数学思想方法的应用范例6篇

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数学思想方法的应用范文1

一、数形结合思想

数形结合思想是指将数（量）与形（图）结合起来，分析研究并解决问题的一种思维策略，利用平面直角坐标系，使平面上的点与有序数之间构成一一对应关系，直观形象，为分析问题和解决问题创造了有利条件。

例：某电信公司推广宽带网业务，用户通过宽带网可以享受影视欣赏、股市大户室等服务，其上网费用的收取方式有以下三种：

方案一：每月80元包月；

方案二：每月的上网时间x（h）与上网费用y（元）的函数关系如右图

方案三：以0小时为起点，每小时收取1.6元，月收费不超过120元。

设一用户上网时间为x（h），月上网总费用为y（元）。

（1）根据所给图形，写出方案二中y与x的函数关系式（0≤x≤100）；

（2）试写出方案三中y与x的函数关系式；

（3）试问：此用户每月上网60h，选用哪种方式上网费用最少？

分析：利用数形结合思想求解，根据图象可知函数是一个分段函数，当0≤x≤50时是一个常数函数，当50

解（1）当0≤x≤50时，y=58；当50

58=50k+b118=100k+b

解得k=，b=-2， 故y=x-2，

（2）y=1.6x

y≤120， 1.6x≤120，即x≤75，故x 的取值范围是0≤x≤75.

（3）当x=60时，方案一的上网费用为80元；

方案二的上网费用为×60-2=70（元）；

方案三的上网费用为1.6x=1.6×60=96（元）.

故选用方案二上网，费用最少。

二、分类讨论思想

分类讨论法思想也是一种重要的数学思想，它在初中数学解题中有着广泛的应用，近些年的中考中占有重要的位置，特别在解压轴题时起很重要的作用。

例：某果品公司1月份销售A、B两种水果，A水果的吨数不少于B水果吨数的3倍，A水果每吨的利润为2000元，B水果每吨的利润为3000元，总利润可达90000元。根据1月份的销售情况，2月份公司销售部门提出了三种调价方案：

方案一：A水果每吨利润降低20%，销售量增加50%；B水果每吨利润降低50%，销售量增加80%；

方案二：A水果每吨利润降低25%，销售量增加60%；B水果每吨利润降低40%，销售量增加60%；

方案三：A水果每吨利润降低40%，销售量增加80%；B水果每吨利润降低30%，销售量增加50%；

（1）设1月份销售A种水果x，B种水果y，求y与x的函数关系式（x>0，y>0），并求出自变量x的取值范围；

（2）果品公司2月份提供的三种销售方案都一定比1月份的利润多吗？请说明理由；

（3）如果你是某公司的总经理，从增加利润的目标出发，你会选择哪一种方案？

分析：方案设计是一次函数的综合应用，在解答过程中，应对几种方案进行分类讨论以免漏解.

解（1）2000x+3000y=90000，y=30-x（30≤x

（2）W1=2400x+2700y， W2=2400x+2880y， W3=2160x+3150y，

显然，W3>2000x+3000y=90000，故方案三能增加利润；

W1=2400x+2700×（30-x）=600x+81000，又30≤x

所以W1的最小值为600×30+81000>90000，故方案一也能增加利润.

因为W2>W1，所以三种方案的利润均能比1月份多.

（3）因为W2>W1，故只须比较W2与W3的大小，

W2-W3=240x-270y=240x-270×（30-x）=420x-8100， 又30≤x

所以W2>W3，故应选择方案二。

三、转化思想

数学解题的本质就是转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把一个综合问题转化为几个基本问题。

例：甲、乙两人行走的路程与时间的函数关系分别是正比例函数和一次函数，其图象如图所示，根据图象回答：

（1）甲、乙两人行走的路程s（千米）与时间t（时）的函数关系式；

（2）甲、乙两人的速度各是多少？

（3）谁晚出发，经过几小时可以追上？

解（1）设甲的函数关系式为s1=k1t.

由图可知，点P（5，20）在图象上，

20=5k1， k1=4，

s1=4t（0≤t≤5）.

乙的图象过点Q（1，0），P（5，20），设乙的函数关系式为s2=k2t+b.由待定系数法可求出k2=5，b=-5，s2=5t-5（0≤t≤5）.

（2）甲的速度为=4（千米/时），乙的速度为=5（千米/时）.

数学思想方法的应用范文2

关键词：高中数学函数数学思想方法

中图分类号：G632 文献标识码： C文章编号：1672-1578（2012)03-0126-01

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是高中数学学科知识的重要组成部分，在各章节知识体系中具有桥梁和纽带的作用，函数概念的产生标志着数学思想方法的改变，从常量数学转成变量数学，函数的教学能够使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系与制约中的，从而了解事物的变化趋向及其运动的规律，对于培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的能力是一个有效的工具[1]。因此，我们有必要去探讨如何将高中数学思想方法渗透应用到高中函数教学中，提高课堂教学质量，让学生对函数学习产生兴趣。

1 集合思想

集合是指由一些特定的事物组成的整体，而这些事物中的每一个称为这个集合的一个元素。将集合思想融入到高中函数教学中，培养学生的集体意识，并利用高中数学重要特点——严谨性，在逻辑用语中教会学生认真看清楚题目，理解题目的意思，并能够从题目中给出的条件推敲出其他的条件，能够分析哪些是有帮助的、哪些是误导自己的。将有帮助、有用的条件归为一个整体，从而为成功解题做好铺垫。

2 函数与方程思想

函数与方程思想是高中数学函数的基本思想，也是历年高考的重点和难点，现行的高中教材主要以知识结构作为编写体系，而其中所蕴含的数学教学思想则是散见于整个教材之中，因此，大多数的学生只侧重于用一种方法做一道题，不会举一反三，这样就导致了数学思想方法的教学主观随意性。函数思想是指采用运动和变化的观点来建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题，转化问题，从而解决问题；方程思想是指分析数学教学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或者构造方程，运用方程的性质去分析、转化问题，从而顺利的解决问题[2]。函数与方程思想在数学教学中非常强调学生能力的培养，并注重学生的运算能力与逻辑思维能力的训练，可以让学生将所学的知识运用到生产和生活实际工作去，同时，也学到了解题的技能和技巧，并不断的理解题目中蕴含的数学思想，更加主动的应用于社会实践中去。随着高考对数学思想考查力度地加大，函数与方程思想在高考试题中出现的频率越来越高，并渗透到中学数学各个领域，应予以重视。

3 化归、类比思想

所谓化归、类比思想是指把需要解决的问题转化归结为已有知识范围内可解的问题的一种数学意识，也就是将陌生化为熟悉，将复杂化为简单，将抽象的问题转化为具体直观的问题，将一般性的问题转化为直观的、特殊的问题。化归、类比思想是高中数学函数中最基本的思想方法，函数中一切问题的解决都离不开化归与类比，高考的大部分试题的条件与目标的联系不是显而易见的，只有在不断的转化过程中才能发现所给条件与目标之间的联系，从而归结为一个能够解决的问题。数学创造性思维具有高度的概括性、灵活性、广阔性、独立性、论证性等，是各种数学思维品质相互结合、高度协调的产物，又是逻辑思维、形象思维、发散思维等各种思维形式的辩证统一。由于数学思想方法对人们学习和应用数学知识解决问题过程中的思维活动起着指导和调控作用，所以它具有良好的思维训练功能。例如，符号的引入便数学思维抽象化，能够突出思维的概括性、简洁性。在解析几何的教学中，直线的斜率用符号表示，倾斜角用α表示，所以直线的斜率可以表示为k=tanα。学生理解k=tanα并不难，难的是用数学语言叙述，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，反过来也一样，不会把数学语言转化成数学表达式。熟悉数学化归思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题巾的应变能力，有利于提高学生解决数学问题的思维能力、技巧和技能[3]。

4 整形结合思想

数形结合思想是指在研究与解决数学问题时，将反映问题的抽象的数量关系与直观的平面和空间图形结合起来思考解决问题的办法，也是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种重要的数学解题方法[4]。它具有直观性、灵活性、形象性特点，并跨越各科的知识界限，有较强的综合性，可以说有了形就有了一切，所以我们在解题时应多观察图像和等式的形状，看是否具有几何意义。运用整形结合的思想解决函数问题，可以使得学生在学习中得心应手，轻松自如。

5 先猜后证思想

先猜后证是一种重要的数学思想，即大胆猜测，小心求证。牛顿说：没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现，“猜”不是瞎猜、乱猜，而是要在探索中去猜，要以直觉为先导，以联想为手段，以逻辑为根据，以观察为向导，以思维为核心地去猜。学生在高中函数学习中，认真应用先猜后证的思想，有利于促进学生的学习意识，可以提高他们学习的积极性，激发其对解决问题的探索创造性，面对未解决的问题，可以假设猜测题目的最终答案，然后运用所有的知识一步一步的剖析问题，去解决问题[5]。

数学思想方法的渗透应该体现在学生函数学习的全过程中，应该体现在数学函数教学的各个环节，只有这样，才可能日积月累，逐步形成具有无限生命力的思想方法体系，“授人以鱼，不如授人以渔”，方法的掌握，思想的形成，会使学生受益终生，这正是数学教育的根本的所在[6]。此外，课堂教学确定合理的教学目标十分重要，在不同的教学阶段应该给学生以不同层次的学习体验。高一、高二新授课的函数教学，要十分注重基础知识和基本技能，并在此基础上注重引导学生感悟数学函数的基本思想，从而为后续的教学和高三的复习教学作必要和可能的铺垫。

【参考文献】

[1]蔡文龙.关于高中数学思想方法教学的几点思考[J].基础教育论坛,2009,3(5)：30-31.

[2]刘国明.职业高中数学课堂教学中渗透数学思想方法教学初探[J].新西部,2009,16(5)：227-228.

[3]邓勤.新课程背景下初高中数学教学的有效衔接--从函数概念的教学谈起[J].数学通报,2011,50(2)：33-35.

[4]周俊.数学思想在求“函数值域”中的应用[J].试题与研究,2011,4(2)：61.

数学思想方法的应用范文3

关键词：初中数学思想；化归理论；实践应用

新时代的数学课改方向，着力于培养学生学习数学的思想和方法，尤其是新课程越来越普及，方法的归纳总结更成为了中学数学研究的重点，此时，各个中学数学教育中对于解题思想的研究越来越成为教育者共同关注的焦点。对解题方法有效的归纳总结有利于数学思维的形成，对数学学习的方法应用上有很大好处。初中学习数学的主要思想归纳为分类讨论、化归以及数形结合等。而几种数学思想当中最重要也最基础的就是化归思想，这种思想方法在学生整个初中阶段的学习都有涉及，可以有效帮助学生打通数学思想道路上的阻碍，帮助学生建立良好通畅的数学学习思想。

一、认识化归思想

1.1化归思想概念

在对初中数学进行教授过程中，将正在研究的数学课题或题目运用转化法将其简单化既是化归方法。这种转化法巧妙地将一道题目中的瓶颈问题得以转移，问题迎刃而解。直白地讲，就是将复杂的问题简单化，繁琐的步骤明了化，找到数学解题方法的捷径，归纳总结加以应用。数学解题过程中时刻保持这种解题思想的应用，就会常常有柳暗花明又一村的感觉，久而久之，自身的数学解题能力加强了，解题思想深化了，解题方法更好了。具体应用比如：很多数学问题往往题目复杂特殊，而且考察的知识点众多，越具有综合性，但利用化归的思想，就可以将题目拆分为几个点，使较综合的题目变得清晰明了，这样在解题时就不会偏离解题方向。由此可知，化归的思想方法并不像以往的解题方案直接看到题目不管三七二十一就开始解，而是首先对题目有一个宏观的把控，进而将其拆分、变形，使其变成几个小题目，解决起来更加得心应手。

虽然化归本身是一种数学解题思想方法，但运用化归方法时也有细的划分如：构造法、分解组合法、坐标法、消元法、图形变换法、换元法等等。解题时要注意合理运用化归的步骤：首先，看清题目，找到要进行化归的部分；其次，宏观掌握，清楚化归的最终目标，从而进行合理的化归应用；最后正确使用化归方法中的分支方法，避免偏颇，使问题得到有效简明的解决。总的来说，化归思想在中学数学中的应用，就是将各种解题思想归纳统一的结果。[1]

1.2化归方法的重要性

化归的数学思想之所以如此普遍地应用，正是因为它的可操作性很强，不论是简单还是复杂的数学问题，都可以运用这种方法来解题。例如，数学题目中很多的代数问题让学生们头疼，尤其是解方程，此时，运用化归的解题思想可以将方程分析为简易的形式，使复杂的方程组拆分为一元一次的形式或一元二次的形式，这样一来复杂的问题马上就变得简单了。同样，解方程式多加运用化归思想还可以将高次方程简化为低次的形式，分式题目变为整式形式等等。其实，这些方法在我们中学数学学习中屡见不鲜，只是我们现在统一把它们称为化归方法。虽然数学学习过程中，题目的种类多样，感觉总有做不完的题，但渐渐的我们可以发现，很多题目都是换汤不换药，只要我们掌握了一道题目，就相当于掌握了千百道题目，这就要求我们良好的运用数学解题思想，从而帮助我们更加快速高效地解决数学题目。

我们在中学数学学习中主要学习的就是代数和几何的运用。刚才我们分析了化归思想在代数中的运用，其实几何学习中化归思想也是得以重点使用的。例如，在对多边形的研究中，我们往往可以将一个较为复杂的图形分解为几个较容易分析的简单多边形，甚至将其转化为三角形、四边形的知识来加以解决，这样不仅使图形看上去更直观，就连解题时的步骤也更加简单明了。很多时候，我们在解决一个斜角的三角形问题时，就可以通过对其作高的方式将这个问题转化为直角三角形问题加以解决；在对梯形多边性问题加以解决时，也可以通过添加平行辅助线的形式，将问题简单化；解决圆形图形问题时，同样可以通过作垂线等方法来解决等等。这些方法其实都是化归思想的具体运用，同学们在解决数学题目时应多思考，用不同方法对题目加以分析，看待问题的角度不同往往解决方法也不同。同样的，如果在知识运用过程中发掘出了好方法，那么更应该温故而知新，让自己的学习方法得到巩固，这样才能更好更快的提高自己的学习效率。[2]

二、教学过程中积极运用化归的教学方式

2.1要重视化归思想

化归思想的应用不仅体现在学生解题方面，更体现在师生教学过程中的互动中，教师教学中对于解题方法的传授方式对学生影响很大。因此，教师们对于化归方法的教授要落到实处。与此同时，教育工作者更应在教学过程中强化和渗透学生对化归方法的使用。说到底，化归方法不只是一种方法，也是一种看待事物的思想，我们不应把眼光集中在一个角度去观察事物，而是应该全方位多角度地对事物加以分析，往往会发现，事物的变化与不变都是相对的。就如之前对代数与几何问题的分析就是如此，眼光的远近决定了问题的难易。同样地，在数学的教学过程中，教育者们应多加强化这一思想观念。[3]

2.2增强学生化归方法运用意识

要求学生强化化归方法使用意识之前，首先教师们就应该对这种思想加以深刻领悟，掌握化归思想并灵活变通，在教学过程中多举实例，并对学生进行正确领导，强化学生解题时化归思想的应用。不论是课堂活动还是解题时间，老师们的积极引导对学生化归思想的理解和深化都有重要意义。因此，在教学过程中，教师们应有意无意地让学生们对新旧知识的解决方法加以归纳总结，逐渐建立适合于自身的化归解题方法，提高解题效率。与此同时，同学们也应积极参与思考，增强化归思想的记忆，锻炼自身的解题思维，帮助大脑灵活运用知识。[4]

三、总结

通过以上对化归思想的研究分析发现，化归思想并不是一成不变的，也不是唯一的，只有学生们真正将其加以运用和实践并转化为属于自己的学习思想，才能真正为己所用。老师和同学们都应积极参与探究、自主学习，使学生和老师得以良好互动，化归思想才能更好地运用于课堂教学当中来。总而言之，化归思想在中学数学教育中有着举足轻重的地位，数学教育者和中学学生应真正重视这种思想方法的应用，这样才能对师生的教育学习道路起到良好的铺垫作用。

参考文献

[1]马艳，马贵.化归思想方法在中学数学教学中的应用――以解方程为例[J]. 北京教育学院学报（自然科学版），2012，03

[2]戴华君.浅议化归思想在初中数学教学中的应用[J]. 科教文汇（下旬刊），2011，05

数学思想方法的应用范文4

世界数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.”他认为，解题过程就是“转化”过程.因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一.

使问题通过转化而求得解决，是数学上普遍的做法.从思维结构上看，是首先对一些基本原理、基本法则和典型问题的解法及结论形成深刻的认识，当我们遇到生疏的或繁难的问题时，通过这些问题与基本问题的关系，“化生为熟、化繁为简”解决问题.转化的方式，有时是等价的，即转化前后的命题保真（二者的成立与否互为充要条件），此时必须追加其他步骤.本文主要从等价转化思想的含义、重要性以及用途等方面来进行论述.

一、等价转化的含义以及运用的目的

1.等价转化的含义

著名的数学家，莫斯科大学教授C・A・雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题.”数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内成为可解决的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧，还会让学生在解题的过程中事半功倍，提高学习效率.

2.运用等价转化的目的

（1）小为对问题的局部进行转化.对问题的某个条件或结论作出转化；如式的恒等变形、三角函数值与角终边满足的条件的转化等等.这种转化主要是为了能直接运用一般规律和结论.

（2）中为命题转化.例如根据原命题和逆否命题的等价性进行转化等.这种“不同说法”之间的转化常常可以使那些“理不清”或“说不清”的问题变得容易判断、理解.

（3）大为对问题整体上的转化.诸如代数、三角、几何领域之间的跨跃式转化.近年来的高考对等价转化思想的考查十分重视.而就考生来说，同前三种数学思想相比，这又是理解较薄弱的，譬如将等价转化误解为就是恒等变形，其实恒等变形只是式子的保值不变，而等价转化则是命题的保真不变.

二、等价转化的用途

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性.在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行.它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形.消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化.可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变.由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型.

1.等价转化在条件方面的作用

在一道数学问题中，假设拥有A、B两个条件，若干B是A的充要条件，那么用B代替A或者A的后续步骤，可以使问题更容易得到解决，这就是等价比在转化条件方面的作用.

例1已知函数f（x）=2（a2-5a+6）x+41是减函数，求实数a的取值范围.

解依据复合函数“同增异减”的单调性质，函数f（x）是减函数，等价于函数g（x）=（a2-5a+6）x+41是减函数；g（x）是减函数， 又等价于a2-5a+6

解得-1

所以， 实数 a的取值范围是{a |-1

条件等价转化在此问题的解答过程中，被运用了两次.即f（x）是减函数g（x）是减函数a2-5a+6

数学题的解答过程就是用已知的条件获悉可知的条件，最后推算出未知的条件.在这个过程中条件等价转化的方法可以被多次使用.

例2已知函数f（x）=log2（x2-ax+1）的定义域是（-∞，+∞），求实数a的取值范围.

解首先，将已知函数f（x）的定义域是（-∞，+∞）转化为对任意的实数x，不等式x2-ax+1>0恒成立；其次，再把不等式x2-ax+1>0恒成立转化为Δ=（-a）2-4

这道题告诉我们，题目中的结论也可能是“条件转化”中的“条件”，而不仅仅是题目中的题设或已知.

2.等价转化在命题方面的作用

如果在一道题目证明命题真假的过程中遇到困难，可以采用等价转化的方法，来证明此命题的等价命题是否正确，通过这种变通的方式，让解题过程变得更加的容易.相对于条件转化来说，命题转化是一种整体的转化，而不仅仅是部分的转化，其本质是探究解决一些问题的总体策略和思路.

例3已知x2+y2=2， 求证：x+y≤2.

解当x+y>2时，有x2+y2=[SX（]1[]2[SX）][（x+y）2+（x-y）2]>[SX（]1[]2[SX）]（22+02）=2，所以，x2+y2≠2.以上表明，若x2+y2=2，则x+y≤2的逆否命题为真命题，所以，原命题成立.

在此问题的解答过程中，所运用的方法就是典型的命题等价转化的思想.将问题从一个较难的命运转化为相对较为简单的命题，再进行论证，降低了解题的难度，提高了学习效率.

例4条件p：|x+1|>2，条件q：1/（3-x）>1，则条件p是条件q的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

如果在解析此题的过程中，不使用命题转化法，直接解答起来会比较棘手，如果使用命题等价转化法，把命题看成是q是p的什么条件，这样问题解决起来会容易得多.

另一方面，在证明的过程中，命题等价转化思想方法应用得最多的是“反证法”.

三、化归中的等价转化

化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗.说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决.实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想.

如果说条件和命题的等价转化只是一道题目中部分和整体的转化，那么，就是对某一类数学问题的等价转化.当然，化归包含的方法不仅仅只包括等价转化法.其目的是为了总结出一套解析数学题的方法.

例5比较下列各组数的大小

①321与322；②log31.1与log31.11.

对于这两道题目，总体思路是一样的，但在解题过程中使用的方法不一样，第（1）小题要通过指数函数y=ax的单调性来解决，第（2）小题要通过对数函数y=logax的单调性来解决，在这种情况下，可以将它们化归为函数的单调性问题.

例6在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC是以∠A=120°为顶角的等腰三角形，AA1=BC.

（1）求异曲直线AB1与A1C所成角的余弦值；

（2）求直线AB1与平面AA1C1C所成的角的正弦值；

（3）求二面角A1-AC-B的平面角θ的余弦值；

（4）求点C1到平面ACB1的距离.

可以用解析几何的方法，利用相对应的空间直角坐标系来解出这道题目.在这道题目中，可以看出立体几何中最具代表性的四种问题，在解题的过程中，使用解析几何方法的同时，还应该用化归的思想去剖析.可以得出：

（1）第一，在确定两条异曲直线AB与CD所成的角θ的大小有困难时，可以通过求两直线的方向向量的夹角来实现，即cosθ=|cos〈AB[TX]，CD[TX]〉|.

（2）设直线m是平面α的一条斜线，[WTHX]n[WTBX]是平面α的法向量，确定直线m与平面α所成的角θ的大小有困难时，可以通过公式sinθ=|cos〈[WTHX]m，n[WTBX]〉|来完成.

（3）计算二面角的大小，可以借助计算两平面法向量的夹角的大小来实现.

（4）求点P到平面α的距离d有困难时，可以向平面引（找）斜线，如：PA，A∈α，[WTHX]n[WTBX]为平面α的法向量，d=[SX（][WTHX]n[WTBX]・PA[TX][]|[WTHX]n[WTBX]|[SX）]来完成.

数学思想方法的应用范文5

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。

一种数学思想的形成绝不是一朝一夕可以做到的，古往今来世人留下的数学思想方法非常丰富，这些数学思想方法有难的但也有容易的，所以，数学思想方法的教学不只是中学、大学教师的事，小学阶段进行数学基础知识的教学时，适时适度渗透数学思想方法，不仅成为一种可能，也成为一种必需。因此，在小学数学课堂中渗透数学思想是十分重要的。

二、重要的数学思想值得在课堂中应用

1、化归思想。化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B达到解决问题A的方法。化归的原则有化未知为已知、化繁为简、化难为易、降维降次、标准化等。

2、数形结合思想。“数无形，少直观；形无数，难入微。”利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易、化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。例题：有某种浓度的酒精溶液，加1杯水后，浓度变为25%，再加1杯纯酒精后，浓度变为40%，求原来酒精溶液的浓度。

分析：这道题条件中没有原来溶液的容量，浓度一会儿是25%，一会儿又是40%，数量关系看似十分繁杂，难以理解。我在教学中是用下面形象的图形表示其数量关系来引导学生思考的。

25%=1/4，40%=2/5，用代表1份酒精，用■代表1份水。

加1杯水浓度为25%，即　，图示为：■■■

再加1杯酒精浓度为40%，也即　，图示为：■■■

由上图很容易得出：

1份酒精、1份水刚好也是1杯酒精、1杯水，如不加1杯水和1杯酒精，原酒精浓度由图示应为：■■■--■=■■

即原酒精溶液的浓度为1/3，也即33.3%。

3、分类讨论思想。当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。

4、方程思想。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

例题：六年级学生元旦晚会上教室里挂满了红、黄、绿三种颜色的彩灯，笑笑、欣欣、童童统计彩灯的数量，笑笑发现红、黄、绿三种颜色的彩灯共65个，欣欣发现红色和绿色彩灯之和比黄色的多1个，而童童发现红色彩灯比绿色的多15个。聪明的小朋友，你能帮三位小朋友计算一下教室中红、黄、绿三种颜色的彩灯各有多少个吗？

分析：设红、黄、绿三种彩灯分别有a、b、c个，则根据题意可得：a+b+c=65，a+c=b+1，a=15+c。通过三个式子发现每个式子中都有a，故可设红色彩灯有x个，于是黄色的就有（x-15）个，绿色的有（x+x-15-1=2x-16）个，于是可列方程x+(x-15)+(2x-16)=65，解得x=24，即红色彩灯有24个，进而可以得出黄色彩灯有9个、绿色彩灯有32个。

5、转化思想。即将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题。常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。

三、如何渗透数学思想

如何在小学数学教学中渗透数学思想，把握它的可行性是关键。这就要求我们对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。

例如，在概念的教学中可以渗透类比的思想、分类的思想。在法则的归纳、公式的推导、结论的发现过程中，可以渗透类比与联想、符号化等数学思想方法。在解决实际问题教学中，可以渗透化归思想、数学模型思想等。同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

1、教师应对教材进行深入研究、潜心挖掘，还应讲究正确的渗透方法。鉴于小学生的认知能力，教师在教学过程中应采用较为直观的方法，例如用图表的方法将数学思想直观化、具体化、形象化，这样就能将十分抽象的数学思想转化为利于学生感知的间接材料。

2、在教学过程中，教师应不失时机地向学生渗透各类数学思想，教师可以在教学过程中利用各种现代教育手段进行讲解并可以通过举办各类数学讲座来系统地教授并渗透这些数学思想。

数学思想方法的应用范文6

【关键词】高考选择题；数学；思想方法

数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式.

数学思想方法揭示了数学学习的本质，比数学知识具有更大的统摄性和包容性，它们犹如网络，将全部数学知识有机地编织在一起，形成环环相扣的结构和息息相关的系统.

一直以来，高考十分重视对于数学思想方法应用的考查，所以考生应该善于通过应用数学思想方法分析问题、解决问题，来提升自己的数学能力，培养自己的数学素质.

高考数学选择题在当今高考试卷中占分比例高，约占总分的40%.其特点是概括性强，知识覆盖面宽，小巧灵活，有一定的综合性和深度，渗透考查各种数学思想和方法.考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题成为得分的关键，而考生能否快速准确地解题，就在于掌握并运用数学思想方法的能力.

下面结合2011年各省市高考数学试题，就五种数学思想方法在选择题中的应用做个浅析.

一、函数与方程的思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想是指从问题的数量关系入手，用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时，还能实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的考点.

例1 （2011浙江卷理8）已知椭圆C1：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）与双曲线C2：x2-y2[]4=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则

A.a2=13[]2 B.a2=13

C.b2=1[]2 D.b2=2

分析 本题利用方程思想，通过建立渐近线方程与椭圆方程的关系，从而求解出答案.

利用渐近线方程将椭圆方程化为b2x2+（b2+5）y2=（b2+5）b2.椭圆与双曲线有公共焦点，则有x2=（b2+5）b2[]5b2+20.又C1将线段AB三等分，1+22×2（b2+5）b2[]5b2+20=2a[]3，解得b2=1[]2.故选C.

注 我们应用函数思想的几种常见类型有：

（1）把字母看作变量或把代数式看作函数.

（2）用函数和方程的性质解题.

（3）构造函数解题.

二、数形结合的思想

数形结合的思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，由数想形，以形助数，具有可以使问题直观呈现的优点，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.

但是，在高考选择题中，主要是数到形的转化，以借助图形的直观性研究数的问题，最终实现数形结合的目标.

数到形的转化工具有：坐标法、方程曲线和函数图像.

例2 （2011陕西卷理6）函数f（x）=x-cosx在[0，+∞）内（ ）.

A.没有零点 B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点

分析 本题可以采用数形结合的思想，关键在于如何将数转化成形.

令f（x）=x-cosx=0，则x=cosx.设函数y=x和y=cosx，如图，它们在[0，+∞）的图像的交点有且只有一个，所以函数f（x）=x-cosx在[0，+∞）内有且仅有一个零点.故选B.

注 在应用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

三、分类与整合的思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.由于这类数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，对学生能力的考查有着重要的作用，因而在高考试题中占有重要的位置.

例3 （2011山东卷理4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（ ）.

A.[-5，7] B.[4，6]

C.（-∞，-5]∪[7，+∞）D.（-∞，-4]∪[6，+∞）

分析 本题考查解绝对值不等式的知识，在求解的过程中需对x的取值范围进行分类，再综合考虑.题目中需把5与-3作为临界点，分类讨论，最后得x≥6或x≤-4，故选D.

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：（1）要确定讨论对象，以及所讨论对象的全体的范围；（2）确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重；（3）对其逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；（4）进行归纳小结，综合得出结论.

四、化归与转化的思想

化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其他学科相比，一个特有的数学思想方法.化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题.如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现.

例4 （2011辽宁卷理3）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）.

A.3[]4 B.1 C.5[]4 D.7[]4

分析 本题考查学生的等价转换能力，将问题转化成梯形中位线问题，从而过渡求解中点C的横坐标.由抛物线定义知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|，则中点C的横坐标为3[]2-1[]4=5[]4.故选C.

在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明、运算推理、模式构建等理性思维能力的考查进行，我们在解每一道题时，实际上都在转化和类比.将问题由难转易，由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从问题得到解决.因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力.

五、特殊与一般的思想

由特殊到一般，再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一.在研究数学问题时，特殊与一般相结合也是一种既普遍又有效的思想方法.特别是在解答选择题时，若能恰当利用特殊与一般的辩证关系，则能快速解决问题，为高考争取时间.

特殊与一般相结合的思想在解题中的应用主要表现在：一是特殊赋值法，即通过给变量赋值达到迅速判断的目标；二是抓住问题的某个特殊条件展开分析和思考；三是由部分特殊情形归纳总结出一般的数学规律.

例5 （2011辽宁卷理9）设函数f（x）=21-x，x≤1，

1-log2x，x>1，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）.

A.[-1，2]B.[0，2]C.[1，+∞）D.[0，∞）

分析 本题运用特殊值法能更快解决问题.观察四个选项中包含的特殊点，分别取x的特殊值0、2、3，都能满足题意，则选D.