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数学建模的算法范文1
最优化问题就是求最大（小）值问题，是数学建模中最常见的问题，几乎每个建模问题都离不开优化。数学建模是用来解决实际问题，而在现实生产生活中，每个人、每个单位都希望自己所从事的事情能达到最化化。数学建模中的优化问题主要有四种类型，即无约束的优化问题、有约束的优化问题、线性优化（规划）问题和二次化化（规划）问题。
一、无约束最优化（fminunc）
命令 利用函数fminunc求无约束函数最小值
函数 fminunc
格式 ：
x = fminunc（fun，x0） %返回给定初始点x0的最小函数值点
x = fminunc（fun，x0，options） % options为指定优化参数
[x，fval] = fminunc（…） %fval最优点x处的函数值
[x，fval，exitflag] = fminunc（…） % exitflag为终止迭代的条件，与上同。
[x，fval，exitflag，output] = fminunc（…） %output为输出优化信息
二、有约束的最优化（fmincon）
有约束的多元函数的最优化的标准形式为：
min f（x）
s.t C（x）
Ceq（x）=0
A*x
Aeq*x=beq
lb
其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C（x）、Ceq（x）是返回向量的函数，f（x）为目标函数，f（x）、C（x）、Ceq（x）可以是非线性函数。函数 fmincon
格式：
x = fmincon（fun，x0，A，b）
x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq）
x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub）
x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon）
x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon，options）
[x，fval] = fmincon（…）
[x，fval，exitflag] = fmincon（…）
[x，fval，exitflag，output] = fmincon（…）
[x，fval，exitflag，output，lambda] = fmincon（…）
[x，fval，exitflag，output，lambda，grad] = fmincon（…）
参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义；
x0为初始值；
A、b满足线性不等式约束 ，若没有不等式约束，则取A=[ ]，b=[ ]；
B、Aeq、beq满足等式约束 ，若没有，则取Aeq=[ ]，beq=[ ]；
C、lb、ub满足 ，若没有界，可设lb=[ ]，ub=[ ]；
D、nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束 和等式约束 分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，
如： x = fmincon（@myfun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，@mycon）
先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function [C，Ceq] = mycon（x）
C = … % 计算x处的非线性不等约束 的函数值。
Ceq = … % 计算x处的非线性等式约束 的函数值。
lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效。
output输出优化信息；
grad表示目标函数在x处的梯度；
hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。
三、线性规划问题（linprog）
min f（x） x属于R
s.t： A*x
Aeq*x=beq；
lb
其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。
函数 linprog
格式：
x = linprog（f，A，b） %求min f s.t 线性规划的最优解。
x = linprog（f，A，b，Aeq，beq） %不等式约束 ，若没有不等式约束 ，则A=[ ]，b=[ ]。
x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub）%指定x的范围 ，若没有等式约束 ，则Aeq=[ ]，beq=[ ]
x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0） %设置初值x0
x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0，options） % options为指定的优化参数
[x，fval] = linprog（…） % 返回目标函数最优值，即fval= f
[x，lambda，exitflag] = linprog（…） % lambda为解x的Lagrange乘子。
[x， lambda，fval，exitflag] = linprog（…） % exitflag为终止迭代的错误条件。
说明：若exitflag>0表示函数收敛于解x，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflag
四、二次规划（quadprog）
标准型为：
Min Z= XTHX+cTX
s.t. AX
VLB≤X≤VUB
用MATLAB软件求解，其输入格式如下：
1.x=quadprog（H，C，A，b）；
2.x=quadprog（H，C，A，b，Aeq，beq）；
3.x=quadprog（H，C，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB）；
4.x=quadprog（H，C，A，b， Aeq，beq ，VLB，VUB，X0）；
5.x=quadprog（H，C，A，b， Aeq，beq ，VLB，VUB，X0，options）；
6.[x，fval]=quaprog（...）；
7.[x，fval，exitflag]=quaprog（...）；
8.[x，fval，exitflag，output]=quaprog（...）；
参考文献：
[1]孙祥、徐流美、吴清. MATLAB7.0基础教程. 清华大学出版社. 2005年
数学建模的算法范文2
关键词： 数学建模竞赛 教学模式 综合素质能力
江汉大学自2002年组队参加全国大学生数学建模竞赛，至今10多年了。最近一年内，在2013年2月派队参加美国数学建模大赛，获得一等奖，在4月份和5月份的网络杯赛中获得多项二等奖和三等奖，培养了一批优秀的数模人才。因此2013年我校的数模协会吸引了更多的学生加入，大家都渴望通过数模学习提高自己的创新能力和综合素质能力，并希望在数模比赛中获得好成绩。为了把将来的培训工作做得更好，我们从以下几个方面提出了培训改革方案，并在我校试点实行。
1.校内公开选拔人才作为后备基础
2013年7月11号开始，统计出《高等代数》或《数学分析》，《线性代数》或《高等代数》，《概率论和数理统计》这几门数学基础课平均分在75分以上的全校大二和大三学生，并向他们发出邀请，欢迎他们加入数学建模小组，再进行集中学习和择优，选出学员参加各类数学建模比赛。虽然数学建模能力与数学成绩没有太大的关系，但是大部分数学基础好的学生除基础知识扎实外，平时的学习积极性也很高，在数学建模小组中会以端正的态度对待，这些是必备的基础。
数学基础稍差的学生也可以参加，但要有一定的特长，如对算法熟悉，或能熟练操作excel，或有较强的写作能力。最重要的是要在培训学习一段时间后，经过考核有明显的进步。例如有一个机电系的学生对模拟退火算法有一定的研究，我们邀请他加入数学建模小组。
2.鼓励较早选修与数模相关的课程
数学建模竞赛的选题一般来源于工业、农业、工程技术和管理科学等方面，经过适当简化加工的实际问题，也就是说在建模中不能死板地用数学知识，而是要和实际知识相结合。
《运筹学》是一门利用统计学、数学模型和算法等方法，寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答的学科。研究运筹学的基础知识包括图论、随机过程、离散数学，线性规划和非线性规划，优化理论和算法基础等。而在应用方面，多与仓储、物流、优化理论和算法等领域相关。因此运筹学是与应用数学、工业工程、计算机科学等专业密切相关的学科。学好了这门课再加上上述的三门数学基础课，整个数模所要求的知识就掌握了一大部分。因此，我们应该鼓励建模班的学生选修《运筹学》，由于我校采用的是选课制，因此实现起来并不难。同样，熟悉算法和编程能力也是数模中的一大特色和难点，是数学理论和实际应用中结合的重要环节。如果建立了很好的数学模型，不能有效利用计算机求解和计算，最终也是无效的，因此建议学生选修《数值计算方法》或《数学实验》等计算数学方面的至少一门课程。如果一个学生掌握好了三门数学基础课，再加上《运筹学》和《数学实验》（或《数值计算方法》），那他就具备了得奖的必要条件。
我们建议和指导学生选修这两门课，是要他们掌握这些课程中的相关知识，而不是硬要他们非选不可，不要让他们理解为是为了建模而选课。但是，在我校的数学专业，《运筹学》和《数值计算方法》是必修的课程；在工课专业，优化理论和数值计算也是很有必要学习的一门课；在经管等专业，《运筹学》也是必选课。在计算机和网络专业中，在他们的必修课《离散数学》中，也介绍了部分随机过程，图论方面的知识，对算法就更熟悉了。因此从整个参赛队伍来看，无论队员来自哪个专业，都可以在所在的专业学到所需的知识。我们要做的是将上述理由解释给他们听，为了建模而选的课和他们所学专业要求的选修课程并不冲突。但是很多学生习惯在大四时学一些更深的数学知识，我们建议他们较早地选这些课。我校学生大多数在大三时参加数模比赛，这就要他们在大二这一年熟悉优化算法、图论等方面的知识和上机写算法程序方面的能力。
3.充分利用网络教学资源
暑假50多天本是集中学习培训的好时机，但夏天天气热，学生宿舍简朴，只得让他们回家完成作业。今年暑期我们布置的作业之一是：看国防科技大学教授吴孟达主讲的九集视频公开课《数学建模——从自然走向理性》，看同济大学数模网上的资料，等等。到下次到校集中培训时，让他们交流学习体会和作数模专题的报告。
4.集中训练学生
一位基础数学专业的主讲老师负责讲解初等数学模型，微分方程，层次分析法，模糊数学，决策论等模型；一位统计学专业的主讲老师负责讲解统计学方面的模型如：回归分析模型，方差分析模型，主成分分析，MonteCarlo方法等；一位计算数学专业的主讲老师负责讲解：插值和拟合，差分方程和微分方程的数值解法，模拟退火算法或遗传算法，以及算法的编程实现和利用数学软件，如：MATLAB作图，可视化技术等；一位应用数学专业的主讲老师负责讲解综合类的数学建模案例分析和文章的写作等。
5.积极组织学生参加国内的小、中型比赛
每年积极组织学生参加网络杯，华中杯等小、中型赛事。这些比赛可以让学生熟悉建模的过程，综合运用所学知识，加强三人之间的协助能力，训练写作能力；引导学生运用所学的数学知识和计算机技术，提高分析问题、解决问题的能力。如果能在比赛中得奖，将是对他们很大的鼓励。比赛后总结得与失，为下一步的学习做准备。
6.教师需要增强自身建模意识和能力
数学建模的教学活动为学生提供了一个学习的过程，同时对教师也提出了更高的要求。每年的学生都在更替，但指导教师比较固定。当一个教师刚参加数模组时，他可能对该活动有很多不太了解的地方，但是随着他的教学经验和大赛指导经验积累，他会成为在数模这一方向比较专业的人才，这其实就是学校的财富。
每年的竞赛难度都在加大，以2012年A，B题为例，数据明显增多，每题有四个小问题，对学生来说，要想在规定的时间完成是很吃力的，这就是“水涨船高”的现象。要想取得好成绩，指导教师的水平就要大步提高。
我校除了定期在学校内部进行教师之间的学习交流外，还将教师派出参加短中期的培训，提高他们的建模专业能力、领悟能力和组织能力。鼓励他们参加数模教改活动和发表数模科研方面的文章。
数学建模的算法范文3
随着新技术和新应用带动数据爆发式的增长，大数据正逐步走进人们生活，并对传统数学建模课程产生深刻的影响。近年来，在美国大学生数学建模大赛中，具有显著大数据特征的赛题不断涌现，以2017年A赛题为例，其关于赞比西河管理问题的解决涉及大量非结构化数据，特别是地理数据，对数学建模能力的考核已经不再表现为分析问题能力和数据执行能力的获取，而是上述两种能力的合取。2018年大赛甚至系统性地专门增加一个数据处理题以反映时代对这方面的要求。因此，在数学建模教学中，任何割裂分析问题能力与数据执行能力联系的做法已经无法应对大数据对数学建模能力提出的挑战。具体到教学改革上，需要我们分析好大数据型问题对数学建模课程的影响，对传统数学建模的课程目标、课程内容、教学手段做出相应调整。
一、构建体现大数据特点的数学建模课程目标
课程目标是教学活动的指导思想，是课程设计的出发点和依托。因此，数学建模课程目标应顺应大数据发展的要求进行相应调整，为构建与大数据处理相适应的，新的课程观、课程目标、课程内容、课程结构和课程活动方式奠定基础。
数学建模的主要目的是培养学生应用数学理论和知识解决实际问题的能力，而应用好数学解决问题的前提是建模时首先能正确地面对数据类型和关系，进行合理假设。人们在自觉和非自觉状态下创造的大量非结构化数据和半结构化大数据，它们有些表现为传统的数、表等结构化特征，有些则表现为诸如文本数据、音频数据和视频数据等现代非结构化数据和半结构化数据，多且杂乱。因此，在数学建模课程目标的设定上首先应体现数据结构的特点对调整数学建模课程目标提出的要求。
大数据具有5V特征，即Volume（大量）、Velocity（高速）、Variety（多样）、Value（低价值密度）、Veracity（真实性）。如，智能制造中设备产生的数据流实时、高速，这些高速数据通过通讯网络快速与控制系统链接，数据流数量级的计算加速大幅提升数据处理与分析的效率，使得机器硬件性能得以充分挖掘，进而提升经营与管理的效益；其他如医学扫描数据、天文数据、网站流量等，其具有低价值密度的特点。这些不同于以往数据的特征要求我们需要有新的数学建模课程目标与之匹配，这主要表现在数据观、数据刻画及数据表现等几个方面。
传统数学建模中，数据收集只能通过随机样本，利用少数的特征对总体的属性进行统计推断。在大数据时代，人们可以通过互联网、即时通讯工具以及数据库，获取各种海量数据。因此，大数据背景下，全数据或海量数据成为样本数据，即样本就是总体，样本就是大数据。
面对这样的全样本或海量数据，随机抽样有时仅表现为一种逻辑上的意义。而在大数据背景下，一方面，?稻菔占?过分地依赖技术手段，很难进行人为的精度控制；另一方面，数据无论在空间和时间方面，来源更加复杂，格式更加多样，这就使得数据的前期清洗处理变得非常困难。由于存在系统性的偏差，很难将全部的杂质项从数据中萃取掉，在秉持“数据多比少好”的情况下，就得接受数据混乱和不确定性的代价。当然，在大数据中，忽略一部分模型的精确性，并不是说不要模型的精确性，而是指我们对于模型精确性的可控性在减弱。所以，新的数学建模分析应更加侧重于发现海量数据下的各种关联细节，这可以成为数学建模逻辑思维能力培养新的补充目标，从而使我们在知识与技能、过程与方法等维度上把握好该课程的教学。
随着数据通讯技术，尤其是移动智能设备的普及发展，人们可以在任何时间和地点信息和获取数据，数据的实时分析成为提高大数据分析效率的必由之路。与传统数据相比，数据不再局限于一条条记录，伴随着大量由物联网、传感器等产生的图片、视频等非结构化数据的产生，实时分析需要学生掌握新的数据挖掘技术，并以集群、分割、孤立点分析及其他算法深入数据内部挖掘价值，从而实现处理数据量和处理数据速度的统一。
此外，数据仓库、联机分析和数据挖掘技术的不断完善，推动着数据以图形和图像等可视化方式的执行，[1]展示数据、理解数据、演绎数据呼唤数据的可视化；从直方图到网状图，从三维地图到动态模拟，从动画技术到虚拟现实，枯燥乏味的数据生动形象起来，爆炸性数据压缩起来，这对于数学建模的数据输出提出新挑战。
二、构建兼顾大数据和信息技术特点的数学建模课程内容
数学建模本质上是一种数学实验，人们在实验、观察和分析的基础上，对实际问题的主要方面做出合理的假设和简化，明确变量和参数，应用数学语言和方法，形成一个明确的数学问题，然后用数学或计算的方法精确或近似地求解该数学问题，进而检验结果是否能说明实际问题的主要现象，能否进行预测。这样的过程多次反复进行，直到能较好地解决问题，这就是数学建模的全过程。
大数据的处理也有自身的步骤，一般来说可以分为6个不同阶段：（1）存储管理阶段，它实现了多维数据的联机分析；（2）数据仓库阶段，它解决数据整合集成问题；（3）联机分析阶段，它实现数据存储管理和快速组织；（4）数据挖掘阶段，它实现探索性分析，发现数据背后模式和有用信息；（5）辅助决策阶段，它综合运用数据仓库、联机分析和数据挖掘，实现结果；（6）大数据分析，它实现非结构化数据、海量数据、实时数据的分析。
因此，面?Υ笫?据，如何实现上述两者的有机融合，必然需要注意新数学建模各阶段表现出的新的特点，如在实验、观察阶段，样本数据收集的信息化与自动化，海量信息和全样本数据成为分析常态。在问题的数学刻画阶段，相关分析可以作为进行模型分析之前数据探索的一个手段，这是因为由于数据的结构复杂，变量众多，数据体量大，有时候很难用一个“普世”函数描述出变量之间的准确关系，在无法综合评价出变量之间关系的情况下，我们可以部分揭示出变量之间的关系。事实上，由于相关分析无需太多模型假设，运算成本较低等众多原因，使得相关关系的分析成为了大数据分析的基础。[2]在模型验证阶段，以数据为中心的非普世和精确化的数学模型往往可以得到海量信息和全样本数据的支撑等。
因此，在数学建模课程内容架构中，应兼顾大数据和信息技术的特点，逐渐改变数据挖掘技术在数学建模教学上辅的作用，将有关计算机和信息技术的教学很好地落实到课程计划、课程标准和教科书中。如在教学中，可以增加通过“网络爬虫”程序直接抓取互联网数据的内容；从传感器、云端直接获取智能制造中现实数据的方法；将并行处理数据的思想引入建模教学；加强相关分析的内容教学等。所有这些可以让计算机的数据采集能力和数据处理能力成为变量间逻辑关系探索、复杂模型构建的有力工具，推动人们对数学建模的认知。
三、强化数学建模中的软件教学
首先，强化数学软件的教学。常见的数学软件有Matlab、Mathematica，Lingo，SAS、SPSS、Eview、
R、Python等，它为计算机解决现代科学技术各领域中所提出的数学问题提供求解手段。
其次，加强数学算法的介绍。常见的数学算法包括运筹学类的算法、概率分析与随机算法、时间序列算法等，其他的如十大经典算法等。
另外，对于以往建模中的数据处理，人们更习惯运用SPSS、Eview等这类封装好的、以体验式为主的方式进行，然而，相比于机械的拖拽软件分析数据，编程分析更加灵活，因为，编程使数据处理无论在体量上，还是在方式的灵活度上，更有利于激发数据分析者的主动性和创造性，因此，能够驾驭软件编程的教学应是更高的数学建模课程的要求。
当然，大数据处理也还有其他特殊的技术，如大规模并行处理数据库、分布式文件系统、分布式数据库、虚拟化和内存计算等，其中，大规模并行数据处理运用的hadoop技术，内存计算的hana工作原理等在教学过程需要予以关注。
数学建模的算法范文4
关键词：背景建模；骨架提取；运动分析
中图分类号：TP393 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2013）05-1124-02
作为计算机视觉和模式识别发展的一个重要方向，行人检测技术被广泛应用于地铁站等智能交通的视频监控、检测中。对地铁站的行人检测，能有效预防环境安全及灾害事故的发生，保证行人的行车安全，具有很大的实用价值，是近年来人们研究的热点问题。车志富[1]等采用图像梯度向量直方图特征表征行人，改进了HOG特征提取算法，结合支持分类器SVM对行人进行检测。该方法对于一些有遮挡或有重叠的行人检测效率不高。雷涛[2]等提出了一种基于区域背景建模的运动人体分割算法，能够在复杂背景下提取运动人体骨架。该算法在RGB彩色模型中能快速提出阴影，提取图像前景，但在背景与前景灰度相似时，提取到的目标有空洞。综合目前检测技术可以看出，实时、准确的检测行人的难点在于：1） 行人自身特征提取；2） 受光照、设备自身局限的影响使得背景及其复杂；3） 人体骨架提取的精确性。
数学形态学是一种非线性图像信号处理和分析理论，它不但符合人的感知系统，而且在描绘区域和结构表达方面有很大的优势，所以受到了很大的重视。借助数学形态学在处理形态相关的图像中的优势，该文通过对地铁监控图像中提取的序列图像进行预处理；再用背景建模法，得到运动人体目标。
1 预处理
因为天气环境的变化等因素常常会引起拍摄图像的变形失真，所以有必要采取合理的预处理措施来改善图像质量。首先，对序列图像中值滤波，它在一定的条件下可以克服线性滤波器等带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰及图像扫描噪声较为有效。然后，采用直方图均衡对图片进行增强，增加对比度以便图像的后处理。
2 背景建模
相比于其他运动目标提取方法，背景建模可以完整的提取运动信息，计算较简便。它是基于序列图像中相邻两帧图像的比较，这样可以将背景与前景分割出来，实现运动目标的识别。基于这种理念，分割性能的好坏与场景中的动态变化联系密切。目前，背景建模的主要方式有Kalman滤波器模型、单高斯分布模型以及混合高斯分布模型等[3] 。为了减少动态变化的影响，利用文献2提出的更新背景区域的建模方法对背景进行建模，具体步骤如下：
1） 取出图像序列中第s帧和第s+1帧，并做两帧的差分图像，得到运动区域图像，记为[Mx，y]。得到的若干个运动区域表示为：
[M=M1，M2，...Mn]
2） 以第s帧为背景，取出第t帧和t+1帧，并做两帧的差分图像，得到运动区域图像，记为[Nx，y]。得到的若干个运动区域表示为：
[N=N1，N2，...Nn]
3） 利用1、2步在s帧中找出静止的区域，记为[Kx，y]。
4） 观察区域[Kx，y]，若静止的概率大于3/4，则认为是背景区域。
5） 当背景区域不断更新时，前景区域也在不停更新，当背景帧图像近似均匀分布时，可作为终止条件，此时可以得到目标运动区域。
3 运动人体分割
数学形态学是一种非线性图像信号处理和分析理论，它不但符合人的感知系统，而且在描绘区域和结构表达方面有很大的优势，所以受到了很大的重视。该文首先对运动人体利用当前帧与背景帧做差，然后对差图像灰度化，再利用形态学开闭运算进行滤波，并二值化，通过填充孔洞和边界清除，便得到了完整且清晰的运动目标区域。
4 实验结果
本文对自然环境下，地铁站视频图像进行分析，在背景较为复杂的情况下，实现了运动人体检测。采用数学形态学处理，能够满足硬件并行计算的要求，同时满足了地铁站视频监控系统的实时性。从图1可以看出，该方法可以正确分割运动行人。
5 结束语
提出了一种将背景建模与形态学相结合的行人检测算法。通过对地铁站监控图像分析，该算法能在较为复杂的环境中，准确建模，解决了运动目标区域定位问题；实现了人体分割。但是，若地铁站行人较为密集，行人被一些物体遮挡以及光线过明、过暗等情况，该算法不能很好的提取目标区域。
参考文献：
[1] 车志富， 苗振江， 王梦思. 地铁视频监控系统中的行人检测研究与应用[J]. 现代城市轨道交通， 2010：31-36.
数学建模的算法范文5
“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中，获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程. 建模的时机是否恰当，要看“数学化”的程度如何. 建模的时机不当，会使建模过程变成了简单的知识和技能的传授过程. 下面以“认识倍”为例剖析建模时机：
案例一：出示情境——3朵蓝花，6朵红花. 演示：把3朵蓝花看成一份，圈一圈，6朵红花可以圈2个圈，说明6里面有2个3，红花就是蓝花的2倍. 列式表示6 ÷ 2 = 3.
案例二：①演示后操作，每3朵一圈，6朵红花可以圈2个圈，红花就是蓝花的2倍. 用学具分一分，操作中感悟，（ ）里面有几个（ ），（ ）就是（ ）的几倍. 在脑子里想象操作过程. 三个活动，从“看”到“做”再到“想”，逐步归纳操作方法，建立“圈”的动作模型. ②数学表达. 先看图说，“把2朵花看成一份，红花里有3个2朵，所以红花是蓝花的3倍. ”再脱离具体物像说，“6里面有3个2，所以6是2的3倍”. 建立“××里有几个××，××就是××的几倍”的语言模型. ③抽象化. 逐步抽象，由实物图到集合图到数字信息，让学生说倍数关系. （如图1）④组织探寻算法.
比较两个案例，前一个案例中，老师让学生理解了6里面有几个2，就迫不及待地端出了算式，算式虽由学生说出，但学生并没产生建模的需求. 第二个案例中，老师先在学生的头脑中建立动作模型，再通过交流建立语言表达模型，然后去掉图例，摆脱对具象的依赖，激发学生用数学式表达两数倍数关系的需求，并最终根据除法的意义写出算式模型：（ ） ÷ （ ）. 两个案例都在帮学生建立“倍”的数学模型，但第二个案例时机把握得更恰当. 由具体、形象的实例开始，借助操作予以内化和强化，最后通过去形象化，归纳概括出数学表达式，赋予了“（ ） ÷ （ ）”更多的模型意义.
二、经历完整的建模过程
完整的建模过程分为这几个步骤：实际问题—建构数学基本模型—解决数学模型—运用检验模型（模型与实际问题间的互译与表达）. 经历完整的建模过程更有利于培养学生发现、分析、解决问题的能力.
以“求相差数的实际问题”为例：（1）提出问题：怎么让人一眼看出哪一种花片多？多多少？激发操作欲望. 学生提出用学具操作的办法. 追问：如果身边没带学具怎么办？有学生考虑画图. （2）建构模型：数量很大时画图方便吗？有没有更简便的方法？激发列式的需求. （3）解决模型：探索算法及算理. （4）练习巩固后拓展和深化：“小熊比小兔少跳多少下”还可以怎么说？（小兔比小熊多跳多少下？小熊再跳多少下就和小兔同样多？小熊跳的增加多少下就和小兔同样多？）除了用“……比……多（少）多少”来表示求相差数，你还知道哪些表示求相差数的说法？（……比……高（矮）多少？……比……长（短）多少？……比……贵（便宜）多少？）
“谁的花片更多，多多少”是一个实际问题，操作、画图使学生理解了这一生活问题的数学意义. 操作、画图的局限，让学生尝试寻找简洁的数学模型来解决问题. 解决求相差数的问题用加法还是减法，为什么用减法计算，这一数学活动是探究数学模型的解法. 在应用模型时，既有不同情境中的应用，还将相似的问题类化，通过解决一个典型，带动相关问题的解决，由一个到一类，渗透一种数学规律的思想，也就是模型思想.
三、关注模型的表达
数学模型在数学学习中无处不在，学生学习数学必然会利用一定的数学模型表达自己的数学思考. 研究学生数学模型的表达方式，既是为了正视学生的差异，也是为了检验建模的效果，更是为了通过数学建模改善学生的学习方式，改善老师的教学行为. 比如二年级下册学习了“三位数加三位数”的知识，学生建立了哪些数学模型呢？从问题库中就能看出学生对加法问题模型的不同理解.
（1）不同的学生关注的内容不同
① 竖式中的未知数 ② 笔算与估算 ③ 比较大小与计算 ④ 特殊数的计算
⑤ 相关实际问题
（2）不同的学生采取不同的表达方式
① 图文结合式 ②符号化表达式
③ 表格式 ④ 直观形象与文本式
数学建模的算法范文6
1软测量建模方法解析
典型的软测量模型结构如图1所示[3].与传统仪表检测技术相比,软测量技术具有通用性和灵活性强,易实现且成本低等优点[1]。影响热工过程参数软测量精度的主要因素为数据的预处理方法、辅助变量的选择、模型的算法和结构等[4G5].由于现场采集的数据存在一定的误差以及仪表测量误差等,因此在建立软测量模型时需要对建模数据进行预处理,以消除误差.此外,还需对算法中间及输出结果进行有效性检测,以避免输出不合理的数据.另外,辅助变量需要通过机理分析进行初步确定,并且对其的选取需要考虑变量的类型、数量和测点位置等,同时需要注意辅助变量对系统运行经济性、可靠性和可维护性等的影响,从而简化软测量模型和提高软测量精度.辅助变量选取的最佳数量与测量噪声、过程自由度及模型不确定性等有关,其下限值是待测主导变量的数量.所选辅助变量应与主导变量密切相关,且为与动态特性相似的可测参数,具有较强的鲁棒性和抗过程输出或不可测扰动的能力,易于在线获取,能够满足软测量的精确度要求.由于某些热工测量对象的辅助变量类型和数量很多,且各变量之间存在耦合关系,因此为了提高软测模型性能和精度,需对输入辅助变量进行降维处理.由于在工业过程中通常采用同时确定辅助变量的测定位置和数量方法,因此对测点位置的选择原则同于变量数量的选择原则.在构建软测量机理模型过程中,要求具有足够多能够反映工况变化的过程参数,并运用化学反应动力学、质量平衡、能量平衡等各种平衡方程,确定主导变量与一些可测辅助变量的关系.但是,经若干过程简化后的软测量机理模型难以保证测量精度,且有很多热工过程机理尚不明确,因此难以对软测量进行机理建模.针对复杂的非线性热工过程,辨识建模方法通过现场数据、试验测试或流程模拟,获得工况变化过程中的输入(辅助变量)和输出(主导变量)数据,根据两者的数学关系建立软测量模型.该方法主要有基于统计分析的主元分析(PCA)法和偏最小二乘(PLA)法、基于人工智能的神经网络(ANN)法、基于统计学习理论的支持向量机(SVM)法、模糊理论法等[6].
1．1主元分析方法
PCA法通过映射或变换对原数据空间进行降维处理,将高维空间中的问题转化为低维空间中的问题,新映射空间的变量由各原变量的线性组合生成[7].降维后数据空间在包含最少变量的同时,尽量保持原数据集的多元结构特征,以提高模型精度.通常,采用该方法对现场采集的系统输入输出变量数据进行相关性分析,以优选辅助变量集,并利用对应的输入输出变量建立预测模型.但是,该方法受样本噪声影响较大,建立的模型较难理解.PCA法基于线性相关和高斯统计的假设,而核主元分析(KPCA)法对非线性系统具有更好的特征抽取能力,因而针对飞灰含碳量等呈非线性特征的变量,基于KPCA法建立其软测量模型,效果较好[8].
1．2偏最小二乘法PLA法
通过计算最小化误差的平方和,匹配出数据变量的最优函数组合,是一种数学优化方法.该方法用最简化的方法求出某些难以计算的数值,通常被用于曲线拟合.偏最小二乘回归(PLSR)法建立在PCA原理上,主要根据多因变量对多自变量的回归建模,在解决样本个数少于变量个数问题时,特别是当各变量的线性关联度较高时采用PLSR法建立其软测量模型更为有效.
1．3人工神经网络
ANN法在理论上可在不具备对象先验知识的条件下,构造足够的样本,建立辅助变量与主导变量的映射关系,从而通过网络学习获得ANN模型.ANN由许多节点(神经元)相互连接构成,每个节点代表一个特定的输出函数(激励函数),2个节点间的连接代表通过该连接信号的权重(ANN的记忆).选取ANN运算模型的辅助变量和主导变量后,为使待测的主导变量近似于实际测量变量,还可利用最小二乘法、遗传算法、聚类法等神经网络算法训练己知结构网络,通过不断调整结构的连接权值和阈值训练出拟合度最优的ANN模型.ANN模型采用分布式并行信息处理算法,具有自学习、自适应、联想存储(通过反馈网络实现)、高速寻找优化解、较强在线校正能力、非线性逼近等特性,其在解决较强非线性和不确定性系统的拟合问题具有较大优势[9],因此成为应用最广泛的一种热工过程参数软测量建模方法.但是,神经网络系统受训练样本质量、空间分布和训练算法等因素影响较大,外推能力较差,受黑箱式表达方式限制,模型的可解释性较差.当实际样本空间超出训练样本空间区域时,模型输出误差较大.因此,实际工业过程中需定时对该方法的参数进行校正.ANN还包括反向传播神经网络(BP)和径向基神经网络(RBF).BP模型将样本输入输出问题变为非线性优化问题,采用最优梯度下降算法优化并迭代求得最优值.RBF包含输入层、隐含层(隐层)和输出层,为3层结构,隐层一般选取基函数作为传递函数(激励函数),输出层对隐层的输出进行线性加权组合,因此其节点为线性组合器.相比BP模型,RBF模型训练速度快,分类能力强,具有全局逼近能力等.
1．4支持向量机法SVM法
以结构风险最小化为原则,是一种新型针对小样本情况的机器统计学习方法.其需要满足特定训练样本学习精度的要求和具备准确识别任意样本的能力.该方法根据有限的训练样本信息尽可能寻求模型复杂性和学习能力间的最优关系,从而有效解决了基于经验风险最小化的神经网络建模方法的欠学习或过学习问题[10G11],且泛化能力强,能够保证较小的泛化误差,对样品依赖程度低,可以较好地对非线性系统进行建模和预测,是对小样本情况分类及回归等问题极优的解决方法.但是,当样本数据较大时,传统训练算法复杂的二次规划问题会导致SVM法计算速度较慢,不易于工程应用,抗噪声能力较差等,且参数选择不当会使模型性能变差.目前,对SVM法还没有成熟的指导方法,基于经验数据建模,则对模型精度的影响较大.对于工业过程对象,许多在SVM法基础上进行改进的算法和混合算法被用于软测量建模,并已取得了良好的试验效果.如基于最小二乘支持向量机(LSGSVM)法的建模方法将最小二乘线性系统的误差平方和作为损失函数代替二次规划方法,利用等式约束替代SVM法中的不等式约束.由于LSGSVM法只需求解1组线性等式方程组,因此显著提高了计算速度和模型的泛化能力[12G13].与传统SVM法相比,其训练时间更短,结果更具确定性,更适合工业过程的在线建模.1．5模糊理论法模糊理论法根据模糊逻辑和模糊语言规则求解新的模糊结果[14].由专家构造模糊逻辑语言信息,并转化为控制策略,从而解决模型未知或模型不确定性的复杂工业问题,尤其适合被测对象不确定,难以用数学方式定量描述的软测量建模[15G16].模糊理论法不需要被测对象的精确数学模型,但模糊系统本身不具有学习功能,如果能够将其与人工神经网络等人工智能方法相结合,则可提高软测量的性能.
2软测量技术研究现状
目前,软测量的机理、偏最小二乘、人工神经网络、支持向量机、模糊建模等方法均属于全局建模方法,而这些方法均存在待定参数过多、在线和离线参数难以同时用于建模、模型结构较难确定等问题.因此,20世纪60年代末,Bates等[17]提出了将几个模型相加的方法,该方法可以有效提高模型的鲁棒性和预测精度.该方法将系统首先拆分为多个子系统,然后分别对每个子系统建模并相加.全局模型被视为各子模型的组合,从而不仅可提高模型对热工过程参数的描述性能,而且较单一模型具有更高的精度.通常,在多模型建模时,首先通过机理分析建立带参数的机理模型,并利用输入输出数据对模型待测参数进行辨识.而对机理尚不清楚的部分,则采用数据建模,即根据输入输出数据构建补偿器进行误差补偿.基于此,本文以主要热工过程参数为对象,综述软测量技术的研究现状.
2．1钢球磨煤机负荷、风量和出口温度
钢球磨煤机(球磨机)制粉系统的用电量在电站厂用电中占比可高达15％.目前对球磨机煤量的测量方法有差压法、电流法、噪音法、物位法、振动法等[18],但这些方法都难以精确地测量球磨机煤量,从而导致制粉系统自动控制品质欠佳,使电耗量增加.建立球磨机负荷与相关辅助变量的关系,可实现球磨机负荷、煤量的软测量.辅助变量可选为给煤量、热风量、再循环风量、球磨机出口温度及出入口压差、球磨机电流等[19].王东风和宋之平[20]采用前向复合型人工神经网络建立了基于分工况学习的变结构式负荷模型,以测量球磨机负荷,其正常运行工况下采用延时神经网络法负荷模型,球磨机出口煤量较小(趋于堵煤)时采用回归神经网络法负荷模型,并通过仿真试验和实测数据证明了该建模方法的可行性和有效性,对运行指导也取得了较好的效果.司刚全等[21]提出了基于复合式神经网络的球磨机负荷软测量方法,选取球磨机噪音及出入口压差、出口温度、球磨机电流等作为辅助变量,获得了球磨机负荷变化规律.赵宇红等[22]基于神经网络和混沌信息技术建立了球磨机出力软测量模型,仿真结果表明该模型能够预测稳态和动态过程中的球磨机出力.汤健等[23]则提出了基于多源数据特征融合的软测量方法,其采用核主元分析提取各频段的非线性特征,建立了基于最小二乘支持向量机的模型,该算法运算精度较高.张炎欣[24]在即时学习策略建模框架下,首先通过灰色关联分析方法确定主要的辅助变量,随后采用混合优化算法进行支持向量机模型计算,发现其结果相比标准支持向量机模型和BP神经网络模型具有更好的预测性能.磨煤机一次风量的准确测量是确定合理风煤比,提高锅炉燃烧效率的重要因素.因此,杨耀权等[25G26]基于BP神经网络选取42个辅助变量建立了磨煤机一次风量的软测量模型,通过对某电厂数据的测试,验证了该方法较现场流量测量仪表输出值更准确,同时基于支持向量机回归方法建立的风量模型也较流量测量仪表的精度高,且能够适应机组变化.此外,梁秀满和孙文来[27]基于热平衡原理进行了机理建模,实现了球磨机出口温度的软测量.
2．2煤质
电站锅炉入炉煤质对机组安全、经济运行影响较大.对此,刘福国等[28G29]利用烟气成分、磨煤机运行状态、煤灰分和煤元素成分等建立了入炉煤软测量机理模型,实现了入炉煤质元素成分和发热量的在线监测.董实现和徐向东[30]利用模糊神经网络构建辨识模型,并进行了锅炉煤种低位发热量模型参数的辨识,其辨识误差在2％以内.马萌萌[31]利用BP神经网络法进行建模,研究了煤质元素分析,并利用遗传算法对BP神经网络各层连接值进行了提前寻优,结果表明经遗传算法优化后的模型较单纯BP神经网络模型误差更小.巨林仓等[32]采用遗传算法与BP网络联合的建模方式,分析了煤粉从制粉系统到完全燃烧的过程,结果表明煤质在线软测量模型能够有效预测煤种挥发分、固定碳含量和低温发热量.
2．3风煤比
电站锅炉各燃烧器出口的风煤比不能相差太大,否则可能造成锅炉中心火焰偏移、燃烧不稳定、结焦等问题.对此:金林等[33]基于气固两相流理论进行了机理建模,根据乏气送粉方式下风粉混合前后的压力差计算了风煤比,通过理论推导和仿真试验发现,风煤比计算值与混合压差呈良好的对应关系;陈小刚和金秀章[34]通过对风煤比机理模型的研究,发现一次风与煤粉混合后管道内压差呈明显的线性关系;刘颖[35]将给粉机转速、风粉混合前后动压、风粉温度等作为辅助变量,采用机理建模与支持向量机相结合的方法,进行风煤比软测量建模,仿真结果显示所建模型性能优于RBF神经网络模型.
2．4烟气含氧量
目前主要使用热磁式传感器和氧化锆传感器等测量锅炉烟气含氧量,其存在测量误差大、反应速度慢、成本高、使用寿命短等问题.对此,采用软测量方法测量烟气含氧量.锅炉烟气含氧量主要受煤质、煤粉未完全燃尽、炉膛漏风等因素影响,因此选取总燃料量、风机风量和电流、再热蒸汽温度、汽包压力、炉膛出口烟温、锅炉给水流量等参数作为辅助变量.韩璞等[36]构建了电站锅炉烟气含氧量的复合型神经网络软测量模型,并在不同机组负荷下通过实测方法验证了该模型的有效性.卢勇和徐向东[37]提出了基于统计分析和神经网络的偏最小二乘(NNPLS)法建立锅炉烟气含氧量软测量模型的方法,并进行了稳态和动态建模,结果表明所建模型具有很强的泛化能力.陈敏[38]引入主元分析理论和偏最小二乘法进行了辅助变量的优化选取,并采用BP神经网络算法实现了对烟气含氧量的预测分析.熊志化[39]进行了基于支持向量机的烟气含氧量软测量,通过8个辅助变量进行训练,并得出优于传统氧量分析仪和RBF神经网络模型的结论,尤其是在小样本情况下.张倩和杨耀权[40]采用了类似的支持向量机回归模型取得了良好的仿真结果.章云锋[41]提出了基于最小二乘支持向量机的烟气含氧量软测量模型.张炎欣等[24,42]采用基于即时学习策略的改进型支持向量机建立了烟气含氧量软测量模型,得到了与球磨机负荷相似的结论.王宏志等[43]构建最小二乘支持向量机模型时应用粒子群算法解决了多参数优化的问题,并将其应用于烟气含氧量建模中后,获得了较好的效果.赵征[44]等采用机理分析与统计分析相结合的建模方法,建立了一系列局部变量的软计算模型,较好地反映烟气含氧量的变化.
2．5飞灰含碳量
燃烧失重法是测试飞灰含碳量的传统分析方法.该方法测试时间长、所得结果无法实时反映飞灰含碳量,而反射法、微波吸收法,由于缺乏在线测量技术或成本较高,难以大规模应用于在线测量[45].煤质和锅炉运行参数是影响飞灰含碳量的主要参数,因此燃煤收到基低位发热量、挥发分、灰分、水分,以及锅炉负荷、磨煤机给煤量、省煤器出口烟气含氧量、燃烧器摆动角度、炉膛风量和风压等参数可被选为辅助变量.对灰含碳量的软测量难以采用机理建模方法.而BP神经网络因其强大的非线性拟合能力和学习简单的规则等优点被广泛用灰含碳量的软测量.周昊等[46]采用BP神经网络算法建立了电站锅炉的飞灰含碳量模型,该模型输出结果与试验实测结果基本吻合.李智等[47]采用BP神经网络进行了飞灰含碳量的建模和分析,得到了良好的预测结果.赵新木等[48]选取11个辅助变量进行了改进BP神经网络的计算和预测,并探讨了燃烧器摆动角度、锅炉燃料特性、煤粉细度、过量空气系数等单变量对飞灰含碳量的影响.王春林等[49]和刘长良等[50]分别采用基于支持向量机回归算法和最小二乘支持向量机算法进行建模,结果显示支持向量机法相比BP神经网络法等建模方法具有学习速度快、泛化能力强、对样本依赖低等优点.陈敏生和刘定平[8]利用最小二乘支持向量机建立了飞灰含碳量软测量模型,并采用KPCA法提取变量特征数据处理非线性数据,通过在四角切圆燃烧锅炉上的仿真试验验证了所建模型的有效性和优越性.
2．6燃烧优化
高效低污染是电站锅炉燃烧优化的目标.顾燕萍等[51]基于最小二乘支持向量机算法建立了锅炉燃烧模型,进行了排烟温度、飞灰含碳量、NOx排放量等参数的软测量研究,随后采用遗传算法对锅炉运行工况进行寻优,得到了燃烧优化方案,研究结果表明该算法比BP神经网络算法性能更优越.王春林[11]建立了基于支持向量机,并以锅炉主要燃烧试验数据为辅助变量的软测量模型,其将遗传算法与支持向量机模型相结合,使得对飞灰含碳量、排烟温度、NOx排放量的软测量取得了良好的优化效果.高芳等[52]以锅炉热效率和NOx排放量为输入参数,建立了最小二乘支持向量机模型,试验结果表明模型输出误差很小,良好的参数组合可为锅炉优化运行提供指导.
2．7其他热工参数
对于主蒸汽温度、汽包水位、省煤器积灰、烟气污染物排放量等参数,学者们也进行了软测量研究.熊志化等[53]对主蒸汽流量进行了软测量,以给水温度等为辅助变量的历史数据仿真结果表明,支持向量机算法较RBF神经网络算法具有明显优势.何丽娜[54]提出了基于现场数据的神经网络建模,与传统神经网络建模相比,无需数学表达式和传递函数,只需要现场数据,以主蒸汽温度系统为建模对象,采用主元分析法对建模数据进行预处理,降维后,通过分析过热器运行机理确定了辅助变量,并合理预测了主蒸汽温度.梅华[16]提出了基于模糊辨识的自适应预测控制算法,并应用于发电厂主蒸汽温度控制中,仿真结果表明该算法具有良好的负荷适应性.李涛永等[55]以给煤量设定值为输入,主蒸汽压力为输出,利用聚类分析方法将热工过程的非线性问题分解并转化为若干个工况点的线性问题,得出了辨识模型及其拟合曲线.张小桃等[56]根据机组运行机理,利用主元分析法、多变量统计监测理论等确定不同机组运行过程中影响汽包水位变化的主导因素.王少华[57]建立了基于机理分析与数据统计分析方法相结合的锅炉汽包水位软测量模型,试验结果表明该模型可较好地反映锅炉参数在典型扰动工况下的汽包水位动态特性.王建国等[58]采用机理分析建模,以省煤器进出口烟气温度、省煤器管壁温度、烟气流速等为辅助变量,对在线监测锅炉省煤器积灰的软测量进行了分析.杨志[59G62]选取经遗传算法优化后的BP神经网络模型对SO2排放量进行了预测研究,其选取了硫分、负荷、给煤量、过量空气系数、排烟温度等参数作为模型输入变量,SO2排放量作为输出变量,试验结果表明该方法能够满足在线监测SO2排放量的要求.
3结语
