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数学建模的微分方程方法范文1
【中图分类号】O175 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2012）23-0025-02
目前有关非线性科学的研究方兴未艾，这极大地促进了力学、物理、生物、地学、机械工程、通讯工程、电力工程和航空航天技术的发展。为了培养这方面的人才，这对非线性科学起奠基性作用的“常微分方程”的教学提出了新的要求。而另一方面，“常微分方程”更是后续课程“泛函”“偏微”“微分几何”等的基础。如何做到二者兼顾，新知识、新方法怎样注入教学之中，如何用新的思路去改进教学方法，怎样才能把时代的新要求贯穿于教学始终，这成了现代“常微分方程”课程教学面临的新课题。由此，结合所在学校关于常微分方程的教学特点及自身经验，本文对“常微分方程”课程教学的内容选择上进行了一些思考。
一 结合数学建模
当前，大学生数学建模竞赛越来越普及，研究生数学建模竞赛也已开展，数学建模已成为高等院校提高素质教育及教学改革的重要手段。常微分方程模型是数学建模的重要方法之一。因此，这门课程的地位和作用将越来越重要。在教学中，通过大量、富有趣味性的实际例子突出数学的应用，让学生学会运用“常微分方程”建模并分析实际问题是我们的目标。因此，在教学过程中应有目的地将社会经济生活和现代科学技术的热点问题引进来，体现用常微分方程知识求解实际问题的全过程，即“实际问题—数学模型—模型解答—结果分析—模型改进—实际应用”。在教学过程中可采用以下几个典型的微分方程模型（如人口增长模型；传染病SIS模型；捕食-被捕食模型等）和现实热点问题（如碳定年法；核废料的处理问题等）。将常微分方程的理论、方法与解决实际问题有机地结合起来。其原则是既注重理论性强、方法多样及技巧性强等特点，又要体现利用常微分方程进行数学建模思想等特点，力争实现理论严密性、方法多样性和应用广泛性相结合。
二 结合历史背景
数学理论大都是从现实具体问题中抽象出来的。如果直接将抽象理论灌输给学生，容易使学生不知所云，很难激发学习热情，很难营造一个良好的教学氛围。本人在教学过程中，往往结合数学史，从而引出每个阶段的授课内容，即为什么研究这个问题，在这个过程中有什么有趣的故事可以介绍给同学，从而提高学生的学习兴趣。弄清楚每个理论的来龙去脉及发展的经历，对学生数学素养的提高及科学探索精神的培养都是非常有益的，如在“平面定性理论”的授课过程中可以结合数学史。1841年，刘维尔证明黎卡提方程不存在初等函数积分表示的解，而法国数学家们研究的三体问题就不能用已知函数解出，从而运动的稳定性问题就不可能通过考察解的性态而得到。因而要求数学家们开始从方程本身（不求解）直接讨论解的性质。庞加莱最终给出了从方程本身找出答案的诀窍。从1881年起，庞加莱独创出常微分方程的定性理论，创造了一套只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，并且在个别章节的讲解中还可以结合科研前沿，从而让学生对常微分方程的面貌有一个概略的印象。通过上述事例，就可以让学生感受科学研究的一般思维、过程及原理，这对于培养学生的数学逻辑能力很有帮助。
三 结合数学软件
目前已进入信息时代，计算机已普及应用。正是因为计算机技术的发展，才引发了混沌、孤立子及分形等新现象的发现，使用计算机数学软件可大大促进数学包括常微分方程的教学、学习和研究。我国的常微分教程多偏重理论，求解析解，而忽视定性分析、数值模拟等实际应用。事实上，多数微分方程是很难或不能得到其解析解的，而我们通过数学软件（Mathematica、Matlab和Maple），利用已有数据进行数值模拟，能很好地模拟模型的发展变化情况及长时间的动力行为，以便我们进行预测和评估。
四 结合专业特色
不难发现，学生在兴趣爱好、就业和考研意向等方面存在着不同的差异，表现在数学知识需求和接受能力等方面不尽一致。结合到笔者所在学院具有三个本科专业的特点，在授课内容上也是结合专业特色因材施教。例如，对数学与应用数学专业的学生在教学过程中应加大研究性教学的力度，在课堂教学中采取“启发式”和“讨论式”的教学方法，使学生掌握数学科学的基本理论与基本方法，注重学生逻辑思维能力、创新能力的培养。对信息与计算科学专业学生注重介绍问题的背景，影响问题的主要因素及根据这些主要因素做出简化假设，建立方程，并利用所得的数学结果解释问题的现象，培养的学生具有良好的数学基础，能熟练地使用计算机，初步具备在信息与计算科学领域的某个方向上从事科学研究，解决实际问题，设计开发有关软件的能力。对金融数学专业在教学过程中，可以多列举与金融相关的建模实例，从而使学生具有良好的数学素养，掌握金融数学的基本原理、方法熟练的计算机使用技能，能熟练运用数学知识和数据挖掘分析方法解决实际问题。
最后，在今后一段时期内，作者认为在常微分方程的教学改革中，应该把改革的重心放在课程内容选择上。因为对于不同专业的学生，他们的需求和需要掌握的知识体系是不一样的，因而从教学大纲、教学计划到最后的授课内容，都应该积极地进行教研，并及时与社会需求相结合，更准确地了解社会对于学生的需求状况及对学生知识掌握程度的需求。只有更充分的调研，才能让学生有更好的发展。教改之路漫长且艰辛，需吾辈加倍努力。
参考文献
[1]韦程东、高扬、陈志强.在常微分方程教学中融入数学建模思想的探索与实践[J].数学的实践与认识，2008（20）：228～233
[2]王玉文、王金凤、刘萍.多媒体教学在常微分方程教学中的应用[J].继续教育研究，2010（2）：174～175
[3]张良勇、董晓芳.常微分方程的起源与发展[J].高等函授学报（自然科学版），2006（3）：34～39
数学建模的微分方程方法范文2
关键词： 常微分方程 教学方法 能力培养
常微分方程是一门应用型课程，它在自动控制、弹道的计算，导弹飞行和习机的稳定性的研究、生物物种模型的研究等学科上有着广泛的应用，因此对常微分方程的教学研究有着重要的意义.
1.提高学生对常微分方程类型的识别能力，对具体问题进行具体分析.
在微分方程的学习过程中，首先要分清微分方程的类型，针对不同的类型的方程应用不同的解法，如：
首先要分清方程的类型，它不是恰当方程，就不能直接用求恰当方程的方法计算，那么就要寻找方程的积分因子，使其转化为恰当方程，但由于同一种类型的方程可以用多种解法求解，因此如何选择快捷、简便方法求解方程，是学生应该认真思考的问题.如：
例2：求解方程ydx+（y-x）dy=0.
方法2简便快捷，通过本例可知学生在解方程过程中，不能思想僵化，机械地采用常规解法解题，应该掌握问题的共性的同时发现它的特性，做到具体问题具体分析.
2.注重培养学生的逻辑推理、归纳能力.
3.开设实践课，培养学生的应用能力.
由于常微分方程应用非常广泛，因此我们在教学中不能只停留在理论的讲解上，更要注重常微分方程在其他学科中的应用。我们在教学过程中应开设实践课，培养学生的应用能力.在实践课教学过程中，我们先要结合一些实际问题，建立研究对象的数学模型，根据其内在规律列出微分方程或微分方程组，然后研究解的问题.例如池州学院数学与计算机科学系将这门课的教学内容与数学建模紧密结合，结合大学生数学建模竞赛在实践课堂中以竞赛的课题为例，编写一些生动有实际背景的数学模型为实践课教材，通过教材讲解怎样构建数学模型，怎样用微分方程的手法研究问题、解决问题，并引导学生用所学的方法，联系实际模型培养学生解决问题的能力和创新能力.
4.熟练掌握数学软件，促进常微分方程的教学和应用.
计算机软件的快速发展为我们进行常微分方程的学习和研究提供了有力的辅助，首先利用数学软件的计算功能直接求解方程，降低了解题难度，减少人工繁琐重复的计算；其次利用计算机软件的数值计算和绘图功能使我们很方便了解或探索微分方程的性态.根据应用的普遍性和各自的特色功能，我们主要学习的数学软件为Mathematica、MATLAB、Maple，例如Mathematica是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统和与其他的应用程序的高级连接；MATLAB在数值计算方面首屈一指.MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序；Maple系统内置高级技术解决建模和仿真中的数学问题，包括世界上最强大的符号计算、无限精度数值计算、创新的互联网连接、强大的4GL语言等.结合常微分方程的学习和研究，我们利用计算机软件在如下的四个方面进行辅助计算：一是用于求平衡点的代数方程和方程组的求解及用于线性微分方程求解指数函数与矩阵特征值、特征向量的计算；二是通过计算机符号计算程序直接求解方程；三是通过计算机软件描绘常微分方程积分或辅助曲线的图形；四是常微分方程的特殊解法，如Laplace transform、power-series solution.
参考文献：
[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程.第三版[M].北京：高教出版社，2006，7.
[2]丁同仁，李承治.常微分方程教程.第二版[M].北京：高教出版社，2004.
[3]陶祥兴，张松艳.精品课程的建设与实践――以常微分方程课为例[J].宁波大学学报，2007，29，（5）：104-107.
数学建模的微分方程方法范文3
关键词：微分方程；数值解；Matlab；教学设计
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）52-0168-02
一、引言
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系，是描述动态系统最常用的数学工具，也是很多科学与工程领域数学建模的基础[1]。在高等数学课程中，重点介绍了线性和低阶特殊的微分方程的解析解的求法。这些解法中体现了降阶、复杂问题简单化等数学思想[2]。
微分方程在几何、力学和物理等实际问题中具有广泛的应用，学生可以在该部分的学习中，感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力。实际上能够能够求得解析解的微分方程并不多，所以数值解就显得尤为重要。利用数学软件对微分方程的解进行数值模拟，是对微分方程求解的有益补充。Matlab[3]是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，在数值计算方面具有独特的优势。本文以可降阶的二阶微分方程为例，简单地介绍了Matlab在微分方程教学中的辅助作用，同时这种教学设计方式可以推广到其他章节。
二、教学目标和教学手段等
该部分的教学目标是掌握三种特殊形式的二阶微分方程的降阶求解方法，同时树立降阶和利用微分方程建立模型的数学思想。在现阶段由于计算机软件技术的发展，可以加上“了解或利用Matlab求解微分方程”这一个新的目标。教学形式仍然是讲授为主，教学手段是多媒体教学加上Matlab软件。
三、教材上的内容
对于不同的高等数学教材来说，该部分的内容几乎没有差别。这里只是简单提及一下。
针对三种特殊的微分方程y''=f（x）、y''=f（x，y'）、y''=f（y，y'），采用降阶的思想，即令y'=p，对于前两种形式的微分的微分方程，再令y''=p'实现降阶。对于最后一种形式，为了防止一个微分方程中出现两个未知函数，在y'=p的基础上，令y''=p■，实现降阶，并求得到方程的解。运用教材中的求解方法，可以得到微分方程解的显式或隐式表达式。Matlab可以求解显式解。重要的是，在无法获得解析解的时候，可以通过Matlab进行数值模拟[4，5]。接下来主要介绍如何在本节中使用Matlab软件。
四、结合Matlab的教学
1.显式解。Matlab可以求得显式解，但无法获得隐式解。通常情况下显式解的命令调用格式为：
s=dsolve（eqn，cond，Name）
其中eqn表示微分方程，cond是初始条件，Name是方程中的自变量。如下面的例1。
例1.求解微分方程（1+x■）■-2x■=0.
在command窗口输入以下代码：
y=dsolve（'（1+x^2）*D2y-2*x*Dy=0'，'x'）
求得结果为：
y=C2+（C3*x*（x^2+3））/3
该解可以很明显的看出来是：
y=C■+■C■x（x■+3）
如果显示的代码很复杂，可以通过命令latex（），再结合mathtype把结果显示成公式的形式。以该题为例，Latex（y）显示为：
＼mathrm{C2}+＼frac{＼mathrm{C3}＼，x＼，＼left（x^2+3＼right）}{3}
然后在word中键入两个$，将上述代码拷贝到$$中间，如下
$＼mathrm{C2}+＼frac{＼mathrm{C3}＼，x＼，＼left（x^2+3＼right）}{3}$
在mathtype中找到Toggle TeX，点击，得到公式为：
C2+■
这与降阶法得到的结果一致，同时将代码转化为公式的方法比Matlab自带的simple（）命令更具有实用性。
2.数值解。在无法求得解析解的时候，数值解显得尤为重要。微分方程的数值解法有多种，可以根据数值计算理论，如Euler方法，如自己编写代码，可以直接调用Matlab自带的命令，如ode45（）等，也可以通过Simulink进行仿真计算。通常情况下，采用Matlab自带的函数来求解微分方程。
为说明数值方法的有效性，下面讨论一个可以求得解析解的例题。一方面该例题反映了微分方程在数学建模中的应用，另一方面对数值解和解析解进行比较。
例2.设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A（1，0）处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度v0（常数）沿平行于y轴的直线行驶，如图1。导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程。
根据题意建立微分方程如下：
（1-x）y''=■■y（0）=0；y'（0）=0
通解为：
y=-■（1-x）■+■（1-x）■+■.
利用Matlab求其数值解，令y■=y，y■=y'，将方程化为一阶微分方程组：
y■'=y■y■'=■■/（1-x）
建立m文件如下：
clc
x0=0；xf=0.9999；
[x，y]=ode45（'eq1'，[x0 xf]，[0 0]）；
plot（x，y（：，1），'k.'，'LineWidth'，2）；
hold on
x1=x0：0.01：xf；
y_sim=-5/8*（1-x1）.^（4/5）+5/12*（1-x1）.^（6/5）+5/24；
plot（x1，y_sim，'k-'，'LineWidth'，2）
axis（[0 1.1 0 0.25]）
hold on
y1=0：0.01：2；
plot（1，y1，'k-^'）；
legend（'数值解'，'解析解'，'乙舰逃跑线路'）
grid on
function dy=eq1（x，y）
dy=zeros（2，1）；
dy（1）=y（2）；
dy（2）=1/5*sqrt（1+y（1）^2）/（1-x）；
利用Matlab软件求解如图2。从图2中可以看到，数值解和解析解吻合的非常好，在一般实际工程问题中，数值解完全能满足精度的要求。
五、总结
这种课堂教学的设计的优点，第一，它能够丰富课堂教学内容，在不改变原有讲授知识的情况下，可以让学生感受到高等数学在现代计算机水平下散发出的新的魅力。第二，这种设计有力地推动了高等数学的教学改革，激发了学生的学习热情和兴趣，对数值方法和数学模型的学习可以提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
但是传统的高等数学的教学中有较多的公式、定理的推导，它在培养学生的逻辑思维能力、逐步了解和掌握相应的数学思想等方面有不可替代的位置。所以，这种教学设计在课堂中所占比重不能过大，否则会造成不良的教学效果。
参考文献：
[1]王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]吴赣昌.高等数学[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
[3]张志涌，杨祖樱.MATLAB教程R2012a[M].北京航空航天大学出版社，2010.
数学建模的微分方程方法范文4
高等数学建模能力学习兴趣数学建模作为一种运用数学知识对现实中的实际问题进行解决的方法措施，能够对学生运用数学建模思想对数学的思考、表达、分析以及解决问题能力进行培养。数学建模，指的是对于某个特定目的，将现实生活中的某个对象作为研究对象，运用该对象自身具备的内在规律，制定科学合理的数学教学方法，构建数学结构，对其进行求解与运用。对学生的数学建模能力进行培养，能够有效激发学生的学习兴趣，提高学生的数学应用能力。
一、在高等数学教学中运用数学建模思想的重要性
在运用数学建模思想进行高等数学的教学中，主要运用以下几个过程，首先对数学问题进行表述，然后运用适宜的方法进行求解，运用相关的理论知识进行解释，最后对该问题进行验证。在高等数学的教学过程中，运用数学建模思想，具有以下几个方面的重要性：
(1)将教材中的数学知识运用现实生活中的对象进行还原，让学生树立数学知识来源于现实生活的思想观念。
(2)数学建模思想要求学生能够通过运用相应的数学工具和数学语言，对现实生活中的特定对象的信息、数据或者现象进行简化，对抽象的数学对象进行翻译和归纳，将所求解的数学问题中的数量关系运用数学关系式、数学图形或者数学表格等形式进行表达，这种方式有利于培养、锻炼学生的数学表达能力。
(3)在运用数学建模思想获得实际的答案后，需要运用现实生活对象的相关信息对其进行检验，对计算结果的准确性进行检验和确定。该流程能够培养学生运用合理的数学方法对数学问题进行主动性、客观性以及辩证性的分析，最后得到最有效的解决问题的方法。
二、高等数学教学中数学建模能力的培养策略
1.教师要具备数学建模思想意识
在对高等数学进行教学的过程中，培养学生运用数学建模思想，首先教师要具备足够的数学建模意识。教师在进行高等数学教学之前，首先，要对所讲数学内容的相关实例进行查找，有意识的实现高等数学内容和各个不同领域之间的联系；其次，教师要实现高等数学教学内容与教学要求的转变，及时的更新自身的教学观念和教学思想。例如，教师细心发现现实生活中的小事，然后运用这些小事建造相应的数学模型，这样不仅有利于营造活跃的课堂环境，而且还有利于激发学生的学习兴趣。
2.实现数学建模思想和高等数学教材的互相结合
教师在讲解高等数学时，对其中能够引入数学模型的章节，要构建相关的数学模型，对其提出相应的问题，进行分析和处理。在该基础上，提出假设，实现数学模型的完善。教师在高等数学的教学中融入建模意识，让学生潜移默化的感受到建模思想在高等数学教学中应用的效果。这样有利于提高学生数学知识的运用能力和学习兴趣。例如，在进行教学时，针对学生所学专业的特点，选择科学、合理的数学案例，运用数学建模思想对其进行相应的加工后，作为高等数学讲授的应用例题。这样不仅能够让学生发现数学发挥的巨大作用，而且还能够有效的提高学生的数学解题水平。另外，数学课结束后，转变以往的作业模式，给学生布置一些具有专业性、数学性的习题，让学生充分利用网络资源，自主建立数学模型，有效的解决问题。
3.理清高等数学名词的概念
高等数学中的数学概念是根据实际需要出现的，所以在数学的教学中，教师要引起从实际问题中提取数学概念的整个过程，对学生应用数学的兴趣进行培养。例如在高等数学教材中，导数和定积分是其中的比较重要的概念，因此，教师在进行教学时，要引导学生理清这两个的概念。比如导数概念是由几何曲线中的切线斜率引导出来的，定积分的概念是由局部取近似值引出的，将常量转变为变量。
4.加强数学应用问题的培养
高等数学中，主要有以下几种应用问题：
（1）最值问题
在高等数学教材中，最值问题是导数应用中最重要的问题。教师在教学过程中通过对最值问题的解题步骤进行归纳，能够有效地将数学建模的基本思想进行反映。因此，在对这部分内容进行教学时，要增加例题，加大学生的练习，开拓学生的思维，让学生熟练掌握最值问题的解决办法。
（2）微分方程
在微分方程的教学中运用数学建模思想，能够有效地解决实际问题。微分方程所构建的数学模型不具有通用的规则。首先，要确定方程中的变量，对变量和变化率、微元之间的关系进行分析，然后运用相关的物理理论、化学理论或者工程学理论对其进行实验，运用所得出的定理、规律来构建微分方程；其次，对其进行求解和验证结果。微分方程的概念主要从实际引入，坚持由浅入深的原则，来对现实问题进行解决。例如，在对学生讲解外有引力定律时，让学生对万有引力的提出、猜想进行探究，了解到在其发展的整个过程中，数学发挥着十分重要的作用。
（3）定积分
微元法思想用途比较广泛，其主要以定积分概念为基础，在数学中渗入定积分概念，让学生对定积分概念的意义进行分析和了解，这样有利于在对实际问题进行解决时，树立“欲积先分”意识，意识到运用定积分是解决微元实际问题的重要方法。教师在布置作业题时，要增加该问题的实例。
三、结语
总之，在高等数学中对学生的数学建模能力进行培养，让学生在解题的过程中运用数学建模思想和数学建模方法，能够有效地激发学生的学习兴趣，提高学生的分析、解决问题的能力以及提高学生数学知识的运用能力。
参考文献：
\[1\]巨泽旺，孙忠民.浅谈高等数学教学中的数学建模思想\[J\].中国科教创新导刊，2009，17（11）：16-17.
数学建模的微分方程方法范文5
【关键词】傅立叶变换；拉普拉斯变换；信号与系统；自动控制原理；数学思想
【基金项目】本文受中国民航大学校级大学生创新创业项目（项目号：IECAUC2016014）的资助.
电路、信号与系统、自动控制原理是电气工程及其自动化专业的专业基础课，除包含一些专业领域的基本概念，其中涉及的专业知识与处理问题的方法大都以微分方程、傅立叶变换、拉普拉斯变换等数学知识为基础.
在学习数学基础课时，有学生感觉内容多、难度大、进度快，导致数学基础不够扎实，进而在后续学习专业基础课时感到吃力.而从教学的角度，专业基础课教师的教学重点是新的专业知识，不能花费过多时间复习数学基本概念与方法.这些衔接上的问题，使部分学生不易接受突然出现的数学知识的应用，对专业基础课产生畏难情绪.对此，首先，本文对数学基础课和专业基础课的知识模块进行系统的梳理总结，数学知识主要包括微分方程、傅立叶变换、拉普拉斯变换及其关系，并分析它们的应用背景，以丰富数学基础课教学的应用性.然后，阐述专业基础课的内在联系，以帮助学生系统地把握专业基础课的知识内容.最后，用更高的数学观点（泛函分析）阐明专业知识中相关的数学方法，使学生对专业知识的数学原理有更深刻的认识.
一、微分方程求解在时域分析中的应用
专业基础课电路、信号与系统、自动控制原理的主要内容是对各类系统的性态的分析研究，大多以数学模型及其分析方法为基础，其中时域分析法的教学模型是高等数学中的微分方程：用微分方程描述系y，通过求出的解分析系统.因此，要熟练掌握时域分析法，就必须掌握求解微分方程的方法.常用方程及解法见《高等数学》下册第十二章[1].
时域分析法的优点是能够得到解的精确解析表达式，但缺点是求解过程比较烦琐，而系统的数学建模过程、频率特性、传递函数求取需要求解大量的微分方程，所以必须降低微分方程的求解难度，方法就是对微分方程作拉普拉斯变换.
二、拉普拉斯变换在系统分析中的应用
拉普拉斯变换的定义[2]是
F（s）=∫+∞0-f（t）e-stdt，是将自变量为时间的函数通过某种积分运算转化为自变量为复频率的函数.从数学角度看，它使复杂的运算转化为较简单的运算.比如，将微分转化为乘法，将积分转化为除法.将其应用于系统分析，因为它将微分方程转化为代数方程，从而达到了降低方程求解难度的目的[2].
（一）应用拉氏变换求解微分方程
具体解法如下：
第一步，求取微分方程中每一项的拉普拉斯变换，得到相应的代数方程；
第二步，求解代数方程；
第三步，对所求的解求取拉普拉斯反变换，得到原微分方程的解.
构成系统的元件的数学模型是时间域下的微分或积分表达式，通过拉普拉斯变换，可将其转化为复频域下的简单的代数表达式.然后相应地做出复频域中的等效电路图，这极大地简化了系统分析中的建模和求解.
下面列举几个典型元件的例子[3]：
下面以一个简单电路的分析为例[4]，表明拉普拉斯变换对系统建模、求解的简化.
例如图所示，已知输入为u1（t）=5cos2t，求输出u2（t）.
解第一步，根据上表，作复频域等效电路图：
第二步，根据等效电路图列出复频域下电路的代数方程：
U2（s）=U1（s）1s1+1s=1s+1×5ss2+4=-1s+1+s+4s2+4.
第三步，对U2（s）取拉普拉斯反变换得到时域下的响应表达式：
u2（t）=-e-t+cos2t+2sin2t，t≥0.
由此可见，拉普拉斯变换可以将时域下一些微分方程模型转化为复频域下简单的代数方程模型，使建模与求解得以简化.
（二）拉普拉斯变换在系统分析中的应用
对于常系数线性微分方程模型，方程的特征根就是解的表达式中各项的系数，它决定了系统的响应性能.好的响应性能需要合适的特征根，改变特征根可以通过改变特征方程的系数实现，而特征方程的系数就是系统中的参数.于是，可以通过改变系统参数，方程的阶不变，获取较好的系统性能.
在复频域中常用的分析方法是根轨迹法，即找到系统参数与特征根的关系，让随着参数变化的特征根轨迹在根平面上绘制出来，从中选择有好的响应性能的特征根，同时，确定对应的参数.
由于微分方程的特征方程恰是系统闭环传递函数的分母多项式对应的方程，特征根就是闭环传递函数的极点，而闭环传递函数定义就是系统输出拉普拉斯变换与输入拉普拉斯变换的比值.由此可见，拉普拉斯变换在系统分析中有着非常重要的作用.
三、傅立叶变换在系统频域中的应用
时域分析比较直观，但是分析高阶系统比较烦琐.用拉普拉斯变换分析系统，简化了时域下的求解过程，但是物理意义不十分明显.由于信号的输入与系统频率关系密切，所以频域分析是工程上进行系统分析和系统综合广泛采用的方法.频域分析法的优点是处理起来比较简洁，计算工作量较小，重要的是能够显示信号和系统的组成特性.但是，由于实际测得的是信号的时间历程，所以要采用频域分析法在频域下进行处理和分析，就必须先进行时域到频域的转换，而这种转换的数学方法就是傅立叶变换，所以需要应用复变函数与积分变换课程中的傅立叶变换知识，并建立其物理意义.
（一）傅立叶级数
一般地，如果周期信号fT（t）满足狄利克雷条件，则可利用傅立叶级数将周期信号展开成无穷多个（至多可数个）不同频率的谐波信号的线性叠加.即
fT（t）=∑∞n=0cnejnω0t，
其中cn=1T∫T0fT（t）e-jnω0tdt，ω0=2πT，称为基波角频率.
（二）傅立叶变换
对于非周期信号，在频域内对应的数学模型是连续的，此时若要将其分解成谐波信号的线性叠加，谐波信号有不可数个.数学上傅立叶级数需转化为傅立叶变换.
一般非周期信号f（t）的傅立叶变换为
F（jω）=∫+∞-∞f（t）e-jωtdt.
由此可见，时域下周期函数变换频域后的表达式是离散的傅立叶级数，而时域下非周期函数变换到频域后的表达式是连续的傅立叶变换，由此可得到工程上的一个重要结论：时域的周期性决定了频域的离散性.
应特别指出，单位阶跃信号的频谱，由于单位阶跃信号是时域下的典型信号，而且一般情况下可以将其他信号分解为不同加权的阶跃信号，根据线性时不变系统的齐次性和叠加原理，可以分e求出各个阶跃信号的响应，最后，将求出的响应进行叠加，因此，掌握阶跃信号的频谱显得尤为重要.
四、傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系
拉普拉斯变换的积分核e-st中，s=σ+jω，当σ=0时，变换就退化为傅立叶变换.傅立叶变换要求函数满足狄利克雷条件，并且要绝对可积，但绝对可积条件较强，很多工程上常用的函数都不能满足这个条件，比如，单位冲激函数.为克服傅立叶变换的这个缺点，使频域分析适用于更多信号，在数学上，在积分核中加了一个衰减因子e-σt，得到另一种积分变换，即拉普拉斯变换.它们的关系示意图如下：
五、电路、信号与系统、自动控制原理三门课程的内在联系
电路除讲述一些电路上的基本概念外，主要介绍了对具体的电路模型，给一个电压或电流输入信号，根据电路相关知识求解该电路的响应的方法.信号与系统是对上述模型和方法的一般化，将电路模型抽象为一个系统，将电压或电流输入信号抽象为任意信号，分别在时域、频域和复频域下求解系统的响应和系统函数.在上述两门课程中学习系统响应的求解方法后，在自动控制原理[5]课程中根据求出的系统响应和系统函数来分析系统的稳定性、动态性能，并在时域、频域和复频域中分别寻求系统的最佳性能和进行系统校正.可以概括为“三域三分析”，“三域”分别是指时域、频域和复频域，“三分析”分别是指系统稳定性分析、系统稳态误差分析、系统动态性能分析.可以说电路和信号与系统是通过分析系统来认识系统，而自动控制原理是在学习改造系统，是符合我们认识事物过程的自然规律的.
六、泛函分析视角下理解工程问题解决方法
泛函分析是现代数学分析学分支的基石，下面从泛函分析的角度，更深入地理解专业知识和其中的数学方法，我们需要下面的概念[6].
设H是内积空间，E={en}是H中的规范正交基，x∈H.
（1）称每个（x，en）为x关于E的Fourier系数；
（2）称（形式）级数∑∞n=1（x，en）en为x关于E的Fourier级数；
（3）若x=∑∞n=1（x，en）en按H的范数收敛，称此级数为x关于E的Fourier展开式.
以傅立叶级数为例.设en=e-jnω0t，则{en}+∞n=-∞是Hilbert空间L2[0，2T]的一个规范正交基，则f∈L2[0，2T]，都有
f=∑+∞n=-∞（f，en）en.（*）
而空间L2[0，2π]上的内积定义是
（f，g）=1T∫T0f（t）g（t）dt，f，g∈L2[0，T]，
所以，
（f，en）=1T∫T0f（t）e-jnω0tdt=1T∫t 0+Tt0f（t）e-jnω0tdt=cn.
则由（*）得
f（t）=∑+∞n=-∞cnejnω0t，
这恰恰是傅立叶级数.
因此，从泛函分析的角度看，一个周期函数的傅立叶级数展开，就是将这个函数看成某个函数空间中的一个元素，并将其在该空间的一组规范正交基下进行展开，而傅立叶级数与傅立叶变换的区别只不过是离散和连续两种情况下的展开方式不同而已.同理，拉普拉斯变换和时域下的卷积也可以理解为函数分别在复频域和时域的情形中进行展开.那么这种数学思想在信号与系统分析中的实际意义在哪里呢？
我们以线性时不变系统为例来说明，在时域中，任意输入信号f（t）激励下线性时不变系统的响应为f（t）与系统冲激响应h（t）的卷积，它表明如果信号f（t）可以表示为冲激信号的积分，则该信号通过系统后产生的零状态响应yzs（t）就可以表示为这些冲激信号元产生的冲激响应的叠加.采用这种解决问题的思想是由于单位冲激响应的求解比较容易，所以如果将时域中的任意一个信号看成是出现在不同时刻、强度不同的微量冲激元函数的连续和，那么该函数作用下系统的响应就可以用展开后的冲激元信号分别作用于系统产生的冲激响应的累加得到，即做卷积.在频域中，由于正弦信号下系统的正弦稳态响应求解起来比较容易，所以将信号展开成无穷多个正弦信号的累加，那么系统在该信号下的响应就可以看成是展开后的正弦信号分别作用于该系统得到的正弦稳态响应的累加.
由以上分析我们可以看出，工程中的实际问题之所以可以采用这种方法解决，是由数学中经过严格推导或者证明的定理或者概念作为支撑的，所以数学思想是解决工程实际问题的核心；同样，掌握了数学中的一些重要思想，也使得工科专业课中解决实际问题的一些方法更容易被理解和接受，而在应用数学知识的过程中，也使得数学知识更好地被理解和掌握，这就是建立两类学科联系的意义所在.
【参考文献】
[1]同济大学应用数学系.高等数学・上、下册[M].第5版.北京：高等教育出版社，2002.
[2]张元林，编.工程数学・积分变换[M].北京：高等教育出版社，2012.
[3]邱关源，罗先觉，主编.电路[M].北京：高等教育出版社，2006.
[4]杨晓非，何丰，主编.信号与系统[M].北京：北京出版社，2014.
数学建模的微分方程方法范文6
关键词：一阶微分方程 一题多解 教学效果
中图分类号：O174.1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）07（a）-0147-02
常微分方程是数学专业的后续基础课程，在实际的教学中，发现许多学生求解微分方程的能力得不到提高，在解题的过程中不能选择合适的方法进行求解，主要原因是学生没有掌握好所学的解题方法，没有从平时的解题过程中总结相关规律。该文主要是针对一阶微分方程的求解问题进行了探讨，并从不通的思维方法和角度进行分析求解，这样能让学生体会一题多解的技巧，培养学生的发散思维，提高学生的学习兴趣，也能达到更好的教学效果。下面通过几个有关一阶微分方程的具体例子来阐述一题多解在微分方程求解中的重要性。
例1. 求微分方程的通解。
分析：此}可看做形如的形式，通过坐标变换变为变量分离方程进行求解。也可以将方程变形为，仔细观察可以利用分项组合的方法进行求解。当然，我们也可以看成恰当微分方程来求解。
从以上的例子可以看出，选择合适的方法求解微分方程可以达到事半功倍的效果，所以在以后的教学过程中，对学生进行一题多解的思维训练，从不通的思维方法和角度进行分析求解，这样能让学生体会一题多解的技巧，培养学生的发散思维，提高学生的学习兴趣，也能达到更好的教学。
参考文献
[1] 邱伟，姜玉秋.常微分方程初等解法研究[J].牡丹江师范学院学报，2016（4）：18-20.
[2] 王言芹.浅谈常微分方程教学的几点体会[J].科技信息， 2010（29）：29-30.
