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数学建模的问题范文1
一、“问题―建模―应用”教学模式开展中要重视的问题
1.妥善处理生活与数学之间关系
同生活进行比较，数学有着本质的不同，生活总体来说是多门学科知识的综合运用。数学虽然单一，但是有其严谨性和单一性，若是学生在回答数学应用题过程当中建模不当，就会让学生在进行分析的时候出现一定的困难。在应用题当中，生活情境的加入是为了给数学知识和考点的融入提供一个良好的空间，但在小学数学学习中，学生心理发育尚不健全，无法从细微处观察生活中的某些细节。所以，老师在进行应用题教学过程当中，应合理运用数学教材，正确对应用题题干进行信息采集，消除干扰信息。在进行讲述的过程当中，让学生对数学知识和生活中的实际案例进行理性分析，做到扬长避短，才能让数学知识在解答应用题过程当中发挥其真正价值。
2.妥善处理理论与能力关系
建模思想隐藏在数学理论之中，所以在进行应用题教学的过程当中，老师需要利用相关数学理论知识对学生开展智力开发，帮助学生构建出完整的数学理论知识构架，增强学生解决实际生活难题的能力。
二、“问题―建模―应用”在小学数学应用题教学中的实施策略
“问题―建模―应用”教学模式建立在融入生活情境的模式之下，利用学生已经掌握的相关数学知识，依靠学生的理解与老师的解析，由此帮助学生有效提高数学成绩。在实战教学当中，使用“问题―建模―应用”教学模式开展小学数学应用题教学可以从以下三个方面开展。
1.加入生活情境
应用题一直是很多小学生在进行数学学习过程当中最大的弱点，因此在开展小学数学应用题教学过程当中，老师必须要从学生周边常见的生活情境入手，给学生创造出操作和观看的机会，让小学生能够在日常的生活情境当中，使用数学知识回答生活中所遇见的问题。
例如，在小学数学学习到“长方体表面积的计算”时，老师可以让学生进行举手回答，说说自己在日常生活中所见到的长方体物体都有什么。并且，老师拿出一个长方体模型让学生作为参考，让学生对长方体的结构产生充分的认识。又例如，老师可以用学生春游的事情作为例子向学生提出这样一个为题，公园当中有七艘木船，每只木船可以装六名学生，全班同学都想划船，当七只木船已经被全部占用之后，仍有十八名学生无船可坐，请问这个班级一共有多少名学生？由上述的生活情境进行应用题教学的开展，可以有效激发起学生的学习热情，让学生可以进行自主性思考。增强了学生解决生活中实际问题的能力，让数学理论知识可以真正用于生活问题的解答当中。
2.建立数学模型思想
学生在解答应用题的过程当中针对应用题的不同类型创建相关的模型，是解答数学应用题的重要步骤。在构建数学应用题的相应过程当中，学生将获得创造数学模型的能力。并在进行解答??用题的过程之中，让学生更加深刻地认识到数学与生活之间的密切联系。
例如，在进行“单位换算”这一章节数学知识的教学过程当中，老师首先将长度单位千米、米、分米、厘米、毫米之间的关系给学生进行阐述，并在学生进行相关的记忆学习之后，以快问快答的方式进行课堂上的快速回答。学生因为自身对于计量单位的理解存在差异，造成了学生在回答相关问题的过程中出现时间差，在进行换算的过程中也会使用到不同的方法。这之后，老师就需要指导学生建立好相关的模型，在念来为学生解惑。因此，在实际教学中，教师可以通过一些简单的实验现象来激发学生提问的欲望，从而锻炼其提问能力。
2.鼓励学生提问，培养学生提问意识
学生作为学习的主体，他们在遇到难以理解的问题时，向教师提问是应该的。教师应当转变教育理念和教学模式，在学生提出问题时放下架子悉心指导，并在解惑之后加以鼓励，从而使学生在遇到难题时“能问、会问、敢问”。
3.循序渐进地引发学生的问题，促进学生提问能力的提高
物理的学习是有难度的，且物理问题一般比较深奥晦涩，因此教师在教学中不能一蹴而就，将一个问题抛出之后就希望学生快速解答或者理解。而是应该将问题分割细化，在提问过程中耐心引导，层层推进，使得学生在思考问题的过程中能够对下一步的问题有一定的猜想和认识，从而锻炼学生的思维能力。
例如在进行沪教版物理选修二第三章第一节的电磁感应的学习时，教师可以在正式上课前向学生讲述奥斯特发现电与磁的故事，从而吸引学生的注意。随后教师通过层层递进，再引导学生思考，提出问题：磁场能不能够产生电流呢？带着这个疑问，教师开始讲解本小节的相关内容，让学生通过新学到的知识自行解答先前的问题。
（四）划分学习小组，强化提问氛围
学生提问的对象不仅仅是教师，同学之间也是可以的。把将要学习到的知识点事先当做任务分配给各学习小组，让各组成员根据课本对知识先进行合作预习，随后让他们将难以理解的内容记录，并在开始上课之前一一提出，在课上由教师解答。课后再让各小组对本节课的内容进行讨论和反思，互相提问互相解答，实现共同提高。
数学建模的问题范文2
【关键词】高职院校；数学建模；教学
在高职院校中开展数学建模教学是为了使学生将所学的数学方法与知识同周围的现实世界联系起来，甚至和真正的实际应用问题联系起来.数学建模不仅使学生知道数学有用、怎样用，更重要的是使学生体会到在真正的应用中还需要继续学习.数学建模是一种创造性的活动，也是解决现实问题的量化手段.作为一种创造性活动它要求建模者具备敏锐的洞察力、良好的想象力、较强的抽象思维能力和创新意识；作为一种量化手段，它需要建模者具备较强的知识应用能力和实践能力.因此，开展数学建模教学不仅可以加强知识积累，提高学生的科学素质，而且可以从根本上实现从应试教育向素质教育的转变，解决高等职业教育的特色问题，构建一种满足高职教育人才培养目标所要求的体系全新、特色鲜明的课程内容体系.为了更好地达到预期的教学效果，在教学过程中应注意的几个问题：
一、合理安排教学内容
高职院校学生数学基础薄弱，绝大部分学生从没接触过数学建模知识.针对这些特点，教学内容的选择应该以数学知识和方法为纵向，以问题为横向，由易到难，由浅入深.第一部分是补充知识，主要包括：规划论、图论、组合优化、概率统计、层次分析、微分方程、排队论等数学理论和数学方法；第二部分是编程训练，强化数学软件包括Mathematica，Lingo等软件包的应用和C语言编程能力；第三部分是数学建模专题训练，从小问题入手，由浅入深地训练，使学生体会和学习如何运用数学知识和数学技巧解决实际问题，建立数学建模的思想和方法.
同时还要注重提高学生的兴趣，注意理论和实际相结合.一方面可以介绍一些学生感兴趣的实际例子来说明问题，例如在彩票中概率知识的运用；另一方面可通过一些与学生专业相结合的数学模型来激起学生学习的欲望.
二、建模教学过程中要突出学生的主体地位
由于受到长期传统应试教育的影响，学生一直处于被动学习的地位，动手能力差，应用意识薄弱.数学建模教学的特点决定了突出学生主体地位的重要性，传统教学中满堂灌的方式已经不再可取，以学生为主的探索讨论式教学变得尤为重要.教学过程中以教师为主导，学生为主体，教师以教学内容为主线，围绕教材章节，归纳讲解不同类型的数学思维方法和常用的数学思维方法，在教学过程中教师起到引导和示范作用，引导学生发现问题、提出问题，探索解决问题的途径，形成探究的教学模式，从而激发学生的学习兴趣，增强学生学习的主动性.教师要做到充分尊重学生的权利，培养学生的积极性，确保其思考的自主性.另外，要鼓励学生充分发表个人意见，并且不要轻易否定学生的思路或强行让学生的思路沿着教师的思维走.要鼓励学生大胆尝试、动手操作、动脑思考，勇于提问、勇于探索、勇于争论，让学生始终处于主动参与、主动探索的积极状态，真正地把学生培养成为能够自主地、能动地、创造性地进行认识和实践活动的主体.
三、建模教学中要注重学生综合素质的培养
数学建模是一门综合性的课程，除了要求建模扎实的数学基础知识外，还必须补充额外的大量知识.但由于时间短，所有知识不可能由教师一一讲授，所以必须发挥学生学习的主动性.高职院校的学生一般自主学习意识比较淡薄，学习的主动性不强，因此在课堂教学之外，教师还要更多地引导学生充分利用课余时间，加强自主学习、自我教育能力的培养.
具体的做法是在教学过程中根据学生的具体情况，适当进行分组，一般3个人一组，然后布置相应的数模题目，教师适当讲解，给予学生方法性的指导，让学生自己思考以达到对实际问题有一个清晰的理解，了解问题的实际背景，已知什么，未知什么，要解决什么问题，明确建模的目的，初步确定用哪一类模型.在模型准备阶段，教师可引导学生主动查阅文献收集资料，尽早弄清对象的特征，用所学的数学知识将实际问题进行转化.这种训练使学生在很短时间内获取与题目有关的知识，锻炼了他们从互联网和图书馆查阅文献、收集与处理资料的能力.由于数学模型大多是用符号语言描述，所以涉及如何把实际问题转化为数学问题的翻译能力，而这恰恰是传统的课堂教学中所忽略的.
构造数学模型是一种创造性的工作，需要想象力、类比、猜测、直觉和灵感，更需要一种组合与选择.教师必须注重培养学生的观察能力和想象力.让学生反复揣测题目，适当增加或减少参数变量，改变变量的性质，降低建模的难度，改变变量之间的函数关系，改变约束关系，改变模型形式等等，这样的训练能让学生经过分析抓住问题的主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用哪些方法解决面临的问题及方法的优劣可作出判断，利用实际问题的内在规律和适当的数学工具，建立数学模型.
在求解模型时，要求学生既会用手工计算又会用数学软件进行运算，像微积分、线性代数、概率与统计微分方程、运筹学、模糊数学等数学课程中的简单计算要求学生进行人工计算.求解多维数据模型时要求学生能应用数学软件，如Matlab，Lingo，Lindo等，或根据模型运用C语言进行编程，并根据得到的结果检验是否符合实际问题的情况.教师可设计层次不同的题目锻炼学生应用数学软件包的能力.
最后要求学生要按竞赛委员会所规定的规格完成.要求学生注意细节，尤其强调熟练写好摘要、关键词、模型评价等，使学生熟悉数学建模论文的常规格式和结构.还可以引导学生在网络搜寻历年赛题优秀论文，阅读优秀建模作品，揣摩其中的写作方法和技巧.
教师在讲评学生论文时，鼓励积极开展讨论和辩论.小组可以踊跃发表见解，介绍本组的解题思路和方法，其他组可以补充、修改，或提出质疑，也可以另辟新径采用不同的建模方法，最后由教师点评各种方法的优势和不足.
整个过程实际上就是自主学习，探索解决方法的过程，经过这样的训练让学生具备了一定的学习和创新的能力，使学生真正成为学习的主体，从而激发学生的学习兴趣和学习积极性，培养学生团结协作、共同奋斗的精神.同时，学生的自学能力、使用文献资料的能力、应用计算机的能力以及写作的能力也得到了提高.这恰恰符合社会对人才要求具备终身学习和自主创新的能力.
四、应采取先进的教学手段和教学方法
在开展数学建模教学过程中，为了达到精讲多练的效果，突出学生应用能力的培养，我们要改变传统的黑板加粉笔的教学方法，采用多媒体教学手段进行直观教学.
教学方法上以问题驱动教学.教学中具体的是引入案例、提出问题、带着问题、学习解决问题，使学生从这些问题入手，学习体会数学知识的技巧，激起学习的兴趣.
教学手段上借助多媒体进行教学.多媒体系统具有很强的真实感和包含大量的不同种类的信息，并且具有直观、形象的呈现方式.例如，在讲解连续与间断点时，一些简单的函数图像学生自己能够作出来，但一些较复杂抽象的图形不容易能准确作出.教学中教师借用Matlab软件，只需几行简单的命令，就能画出直观准确的函数图形，从而使连续、间断以及间断点一目了然.在演示程序的调试和运行过程中，实现了教学的直观性和互动性，大大加快了授课速度，同时也提高了教学效果.
高职数学教学的目标是培养学生应用数学知识来分析和解决实际问题的能力，重视数学的应用性、实践性是高职数学课程改革的趋势.数学建模教学是实现这个目的的一个新的教学环节，它体现了数学理论与应用的紧密结合，充分调动了学生学习的主动性，对于提高学生用数学知识和计算机技术解决实际问题的能力，培养创新能力与应用能力，培养团队合作精神，全面提高学生的素质具有积极的意义.因此，如何在高职院校更好地开展数学建模教学是我们应该不断研究的课题.
【参考文献】
[1]刘冬华，郭琼琼.对高职开展数学建模活动的几点认识[J].郑州铁路职业技术学院学报，2006（12）.
数学建模的问题范文3
着重发展学生能力，特别是应用能力，包括：计算、推理、空间想象以及辨明关系、形式转化、驾驭计算工具、查阅文献、口头和书面的分析与交流。
强调计算工具的使用：不仅在计算过程中，而且在猜想、探索、争辨、发现、模拟、证明、作图、检验中使用。
强调学生的积极性与主动性：教师不应只是讲演或者总是正确的指导者，还可以扮演不同的角色：问原因，找漏洞，督促学生弄清楚，说明白，完成进度.评判学生工作及成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造新的想法和做法。
结合学生实际水平，分层次逐步推进，结合正常教学的教材内容，结合正常的课堂教学在部分环节切入应用和建模内容。
二、应用性问题中常见的建模
随着教育改革的深入，新的课程标准的出台，强调了知识的应用，数学源于实际问题的应用题骤增，因而探讨这类问题的解法具有重要的现实意义，数学建模就是将具有实际意义的应用问题，通过数学抽象转化为数学模型，以求得问题的解决。实际问题是复杂多变的，数学建模较多的是探索性和创造性，但是数学应用性问题常见的建模方法还是有规律可以归纳总结的。
（一）建立几何模型。诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。
例1 足球赛中，一球员带球沿直线L逼近球门AB，在什么地方起脚射门最为有利。
分析 这是几何定位问题，画出示意图，如图1：根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线L上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线l上求点P，使∠APB最大，为此过A、B两点作圆与直线L相切，切点P即为所求，当直线L垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利，可见“临门一脚”的功夫现应包括选取起脚射门的最佳位置。
（二）建立方程模型。例2 如下左图：某小区规划在长为40M，宽为26M的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144M，求甬道的宽度。
分析 如上右图：作整体思考，设甬道的宽度为xm，则问题转化为：求方程（40-2x）（26-x）=6×144的解，解得x=2、x=44（不合题意舍去）。
（三）建立直角坐标系与函数模型。当变量的变化具有近似函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题讨论。
例3 有一批1米长的合金钢材，现要截成长为27cm和13cm两种规格，用怎样的方案截取使材料利用率为最高？并求出材料最高利用率。
分析 作出直线 ■+■=12图象，确定与直线最近的整数点（4，2），则4×13+2×27=98，即截4段13cm，2段2cm，材料利用率为98%。
（四）建立不等式模型。对现实生活中广泛存在的不等量关系：如投资决策等可挖掘实际问题隐含的数量关系，转化为不等式组的求解，目标函数在闭区间的最佳问题。
例4 某工厂有甲、乙两种产品按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需要煤9吨，电力4kw，劳力3个（按工作日计算），生产乙产品1吨需要煤4吨，电力5kw，劳力10个；甲产品美吨价7万元，乙产品每吨价12万元。如果每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200kw，劳力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能保证即完成生产任务，又能为国家创造更多得财富？
分析 设每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，总产值为S万元，依题意约束条件为■
目标函数为S=7x+12y。解方程组■
数学建模的问题范文4
数学建模中的灵敏度分析是研究和分析一个系统或模型的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性，通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响，因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的，其用途主要用于模型检验和推广，简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。
建立数学模型的五个步骤：
1、提出问题；
（来源：文章屋网 ）
数学建模的问题范文5
关键词：鸡兔同笼 模型
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
一、1 如果笼子里都是鸡，那么就有35×2=70只脚，这样就多出94-70=24只脚
2一只兔子比一只鸡多2只脚，也就是有24÷2=12只兔子。 35-12=23只鸡。
3那么笼子里有23只鸡，12只兔子。
4由此我们得出：（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数。 总头数-鸡数=兔数。
二、1如果笼子里都是兔子，那么就有35×4=140只脚，这样就少140-94=46只脚；
2一只鸡比一只兔子少2只脚，也就是有 46÷2=23只鸡， 35-23=12只兔子；
3所以笼子里有23只鸡，12只兔子。
4由此我们得出：（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。
三、方程法
随着年级的增加，学生开始接触方程思想，这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单。
第一种是一元一次方程法。
解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只
4x+2（35-x）=94
4x+70-2x=94
x=12
注：方程结果不带单位
从而计算出鸡数为 35-12=23（只）
第二种是二元一次方程法。
解：设鸡有x只，兔有y只。
则存在着二元一次方程组的关系式
x + y=35
2x+4y=94
解方程式可知兔子数为 y=12 则可计算鸡数为 x=23
那么在“鸡兔同笼”问题中数学模型是怎样建构的呢？
数学模型一般地说，是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的数学结构（张奠宙语），一般可分为三类：概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型（顾泠元语）。
“鸡兔同笼”问题中数学模型应该属于结构型数学模型：建模与变式理论。
日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其它的名字呢？看来鸡兔同笼问题中的鸡不仅仅代表鸡，兔也不仅仅是指兔！我们看有这样一首民谣：一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二，几个人来几个狗？在这里猎人有两只脚其实就相当于鸡，而狗就相当于兔子。
看下面的例题：
例 全班一共有38人，共租了8条船，大船乘6人，小船乘4人，每条船都坐满了，大、小船各租了几条？
这样的题怎样解呢？其实在这里我们把解决“鸡兔同笼”问题的方法迁移到这里，问题就迎刃而解了。大船相当于兔子，小船相当于鸡，此题就可以改编如下：
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有8个头；从下面数，有38只脚。兔子有6只脚，鸡有4只脚，求笼中各有几只鸡和兔？
解：（6×8-38） ÷（6-4）=10÷2=5（只小船）；8-5=3（只大船）
例：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子，自行车和三轮车各有多少辆？
在这道题里：三轮车相当于兔子，有3只脚，自行车相当于鸡有2只脚，解法如下：
（3×10-26） ÷（3-2）=4÷1=4（辆）；10-4=6（辆）
又如：1号、2号、3号选手进行比赛，答对一题加10分，答错一题扣6分。
（1）2号选手共抢答8道题，最后得分64分，她答对了几道题？
（2）1号选手共抢答10道题，最后得分36分，他答对了几道题？
（3）3号选手共抢答16道题，最后得分16分，他答对了几道题？
这道题依然与上述问题思路是一致的，只是兔子是10只鸡，鸡是 -6只脚，答对和答错的差值是10+6=16或10-（-6）=16
解：（1）（8×10-64）÷（10+6）
=16÷16
=1（道） （ 错的）
8-1=7（道）
（2）（10×10-36）÷（10+6）
=64÷16
=4（道） （ 错的）
10-4=6（道）
（3）（16×10-16）÷（10+6）
=144÷16
=9（道） （ 错的）
16-9=7（道）
数学建模的问题范文6
本文试图用运筹学的层次分析法来建立一个评价高职学生综合素质的数学模型，以全面反映学生的素质水平和学校的教育质量，为学校确立合理的教学目标和人才培养模式提供借鉴。
二、问题的分析
1.评价体系的层次结构
本文借用美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty等人在20世纪70年代中期提出的层次分析法（nalytic Hierarchy Process，简称AHP），建立评价学生成绩的层次结构，如图1所示。
在第三层之下为第四层，它们表示具体的课程或科目，视不同的学校和专业各有差异。对第四层的每门课或科目都有一个百分制的成绩评分，但考查方法因课程特点而不尽相同。不同的学校层次结构的分支可适当变通，集专家、教师讨论制定，使各层次的分支更为合理，便于操作。
2.确定权系数的方法
在层次分析法中，同一层中的各项成绩对上一层的贡献程度不是均等的，带有不同的权重，总成绩按加权平均计算。
设第k层某项的成绩y由第k+1层的n项成绩X1,X2…，Xn来确定，则有Y=W1X1+=W2X2+…+WnXn，其中Wi是第i项的权重，0＜Wi＜1，W1W2+…+Wn=1。为确定权系数Wi，本文采用了成对比较的方式。T.L.Saaty等人提出用1～9的尺度，如表1所示，解决了当比较同一层次的两个成绩Xi与Xj对于上层y的贡献程度时，采用何种相对尺度aij较好的问题。
表1 1～9尺度aij的含义
用此数据建立一个n阶方阵,它的（i，j）元素与（j，i）元素互为倒数，故称A为逆称矩阵。若A是一致阵，那是最理想的；否则，应使它的不一致尽量小。这样可以请m位专家给成对比较矩阵赋值：k=1，2…,m。然后，计算出赋予这m个数几何平均数,取逆称矩阵A=[Cij]。
按下述方程构造向量序列｛ek｝：
其中表示的n个分量之和。
用矩阵特征值理论可证明，迭代的n维向量序列收敛，记极限为e=(a1,a2，…，an)T。于是权系数可取作 Wi=ai,i=1,2，…,n)。这表明，成对比较的赋值蕴涵了各项的贡献程度。实际计算中，用有限次迭代，取e的近似即可。
三、模型的假设
该模型包括四个假设：一是智育、德育、体育和美育分别为评定学生是否优秀的主要因素，二是各项因素在综合素质成绩中的权重有可能因不同的学校和不同的专业而异，三是评定小组在评定同一学校同一专业的学生时各项因素的权重都是一样的，四是评定优秀学生时评定小组主要是参考有关专家给定各项因素的权重比例。
四、符号的约定
Z―最终目标（该学生的最后评定的成绩）；A―德育成绩；B―智育成绩；C―体育成绩；D―美育成绩；a―德育成绩所占的权重；β―智育成绩所占的权重；γ―体育成绩所占的权重；δ―美育成绩所占的权重。
ai―德育的第i门课程的成绩（i=1,2,3,…）
bi―智育的第i门课程的成绩（i=1,2,3,…）
ci―体育的第i门课程的成绩（i=1,2,3,…）
di―美育的第i门课程的成绩（i=1,2,3,…）
ai―德育的第i门课程的成绩所占的权重（i=1,2,3,…）
βi―智育的第i门课程的成绩所占的权重（i=1,2,3,…）
γi―体育的第i门课程的成绩所占的权重（i=1,2,3,…）
δi―美育的第i门课程的成绩所占的权重（i=1,2,3,…）
e0―原始向量序列；ei―第i个向量序列；（i=1,2,3,…）
―逆称矩阵（E）与第i-1个向量序列的乘积（i=1,2,3,…）
―ei的n个分量之和；E―逆称矩阵。
五、模型的建立及求解
1.名次的确定和分制
不考虑待评人员的意愿,按待评人员总成绩评定其在班级的名次。各科或者各项目都是以百分制为标准。
2.建立各因素的数学计算模型
（1）计算德育的数学模型。以某学年度学生所学的政治理论、法律知识和思想道德为主要的研究参照对象，其中每门课程的成绩以期末总评的成绩（ai）为准，德育的每门课程的成绩所占的权重（ai）由学校里面比较有权威的教师或专家商议决定,即给定了逆称矩阵（E）。那么容易得出计算德育的数学模型：其中而ai为第n个向量序列en的第i个分量。
（2）计算智育的数学模型。以某学年度学生所学的基础课、专业课和所做的实践创新为主要的研究参照对象，基础课、专业课和实践创新以期末总评的成绩（bi）为准。智育的每门课程的成绩所占的权重（βi）由学校里面比较有权威的教师或专家商议决定，即给定了逆称矩阵（E）。那么容易得出计算智育的数学模型：其中)而βi为第n个向量序列en的第i个分量。
（3）计算体育的数学模型。以某学年度学生所学的体育理论、体育达标为主要的研究参照对象，其中每门课程的成绩以期末总评的成绩（ci）为准，体育的每门课程的成绩所占的权重(γi)由学校里面比较有权威的教师或专家商议决定，即给定了逆称矩阵（E）。那么容易得出计算体育的数学模型：其中,而Υi为第n个向量序列en的第i个分量。
（4）计算美育的数学模型。以某学年度学生所学的文明礼貌和修养主要的研究参照对象，其中文明礼貌和修养的成绩（di）由教师或者班主任评定。美育每门课程成绩所占的权重（δi）由学校里面比较有权威的教师或专家商议决定，即给定了逆称矩阵（E）。那么容易得出计算美育的数学模型：其中而δi为第n个向量序列en的第i个分量。
3.建立计算该学生总成绩的数学模型
以上述所算得的智育、德育、体育和美育的成绩为主要的研究参照对象，其中智育、德育、体育和美育的成绩分别记为A、B、C和D，并且这四门课程的成绩所占的权重分别记为a、β、y和δ，也是由学校里面比较有权威的教师或专家商议决定，即给定了逆称矩阵（E）。那么容易得出计算总成绩的数学模型：Z=Aa+Bβ+Cy+Dδ，其中,,，而a、β、y、δ为第4个向量序列e4的4个分量。
六、模型的应用
1.计算智育的成绩
例1：设有一专家对智育的三个变量a1(基础课）、a2 (专业课）、a3（实践创新能力）作了成对比较，赋值为：。
于是得逆称矩阵:
同理可得：
取e4的分量作权，得评价智育成绩的公式：B=0.185b1 +0.659b2+0.156b3（其中b1、b2、b3分别为智育的基础课、专业课、实践创新的成绩）。
若某学生的基础课、专业课和实践创新成绩经测试分别为80、85、90分，则他的智育成绩为：B=0.185×80+
0.659×85+0.156×90=84.855。
2.计算总成绩
例2：某学校请两位专家F和G对德、智、体、美四个变量A、B、C、D作了成对比较，其赋值见表2.。
由此可得两个逆称矩阵：
同理可得:易得es=e4，故停止迭代。
由此得全面评价学生成绩的公式:Z=0.336A+0.475B +0.133C+0.056D 。
设有三名学生经各种考查,其德、智、体、美的成绩见表3。
可用前述的公式对三人作出综合的评价：
Z1=0.336×90+0.475×80+0.133×75+0.056×90=83.26
Z2 =0.336×80+0.475×95+0.133×80+0.056×70=86.57
Z3=0.336×85+0.475×90+0.133×70+0.056×80=85.10
三人的综合成绩排名为：乙、丙、甲。若按总分排名，则甲第一、乙和丙并列第二。层次分析法的关键在于，层次结构要合理，成对比较的逆称阵要可信，这需要对具体问题进行细心调查研究。要尽量使求权系数有较大的计算量，一旦求出来，便可在一定范围内普遍适用。
七、评价
为了检验评价体系和数学模型，笔者以06机电高1班和06计美高1班作为对象，使用上述评价体系进行测评。测评结果见表4。
表4 测评成绩分布
测评显示的结果与学生实际情况比较相符。从表4的测评结果得出：此评价体系从各个层面反映了学生的素质状况，反映出不同学生在德育、智育、体育和美育等方面的差异性，比较全面地体现了素质教育的综合性。该学生评价体系具有三个特点：一是具有一定的科学性，二是具有较好的可操作性，三是具有较强的实用性。
