前言：中文期刊网精心挑选了数学建模稳定性分析范文供你参考和学习，希望我们的参考范文能激发你的文章创作灵感，欢迎阅读。
数学建模稳定性分析范文1
（1.温州大学电气数字化设计技术浙江省工程实验室，浙江温州325035；2.浙江埃菲生能源科技有限公司，浙江温州325032）
摘要：在LCL型光伏并网逆变器中，电流控制器的比例控制系数设计不合理易造成系统不稳定，甚至损坏逆变器。对采用逆变侧电感电流反馈的LCL型三相光伏并网逆变器进行数学建模，运用Routh?Hurwitz稳定性判据基于系统离散化模型进行稳定性分析，可求得比例控制系数的精确范围。分析逆变侧电感、滤波电容以及网侧电感的取值与比例控制系数的关系，探讨滤波电感和电容的取值对系统稳定性的影响。通过Matlab仿真及在50 kW光伏逆变器实验平台上进行测试，验证了所进行的稳定性分析的正确性。
关键词 ：逆变器；电流控制器；稳定性判据；比例控制
中图分类号：TN710?34；TM464 文献标识码：A 文章编号：1004?373X（2015）16?0141?04
收稿日期：2015?03?24
基金项目：国家自然科学基金资助项目（51207112）
0 引言
人类社会的快速发展使能源消耗量剧增，石油等不可再生能源的日益枯竭引起全球各界的担忧。石油、煤等化石能源燃烧排放出大量的二氧化碳、二氧化硫等气体引起温室效应、酸雨等环境问题，对人类的生存和发展构成严重的威胁。发展新能源已经成为全球能源变革的大趋势。太阳能是人类可利用的最丰富的清洁能源而得到世界各个国家的重视，我国先后实施“金太阳示范工程”和颁布一系列政策支持分布式光伏发电，大力推动了光伏产业的发展。
逆变器作为光伏并网系统的核心，其控制技术是整个并网系统的重点。电流谐波含量是逆变器并网技术规范中的一项重要指标，在并网逆变器中一般采用适当的输出滤波器抑制并网电流谐波含量。L 滤波器的体积大且滤波效果不理想，LCL 滤波器减小了体积且对高频电流谐波分量有更强的抑制能力而得到广泛的应用[1?4]。由于LCL 滤波器是三阶系统，二阶谐振零极点多，若控制器设计不当容易造成系统的不稳定[5?8]。
在工程应用领域，并网逆变器常用的控制方法有比例积分控制（PI）、比例谐振控制（PR）等[9?10]。比例控制对逆变器控制系统的稳定起主导作用，积分控制和谐振控制是为消除静差而引入。为此，本文运用一种适合工程应用的离散化方法，对采用逆变侧电流反馈的LCL型三相并网逆变器的数学模型进行离散化分析，根据Routh?Hurwitz稳定性判据可以得到比例控制系数的精确范围。在此基础上，探讨电感和电容的取值变化与比例控制系数的关系，由此探讨电感和电容对系统稳定性的影响。
1 系统建模及离散化
1.1 光伏逆变器模型
图1为三相LCL型并网逆变系统原理图。直流电压Udc由太阳能电池板产生，经全桥逆变电路后将直流电转换成交流电，通过控制逆变侧电感电流的频率和相位来跟踪电网电压的频率和相位，使输出电流保持为与电网电压同频同相的正弦信号，从而达到并网运行的目的。图中L1为逆变侧电感，C 为滤波电容，L2为网侧电感。
1.2 系统建模及离散化
三相逆变器的调制电压uM 设计为电网电压前馈ug加上电流给定i* 与电流反馈i 的误差乘以比例控制系数kp 的组合，即：
其中，电网电压前馈ug 抵消电网电压的变化，因此比例控制的控制方程式为：
为便于分析，假设三相电网平衡，电感、电容及开关管均为理想器件，则三相逆变器的每一相的工作状态一样。建立单相LCL滤波器的模型，可分析三相LCL滤波器。单相控制系统数学模型如图2所示。
这里取逆变侧电感电流i1 ，电容电流iC ，及电容两端的电压uC 为状态变量，得到下列方程：
由于实际工程控制中一般是离散数字控制系统，因此需将上式离散化，即已知当前状态取值的条件下，求解出下一时刻状态的取值。这里利用Laplace 变换求解，状态方程的离散化形式为：
采用比例控制，反馈电流从L1处采样，由式（2）可知：
可知加入比例控制后的离散状态方程为：
其中转移矩阵为：
2 系统稳定性分析
2.1 系统的特征方程及稳定性分析
控制系统的特征方程：
于是可得系统的特征方程为：
系统稳定的条件是特征根的模|λ| < 1。为利用劳斯判据，将特征方程作双线性变换，即令：λ = x + 1x - 1 。整理后的特征方程为：
于是，|λ| < 1 等价于x 的实部小于零。根据Routh?Hurwitz 稳定性判据条件，求得比例控制系数的范围为：
2.2 仿真验证
仿真参数：逆变侧电感L1=160 μH，滤波电容C=450 μF，网侧电感L2=40 μH，采样周期T=100 μs。根据上述理论推导可知，求得比例控制系数的范围为：0<kP<3.16。图3~图5 分别为kP 取不同值时的逆变器输出电流波形，比较图3~图5 可知：当0<kP<3.16 时，逆变器的电流输出波形稳定，不存在谐振现象；当kP=3.16 时，系统处于临界状态，一开始系统谐振，波形短期内恢复至稳定状态；当kP>3.16取值kP=3.2时，逆变器系统谐振，电流波形发散，不能稳定控制。由此可知，该离散化方法能够精确计算出比例控制系统的稳定控制范围。
2.3 实验验证
为进一步验证所进行的稳定性分析的正确性和有效性，在50 kW 光伏逆变器平台上进行实验，根据该平台的参数计算出相应的比例控制系数。图6 所示为kP取不同值时，逆变器的A相电流输出波形。由图可知，当kP=3.1时，系统稳定；当kP=2.05时，系统接近谐振，输出波形较差；当kP=2.1时，系统谐振。
3 比例控制系数kP的影响因素
3.1 电容C 的取值对kP的影响
电感L1 的取值范围为（2.4e-6）~（1e-3）H 时，函数f (L1)的曲线如图8所示。
分析可知，电感L1与kP几乎为正比例关系，kP随着L1的增大而增大。
3.3 电感L2的取值对kP的影响
本仿真的参数为：C=（450e-6）F，L1=（160e-6）H，T=（100e-6）s。
分析可知，电感L2对kP几乎无影响。
综上所述，当采用逆变侧电感电流反馈时，逆变侧电感L1的取值对比例控制系统的影响最大，也就是对逆变系统的稳定性影响最大。
4 结语
详细介绍一种离散化的比例控制系数整定方法，可精确地计算使系统稳定的比例控制系数范围。总结电感和电容的取值对比例控制参数的影响，能够有效地指导逆变器电流控制器的设计。降低并网逆变器的调试难度和风险，具有较高工程应用价值。
参考文献
[1] 胡雪峰，韦徵，陈轶涵，等.LCL滤波并网逆变器的控制策略[J].中国电机工程学报，2012，32（27）：142?148.
[2] 祝龙记，张旭立.光伏并网逆变器LCL陷波校正滤波器[J].电工技术学报，2012，27（9）：237?241.
[3] 郭小强，邬伟扬，顾和荣，等.并网逆变器LCL接口直接输出电流控制建模及稳定性分析[J].电工技术学报，2010，25（3）：102?109.
[4] 郑昕昕，肖岚，王长宝，等.三相变流器LCL滤波器参数优化新方法[J].中国电机工程学报，2013，33（12）：55?63.
[5] 陈东，张军明，钱照明.带LCL 滤波器的并网逆变器单电流反馈控制策略[J].中国电机工程学报，2013，33（9）：10?16.
[6] 殷进军，刘邦银，段善旭.LCL滤波并网逆变器双环控制参数设计与优化[J].电力系统自动化，2013，37（9）：123?128.
[7] 白志红，阮新波，徐林.基于LCL 滤波器的并网逆变器的控制策略[J].电工技术学报，2011，26（1）：118?124.
[8] 李泽斌，罗安，田园，等.LCL型光伏并网逆变器电流内环控制方法[J].电网技术，2014，38（10）：2772?2778.
[9] 鲍陈磊，阮新波，王学华，等.基于PI调节器和电容电流反馈有源阻尼的LCL 型并网逆变器闭环参数设计[J].中国电机工程学报，2012，32（25）：133?142.
[10] 刘红，李赟，徐宗发.应用于三相并网逆变器的PR 解耦控制器[J].电力电子技术，2013，47（4）：14?16.
数学建模稳定性分析范文2
【关键词】房价趋势;冲突分析;稳定性分析;判断矩阵
从2006年开始房价以较大的幅度上涨，在2013年，北京广州等7个城市房价全年涨幅在20%-30%，上海、南京等17个城市涨幅在10-20%，涨幅在5-10%和0-5%的城市分别有39个、29个，百城平均涨幅为11.51%，仅温州海口等8个城市下跌[1]。房价持续上涨使房地产行业的利润增高，社会资本流入房地产业，导致其它行业的资源减少，发展缓慢，并会拉大收入差距，不利于扩大内需[2]。
2014年1-3月份，楼市出现了变动迹象，全国商品住宅销售面积同比下降5.7%，相比去年增幅下滑23.2%;住宅销售额同比下降7.7%，与去年相比下滑34.3%。在成交量和成交价双降的情况下，部分开发商选择降价促销以加快资金回笼。部分楼盘大幅降价，使已购买住房的业主感到很不满。房地产业与地区和国家经济联系紧密[3]，若房价暴跌将会影响经济的发展和社会的安定[4]。
房价的波动牵动着中国的神经，房价大涨或暴跌都是我们不愿看到的。政府已经出台了调控政策，但不同城市房价涨跌各异。由于影响房价的因素较多[5]，这些调控政策的作用难以明确显示。假如没有这些调控政策，任由房产市场自由运作，房价会如何？本文用冲突分析法，构建了由政府房产开发商住房刚性需求者和炒房者作为局中人的冲突模型，研究自由市场环境下房价的稳定性趋势。
1.冲突分析
冲突分析法是国外在经典对策论和偏对策理论基础上发展起来的一种对冲突行为进行分析的决策分析方法。它能通过对难以定量描述的现实问题的逻辑分析，进行冲突事态的结果预测和过程分析，帮助决策者做出科学的决策[6]。
冲突模型构建的主要要素有：
（1）局中人：是指参与冲突的集团或个人，他们拥有部分或完全的独立决策权。
（2）选择或行动：是各局中人在冲突事态中可能采取的行动。
（3）结局：是由各局中人的策略组合形成的局势。
（4）偏好序列：是各局中人按照自己的目标，对可行结局排出的优劣次序。
得出局中人的偏好序列后，需对各结局进行稳定性分析。
分析过程有三个先决条件：①每个局中人都不断朝着对自己有利的方向改变策略;②局中人在决定自己的决策时会考虑其他局中人可能的反应及对本人的影响;③平稳结局必须能被所有局中人共同接受。
稳定性分析时须确定每个可行结局对局中人而言的状态，以局中人A、B为例：
（1）合理稳定结局。若对结局q不存在单方面改进，则q是合理稳定结局，记作R。
（2）连续处罚性稳定结局。若对结局q存在单方面改进结局q'，且q'对于局中人B也存在单方面改进结局q''，但结局q''对于局中人A不比q更优，则称结局q的单方面改进结局q'存一个连续性处罚。若结局q的所有单方面改进都存在连续性惩罚，则称q为连续处罚性稳定结局，记作S。
（3）非稳定结局。考虑结局q，如果存在单方面改进局势，但又不是s，则称q为非稳定结局，记作U。无单方面改进局势，记作X。
（4）同时处罚性稳定结局。若对于局中人A、B，结局q是非稳定的，那么在AB同时朝着q进行单方面改进产生的结局{pk}中，存在一个对于局中人A而言，不比q更优的p0，则称对于局中人A，结局q的单方面改进结局存在一个同时性处罚。若对于局中人A，结局q的全部单方面改进结局，都存在同时性处罚，则称q为同时处罚性稳定结局，记作U。
2.模型构建
房价冲突问题的局中人为政府、房产开发商、住房刚性需求者和炒房者。在冲突中，政府希望在控制商品住房土地供应量和房价稳定于较低水平的情况下，住房刚性需求者能买到房;房产开发商希望低价从政府手里拿到土地，然后将房屋高价卖出;住房刚性需求者希望能低价买到住房，并且在较长时期内保值;炒房者则希望房价走高，买到更多的房子，然后高价卖给或出租给住房刚性需求者。可以看到，房价冲突中局中人的目标分歧严重，冲突激烈且难以调和。
在冲突中，局中人都会选择对自己目标更有利的决策。为了便于建模，本文认为局中人的决策为：政府增加或减少商品住房用地供应量;房产开发商抬高或降低房价;住房刚性需者租房或买房;炒房者卖房或买房。
局中人决策的组合共可形成28=256种结局，由于每个局中人的决策相互矛盾，而且必须做决策，所以会有大量不可行结局被排除。建模时用“1”表示采用某决策，“0”表示不采取该决策，将每一列的二进制向量转换成相应的十进制值作为该结局的代码，可行结局如表1所示。
3.结局偏好排序
3.1 计算结局权重
为了进行稳定性分析，需要确定各局中人对上述16种可行结局的偏好。本文应用层次分析法中的判断矩阵来确定权重，以进行偏好排序。由于心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个[7]，所以本文不直接用判断矩阵计算各结局对局中人的权重，而是先确定各决策对局中人的权重。由于结局是决策的组合，将各决策对局中人的权重累加求和，从而计算出各结局对局中人的权重，做出结局排序即可得到偏好序列。
设与总目标z相关的n个因素为x1，x2，…，xn，对于i，j=1，2，…，n，以aij表示xi与xj关于z的影响的比值，并用9个标度来表示，从而得到这n个因素关于z的两两比较判断矩阵A。标度及含义如表2所示。
表2中第二行描述的是从定性的角度，xi与xj相比较重要程度的取值，第三行描述了介于每两种情况之间的取值，1～9的倒数分别表示相反的情况。
权重的确定直接影响到分析结果，为保证得到的权重的合理性，需对判断矩阵进行一致性检验[8]。一致性检验，步骤为：
（1）计算判断矩阵的最大特征值：，，的最大特征值所对应的特征向量归一化后即为排序权重向量。
（2）计算一致性指标C.I.，。
（3）查表求相应的平均随机一致性指标R.I.。
（4）计算一致性比率C.R.，。
当，认为判断矩阵具有满意一致性。查表得，矩阵阶数为8的。应用上述构造判断矩阵的方法可得政府的判断矩阵，再依据一致性检验步骤进行检验，结果如表3所示。
，判断矩阵具有满意一致性。将各可行结局对应的二进制向量与w向量相乘，得出各可行结局对政府的权重。按照同样的方法构造判断矩阵并检验，可计算出各可行结局对其他局中人的权重。
3.2 结局偏好序列
对各结局的权重按大小做排序可得政府、房产开发商、住房刚性需求者和炒房者的结局偏好序列，结果如表4所示。
4.稳定性分析
4.1 稳定性分析过程
依据稳定性分析的先决条件和各稳定结局的定义，对结局偏好序列进行稳定性分析。通过逻辑推断得知结局85对政府而言是同时处罚稳定性结局，可行结局对于各局中人的稳定状态如表5所示。
4.2 稳定性分析结果
由表5知，只有结局166对于每个局中人都属于稳定结局，任何局中人都无法通过单方面改进决策获得更好的局势，则全局平稳结局为166。结局166对应局中人的决策为：政府减少商品住房用地供应量、房产开发商抬高房价、住房刚性需求者买房、炒房者买房。
5.结论
（1）本文运用冲突分析法研究在自由市场环境下房价的变动趋势。冲突分析的结果为政府减少商品住房用地供应量、房产开发商抬高房价、住房刚性需求者买房、炒房者买房，比较符合近年的事实。房价变动趋势为上涨，表明如果政府不干预，房价会持续走高。
（2）住房刚性需求者的单方面改进局势较少，表明在这场博弈中住房刚性需求者处于劣势。他们是房价的最终承担者，在让市场自由运作不易控制房价上涨的情况下，就需要政府运用科学的调控手段加大调控力度。事实上政府已经出台了很多政策，例如：增加住房建设用地和保障性住房的有效供应;实行严格的差别化住房信贷政策;加强对房产开发企业购地和融资的监管等。开发商住房刚性需求者和炒房者不仅要严格执行既定政策，还须自觉规范行为积极配合政府以促进楼市健康发展。
参考文献
[1]吴江玲.论我国房价上涨原因及减缓房价上涨的措施[J].北方经济，2013（05）：64-66.
[2]傅东平.高房价及其对中国经济的影响研究[J].改革论坛，2010-8：127-128.
[3]刘淑妮.基于模糊综合评价法的房地产投资风险研究[J].西安工程大学学报，2009，23（3）：120-124.
[4]刘薇薇.房价下跌对中国经济的影响分析[J].现代商贸工业，2012（8）：131-132.
[5]周鸣.影响房价的因素分析[J].时代金融，2013（11）：155-156.
[6]陈家昀.基于冲突分析的中日争端评价[J].科技信息，2013（13）：491-493.
[7]邓雪.层次分析法权重计算方法分析及其应用研究[J].数学的实践与认识，2012，42（7）：93-100.
[8]郭建亮.基于模糊综合评判的防空武器系统作战能力评估[J].西安工程大学学报，2009，23（1）：112-115.
[9]汪应洛.系统工程[M].机械工业出版社，2008：153-160.
[10]吴祈宗.系统工程[M].北京理工大学出版社，2008：65-67.
基金项目：陕西省科学技术研究发展计划项目（2013KRZ21）;中国纺织工业联合会科技项目（2013059）
数学建模稳定性分析范文3
关键词：MATLAB；自动控制系统；系统响应；系统设计
0 引言
高职院校的学生重在强化职业技能的培养，而《自动控制原理》这门课程中除了讲解控制系统的工作原理外，控制系统的模型是一个非常重要的环节，对控制系统性能进行定量的计算和分析，离不开控制系统的数学模型，涉及到对微分方程数学模型的求解，用到Laplace变换及反变换，对系统响应超调量、上升时间、调节时间、峰值的求取，都要用到繁琐的数学计算，对系统时域或者频域稳定性的分析，绘制Naquist曲线和Bode图以及系统的校正与设计，如果全靠手工计算数据，手工绘图的话，费时费力，有时还得不到准确的数据和图像。
MATLAB是Mathworks公司开发的一种集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的功能强大、操作简单的优秀工程计算应用软件。MATLAB不仅可以处理代数问题和数值分析问题，而且还具有强大的图形处理及仿真模拟等功能。
1 MATLAB在控制系统建模中的应用
MATLAB是国际控制界目前使用最广的工具软件，几乎所有的控制理论与应用分支中都有MATLAB工具箱。这里结合自动控制理论的基本内容，采用控制系统工具箱（Control Systems Toolbox）和仿真环境（Simulink），体会MATLAB的应用。
1.1 用MATLAB建立传递函数模型
1.1.1 反馈系统结构图模型
图1 反馈系统结构图
设反馈系统结构图如图1所示。控制系统工具箱中提供了feedback（）函数，用来求取反馈连接下总的系统模型，该函数调用格式为：G=feedback（G1，G2，sign）。
1.1.2 Simulink建模方法
在一些实际应用中，如果系统的结构过于复杂，不适合用前面介绍的方法建模。在这种情况下，功能完善的Simulink程序可以用来建立新的数学模型。
典型二阶系统的结构图如图2所示。用SIMULINK对系统进行仿真分析。
图2 典型的二阶系统结构图
将画出的所有模块按图2用鼠标连接起来，构成一个原系统的框图描述如图3所示。
图3 二阶系统的simulink实现
利用MATLAB命令plot（tout，yout），可将结果绘制出来，如图4所示。比较图4和图5，可以发现这两种输出结果是完全一致的。
图4 仿真结果示波器 图5 MATLAB命令得出
显示图 的系统响应曲线
2 利用MATLAB进行时域分析
2.1 线性系统稳定性分析
系统的零极点模型可以直接被用来判断系统的稳定性。另外，MATLAB语言中提供了有关多项式的操作函数，也可以用于系统的分析和计算。
2.1.1 直接求特征多项式的根
设p为特征多项式的系数向量，则MATLAB函数roots（）可以直接求出方程p=0在复数范围内的解v，该函数的调用格式为：v=roots（p）
利用多项式求根函数roots（），可以很方便的求出系统的零点和极点，然后根据零极点分析系统稳定性和其它性能。
2.1.2 系统动态特性分析
已知传递函数为：
利用以下MATLAB命令可得阶跃响应曲线如图6所示。
图6 MATLAB绘制的响应曲线
>>num=[0，0，25]；den=[1，4，25]；step（num，den） grid
title（1Unit-Step Response of G（s）=25/（s^2+4s+25
）1）
2.1.3 求阶跃响应的性能指标
已知二阶系统传递函数为：
利用下面的stepanalysis.m程序可得到阶跃响应如图 7及性能指标数据。
>> G=zpk（[ ]，[-1+3*i，-1-3*i ]，3）；
% 计算最大峰值时间和它对应的超调量。
C=dcgain（G） [y，t]=step（G）；plot（t，y） grid；[Y，k]=max（y）；timetopeak=t（k）
percentovershoot=100*（Y-C）/C% 计算上升时间。
n=1；
while y（n）
n=n+1；
end
risetime=t（n） % 计算稳态响应时间。
i=length（t）；
while（y（i）>0.98*C）&（y（i）
i=i-1；
end
setllingtime=t（i）
运行后的响应图如图6，命令窗口中显示的结果为
C=0.3000 timetopeak=1.0491
percentovershoot=35.0914 risetime=0.6626
setllingtime=3.5337
图7 二阶系统阶跃响应
2.1.4 利用MATLAB绘制系统根轨迹
控制系统工具箱中提供了rlocus（）函数，可以用来绘制给定系统的根轨迹。
已知系统的开环传递函数模型为：
利用MATLAB命令可容易地验证出系统的根轨迹如图8所示。
3 利用MATLAB进行频域分析
3.1 用MATLAB作奈魁斯特图
虑二阶典型环节：
图8 系统的根轨迹
利用下面的命令，可以得出系统的奈氏图，如图9所示。
>> num=[0，0，1]；den=[1，0.8，1]；nyquist（num，den）% 设置坐标显示范围
v=[-2，2，-2，2]；
axis（v）
grid
title（′Nyquist Plot of G（s）=1/（s^2+0.8s+1）′）
图9 二阶环节奈氏图
3.2 用MATLAB作伯德图图
给定单位负反馈系统的开环传递函数为：
利用以下MATLAB程序，可以直接在屏幕上绘出伯德图如图10。
>> num=10*[1，1]；den=[1，7，0]；bode（num，den）grid
title（′Bode Diagram of G（s）=10*（s+1）/[s（s+7）] ′）
该程序绘图时的频率范围是自动确定的，从0.01弧度/秒到30弧度/秒，且幅值取分贝值，ω轴取对数，图形分成2个子图，均是自动完成的。
图10 自动产生频率点画出的伯德图
4 利用MATLAB进行频域法串联校正
利用MATLAB可以方便的画出Bode图并求出幅值裕量和相角裕量。通过反复试探不同校正参数对应的不同性能指标，能够设计出最佳的校正装置。
给定系统如图11 所示，试设计一个串联校正装置，使系统满足幅值裕量大于10分贝，相位裕量≥45o。
为了满足上述要求，我们试探地采用超前校正装置Gc（s），使系统变为图12的结构。
图11 校正前系统
图12 校正后系统
引入一个串联超前校正装置：
我们可以通过下面的MATLAB语句得出校正前后系统的Bode图如图13，校正前后系统的阶跃响应图如图14。其中ω1、γ1、ts1分别为校正前系统的幅值穿越频率、相角裕量、调节时间，ω2、γ2、ts2分别为校正后系统的幅值穿越频率、相角裕量、调节时间。
>> G1=tf（100，[0.04，1，0]）； % 校正前模型
G2=tf（100*[0.025，1]，conv（[0.04，1，0]，[0.01，1]）） % 校正后模型
% 画伯德图，校正前用实线，校正后用短划线。
bode（G1） hold bode（G2， ′――′）%画时域响应图，校正前用实线，校正后用短划线。
Figure G1_c=feedback（G1，1） G2_c=feedback（G2，1） step（G1_c） hold step（G2_c， ′――′）
图13 校正前后系统的Bode图
图14 校正前后系统的阶跃响应图
可以看出，在这样的控制器下，校正后系统的相位裕量由28o增加到48o，调节时间由0.28s减少到0.08s。系统的性能有了明显的提高，满足了设计要求。
5 结论
通过MATLAB在建模、时域分析、频域分析、系统校正中的应用可以看到，MATLAB工具箱在自动控制原理课中的应用无处不在，MATLAB不仅可以处理代数问题和数值分析问题，而且还具有强大的图形处理及仿真模拟等功能，从而很好地帮助老师和学生解决《自动控制原理》这门课中实际的数据计算、图形绘制、性能指标求取以及系统校正与设计等技术问题。
参考文献：
[1]黄中霖.控制系统MATLAB计算及仿真[M].北京：国防工业出版社，2001.
[2]王正林，王胜开，陈国顺.Matlab/Simulink与控制系统仿真[M].北京：电子工业出版社，2005.
[3]尹瑞竹.Matlab软件在自动控制原理教学中的应用[J].学术论坛，2007.
[4]刘卫国，陈昭平，张颖.MATLAB程序设计与应用[M].北京：高等教育出版社，2002.
[5] 薛定宇.控制系统仿真与计算机辅助设计[M].北京：机械工业出版社，2005.
数学建模稳定性分析范文4
【关键词】abaqus；有限元；水闸；位移；应力
1 引言
水闸底板的内力计算传统方法都是采用弹性地基梁的方法进行，且认为地基是无限均质体，而有限元分析可以将地基和上部结构统一划分单元，从而使闸室地基协调一致共同变形[1]；有限元法实质是一种在物理或工程问题的数学模型上进行近似数值计算的方法[2]。传统的受力计算方法难以反映结构的整体作用，也不能准确描述关键部位的应力状态和变形情况[3-4]。本研究采用线弹性有限元法，将整个水闸结构和地基作为一个整体进行计算，考虑了闸墩、底板和地基的不同材料特性，模拟荷载工况和约束条件，反映了水闸结构关键部位的位移和应力变形情况，为水闸的整体稳定性分析和配筋计算提供了设计依据。
2 工程概况
西大河水闸总的闸室宽度为42m，布置成3孔，单孔净宽14m。闸室工作闸门门型为下卧式钢坝闸门，采用液压式启闭机控制。
闸室采用钢筋混凝土整体坞式结构。水闸底槛标高为-0.20m，闸底板顶高程为-1.50m，底板厚1.80m，闸室顺水流方向长18.00m，中墩厚4.20m，边墩厚3.20m；按防洪要求，闸室边墩顶面设计标高为4.00m。闸底板为分缝的分离式底板。闸在主体结构基础设置预制方桩，预制方桩尺寸为400×400×18000mm。
西大河水闸闸室平面布置示意图如图1所示；由于闸室左右两岸成对称布置，因此平剖面示意图只显示闸室一半如图2；A-A剖面如图3所示；B-B剖面如图4所示；C-C剖面如图5所示；
3 有限元计算模型
由于整个水闸闸室底板采用的是分离式闸底板，因此计算时取侧向土压力较大的边跨闸室作为计算对象。取高程-4.1m到4.0m的整体混凝土结构和一定范围的地基作为一个整体结构离散为八结点六面体等参单元。地基沿水流方向上下游分别延伸20m，地基底部高程为-40.0m，两侧的填土高程为5.5m，垂直水流方向左右两岸各延伸15m。
坐标系取为：以闸室的底板-4.1m高程为坐标原点；x轴顺水流方向，y轴垂直水流方向，z轴垂直指向上方。 整个有限元模型单元总数为104590，结点总数为135167。剖分后的闸室有限元模型网格如图6所示，闸室整体的有限元模型网格如图7。
计算主要考虑底板的受力和沉降，建模时不考虑桩基与土基的相互作用，分别将桩基和土基的材料特性分别赋予桩基和土基单元上。
计算工况如表1所示。
计算中考虑的荷载：结构自重、侧面土压力（按主动土压力计算）、内河侧静水压力、外河侧静水压力等。
3.2 材料参数和边界条件
计算中水闸地基基础、混凝土结构等均近似假定为各向同性、均匀连续的弹性体。计算所采用的物理力学材料参数见表2所示。
边界位移约束条件为：地基上下游截断边界处顺河向水平位移为零，地基左右侧截断边界处横河向水平位移为零，底部截断边界处竖向位移为零。
5 结论
采用abaqus软件对水闸进行三维有限元计算，较水闸底板的传统计算方法，不仅可以清楚的反映水闸闸室位移和底板应力的变化规律，还可以反映应力和位移的大小，出现最大应力和最大位移的位置。为水闸闸室整体的稳定性分析和底板的配筋计算提供设计依据。
参考文献
[1] 蒋玉芳，石自堂，韩超.万安水闸三维有限元分析[J].水科学与工程技术， 2008（2）： 76-78.
[2]王勖成.有限单元法[M].北京：清华大学出版社， 2003..
数学建模稳定性分析范文5
【关键词】 静态稳定 多机系统 线性化 特征值分析
1 引言
随着用电需求的不断增加，电力系统规模的不断扩大，电力系统的稳定问题日益突出［1-2］。电力系统静态稳定性又称小干扰稳定性，一般是指电力系统在运行中受到微小的扰动后，独立地恢复到它原来的运行状态的能力。静态稳定分析不仅能判断系统是否稳定，还可获得在小扰动下系统过渡过程的许多信息。
本文采用惯用的电力系统动态稳定分析元件模型来形成非线性模型，经线性化后化为标准状态方程形式，采用Matlab语言编程，采用特征值分析法判断了其稳定性，利用时域分析法给出了系统受到小扰动时的各个参数变化曲线，实现对多机电力系统静态稳定的分析计算。
2 小扰动法基本原理
设有一个不显含时间变量t的非线性系统，其运动方程为：
(1)
Xe是系统的一个平衡状态，若系统受干扰偏离平衡状态，记X=Xe+ΔX，将其带入式（1），并将该式右端展开成泰勒级数，可得
(2)
式中，h(ΔX )为ΔX的二阶及其以上阶次各项之和。
令 (3)
矩阵A称为雅克比矩阵，它的第i行第j列元素为
(4)
考虑到d Xe/dt=0和F(Xe )=0，并舍去高阶项h(ΔX )，便得
(5)
这就是原非线性方程的线性近似方程，或者称为线性化的小扰动方程。其稳定性判断原则为：若线性化方程中A矩阵没有零值和实部为零值的特征值，则非线性系统的稳定性可以完全由线性化方程的稳定性来决定。
3 多机系统的数学模型
由于多机系统情况较为复杂，需考虑各个发电机组间的相互影响。为便于分析，我们对多机系统做如下的简化［6］：
（1）原动机的功率恒定，即Pm=常数
（2）负荷用恒定阻抗来表示
（3）由于电力网络内部电磁暂态过程和发电机内部电磁暂态过程相比，衰减的非常快，所以不计电力网络内部的电磁暂态过程。
基于以上简化，我们来建立多机系统静态稳定分析模型。
3.1 微分方程的列写
设多机电力系统有n台发电机，则与第i台发电机有关的各环节及网络的数学模型如下：
(8)
(9)
(10)
(11)
其中，δij=δi-δj， 表示第i台发电机的暂态电势，E、qj表示第j台发电机的暂态电势，Bii和Gii分别表示节点i的自电纳和自电导，Bij和Gij表示节点i和节点j之间的互电纳和互电导。Efdi为第i台发电机空载电势的强制分量，Eqi为第i台发电机机端电势，T、doi为第i台发电机励磁绕组时间常数。VGi表示发电机机端电压。
3.2 状态方程的形成
将（7）-（10）式线性化得：
(12)
(13)
(14)
将（6）式线性化，并将（12）、（13）、（14）代入得多机系统线性化以后的特性方程式，采用矩阵形式表示为：
通过解特征方程式（15）的特征根，即可判断在某一运行方式下，各个机组装设电压偏差比例调节器和电压偏差比例-积分调节器的条件下的静态稳定性。
4 实例研究与分析
4.1 特征值稳定性分析
将上面分析的结果应用到具体的电力系统中，采用安德森3机9节点系统模型［7］，其结构连接图如1所示，发电机参数表1所示，系统频率为120Hz，在计算和仿真中，不计凸极效应。
图1 3机9节点系统单线连接图
表1 发电机参数
经过潮流运算，可以计算出系统运行开始时，Pm0，X'q0，δ0(rad)，ω0(rad/s)的初始值如表2所示。
表2 系统的初始运行状态
根据编制的Matlab程序，可得系统的状态矩阵如下所示：
从上述特征值中可以看出，所有特征值的实部都是负的，因此系统在所研究的运行点是稳定。
4.2 时域仿真分析
假设系统受到小扰动后，发电机机1的功角由0.0396（弧度）变化到0.06（弧度），发电机3的功角由0.2298（弧度）变化到0.2（弧度），则三台发电机功角、相对功角、角速度、暂态电
势的变化曲线如图2，图3，图4，图5所示：
通过以上仿真结果可以看到，此三机系统是稳定的。
5 结论
本文建立了多机系统静态稳定分析模型，直接将系统的微分方程进行线性化，推导出系统状态方程和状态矩阵。针对一个3机9节点的系统，用Matlab软件编制程序，采用特征值分析法判断了其稳定性，并利用时域分析法给出了小扰动时三台发电机功角、两两相对功角、角速度、暂态电势的变化曲线，仿真结果表明系统是稳定的，验证了Matlab软件编制程序的正确性。
参考文献
［1］ 刘琳.多机电力系统稳定器的设计与研究［D］. 燕山:燕山大学,2003.
［2］ 何仰赞,温增银.电力系统分析［M］. 湖北:华中科技大学,2002.
［3］ 孙衢.电力系统小干扰稳定性分析与阻尼控制的若干问题研究［D］. 上海:上海交通大学,2003.
［4］ L.Rouco,I.J.Perez-Arriaga.Multi-area Analysis of Small Signal Stability in Large Electric Power Systems by SMA［J］. IEEE Trans on PWRS,1993,8 (3):1257-1265.
［5］ 多机电力系统静态稳定分析的MATLAB方法［J］. 计算机仿真,2005,22(8):206-209.
数学建模稳定性分析范文6
中图分类号:TN911.7-34; G642.4文献标识码:A
文章编号:1004-373X(2010)18-0057-03
Design of Mtalab Experimental Simulation Teaching System in Signals and Systems
ZHANG You-sai, MA Guo-jun, HUANG Wei-jia, ZHOU Wen-lan
(School of Electronics and Information, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003, China)
Abstract: Aiming at the disadvantages of hardware experimental teaching in Signals and Systems, the experimental simulation teaching system of Signals and Systems based on Matlab and Simulink is established by emphasizing experimental teaching requirements of theoretical teaching and actual engineering. Thus, the system design, content design, interface design, development tools and repeatedly development are studied respectively. The effects of experimental teaching show that it overcomes the limitation of hardware experiment, expands experimental contents and level, improves students hands-on ability and comprehensive quality.Keywords: signals and systems; Matlab; experimental simulation teaching; Simulink
0 引 言
信号与系统的基本概念、基本理论与分析方法在不同学科、专业之间有着广泛应用和交叉渗透[1]。“信号与系统”课程[2-3]作为电气信息类专业的学科基础课程[4],在专业教育中有着非常重要的地位。由于该课程自身的特点[5-6],决定了其是一门数学方法、专业理论、分析方法和工程应用密切相结合的课程,不仅要求学生能灵活地应用多种数学方法解决专业理论问题,而且还强调工程上的应用与实践,因此对理论教学和实验[7]都提出了很高的要求。
目前,信号与系统课程实验的实验方法和手段大都还局限在硬件实验上,实验内容、实验方法和手段上均不够深入和灵活,难以满足对理论教学上的支持和工程实践上的要求。为了使学生能更好地理解信号与系统的基本概念、基本理论与分析方法及其应用,克服硬件实验的限制以及实验条件投入的不足,有必要对“信号与系统”实验教学进行改革研究,建立软件仿真实验系统,拓展实验教学的内容和灵活性,使学生有能力进行软件仿真实验,突出学生实践能力和创新能力的培养。
1 系统开发工具简介
Matlab是美国MathWorks公司推出的优秀的科技应用软件。Matlab功能强大,可以进行数值计算和符号计算,编程界面友好,语言自然,开放性强,而且有众多的工具箱可以使用。将Matlab软件用于工程应用和解决实际问题[8],可以不必关心复杂的理论,具有编程快捷方便的特点。
Simulink是Matlab软件的扩展,是对系统进行建模、模拟和分析的软件。Simulink以模块为单元,通过模块之间的连接和属性的设置,进行系统模拟和仿真分析[9]。它的模块库包括连续模块、离散模块、信号和系统模块、数学模块以及信号源模块等。而且模型具有层次性,可以通过底层的子模块构建复杂的上层模块。
该实验系统开发工具采用Matlab和Simulink完成仿真系统的设计与开发。
2 仿真系统设计
2.1 系统设计思路
在系统设计方面采用自上而下的设计方法,对实验内容进行分类,层层推进。该系统采用模块的方式,将实验内容分为3大类、14个子类,围绕基础型、综合提高型和研究创新型3个层次,设计实验内容。每个模块均有开发扩展接口,便于二次开发。同时,充分考虑了教师的教学规律和学生的认知规律,具有引导性和启发性,而且实验内容与理论课程教学内容同步,便于学生理解。
该实验系统采用灵活的软件实验来代替硬件实验的方式,弥补了硬件实验的不足之处。在实验仿真系统中给出了大量的图形,并辅以文字说明,做到图文并茂,使得理论课程的教学内容在实验中进行时变得直观、清晰,易于理解。
2.2 实验内容设计
在实验内容方面,从基础型实验、提高型实验和创新研究型实验三个层次,结合工程应用进行设计。注重学生能力的培养和素质的提高。实验内容涵盖实验课程的全部内容,包括连续系统的时域、频域、复频域分析和离散系统的时域、Z域分析以及综合实验部分即系统分析与仿真。实验系统不仅介绍理论内容的实验仿真,而且真正做到理论联系实际,部分实验内容(如通信系统仿真、信号频谱搬移等)与现实生活紧密结合,贴近生活,具有丰富的时代气息,从而使学生学会用信号与系统的观点和方法来解决实际问题,真正做到学以致用,从各方面培养学生的创新能力和实践能力。
实验内容详细设计说明如下:
(1) 连续系统的时域分析包括信号的时域运算和二阶系统时域分析(见图1)。该部分属于基础性实验内容,可以通过选择不同类型的信号进行时域运算。在系统时域分析方面,以二阶系统为例,要求掌握系统响应的时域求解方法。
图1 连续系统的时域分析举例
(2) 频域分析包括常用信号的傅里叶变换以及傅里叶变换的性质,作为频域分析的重要应用,抽样与恢复部分包括信号的抽样与重构。该部分实验属于综合提高型,是通信系统仿真的基础。
(3) 信号分析以方波的合成与分解为例,重点讨论信号的合成、分解方法,一步一步完成,每一步都有具体的图形与信号合成(分解)的效果,步骤清晰,便于学习。信号分析中的双边带信号频谱,以通信系统为例,介绍频谱搬移的过程,同时联系生活实际。该实验与工程应用紧密结合,讨论信号频谱的搬移过程和方法,只需鼠标点击和拖曳即可完成实验,操作简单,图形直观,形象生动。
(4) 复频域分析包括系统的零极点分析、稳定性分析以及系统响应。该部分属于提高型实验,从S域分析系统,并与工程应用中实际系统的稳定性相结合;
(5) 离散系统时域部分包括离散信号的时域运算如信号的加、减、乘。
(6) 离散系统的时域分析包括差分方程的求解,并重点讨论序列卷积的计算及说明,如图2(a)所示;
(7) 离散系统Z域分析包括零极点求解、频率特性、序列的响应和稳定性分析等,如图2(b)所示;
图2 离散系统分析举例
(8) 信号与系统的综合分析包括系统分析和系统仿真,采用Matlab软件的Simulink仿真完成,以系统框图的形式完成实验,功能强大,操作方便。时域分析部分内容包括一阶、二阶系统的时域特性仿真分析(见图3);频域仿真分析属于研究创新型实验,采用系统仿真的方式,以频谱搬移过程的系统仿真为例进行,但对复杂的通信系统进行仿真,可以查看各个框图、部件的时域波形、频域的频率特性,对信号与系统的实际应用有充分的了解和认识。具体实验内容及安排见表1。
图3 系统仿真举例
2.3 系统界面设计
实验仿真教学系统界面设计中,避免繁琐,崇尚简洁,亲切自然,因而界面直观、清晰,导航方便,具有良好的人机交互页面,能够非常容易的找到需要的实验内容;同时色彩搭配柔和,给人朴实、安静而又进取的感觉,有利于集中精力进行教学和学习。实验内容部分页面和系统分析与仿真页面如图4所示。
表1 实验仿真教学系统内容设计及分类安排
分类实验项目实 验 一实 验 二说 明实验类型
连续系统时域运算两个信号的运算-加、减、乘信号自身的运算-平移、反转、尺度变换、微分、积分可以任意选择信号类型基础型
时域分析系统阶跃响应、冲激响应系统的全响应分析二阶系统基础型
频域分析典型信号的傅里叶变换傅里叶变换的性质可以选择常用信号提高型
复频域分析系统的零极点图稳定性分析及响应极点分布与稳定性关系提高型
抽样与恢复正弦信号的抽样正弦信号的重构采样定理提高型
方波合成周期方波的合成周期方波分解分解的项数对精度的影响提高型
信号频谱双边带信号频谱滤波器信号的频率、幅度对频谱的影响研究创新型
离散系统信号运算序列的加、减、乘序列移位离散运算基础型
时域分析差分方程时域解序列的卷积和离散时域解基础型
Z域分析系统零极点分布图、频率响应、稳定性单位序列响应、阶跃响应系统分析提高型
系统分析系统分析与仿真
一阶系统时域特性仿真二阶系统仿真分析
频谱搬移过程仿真通信系统仿真可以随时查看时域波形和频率特性研究创新型研究创新型
图4 部分导航页面
3 系统特点
“信号与系统”实验仿真教学系统内容全面,包含“信号与系统”课程实验的全部主要内容和知识点,教师与学生可以用软件来完成实验内容的教学和学习,有助于学生加强对课程基本概念和重点、难点的理解和掌握,而且不受时间和空间的限制,便于实验教学工作的开展。
该系统具有二次开发功能。该系统在使用中可以结合实际情况,给教师和学生提供程序源代码,教师和学生可以进一步补充和完善实验内容,也可以添加新的实验内容由学生来完成。因而,学生具有更多的发挥空间,更有利于发挥主观能动性。
4 结 语
“信号与系统”实验仿真教学系统,内容全面、翔实,是集计算机技术和现代教育技术手段于一体的多媒体实验教学系统,便于教师进行课堂实验教学和学生软件实验的学习。
通过近三年的实验教学使用,采用该实验仿真系统,避免了硬件实验过程中的不确定性因素的影响,实验灵活方便,有利于拓展学生的思维能力和想象空间,为信号与系统课程的实验教学工作提供有力保障。
参考文献
[1]金波.信号与系统课程教学改革初探[J].电气电子教学学报,2007,29(4):7-8,11.
[2]奥本海姆.信号与系统(英文版)[M].2版.北京:电子工业出版社,2009.
[3]吴大正.信号与线性系统分析[M].4版.北京:高等教育出版社,2005.
[4]中华人民共和国教育部高等教育司.普通高等学校本科专业目录和专业介绍[M].北京:高等教育出版社,1998.
[5]郑君里.教与写的记忆:信号与系统评注[M].北京:高等教育出版社,2005.
[6]徐守时.信号与系统理论、方法和应用[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2008.
[7]刘锋,段红,熊庆旭,等.信号与系统实验教学改革[J].实验技术与管理,2008,25(3):118-120.
