程中确定问题的主要特征，进行数学抽象概括，提出假设，应用数学的工具建立各种量之间的关系，进行推理和求解，提出数学的结果，并返回到实际问题中去解释、回答实际问题。数学建模过程中，能将学生所学的数学知识、数学思想方法内化为数学意识，能使学生的多项数学能力得到运用和综合发展。
1. 结合教材，精心选择一些简单的实例。这一阶段主要是提高学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，体会到数学的价值，享受到学习数学的乐趣，增强学好数学建模的信心。中学生刚开始接触这一新的思想方法 ，所学的知识不多，所以选取的例子要贴近教材内容，贴近学生的认知水平，涉及的专业知识不要太多，且要易于理解，此时的重点是培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
数学建模分析法范文3
一、教学案例
这节课课题是“一元一次方程解决工程问题”，教学目标设定如下：
知识和能力：理解工作总量为“1”时的工程问题；会用表格分析法找出工程问题的各要素；能根据表格分析问题，找出等量关系并列出方程。
过程和方法：通过复习巩固环节帮助学生回忆小学学段学习过的工程问题各要素和相关公式，引导学生建立表格，从而过渡到本节课的学习上来；通过两个例题讲解，以表格作为辅助工具，将工程问题各要素进行梳理，找出等量关系并列出方程；通过巩固练习让学生体会运用表格分析法辅助列出工程问题方程的过程，体验数学建模的过程。
情感态度和价值观：通过利用表格分析法辅助列出工程问题方程，体验数学与生活中实际问题的联系，体会方程解决实际问题的乐趣。
教学重点为表格分析法在列方程解工程问题中的应用，根据工程问题假设恰当的未知数并列出方程。教学难点为找出等量关系，这就要充分发挥表格的作用，帮助学生分析问题，并充分利用问题中的条件。
二、教学设计反思
整节课的教学设计面向的学生基础较为薄弱。很多学生反映：做计算题相对简单，但是应用题很复杂。因为计算题只需要按照法则计算就可以，但是应用题不同，解题过程就是一个简单的数学建模过程，要经历“模型假设――模型建立――模型求解（――模型检验）”的过程。“模型求解”这一过程（即方程求解）只要知道法则就会解，但前两个阶段――模型假设和建立则成为教学的难点，面对一段有关实际问题的描述，我们学生就摸不着头脑了。本段教学就是要渗透建模的思想，“设未知数――找等量关系――列方程”成为了主线。因此，这节课的重点、难点也随之确定。
考虑到学生的情况和教学的实际，教学设计选取的例题和练习都是较常规的题目，解决问题不需要绕过多的弯路。特别是第一道例题和第一道练习题，是具体的工程问题，不需要拐多个弯，主要目的是让学生体会工程问题公式的应用和列方程解应用题的过程。前几节课讲行程问题、盈亏问题的时候，还有部分学生不习惯用方程解决应用题，喜欢用小学的直接解答的方法，分析主要原因有以下几点：（1）小学的计算题解题模式已经植根于大脑，形成思维定式，要转变思路还需一段时间的培养和适应。（2）学生不喜欢设未知数，因为要写一串假设性的文字。（3）不知道从哪里找等量关系，无法列出方程。所以利用表格分析法，在填写表格的过程中读清题目、分析题目的各要素，对于帮助学生找出等量关系和解题是尤为必要。
三、课堂教学反思
在例题讲解过程中，我发现表格一经设计好，第一个应用题是很容易解决的，在绝大多数同学的脸上看到了解决问题的喜悦。
第二个应用题就相对较难了，因为设计了热身练习，对于工程问题中把工作总量看为“1”的方法为学生解决问题埋下了伏笔。提问了一个学生，工作效率是不难得到的，工作时间通过假设未知数也可以填写，就在最后找等量关系的时候与我的设计有了一定偏差，没有办法找到等量关系，她认为甲和乙的工作总量是相等的，显然是把这个问题和前几节课学习的“追及问题”混淆了。但是对她的思路加以引导，联系题目提示是一项工程，我们是把整个工程看为“1”的，而且这里没有讲到甲和乙所做的工作相同，她就恍然大悟：“应该是相加，等于1。”在后面的课堂练习中，她再一次举手回答问题，自己已经能够列出方程了。
在巡视练习过程中，发现有学生不喜欢画表格，认为画表格很复杂，但是又列不出方程，还有少部分学生是画了表格但不会填或者填错，导致列不出方程。对于第一部分学生，在利用表格辅助解决一元一次方程应用题的时候，我强调表格的重要性是帮助理清思路，但是如果能够直接准确地列出方程那就再好不过了。对于第二部分学生，则需要旁敲侧击，逐步引导，让他们在设计好表头的基础上帮助他们边读题目，边填表格。可以说表格虽能够帮助学生分析题目，但却不是万能的，关键还是要学生把思路敞开，还要一定的阅读理解能力。这样，有了表格，就能够起到顺手推舟的作用。
数学建模分析法范文4
【关键词】 航班延误 模糊综合评价 层次分析 灰色预测
一、提出问题
我国是不是世界上航班延误最严重的国家？我国航班延误的主要因素是什么？我们需要通过什么措施改善国内航班延误？
二、问题分析
首先是国内航班延误率标准与国际航班延误率标准有差异，故我们需要评判两种不同标准下国内航班的延误等级；其次是航班延误问题的主要因素是机场自身、流量、天气、其他等四种，因此我们需要确定四种因素在航班延误中占的比重；最后利用灰色预测对模型进行进一步的研究。
三、模型假设
无战争等政治因素影响；无严重自然灾害影响；航空公司或机场无重大变故。
四、模型建立与求解
首先，国内和国外的延误标准不同，得到的航班准点率的评价也不同。于是，我们采用熵权法模型进行了指标权重的讨论，用熵权法和模糊综合评价模型进行了第一问的讨论。通过对在国内外不同标准下的中国航班延误等级的比较，国内评判的延误等级比国外要高一些，但中国航班的延误等级无论是在哪种标准之下都是隶属于低等级；通过数据拟合，得到以下图为：
在11个主要国家航班准点率的对比中，第三个条形图是中国（china）主要航班的平均准点率，相对其他国家和地区是最低的，因此中国是国际上航班延误最严重的国家。
其次，针对航班延误问题，我们找到最终致使航班延误的主要因素有机场自身、流量、天气和其他等四种；如图
最后，为了验证层次分析法中方案层对航班延误率的影响，同时考虑到一个模型应该对未来有应用价值。基于对过去国内航班准点率数据的分析，我们对未来航班平均延误率进行了预测，建立了灰色预测模型。给定观察数据列，X（0）{X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）}，通过累加生成新序列，得 X（1）{X（1）（1），X（1）（2），…，X（1）（n）}；
通过matlab编程进一步预测，未来两年的航班准点率分别为74.0%和74.2%，依然较低。因而我们可以得到以下建议：①合理增加航线数量；②加强空域流量控制；③增大空中交通管制设备和方式的投入力度； ④加强恶劣天气的应急措施。
参 考 文 献
[1]姜启源.数学建模.高等教育出版社，1993
[2]吴建国.数学建模案例精编.中国水利水电出版社，2008
数学建模分析法范文5
独立院校是我国高等教育为适应市场体制和教育需求，而出现的新型办学形式，近些年迅速发展并获得较大程度的社会认可。但独立院校大都面临由基于母体学校的基础理论型到适应自身的应用学科型的转变，因此教学模式的改革至关重要。
数学建模首先把现实问题转换为数学模型，其次对模型进行分析、求解和验证，最后再将模型返回现实。整个过程不仅可以发展学生认知和分析解决问题的能力，而且对激发学习兴趣，提高团队意识和合作精神有显著效果。
本文主要从独立院校实际出发，结合学生特点和教学实践，对数学建模教学模式进行探讨。
一、独立院校数学建模教学的特点及存在的问题
独立院校开设数学建模的时间不长，课程建设总体还不够完善，任课教师仍然在不断探索更加适合独立院校的教学方法。独立院校的学生较一本、二本的学生，基础知识相对欠缺，学习中遇到的障碍较大。
经过对我校学生和教师的访谈发现，他们在数学建模学习过程中的实际问题有：缺乏信心，学习动力不足，毅力方面有欠缺，对学习缺乏钻研精神，认为数学难度太大，对数学有恐惧心理等。
但独立院校的学生思想活跃，对新鲜事物有独到的见解，兴趣广泛，与一本、二本学生相比智力水平相当，学习上的主要差别在非智力因素。
二、独立院校数学建模教学模式建立
基于独立院校数学建模教学的特点及存在的问题，提出以下几点：
1.教学模式多样化
（1）讲授的教学模式
以教师系统讲解为中心，向学生传授数学建模的基础知识和技能，学生主动接受并了解它的意义。鉴于独立院校学生的特点，要求教师在讲授过程中由易到难，从简单且贴近生活的问题入手，结合数学建模的方法和步骤，使学生建立解决数学问题的信心，具备初步的建模能力。
（2）创设情境的教学模式
教师创设合理的问题情境引发学习兴趣，学生自主对问题进行探索学习，教师在期间做适当引导。此模式强调团队合作及意义构建，通过讨论交流等逐步解决问题。
（3）引导发现的教学模式
根据独立院校学生兴趣广泛、思想活跃等特点，引导学生自己发现问题，主动获取新知。或结合讲授引导学生自己发现相关问题；或给定问题范围，让学生搜集资料中找出问题：或者其他途径。此模式中教师对教学应有评价和总结部分。
2.课程安排合理化
数学建模涉及的相关课程比较多，主要有运筹学、数学模型、概率论与数理统计、神经网络、微分方程、模糊数学、数值计算、层次分析法、Mathb、Lingo、Latex、Spss等。课程本身有先修要求，不同课程占用学时不同，难易程度也有差别。那么合理的配置资源、建立适用独立院校学生的课程体系至关重要。
我们根据课程的特点，做不同的处理。一些课程作为专业必修课，如运筹学、数学模型、概率论与数理统计、Matlab等：一些课程作为专业选修课，如图论、数值计算等；部分课程做捆绑教学，如计算机基础和Word、Excel，运筹学和Lingo，概率论与数理统计和Spss；还有一些课程以专题讲座的方式呈现，如神经网络、模糊数学、层次分析法、退火算法等。
3.教学进程层次化
结合独立院校学生的年龄特点、知识结构和智力水平，数学建模应采取分层教学，逐段提高。
面向低年级学生，广泛宣传数学建模，力求激发学生学习数学的兴趣，让学生知道什么是数学建模，明白打牢基础的重要性。开设类似“生活中的数学模型”选修课，多举办相关专题讲座。
进入大学二年级，分两方面提升建模水平。一方面，丰富专业知识，开设介绍数学建模基础知识的相关课程：另一方面，让学生接触简单的数学模型，介绍一些数学软件的入门知识，适当参与高年级的研讨班。主要目的是使学生具备初步的数学建模能力。
经过两年的基础学习和训练，对大三学生全面展开数学建模能力的培养。继续深化相关知识，注重培养学生的团队协作和处理问题的能力。把计算机融入数学模型的求解之中，熟练各种数学软件的操作。在暑假开展全国大学生数学建模竞赛集训，组织学生参加比赛。
对大四的学生，有意识引导他们独立开展建模活动。让学生自己组建研究团队，尝试从生产生活中提取问题，数据收集处理后建立模型，编写计算机语言进行算法实现，进而对计算结果分析、检验、评价，培养初步的科研能力，结果以科技论文形式呈现。
三、数学建模教学模式的实践
数学建模分析法范文6
[关键词]Matlab矩阵状态变量分析法
[中图分类号]U1[文献标识码]A[文章编号]1007-9416(2010)03-0077-02
1 引言
Matlab最基本的功能是进行矩阵运算。电路理论中的基尔霍夫定律、支路电流法、网孔电流法以及节点电压法列写的方程组都可以以矩阵形式表示。另外,求解动态电路响应的问题是一个难点,状态变量分析法是提供了解决这一难题的一种很好的方法,其分析结果是一组一阶微分方程组,Matlab提供了微分方程组的数据值解。因而,可以应用Matlab求解电路习题。本文通过几个实例来说明 Matlab在电路解题中的应用。
2 Matlab简介
Matlab是一种以矩阵运算为基础,集数值运算、符号运算、数据可视化、仿真等多种功能于一体的科学计算软件。它适用于工程领域的分析设计与复杂计算。
由于Matlab具有其他计算语言无法比拟的优势,当前已成为美国等发达国家大学教学和科研中最常用的工具。已广泛应用于电路设计与仿真、信号处理、控制、机械等领域,是工程领域最为流行的软件之一。
3 Matlab在电路分析中的应用实例
3.1 Matlab基于基尔霍夫定律的应用
基尔霍夫定律是德国物理学家基尔霍夫在1845年提出的,是电路理论中最基本也是最重要的定律之一。它概括了电路中电流和电压分别遵循的基本规律。它包括基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫电压定律(KVL)。KCL规定了电路中任一结点处电流必须服从的约束关系,而KVL则规定了电路中任一回路内电压必须服从的约束关系。下例是基于基尔霍夫定律的MATLAB矩阵运算在电路解题中的应用。例:求图1电路的电压U和电流I。
(1)建模
列3个回路电压方程:
整理方程组,将其变换成矩阵形式:
(2)matlab程序求解
clear,close all,clc
A=[-6 15 -1;6 -4 0;0 2 1]; B=[0 ; 10; -12];
X=A\B;
U=X(3);I=X(1);
disp('电压U(V):'), disp(U)
disp('电流I(A):'), disp(I)
(3)程序运行结果
电压U(V): -11.6923
电流I(A): 1.5641
3.2 Matlab在网孔电流法中的应用
网孔电流法是平面电路的分析方法,是以以假想存在的网孔电流作为电路的变量,利用基尔霍夫电压定律(KVL)列写网孔电压方程,进行网孔电流的求解,进而求出电路中各电流和电压的方法。网孔电流法分析步骤:(1)标出网孔电流的参考方向;(2)以各自的网孔电流方向为绕行方向,列KVL方程;(3)对列出的方程组进行求解。
网孔电流法列出的方程组可以以矩阵形式表示,Matlab具有强大的矩阵运算功能,为我们求解方程组提供了极大的方便,可以借助Matlab对方程组进行求解。该例是网孔电流法的Matlab求解应用。例:求图2电路的电压ux。
3.2.1建模
设各网孔电流如图,列网孔电流方程:
整理方程组,得:
将方程组变换成矩阵形式:
3.2.2matlab程序求解
clear,close all,clc
A=[1 0 0 0 0 0;0 8 0 -6 1 2;0 0 1 0 0 -2; 0 -6 0 7 -1 0;0 1 0 -1 0 0;0 0 0 -1 0 1];
B=[1; 4; 0; 0; 1; 0];
X=A\B;
Ux=X(6);
disp('电压Ux(V):'), disp(Ux)
3.2.3程序运行结果
电压Ux(V): 0.4000
3.3 Matlab在状态变量分析法的应用
一个电路的状态是指在某个给定时刻必须具备最少量的信息,这些信息与该时刻以后的激励,就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。状态变量是一组能够确定电路行为的最少变量。
电路中,能够反应电路储能多少的物理量就称为状态变量。动态电路中的储能元件只有电容和电感,其储能多少分别是通过电容电压和电感电流表示出来的,所以电容电压和电感电流就是状态变量。
状态变量分析法是求解动态电路响应问题的一种方法,是对电路建立状态方程后进而对电路进行分析的方法。用状态变量分析法分析动态电路主要有四个步骤:选择状态变量;列出状态方程;依初始条件求解状态方程;写输出方程并求解。
状态方程是一阶微分方程组,最适合用数值方法求解。特别是对于非线性电路和时变电路,其状态方程一般只能用数值方法求解。Matlab能够对一阶微分方程组进行数值方法求解。而Matlab提供强大的绘图,使得数学计算结果可以方便地实现了可视化。
举一例:如图3所示,已知R1=9Ω,R2=3Ω,C3=1.2F, C4=2F, L5=7H,输入激励为uS=8sin(t)v,画出iC3和uL5的响应输出波形。(设初始状态为0)
3.3.1建模
(1)写状态方程
在线性非时变电路中,由于求解电路响应所必需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确定,所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感电流iL作为状态变量。选择uC3、uC4、iL5作为状态变量,列方程,得:
用uC3、uC4、iL5和uS表示非状态变量iR1和iR2,得到:
代入方程组,有:
整理成标准形式的状态方程为:
(2)写输出方程
这里,要求C3上的电流和L5上的电压响应输出波形,故以iC3和uL5作为输出变量,有:
整理后可得标准形式的输出方程:
(3)matlab程序求解
%设x(1)=uC3, x(2)=uC4, x(3)=iL5
%编写函数,以fc.m为文件名存盘:
functionxdot=fc(t,x)
xdot=[-1/(1.2*3)*x(1)+1/(1.2*3)*x(2)+1/1.2*x(3);
1/(2*3)*x(1)-1/(2*3)*x(2); -1/7*x(1)-9/7*x(3)+8*sin(t)/7]
%主文件为main.m清单如下:
t_final=15; x0=[0;0;0];
[t,x]=ode45('fc',[0,t_final],x0);
subplot(2,1,1),plot(-1/3*x(:,1)+1/3*x(:,2)+x(:,3))
title('C3上的电流波形')
xlabel('t'), ylabel('i'), grid
subplot(2,1,2),plot(-1*x(:,1)-9*x(:,3)+8*sin(t))
title('L5上的电压波形')
xlabel('t'), ylabel('u'), grid
(4)程序运行结果(图4)
4 结语
以上举了几个Matlab在电路解题的应用实例。求解复杂电阻电路,列出的方程数多,如果单纯靠手工进行计算,既耗时又费力。Matlab的强大的矩阵运算功能,为我们求解方程组提供了极大的方便。另外,求解动态电路响应是一个难点,状态变量分析法是求解动态电路响应的一种很好的方法,状态变量分析法的分析结果是一组一阶微分方程组,Matlab为我们提供了微分方程组的数值解,Matlab强大的绘图,使得数学计算结果可以方便地实现了可视化,这是其它语言所不能比拟的。当然,Matlab的应用远远不止这些,还有待于我们进一步对它进行学习。
[参考文献]
[1] 蒲俊,吉家锋,伊良忠.MATLAB6.0数学手册[M].上海:浦东电子出版社,2002.
[2] 胡翔俊.电路分析[M].北京:高等教育出版社,2001.
[3] 蔡元宇,陈永祥,杨其允.电路及磁路[M].北京:高等教育出版社,2000.
[4] 陈怀琛,吴大正,高西全.MATLAB及在电子信息课程中的应用[M].北京:电子工业出版社,2002.
