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数学建模思路简析范文1
关键词：数学建模思想方法 数学建模能力 一元一次方程 数学建模的基本过程
数学建模方法是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种数学手段。是中学数学一种重要的思想方法，也是处理各种实际问题的一般数学方法，它渗透到现实世界的各个领域，广泛应用于现实生活中的各类实际问题的解决。
一、一元一次方程中渗透数学建模思想方法的重要性
数学建模思想方法作为数学的一种基本方法，渗透在初中数学教材的各种知识板块当中，在各类方程、不等式、函数和三角函数、几何图形等内容篇章中呈现更为突出。从一元一次方程开始，引导学生学习掌握这种思想方法是学生必备的基本能力。此外，新课程标准强调，数学教育要重视学生应用数学知识解决实际问题能力的培养，而这种能力的核心就是掌握数学建模思想方法，因此，培养学生数学建模能力是提高学生分析解决实际问题能力的根本途径。同时，数学建模思想方法蕴涵着多种数学思维，是多种数学方法的综合。数学建模过程是思维训练过程，也是观察、抽象、归纳、作图、数学符号表达等多种能力训练和加强的过程。在学习一元一次方程中渗透数学建模思想方法既是学生进行数学学习和应用的需要，也是思维和数学方法综合训练的需要，通过一元一次方程建模来解决实际问题，使学生在问题解决的过程中，体会数学的重要实际意义，收获成功的喜悦，培养学习数学兴趣，增强学习信心。
二、一元一次方程建模的基本过程
一元一次方程数学模型就是一种数学等量关系的刻画，它是使用已知量、未知量及等量关系对现实问题作一种简化而本质的刻画，数学模型方法是把所解决的实际问题，转化为数学中一元一次方程问题。通过对一元一次方程的求解，从而使实际问题得以解决的一种数学方法。它的具体过程可分为以下五个步骤：
1.分析问题中所涉及量及其关系。弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量。
2.寻找等量关系。根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述问题中的等量关系。
3.建立方程模型。在假设未知量的基础上，利用适当的数学工具，数学知识来刻画各量之间的等量关系，建立其相应的方程模型，通常情况未知量的个数与等量关系的个数是一致的，建模过程中一般选择一个来列方程，其余用来表达未知量。
4.求解得到的一元一次方程模型。
5.检验与判断。返回到实际问题，对所得到的解答进行检验，形成最后的判断。
例如：某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹得票款6950元。其中成人票8元，学生票5元。成人票与学生票各售出多少张？（北师大版P189）
简析：1、问题中的已知量为：成人票8元，学生票5元，总票数1000张，总票款6950元；未知量是成人票数及学生票数；数量关系是：单价×票数=票款数
2、等量关系是：成人票数+学生票数=1000张（1）
成人票款+学生票款=6950元（2）
3、设成人票数为x，利用等量关系（1），可得：学生票是为：（1000-x）张，利用等量关系（2），可得：8x+5（1000-x）=6950
4、解这个方程得：x=350；1000-350=650
5、检验：8×350+5×650=6950且符合题意。
三、注重设置合适的梯度练习，培养学生一元一次方程的建模能力
实际问题（情景问题）是数学建模思想能力培养教学的重要载体，教师要充分利用教材中的案例或另设问题，设置梯度合理的练习，让学生自己去探索，使他们在分析思考、讨论、探寻解决略策、求解等解决问题各个环节当中，理解掌握建模思想方法在一元一次方程中应用的基本步骤，还要及时组织学生进行反思，总结解题方法，积累经验，并及时给予类似问题让学生训练，使他们能够举一反三，触类旁通，能够娴熟地应用数学建模思想方法去解决问题。
例如：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？（北师大版P187）
分析：首先让学生利用课余时间，到市场调查服装销售过程中各量之间的关系，解决问题前，使学生搞清下列基本关系：打X折：即按标价的X/10销售；利润=售价-成本价；利润率=利润/成本价；售价=成本价+利润。
其次，在解决例题前，设计以下问题，逐步培养学生的建模过程：
1、一件服装成本价为a元，提高40%后标价，标价为多少元？
解答：a+40%a或（1+40%）a
2、一件服装的标价为b元，打8折销售，售价为多少元？
解答：80%b
3、一件服装的售价为c元，每件卖出获利15元，这件服装的成本价为多少元？
解答：c-15
解决上述问题后，再让学生解答本例题。
设每件服装的成本价为x元，那么，（1+40%）？x？80%-x=15，解这个方程得：x=125
最后，举一反三，让学生解答下列问题：
1.1某件商品进价250元，按标价的九折销售时，利润为15.2%，这件商品的标价为多少？
1.2一台电风扇按成本价提高20%后标价，又以九折销售，售价为270元，这种电风扇的成本价为多少元？
数学建模思路简析范文2
2006年高考化学江苏卷第26题体现了建模、用模的思想。原题是这样的：
利用太阳光分解水制氢是未来解决能源危机的理想方法之一。某研究小组设计了如下图所示的循环系统实现光分解水制氢。反应过程中所需的电能由太阳能光电池提供，反应体系中I2和Fe3+等可循环使用。
(1)写出电解池A、电解池B和光催化反应池中反应的离子方程式。
(2)若电解池A中生成3.36L H2(标准状况)，试计算电解池B中生成Fe2+的物质的量。
(3)若循环系统处于稳定工作状态时，电解池A中流入和流出的HI浓度分别为A mol•L-1和b mol•L-1，光催化反应生成Fe3+的速率为c mol•L-1，循环系统中溶液的流量为Q(流量为单位时间内流过的溶液体积)。试用含所给字母的代数式表示溶液的流量Q。
本题(3)要求学生从复杂的情境中抓住本质建立化学反应2Fe2++I2 2Fe3++2I-，得出“光催化反应生成I－的速率ν(I-)=ν(Fe3+)=c mol•min-1，化学问题抽象成电解池A中消耗I-的速率应等于光催化反应池中生成I-的速率，从而得出：a mol•L-1×Q-b mol•L-1×Q=c mol•min-1，解出Q。可见，化学问题抽象成两个数学等量关系进行建模，要求考生的思维必须具备有序性和深刻性。这种“建模、用模”的思维方式在高中化学中有许多应用。
“模”就是“模式”、“模型”，建模思想就是将复杂的化学问题去非本质的东西，抽象出解决问题的思维方式，即“模”，然后运用这一模式去解决相关问题，它的一般过程可表示为：
“建模、用模”这一思维方式也是建构主义学习理论在化学学习中的极好运用。具体来看，这一规律在高考化学复习中主要有以下几方面的应用。
1用等量代换法建立“模型”，使与量有关的某些有机题规律化
例1.现有一些只含C、H、O三种元素的有机物，它们燃烧时消耗O2和生成CO2的体积比为3∶4。
(1)符合条件的分子量最小的化合物化学式为__________。
(2)某两种碳原子数相同的上述有机物，若它们的相对分子质量分别为a和b(a
解析：设符合条件的氧化物的化学式为CxOy，则CxOy+(x- )O2xCO2，因消耗O2和生成CO2的体积比为3∶4，解得x/y=2。则此氧化物为C2O或(C2O)n。
若要始终保持耗氧量和生成CO2的体积比为3∶4，则在分子中任意增加H2O，对耗氧量和生成CO2的体积均无影响，按此建模思考，得(C2O)n(H2O)m。由于此有机物必须含C、 H、 O， 故m、 n为1时， 相对分子质量是最小的， 化学式为C2H2O2(乙二醛)；符合(C2O)n(H2O)m的两种有机物，若碳原子数相同，即n值同，而m值不同时，它们的相对分子质量之差(b-a)必为H2O的相对分子质量的倍数，故第二空须填入18。
可见，本题建立的模型为(C2O)n(H2O)m，运用它可以重新设置并解决一系列问题，这类模型的建立有时需要化学中的一些量的关系辅助，如原子质量之间(C～12H、 CH4～O、 4C～3O……)；耗氧量之间(C～2O、 2H～O、 C～4H……)；电子数量之间及价键之间的守恒关系。
通过上述例题我们不难看出，用“等量代换法”解这类发散思维有机题的思想模式是：
①从最简单的有机物烃、含氧衍生物入手，确定代表物。
②依题意，找出C、H、O三者的等量关系，结合代表物和等量关系进行代换。
③根据价键法则或有机物的结构特点、性质等，确定符合题意的有机物结构式。
④整个过程体现了有序思维经发散思维到收敛的过程。
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1.a g H2在氧气中充分燃烧后，再通过足量过氧化钠，充分反应，固体质量增加多少克？
2.H2换成CO呢？
3.a g含C、H、O的物质B，在氧气中充分燃烧后，再通过足量的过氧化钠，充分反应，固体质量增加ag，则B的化学式通式是什么？举出B具体的物质2例，并写出其结构简式。
4.一定条件下将质量为x g的有机物在O2中完全燃烧，燃烧后全部产物通过足量Na2O2层，过氧化钠的质量增重Yg, 下列对应关系一定正确的是( )
2运用数学方法建模，使化学问题解决快速化
例2.向1L 0.1mol/L的AlCl3溶液中，加入2mol/L的NaOH溶液，完全反应后，共得到白色沉淀3.9g，求加入的NaOH溶液的体积为多少？
解析：AlCl3溶液中加入NaOH溶液的化学反应有：
①当NaOH少量时， AlCl3+3NaOH Al(OH)3+3NaCl
②当NaOH过量时， 生成的Al(OH)3 沉淀溶解在NaOH中， Al(OH)3 +NaOHNaAlO2+2H2O， 因此画得如右图形：
由图可知：在加入NaOH溶液的整个过程中，生成沉淀质量为3.9g的有A、B两点，也就是加入的NaOH溶液的体积也应有两个量。
作为工具学科，数学对化学问题的解决起到了很好的辅助作用，高中化学经常运用到的数学方法有：应用数轴帮助解决讨论型化学计算题，商余数、代数方程、不定方程、平均值法、不等式、数学归纳法、极限、排列组合、平面几何、立体几何、待定系数法配平方程式、数形结合思想等。
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自20世纪90年代以来，芳-炔类大环化合物的研究发展十分迅速，具有不同分子结构和几何形状的这一类物质在高科技领域有着十分广泛的应用前景。合成芳-炔类大环的一种方法是以苯乙炔(CHC― )为基本原料，经过反应得到一系列的芳－炔类大环化合物，其结构为：
(1)上述系列中第1种物质的分子式为______。
(2)已知上述系列第1至第4种物质的分子直径在1～100nm之间，分别将它们溶解于有机溶剂中，形成的分散系为________。
(3)以苯乙炔为基本原料，经过一定反应而得到最终产物。假设反应过程中原料无损失，理论上消耗苯乙炔与所得芳炔类大环化合物的质量比为____________。
(4)在实验中，制备上述系列化合物的原料苯乙炔可用苯乙烯(CH2=CH)为起始物质，通过加成、消去反应制得。写出由苯乙烯制取苯乙炔的化学方程式(所需的无机试剂自选)_________。
3建立模型，使知识储备、问题解决方略序列化
例3.运用一定的知识整理的方法，将NH3、N2、NO、NO2、HNO3、MNO3的结构、性质、制备、用途作一归纳。
归纳方法可用树状分类法、价态转化法、列表对比法等，此外还有以下一些模型：
相同、相异概念的对比、分析图表；相似问题归类化如电解质溶液中离子浓度大小比较，可抓住电荷守恒和物料守恒；pH的计算(酸性，先求C(H+)，再求pH；碱性，先求pOH，再求pH)等。
当然，在解答具体问题时，有一些方略也要序列化的，如：解答化学实验鉴别题时，抓住“操作现象结论”三步曲；推断题抓住“题眼尝试结论验证”四过程；计算题抓住“思路分析解题过程检验核对”三步骤；实验方案评价题强调“科学、安全、可行、简约”四原则等等。这些都是规范答题并提高得分率的有效方略模式。
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某化学兴趣小组按照下列方案进行“由含铁废铝制备硫酸铝晶体”的实验：
步骤1：取一定量含铁废铝，加足量的NaOH溶液，反应完全后过滤。
步骤2：边搅拌边向滤液中滴加稀硫酸至溶液的pH＝8～9，静置、过滤、洗涤。
步骤3：将步骤2中得到的固体溶于足量的稀硫酸。
步骤4：将得到的溶液蒸发浓缩、冷却、结晶、过滤、干燥。
请回答以下问题：
(1)上述实验中的过滤操作需要玻璃棒、______、______等玻璃仪器。
(2)步骤1过滤的目的是_________________。
(3)当步骤2中的溶液pH＝8～9时，检验沉淀是否完全的方法是____________。
(4)步骤2中的溶液的pH控制较难操作，可改用__________________________。
总之，在中学化学学习中，进行“建模、用模”的尝试，可使学生跳出题海，提高效益，使同类问题的解决更快捷、简便。
数学建模思路简析范文3
关键词：数学 数学思想 运用
数学家米山国藏指出“无论是对于科学工作者、技术人员还是数学教育工作者最重要的就是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位。”数学思想方法是数学宝库中的重要组成部分，是数学科学赖以建立和发展的重要因素。正所谓思想是统帅，思想是灵魂，在数学教育中，使学生掌握大量数学知识背后的思想方法内容，是具有更大开发智力价值的，也只有这样才能抓住数学的本质，才能真正学好数学。
以下将从整体思想、全面思想、转化思想、数形结合思想、归纳思想、演绎思想、临界点思想、方程不等式与函数思想等方面对数学思想加以论述。
一、整体思想
哲学中说不能“只见树木，不见森林”，说的是不能没有全局观念和整体意识。同样，在数学的学习中，也要具有整体思想，它位于整个数学思想体系的首位。
整体思想是将需解决的问题看作一个整体，由整体入手，通过研究问题的整体形式，洞察命题中的整体与局部的关系，实现等价化归使问题得到解决。一般情况下，用整体思想解题的途径为：（1）从整体特性上看问题；（2）从整体到局部看问题。
整体思想可以培养学生思维的灵活性，能使学生开阔眼界，拓宽解题思路，寻找解题捷径，从而达到快速、简洁的效果，甚至起到一举解决问题的作用。
数学的整体思想体现在很多方面，如
二、全面思想（分类讨论思想）
分类讨论的全面思想就是依据所研究对象的性质差异，对问题分各种不同的情况予以分析解决。要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。
全面考虑问题是科学素养、人文素养的重要内容，这一点在数学上体现得尤为突出，许许多多的数学问题都要多角度，全方位进行分析、思考。如
4.一条线段的黄金分割点对称地有两个。到三角形三边距离相等的点有四个，一个内心，三个旁心。
讨论这些问题时须全面，将视野放宽，否则稍有疏忽就会有纰漏。
三、转化思想（划归思想）
“化归”是转化、归结的简称。在数学研究中人们总是把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结为已经能解决或者比较容易解决的问题，从而使问题得到最终的解决。
对于化归思想，匈牙利女数学家罗莎·彼得在她的《无穷的玩艺》中有一个精彩的比喻：摆在你面前的有水龙头、水壶、煤气灶和火柴，任务是烧开水。你将怎么办？毋庸置疑，答案是打开水龙头，把水壶注满水并放到煤气灶上，然后划着火柴，点燃煤气灶烧开即可。有学者指出：“数学中许多计算方法之灵巧，证明方法之美妙，究其思路，往往就是利用了各种转化。”利用化归思想，常常可以另辟蹊径，解决新问题，获得新知识。
利用转化思想可以化未知为已知，化繁复为简洁，化腐朽为神奇。如
1.讨论分式问题，可以联想转化到已知的分数问题。
2.几何问题中证明两条线段相等、两个角相等，一般可以转化为证明两个三角形全等。
3.解方程的换元法也是利用了转化思想。
四、数形结合思想
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质；或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质。
数与形的结合，一方面可以“形”的方式形象直观地思考“数”
的问题，另一方面可以“数”的形式准确严密地探究“形”的本质。笛卡尔开创的“解析几何”就是数形结合的光辉典范，用数轴表示不等式的解集，三角函数中的单位圆、三角函数线等也是数形结合的范例。
五、归纳思想
归纳思想是从特殊到一般，由具体到抽象的思想。研究问题的目的之一便是从一个个特殊的、具体的实例总结、归纳出一般的、抽象的普遍规律。数学证明方法中的数学归纳法便是很典型的例证，研究数列问题时也往往要用到归纳思想，做选择题时常用的特殊值法也是一种归纳思想。
六、演绎思想
有了一般规律，反过来还要应用于具体的实践，为实践服务，这就是从一般到特殊，由抽象到具体的演绎思想。数学公式、定理在具体应用时就是自觉地应用了演绎思想。
七、临界点思想
事物的发展是从量变到质变的，量积累到一定程度就会引起质的飞跃，这里面就有一个临界点问题。物体运动中，当运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态过渡的转折点，这个转折点就是临界点，确定各临界点，依据临界点划分运动过程和运动阶段，分别加以研究，就可以求出各运动轨迹方程等，进而研究其性质。利用临界点思想可以使问题思路清晰，有章可循，而不致如一团乱麻，剪不断理还乱。
八、方程、不等式与函数思想（数学建模思想）
解决较复杂的数学问题时，直接思考较为困难，此时可设出相应的未知数，结合各种参数，构造相应的数学模型，建立方程、不等式或函数，进而解决问题。要善于用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。如著名的“鸡兔同笼”问题，借助二元一次方程组这个数学模型可以很方便地得以解决。
函数思想是构造函数，从而利用函数的性质解题。经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断得比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即可用函数思想解答非函数问题。
鲁迅先生说世上本无路，走的人多了，也便成了路。借用先生的这句话，世上本无所谓思路，建立数学模型后，就有了思路。建模思想在数学，特别是在应用数学中的地位是极为重要的。
数学建模思路简析范文4
【关键词】中职数学；障碍；调查与案例；归因
【*】本文系甘肃省教育科学“十二五”规划课题成果论文.课题批准号：GS[2014]GHB0214
一、问题的提出
长期以来，中职数学的教与学，一直困扰着各学校教学工作的开展.有报道称我国现有的3亿学生中数学学困生达6千万人，学困生的转化是一个老生常谈的话题，但就数学这一科而言，缺少一线教师的动态研究，个中原委，来自学生方面的客观原因固然是主要因素，而教师的理念方法笼统单一，缺乏操作层面的具体性和精细化，不能形成良性的教学环境，亦是重要原因.笔者执教中职数学教学多年，一直在研究学生数学学习的困惑及成因，不断探索有效的破解方法，2014年笔者主持并开展了“中职学生数学学习的障碍及对策研究”的省级课题研究.我们的研究着眼于“使学生掌握必要的数学基础知识，具备必要的相关技能和能力，为学习专业知识，掌握职业技能，继续学习和终生发展奠定基础”，我们认为这个目标和定位是恰当可行的.基于这一目标要求，我们对中职数学采取了低定位，面向全体学生，针对个体差异，全面促进发展的教学思路，研究学生数学学习的障碍成因是课题开展的关键环节.学习障碍（LD），最早是由美国特殊教育家、心理学家柯可（S.Kirk）在1963年“全美知觉障碍儿童基金会”上提出的，他认为学习障碍青少年在语言发展、阅读、思维和技能诸方面存在障碍，这些人不包括有残疾如 聋、哑，他们的智力基本正常但学业成绩明显落后，这一定义标志着学习障碍成为一个独立的研究领域，把学习障碍者当作一个特殊对象，他们的问题属于学习过程受到了妨碍，是学习能力的缺陷，是与学习有关的基本心理过程的失调.
课题组查阅了大量关于中职数学学习的现状及归因分析，一些资料文献的理论颇为丰湛，也提供了一些具有可操作性的实验层面的方法. 前苏联教育家苏霍姆林斯基认为：“学困生”可分为三类：一类属于思维尚未“觉醒“的学生，第二类属于“天赋”面纱尚未揭开的学生，第三类属于“理解力差和头脑迟钝”的学困生.作为一线教育工作者，我们对学困生的认识区别于教育家，去认识学困生有哪些表现，其成因是什么，远远比把学困生进行理论归类有意义的多，研究着眼于动机，兴趣，情感，意志和性格诸方面，诸如缺乏主动性，缺乏学习兴趣，自卑和自信，过度焦虑，缺乏承受力，意志薄弱，存在情感章碍，缺少成功体验等等几乎是共性特征.这里暂且撇开智力因素方面的分析，从心理和方法层面对学生数学学习的障碍成因进行分析.
二、归因分析
1.兴趣缺失，厌倦懈怠不进取
中职学生数学学习兴趣极度缺失，厌学情绪十分严重，数学学习成为一部分学生的一种负担，数学的严谨周密反而成为枯燥乏味的代名词，学生对数学的厌倦心理是一种长期的积淀，课题组采用问卷抽查的方式对一、二年级各两个班153人调查表明，缺少上进心是产生懒惰心理的根本原因，对自身没有目标要求，表现为慵懒，拖沓，不求上进，得过且过，不愿动脑，不愿动手，课堂上踊跃发言的总是个别同学，思维困乏，精神涣散.调查反馈的信息主要集中在下面几个方面：（1）上课不愿听讲，认为课堂上教师的讲解无疑于演绎天书，自己只是一个无所事事的旁观者，难以调动或不想调动自己的情绪去积极思维，或心不在焉，或昏昏欲睡；（2）随堂练习懒得动手，教师巡视到自己跟前装装样子，仿照例题依葫芦画瓢；（3）从来不预习课程，也不整理听课笔记甚至不记录教师讲解的重点及难点突破；（4）作业懒于动手，很少与同学交流问题，作业抄袭现象普遍得惊人.课题组对个别学生进行了谈话，记录了他们对数学学习的部分感言：“我从小就不爱数学，看到数学老师就头疼”，“数学太难了，那么多公式记不住”，“学数学有什么用啊，我的同学数学差的一塌糊涂，早就不上学了，生意照样做得大，挣了不少钱”，“我小学数学还可以，上初中每次考试成绩都不理想，越学越没意思，现在都不想学了”.
2.自卑畏惧，圉于挫折难自勉
学生过分轻视自身，对个人的能力做出过低的不符合实际的评价，从而对于稍加努力就能完成的学习任务，也自叹无能轻易放弃，自卑心理其实是一种自我中心性的表现，在团体中找不到归属感，有困惑不敢请教于老师，也不会启齿于同学，久而久之，于不知不觉中在自己心中筑起了一道无法逾越的“沟壑”.案例分析时我给学生提出这样一个问题：“设想地球为一个球体（半径为6370 km），沿赤道箍紧一圈铁丝，若将此铁丝延长1 m（仍贴近赤道形成圆）， 问铁丝圈与赤道表面形成的空隙能否塞下一个乒乓球？”，片刻之后，有学生嘟噜：“赤道多长啊！增加1米微不足道，别说一个乒乓球，恐怕连一个芝麻也塞不下！”，随后有同学点头附和，我启发学生：“刚才这位同学从直观上给出了一种猜想，大家能否通过计算来检验猜想是否正确？”，许久无人发表意见，我尝试让学生分组讨论但无果而终，最后问题在教师的不断提示下得以解决.随后我与学生进行了交流，下面是几位学生的谈话记录：“一开始觉得问题太抽象，很复杂，所以没想着怎么去解答”，“等老师在黑板上画出两个（同心）圆后，我才意识到，把大圆半径求出来就可以了”，“原来这么简单，我怎么没想到啊”，“老师把赤道长设为c，列出c+12π后，我和同学也讨论过，认为只需求出1π就可以了，但心里拿不准，所以不敢说出来”.事实上只要将实际问题转化为一个平面图形，问题迎刃而解，可就是这个关键的切入点，学生表现为畏惧徘徊，不思考，有想法但顾虑重重.
3.少思寡虑，迷惑纠结疑无路
下面是教学中发生的几个案例.
例1比较2+5与3+4的大小.教师从两个角度予以提示，一是减少根式个数，另一是作差判断符号，但学生依然束手无策，为此进一步启发：当a，b>0时，a>ba2>b2，故将2+5与3+4的大小比较转化为比较（2+5）2与（3+4）2，至此有部分同学能够正确完成解答，仍有相当一部分同学在书写推理过程中表现为逻辑不严密，词不达意；至于用作差比较的方法，教师列出（3+4）-（2+5）=（3-2）-（5-4）后提示学生使用分子有理化方法，但学生对这一方法本身以及该方法的解答目的都茫然无知.
例2下面两组向量式子是否正确？（1）（a・b） ・c=a・（b・c ）；（2）a・b=b・c a=b.问题的解决过程中暴露出学生对向量的数量积与实数的乘积运算混淆不清，没有把握两者的共性和区别，对共线向量的概念完全没有理解.以（1）式为例，教者提出了以下几个问题要求学生辨析：“a・b是向量还是实数”，“（a・b）
・c 这个式子有什么错误”，“（a・b） c 与a（b・c ）分别与哪两个向量共线”，“若将（a・b） ・c=a・（b・c ）改写为（a・b） c=a（b・c ）是否成立”，这些问题逐一解决之后，学生对两个式子的错误原因就比较清楚了.
数学解题，贵在设计，需要认真审题，分析因果，形成解题思路.教学中笔者归纳了学生解题的诸多弊端，以下几点更具普遍性：一是审题太粗，没有看清楚或者没有把握已知条件和待求结果，盲目下笔；二是无法构建条件和结论之间的联系纽带，即便是简单的因果关系，也表现出难以达成自然的思路；三是缺乏基本的能力和方法，更多地体现为显性知识的缺失，焦虑无助，茫然不知所措；四是概念不清，逻辑混乱，推理无据，无的放矢；五是机械模仿，生搬硬套，思维定势负迁移.
4.概念模糊，水中捞月空惆怅
数学概念是对数学对象的本质属性的反映，是数学学习的基础，毫无疑问，概念是进一步学习数量关系、空间形式的“基底”，是数学计算和推理的依据，我们一直把概念作为数学教学的“叩门之石”，而定义不准，概念模糊的现象，则在中职学生身上普遍存在，这直接导致了学生的数学学习成为无的之失，空中楼阁.这里列举一些具体的例子.函数的定义：“设A，B是非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称对应f：AB为从集合A到集合B的函数，记作y=f（x）”，函数的定义本身比较抽象，是中学数学中较难掌握的概念之一，虽然数学教师在这个概念上都会花费很大的精力和时间去做诠释，并辅以各角度的举证辨析，但学生的理解总是懵懵懂懂，究其根源，是学生对定义中“非空”，“任意”，“都有”，“唯一”这些关键词未引起重视或把握不够；又如奇偶函数的定义：“对函数定义域中任意自变量x，都有f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x））成立，则称f（x）为奇（偶）函数”，学生将函数f（x）=x2，x>0判定为偶函数，仅仅是机械套用f（-x）=f（x）而未洞悉定义中隐含的条件是“当x在定义域中时，-x必在定义域中”这一核心内涵；再如，已知A（2，3），B（-1，1），将AB按a=（2，2）平移后，求所得向量CD′的坐标，错解：先求出AB=（-3，-2），用平移公式x′=x+h，y′=y+k得CD=（-1，0），此解法错在平移公式是点的公式，而向量平移不改变向量的性质，所以向量可以自由平移而不会改变向量的坐标表示，这里将点的平移公式与向量平移混为一谈，之后与学生的交流中得知，一部分学生出于审题过程的粗心大意，而另一部分学生则属于概念模糊，盲目照搬.
5.基础缺失，无可奈何花落去
中职学生的数学基础普遍来说非常薄弱.数学是一门系统性较强的学科，多年的职教经验反馈出的信息是，许多学生仅仅掌握了小学阶段有理数范围的加减乘除运算，以及一些简面几何图形的度量计算（主要是长度和面积），而象小学阶段的整体代入的思想，初步的方程思想，图形的变换等知识一无所知或知之甚少，到了初中阶段从数字到代数式的自然衔接没有形成，成绩直线下滑，一些学生开始弃数学如敝履，以至于初中阶段的数学知识出现断层，所以许多中职学校面对新生采取了“补课”的方法，事实上中职教师都比较清楚这个事实，这其中触及到“补缺”与完成中职教学大纲的规定内容之间的平衡问题，需要视具体情况合理处置，究竟这些学生的数学基础达到一个怎样的程度，需要作大量的和有效的调查，比如将学生的数学知识面的掌握区间近似地看作一个正态分布，我们需要找到“隆峰”区间，才能找到“补缺”的切入点.为此本课题组对2013年新入学的学生进行了一系列的数学调查，课题组在个案调研时（50人）命制了下面一道多项式化简：3a2b+4ab2-（2a+b），发现有17人的计算基本如下，原式=3a2b+4ab2-2a2b-ab2=7a3b3-2a2b-ab2=5ab2-ab2=4ab2，如此解法令人惊诧莫名，还有许多学生不能正确求得分式1m+n，1m2-n2，1n的最简公分母，不能将数字0.002049用科学计数法且保留3个有效数字正确表示，不能区分（a）2和a2中字母a的取值范围，凡此种种，不一而足，课题组由此展开了大量的基础知识储备方面的调查，收集了大量资料和信息，并做了整理和归类，以期为今后的教学工作提供策略依据.
6.粗心盲目，一叶障目终抱空
我们经常听到教师抱怨学生过于粗心马虎，这种现象广泛见于各级各类学校，当然中职学生犹甚，但笼统地去谈这个问题，意义和成效并不大，我们觉得将学生的盲目性适当地划分为一些层级去分别研究，应该有益于教学相长，下面的三组问题应该能凸现出相应的层次.第一组测验：（1）在数轴上标出下列各数及其相反数所对应的点：-1.5，3，6；（2）求下列各数的平方根：4，（-2.3）2；第（1）问题中，学生仅在数轴上标出所列数字而未标出其相反数，第（2）问题中学生误将求方根当作求平方，或表现为不能区分平方根与算术平方根.第二组测验：（1）已知集合A={x|y=x-1}，B={y|y=x2+1}，求A∩B，（2）判断函数f（x）=2x2+1，x∈（0，+
SymboleB@ ）的奇偶性，测验结果反映出的问题是：第（1）个问题中不能正确认识集合中的代表元素，第（2）个问题中盲目套用f（-x）=f（x）误判为偶函数；第三组测验：（1）一种产品的年产量原来是a件，在今后的m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出产量与经过年数的函数关系.我们略去了大量低级的错误解法如y=amp%，筛选了一些“靠谱”的解答，学生的解法主要集中于以下三种，法一：设第m年的产量为y，则y=a（1+p%）m，法二：设m年后的产量为y，则y=a（1+p%）m，法三：设第x年的产量为y，则y=a（1+p%）x，解法一错在题设中m为常数，而假设中m为变量，解法二表现为题意理解不清，实际是m年内的任意一年的产量，而假设是m年后的产量，解法三没有结合实际意义给出定义域要求，造成上述错解的原因主要是m年与m年内这两个概念含义混淆，只关注函数解析式而无定义域概念，无建模意识或不知如何建模，仅凭感觉，想当然，不探索，对过程不理解.（2）设想地球为一个球体，沿赤道箍紧一圈铁丝，若将此铁丝延长1米（仍贴近赤道形成圆） 问铁丝圈与赤道表面形成的空隙能否塞下一个乒乓球？此问题几乎所有同学回答为不可能，直观认为铁丝延长1米后与地表产生的空隙几乎为零，微不足道，缺乏对问题的探索，仅凭感觉，盲目定论.
【参考文献】
数学建模思路简析范文5
关键词：数学；课堂练习；有效性；探究
数学课堂练习是一堂数学课的重要组成部分，是学生有效学习的重要载体，是深入理解新授知识、形成技能技巧、培养积极的情感和态度、促进学生深层次发展的有效途径。《数学课程标准》要求课堂练习目标要从“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度价值观”三方面进行设计，使学生获得“四基”，增强能力，培养科学态度。如何创设有效性课堂练习呢？笔者认为，在新课程理念下，主要围绕以下六方面进行有效尝试。
一、体现及时性，提高学生的数学理解力
艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，人在学习之后，遗忘便立即开始，且遵循“先快后慢”的规律。可见，学生学习的新知识要及时练，以便加深和巩固对学习内容的理解与记忆，使大脑的神经联系得到强化。教师应抓住讲完知识点后这个黄金时间及时进行针对性练习。
此练习出现在对整式、单项式、多项式基本概念的呈现之后，以选择归纳的思路提出问题，从而提高了学生对知识的掌握程度。此练习的设计抓住了教学时机，并通过选择巩固了基本概念，规范了学生对基本概念的理解，通过归类找出基本概念的异同点。
二、体现生活性，培养学生的应用能力
《数学课程标准》明确指出“认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。”数学与生活息息相关，学习生活中的数学，享受数学生活，让学生在生活中发现数学，在生活中体验数学，在生活中解决数学。教师要尽可能了解学生的生活实际，让学生学习生活中的数学，用所学知识，解决生活中的实际问题，培养学生的应用能力。
案例2 浙教版八年级下“一元二次方程的应用（1）”课堂练习：
大通商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，商场日盈利要达到2100元，每件商品应降价多少元？每件商品降价多少元时，商品日盈利最大为多少元？
在讲解了一元二次方程在盈利问题的应用后，选择这道商品经济时代“降价促销”的练习题，具有很强的现实意义。它与日常生活密切相关，学生对课堂练习产生一种亲近感，进而由亲近感产生兴趣，为学生的有效练习打下感情基础。如何降价促销，让学生体会降价促销的实质，增进对社会的了解，让学生亲身体验，加深对知识的理解，这样有利于培养学生运用所学知识解决简单实际问题的能力。
三、突出典型性，活跃学生的解题思维
课堂练习要典型精练，练习不在乎多，而在于典型、在于精。由于课堂练习的时间不长，所以必须设计一些紧扣教学要求、典型性的题目，使学生不但将知识熟化，而且要使学生达到掌握解决一类问题的基本方法及规律，加深对相关知识的区别和理解，能从练习中获得对数学思想（如数形结合思想、方程思想等）的理解和应用心得。
此练习在学习了勾股定理与逆定理的知识之后，综合应用勾股定理与逆定理，强调了几组特殊的勾股数。同时也引导学生在遇到计算多边形面积问题时，可以利用“割补法”将原图形变成基本几何图形，学习到化归的数学思想，通过知识的迁移，达到解决问题的目的。
四、注重开放性，发散学生的数学思维
依据教学内容恰当设计各种新颖的练习，能有效地激发学生的好奇心，培养他们的创造性思维，发挥学生的主观能动性，又可以开拓他们的思维，如实践性练习（根据知识的本质特征设计出让学生自己动手操作，并由此发现规律的练习）；开放性练习（开放性问题或条件不充分，或答案不唯一，为学生提供一个创造空间，并在寻求多种答案的过程中，发展学生的发散思维、求异思维和创造思维）。
1.编题
案例4 浙教版八年级上“不等式的基本性质”课堂练习：
发挥你的创造力，根据不等式x>1变形出新的不等式，要求尽可能多地用到不同的不等式性质。
数学新课标有一个突出的特点就是重视学生编题能力的培养，通过编题，不仅加深他们对所学知识的理解，丰富他们的想象力，提高他们的学习兴趣。根据学生编写的题目，评选其中的好题，让他们体会到学习主人的感受，产生得到老师认可的自豪感，激发他们积极投入到创造性的学习中去。
2.变式提问
3.变式训练
变式训练可以脱离就题论题的模式，让学生从题海中逃匿，很轻松地就能理解此类题目，且能达到举一反三之功效。同时通过问题的循序渐进、由简到繁，让学生明确题目的演变过程，揭开综合性较强的题目的神秘面纱，从而形成“析问题，抓本质”的习惯，增强战胜困难的信心和智慧。
此练习的设计中，把复习的内容――相似三角形的高之比为相似之比这一本质特征渗透在练习中。通过一般图形、特殊图形，去研究证明。通过对此练习的剖析，对不同形状的探索，学生体会到动态问题的解题思路是“以动变静”。这样，既可减轻题海负担，又能融会贯通知识，从而达到拓展思路，纵横联系，从而有效地提高学生的发散思维能力和数学建模能力。
五、体现层次性，引领学生体验成功的快乐
《数学课程标准》要求义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。根据教材本身内在的逻辑及学生现有的知识、能力、发展水平，我们在设计数学课堂练习时，找准学生的最近发展区，为学生构建多层次的练习结构，设计适合各种水平学生的练习。这样才能把教师精心设计的作业落到实处，提高作业质量，同时调动学生的积极性，使每个学生都有收获，都能享受到成功的快乐和创新的喜悦。
案例6 浙教版八年级上“探索勾股定理（1）”课堂练习：
A组
课堂练习分为三个梯度：A组题、B组题和C组题，知识层面由浅入深。A组题为紧扣课本内容的模仿性题目，给的数据尽量简单，以给全部学生熟练操作、内化知识为目的。B组题为有点灵活性、综合性的“跳一跳，够得着”的题目，主要是要照顾多数学生。C组题为策略型的题目，使有能力的学生有充分发挥他们聪明才智的天地，使他们及时将知识强化。
精心设计习题是减轻学生课业负担，提高教学质量，发展学生思维能力的有效途径。教师设计习题花的时间多一点，学生练习的时间就可以少一点；设计的习题精一点，学生就能学得活一点；习题设计得少一点，学生就会做得好一点。这样，才能使学生游出题海，在兴趣盎然中巩固知识和培养能力，变“厌学”为“乐学”；让教师依托习题，把课堂变成圆“梦”的载体。
参考文献：
1.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012，1.
2.曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北师大出版社，2001.
数学建模思路简析范文6
一、学生在作业中的学习习惯的现状分析
现状一：读题马虎，计算错误
学好数学，不仅要求学生能熟悉、理解基础理论概念，有分析、解决问题的能力和熟练正确的运算能力，而且要求学生有细心读题、做题的习惯。测试中发现许多学生读题马虎（不看清试题条件、要求，不划出关键词，不完整读题），盲目落笔，结果错误百出。如在选择题中，将“错误的是”看成“正确的是”， 在计算题中：移项不注意变号；“求全面积”看成“求侧面积”；要求写出“与坐标轴的交点”却写成“与x轴的交点”；求中位数时数据不排序；识图不全等。
例1：（2011年萧山区九年级数学期末卷第21题共10分）如图，正方形ABCD的边长为4,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上，且BF=2AE,CG=3AE,DH=4AE。设AE=x，四边形EFGH的面积为s.
求s关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）求当四边形EFGH的面积最小时点E的位置,并
写出此时的面积最小值
此题虽是一题很常规的二次函数最值应用题，但是得分率却很低，从两个班级110个学生中统计出的结果是:得10分只有27%，得8分的有15%，得2分的占22%.有许多同学只能列出s关于x的一个综合列式，化简过程中去括号合并同类项等计算错误很多，最终不能得出正确的二次函数最简形式；有部分同学忘了三角形面积公式中的，而得8分的同学解题不完整少做了自变量的取值范围。
现状二：脱离知识，无从下手
新课标强调，从学生的已有经验出发让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。浙教版的初中数学教材展现了大量的数学素材，它们大多都来源于自然、社会与科学中的现象，与当前生活实际的问题有密切联系。所以试题常将知识承载于一定的背景材料中，这些试题往往是经过数学处理的“形式化”习题，文字叙述更语言化，更贴近现实生活，题目也较长，数量也较多，数量关系分散隐蔽。然而对于此类问题，许多学生往往不能拨开背景，理出数学知识，建立数学模型，答题脱离知识，无从下手。
例2：绿城房地产开发公司要在楼高为18米的居民楼前建一个楼高为25的大型商场，已知冬天的太阳最低时光线与水平线的夹角是30度，商场在居民楼前24m，结果住在二楼的居民们到法院状告开发商，理由是影响了他们的光照（二楼距离地面2.5m）,如果你是法官你会判哪一方赢这场官司呢？
该题以学生熟悉的生活为背景，将建模思想，转化思想等巧妙置于其中，许多学生感到此题难度大，无法从容面对。他们不会正确画图，不能把问题转化为通过解直角三角形比较线段的大小。只是根据生活经验，胡乱的猜一个。
现状三：缺乏规范，随心所欲
教学测试中，有些学生答题缺乏基本规范，逻辑不清。如作图题中不写结论，痕迹不清；解答题不注重说理只关注结果，说理不清楚、不完整，跳跃式说理，词不达意；计算过程不讲究技巧，埋头苦算；证明题中混淆大前提与小前提，混淆条件与结论、证明过程缺少步步有据等。
例3（2011年杭州市中考数学第19题共6分）
在ABC中，AB=，AC=， BC=1
求证: ∠A≠30°;
将ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积。
对此题，不少学生因为没有证直角（，是直角三角形，且）而扣去了全部分数，令不少改卷老师叹息。
现状四：思维不严，错误百出
新课程要求学生对数学问题有分析能力、解决问题能力。我们时常发现学生学习中感到棘手的是考虑问题不全面，只做出了一个答案，不能考虑到分类讨论，不能对答案进行合理的取舍。这也是教师教学的困惑。
例4 ：（1）解方程：x(x-3)=5(x-3)
（2）在等腰RtABC中，∠C=90°，AC=1.过点C作直线l∥AB,F是l上的一点，且AB=AF,则点F到直线BC的距离为 。
这两题其中第一题考查学生对一元二次方程解法的掌握程度，学生出现的错误为方程两边约去因式x-3，得x=5,漏解x=3,没有考虑到约去的前提x-3≠0.第2题考查学生的作图能力、计算能力、转化能力、逻辑思维能力等综合运用知识的能力，而学生中出现的错误主要表现在没有经过推理分析正确找到F点的两个位置，即使算出了也只算对了一个答案的较多。
二、数学作业习惯的培养策略
著名教育家魏书生老师在他的《12种良好学习习惯的培养》一文中写到：教育归根结底是培养习惯，行为养成习惯，习惯形成品质，品质决定命运。教学测试可以看作一次赋予分数的平时独立作业，所以要避免学生在教学测试中出现的问题，则培养平时作业中的良好习惯是至关重要的一点。
策略一：学会圈划读题――养成良好作业习惯的起始点
读题是做题的起点，细心读题、认真审题是做对作业的前提和保证。教师在讲题时，应作出认真审题的示范。读题就要读清题中的已知条件和要求，读懂题中给予图文信息的含义，找出题中的关键词，并用笔“圈划”这些词，使之不仅出现在学生的头脑中，还显现于学生的眼睛里。信息学告诉我们，人的信息70%来自于视觉。强烈的视觉刺激有利于学生明辨条件、要求，从而有利于学生朝正确的方向思考问题。另外，要求学生读完整作业题，决不一知半解时做题，不要在读题的半途中动笔。有时只要读完整题目，就会发现“先入为主”的理解是错误的，从而寻找正确答案。
策略二：学会正确计算――养成良好作业习惯的关键点
运算能力不仅由于社会生活、生产和进一步学的广泛需要可呈现出明显的工具性，而且对于培养具有真正数学能力的人才具有十分重要的奠基性，新课标要求学生是否能够运用合理的计算策略正确地进行计算；是否有对计算结果进行估算和验算的习惯。杭州市自08年后取消了中考中计算器的使用，学生在考试中因盲目计算而失分、因计算速度慢而导致时间不够或因不注重估算而人为加大题目难度等情况屡见不鲜。
平时作业中，严格要求学生完整计算，不允许只列出算式。重视口算与笔算相结合，不使用计算器。运用运算技巧加快运算速度，如熟记1-20的平方数，常用的勾股数：3、4、5；5、12、13；以及3、4、5的倍数；从八年级开始让学生掌握30°和45°角的三边关系1∶∶2 和 1∶1∶并利用三边关系求已知两边确定另一边；强调计算时充分运用因式分解、公式变形、整体思想等简化计算。让学生明确近似计算与估算在中考中的重要性，对一些忽略近似计算要求的同学加以及时指正。
策略三：学会作图列式――养成良好作业习惯的着力处
作图列式是将作业题中的条件、信息转化为学生自己的解题语言，是将其中的隐性内涵表达为显性条件的手段，是思考问题的途径与方法。许多表述数学情景的练习题有时通过文字展现在学生面前，让学生通过阅读再现情景。一些需要分类讨论的问题往往不配图或者只画了任意一种情况，由于没有配图，学生对于题目的理解程度不同，往往会弄错情景、遗漏条件，从而降低作业题的正确率。
平时作业中，要求学生特别注重将数学情景构建成对应的模型图――过程图、状态图、示意图、图象等，将已知条件标注在图形上，寻求因果关系，应用相应的数学知识解决问题，提高作业的正确性。对学生的画图予以严格要求，不能随手画草图，画图工具要求人手一份，图的大小要合理，用铅笔画图。
策略四：学会规范答题――养成良好作业习惯的指示灯
非选择题作业能很好检查学生阅读理解能力、逻辑推理能力、计算分析能力、应用数学能力。新课标对学生在规范答题方面也作了明确的要求。例如：几何推理要做到步步有据，作图题要有痕迹和结论，化简求值要求先化为最简再代入，一些结论性的知识非定理等不能直接用在解答题中，解答题要有关键步骤的说理等。对作业中的选择填空题要求在题目旁边写出解题的关键步骤，而作业批改时注重多种方法的交替使用，注重面批，点评，个别与集体相结合的交流方式，从而规范答题。
策略五：学会题后反思――养成良好作业习惯的推动力
练习作业是学生学好数学的有效手段，但大部分学生只是为了完成任务而解题，做出答案便了结，对自己的解题方法和过程很少去反思和总结，从而失去了训练数学思维方法的最佳机会，也失去了从经验上升到规律，从感性上升到理性的机会。因此，作业题解决以后，要认真总结解题的经验和规律，对解题方法进行评价，提高学生的学习能力。
1．反思解题的多样化。解题的多样化即是一题多解，学生在完成作业题中的一种解法后，要反思解题方法是否唯一？有无更好的解题方法？
例5：已知一函数图像过点（1,3），且当自变量x＞0时，y随x的增大而减小，则满足题意的函数为
经过讨论和点拨，学生得出的答案有：
反比例函数y=、一次函数y=kx+b(k＜0)且过点（1,3）、二次函数只要满足二次项系数小于0，对称轴在y轴左侧且过点（1,3）的均可以。
通过教师的引导和同伴的评价，得到一题的不同答案或解法，启发自己寻求变异，从不同方面对同一问题进行思考，学生养成多角度地解决问题的思维习惯。
2．反思条件的变式化。对作业题中某些条件加以改变，衍生出新习题来训练，这既可提高作业题的价值，又可克服思维定势。做题不是以学习书本知识为最终目的，更重要的是在学习过程中掌握一种学法，习得一种规律，有利于学生将学法迁移运用，学会学习。
例6：求证：正三角形一边上的点到另两边的距离之和等于这边上的高。
变式：1.等腰三角形底边上的点到两腰的距离等于底边上的高吗？等于腰上的高吗？
2.若这点在等腰三角形底边延长线上，是否有上述关系？
通过以上一系列变式题目的训练，可以让学生进一步体验到面积法在题目中的运用，体会特殊到一般的解题思想，掌握变式题的解题规律和方法。
3．反思知识的形成化。知识的形成化是指在解题中体现出来的形成知识的过程和思想方法，知识的形成比形成知识的结果更为重要。课标要求让学生经历知识的形成与应用过程，要帮助学生克服机械记忆概念、定理等的学习方式，所以要反思知识的形成过程中定义、定理的由来，所运用的数学思想和数学方法。
例7：在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程。
此题从演绎归纳的角度出发，通过寻找出事物的规律来解决数学问题，更多关注的是学生探索性思维能力和创新思维能力的考查。如果平时作业中注重知识的形成过程，不死记硬背结论，就会避免此题直接利用公式 得到20，而没有思考过程的不完整解题现象。
4．反思知识的规律化。知识是有规律可循的。学生对几个同类作业的反思，会从解题经验上升到知识规律，从感性认识上升到理性认识。达到举一反三，触类旁通的学习效果。
例8：解直角三角形中对于直角三角形只要已知两元素（至少有一条边）就可以求出其它元素，对于非直角三角形只要是已知SAS,ASA,AAS,SSS四个中的任何一个，都可以通过作高线转化为解直角三角形求其余的边和角。又如判断两变量之间的函数关系时，如果两变量的乘积是常量则两变量满足反比例函数关系，若两变量的比值是常量则满足正比例函数，若自变量以相同值增加时，对应的函数值也以某个常数增加（即一次差为常量）则两变量满足一次函数关系，若自变量以相同值增加时，对应的函数值的二次差为常量则满足二次函数关系。
5．反思知识的网络化。学习如捕鱼，用鱼线鱼钩只能钓到几条鱼，用鱼网才能打到更多的鱼。一节一章作业后，将知识整理，形成知识结构简图，并补充完美的“枝叶”，这样才会使知识关系明晰化，知识结构网络化。
例9：二次函数三种解析式网络图：
策略六：学会收集整理――养成良好作业习惯的合力点
⑴收集典型例题。作业中不乏有经典题型，要做有心人，将其收集归纳。经典题型之所以经典，是因为它具有知识的全面性，思路的严密性，解法的通用性等特点。
⑵收集归类错题。参考资料千好万好，不如学生自己做的作业好，自己做过的错题是最宝贵的学习资源，自己所经历的错误是最直接的感性认识。所以收集整理学生自己出错的题目，比多做几个作业更加有效。可将错题归类：审题不仔细的；解题不规范的；复习不到位的；知识不扎实的；题目有难度的。及时进行错题的整理是一个再学习的过程，使学习有针对性、实效性。
⑶收集特殊解法。典型解题具有通用性、普遍性，但也有繁琐、难解、易造成思路僵化的局限性。一些作业题的特殊解法具有创新性、简捷性，为此，也要对这些作业题进行收集整理。如判断二次三项式的值能否取到某个数时，突破常规不解一元二次方程而是求它的最值来判断；说明两三角形不相似的方法；证明黄金比的设比值为k法等。
例10:如图，
在RtABC中，∠C=90°将其绕点B顺时针旋转一周， 则分别以BA,BC为半径的圆形成一圆环，该圆环的面积为：此题学生常常采用分别求AB、BC的长度考虑问题，而这两条线段的长度不能分别求出，于是很多学生的思路在此被卡住了，把一题较难题变成了自己的难题，实际上部分同学想到利用整体思想求出（AB2-BC2=AC2）后很快能算出答案D
三、学生作业习惯培养应注意的问题
1．学生作业习惯的养成要循序渐进
在平时作业中，我们要求学生用提问操作法来监控自己的学习过程：
审题时，提出：⑴我是否弄清了题意？⑵我获得了什么信息？还有那些隐含条件？⑶是否要画出示意图？解题时，提出：⑴我的解题思路正确吗？有无更好的解法？⑵与基本题型比较有什么异同？可否进一步改编？⑶要分几步完成？格式规范吗？查题时，提出⑴我的解题理由充足吗？⑵得到的结论在数量上合理吗？⑶除了答案我还学到了什么？以前的错误在本题中存在吗？
以上问题，起先由“教师提问”逐渐转化为“学生自问”，实现了有他控转化为自控，养成了良好的学习习惯。
2．学生作业习惯的养成应遵循的原则
在平时作业中培养学生良好的学习习惯的实践中遵循的原则：
细微性原则： 学习习惯培养的细微性体现在平时学习的点滴之中，应从作业常规抓起，从作业中的细枝末节做起。
长期性原则： 学生形成良好的学习习惯，不是一蹴而就的事，习惯是经过反复练习而形成的较为稳定的行为特征，这就需要对学生进行长期的培养。
主体性原则：学生是学习的主人，只有学生自觉自愿地主动参与习惯的养成中来，才会有效果。
学生良好学习习惯的养成不仅源于学生自身，而且也受诸多外因的影响――比如教师的教学行为习惯。教师的行为习惯常成为学生的模仿对象，所以教师在要求学生养成良好学习习惯的同时，自己也要养成良好的教学习惯。如果要求学生做作图题时画直线要用直尺，教师在讲课时却徒手在黑板上画直线；要求学生写正确规范的字，自己却在黑板上龙飞凤舞地书写或字母运用不规范；要求学生正确运用数学语言，教师讲课中却不规范运用数学语言，试问，在这样教育下，学生会养成良好的学习习惯吗？因此，教师在教学中要以身作则，使学生在学习中受到潜移默化的影响。这样，学生良好的学习习惯才能得以更好地养成。
参考文献：
[1]国家教育部.数学（7~9年级）课程标准.北京师范大学出版社，2001.
[2]浙江省中考试题精粹（2004-2010）.浙江教育出版社.
