对数学教育的认识和理解范例6篇

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对数学教育的认识和理解

对数学教育的认识和理解范文1

论文摘要:本文分析了数学语言的特点及分类、数学语言在教育教学中的地位和作用,论述了数学语言在师范教育和教师培训中的重要性,从加强基本功训练方面提出了加强数学语言学习的教学建议。

对数学教师进行数学语言表达能力的培养、训练,是职业技能训练的一项基本内容。苏霍姆林斯基说过:“教师高度的语言修养,在极大的程度上决定着学生在课堂上脑力劳动的效率。”数学语言是表达科学思想的通用语言和数学思维的最佳载体,运用数学语言进行思维,能够使思维在可见的形式下再现出来,它是数学素质的重要呈现。同时,对于数学教育而言,语言又是一项重要的数学活动。任何一项课堂教学活动都要以语言为媒介,借助书面或口头的表述学会原理、概念、公式、方法。数学语言包括符号语言、文字语言和图式语言,多种语言的表示方法,深刻揭示了存在于一类实际问题中的共性,为解决实际问题提供了重要的策略,为数学交流提供了有效的途径。

一、问题的提出

新颁布的普通高中数学课程标准在原来课程标准的基础上,提出要“提高学生数学地提出、分析和解决问题的能力,数学表达和交流能力”,并且还将“能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流”纳入到对学生掌握数学知识的评价内容,这充分说明能运用数学语言表达问题已经成为每位公民应达到的基本素质。目前数学语言教学的研究已成为数学教育研究的热点问题,数学教师在教学中能准确的运用数学语言,可以使学生更好的掌握数学知识。但是,当前高等学校的教育教学中对数学语言的教学尚未能引起重视。如果教师不能恰当使用数学语言进行教学,将会导致知识性错误,形成基础教育的滞后现象。为此,应客观辩证地分析数学语言在数学教育中的地位和作用,有意识地加强对师范类学生进行准确把握数学语言基本技能的培养,尤其对于在职的教师而言,由于他们已有教学实践经历,对知识、概念的论述要求有着切身体验,因此在对他们进行成人教育短期培训时,更要强调数学语言的重要性,以便在教学工作中能准确利用数学语言传递知识。

二、数学语言在数学教育中的地位与作用

(一)数学语言在数学教育中的地位

数学语言表达数学教学的内容—数学科学,是数学概念、数学推理及其结论展现和交流的方式。数学家卡尔森说,“数学是一种语言,具有一种语言的所有魅力和用处。但是它比更传统的语言还多了一条优点,即它是一种可以对我们的世界给出任何科学描述的语言。数学家能够坚持攀登,不仅是热情地追求纯粹真理,而且还因为它具有一种用最整洁、最简单和最根本的方式来表达我们宇宙的某些特征的愿望”。现今,特别是在信息科学高速发展的今天,数学作为一门科学、一种交流形式、一种语言,已成为一种当今时代每个人都必须学习使用的语言。

在数学的教育教学活动中,数学意义要通过词语、符号等来传达,由于学生对数学语言理解不清楚,或不习惯数学语言的表述方法、规律和约定,而搞不清楚问题的含义,从此导致学习上的困难。让学生自觉地认识数学语言,理解和使用数学语言,帮助学生克服理解和使用数学语言中的困难,学会数学地表达,数学地理解,培养学生养成使用数学语言的良好习惯,以数学语言教学带动数学教学,为数学思维的发展开辟绿色通道,是数学教育教学的一个重要环节,也是一个重要任务。

除了自然科学的发展表明数学对于人类的认识活动和实践活动具有重要意义之外,人文科学、社会科学等科学的发展也越来越显示出数学化的趋势,社会的数学化程度正在日益提高。数学已成为横断学科,成为表达科学思维的通用语言。这种认识的变化,使得学校教育中的数学应当充分体现数学语言价值,为人的一生可持续发展奠定基础。

(二)数学语言在数学教育中的作用

《普通中学数学课程标准》中提到:数学是人类文化的重要组成部分,数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。数学教育作为教育的组成部分,在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。在现代社会中,数学教育又是终身教育的重要方面,它是公民进一步深造的基础,是终身发展的需要。数学教育在学校教育中占有特殊的地位,它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想,使学生表达清晰、思考有条理,使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神,使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。

我们学习数学,实际上是学习数学语言,学生对数学知识的理解、掌握,实质是对数学语言的理解、掌握。一个对数学语言不能理解的人是绝对谈不上对数学知识有什么理解的。从一定意义上说,掌握数学语言是学习数学知识的基础,只有灵活掌握了数学语言,才能更好地培养数学思维能力、加强解决数学问题的能力,更有利于思维品质的形成,进一步提高数学表达的能力。因此,数学语言教学是数学教育教学的关键。

数学是一种日常生活语言,它渗透到人类的每一个角落,数学语言已经成为人们表述关系和模式的通用工具,像“再等5分钟”、“好几公里远”、“太多了”、“大约有一半”等这些日常用语,为我们提供了相互交流中的数据支撑。因此,数学语言是每个人都必须学习使用的语言,使用数学语言可以使人在表达思想时做到清晰、准确、简洁,在处理问题时能够将问题中的各种因素间的复杂关系表述的条理清楚、结构分明。

数学语言是国际通用语言。世界各国都有各自的语言,汉语、英语、法语、德语、俄语等,但是数学语言是可以世界通用的,它是唯一完全国际化的语言,凡是接受过数学教育的人,都能认识符号语言,即数学语言。因此它对促进世界各国的教育、科技交流具有其他语言不可替代的作用。 转贴于

三、措施

学习心理学指出,技能和知识在一种相互作用的方式中获得,离开知识的掌握和使用,学习某种技能是不可能的。因此,技能的训练首先要以传授相关技能知识为先导。那么,教学中在采取指导学生使用规范的数学语言,帮助学生分析如何避免、克服语言障碍等教学策略的同时,还应该实施以下的教学措施。

(一)利用大学语文的学习,进一步提高语言的理解与表达能力

课程设置中,可以开设大学语文,以进一步提高学生的阅读能力、口头表达能力、理解问题分析问题的能力。加强对数学语言词汇意义的理解,了解其丰富的内涵,也能帮助学生更好地运用三种语言间的转化。由此在数学教育过程中,应充分利用大学语文的学习,使这些学习对象对数学思想把握得更好,职后能用自然语言为解释语言系统来指导学生学习数学语言,将数学语言“通俗化”,以帮助学生更好的理解和内化;同时还应将自然语言译为数学语言,使自然语言“数学化”。

(二)加强基本功训练

对于师范教育来说,其目的是培养能胜任社会需求的教育工作者。作为一名教师,必须具备教师的基本素质,具有较强的基本功。数学教学过程是综合使用数学文字语言、符号语言、图形语言这三种语言形式的过程。为培养学生具备三种语言形式的转化能力,提高学生的数学素养,应指导学生多参加教师基本功培训的选修项目,如普通话、三笔字、简笔画等项目,这些项目在当前教育趋势下有削弱的现象,但它确为一名教师应具备的基本素质。进行基本功的训练,有助于学生对数学符号、图像图表的表达能力的提高,能在职后的教学中,熟练地运用数学语言的各种形式及它们之间进行的转化,使学生们更好的理解数学概念和定理,提高数学知识水平,达到良好的教学效果。

(三)加强利用数学语言进行交流的锻炼

数学交流能力是一种重要的数学能力,是必须对学生加强的一项能力培养。学生只有具备了数学交流能力,才能顺利地阅读和理解数学文献,才能用口头或书面的形式向别人解释自己的数学学习体会和数学研究结果,才能成功地吸收别人的心得体会而迅速地提高自己。能否成功地进行数学交流,不仅涉及一个人的数学能力,而且也涉及一个人的思路是否开阔,头脑是否开放,是否尊重并且愿意考虑各方面的不同意见,是否乐于接受新的思想观念和新的行为方式,是否愿意相互了解等,这些都与现代人必备的素质有十分密切的关系。

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一、了解课标,把握要求和方法

所谓数学思想,就是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识。所谓数学方法,就是解决数学问题的根本程序,是数学思想的具体反映。

1. 明确基本要求,渗透“层次”教学。课标对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次,即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中,要求学生“了解”数学思想有:数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。

2. 从“方法”了解“思想”,用“思想”指导“方法”。目前,初中数学中的数学思想和方法内涵与外延,尚无公认的定义。其实,在初中数学中,许多数学思想和方法是一致的,两者之间很难分割。它们既相辅相成,又相互蕴含。只是方法较具体,是实施有关思想的技术手段,而思想是属于数学观念一类的东西,比较抽象。因此,在初中数学教学中,加强学生对数学方法的理解和应用,以达到对数学思想的了解,是使数学思想与方法得到交融的有效方法。

二、遵循认识规律,把握教学原则,实施创新教育

要达到课标的基本要求,教学中应遵循以下几项原则:

首先,渗透“方法”,了解“思想”。由于初中学生数学知识比较贫乏,抽象思维能力也较为薄弱,因此把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体,把数学思想和数学方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机,重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程,知识的形成、发展过程,解决问题和规律的概括过程,使学生在这些过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创新意识。

其次、训练“方法”,理解“思想”。数学思想的内容是相当丰富的,方法也有难有易。因此,必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材,钻研教材,努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素,对这些知识从思想方法的角度做认真分析,按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深,由易到难分层次地贯彻数学思想、方法。

对数学教育的认识和理解范文3

关键词:小学数学+;体验式教学;自主性;有效性

1引言

小学教育是对学生进行素质教育和能力提升的重要时期,在这一时期进行的教学可以促进学生对知识的理解和认识,引导学生养成良好的学习习惯,对学生未来的学习和生活都有着重要的意义。对于小学数学教学而言,数学教学是开展其他学科学习的基础,小学数学的有效教学也可以加强学生对知识和学习的认识。体验式教学是通过一系列的方法来引导学生进行自主思考和学习的教学模式,在这种教学模式应用之前需要充分培养学生学习的积极性,培养学生数学学习的兴趣,从而提高学生的学习效果。在教学过程中可以有效提高学生的学习意识,在有效引导之下,学生可以形成良好的学习习惯。同时在教学过程中也可以全面培养学生的能力,提高学生的应用能力和思考能力,全面提高学生的素质和能力。

2小学数学教学中体验式教学模式应用途径

体验式教学模式下,学生是教学的主体,在这种教学模式下学生可以进行自主的学习,同时也可以对学生产生兴趣,加深学生对数学学科的认识和理解。在小学数学教学中体验式教学模式的应用中,需要采用有效的方法进行,这样才能充分发挥这种教学模式的优势,提高数学课堂的有效性。在开展体验式教学模式的过程中,也需要结合学生的特点进行,开展针对性的数学教学,从而改善数学教学现状。

2.1构造数学情景,提高教学的趣味性:对于小学阶段的学生而言,在教学中应该充分调动学生的积极性和兴趣,这样才能提高课堂的有效性和质量。在数学教学过程中,可以构建相应的数学情景,从而吸引学生的注意,进一步培养对数学学科的兴趣。例如在进行图形的讲解中,教师可以激发学生的想象力和创造力,在进行图形示范之后让学生自发的构建这样的图形,学生不仅仅可以对图形有了进一步的认识,同时也可以培养学生的动手能力,数学情境也有了有效的创建。在进行数学教学的过程中,通过构建数学情境可以激发学生走进这样的情境当中,结合小学生的心理情况充分调动学生对学习的积极性,同时也是学生在学习中得到了充分的体验,从而加深了学生对知识的认识。

2.2重视体验过程,培养学生的创新能力:在进行体验式教学的过程中,应该对课堂进行有效的设计,这样才能充分调动学生的学习积极性,从而更好的引导学生进行体验。数学知识与我们的生活有着紧密的关系,在学习的过程中我们也应该重视学生应用能力的培养,这样才能促进学生进行全面的发展。在进行体验式教学的过程中,可以将数学知识与生活进行联系,通过生活中清晰明确的关系和现象来反映数学知识中的逻辑关系,在这种情况下,可以将抽象的知识进行直观的反应,从而提高学生对数学知识的理解和认识。例如在引导学生对数字进行掌握的过程中,可以将生活中买东西的实例进行引入,引导学生将数字与生活中的实物进行联系,从而加强学生对知识的认识,同时也可以将数学知识充分的与生活实际进行融合。在体验式教学模式下,学生不仅仅可以通过体验过程来提高对数学知识的认识,还可以强化学生的创新和应用意识,在提高教学质量的同时,提高了学生的素质和能力。

2.3加强教学实践,加深学生的体验感受:在体验式教学中,学生通过动手操作来认识数学和理解数学知识,在这一过程中应该重视教学实践的重要性,通过完善教学方法来加深学生对体验的感受,进一步提高学生的动手能力。在数学课堂的教学中应该适当的引入一定的教学实践,这样不仅仅可以加深学生对知识的理解,还可以促进对学生能力的提升。在进行图形教学的过程中,教师可以引导学生进行自发的动手操作,通过动手实践来加强对图形的认识。通过一系列的动手操作,学生不仅仅可以加强对图形的认识,同时对图形的性质和特点也有了更加明确的掌握。动手实践过程中教师应该对学生进行有效的引导,加深学生的体验感受,从而培养学生的观察能力和动手能力。在进行实践操作中,教师可以通过问题来鼓励学生说出自己的观点,这不仅仅有助于学生对知识的理解,还可以引导学生养成良好的学习习惯。在教学过程中也可以采用多种教学模式并存的方式进行,这样可以更好的提高体验式教学的效果。在课堂上可以进行相应的分组,在提出相应问题或进行相关实践操作之后进行有效的小组讨论,小组讨论和学习可以更好的活跃课堂气氛,打破传统教学模式,提高教学的质量和有效性。

3结语

小学数学教学中体验式教学模式的应用可以充分调动学生的学习积极性,促进学生对数学知识进行有效的理解和掌握,鼓励学生进行动手操作,从而提高学生的动手能力观察能力以及思考能力,因此有效开展体验式教学模式可以更好的提高小学数学教学效果,完善教学过程。

作者:张国锋 单位:平邑街道第四小学

参考文献:

[1]陈宁.教育游戏在小学数学体验教学中的开发与应用.《课程教育研究(新教师教学)》.2012年10期.

[2]陆泱瑾.小学数学体验式作业的形式与模式探究.《科技创新导报》.2014年22期.

对数学教育的认识和理解范文4

关键词:高中数学;概念;理性认识

当前的教育改革提倡素质教育,大力培养学生的创新精神和实践能力。这就对教师的教学提出了更高的要求。作为教师,必须在教学中认真钻研教材,积极探索规律,改进教学方法,优化教学过程。概念教学是数学教学的重要部分,在实际的教学过程中同样需要得到教师的重视,做好基础教学工作,用循序渐进、逐步深入的方式引导学生在学习中体验和感悟,获得进一步的认识与理解,从而发展学生的数学能力和开拓创新能力。下面我就结合自己多年的教学实践,对高中数学概念教学谈几点认识与思考。

一、概念的认识与把握

概念是客观事物本质属性、特征在人们头脑中的反映,是思维的基本单位。所谓数学概念,其实是一种思维形式,主要反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性,通俗来讲,就是对一类数学对象的本质属性的反映。从基本的认知环节来看,数学概念教学主要包括概念的引入、概念的形成、概括概念、明确概念、应用概念、形成认知六大环节,这几个环节是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是构建数学理论大厦的基石。从一定意义上说,学生对数学概念掌握程度的高低直接影响甚至决定着学生数学能力的高低。

二、数学概念教学的有效策略

纵观当前学生对数学概念的学习实际,我们发现学生往往有两种主要倾向。其一是对数学概念不重视,仅把数学概念看作一个名词,不求甚解;其二是十分重视数学概念,却只懂得死记硬背,对概念的理解浮于表面,不能灵活运用。久而久之,这些不良倾向必然会给学生的学习和认知带来极大的阻碍,不利于学生对数学知识的掌握和运用。因此,广大教师在教学中要从教学实际出发,积极探求概念教学策略,帮助学生强化数学概念,运用数学概念。

(一)初步认识数学概念要把数学概念讲清楚、讲准确,必须从开始接触入手,让学生先对概念有一个清晰、准确的认识。首先,做好概念的引入。教师在引入数学概念时,应从实际出发,尽可能选一些与概念有明显联系、直观性强的例子,使学生从中获得感知认知,形成概念的基本架构。例如,在教学椭圆概念时,教师用一条事前准备好的绳子做实验,指导学生动手练习。具体的操作过程是,将绳子的两端分别固定在图板的两点处,拉开一段距离,然后再试着套上铅笔,移动笔尖,在这一过程中要注意将绳子拉紧,待整套动作完成后,看一看画出的轨迹是什么曲线。在这一实验结束后,教师再结合所画出的图形与学生一起归纳总结椭圆的定义。其次,重视概念中的重要字、词。数学概念非常精炼,所以在引导学生形成初步的认识后,教师要和学生一起对概念中每一词、句仔细推敲,保证数学概念的清楚与准确。比如,“异面直线”概念中的“任何”两字;等差、等比数列概念教学中的“从第二项起”和“同一个常数”等,这些都是缺一不可的关键所在,将重点字词学明白了,便能带动对整个概念的理解。

(二)深入理解数学概念数学概念之所以难理解、难掌握,很大一部分原因是许多概念之间通常有着密切的联系,如平面角与空间角、平行线段与平行向量、方程与不等式等。想要真正搞清楚,弄明白,教师就要在教学中强化数学概念之间的对比与联系,让学生在分析中掌握概念的本质。比如,函数概念的两种定义的比较与分析。初中阶段对函数概念的定义是从运动变化的观点出发,来源于物理公式;高中阶段的函数概念是用集合与对应的语言来刻画的。两者之间既有联系又有区别,有了这一比较分析,学生便会对这一概念形成深刻的认识。又如,在教学等比数列概念时,教师可以联系之前学过的等差数列和通项公式,在此基础上,再给出几个数列实例,让学生思考讨论其中的共同特点。通过总结归纳进一步帮助学生明确这几个概念的区别与联系,使学生对概念的本质有一个深入透彻的理解。

(三)巩固运用数学概念高中阶段的学生课务多,学业繁重,如果没有对知识进行及时的复习和巩固,便会出现遗忘,给后面的深入学习带来困难。因此,在学习了数学概念之后,教师还要让学生经历巩固、深化阶段,帮助他们牢固、清晰地掌握概念。首先,通过练习巩固概念。在练习的选择上,教师要本着典型、多样的原则,深入挖掘题目和内容,将易混淆的概念放在一起,让学生通过练习加以对比、辨析,进一步理解其区别与联系。其次,联系生活运用概念。比如,有的学生喜欢在平时购买一些体育彩票,教师可以向他们发问:“你买的那张彩票中奖的概率是多大,事先有没有结合概率知识深入研究过?”这下就成功激发了学生的好奇心,纷纷开始了计算。有了这样的思考与实践过程,学生便会对抽象的数学概念有一个较为深入的理解,更学会了学以致用,成功将数学知识应用到了实际的生活中。

三、结语

新时期的数学概念教学,既追求使学生逐步掌握概念本质,还倡导使学生感受到探究与合作的无限快乐,感觉到智慧力量的增长,获得充分的发展。由于数学概念的抽象性,广大教师在教学中要根据自身的教学经验和学生的认知特点,合理选择恰当的教学方法,通过初步认识、深入理解、巩固运用三大步骤,逐步递进,帮助学生全面思考概念的内涵和外延,完善对数学概念的认识、理解与运用。只有这样,才能有效激发学生的求知欲,帮助学生明确数学概念,扫除学习障碍,提升数学学习能力。

参考文献:

[1]赵凤江.浅谈高中数学概念课教学的有效性[J].中华少年,2016(8):91.

[2]龚发贵.高中数学概念课教学浅议[J].新教育时代电子杂志:教师版,2016(36):53-54.

[3]邓菊兰.高中数学概念课教学模式的探索[J].无线音乐?教育前沿,2012(12):89.

[4]王素英.数学教学中要重视概念教学[J].教学与管理,2005(15):60-61.

[5]肖凤春.高中数学概念课的教学模式探究[J].读写算:教育教学研究,2012(63):38-39.

对数学教育的认识和理解范文5

一、数学教师的教学思维的特性。数学教师的教学思维具有以下一些特性:

1、教学思维的发展性。数学教学的对象是发展中的人。学生在获取知识、技能与能力,并在生理、心理的其他侧面得到迅速成长,但彼此间的成长速率并不相同,我们不能停留于对共性的普遍认识,而应更深入了解各个学生的特殊性,在充分肯定教学活动规范性质的同时应区分在各种思想方法或认知策略之间是“因人而异”的,认识发展的过程也是“因时而异”的。

2、教学思维的深刻性。数学教师教学水平的提高不能完全依赖于经验,因为经验具有局限性与偶然性,属于认知的低水平。凭借外显的过于划一的教学目标会低估教学过程的复杂性,掩盖数学教学活动的深刻性。只有建立在教育科学理论基础上,深入了解学生的真实情况及教学内容、教学环境的具体情况,才能提高教学水平和教学质量。

3、教学思维的社会性。现代教育与古代教育的一个重要区别,即现代教育是一种有着明确目的和高度组织化了的社会行为。每个数学教师都是作为“教育共同体”的一员从事自己的教学活动,而数学教师的教学活动又必定是在一定的社会教育体制(教学大纲、教材和一定的考核方法等)约束下进行的。同时,数学教师的教学也肩负着使学生成为能适应社会发展需要的有用的社会成员。

4、教学思维的教育性。数学教师良好的教学思维能力,不仅是进行数学知识、思想、方法教育学的保证,更是培养学生鲜明的个性、独立的人格和创造的活力的重要方面。

二、数学教师的教学思维及其组成部分。

数学教师的教学思维是数学教师对数学教学活动(过程)的理性认识,是数学教师和数学教学对象(学生)、数学教学内容(教材)、数学教学环境(课堂)等交互作用的内在理性活动,是数学教师把数学知识的学术形态转换为教育形态的意识与能力。数学教师的教学思维更“着重于满足学生需求的教学的思维,而不是只针对于教师本身或者学科内容的思维”。

国外研究者把数学教师的教学思维分成六个部分,即理解、变换、讲授、评估、反思和新的理解。理解是指对要讲授的一系列数学概念进行批判性理解的过程;变换是指教师从个人对要讲授的数学概念的理解转变为如何促进学生理解这些概念的认知过程;讲授是促进学生理解的过程,它包含了各种教学行为,如组织和控制课堂教学,进行清晰的解释,以及为学生提供实践操作机会;评估或检查学生的理解情况,包括对学生的理解情况进行实时操作式的评估和更为正规地测试和评估程序;反思意味着需要评估教师自己的教学工作;如此下来,教师就发展了对数学教学内容的新的理解。

三、提高数学教师教学思维能力的途径。数学教师教学思维能力的形成和提高是一个终身的过程,贯穿于整个教师生涯之中。其中应注意以下两点:

对数学教育的认识和理解范文6

关键词:数学教育;教学模式;分科教学;综合教学;学习效率

中图分类号:G424 文献标志码:A 文章编号:1002-2589(2011)36-0250-06

引言

数学和其他任何科学一样,都是伴随着生产和其他科学技术发展而产生和发展的。在古代社会中,由于生产的需要,人们已经开始重视事物之间量与量的关系,这是数学产生的必然。现今无论是社会科学还是自然科学、数学都起着重要的作用。事实上,其他自然科学和社会科学的发展也促进和影响着数学的发展,并为数学的发展提出新的挑战。数学教育改革的开创者、英国数学家J・彼利(J.Perry1850―1920)认为:数学的本质在于其实践性,不只是说教一些技巧[1],应当从自然现象或社会现象中去认识数学,由实践去发现数学的内在本质。

就古代而言,数学是没有分科的。例如在唐朝期间整理的《算经十书》,是对生产和生活中计算问题的经验和技巧的总结。即使是西方的数学巨著、欧几里德的《几何原本》的前几章也包含着代数的内容。由此可见,数学无论从其起源还是中外古代数学著作都没有分科的迹象。事实上,数学从综合走向分科只是近代数学的事情,这是数学发展的必然,但不是终结。数学各科的独立发展是数学发展的必由之路,也是数学科学由直观走向抽象的过程。数学从综合走向分科独立发展并不意味着数学各科之间的联系越来越少,而只能说明数学的内容越来越丰富。

然而在我国高等院校的数学教学中,无论是数学专业还是非专业的学生的数学教学都是分学科进行的。由于每门课程有着大量的内容,且教学时间比较短,教师只能给学生讲解一些基本概念和基本方法,没有时间作深入的探索;再者很多学生从功利、择业的角度看待数学的学习,认为“能过关就行”。这样教学的直接后果就是孤立、割裂地看待数学各个学科之间的联系,让学生感到不同课程都是为解决特定问题而设计的方法,忽略了数学各科之间的联系;另外分科教学模式难以激发学生的学习兴趣,把数学学习变成了一种纯粹的负担;更为严重的是,教学与实际应用相脱离,削弱了数学的实践性,不能有效提高学生分析问题和解决问题的能力。

基于以上情况和问题,我们提出一个改革的思路,作为数学教学改革的一个探索。本文内容安排如下:引言部分简述了目前的大学数学教学情况和存在的问题;第二部分分析高等院校数学教育的原则和目的;第三部分包括四方面的内容:分科教学的不利影响、综合教学的优势,在教学中提出融合各科数学知识的教学思路;最后一部分对全文作了总结和对未来研究的展望。

一、大学数学教学原则和目的

我国现代数学家和数学教育家,中国科学院院士陈建功先生在他的《对二十世纪的数学教育》中指出:支配数学教育的目标、材料和方法,有三大原则:实用性原则、论理的原则和心理的原则[1]。我们认为如今的大学数学教育也应该遵循这三个原则。

第一个是“实用性原则”。陈先生说:“数学在日常生活中已见其有使用价值,不但如此,数学也是物质支配和社会组织之一武器,对于自然科学、产业技术、社会科学的理解、研究和进展,都是需要数学的。假如数学没有实用,它就不应列入于教科之中”[1],这和我们通常说的‘数学是科学的语言’道理一样。每位大学教师都很清楚数学是很多学科学习的基础,是其它科学分析问题解决问题不可或缺的工具,而且很多科学研究到一定深度以后,都可以归结为某类数学问题。例如在近年来兴起的新兴交叉学科‘生物信息学’中,许多难以解决的问题最终可以归结为某个数学的问题[5]。反过来,数学之所以向前发展恰恰就是其它科学在发展过程中对数学提出的挑战,为数学的发展提供了经久不息的动力。因此数学在为其他学科提供工具的同时也为自身的发展不断拓展了道路,这就是数学存在和发展的意义。有关数学发展与其应用性的例子很多,其中美国运筹学会的刊物《OperationsResearch》在创刊50周年纪念特刊上的文章[14]就很能说明这个问题。

第二个数学教育的原则是“论理的原则”。我国中学教育已经十分重视学生数学推理能力的培养[15],大学教育是中学教育的继续,教育价值也有其内在的连续性。因此,在大学数学教育中,培养大学生的推理能力和逻辑能力是必要的,这不仅是‘论理的原则’教育价值的具体体现,也是大学生走向工作岗位所必备的素质。陈建功先生指出:数学具有逻辑推理的教育价值,称之为论理的价值,忽视数学教育论理性的原则,无异于数学教育的自杀[1]。我们从中不难看出,在大学数学教学中应当十分重视学生的逻辑推理能力。本文之所以在这里重提数学推理的教育价值,就是由于数学具有这种特殊性。数学思维可以概括为三个基本范畴:问题解决的技能、表征技能和推理技能[16]。然而在实际教学中,教师往往将教学重点放在数学结论的推理上,而忽略数学思维的前两个技能;更有甚者,有的教师将教学的重点放在结论的应用和做题的技巧上,这无异于让学生‘丢了西瓜,捡了芝麻’。英国著名的管理学大师查尔斯・汉迪在其名著《思想者》中指出:“好的教师只管讲故事、提问题,而寻找答案则是学生自己应该做的事情。教师只能指点方向,给出建议。”[19]

“心理的原则”是数学教育的第三个原则。大学的数学教育应该站在学生的立场,顺应其心理发展,才能满足他们的真实感觉。不注重‘心理原则’的教学方式是没有教育价值的。多数认知心理学家和数学教育家都认为:知识是通过认知主体的积极构建而获得的,而不仅仅是通过传递而实现的;而且知识的获得涉及到重新构建[17]。哈塔诺(Hatano)还发现无论是在科学史上还是认知过程中对观念的变化尤其值得关注,这也许因为基本观念的变化可能是最激进的智力重构[9]12-16。由此可见,学生获得知识和其自身知识结构以及学生认知事物的基本观念有着重要的关系。基本认知观念决定知识重组的结构和获得知识的效率。而学生一定时期的认知心理决定着他们此时认识事物的基本观念,因此在大学教学中也应该顺应学生的心理发展。在现实教育体制下,刚刚步入大学校园的新生,从心理上来说,往往还没有摆脱高中阶段的心理结构。说得更直接一点,我国的高中教育是高考导向的教学方式,学生的学习心理、学习方式、生活方式、知识结构都是为高考这个目标服务的,这种教学模式的直接后果就是学生的动手能力、思维的迁移能力较差。然而,大学教育是素质导向的教学方式,这种方式以提高学生的个人技能、展现学生个性为目的,让学生在大学的校园里能够蓬勃发展、茁壮成长,将来成为对社会和国家有用的人才。由此可见,中学教育和大学教育在这个层面上不具有连续性,而这种断层使得刚刚步入大学校园的新生无所适从,需用一个很长的时段来磨平这两种心理的鸿沟。这样就要求大学教师在教学中要注意学生的心理变化和知识结构,在教学中考虑学生的心理发育阶段和对大学数学的接受能力,用合理的方式来揭示深奥的、有趣的数学思想。

这三个原则是统一的,而不是对立的。大学里的数学教师应该让学生感到数学是来自生活、生产,易于理解且具有使用价值,然后再向理论的层面深入。“心理性和实用性应该是论理性的向导”[1]。数学教育应该是使学生知道数学的发展,这里的发展包含两个方面:一个是来自客观世界,另一个是数学自身的发展。在数学教学过程中切不可将理论和应用割裂,然后再将理论应用到实际,这样的教学方式使学生只能生硬地接受所学的内容,其结果必然是丧失学习的兴趣。恰当的教学方式应该是把数学的概念和方法应用于实际问题的分析和解决,这样学生自然会产生索取理论和知识的欲望,使学生能够主动地学习。

进入二十一世纪以后,人类对许多事物的看法都在发生着潜移默化的变化,物理、天文、化学等科学已经取得了相当大的进展,目前最为复杂的生命现象也受到了人们的广泛关注,这些科学的进展对数学提出了更大的挑战,同时对数学教育也提出了更高的要求。在当今这个高速发展的时代,学生未来要成长为对社会和国家有意义的工作者,必须具备理解自然和洞察社会的能力,这就是数学教育要培养学生的可持续发展和通识教育[13]25-28。所以必须让学生养成有利于这种能力发展的思想和习惯,这就是所谓的教育。数学对于学生是必需的知识,无论在思想上还是在方法上都是十分有用的工具。不但如此,理解和分析数量与空间的关系也是数学的特征,因此这是数学教育特有的任务。从广义来讲就是让学生能够对数学有一个整体的认识,了解数学文化发展的规律,了解什么是数学的严格性和逻辑性及其所追求的目标,了解数学思想和数学方法的具体的呈现方式,了解数学的来龙去脉[10]5-6。

数学教育的目的是培养学生能够理解自然和洞察社会的能力,以及培养对这种能力所不可或缺的习惯,使学生可持续发展,用健全的心智来迎接未来社会的挑战。所以对于那些与养成这种能力无关的事情、方法、练习等等必须置于数学教学之外。用具体的事实、实际问题抓住数学的概念、方法、原理是大学数学教育的全部,是重点,是根本,是教师在教学中应该努力的方向。

二、融合各科数学知识,提高学生数学能力

数学的本质在于其实践性,不是计算技巧和数学方法的简单堆积;从自然现象或社会现象,去发现数学的本质,从实践中认识数学的法则。无论从数学的起源还是去向,数学都是一个有机整体。事实上,欧几里德的《几何原本》十三卷中,有三卷是算术;牛顿全集中的数学和物理也是融会贯通的。数学发展到一定时期,许多学者将数学分科,认为各有各的方法,各科从理论上展开颇有价值和兴趣。数学不仅在学术上分了科,且在教学上也按分科教学,使各科陷入割裂的局面。事实上,对于数学分科教学的弊端早有学者提出,其中最为著名的就是法国的布尔巴基学派,他们提出数学结构主义的理念,在这一理念的指导下,《数学原本》诞生了,这本7000多页的书是有史以来最大的数学巨著。

在我国数学教育仍然采用分科教学的模式,然而分科教学有着诸多的弊端,下面就这个问题加以讨论,并且给出在当前条件下如何在教学中克服分科教学产生的不利影响。

1.分科教学模式的不利影响

数学分科教学具有那些不利影响呢?下面我们就来讨论之。

第一,分科教学模式在某种程度上不符合前面提到的教学原则。首先在一定程度上不符合陈建功先生提出的‘实用性原则’。前面我们谈到,数学来源于实践,应用于实践,为解决各种实际问题而促使科学家不断地在数学方法上创新,是数学发展不竭动力。数学应用分为两个方面,一个解决工程技术中的问题,另一个是理论方面的应用。要使学生对数学产生兴趣一个重要的因素就是其在实际中的应用。然而分科教学会使教师不自觉地追求数学本身的完美而忽略数学自身存在的意义。另外,分科教学使得教科书在编写上尽力使该科目自成体系,突出本学科的作用,忽略与其他学科的联系,限制了学生思维的发展。再加上我国的数学教师自身在读书期间往往过分重视逻辑推理方面的修养,而其所掌握的数学在解决实际问题方面的案例少之又少,所以在教学过程中往往将数学的应用放在一个次要的地位,这就更加重了分科教学给教学结果带来的不利影响。其次,分科教学在一定程度上也不符合数学教学的‘心理的原则’。大学生已经步入成年,其思维可以分析和综合已知的信息得出自己的结论,然而分科教学使得学生被迫直线思考,断裂和其他知识的联系。一个典型现象就是学生只会利用现学的数学方法来做课后的题目,而不会思考其他的方法。

第二,分科教学在一定程度上削弱了数学教育的教学目的。数学教育的教学目的,从大的方面讲是培养学生理解自然和洞察社会的能力;具体而言是培养学生具有分析和理解“数量与空间”的能力。数学作为一门最为古老的科学,无论其如何发展,如何蔓延都有其自身的研究方法和研究目标,就其本身而言应该是一个整体。然而分科教学削弱了数学的这种整体性,致使学生每次只能从一个侧面来理解数学。从系统的角度来看,这种教学方法无法使学生全面地理解数学的整体面貌,只能片面或者是分块地理解数学的结构,其结果必然是削弱学生分析和理解“数量与空间”的能力,无法达到数学教学的目的。

第三,分科教学不利于学生将来从事科学研究工作。

在当今科学突飞猛进的时代,数学作为科学的语言和工具,对各个学科的发展起着重要的作用。数学不仅为其他科学的发展起到了工具的作用,同时其他科学的进展也给数学的研究不断提出新的挑战。这就是说,数学与其他科学的发展是相辅相承的,其他科学中有数学,数学中也是有其他科学的内容,这样的数学才是有血有肉的。所以在科学研究中,用数学作为工具或者武器的时候,常常需要数学的全般知识。如果学生在学习过程中已经理解并且掌握了数学的统一性,将来在走向科研工作岗位时必然对数学用的得心应手,方便快捷。例如在经济学中,几乎我们所知道的数学知识都有应用,这方面大家可以参阅《新帕尔格雷夫经济学大辞典》[3]。再如在生物信息学中,数学更是表现的淋漓尽致,不仅古典数学,就连近年来兴起的隐马氏模型、人工神经网络、支持向量机、小波分析、信息熵论都在生物信息中发挥着重要的作用[4]。

2.综合数学的教学模式的优势

综合数学是相对分科数学而言的。综合数学将数学看作一个有机的整体,从统一的原则来看待数学。很多学者认为可以将函数的概念用作统一的原则。著名的德国数学家克莱因就曾说过:以函数概念做中心,将它作为一切数学的核心,有计划的集中,就得综合的数学。他还认为:“在几何学形式的函数概念,是数学教育的魂魄”[1]。从大的方面讲,有人提出用代数的思维来贯穿数学的整体,同时将这种代数的思维延伸到几何和概率等领域[16]8-1,使数学各科不再是支离破碎片断和没有意义的符号,提倡“各种观点的综合和关联”,最终达到成熟的程度[18]。

综合数学的教学模式就是将数学作为一个有机的整体呈现给学生,使学生对数学有一个整体全面的了解,而不是将数学按照分科教学的模式传授给学生。综合数学的教学模式有如下的优点:

第一,避免学生片面地理解数学,使其更加系统地掌握数学体系。分科教学的模式导致学生只有在学完各个分支,且对数学的理解达到一定程度之后,才能领悟到数学的本来面目。

第二,综合数学的教学模式要求以学生为核心,教师与学生共同参与,合作学习。这种教学模式注重过程学习,是开放式的教学[8]78-81。同时还可以避免学习相同的内容,达到事半功倍之效。

第三,能够“爱护和保护学生的学习兴趣,启发学生学习的积极性”[7]35-37。相对于分科数学教学注重抽象训练来说,综合数学的教学模式更注重发生在“真实的情景”之中的直观教学,注重数学与现实相结合。在具体的数学教育教学实践中,更致力于数学逻辑推理和演绎推理,以本质的、真实的和现实的问题为基础,建立数学模型或模式的直观[12]7-10。

第四,符合数学教学的“三个原则”,即“实用性原则,论理的原则和心理的原则”。综合数学首先肯定数学的产生与归宿是其实践性,即数学来自实践,用于实践。这种模式下,可以使学生快速理解所学内容的来龙去脉,自然地将所学的理论应用于实践,提高学生的实践能力,缩短学习与应用的时间间隔。综合数学的教学模式还可以提高学生的推理能力,扩大学生的思维空间,培养学生的发散思维。另外,综合数学的教学模式也符合学生的认知观念,即符合“心理的原则”。综合数学的教学模式使学生全面系统地理解整个数学,呈现在学生面前的是一个完整的科学体系;而分科教学割裂学生的认知习惯,使学生被迫片面地理解数学,增加了数学的学习难度。

第五,有利于学生未来的科研工作。在科学的研究当中,数学是一种不可或缺的工具,往往需要多科数学知识,如果学生事先对数学整体有了全般的理解、有了统一的认识,工作起来就方便多了。

陈建功先生还指出“代数学中不用几何,几何学中不用代数、三角,如是独立门户,究有何益!”,他认为综合数学的教学模式不但可以使学生避免重复学习相同的内容,学习省时省力,而且可以使学生自然地理解生动的数学体系[1]。这可能是综合数学教学模式的最大优点。

三、渐进融合各科数学知识是提高学生数学修养的有效途径

数学分科教学是现今高等院校采用的主要模式。在分科教学中,教师往往只是重视所授课程的内容,不自觉地忽略它与其他相关课程的联系,误导学生以为数学处于各科分割的情形。前面我们已经分析,综合数学的教学模式有诸多好处,那么现今教育是否可以采用这种模式呢?然而由于分科教学由来已久,且和数学分科研究有着天然的历史渊源,在当今的高等教育中占据统治地位,所以要直接改为综合数学教学模式不是很现实。首先,综合数学教学模式目前没有成熟的教学体系和教科书,有待进一步研究和开发;另外,教学模式的改变必然给教育结构和教师提出新的挑战,势必带来一定的阻力。那么在现有的教学模式条件下,该如何降低分科教学不利影响,突显综合数学教学模式的优点呢?现在我们提出一种折中的办法,那就是“渐进融合各科数学知识”以便提高学生分析问题和解决问题的能力。下面内容将详细讨论这一教学思路,并以一个数学例子加以说明。

渐进融合各科数学知识就是在分科教学条件下,随着学生学习各门数学知识,任课教师要有目的地加强所教课程与学生已学课程的联系,有意在教学内容上突出数学的整体性,突出数学的实用性。这也是著名几何大师克莱因所提倡的“多学实际之例,熟练空间的知识和数学计算”[1]。

在教学中要融合各科数学知识,有以下几个要点:

第一,教师的教育理念、数学修养是至关重要的[11]。不仅要求教师对所授课程有充分掌握,更需要教师对数学的体系及各门课程有全面的认识和理解,否则无法达到让学生融合各科数学知识、提高数学能力的目的。可以看出,该教学模式对教师提出较高的要求,要求教师对各门数学知识有很好的理解,要有不断学习、勤于思考的习惯,不仅要不断地去学习数学中的新理论和新方法,关注本学科的研究和进展,同时也要关心其他学科的进展。

第二,在教学中加强几何直观对教学的积极作用。直观是思维的基础,抽象思维是建立在大量直观的基础之上的。在数学教育中,几何直观扮演着重要的角色,常常起到启发学生思考的作用,是将学生引向深层次思维的钥匙。很多抽象的定义、定理、等式、不等式都有着明确的几何意义,如果引导学生能够通过思考建立几何直观,无论是对知识的理解还是对知识的应用都有事半功倍的效果。因此,几何直观不仅提高学生的逻辑推理能力,还提高学生的应用能力。

第三,在教学中培养学生对所学知识的应用能力和勤于思考的习惯。分科教学往往割裂数学的各门知识。在学生的头脑中,数学的各门知识总处于割据的状态,没有一个统一的形式。为了改变这一状态,我认为应该加强学生所学知识的应用能力和培养学生勤于思考的习惯。对知识的应用不只包含课后练习,还要能够解决实际问题。这样的问题没有既成的方法,需要对所学知识的综合应用,学生必须深入思考、反复试验才可能得到比较理想的解决方法。

第四,在教学中注重数学的整体性。分科破坏了数学的整体性,削弱了学生对数学整体性的认识,从而削弱了学生对数学的理解和应用,所以应该在教学中重视学生数学整体性的培养。如同第一条所述,这就要求教师首先对数学的理解比较深刻,对数学有着全局的把握,而且在平时也要加强这方面的思考。

第五,建议数学教师要注重计算机技术的使用,最好能够熟练掌握一种以上计算机编程语言和计算软件的应用。由于计算机的出现,很多以前无法解决的数学应用问题得到了解答[5],或者为很多问题的解决带来了希望,在数学教育领域也不例外,它对教育技术提高的作用是不可估量的。在我们提出的教学模式中提倡要十分重视计算机技术的应用,因为计算机不仅可以将数学可视化,变得更为直观,而且方便了数学思维和方法的模拟操作,能够增强学生对数学的理解水平和应用能力。在教学实践中,必须考虑到二者结合可能出现的问题与风险,以保证对教学过程起到促进作用,有利于师生的教与学[6]89-92。

结论和未来研究

目前的高等院校数学教育分科教学的现状,在一定程度上是使学生丧失对数学的学习兴趣,降低学生分析问题和解决问题能力的原因。本文分析了高等院校数学教育的原则和目的,指出数学分科教学对数学教育的不利影响和综合数学教学模式的积极作用,并提出在当今条件下,采用“渐进融合各科数学知识”的教学思路可以避免分科教学的不利影响,提高学生学习数学的兴趣和学习效率。

大学数学教育和中学数学教育具有一定的连续性,也应该遵循“实用性原则、论理的原则和心理的原则”,其教学目的是让学生通过学习数学能够具有认识自然和洞察社会的能力,以及为达到这种能力而在行动上养成良好习惯。分科教学在一定程度上违反了数学教育的原则和目的,另外它还在某种程度上削弱了数学的工具作用,割裂了数学的整体性和实践性,从而降低了学生分析问题和解决问题的能力。虽然综合数学的教学模式相对分科教学具有较大的优势,然而由于当前对综合数学教育模式缺乏系统的研究,没有现成的教育体系和切实可行的教科书,直接在高等院校内实行综合教学模式有相当的困难。因此我们提出了在教学中渐进融合各科数学知识的教学思路,一方面可以降低分科教学的不利影响,另一方面可以突出综合数学教学对学生学习数学的积极作用。同时我们还指出要实现这一教学形式需要注意的事项。为了更为简明地说明这一教学形式,我们还给出一个简单的例子,表明在教学中融合各科数学知识不仅使问题得到解决,而且加深对概念、方法和数学思想的理解,更为关键的是对客观事物的认识更为深刻,有利于激发了学生对数学的学习兴趣,提高他们学习数学、理解数学和应用数学的能力。

本文提出的在教学过程中“渐进融合各科数学知识”的教学形式,虽然从理论角度进行了较为详尽的分析,也举例说明了这一教学思路的积极作用,但是由于作者并没有采集到实际数据,使得本文略显不足。我们希望通过实践的摸索与检验,在未来对这一教学形式作更为深入的研究和讨论,探索这一教学思路对大学数学教育的影响。

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