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初中数学动点与最值问题范文1
关键词：初中数学；最值问题；生活数学
最值的使用在生活中有很多，比如求两个点之间的最短距离或者两线段和的最小，还有我们平常生活中的利润最大、成本最小等最优方案的问题。这些问题都可以转化成数学问题，然后用数学的方法去解决。下面我们先来看看有关于线段的最值问题：
一、有关线段和的最值问题
有关距离的最值问题有一个简单的问题原型。比如说要在公路上建一个公交车站，在公路旁有两个村子A与B，问车站建在公路上的哪个位置才能使A、B两村去车站的路程最短？这种“确定最短路线”的问题就是最经典的求最值问题。在这里，这个问题有两种情形，第一是两个村子在公路的不同侧，这就转化成了点与点之间的最短距离，也就是两点间的连线。第二是两个村子在公路的同一侧（如图1），那么这就是一个利用轴对称解决极值的经典问题，而解决这个问题的基本方法就是对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置（如图2），计算线路最短长度。此时，这个问题的模型又变成第一种情况，两个村子在公路的不同侧了。
由上面这个简单的例子我们可以归纳出求线段和最小的一般方法：通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长（如图3）。下面我们来看一道这种类型的变式题：
恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路X垂直，如图4建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于两高速公路同侧，AB=50km，A到直线X的距离为10km，B到直线X和Y的距离分别为40km和30km。请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。
分析：这道题目所涉及的四边形的周长的最小值，包括四条线段的和，看起来会比较麻烦，不知道该怎么下手，其实求四边形的周长的最小值，可以把周长分成四部分，先分析其中的两段或三段，把问题拆解成类似原型题目这样的简单问题，再做进一步的分析。比如，可以先看BQ和QP这两段的和的最小值，单独看这两段的话，就变得很简单了，只要根据求两条线段的和的一般方法，就可以解出。同样的方法再分析QP和PA，然后把几条线段综合起来看，这道题就不难解决了。
解析：作点A关于X轴的对称点A′，点B关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，AP+PQ+BQ=A′P+PQ+QB′≥A′B′。当P、Q在线段A′B′上时，AP+BQ+PQ=A′B′最小。
过A′、B′分别作X轴、Y轴的平行线交于C。在RrA′CB′中，A′C=100，B′C=50，交X轴于P，交Y轴于Q。
A′B′==50，而AB=50
四边形APQB的周长最小值为：AB+A′B′=50（+1）
总结：有关线段和的最值问题是实际生活中常遇到的问题，解决这类问题的方法就是从最简单的问题原型出发，抓住解决问题的关键，把不在同一直线上的线段转化到同一条直线上。求多条线段的和的最小值就是要先把问题化成几个小问题，把每个小问题解决，就能从整体上理清思路，解决整个问题。
二、有关函数的最值问题
有关函数的最值问题是中考常考的一种题型，也是生活中常用来解决实际问题的一种数学方法。下面我们来看这样一个例子：某蒜薹生产基地收获蒜薹200，下表是按批发、零售、冷库储藏后销售三种方式每吨的平均售价及成本价：
若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出获得的总利润为y（元），蒜薹零售x（吨），且零售量是批发量的。（1）求y与x之间的函数关系式。（2）由于受条件限制，经冷库储藏售出的蒜薹最多80吨，求该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润。
解析：（1）设零售量为x，则批发量为3x，储藏后销售量为200-4x，
则y=（3000-700）3x+（4500-1000）x+（5500-1200）（200-4x）
y=-6800x+860000
（2）根据题意得：200-4x≤80，则x≥30
y=-6800x+860000在x范围内单调递减
x=30时，y取得最大值
y=860000-6800×30=656000
也就是求得当零售量为30吨的时候，售完全部蒜薹可获得最大利润656000元。
总结：除了一次函数以外，二次函数也是求最值的重要方法。这种方法用于生活中的很多问题。学习数学就是为了把数学知识运用到生活中，帮助我们解决生活中的问题。因此，我们在学习数学的时候一定要多联系实际，数学和生活并不是两个独立存在的，而是一个紧密联系的结合体。数学的学习能使生活中的问题得到解决，而生活中的问题又是数学知识的原型，是发展数学的重要动力。
最值问题是生活中常遇到的问题，通过数学建模来解决实际问题是数学知识用于实际的重要体现，这也正说明了数学知识的生活实用性，学习数学能为我们将来创造美好的生活发挥应有的作用。
参考文献：
1.傅彪.关于折线段最小值问题的探究.中学数学初中版，2012，8.
2.赵秀琴.初中数学最值问题的解法.考试周刊，2012，44.
初中数学动点与最值问题范文2
关键词：构造函数；利用几何性质 ；确定范围
最值型问题，即求有关量的最大值或最小值，是初中数学的常见题型，是中考及数学竞赛中的必考题型。它主要考查学生对平时所学知识的综合应用，无论在代数还是几何中都会出现最值问题，综合起来，常见的最值问题主要有以下几种解法：
一、利用函数思想，构造函数解题，主要用于解决一些成本最小、利润最大的经济问题及方案设计、运动变化等问题
用运动变化的观点研究客观世界中变量之间的相互关系和内在规律，将其用函数的形式表示出来，并通过对具体函数的分析解决问题的思想称之为函数思想。 构造函数解题时，要注意从文字叙述、图形、图像、表格中，分析数量之间的变化规律，获取变量之间的信息，建立函数关系式，从而借助于函数图像及其性质解决相关问题同。
1.构造一次函数
例1.（2010珠海中考）今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多年不遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩。现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩。
（1）设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数量为y台。
①用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量；
②求出y与x的函数关系式；
（2）已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W最少？
分析：此题中发电机总费用随发电机数量的变化而变化，故可构造W与x之间的函数来解决。
解析 （1）①丙种柴油发电机的数量为10-x-y
② 4x+3y+2（10-x-y）=32 y=12-2x
（2）丙种柴油发电机为10-x-y=（x-2）台
W=130x+120（12-2x）+100（x-2）
=-10x+1240
依题意解不等式组
二、应用几何性质解题
主要有：
1、三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
2、两点之间，线段最短；
3、连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
相关知识：A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。
取点A关于直线L的对称点A’，则AP’= AP，在A’BP中A’P’+B’P’>A’B，当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’=A’B，所以这时PA+PB最小。
例3.在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为_______.
解析 利用两点之间线段最短来解决，求EF+BF最短就要想法把这两条线段转化在一条直线上，由于菱形对角连线两边对称，所以AB中点E和AD中点M关于线段AC对称，即MF=EF
连接BM交AC于点F，线段MB即为MF+FB的最小值， 因此EF+FB=MF+FB=MB，
参考文献
[1] 义务教育课程标准实验教科书（华师版七、八、九年级数学）
[2] 《2009年浙江省丽水初中毕业生学业考试数学试卷》
初中数学动点与最值问题范文3
一、利用图形的变换
例1 （2006年河南中考题）如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是.
解析：如图2，以AB所在的直线将ABC翻折得ABF.
又因为AC=BC，∠ACB=90°，
所以四边形ACBF是正方形.
连结DF交AB于E′，连结CE′.
因为点C、点F关于AB对称，
所以CE′=FE′.
又因为两点之间线段最短，所以线段FD的长即为EC+ED的最小值.
此时，FD=BD2+BF2
=12+22=5.
评注：此类问题的解法是利用图形的轴对称变换，把两条线段和的问题转化为求某一条线段的长度问题，从而使问题获解.
二、利用图形中的不变量
例2 （2001年山东省初中数学竞赛题）如图3，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边APC和等边BPD，则线段CD的长度的最小值是（ ）
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 5（5-1）
解析：如图4，过C作CEAP于E，过D作DFPB于F，过D作DGCE于G.
显然DG=EF=12AB=5，CD≥DG.当P为AB中点时，有CD=DG=5，所以CD长度的最小值为5，故选（B）.
评注：本题利用了图形中的不变量DG=EF=12AB=5，又因CD≥DG，于是问题获解.
三、利用基本不等式
例3 （2002年天津中考题）已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若SAOB=4，SCOD=9，则四边形ABCD的面积S的最小值为（ ）
（A） 21 （B） 25 （C） 26 （D） 36
解析：如图5，设SAOD=x，SBOC=y，则
S=13+x+y.
由同高的两个三角形面积之比等于对应底边之比，得
SAOD∶SAOB=SCOD∶SBOC，
所以 x∶4=9∶y，
所以 xy=36，
所以 S=x+y+13
≥2xy+13
=25.
所以S的最小值为25，故选（B）.
评注：此类问题通过挖掘题中的隐含条件，利用 a+b≥2ab（a≥0，b≥0）这个基本不等式，求出其最小值.
四、利用根的判别式
例4 （2000年山东省初中数学竞赛题）已知矩形A的边长分别为 a 和 b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于 k，求 k 的最小值.
解析：设矩形B的边长分别为 x、y，据题意得：
x+y=k（a+b），xy=kab.
所以 x、y 可看作一元二次方程 m2-k（a+b）m+kab=0的两个实数根.
则Δ=k2（a+b）2-4kab≥0.
因为 k＞0，
所以 k（a+b）2-4ab≥0，
所以 k≥4ab（a+b）2.
又因为 k（a+b）＞0，kab＞0，
所以 x＞0，y＞0，
所以 k 的最小值为4ab（a+b）2.
评注：解决此类题的一般思路是，由题设找出图形中两线段之和与积的关系，构造出一元二次方程，再结合判别式求出最值.
五、利用函数性质
例5 （2007年南充市中考题）如图6，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°，点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动.
（1）设ND的长为 x，用 x 表示出点N到AB的距离，并写出 x 的取值范围；
（2）当五边形BCDNM的面积最小时，请判断AMN的形状.
解：（1）如图7，过点N作NPBA，交BA的延长线于P.
由已知得：
AM=ND=x，AN=20-x.
因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠C=30°，
所以∠D=∠C，∠PAN=∠D，
所以∠PAN=30°.
在RtAPN中，PN=12（20-x）.
即点N到AB的距离为12（20-x）.
因为点N在AD上，AD=20，
所以0≤x≤20.
又点M在AB上，AD=15，
所以0≤x≤15，
所以 x 的取值范围是0≤x≤15.
（2）据（1）得：SAMN=12AM・NP
=14x（20-x）
=-14x2+5x.
所以当 x=-52×（-14）=10时，
SAMN有最大值.
又因为S五边形BCDNM=S梯形ABCD-SAMN，且S梯形ABCD为定值.
所以当 x=10时，S五边形BCDNM有最小值.
当 x=10时，有ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN.
所以当五边形BCDNM的面积最小时，AMN为等腰三角形.
评注：由上例可看出，此类问题的一般解法是，建立几何量之间的函数关系，将几何最值问题转化为二次函数的最值问题，充分体现了转化的数学思想.
初中数学动点与最值问题范文4
一、创设情境,设疑激趣,把握导入契机
心理学研究表明:精彩的课堂开头,往往给学生带来新奇感,不仅能使学生的思维迅速地由抑制到兴奋,而且还会使学生把学习当成一种自我需要,自然地进入学习新知识的情境中,初中数学课引入方法很多,可通过实验开路,故事引入,悬念导入等。如教“分母有理化”一节时,教师上课后,板书一道题:“计算 1∕√2(精确到0.01)”。指定两位同学用两种不同方法板演。一个先把分子、分母同乘√2,很快算出结果。另一个直接用1被√2的近似值1.414除,列草式,算得很繁。两生做完后,教师问学生:哪种方法更简便?学生一致肯定了前一种解法,从而自然地引入了分母有理化这一课题。再如:讲“坐标的互化”,先举例比喻各国度量衡制不统一,我们不仅要掌握市制,而且要学会公制,并且能够将它们互化。接着转入主题:直角坐标系,极坐标系,在建立函数和图像的对应关系时,各有优点,但有时需要将一种坐标系下的方程转化为另一种坐标系下的方程。这就是我们要学习“直角坐标与极坐标互化”的原因。这样引入课题并不费力,目的明确,使学生产生强烈的求知欲,迫切学习新知识,其注意力马上被吸引到课堂教学中来,激发起主动参与研究的强烈欲望。
二、在数学教学中培养学生的新观念、新思想
新观念中不仅包含对事物的新认识、新思想,而且包含一个不断学习的过程。为此作为新人才就必须学会学习,只有不断地学习,获取新知识更新观念,形成新认识。在数学史上,法国大数学家笛卡儿在学生时代喜欢博览群书,认识到代数与几何割裂的弊病,他用代数方法研究几何的作图问题,指出了作图问题与求方程组的解之间的关系,通过具体问题,提出了坐标法,把几何曲线表示成代数方程,断言曲线方程的次数与坐标轴的选择无关,用方程的次数对曲线加以分类,认识到了曲线的交点与方程组的解之间的关系。主张把代数与几何相结合,把量化方法用于几何研究的新观点,从而创立解析几何学。作为数学教师在教学中不仅要教学生学会,更应教学生会学。在不等式证明的教学中,我重点教学生遇到问题怎么分析,灵活运用比较、分析、综合三种基本证法,同时引导学生用三角、复数、几何等新方法研究证明不等式。
例 已知 a>=0,b>=0, 且 a+b=1, 求证 (a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)>=25/2
证明这个不等式方法较多,除基本证法外,可利用二次函数的求最值、三角代换、构造直角三角形等途径证明。若将 a+b=1(a>=0,b>=0) 作为平面直角坐标系内的线段,也能用解析几何知识求证。
证法如下:在平面直角坐标系内取直线段 x+y=1,(0=<x>=1), (a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)看作点(-2,-2)与线段x+y=1上的点(a,b)之间的距离的平方。由于点到一直线的距离是这点与该直线上任意一点之间的距离的最小值。而 d*d=( -2-2-1|)/2=25/2, 所以(a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)>=25/2。“授之以鱼,不如授之以渔”,方法的掌握,思想的形成,才能使学生受益终生。
三、增强毅力 勤奋学习
一个人要取得成就,除了智力、能力条件外,必须有坚强的毅力,要有不怕困难,勇往直前的决心和勇气,有的后进生数学成绩差总是认为自己天生脑子笨,没有数学细胞,所以学不来,对于这部分学生我经常教育鼓励他们。实践证明,良好的学习习惯可以逐步转化上升为坚强的意志。我在培养学生的意志的时候,首先让他们在学习生活中逐渐形成良好的学习习惯,我主要从以下几点做起:(1)课前预习,课后复习。要求学生养成:在上课前先把所要学的内容逐字逐句地看一遍,在不懂或不理解的地方作个记号(或认真完成《导读提纲》);课上集中听讲,认真思考,积极参与小组讨论;课后先复习,再完成作业(或《导读提纲》)。(2)作业规范化。要求学生养成:每次着手做作业之前应该先订正上一次作业,并且要严格按照书写格式来完成,字迹要工整,并且要认真审题,独立完成作业。这样持之以恒,就会逐渐地养成良好的习惯。(3)树立榜样,增强信心。对于每一次作业全优者就记上“好”,每个单元评比一下谁的“好”的次数最多。中差生作业上有进步,也应提出表扬和鼓励,这样他们就会逐渐克服了以往的不良习惯,慢慢地跟上了。(4)耐心说服,循循善诱,后进生完成作业有时存在一定的困难,我经常利用课余时间加以帮助,对于疑难问题仔细分析,作业上的问题有条件时尽可能面批,并且一再鼓励他们只要能独立完成作业,那么成绩就一定能提高。
四、创设活动过程,培养学生动手能力
四、创设活动过程,培养学生动手能力
着名心理学家皮亚杰说:“儿童的思维是从动作开始的,切断动作与思维的联系,思维就不能得到发展”。由此可见,活动是联系主客体的桥梁,是学生认识发展的直接源泉,因此,教学中教师要多创设让学生动手操作,动眼观察,动脑思考,动口表达等活动情境,最大限度地引导学生参与,以“动”启发学生的思维,实际上,课堂就应当是学生的“活动场”,教学过程就应当是学生的“活动过程”。教师的主导作用之一就是要创设好“活动点”。例如初中数学“实习作业”一课教学设计:⑴学生自制测倾器;⑵让学生设计实验;⑶学生用测倾器、刻度尺等器材,动手做实验,探究用直角三角形知识解决实际问题的方法;⑷学生试着自行小结,教师总结讲解;⑸介绍用测倾器测底部不能到达的其它建筑如楼房、烟囱等高大建筑物的高度。在实习作业期间,教师在现场进行观察指导,并回答学生提出的问题。整个教学过程通过学生积极参与活动,让学生自主学习,自己探究,自己设计,自己分析,教师只是学生学习的指导者和活动的组织者,其教学效果甚好。
初中数学动点与最值问题范文5
模型呈现：如图1，圆外一点与圆上任意一点联结所成的线段中PA最长，PB最短（其中PA、PB所在的直线经过圆心O）.有了这种方法能使很多最值问题中的较难问题得到圆满解决.
案例1：如图2，点E为正方形ABCD的边AD上的动点，过点A作AHBE于点H，若正方形的边长为4，则线段DH的最小值是多少？
分析：由AHBH可知，∠AHB始终为90°，因此点H在以AB为直径的F上运动，此时点D为F外一点，所以可利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型（图1），联结DF交F于点H（如图3），此时DH最小.
思考：本题学生的解答正确率其实并不高，关键在于学生不容易发现动点H的运动路径是以AB为直径的圆.那么如何才能在看似无圆的题设中准确找到圆模型呢？本题经验告诉我们，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径的圆上，故看到直角，容易找到圆模型.
经验利用1：在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.
（1）如图4，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；
（2）如图5，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）
（3）如图6，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（4）如图7，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2，试求出线段CP的最小值.
分析：（1）、（2）、（3）中AEDF（证明略）.（4）根据已知条件得AEDF，∠APD始终为90°.因此根据案例1的经验不难发现点P在以AD为直径的圆上运动，记圆心为点O，连接OC与圆交于点P，利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离这一结论，得到此时CP为最小.
经验利用2：设a为实数，已知直线l：y=ax-a-2，过点P（-1，0）作直线l的垂线，垂足为M.点O（0，0）为坐标原点，则线段OM长度的最小值？
分析：本题共有两大难点：第一难点是这条直线无法确定，但可以肯定的是必经过A（1，-2），第二难点是怎么发现圆模型.我们发现直线无论怎么变，∠PMA始终为直角，这样根据案例1的经验，以AP为直径的圆就形成，点M始终在以AP为直径的圆上，利用圆内一点与圆的最近距离和最远距离这一结论确定了OM的最小值.
经验拓展：如图9，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），C（0，3 ），点D是第一象限的一点，满足∠ADB=30°，则线段CD的最小值？
分析：本题中没有明显的圆模型，也没有同案例1一样的隐含圆模型的直角，但∠ADB恒为30°，可以看成一个30°圆周角，同样可以找到圆模型.由于圆周角∠ADB=30°，故对应的圆心角∠AMB=60°，M就是以AB的长为半径，经过A，B两点的圆，同样可以利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型（图1），最终确定CD的最小值.
推广：当某个角的大小为恒值时，该角顶点必在以该角为圆周角的圆上.特殊的，当该角为直角时，则该直角顶点在以该直角所对斜边为直径的圆上.
案例2：如图11，已知抛物线y=- （x-1）（x-7）与轴交于A、B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，C的半径为2，G为C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值？
分析：这一问题已经明确有圆了，但怎样利用圆的模型解决？很明显，所求的线段PD没有任何一个点在圆上，没法直接利用本模型.不难发现D为线段AB的中点，结合条件“P为AG中点”，我们可以联结BG，则PD构成ABG的中位线，利用中位线的性质PD= BG可将PD最长转换为BG最长.B为圆外定点，G为圆上动点，利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离模型可将这个问题完满解决.
经验利用：如图12，二次函数y=a2x+bx+c（a≠0）的图像交x轴于点A（-1，0），B（4，0），交y轴于点C（0，2），过B，C画线直线，并联结AC.
（1）求二次函数的解析式和直线BC的解析式；
（2）点F是线段BC上的一点，过点F作ABC的内接正方形DEFG，使得边DE落在x轴上，点G在AC上，GF交y轴于点M.
①求该正方形的边长；
②将线段EF延长，交抛物线于点H，那么点F是EH的中点吗？请说明理由.
（3）在（2）的条件下，将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，点P始终为CF为中点，请直接写出线段OP的最大值.
分析：（1）（2）略.第（3）问没有明显的圆模型，看似与圆无关，很多学生面对这个问题无从下手，其实将线段BF绕点B旋转，可以根据圆的定义发现一个以B为圆心，BF为半径的圆，F始终在这个圆上，圆模型出现了，但同案例2一样，点O、点P均不是圆上的动点.从条件“点P始终为CF为中点”出发，根据案例2中利用中点构造中位线实现线段转换的经验，不妨作C关于X轴的对称点C′，连接OP，C′F（如图13），发现OP是三角形CC′F的中位线，因此把OP的最小值转化成了C′F的最小值，利用圆外一点到圆上的点的最远距离和最近距离这个结论，这个问题迎刃而解.
综合应用：如图14在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到A′MN，连接A′C.则A′C长度的最小值？
初中数学动点与最值问题范文6
[关键词] 轴对称；最小值；方案
第二轮新课程标准已于2011年重新颁布，这一轮的课程标准经历了前十多年的摸索、实验和总结，相比第一轮更加完善，对于学生创新精神和独立思考的能力要求更加符合时代的精神. 而我们一线数学教师在践行新课程标准理念的过程中，有着不可替代的地位和作用，也就是说，新一轮课程改革的成败与我们一线教师能否树立新的教学理念有着密不可分的关系，因为推行新课程的主阵地还是课堂，特别是新课程标准的理念和目标，最终还需要课堂来承载和体现.
我们知道初中数学中最常见的思想方法有很多，如整体思想、转化（化归）思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程与函数思想、数学建模思想等，对于学生数学能力的提升，特别是解决问题的能力培养来说，数学建模思想非常重要，本文拟从数学建模思想的方面来谈谈对学生能力的培养，特选择中考常见的一类问题――轴对称问题加以说明.
例如，新人教版八年级《数学》上册第42页的探究题：如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气. 泵站应该修在管道的什么地方，才能使所用的输气管线最短？
本题是利用轴对称变换求最小值的经典之作，无论在理论上，还是在实践中，都有广泛的应用价值，充分体现了数学来源于生活，又服务于生活. 在后续的学习过程中，我们常常应用这个模型来解决最小值问题，实际应用时就是利用轴对称模型求最短距离.
经过最近几年的研究，笔者发现在教学过程中，关键在于要让学生亲身经历问题解决的过程，真正体会到模型蕴涵的数学思想方法：利用变换，化曲为直，进而求最小值. 熟练以后他们就会建立起一种数学式的思维模式，以后遇到类似的问题，他们就能想到应用轴对称知识去解决问题，即应用这种方法去解决此类问题.
根据上面的分析我们会发现，在解决人教版八年级《数学》上册第42页的探究题后，可以引导学生进一步反思，及时归纳、总结得出两种模型：“利用轴对称可在直线l上找到唯一的点P到A，B两点的距离之和最小（或者是点P到A，B两点的距离之差的绝对值最大）”，依据是“两点之间，线段最短”. 更具体地，我们可以把上面的两种模式分别构建出来，把这两类问题统称为：一个动点与两个定点之间距离的最值问题. 针对这两种情况下的问题，我们分别建立模型一和模型二.
模型一：如图2所示，在直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上找一点C，使得AC+BC最小.
求法：作点A（或点B）关于直线l的对称点A′（或B′），连结A′B（或B′A）交l于一点，则该点即为符合题意的点C. （作图略）
模型二：如图3所示，在直线l异侧有两个定点A，B，在直线l上找一点C，（1）使AC+BC最小；（2）使AC-BC最大.
求法：（1）情况比较简单，连结AB交l于一点，则该点即为符合题意的点C.
（2）作点A（或点B）关于直线l的对称点A′（或B′），连结A′B（或AB′）交l于一点，则该点即为符合题意的点C. （作图略）
下面我们就结合最近几年的中考试题来谈谈这类数学模型的应用.
例1 （2009浙江衡州）如图4所示，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上.
（1）求a的值及点B关于x轴对称的点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使AQ+QB最短，求出点Q的坐标.
（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点.
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.
分析 （1）用代入法可求得a= ， n=2，易得点P的坐标为（2，-2），从而可求出直线AP的解析式是y=- x+ ，它与x轴的交点坐标即为所求的点Q ，0. 不难发现本题是模型一的应用.
（2）仔细分析我们会发现本题①②均是模型一的应用，只不过在设置过程中，有一些其他形式的变化. 如果审题能力够强，平时的训练有培养学生关于轴对称的建模思想，这里的两个问题就显得容易多了，特别是①，只要能画出图形则与（1）的解答步骤是一样的.而对于②，需要应用转化思想. 要求四边形A′B′CD的周长最短，注意到线段A′B′和CD的长是定值，从而可把问题转化为要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短即可. 答案为①抛物线的解析式为y= x+ 2. ②抛物线的解析式为y= x+ 2. 解答过程与（1）问相同.
例2 （2012福建福州质检）如图5所示，已知抛物线y= x2+bx+c经过A（3，0），B（0，4）两点.
（1）求此抛物线的解析式.
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C′的坐标.
（3）若点D是第二象限内一点，以点D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E，F，H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PH-PA的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
解答 （1）因为抛物线y= x2+bx+c经过A（3，0），B（0，4）两点，所以0= ×32+3b+c，4=c，解得b=- ，c=4.所以抛物线的解析式为y= x2- x+4.
（2）令 x2- x+4=0，解得x =1，x =3，所以点C的坐标为（1，0）. 因为点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），所以直线AB的方程为y=- x+4. 所以点C关于直线AB的对称点为C′ ， .
（3）根据题目要求我们很明显地发现，本题属于模型二②的情况，所以按照前面所构建的模型，我们需要做的事情就是去找轴对称. A，C关于抛物线的对称轴对称，可连结HC并延长交对称轴于点P，因为D与x轴、y轴均相切，且在第二象限，所以设点D的坐标为（-m，m）（m>0）. 因为D也和直线AH相切，且切点为点H，所以点D到点H的距离等于点D的纵坐标m，解得m=3. 所以点D的坐标为（-3，3）. 所以点E的坐标为（-3，0）. 所以AE=6. 根据切线长定理有AH=AE，所以易求得点H的坐标为- ， . 如图7所示，根据抛物线的对称性得PA=PC，因为PH-PA=PH-PC≤HC，所以当H，C，P三点共线时，PH-PC最大. 因为HC= = ，所以PH-PA的最大值为 .
从上面两种类型的问题来看，我们发现其实质就是一种，即利用轴对称来解决数学问题. 而轴对称的问题核心又是根据“两点之间，线段最短”的原理，进一步来说，我们认为对于这一类问题的教学，不能只关注其结论，关键还在于让学生亲身经历问题解决的过程，真正体会到模型蕴涵的数学思想方法：利用变换，化曲为直，进而求最小值. 在我们的日常教学行为中，应加强数学思想方法的渗透，使学生不仅学好概念、定理、法则等内容，更要能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识. 如果教师有了这样的教育理念，我们就不难理解前辈的经典名言：“数学基础知识与基本技能所反映出来的数学思想方法才是数学知识的精髓. ”
除了上述两种类型之外，在实际操作和解题过程中，除了一个动点与两个定点之间距离的最值问题，我们常常还会遇到这个模型的变式题型，我们称之为：“三折线段问题”，就是两个动点与两个定点距离之和的最小值，我们常说“万变不离其宗”，所以只要我们掌握了二折线段的精髓，对于“三折线段问题”也就迎刃而解了. 例如下面的中考试题就是很有代表性的问题.
例3 （2011福建福州）如图8所示，二次函数y=ax2+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），点H，B关于直线l ∶ y= x+ 对称.
（1）求A，B两点的坐标，并证明点A在直线l上.
（2）求二次函数的解析式.
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于点K，M，N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN，NM，MK，求HN+NM+MK和的最小值.
分析 （1）因为二次函数的解析式为y=ax2+2ax-3a，令ax2+2ax-3a=0，解得x =-3，x =1，所以A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）. 将点A的坐标代入y= x+ ，有0= ×（-3）+ =- + ，等式成立，所以点A在直线l上.
（2）容易求得点B关于直线l对称的点H的坐标为（-1，2 ），因为二次函数的图象过点H，所以有2 =a・（-1）2+2a（-1）-3a，解得a=- . 所以二次函数的解析式为y=- x2- x+ .
（3）不难发现，本题就是“两个动点与两个定点距离之和的最小值”类型的问题. 应用上面我们构建的模型，可通过轴对称用相等的线段把问题转化为一个三角形的三条边关系，再利用相关知识求解即可. 分析思路可以从两个方面来入手.
思路一，如图9所示，作点K关于直线AH的对称点Q.
①因为点H，B关于直线AK对称，所以HN=BN. 因为MN+BN≥MB，所以HN+MN的最小值是MB.
②因为点K关于直线AH的对称点为点Q，所以MK=MQ.
③因为MB+MK≥BQ，所以MN+HN+MK≥BQ，即MN+HN+MK的最小值是BQ.
④应用勾股定理可求出BQ的长.
思路二，如图10所示，作点K关于直线AH的对称点Q.
①因为点K关于直线AH的对称点是点Q，所以MK=MQ.
②因为MQ+MN≥QN，所以MK+MN≥QN.
③因为点H，B关于直线AK对称，所以HN=BN. 因为QN+BN≥BQ，所以MK+MN+NH≥BQ，即MN+HN+MK的最小值是BQ.
④应用勾股定理可求出BQ的长.
容易求得点K的坐标为（3，2 ），所以点K关于直线AH的对称点Q的坐标为（-3，4 ）. 所以MN+HN+MK的最小值为BQ的长，即8.
