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简述数学建模的过程范文1
在小学数学教学中,我们应善于捕捉和选择学生周边的实际问题,从生活中提炼数学模型。现实的生活材料，能激发学生思考数学问题的兴趣,学生如果能认识到现实生活中隐藏着丰富的数学问题,那么他们就有了开放的想象空间。因此我们要把学生的现实生活作为切入点，设计开放性的、生活化的、真实的数学问题。如学习了“方向和位置”之后，笔者把习题中“说一说放学回家的路线”扩展为“绘制从自己家到学校的路线图”。如在教学《分类》一课时，笔者在课前布置学生和爸爸妈妈一起去逛一逛文具店或超市，要求他们留心观察商品是如何摆放的。笔者将商场的商品制作了课件，为新课时创设了情境，然后问学生：“你们看到了什么？这些商品是如何摆放的？”因为这个问题与学生的实际生活水融，所以他们就能联系实际轻而易举地回答出：“同一种商品摆放在一起”，这就为认识分类奠定了坚实的基础。
二、自主探索，建构数学模型
建构数学模型的过程是对具体事物的感知、辨别而抽象概括的过程，数学模型的建立和思维的发展需要经历一个渐进思辨的过程。因此，这个过程应该让学生通过自主探索去完成，让他们用自己的头脑亲自去发现事物的本质属性或规律，进而获得新概念。我们要努力创设适合的问题情境，为学生自主学习搭建一个平台，给学生更多探讨的空间和交流的机会，让学生在更自由、更广阔的空间中去合作、探索和发现，形成结论，建立“应用问题”数学模型。如笔者在教学“计数单位”这一概念时，笔者让学生数出10根小棒捆成一捆，告诉他们10个一就是1个十，帮助他们理解计数单位的含义。
三、解决问题，拓展数学模型
建立数学模型的目标是为了更好地描述自然现象和社会现象，为了更好地认识自然、社会，改造自然、社会。在建立数学模型中收获的一些数学思想方法，能为以后的进一步学习和将来的社会实践埋下良好的伏笔。对所建立的数学模型我们还要进行合理的解释和应用，才能赋予已建立的数学模型以生命力。新的模型通过验证、解释，就能自然而然地化成学生自己的解题经验，而这是学生认知的一种飞跃。把建立的数学模型置身于实际生活中去运用、去检验，从数学的角度将生活中较复杂的问题解决，使它们得以简化，让学生在其中体会数学模型的实际应用价值，从而体验所学知识的用途和益处。“由感性到理性再到感性循环往复、螺旋上升的过程”，这是人的认识过程，从具体的问题经历抽象提炼初步构建起相应的数学模型，这并不是学生认识的终结，更重要的是我们还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以拓展和延伸。如“鸡兔同笼”的数学模型是通过“鸡”“、兔”来研究问题、解决问题从而初步建立起来的。笔者以为，由于建立模型的过程难以将所有的同类事物列举穷尽，因此我们要带领学生将考察的范围继续扩展，从而验证当情境数据变化时所得模型的稳定性。笔者出示了以下问题让学生分析：9张桌子共26人，正在进行乒乓球单打、双打比赛，单打、双打各几张桌子？”“甲、乙两个车间共126人，如果从甲车间每8人中选一名代表，从乙车间每6人中选一名代表，正好选出17名代表。甲、乙两车间各有多少人？”……像这样，在学生解决问题的过程中，数学模型得到了丰富和拓展。
简述数学建模的过程范文2
关键词:渠道法;卤水集卤;采卤;数学模式
在开发盐湖资源和利用资源过程中,地下的晶间卤水是盐湖资源最为重要的组成形式。以我国目前最大的青海盐湖集团为例,该厂生产的主要原料就来自于察尔汗盐湖地下的晶间卤水。一般来说,盐湖地下的晶间卤水主要通过以下方式进行采取:首先,应在盐滩上挖一条渠道即集卤渠,该渠深、长、宽均应以米来计数,通常宽要求在6米左右,以便地下的晶间卤水通过盐滩渗入到集卤渠中;其次,应该在渠道之间的某处设置泵站,然后将渠中引入的卤水泵往就近的预晒池进行初步晒和分离加工,在采用资源的同时,还应该对盐湖地下晶间卤水储藏的资源量进行一个系统的中远期预估,包括考察盐湖地下晶间卤水的水位H(x,y;t),盐滩盐滩各部分渗透系数和给水度,以及其他的水文地质参数,还有不同时期抽卤数量Q(t )。另外还应对盐湖的地下水补给情况和集卤渠的尺寸和走向等各大因素进行分析,确定其之间的相互关系,建立数学模型;再次,应根据钾肥厂抽卤开展生产以来,所得到的长期观测卤水动态的原始数据进行数学模拟,通过计算机计算合出其他的未知参数,如K等,然后把K等的参数当作已知参数,通过建立好的数学模型来模拟抽卤量Q(f)、地下晶间卤水位H(x,y ;f)等各个因素间的关系,从而达预测评估数据的目的。因此本文主要探究上面提到的数学模型构建过程,并提供初步模拟计算结果。
一、建立数学模型
首先可将要进行考察的盐滩作为平面区域,记作D,而集卤渠水面在平面区域D上投射的投影可记为Dq。另外因为集卤渠的中心曲线Cq一般是由若干首尾相连的直线构成,因此为了简化说明,可设Cq是由一条长直线段组成,然后将盐滩D含晶间卤水的盐层及其下部其它的地质层的分界面即晶间卤水层的底板记在(x ,y )点处的高程,为h(x,y ),H(x, y ;t)是( x, y)处,t时刻的盐湖地下晶间卤水的水位,该水位与H在同一基准面上,而K(x,y )、μ(x,y )则分别是在K、μ与晶间卤水层深度无关的前提下,( x, y)处的渗透指数及给水度,(x,y;t)是补给数,是指单位时间内单位面积的盐滩表面与晶间的卤水层底板上渗入晶间卤水层的水量,当其蒸发或渗出时则取负值。因为实际的水力坡度很小,因此在裘布依的假设下,H 在区域D中满足非线性抛物型方程。
上面提到了非线性抛物型方程,下面讨论该式的定解条件,因为D边界上有一部分是与盐湖湖岸重合的,因此可将这部分的边界记做Fo,其余部分则可记做记为F在Fo上,而H(x,y ;t )则会等于盐湖湖面的水位H ,根据Fo:H (x,y ;t)=H ( t)可知,其只是时间t的函数而已,另外根据对井点的水位观测数据,在F上也可提出类似于前面方程式的第一类边界条件,不过如果给定的边界供水能力更实用,则可提出第二类边界条件,F: K (H -h)=d(s,t),其中S弧长参数,d(s;r)表示在边界r上的s的时刻单位长度,以及单位时间里从D外渗入的卤水水量(当d< 0时,则反之)。设S是渠中心曲线C的弧长参数,则过D 边界上的任意一点可向C 做垂线,垂足设为S(x,y ),设任一时刻该垂线水位为常数,记做Hq( s;t),则Fq:H(x,y;t)=Hq(s(x;y):t),。因此在已知H(s;t )前提下,对任意的T> To,由前面的方程就可解出H(x,y;t).为了确定Ho( s;t ),可观察集卤渠卤水的运动过程,由Navier―stokes方程运算得来,其中u为卤水沿轴方向的流动速度,P为卤水密度,v为卤水运动的粘性系数。
另外,根据集卤渠内卤水的运动原理:一方面抽卤点不断地从集卤渠中抽卤,另一方面周围晶间卤水不断流入集卤渠,从而引起流动,可建立集卤渠内卤水的平衡方程,取从s到 + s的卤水V为数据模型研究对象,其N1、N2是集卤渠两旁沿的单位内的法向量,H是卤水的水位,K1、K2是渠道沿处的两个渗透系数,a则是渠底的渗入补偿系数。计算时,分别对上述方程的空间变量x,y 和Y、z等采用有限元素法,对时间变量t则采用差分法,另外步长t取30天.由未知函数日H、Hq等满足的方程均是非线性的,其中Hq和u又是相互耦合的,因此计算中运用了迭代法,事先也给定了二迭代的终止误差。
二、计算结果
在本文中,我们进初步介绍在拟合出参数K、μ等,根据就模拟某年2月份停止抽卤中卤水水位的恢复变化过程。首先分别观察了各观测井点1月底的水位值H ,并插值算出整个区域D内部的全部六百多个部分节点的各水位值作为初值Ho(x;y),然后用上述建立的数学模型算出t=30天之后D的各部分剖分节点上的卤水位H,并根据2月底在各观测井点上观测得的实际上水位观测值Hr,,然后插值求出另外各个剖分节点上的卤水的水位Hr2 ,最后比较各节点上H 和Hr的相对误差值,根据测得的H r在D中的结果,最大值和最小值分别为20.08m和17.88m,波动幅度为Hr=2.20m,而H和Hr的最大误差仅为0.21m,小于H的10%,实际运用中,因为E、q不一定是非负值,因此要判断Uo是否非负可以通过求取其近似值来得出。利用其还能求出Q 的近似数值,考察各个因素如K 、E等之间的定量关系,从而帮助优化采卤方案的设计,并为具体计算提供重要参考数据,由此计算出的数据结果与实际检测的差距在十个百分点以下,可见数学模拟分析误差率在合理范围内。
参考文献:
[1]卢俊德.浅析盐湖采卤设备的选用及使用中存在的问题[J].科技信息.2010(9).
[2]丁健能.利用现有采卤溶腔改建地下储气库技术[J].油气储运.2008(12).并
简述数学建模的过程范文3
[关键词]数学建模，数学教学，高等数学
1 在高等数学教学中渗透数学建模思想
全国大学生数学建模竞赛虽然发展得迅速，但是参赛者毕竟还是很少一部分学生，要使它具有强大的生命力，笔者认为，必须与日常的教学活动和教育改革结合起来。任何一门学科的产生与发展都离不开外部世界的推动，数学也是如此。牛顿、莱布尼兹当年发明微积分就是和解决力学与几何学中的问题紧密联系着的。直到今天，微积分仍在各方面发挥着重要作用。但以往的高等数学教学往往是板着面孔讲理论，而割裂了微积分与外部世界的生动活泼的联系，没能充分显示微积分的巨大生命力与应用价值。学生学了一大堆的定义、定理和公式，可能还没有搞清楚为什么要学习微积分，也不知道学了微积分究竟有什么用。如果能在高等数学的教学中充分体现数学建模的思想，在讲述有关内容时与相应的数学模型有机结合，在看来十分枯燥的教学内容与丰富多彩的外部世界之间架起桥梁，而不是额外增加课程，岂不是可以收到事半功倍的效果?事实上，这种数学思想的渗透可以把数学知识和数学应用穿插起来，这就不仅能增强数学知识的目的性，增强学生的应用意识，而且也将在填补数学理论与应用的鸿沟上起到很大作用。另外，学生能力和素质的培养不是一朝一夕之功，应采取长期的、循序渐进的原则。在高等数学教学中配以循序渐进、由浅入深、由易到难的数学模型内容，这就易于在潜移默化之中提高学生的数学实践能力，这在学生的能力培养方面又达到了事半功倍的效果；再者，数学模型课程本身内容庞杂，各部分难度深浅不一，在高等数学教学中渗透数学建模思想后，由于已经讲授了微积分方面的数学模型，这有利于后继的数学模型课的进一步学习。因此，在高等数学教学中渗透建模思想的初步训练也是十分必要的。
2 数学建模教育在高等教育中的作用
2.1 数学建模教育有利于高等教育培养目标的实现①可以提高逻辑思维能力与抽象思维能力。逻辑思维能力包括：分析、推理、论证、判断、运用结论等能力；而抽象思维能力包括：分析、综合、概括、归纳、提取等能力。数学建模是建立模型、求解与分析的过程。建立模型是由具体到抽象的认识过程，如变速直线运动速度是位移的导数模型，通过思维分析把感性认识上升到理性认识，这个过程有助于提高学生抽象思维能力。②可以增强大学生的适应能力。如今市场对人才的要求越来越高，人才流动、职业变更频繁，一个人在一生中可能发生多次选择与被选择的经历，通过数学建模的学习及竞赛训练，他们不仅受到了现代数学思维及方法的熏陶，更重要的是对于不同的实际问题，如何进行分析、推理、概括以及利用数学方法与计算机知识，还有各方面的知识综合起来解决它因此，他们具有较高的素质，无论到什么行业，都能很快适应需要。③有助于增加自学能力。由于实际问题的广泛性，学生在建模实践中要用到的很多知识是以前没有学过的，而且也没有时间再由老师作详细讲解来补课，只能由教师讲一讲主要的思想方法，同学们通过自学及相互讨论来进一步掌握，这就培养了学生的自学能力和分析综合能力，使他们走上工作岗位之后，更好用这种能力来不断扩充和更新自己的知识。
2.2 数学建模教育为培养“双师型”的教师队伍打下了基础。高等教育对教师队伍提出了特殊的要求，即在业务素质上，教师除了应有较高的理论水平外，还要有较强的实际动手能力，即要教师成为理论型与实践型相结合的人才。成功地建立实际问题的数学模型并教给学生思路和方法，不仅要求教师具有深厚的数学基础，理性的思维训练，还要求教师应具有敏锐的洞察能力、分析归纳能力以及对实际问题的深入理解和广博的知识面，尤其是在社会经济高速发展的今天，数学建模已不单纯从数学到数学，而是涉及物理、化学、生物、医学、经济、管理、生态等众多领域。从事数学建模教学的教师必须不断地拓展自己的知识面，深入实际，才能有所作为。这无疑为“双师型”教师队伍的建没打下了良好的基础。另外，数学建模教学对高等教育专业的设置、高等教育的教学改革也提供了好的思路。高等教育引入数学建模并积极组织学生参与建模竞赛，有利于高等教育的发展，有利于学生动手能力的提高。
3 数学建模教育的具体措施
3.1 突出学生的主体地位。学生主体地位是指学生应是教学活动的中心，教师、教材、一切的教学手段，都应为学生的学习服务；学生应积极参与到教学活动中去，充当教学活动的主角。数学建模的特点决定了每一个环节的教学都要把突出学生主体地位置于首位，教师要激励学生大胆尝试，鼓励学生不怕挫折失败，鼓励学生动口表述，动手操作，动脑思考，鼓励学生要多想、多读、多议、多练、多听，让学生始终处于主动参与，主动探索的积极状态。
3.2 分别要求，分层次推进。在数学建模教学中，根据素质教育面向全体学生，促进学生全面发展的目标，教师要重视学生的个性差异，对学生分别要求，个别指导，分层次教学，对不同学生确定不同的教学要求和素质发展目标。对优生要多指导，提出较高的数学建模目标，鼓励他们大胆使用计算机等现代教育技术手段，多给予他们独立建模的机会，能独立完成高质量的建模论文；对中等程度的学生要多引导，多给予启发和有效的帮助，使中等程度的学生提高建模的水平，争取独立完成教学建模小论文；对差生要多辅导，重点是渗透数学建模的思想，只需完成难度较低的建模习题，不要求独立完成数学建模小论文。
3.3 全方位渗透数学思想方法。数学思想方法是数学知识的精髓，是知识、技能转化为能力的桥梁，是数学结构中强有力的支柱。由于建模数学面对的是千变万化的灵活的实际问题，建模过程应该是渗透数学思想方法的过程，首先是数学建模化归思想方法，还可根据不同的实际问题渗透函数的思想、方程的思想、数形结合的思想、逻辑划分的思想、等价转化思想、类比化归和类比联想思想及探索思想，还可向学生介绍消元法、换元法、待定系数法、配方法、反证法、解析法发、归纳法等数学方法。只要我们在建模教学中注重全方位渗透数学思想方法，就可以让学生从本质上理解数学建模的思想，就可以把数学建模知识内化为学生的心智素质。
3.4 实行以推迟判断为特征的教学结构。所谓“推迟判断”就是延缓结果出现的时间，其实质是教师不要把“结果”抛给学生，推迟判断要注意两个方面：一是数学概念、定理、解题都要作为“过程”来进行，二是教师在聆听学生回答问题特别是回答错误问题或回答得不太符合教师设计的思路时，应该有耐心，不宜立即判断，教师应沉着冷静，精心组织学生与学生、学生与教师之问的教学交流。由于建模教学活动性强，教学成功的关
键是教师要调动所有学生的探索欲望，积极参与教学过程。学生通过步步深入的积极思考探索，激发了思维，真正唤起主动参与的意识。
3.5 重视分析建模的数学思维过程。学生普遍感到数学建模难度大，最重要的原因是数学建模的思维方式与学生长期起来是数学知识学习有明显差异，如何突破这个难点，让学生乐于参加数学建模活动?关键是要分析建模的数学思维过程，通过建模发生、发展、应用过程的揭示，挖掘有价值的思维训练因素，抽象概括出建模过程中蕴含的数学思想和方法，发展学生多方面数学思维能力，培养学生创新意识，让每一个学生各尽其智、各有所得，获得成功。
3.6 特别强调数学应用。数学建模教育要注意以下几点：
①引导学生关注日常生活问题，将学生实际生活中遇到的问题有机地融入建模教学，选择数学建模专题时尽可能贴近学生实际。
②在建模教学中，教师要注重再现数学模型形成过程，可先让学生体会数学建模的一般思想方法，进而让学生亲自动手寻找实际问题并自行构造数学模型进行解决，经过一段时间的训练，再引导学生尝试通过建模解决一些复杂但又在现实生活中遇到的问题。
③建模教学要加强与其它学科联系，不仅与物理、化学、生物等学科联系，还可与经济学、管理学、工业生产等方面联系，拓广学生建模问题来源。
简述数学建模的过程范文4
1.1简述数学及数学建模
美国科学院院士Glimm在他编著的《数学科学、技术和经济竞争力》的报告里指出：“数学科学对于经济竞争是生死攸关的”，认为“在数学科学里，技术转化远低于其潜力”“，这种由研究到技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”。从而，数学向一切领域渗透以及实现数学科学技术转化，是当代数学发展最具生命力的方面。近代计算技术的快速发展，为数学的发展提供了最有力的工具。在高新计算机技术支持下的数学建模，成为目前发展数学向一切领域渗透及数学科学技术转化的主要途径。由于利用数学方法解决实际问题时，首先要进行的工作是建立数学模型，而建立一个较好的数学模型成为解决实际问题的关键。
1.2对模型与数学模型的认识
一般地说模型是我们所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质。好的模型应当具有它所模拟对象的主要功能。例如：航模飞机就是对机的一种模型。但模拟不一定是对实体的一种仿制，也可以是对某些基本属性的抽象。例如：日常生活中使用的各种图纸。那么什么是数学建模呢？数学建模就是指将某一领域或部门的某一实际问题，经过抽象简化、明确变量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系（即数学模型），然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证。若通过，则可投入使用，否则将返回去，重新对问题的假设进行改进。按照E.A.Bender的提法，认为数学模型乃是“关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构“。由于个人的讲法不一，不必过于追求严格的定义。总之，数学模型是一种抽象的模拟，它用数学符号、数学式子、程序、图形等刻画客观事物的本质属性与内在联系，是现实世界的简化而又本质的描述。它或者能解释事物的各种性态、预测它将来的性态，或者能为控制这一事物的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。例如，在科学发现上比较有名的万有引力定律的发现是牛顿在力学上的重要贡献之一，正是为了建立这一定律，他发明了微积分方法，通过数学建模的方法，推导出万有引力定律。
1.3数学建模的一般步骤
由于数学建模面对的是现实世界中的形形的事物，不可能用一个统一的格式来说明，下面大致归纳建立数学模型的一般步骤。1）了解问题的实际背景，明确数学建模的目的，掌握必要的数据资料，为进一步数学建模做准备。为了做好这一步工作，有时要求建模者作一番深入细致的调查研究，有时需向有关方面的专家能人请教，以便掌握较为可靠的第一手资料。2）在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，抓住主要矛盾，对问题作必要的简化，提出几条恰当的假设。十六世纪初，著名天文学家开普勒正是在第谷二十年积累起来的资料基础上，提出了科学的假设。如果当时没有开普勒的假设，人们对现实世界天文学的感性认识就不可能迅速上升到理性的阶段。一般在提出假设时，如果考虑的元素过多，过于繁复，会使模型过于复杂而无法求解，考虑的因素过少、过于简单，又会使模型过于粗糙得不出多少有用的结果而归于失败。此时，应当修改假设重新建模，一个较理想的模型往往需要经过反复多次地修改才能得出。3）之前已经根据问题背景提出了适当合理的假设，在此基础上，各变量之间存在某种关系，采用恰当的数学工具来表示以上这种关系，为其构造相对应的数学结构，根据构造的数学结构建立相应的数学模型。在建立数学模型时要综合考虑建模所要达到的要求目的、问题的特征的问题，此外还要考虑负责数学建模人员的数学特长等问题。在建立数学模型时可能会用到任意一个数学分支，即使是同样的问题也可以建立不同的数学模型，只因所采用的数学方法有所差异。人们可以采用多种数学方法达到所预期的要求目的，通常在这种情况下，人们会采用较为简单的数学工具。4)分析并检测所建立的数学模型。人们之所以建立数学模型是为了解决问题，更好的解释自然现象并改造自然以此来满足人们生活需要，所以说数学建模不是我们的最终目的。在建立数学模型时我们应该充分考虑模型求解的问题，模型求解包括以下几部分内容：逻辑推理、图解、解方程、定理证明、讨论稳定性等。建立模型并将模型所得结果与实际情况进行比较，通过这种比较来检测数学模型的正确性。通常，一个较成功的模型不仅应当能解释已知现象，还应当能预言一些未知的现象，并能被实践所证明。例如：牛顿创立的万有引力定律就经受了对哈雷彗星的研究、海王星的发现等大量事实的考验，才被证明是完全正确的。如果经验结果与事实不符或部分不符，就应当象前面所讲的那样，修改假设，重新建模。综合起来讲，数学建模的一般过程可以概括为：从实体信息（数据）提出假设建模求解验证修改应用的一个反复完善的过程。
1.4数学建模中应当注意的两个方面
1）要具备广泛的数学基础知识，懂得它们的背景含义及各种数学应用问题的解法。2）重视观察力和想象力的培养。要学会数学建模除了要学会灵活应用数学知识外，还应当注重培养自己的观察力和想象力。著名科学家爱因斯坦曾经说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动进步，并且是知识的源泉”。
2对投资问题数学模型的探讨
当国家或地区财力有限时，要使有限的投资能发挥出最大的效益，必须制定最佳投资方案，使国民经济获得最优增长。关于投资问题就是经常要提到的一个重要问题，下面采用数学方法建立模型，并对某些结论进行讨论。社会生产可以分为两大部类，第Ⅰ部类和第Ⅱ部类。第Ⅰ部类的生产是用于非消费品的生产；第Ⅱ部类的生产是消费品生产。经济学理论分析，用于第Ⅰ部类的生产资金是通过消费品的生产转化来的，同时生产出来的第Ⅰ部类产品，在一定时期内又服务于消费品生产。那么，要使投入生产的总资本产生最大的经济效益，需确定资本的最佳投入。
2.1投资问题数学模型的建立
假设1)t时刻，国家投入生产的总资本为K(t),K(0)=K0,K(T)=KT,K0与KT是已知量，国民经济总收入为Y(t),并且有Y(t)=〔fK(t)〕,（1）其中〔fK(t)〕是生产函数；2）国民收入主要用于两方面，消费资金C(t)和扩大再生产的积累资金I(t),且有Y(t)=C(t)+I(t)（2）消费资金产生的效益记为U〔C(t)〕,消费越高，为生产带来的效益越大，因此3）人是劳动力资源，从t=0到t=T这段时期内，劳动力保持不变。在上述假设下，考虑最佳投资方案，即确定投资函数K(t).当充分小时，有，令，得，（3）（3）式表明t时刻用于扩大再生产的资金正好是t时刻总资本的变化率。将（1）式（、3）式代入（2）式得到关于K(t)的常微风方程（4）现在的问题是求K(t),使得（5）约束条件为K(0)=K0,K(T)=KT，状态方程为求最佳投入资本的问题归结为解具有固定端点的变分问题（5）.注意到，得变分问题利用Euler方程得常微风方程（6）因为，所以（6）式就变为（7）
2.2模型探讨
简述数学建模的过程范文5
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2012）14—0039—01
随着课程改革的不断深入，数学的人文价值更明显地凸现出来，已受到广大教师的重视。许多学者参与了有关数学文化的研究和讨论，从文化这个特殊的视角对数学进行分析，并发表了很多相关的论文与专著。但这些研究成果相对集中在理论领域，而对于数学文化在中学数学教学中如何渗透缺乏实践性的指导。笔者对数学文化在中学数学教学中如何渗透进行了一些初步的探究，希望对广大教师有所帮助。
一、以数学史为载体渗透数学文化
1.结合教科书史料，渗透数学文化。为了发挥数学史的教育作用，体现数学的文化价值，一些数学史已经作为阅读材料被写入中学教科书中。在教学时对一些定理或概念应恰当地结合数学史进行讲解。例如，在概念教学中，可通过“背景综述”，充分揭示数学知识产生、发展的过程，让学生感受到数学知识是一定文化背景下的产物。对阅读材料有时可进行详细讲解，有利于学生完整、系统地掌握知识。在教学中也可结合知识讲解数学家的发明故事，以激发学生学习数学的兴趣。
2.结合课外阅读史料，渗透数学文化。除教师适当讲解数学史外，还可以让学生自己查阅数学史，从而扩大知识面，让他们看到数学的每一个定理和概念都不是简单的由来，会刺激他们对未知知识领域的好奇心；也可以在课外时间开设专门的讲座，学生从这些讲座中认识到数学家是在怎样的历史条件下，通过什么方法，提出过哪些大胆的设想，克服过哪些艰难险阻，最后才创建新的学说、理论或取得成果。在讲述过程中可结合目前所学的知识，不仅能巩固新知识，也能激发学生学习的兴趣。
二、以教科书为资源渗透数学文化
高中数学教科书中的每个章节都渗透着数学文化，有效地发挥了数学文化强大的教育功能，充分体现了数学文化的价值。就人教版普通高中课程标准实验教科书必修1中，函数的学习要求渗透的数学文化有：简述函数概念的发展历程，让学生初步了解函数的历史；简述对数的发明过程，让学生领略数学家们对数学符号体系的发展与完善作出的长期而艰苦的努力；简述中外历史上各位数学家对求解方程作出的研究。新的教科书资源具有渗透“数学文化”的特点：一是亲和力：以生动活泼的呈现方式，激发兴趣；二是问题性：以问题引导数学活动，培养问题意识和创新精神；三是科学性与思维性：鼓励学生运用类比、推广、特殊化、化归等思想方法，提高数学能力；四是时代性与应用性：以具有时代性和现实感的素材创设情境，开展数学活动，增强应用意识。
三、以数学思想方法为依托渗透数学文化
数学思想方法是数学的精神所在，是数学文化的重要组成部分。在数学教学中，很多题目体现了数学文化，所以除了必要的形式化训练外，要指导学生提炼或感受其中所蕴含的数学思想方法，感受到其解答过程都是某种数学思想方法的产物。比如，当讲尺规作图的题目时，可以给学生引申几何作图的由来，早在古埃及用绳子进行测量地界的方法被认为是几何学的起源之一，体会数与形的结合是不可分离的数学思想。这样教学，联系了实际，让学生知道数学的发展是和生活密切联系的，进而体会到数学的价值所在。
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关键词：汽油机；空燃比控制建模；子空间N4SID方法
中图分类号：TP273文献标文献标志码：A文献标DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2012.02.002
Study on A/F Ratio Control Model of Gasoline Engine Based on Subspace Identification
Li Dinggen1，Liu Gang1，Wang rongqing2
（1. Energy and Power Engineering Institute, Huazhong University of Science &Technology，Wuhan，Hubei 430074，China；
2. Zhejiang Institute of Mechanical & Electrical Engineering，Hangzhou，Zhejiang 310053，China）
Abstract：The air-fuel ratio (AFR) control of gasoline engine is usually based on fuel film dynamic equations. But this method is difficult to consider the effects of other factors on the air-fuel ratio, such as engine speed and air temperature. So N4SID algorithm of subspace identification was used to identify the AFR dynamic equations. Based on these equations the effects of the mentioned factors were analyzed. Comparing the AFR predicted by the model with the measured experimental values based on GT-power, the results indicate that the identified model has sufficient accuracy and the subspace identification method can be adapted to the modeling of AFR.
Keywords：gasoline engine；modeling of AFR control；N4SID algorithm
汽油机常采用油膜动态方程设计空燃比补偿器，这种基于气道油膜辨识的空燃比控制方法，在发动机稳态运行时，较为适用，而在发动机瞬态时，辨识误差较大[1]。美国FTP75测试循环[2]表明，发动机80%的排放物均在发动机冷启动过程的瞬态运行工况下产生。可见瞬态工况下的空燃比精确控制（考虑油膜动态效应）是改善发动机缸内空燃比波动，从而降低污染物排放的有效手段。为此，本文拟采用子空间辨识N4SID算法，辨识多影响参数下缸内空燃比动态波动模型，分析多参数对辨识出的空燃比动态模型的影响，分析模型的抗扰性能，为空燃比的控制建模打下基础。
1 汽油机油膜动态方程辨识及空燃比控制建模
汽油机采用进气道喷射方式，燃油从喷油器喷出后，一部分以蒸汽形式存在于气道中，另一部分直接附着在壁面上，形成附壁油膜。油膜的存在对发动机实际燃烧空燃比有很大影响，特别是发动机冷启动时。研究发现，美国联邦FTP75测试循环冷启动过程中所排放出的HC及CO占整个循环排放物的70%～80%，而很大部分原因归结于冷启动过程中空燃比波动过大[2]。
因此，对汽油机进气道油膜动态模型建模分析的研究引起了国内外学者的广泛兴趣。最有效的油膜物理模型建模研究始于1981年Aquino所提出的模型，他将由喷油器喷出的燃油分成以X分数沉积在壁面上的油膜以及以（1-X）分数悬浮在进气道中的燃油蒸汽及微小液珠。附着在壁面上的油膜的蒸发时间常数是 [3]。之后于1992年，Hendricks E.和Vesterholm 提出了双时间常数模型，该模型额外考虑了燃油蒸汽和液珠由进气道进入气缸的输运时间，其在某些工况下的模拟结果较优于模型 [4]。之后很多国外学者也对进气道油膜进行过深入的研究，在上述两种模型的基础上，提出了不同的改进模型[2，5-6]。国内有人采用最小二乘法、扩展卡尔曼滤波等方法对油膜模型进行辨识，并在此基础上设计了油膜补偿器，对各种工况下的喷油量进行补偿达到精确控制空燃比的目的[7-9]。
上述传统的辨识方法，均基于油膜物理模型的推导及建立，过程繁杂，不利于考虑发动机多运行参数对缸内空燃比的影响。子空间辨识方法直接从输入输出数据中提取状态空间参数，可以综合考虑多参数对空燃比模型的影响，同时在辨识时间上要较传统辨识方法少，这主要是因为子空间方法没有循环迭代的过程[10]。
2 研究对象及模型简述
试验系统采用某型汽油发动机为研究对象，将实物系统简化，在GT-Power软件中搭建相应的发动机模型。发动机基本参数见表1。
模型主体是GT-Power软件中自带的具有高度保真性的算例模型，本文是在该模型的基础上修改相关参数，并进行研究。
假设汽油机缸内空燃比动态模型的状态空间方程如下：
，
．
且做如下假设（即系统噪声与测量噪声不相关）：
，
式中：为输入序列，这里选取发动机转速n（r/min），进气温度t0（K），喷油量m（g/s）为输入变量；为输出变量，这里选取缸内空燃比λ为模型输出量；为状态序列；、、、分别为系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵、直接输入输出矩阵；、分别为系统噪声和测量噪声，并假定为高斯白噪声；、、为噪声的、协相关矩阵。
定义输入数据Hankel矩阵如下：
输出的Hankel矩阵定义同上。
3 子空间N4SID算法及所辨识的模型
子空间辨识算法能够根据给定输入输出数据的Hankel矩阵，通过空间正交投影或斜向投影的数学方法，直接估计出系统的状态序列。从而将状态空间的求解问题转化为最小二乘问题，再求解出状态空间矩阵A、B、C、D。它大大简化了系统的建模过程，去除了繁琐的物理模型推导过程。
假设式（1）所描述的系统是可观的，则可设计Kalman滤波器对其状态进行估计。
，
K为Kalman增益，令
，
系统方程变为
，
．
将yk的表达式代入到状态方程中，可得
，
可推出
，
式中： ； ；。
在应用系统输入输出Hankel矩阵进行子空间辨识时，需作如下假设进行限制[11]。
（1）矩阵（A-KC）的特征值严格分布在单位圆内。
（2）系统矩阵（A，C）是可观的，（A，[B，K]）是可控的。
（3）误差序列ek是稳定的零均值、白噪声序列，且其二阶矩满足
，
式中：为Kronecker符号。
（4）对于开环数据，输入序列与误差序列不相关。
（5）输入信号是准稳态，且是持续激励的。
针对上述假设，进行发动机开环试验设计，选择某型汽油发动机在GT-Power软件中建模，试验转速变化范围为1 000～6 000 r/min，每100 r/min进行数据采样；喷油量变化范围为3.5～5.5 g/s；进气温度范围为280～340 K，此三者为模型辨识的输入量。缸内空燃比为输出量。辨识数据分布如图1所示。
应用上述试验数据进行系统辨识，数据样本为1 000组。首先，对式（4）的输出方程进行扩展和迭代，得到新的输出方程为
．
对式（5）进行迭代，可得Xk的表达式为
．
代入（6）式消去Xk项。当P值足够大时，。则（6）式可简化为
，
式中：，，。先将（8）式的两边同时在Uf的正交方向投影，消去Hf Uf项，然后再将得到的式子同时乘以，由前述假设，随机误差Ef与过去的输入输出项不相关，则。故（8）式可化为
．
由此可求解出为
．
上式右边各项均为已知项，乘以Zp后对进行SVD分解，可以得到
． （9）
由（9）式可知，仅仅应用已知的输入输出Hankel矩阵便可估计系统可观测矩阵，其估计值为
． （10）
当然，在实际过程中，矩阵的值在计算过程中并不一定精确地等于。但这种理想的计算简化，对于矩阵的计算及后续系统矩阵的计算有很大益处，且并不影响系统的计算结果[10]。
计算出矩阵的估计值后，通过下式计算状态矩阵的估计值。
． （11）
从而式（1）所表示的系统模型辨识问题，转化为一个最小二乘求解问题[10]。
．
利用计算出的系统矩阵的估计值，可计算系统残差的协方差矩阵，协方差矩阵的求解仍然转化为最小二乘的求解问题[10]。
根据上述算法，编写matlab计算程序，程序计算出的系统阶数图如图2所示。
图2中纵坐标为系统奇异值的log函数值分布，横坐标为程序所设定的阶数范围。由图2可知，当系统阶数n大于3后，其所对应的奇异值的log函数值越来越小，故程序计算出3为系统的最佳阶数。
确定模型阶数后，即可利用发动机开环试验数据对系统进行辨识，辨识出的系统矩阵为
由于试验设计为开环状态下的试验，故直接馈入矩阵D为0，所以程序中未予计算。
4 结果分析
针对计算出的系统模型，使用未参与辨识的200组数据进行验证，验证数据的分布如图3所示。
将验证数据代入所辨识出的系统模型，模型计算出的数据与试验数据的比较如图4所示。
图4上半部分为预测出的空燃比与试验值的绝对误差分布图；下半部分为相对误差分布图。由图4可知，模型预测的空燃比绝对误差分布在-0.2647～0.4475之间，相对误差分布在-2.25%～3.59%之间，模型计算的结果与试验值吻合程度高。说明子空间辨识算法N4SID在辨识空燃比模型方面准确、有效。由于转速信号的周期性采样，计算结果也大致呈周期性分布。
验证数据的输入值都假定是准确和稳定的。但在发动机实际运行过程中，对数据进行采集时均会夹杂外界的干扰信号，绝对准确无扰动的数据在试验过程中不可能产生。为此，为验证所辨识出的模型抗扰动的能力，在验证数据中分别单独对输入信号添加零均值，方差为信号平均值±1%范围内分布的白噪声信号，以此检验模型的抗扰动能力。
添加扰动信号后，空燃比验证误差分布图如图5和图6所示。
由图5、图6可知，转速加入白噪声信号后，输出数据的绝对误差与相对误差几乎与不添加白噪声信号时的相同，可见辨识出的模型对转速的变化有较大的抗扰能力。喷油量信号加入白噪声后，空燃比的绝对误差与相对误差波动幅度小，模型对喷油量的干扰信号具备抗扰能力。当对进气量添加白噪声后，模型预测出的空燃比绝对误差、相对误差均产生大幅度的波动，相对误差限跃升至-14%～10%，说明辨识出的模型对进气温度的波动比较敏感。分析其原因，可能是用于辨识的数据中进气温度变化频率最小，每250个采样点才产生进气温度的阶跃变化，由此导致辨识出的模型对进气温度变化敏感。
将辨识所得的模型应用于不同发动机工况，此处任意选取4个工况点进行对比，将进气温度和喷油量分别定为283 K、4.1 g/s，转速分别为1 372 r/min、4 859 r/min、5 128 r/min、5 732 r/min。其所预测出的发动机空燃比与发动机仿真试验所得的空燃比见表2。
由表2可知，在所选取的工况点下，经辨识得出的模型预测出的空燃比值与发动机仿真试验所得的空燃比值符合度好，预测的相对误差在±5%以内。
经以上分析可知，对于多输入下的发动机空燃比动态模型建模，传统的基于物理分析建模的方法较为复杂，且不易于考虑多参数的影响。而应用子空间方法针对试验采集的大量样本数据，进行快速高效辨识，可以解决物理建模繁琐低效的缺陷，且辨识的精度高，抗输入干扰的能力强，是发动机瞬态空燃比控制建模的有效方法。
5 结论
（1）推导了子空间辨识N4SID算法的主要过程，基于该算法的限制条件在GT-Power软件中设计了发动机开环状态试验，采集了1 200组各工况下的数据，其中1 000组数据用于模型的辨识，200组数据用于模型的验证。
（2）辨识程序辨识出的3阶状态空间模型具有最优的精度，模型计算出的空燃比绝对误差限为-0.2647～0.4475、相对误差限为-2.25%～3.59%。
（3）向验证数据输入信号添加零均值，方差为各信号平均值1%的白噪声后发现，辨识出的模型对转速、喷油量的波动抵抗力强。而对进气温度变化敏感，究其原因可能在于采样数据中进气温度变化频率低，造成模型对进气温度的敏感性增强。
（4）模型预测值与GT-power仿真试验值的相对误差在±5%以内，辨识出模型的精度符合空燃比控制建模需求。
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