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数学建模基本模型范文1
中图分类号：F224 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2017）07-0007-03
电子产品包含的种类丰富，形式多样，而且不同品牌的电子产品之间存在一定的替代效应，即电子产品市场是具有一种完全竞争性质的行业[1]。本文将以某LX品牌的电子产品为例，进行成本随供求变化的数学经济模型的构建。
一、成本随供求变化的经济问题及模型构建
该问题的设计是以完全竞争市场为背景的，在完全竞争市场条件下，整个行业的供给（S）和市场需求（D）的交点决定了某一类型产品的均衡价格P0，这时完全竞争市场中的单个厂商就只能接受将P0作为该产品的售价（见图1 ，Q为产量，即厂商的供给）。而且，在产品均衡价格确定后，个别厂商所面临的需求曲线是水平直线，成本的变动主要受供给曲线变动的影响[2]。因此，厂商想要在这一环境下获取更多的销售利润，就必须通过产品供给量的控制来降低产品的成本，进而实现利润的获取。
1.成本随供求变化的经济问题。在完全竞争市场下，某LX品牌厂商是电子产品的主要制造商，该公司电子产品的实际生产情况如下。公司生产某一型号电子产品的长期固定总成本为28 303 800元，每多生产1台电子产品（产品供给量，即产量），总成本就会增加460 800元。所有同行企业（市场上的其他竞争对手）的长期成本函数均保持一致。试求：（1）该型号电子产品总成本与供给量之间的关系公式；（2）此时，该型号电子产品的市场容量（即需求量）为1 000台，那么LX电子厂商占有40%的市场份额时的成本是否比LX电子厂商占有15%市场份额时的成本更具优势；（3）该型号电子产品的长期边际成本是多少；（4）该型号电子产品的成本会随着市场供给量的变动呈现怎样的变化趋势。
2.成本岁供求变化的数学模型构建。首先，根据上述经济问题，市场需求量为固定值1 000台的条件下，假设LX电子产品的长期总成本为TC，市场供给量为Q。其次，按照所设问题构建以下数学模型。
（1）根据题目可知，该型号电子产品的总成本与市场供给量之间存在这样的函数关系：TC=28 303 800+460 800Q。
（2）因为长期总成本TC=28 303 800+460 800S，市场需求量为固定值1 000台，所以，当LX电子厂商占有40%的市场份额时，所需要生产型号的电子产品数量、总成本、平均成本为：Q1=1 000×40%=400台，TC1=28 303 800+460 800×4 000=212 623 800元；AC1（平均成本）=TC1/400=531 559.5元；当LX电子厂商占有15%的市场份额时，所需要生产型号的电子产品数量、总成本、平均成本为：Q2=1 000×15%=150台，TC2=28 303 800+460 800×150=97 423 800元，AC2=TC2/150=649 492元；因为（AC2-AC1）/AC2=（649 492-531 559.5）/649 492≈18.16%，说明当LX电子厂商占有15%的市场份额时的平均生产成本要比占有15%的市场份额时的平均生产成本高出18.16%。所以相比之下，占有15%的市场份额时更具成本优势，当LX电子厂商供给量为400台时，成本最低。
（3）因为总成本TC=28 303 800+4 608 00S，所以，边际成本MC=（28 303 800+4 608 00S）的导数=28 303 800。
（4）因为总成本TC=28 303 800+4 608 00S，平均成本AC=
TC/Q=（28 303 800+460 800S）/Q=460 800+28 303 800/Q。所以，可以看出，该型号电子产品的平均成本随着供给量Q的增加而逐渐降低。但这并不表明产品成本会一直随着供给量（生产量）的增加始终保持递减趋势，当厂商一味地为降低成本而扩大生产时，就会因为产量即供给大于需求而出现资源浪费、导致成本随供给量的增加而升高。同时，当供给大于需求超过一定限度时，部分企业就会因为生产过剩，无法及时清理库存而遭受经济损失，直至退出市场，紧接着，新的企业进入市场，引起新一轮的供求变化，使市场需求曲线发生位移，从而产生新的均衡价格。如此往复，便形成了整个市场经济的循环运动。
二、供求关系的解释
供求关系是指在商品经济条件下，商品供给和需求之间的相互联系、相互制约的关系，它同时也是生产和消费之间的关系在市场上的反映。供求关系包括三种，第一，供不应求。是指一定时间内，市场上生产部门生产出的商品，也就是提供给人们消费的商品总额，小于（落后）人们在这段时间内满足物质资料生活所需要产品的总额。在这种情况下，需求大于供给，这时候市场就成了卖方市场，卖方处于有利的低位[3]。第二，供大于求。说的是一定时间内，市场上生产部门生产出的商品，也就是提供给人们消费的商品总额，大于（超出）人们在这段时间内满足物质资料生活所需要产品的总额。这使得供给大于需求，这时候市场成了买方市场，买方处于主动地位[4]。第三，供求均衡。是指在一定时间内，商品的供给与人们的需求达到了理想的对等状态，即供给刚好满足需求。这种平衡只是种趋势，只能是相Φ钠胶猓这需要在严格的假定条件下才能实现。在这种情况下，买方和卖方处于对等关系，双方的关系是相对和谐、稳定的。
在完全竞争市场条件下，供求是处于平衡状态的[5]。只是尽管在整个行业的供给和整个市场需求的共同作用下确定了市场均衡价格P0，但并不是所有的厂商都能够将生产成本保持在均衡价格之上的。也就是说，个别厂商的生产成本（SAC）可能等于、低于或高于市场价格（P），使厂商存在盈亏平衡、盈利或亏损的状态。下面，将就此现象探讨成本与供求的关系。
1.假设在完全竞争市场中，存在多家生产同一类型产品的厂商，已知：市场需求函数为QD=80 000-5 000P，供给函数为QS=35 000+2 500P。其中，代表性厂商的LAC曲线最低点是6元，产量为500件；当产量为550件时，市场SAC变为6元。试求：（1）市场均衡价格为？该行业的市场均衡情况如何？（2）目前市场中有三种不同成本的厂商，厂商A的生产成本为6元，厂商B的生产成本为5元，厂商C的生产成本为7元，试分析这三家厂商的经营情况。
2.问题解决。
（1）因为已知QD=80 000-5 000P，QS=35 000+2 500P，所以，令QD=QS，80 000-5 000P=35 000+2 500P，7 500P=45 000，P=6，此时市场均衡价格为6，等于LAC曲的最低点数值，所以该市场目前处于长期均衡状态。
（2）第一，厂商A：P=AR=SAC，成本随着产量的变化而保持平衡。
此时，厂商需求曲线与SAC曲线最低点相切，产量的增加对A厂商的生产成本不会产生附加作用，厂商可以在保持成本与产量的均衡条件下实现盈亏平衡。
第二，厂商B：P=AR>SAC，平均生产成本随着产量的增加而降低。
此时，该厂商已经处于盈利状态。随着厂商生产产品数量的不断增多，当产量与市场需求曲线相交，即实现最高产量Q1，即到达E点时，就能够获得超额利润（阴影部分）。
第三，厂商C：P=AR
此时，为了实现亏损的最小化，厂商会选择E作为决策点，即在既定市场价格条件下最多生产Q1件产品。而当厂商突破Q1，增加产量时就会因成本的增加而出现亏损，最大亏损额度为CBEP0的面积。
三、结语
综上所述，成本会随着供给及产量的变化而发生变化，同时，由于供给本身就受到需求变动的影响，所以，成本与需求也具有一定的关系。总而言之，成本会随供求发生变化。通过上述分析可以发现，在完全竞争的市场条件下，需求其实是确定的，所以成本与供求关系就可以转化为成本与供给或产量的关系。一方面，随着供给量的不断增加，产品的平均生产成本会呈现下降趋势，并在数额降低到一定程度时，由于市场的自动调节而出现成本随供给量增加而提高的现象。另一方面，在需求量一定的市场条件下，企业可以通过对供给量或生产量的合理规划来降低生产成本，进而获取更大的利润空间。
参考文献：
[1] 刘玉丽，姜玉秋，庞秀丽，等.成本随供求变化的数学经济模型分析[J].衡水学院学报，2015，（4）：4-5.
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[3] 牛尚.饲料成本与供求失衡导致猪价上涨[J].农业知识，2011，（8）：50.
数学建模基本模型范文2
一、数学建模与数学建模意识
所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。举个简单的例子，二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决。而通过对问题数学化，模型构建，求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。
由此，我们可以看到，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力关键是把实际问题抽象为数学问题，必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。
二、培养数学建模意识的基本途径。
1、必须从数学教材、教学本身结合高考导向来培养学生的数学建模意识，提高数学思维能力。虽然数学建模的目的是为了解决实际问题，但对于中学生来说，进行数学建模教学的主要目的并不是要他们去解决生产、生活中的实际问题，而是要培养他们的数学应用意识，掌握数学建模的方法，提高数学思维能力。首先我认为可以利用现行的数学教材，向学生介绍一些常用的、典型的基本数学模型，如函数模型、方程模型、不等式模型、数列模型、概率模型、几何模型、几何曲线模型等。可通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程。学习几何、三角的测量问题，使学生多方面全方位地感受数学建模思想，让学生认识更多现在数学模型，巩固数学建模思维过程。
2、应尽可能地注意与其它相关学科的关系。现代科学技术的发展，使数学广泛的渗透到了各个学科，促进了各学科的数学化趋势。
在建模教学中应重视选用数学与物理、化学、生物、美学等学科知识相结合的跨学科问题和大量与日常生活相联系(如投资买卖、银行储蓄、优化、测量等方面)的数学问题，从其它学科中选择应用题，通过构建模型，培养学生应用数学工具解决该学科难题的能力。我们在教学中注意数学与其它学科的呼应，不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的重要途径。
3 、把构建数学建模意识与培养学生创造性思维过程统一起来。培养创造性思维能力，主要应培养学生灵活运用基本理论解决实际问题的能力。因此在数学教学中培养学生的建模意识实质上是培养、发展学生的创造性思维能力，因为建模活动本身就是一项创造性的思维活动，它既具有一定的理论性又具有较大的实践性，还要求思维的深刻性和灵活性，而且在建模活动过程中，能培养学生独立，自觉地运用所给问题的条件，寻求解决问题的最佳方法和途径，可以培养学生的想象能力，直觉思维、猜测、转换、构造等能力。而这些数学能力正是创造性思维所具有的最基本的特征。
通过数学建模教学，使学生有独到的见解和与众不同的思考方法，如善于发现问题，沟通各类知识之间的内在联系等是培养学生创新思维的核心。
三、 把构建数学建模意识与培养学生创造性思维过程统一起来。
在诸多的思维活动中，创新思维是最高层次的思维活动，是开拓性、创造性人才所必须具备的能力。我认为培养学生创造性思维的过程有三点基本要求。第一，对周围的事物要有积极的态度；第二，要敢于提出问题；第三，善于联想，善于理论联系实际。因此在数学教学中构建学生的建模意识实质上是培养学生的创造性思维能力，因为建模活动本身就是一项创造性的思维活动。它既具有一定的理论性又具有较大的实践性；既要求思维的数量，还要求思维的深刻性和灵活性，而且在建模活动过程中，能培养学生独立，自觉地运用所给问题的条件，寻求解决问题的最佳方法和途径，可以培养学生的想象能力，直觉思维、猜测、转换、构造等能力。而这些数学能力正是创造性思维所具有的最基本的特征。
数学建模基本模型范文3
【关键词】高校数学建模教学方法
随着经济社会的发展和进步，数学已成为支撑高新技术快速发展和广泛应用的基础学科。由于社会各生产部门均需借助于数学建模思想和方法，用以解决实际问题。因此，高校在数学建模教学过程中，必须注重将实际问题和建模思路加以有效结合，完善数学建模教学思路，创新教学方法，以培养学生的综合能力，为社会源源不断地输送优秀实践性人才。
1、数学建模的内容及意义
数学建模，指的是针对特定系统或实践问题，出于某一特定目标，对特定系统及问题加以简化和假设，借助于有效的数学工具，构建适当的数学结构，用以对待定实践状态加以合理解释，或可以为处理对象提供最优控制决策。简而言之，数学建模，是采用数学思想与方法，构建数学模型，用以解决实践问题的过程。数学建模，旨在锻炼学生的能力，数学建模就是一个实验，实验目标是为了使学生在分析和解决问题的过程中，逐步掌握数学知识，能够灵活运用数学建模思想和方法，对实际问题加以解决，并能够将其用于日后工作及实际生活中。数学建模特点如下：抽象性、概括性强，需善于抓住问题实质；应用广泛性，在各行各业均有广泛应用；综合性，要求应具备与实际问题有关的各学科知识背景。数学建模不仅需要培养学生扎实的数学基础，还要求培养学生对数学建模的兴趣，积淀各领域学科知识，培养学生的综合能力，包括发现问题、解决问题的能力，计算机应用及数据处理能力，良好的文字表达能力，优秀的团队合作能力，信息收集与处理能力，自主学习能力等。由此可见，数学建模对于优化学生学科知识结构，培养学生的综合能力具有重要的促进作用。
2、完善高校数学建模教学方法的必要性
作为多学科研究工作常用基本方法，数学建模是实际生产生活中数学思想与方法的重要应用形式之一。上文已经提到，数学建模过程中，多数问题并没有统一答案和固定解决方法，必须充分调动学生的创造能力及分析解决问题能力，构建数学模型来解决问题，这要求高校数学建模教学过程中，必须注重培养学生的创新意识与能力。但是，当前我国多数高校数学建模教学过程中所采用的教学手段落后，教学改革意识薄弱，教学方法单一，缺少多样性。数学建模教学中，教师多对理论方法加以介绍，而且重点放在讲解与点评方面，学生独立完成建模报告的情况较少，如此落后的教学方法，导致高校数学建模教学实效性差，难以充分发掘和培养学生的创新意识和创造能力。为此，有必要加快创新和完善高校数学建模教学方法，积极探索综合创新型人才培养模式。
3、创新高校数学建模教学方法的策略
3.1科学选题
数学建模教学效果好坏，很大程度上依赖于选题的科学与否，当前，可供选择的教材有许多，选择过程中教师必须考虑到教学计划、学生水平及教材难易程度。具体而言，在高校数学建模教学选题时，必须遵循如下原则：1）价值性原则。即所选题目应具有足够的研究价值，能够对实际生活中的现象或问题进行解释，包括开放性、探索性问题等；2）问题为中心的原则。是指建模教学中应注重培养学生发现问题、分析问题、构建模型解决问题的能力，在选择题目时，必须坚持这一原则，将问题作为中心，组织大家开展探究性活动；3）可行性原则。要求所选题目必须源自于生活实际，满足学生现有认知水平及研究能力，经学生努力能够加以解决，可以充分调动学生的研究积极性；4）趣味性原则。所选题目应为学生感兴趣的热点问题，能够调动学生的建模兴趣，同时切忌涉及过多不合实际的复杂课题，考虑到学生的认知水平，确保学生研究过程能够保持足够的积极性。
3.2多层面联合
在数学建模教学过程中，应注重建模方法的各个层面，做到多层面联合。一方面，应着重突出建模步骤。对不同步骤的特点、意义及作用，以及不同步骤之间的协作机制及所需注意的问题进行阐述，并从建模方法层面上，对情境加以创设、对问题进行理解、做出相应的假设、构建数学模型、对模型加以求解、解释和评价。在各步骤教学过程中，必须围绕着同一个建模问题展开，着重对问题的背景进行分析、对已知条件进行考察，对模型构建过程加以引导和讨论，力图对不同步骤思维方法加以展现，使学生能够正确地理解各步骤及相互间的作用方式，便于学生整体把握建模方法与思路，以更好地解决实际问题，为学生构建模型提供依据和指导。另一方面，必须注重广普性建模方法的应用，包括平衡原理方法，类比法，关系、图形、数据及理论等分析方法。同时，善于利用数学分支建模法，包括极限、微积分、微分方程、概率、统计、线性规划、图论、层次分析、模糊数学、合作对策等建模方法。在针对各层面建模方法进行教学的过程中，应将各层面分化为具体的建模方法，选择对应的实际问题加以训练，实现融会贯通，必要时可构建“方法图”，从整体层面研究各建模方法、步骤及其同其他学科方法间存在的多重联系，从而逐步形成立体化的数学建模方法结构体系。
3.3整合模式
所谓的“整合”，即关注系统整体的协调性，充分发挥整体优势。数学建模整合模式指的是加强大学各年级的知识整合，对其相互间的连续性与衔接性加以探索，以便提高数学建模教学实效性。在模式整合过程中，必须重点关注核心课程、活动及潜在课程的整合，其中，核心课程包括微积分、数学模型、数学实验等课程；潜在课程主要指的是单科或多科选修课；建模活动，指的是诸如大学生建模竞赛、CUMCM集训、数学应用竞赛、社会实践活动等。与之所对应的建模教学结构，包括如下模块：应用数学初步、建模基础知识、建模基本方法、建模特殊方法、建模软件、特殊建模软件、经济管理等学科数学模型、机电工程数学模型、生物化学数学模型、金融数学模型、物理数学模型及综合类数学模型等。本文提出“三阶段”数学建模教学模式：第一阶段，针对的是大一到大二年级的学生，该阶段旨在培养其应用意识，使其掌握简单的应用能力。教学结构包括应用数学初步、建模入门、软件入门、高数、线性代数案例及小实验。第二阶段，面向的是大二到大三年级的学生，该阶段用以培养学生的建模及应用能力。教学结构主要包括建模基础知识、建模基本方法、建模软件，以及经济管理学科数学模型，或机电工程数学模型、生物化学数学模型、金融数学模型、物理数学模型。通过开设建模课程、群组选修建模课程、讲座、CUMCM活动等教学模式开展；第三阶段，面向的是大三到大四年级的学生，用以培养学生综合研究意识及应用能力。教学结构包括建模特殊方法、特殊建模软件、综合类数学模型等模块。通过CUMCM集训、毕业论文设计及相关校园文化活动与社会实践活动开展。
3.4分层进行
数学建模教学应分层进行，根据学生掌握、运用及深化情况，分别以模仿、转换、构建为主线来进行。
3.4.1模仿阶段。
在建模教学中，培养学生的建模模仿能力必不可少。在这一阶段的教学过程中，应着重要求学生对别人已构建模型及建模思路进行研究，研究别人所构建模型属于被动性的活动，和自我探索构建模型完全不同，因此，在研究过程中，应侧重于对模型如何引入和运用加以分析，如何利用现有方法从已知模型中将答案导出。在建模教学过程中，这一阶段的训练很重要。
3.4.2转换阶段。
指的是将原模型准确提炼、转换到另一个领域，或将具体模型转换为综合性的抽象模型。对于各种各样的数学问题而言，其实质就是多种数学模型的组合、更新与转换。因此，在教学过程中，应注重培养学生的模型转换能力。
3.4.3构建阶段。
在对实际问题进行处理时，基于某种需求，需要将问题中的条件及关系采用数学模型形式进行构建，或将相互关系通过某一模型加以实现，或将已知条件进行适当简化、取舍，经组合构建为新的模型等，再通过所学知识及方法加以解决。模型构建过程属于高级思维活动，并没有统一固定的模式和方法，需要充分调动学生的逻辑、非逻辑思维，还要采用机理、测试等分析方法，经分析、综合、抽象、概括、比较、类比、系统、具体，想象、猜测等过程，锻炼学生的数学建模能力。因此，在教学中除了需要加增强学生逻辑及非逻辑思维能力的培养以外，还应注重全面及广泛性，尽量掌握更多的科学及工程技术知识，在处理实际问题时，能够灵活辨识系统、准确分析机理，构建模型加以解决。
4、结束语
总而言之，数学建模是联系数学与生产生活实践的重要枢纽。在高校数学建模教学中，必须注重确立学生的教学主体地位，关注学生需求及兴趣，积极完善教学方法，深入挖掘学生的创造潜能。为了切实提高学生分析和解决问题的能力，必须引导学生大胆探索和研究，鼓励大家充分讨论和沟通，使其知识火花不断碰撞，求知欲望逐步提高，创新能力进一步增强。
参考文献：
[1]杨启帆,谈之奕.通过数学建模教学培养创新人才———浙江大学数学建模方法与实践教学取得明显人才培养效益[J].中国高教研究,2011,12(11):84-85+93.
[2]王宏艳,杨玉敏.数学教育在经济领域人才培养中的作用———经济类高校数学课程教学改革的思考与探索[J].河北软件职业技术学院学报,2012,02:38-40.
[3]胡桂武,邱德华.财经类院校数学建模教学创新与实践[J]衡阳师范学院学报,2010,6(6):116-119.
数学建模基本模型范文4
关键词： 数学建模 线性代数数学 思想渗透
1.引言
线性代数是理工科各专业数学教学的主要课程之一[1]，教学主要是偏重自身的理论体系，强调其基本定义、定理及其证明，其教学特点是：概念多，符号多，运算法则多，容易混淆，内容上具有较高的抽象性、逻辑性.通过线性代数的学习可以培养学生的推理能力和逻辑思维能力.传统教学中基本采用重概念，重计算的思路方法，这样教学的结果只是让学生感觉到学习线性代数的抽象性、逻辑性，并没有体现出它的实用性，从而造成了学生学习线性代数的障碍和困难，以致学生毕业后不懂得如何运用学过的数学知识解决实际问题.因此线性代数教学的效果直接影响学生在实践中对数学的应用能力.本文结合线性代数课程内容的特点与教学实践，探讨了如何在线性代数教学中渗透数学建模的思想，丰富课堂教学的内涵，有效提高课堂教学质量.
2.数学建模的本质
数学建模就是运用数学的语言和方法建立数学模型[2].而数学模型是根据现实世界某一现象特有的内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一种抽象简化的数学结构.这些结构可以是方程、公式，算法、表格、图示，等等.如何在线性代数教学中渗透数学建模思想，对于培养学生学习线性代数的兴趣，提高学生的思维创新能力有重要作用.
数学建模是利用数学工具解决实际问题的动态过程，这就特别体现了“用数学”的思想.自20世纪80年代以来，数学建模教学开始进入我国大学课堂，至今绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效途径.从1992年起，由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，二十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展.每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛.2013年，来自全国33个省/市/自治区（包括香港和澳门特区）及新加坡、印度和马来西亚的1326所院校、23339个队（其中本科组19892队、专科组3447队）、70000多名大学生报名参加本项竞赛.全国大学生数学建模竞赛已经成为社会和学界普遍关注的一项大学生课外科技活动.
3.数学建模思想的渗透
（1）在定义教学中渗透数学建模思想
线性代数中的基本定义都是从实际问题中抽象概括得出的，因此在讲授线性代数定义时，可借助定义产生的历史背景进行剖析.通过问题的提出、分析、归纳和总结过程的引入，使学生感受到由实际问题背景转化为数学定义的方式和方法，逐步培养学生的数学建模思想.例如：在讲述行列式定义时，可以模拟法国数学家Cauchy求解空间多面体模型体积的过程，从平行四边形面积和空间六面体体积出发，得到2阶和3阶行列式的基本公式，从而引发学生对高阶行列式公式推导的兴趣[3].在矩阵定义的引入时，可以从我国古代公元一世纪的《九章算术》说起，其第八章“方程”就提出了一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致.这是世界上最早的完整的线性方程组的解法.与线性代数中Cramer法则完全相同.公元四世纪的《孙子算经》建立了“鸡兔同笼”模型，实际上就是矩阵在线性方程组中的应用.这会极大地提高学生兴趣，形成爱国情怀.有了实际应用背景，学生的学习目的更明确.
（2）在例题教学中渗透数学建模思想
教材中的例题就是最简单的数学建模问题.因此，在讲授理论知识的同时，要选择一些现实问题引导学生进行分析，通过适当的简化和合理的假设，建立简单的数学模型并进行求解，解释现实问题.这样既让学生了解了数学建模的基本思想，又让学生体会了线性代数在解决现实问题中的重要作用，提高了学生分析问题和解决问题的能力.
例：假定某地人口总数保持不变，每年有5%的农村人口流入城镇，有1%的城镇人口流入农村.问该地的城镇人口与农村人口的分布最终是否会趋于一个“稳定状态”.
对于不同的专业，可以有所侧重地补充不同类型的模型，例如：在线性方程组教学时，对于数学专业的学生，可以加入不定方程组类的模型；在线性变换教学时，对于信息专业的学生，可以加入关于计算机图形处理模型；在矩阵教学时，对于土木专业的学生，可以加入弹性钢梁受力形变模型等.
（3）在数学建模的过程中领悟线性代数的理论
利用课余时间，进行数学建模培训，在建模过程中，不断加深和巩固课堂教学内容.例如：交通流模型、人口增长模型、保险模型、传染病模型等[4].在建模时会应用到行列式、矩阵、特征向量等知识的应用.某种意义上，数学建模就是一个小型的科研活动，通过此项活动培养学生应用所学知识解决具体问题的能力.
4.结语
在线性代数教学中融入数学建模思想，在数学建模过程中充分应用线性代数的理论[5]，不仅可以深化教学改革[6]，激发学生学习线性代数的兴趣，使学生了解数学知识在实际生活中的应用，还能提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，为后续课程的学习打下坚实的基础，真正做到“学以致用”.这对大学数学的教学改革和课程建设都将起到积极的推动作用.
参考文献：
[1]陈凤娟.线性代数的教学研究[J].高师理科学刊，2012，32（1）：74-76.
[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3]DavidcL.线性代数及其应用[M].沈复兴，译.北京：人民邮电出版社，2007.
[4]马知恩，周一仓，王稳地，靳祯.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京：科学出版社，2004.
数学建模基本模型范文5
关键词：数学建模；概率模型；数学教育
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）51-0178-02
一、概率理论与数学建模
随着数学教育的发展，通过数学建模的教学实践，可以看到作为数学知识与数学应用桥梁的数学建模活动，对培养学生从实际中发现问题、归结问题、建立数学模型、使用计算机和数学软件解决实际问题的能力，起到了其他数学课程无法替代的作用；对于培养学生的独立思考和表述数学问题和解法的能力，有其独到之处.国际数学教育界对数学建模教学的共识和重视的程度也随之提高，数学建模是指根据具体问题，在一定假设下找出解这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程.数学模型从影响实际问题的因素是确定性还是随机性的角度上可以分为确定性的数学模型和随机性的数学模型.如果影响建模的主要因素是确定的，并且其中的随机因素可以忽略，或是随机因素的影响可以简单地表现为平均作用，那么所建立的模型应当是确定的数学模型；相反地，如果随机因素对实际问题的影响是主要的，不能忽略，并且在建模过程中必须考虑到，此时，建立的模型应是随机性数学模型.本文主要讨论了简单的随机问题中的概率模型，通过举例说明概率基本知识在数学建模中的应用.建立概率模型的过程主要有如下特点：
1.随机性.随机性体现在整个概率模型的建立中，由于随机因素对实际问题的影响不能忽略，在建模初期的模型分析与模型假设中必须考虑到随机性的影响，在模型建立环节也会用到分析随机问题的思想.
2.基础性.在概率模型中，用到的概率知识基本上是期望、方差、概率分布等基本知识，所以对这些基础知识的全面掌握是建立概率模型的关键.
3.启发性.在概率模型中，如何全面地考虑建模中的不确定因素具有探索性与启发性，而且对这些随机因素的考虑可以激发学生的学习兴趣与创造能力.
4.可转化性.有很多确定性模型在考虑了随机性的影响后，都可以转化成相应的随机性模型.
二、概率基础知识在数学建模中的应用
客观世界中，事物的产生、发展变化往往具有随机性，它的特点是条件不能完全确定结果.例如某地区的降雨量、某流水生产线上的次品数、某商场一天中顾客的流量，某射手在射击中命中靶心的次数，等等.这就要求学生在分析和求解模型中运用随机性的思想.在此情况下，概率知识在模型中的应用也就成为必然，而且概率知识的引入也能极大地丰富了数学建模活动中数学方法的使用.
从概率模型的特点可以看出，有很多确定性的模型，当考虑了其中随机因素的影响之后，它们都可以转化成概率模型来求解.例如，人口模型中的指数增长模型和阻滞模型，在给定了生育率、死亡率和初始人口等数据基础上预测了未来人口，但事实上人口的出生与死亡是随机的，当考虑到这一点时，我们所建立的应当是随机人口模型；再如确定性存贮模型可以转化为随机存贮模型等.
为了更好地将概率知识应用到数学建模中，我们应当做到以下几点：（1）熟练地掌握概率的基本知识；（2）全面地理解所研究的实际问题；（3）充分地考虑到实际问题中的随机性影响，并在建立模型过程中体现出随机性；（4）对所建立的模型能作出准确地检验.下面举例说明.
案例1 机票预售问题.
航空公司采用超额预订机票的对策来应付某些旅客可能不能按时乘机的情况，以增加航空公司的收入.但预订机票数超出座位数太多，不仅影响航空公司的信誉，而且损失过多的付给旅客的补贴.因此存在一个适度超额预订机票的问题.
我们首先通过分析、假设，来简化、明确问题：设f表示某航班飞行一次的固定费用，包括燃料费和维护费、机组人员的工资和报酬，以及租用机场的设施等费用.以N记飞机的座位数，以g记每位旅客所付机票费.设一个已订票的旅客按时到达机场的概率为p，设航空公司已订出的机票数为m，在已订机票的m人中有k人未能按时到达机场的概率为pk，则pk=C（1-p）kpm-k. （1）
下面计算一次飞行的利润S.
（i）如果飞机满座，且订票数恰好等机的座位数，即m=N，那么S=Ng-f.
（ii）如果实际订票数大机的座位数，即m>N，而且m人中有k人未按时到达，在不考虑补偿已定票而未能乘上飞机的旅客的情况下，一次飞行的利润为：S（m-k）g-f，若m-k≤NNg-f，若m-k>N
由于“m人中有k人未按时到达”是随机事件，其概率可由（1）表示，于是一次飞行的平均利润应该用S的数学期望表示，记作，因此我们有：
为了获得最大利润，从（2）式可看出：唯一的办法是减小一切0≤j≤N时Pj+m-N之值，使它尽可能接近零.由二项式分布性质可知，当m增大时Pj+m-N减小，因此增大可增加利润.
但是，增大m会导致过多预订了票的旅客乘不上飞机的情况发生.因此航空公司对超额预订机票应采取一定的补救措施，如支付给这些旅客一定的补贴以消除影响.
（iii）如果实际订票数大机的座位数，即m>N，而m人中有k人未按时到达，在考虑给每一位已订票而未能乘上飞机的旅客补偿费b的情况下，航班飞行的利润公式应改为S（m-k）g-f，若m-k≤NNg-f-（m-k-N）b，若m-k>N
于是一次飞行的平均利润即S的期望利润为
由上式可以看到期望利润与g、b、f、N、m、p诸因子有关.如果固定其他因子不变，仅考虑求m使得S达到最大，这就是航空公司希望解决的问题.
上面所举的例子是概率模型中常见的素材，其中概率的思想和方法都体现在了建模过程中，因此概率知识在数学建模中的应用极大地丰富了建模方法，推动了数学建模的发展.
在教育向素质教育全面发展的过程中，要求学生不但要掌握知识，同时还要学会应用知识，数学建模毫无疑问是应用知识的一种很好的方式.所以在教学过程中应当注重知识的应用性，以促进学生的全面发展.
参考文献：
[1]袁震东，等.数学建模[M].第3版.上海：华东师范大学出版社，1997.
[2]袁震东，等.数学建模方法[M].上海：华东师范大学出版社，2003.
[3]李大潜，等.中国大学生数学建模竞赛[M].北京：高等教育出版社，1998.
数学建模基本模型范文6
1. 评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别，
数模答卷，是唯一依据。
2. 答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。
3. 写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练。
二、答卷的基本内容，需要重视的问题
1. 评阅原则：假设的合理性，
建模的创造性，
结果的合理性，
表述的清晰程度。
2. 答卷的文章结构
a. 摘要
b. 问题的叙述，问题的分析，背景的分析等，略
c. 模型的假设，符号说明（表）
d. 模型的建立（问题分析，公式推导，基本模型，最终或简化模型 等）
3． 模型的求解
计算方法设计或选择；算法设计或选择， 算法思想依据，步骤及实现，计算框图；所采用的软件名称；
引用或建立必要的命题和定理；
求解方案及流程
4．结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验……
5．模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广…….
6．
7．附录
计算框图
详细图表
8. 要重视的问题
摘要，包括：
a. 模型的数学归类（在数学上属于什么类型）
b. 建模的思想（思路）
c . 算法思想（求解思路）
d. 建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验…….）
e. 主要结果（数值结果，结论）（回答题目所问的全部“问题”）
表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法、字体工整漂亮；打印最好，但要求符合文章格式。务必认真校对。
1．问题重述。略
2．模型假设
跟据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。
（1）根据题目中条件作出假设
（2）根据题目中要求作出假设
关键性假设不能缺；假设要切合题意
3．模型的建立
A. 基本模型：
a. 首先要有数学模型：数学公式、方案等
b.基本模型，要求 完整，正确，简明
B. 简化模型
a. 要明确说明：简化思想，依据
b. 简化后模型，尽可能完整给出
C. 模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。
面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上：高（级）、深（刻）、难（度大）。
A. 能用初等方法解决的、就不用高级方法，
B. 能用简单方法解决的，就不用复杂方法，
C. 能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。
D. 鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异数模创新可出现在
建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等，
模型求解中
结果表示、分析、检验，模型检验
推广部分
F. 在问题分析推导过程中，需要注意的问题：
u 分析：中肯、确切
u 术语：专业、内行；；
u 原理、依据：正确、明确,
u 表述：简明，关键步骤要列出
u 忌：外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。
4．模型求解
（1） 需要建立数学命题时：
命题叙述要符合命题的表述规范，尽可能论证严密。
（2） 需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。
若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称
（3） 计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出。
（4） 设法算出合理的数值结果。
5．结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示
（1） 最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 ；
（2） 对数值结果或模拟结果进行必要的检验。
结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因， 对算法、计算方法、或模型进行修正、改进；
（3） 题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；
（4） 列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；
（5） 结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析
数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式
求解方案，用图示更好
（6） 必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确。
6．模型评价
优点突出，缺点不回避。改变原题要求，重新建模可在此做。推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语。
7．参考文献
8．附录
详细的结果，详细的数据表格，可在此列出。但不要错，错的宁可不列。主要结果数据，应在正文中列出，不怕重复。 检查答卷的主要三点，把三关：
n 模型的正确性、合理性、创新性
n 结果的正确性、合理性
n 文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩
三、对分工执笔的同学的要求
四．关于写答卷前的思考和工作规划
答卷需要回答哪几个问题――建模需要解决哪几个问题
问题以怎样的方式回答――结果以怎样的形式表示
每个问题要列出哪些关键数据――建模要计算哪些关键数据
每个量，列出一组还是多组数――要计算一组还是多组数……
五．答卷要求的原理
u 准确――科学性
u 条理――逻辑性
u 简洁――数学美
u 创新――研究、应用目标之一，人才培养需要
u 实用――建模。实际问题要求。
建模理念：
1. 应用意识：要解决实际问题，结果、结论要符合实际；模型、方法、结果要易于理解，便于实际应用；站在应用者的立场上想问题，处理问题。
