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数学建模常用优化算法范文1
前言：数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。数学模型是一种模拟，是用数学符号，数学式子，程序，图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。在21世纪新时代下，信息技术的快速发展使得数学建模成了解决实际问题的一个重要的有效手段。
正文：自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。而数学建模作为数学方面的分支，在其中起到了关键性的作用。
谈到数学建模的过程，可以分为以下几个部分：
一.模型准备
了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。
二.模型假设
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
三.模型建立
在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构。
四.模型计算
利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。其中需要应用到一些计算工具，如matlab。
五.模型分析
对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。
六.模型检验
将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
数学建模中比较重要的是，我们需要根据实际问题，适当调整，采取正确的数学建模方法，以较为准确地对实际问题发展的方向进行有据地预测，达到我们解决实际问题的目的，
在近些年，数学建模涉及到的实际问题有关于各个领域，包括病毒传播问题、人口增长预测问题、卫星的导航跟踪、环境质量的评价和预测等等，这些就能说明数学建模涉及领域之广泛，针对这些问题我们需要采取对应的数学建模方法，采用不同的数学模型，再综合起来分析，得出结论，这需要我们要有一定的数学基础和掌握一些应用数学方法，以适应各种实际问题类型的研究，也应该在一些数学方法的基础上，进行不断地拓展和延伸，这也是在新时代下对于数学工作者的基本要求，我们对数学建模的所能达到的要求就是实现对实际问题的定性分析达到定量的程度，更能直观地展现其中的内在关系，体现数学建模的巨大作用。
而在对数学建模中的数据处理中，我们往往采用十类算法：
一.蒙特卡罗算法
也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。如粒子输运问题。
二.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具，而在其中有一些要用到参数估计的方法，包括矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法。数据拟合在数学建模中常常有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。
三.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。它尤其适用于传统搜索方法难于解决的复杂和非线性问题，在运筹学和模糊数学中也有应用。
四.图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备，其中，图论具有广泛的应用价值,图论可将各种复杂的工程系统和管理问题用“图”来描述,然后用数学方法求得最优结果，图论是解决许多工程问题中算法设计的一种有效地数学模型,便于计算分析和计算机存储。
五.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。回溯算法是深度优先策略的典型应用，回溯算法就是沿着一条路向下走，如果此路不同了，则回溯到上一个分岔路，在选一条路走，一直这样递归下去，直到遍历万所有的路径。八皇后问题是回溯算法的一个经典问题，还有一个经典的应用场景就是迷宫问题。回溯算法是深度优先，那么分支限界法就是广度优先的一个经典的例子。回溯法一般来说是遍历整个解空间，获取问题的所有解，而分支限界法则是获取一个解。分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
六.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
模拟退火算法的依据是固体物质退火过程和组合优化问题之间的相似性。物质在加热的时候，粒子间的布朗运动增强，到达一定强度后，固体物质转化为液态，这个时候再-进行退火，粒子热运动减弱，并逐渐趋于有序，最后达到稳定。
“物竞天择，适者生存”，是进化论的基本思想。遗传算法就是模拟自然界想做的事。遗传算法可以很好地用于优化问题，若把它看作对自然过程高度理想化的模拟，更能-显出它本身的优雅——虽然生存竞争是残酷的。 遗传算法以一种群体中的所有个体为对象，并利用随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索 。
神经网络从名字就知道是对人脑的模拟。它的神经元结构，它的构成与作用方式都是在模仿人脑，但是也仅仅是粗糙的模仿，远没有达到完美的地步。和冯·诺依曼机不同-，神经网络计算非数字，非精确，高度并行，并且有自学习功能。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
七 .网格算法和穷举法
对于小数据量穷举法就是最优秀的算法，网格算法就是连续问题的枚举。网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
八.一些连续离散化方法
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
九.数值分析算法
在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、 函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
十.图像处理法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
这十类算法对于数据处理有很大的帮助，甚至从其中可以发现在它们中的很多算法都是数学某些分支的延伸，可能我们不一定能掌握里面的所有算法，但是我们可以尽可能学习，相信这对我们今后的数学学习有很大的帮助，然后，就是数学模型的类别。
常见的数学模型有离散动态模型、连续动态模型、库存模型、线性回归模型、线性规划模型、综合评价模型、传染病模型等数学模型、常微分方程模型、常微分方程的数值稳定性、人口模型、差分方程模型，这些模型都有针对性地从实际问题中抽象出来，得到这些模型的建立，我们在其中加入适当合理的简化，但要保证能反映原型的特征，在数学模型中，我们能进行理性的分析，也能进行计算和演绎推导，我们最终都会通过实践检验数学建模的正确性，加以完善和提升，在对现实对象进行建模时，人们常常对预测未来某个时刻变量的值感兴趣，变量可能是人口、房地产的价值或者有一种传染病的人数。数学模型常常能帮助人们更好的了解一种行为或者规划未来，可以把数学模型看做一种研究特定的实际系统或者人们感兴趣的行为而设计的数学结构。
例如人口增长模型：
中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。人口数量、 质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。 在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展， 进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。 政府部门需要更详细、 更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析， 只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。 随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。
人口增长模型是由生育、死亡、疾病、灾害、环境、社会、经济等诸多因素影响和制约的共同结果，如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，他们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。这反映出人口系统具有明显的灰色性， 适宜采用灰色模型去发掘和认识原始时间序列综合灰色量所包含的内在规律。灰色预测模型属于全因素的非线性拟合外推类法，其特点是单数列预测，在形式上只用被预测对象的自身序列建立模型，根据其自身数列本身的特性进行建模、预测，与其相关的因素并没有直接参与，而是将众多直接的明显的和间接的隐藏着的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，对灰色量进行预测，不必拼凑数据不准、关系不清、变化不明的参数，而是从自身的序列中寻找信息建立模型，发现和认识内在规律进行预测。
基于以上思想我们建立了灰色预测模型：
灰色建模的思路是：从序列角度剖析微分方程，是了解其构成的主要条件，然后对近似满足这些条件的序列建立近似的微分方程模型。而对序列而言（一般指有限序列）只能获得有限差异信息，因此，用序列建立微分方程模型，实质上是用有限差异信息建立一个无限差异信息模型。
在灰色预测模型中，与起相关的因素并没有直接参与，但如果考虑到直接影响人口增长的因素， 例如出生率、死亡率、 迁入迁出人口数等，根据具体的数据进行计算， 则可以根据年龄移算理论，从某一时点的某年龄组人数推算一年或多年后年龄相应增长一岁或增长多岁的人口数。在这个人口数的基础上减去相应年龄的死亡人数， 就可以得到未来某年龄组的实际人口数。对于0 岁的新生人口， 则需要通过生育率作重新计算。当社会经济条件变化不大时， 各年龄组死亡率比较稳定， 相应活到下一年龄组的比例即存活率也基本上稳定不变。 因而可以根据现有的分性别年龄组存活率推算未来各相应年龄组的人数。
通过这样的实例就能很细致地说明数学建模的方法应用，数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。它是将研究的某种事物系统，采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系，抽象出一种数学结构的方法，这种数学结构就叫数学模型。一般地，一个实际问题系统的数学模型是抽象的数学表达式，如代数方程、微分方程、差分方程、积分方程、逻辑关系式，甚至是一个计算机的程序等等。由这种表达式算得某些变量的变化规律， 与实际问题系统中相应特征的变化规律相符。一个实际系统的数学模型，就是对其中某些特征的变化规律作出最精炼的概括。
数学模型为人们解决现实问题提供了十分有效和足够精确的工具， 在现实生活中， 我们经常用模型的思想来认识和改造世界，模型是针对原型而言的，是人们为了一定的目的对原型进行的一个抽象。
随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方面获得越来越广泛而深入的应用， 尤其是在经济发展方面， 数学建模也有很重要的作用。 数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。数学模型就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、 图形或算法。也可以这样描述：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模的作用在21实际毋庸置疑，我们通过不断学习数学建可以掌握解决实际问题的强大武器。
参考文献：数学建模方法与案例，张万龙，等编著，国防工业出版社（2014）.
数学建模常用优化算法范文2
【关键词】 人工神经网络；中医证候；非线性建模
建模就是建立一个数学模型，使之能最好地拟合通过系统的输入输出数据体现出的实际系统的动态或静态特性。证候学研究的目的就是通过对四诊信息的综合分析，找出证候的特征，做出证型的分类诊断。因此，可以通过数理分析方法总结证型与指标之间的规律，建立证候诊断数学模型。常用的证候建模方法分为线性建模法和非线性建模法两种。
1 线性证候建模方法及其存在的问题
目前，常用的线性证候建模方法有多元线性回归分析、因子分析、判别分析等多元统计方法。多元线性回归分析可以根据各指标的常数项和偏回归系数建立证候的多元线性回归方程；因子分析可以通过将公因子表示为指标的线性组合，从指标的观测值估计各个公因子的值，从而建立证候的因子得分模型；判别分析可以对证候诊断明确的一组资料建立证候的判别函数。上述3种方法均可以建立证候的线性模型，并可实现对证候的诊断和预测。
多元统计方法很多都是对复杂问题的线性简化。如判别分析和回归分析都是不加区别地、均衡地看待每个症状变量对线性关系的影响，同时还基于各变量的作用与其他变量的值无关，且各变量的作用可以叠加这一不甚合理的假定而建立的症状和证候关系的一种简单的线性描述[1]；因子分析也是建立每一个公因子(证候)和变量之间的线性函数。然而，中医证候系统具有非线性复杂性特征，且症状之间存在大量的多重共线性关系和协同关系，线性建模方法虽然有利于对复杂问题的数学描述，但却很难准确地模拟症状和证候之间的复杂关系，更难以逼近中医证候的真实面貌。
2 非线性证候建模方法
非线性建模法又称黑箱建模法，即在不了解黑箱内部机理和结构的情况下，通过提取隐含在系统的输入输出数据中的特性，建立一个能充分逼近系统实际结构的等价模型。目前，人工神经网络技术具有强大的非线性映射能力，能够任意精度逼近非线性函数，成为非线性系统辨识的主要建模方法。
中医证候的诊断过程，实质上是由收集到的各种症状，通过分析获得证型诊断的过程，可以把这个过程看作是一个非线性映射过程，因此，我们将改进的BP神经网络用于中医证候的非线性建模研究，探讨了基于人工神经网络模型的非线性证候建模方法。
3 基于人工神经网络的证候非线性建模方法
3.1 人工神经网络简介
人工神经网络(artificial neural network，ANN)是在对人脑神经网络结构认识理解的基础上，人工构造的新型信息处理系统。ANN具有大规模的并行处理方式、良好的鲁棒容错性、独特的信息存储方式以及强大的自学习、自组织和自适应能力，这使得它在模式识别、控制优化、信息处理、故障诊断以及预测等方面应用广泛，其理论与技术方法在工程、医疗卫生、农业、交通、财经、军事、环境、气象等领域显示出巨大的吸引力，并具有广阔的应用前景[2]。
ANN的一个显著特征是它通过自动学习来解决问题，对样本的学习过程，即为对网络中的神经元间的联系强度(即权重系数)逐步确定的过程，通过对样本的学习，可以学会识别自变量与应变量间的复杂的非线性关系。经过充分学习后的ANN获取了样本的特征规则，并将这些规则以数字的形式分布存贮在网络的连接权中，从而构成了系统的非线性映射模型。这样的ANN模型不仅能够对其学习过的样本准确识别，而且对未经学习的样本也可以准确识别，它甚至可以充分逼近任意复杂的非线性映射关系。可见，ANN不需要精确的数学模型，而是通过模拟人的联想推理和抽象思维能力，来解决传统自动化技术无法解决的许多复杂的、不确定性的、非线性的自动化问题。
BP神经网络[3]是指基于误差反向传播算法(back propagation，简称BP算法)的多层前向神经网络。BP网络的神经元通常采用Sigmoid型可微函数，可以实现输入到输出间的任意非线性映射，这使得它在函数逼近、模式识别、数据压缩等领域有着广泛的应用，也使得它能够应用于中医证候的非线性建模。
3.2 非线性建模方法
证候具有典型的非线性特征，证候的诊断过程可以看作是一个从诊断指标到证候的非线性映射过程，这个过程用非线性数学模型可以充分模拟，而ANN是典型的非线性数学模型，其中的BP网络更具有强大的非线性拟合能力。因此，我们选择ANN中最常用的BP神经网络技术，并进行适当的改进后，建立中医证候的非线性模型，然后对建立的证候模型的诊断性能进行测试。具体步骤如下。
3.2.1 数据预处理
在建模之前，首先对试验数据进行预处理。包括对输入数据的归一化处理和对数据的主成分分析以及资料的分组处理等。
先对所有数据进行归一化处理，使变换后的输入输出信息在(0，1)区间，以防止小数值信息被大数值信息所淹没；然后对归一化处理后的数据进行主成分分析，主成分的选择标准定为95%。数据经过主成分分析，可对大量的输入信息进行降维处理；最后根据验证方法进行病例分组，我们采用3倍交叉验证法，因此，将样本随机分为3组。
3.2.2 确定BP网络的结构
在MATLAB7.0环境下，采用改进的共轭梯度学习算法(trainscg学习算法)，建立证候的三层前向BP网络模型。该网络包括输入层、隐层和输出层，其中输入层包含的输入神经元数即是证候的诊断指标数；隐层的层数及每层包含的神经元数根据具体情况而定；输出层包含的输出神经元数即研究资料包含的基本证型数。两个隐层之间通过双曲线正切S型传递函数(tansig)连接，隐层与输出层之间用对数S型传递函数(logsig)连接。设定网络的系统误差为小于0.01，最大迭代次数为500次，最小下降梯度为10－10。
其中，网络的输出节点用来表示共几种证型，表示方法是一个输出节点对应一种证型。我们将包含n个证型的输出采用(0，1，…，0)的方式，括号内共有n个数值，每一个数值代表一种证型，其中0表示诊断不成立，1表示诊断成立，这样可以诊断兼夹证的情况。另外，预测输出值分原始输出值和整合输出值两组，原始输出值为0到1之间的连续值；整合输出值既可整理成(0，1)的形式(规定≥0.5为1)，又可整理成0－1之间的分段数值，比如(0，0.2，0.4，0.6，0.8，1)等6个数值，这样根据数值大小既可诊断兼夹证，又可判断证型的主、次情况。
3.2.3 证候网络模型的训练
先取样本的两组作为训练集，另一组作为测试集，再交换其中的一组，如此循环，分别共做3次训练与测试，从中得出平均预测效果值。
网络参数的初始值取为[-0.5，+0.5]上均匀分布的随机数。经重置几次网络权值的学习率和动态训练集后，不断改善权值。到权值趋稳，即认为网络训练完成。
3.2.4 证候网络模型的测试
神经网络训练的期望目标是以尽可能简单的网络结构达到尽可能高的学习精度和尽可能好的泛化能力，因此考察神经网络的性能就要看网络的泛化能力。所谓泛化，就是网络对尚未学习过的数据的正确识别能力，是否具有良好的泛化能力是网络能否投入实际使用及使用效果如何的重要因素。它可以通过测试样本集网络诊断结果的特异性和准确率来衡量。
证候网络模型的权值趋稳，训练结束后，即可以采用三倍交叉验证的方法，分3次分别对1/3测试样本做检验。此时只有输入矢量(即只有症状得分)，无输出期望值(即没有相应证型的判断)。经网络运算后，得出预测输出值，与期望输出进行比较，分别统计各种证型预测值的特异性和准确率，以判断该证候神经网络模型的诊断性能。
4 实现基于人工神经网络的非线性证候建模研究
我们采用上述非线性证候建模方法，在MATLAB7.0环境下，对一组765例类风湿性关节炎(rheumatoid arthritis，RA)临床证候资料和一组449例糖尿病肾病(diabetic nephropathy，DN)临床证候资料，分别建立了RA证候BP网络模型和DN证候BP网络模型，并均采用三倍交叉验证的方法，检验了证候神经网络模型的诊断性能(具体内容另文详述)。测试结果显示：两种模型的平均单证特异性分别为81.31%、81.32%；平均单证准确率分别为95.70%、96.25%；平均诊断准确率分别为90.72%、92.21%。说明基于改进的BP神经网络的证候模型具有较高的诊断、预测能力。
5 讨论
“线性”和“非线性”是区别事物复杂性程度的标尺，在数学中，当两个变量(自变量和应变量)的关系成正比时就称为线性关系，否则就是非线性关系[4]。在生命科学中，由上述概念推广而来的线性和非线性逻辑则更具实用意义，非线性逻辑表征事物各组分之间是相互作用的，而不是相互独立的、正则的、无限可微的和平滑的，即总体不等于部分之和，它是复杂系统的典型特征之一。证候是机体各层级结构的整体涌现现象，中医四诊信息所表达的就是人体各层级结构的功能失调逐级涌现的结果[5]。显然，证候具有非线性特征。
对非线性证候系统建模应当用非线性建模法更能反映证候的实质。基于黑箱结构的ANN具有强大的非线性建模能力。因此，我们将其用于证候的非线性建模。
我们在基于共轭梯度下降算法的BP神经网络的基础上，对RA临床证候资料和DN临床证候资料均建立了非线性神经网络证候模型，经过三倍交叉验证，两种证候神经网络模型均有良好的诊断、预测能力。可以得出结论，ANN在不必知道内部结构的情况下能够充分模拟症状与证候的非线性映射关系。神经网络利用网络的自动学习能力，在充分辨识证候表征信息的基础上，可以自动抽提出这些信息蕴含的内在规律，并将其分布在网络的联接权中，从而建立了症状与证候的非线性映射函数。
在这里，样本(证候)被概括为一对输入与输出的抽象的数学映射关系，各种物理表征信息为输入单元，证型诊断为最终的输出结果。证候诊断的过程被看作了一个映射问题，通过症状找出对应的证型诊断，神经网络把症状与证型的对应关系通过输入与输出的映射转化成了一个非线性优化问题。虽然不清楚网络模型的内部结构，但我们的研究证实这种模型却能够充分逼近症状与证型诊断的非线性映射关系，近似真实地反映证候的全貌，这是在不打开黑箱的前提下，建立非线性证候模型、反映证候的内在规律和特征的有效方法。
BP神经网络虽然是一个标准的非线性数学模型，但它的收敛速度非常慢，为此，我们采用trainscg函数改进train函数，trainscg函数是共轭梯度算法的一种变形，具有采用尺度化共轭梯度反向传播算法对网络进行训练的功能。该算法结合了Levenberg-Marquardt算法中的模型置信区间方法和共轭梯度算法，避免了耗时巨大的线搜索过程，从而大大提高了网络的训练速度。我们建立的两种证候网络最后一次训练的迭代次数分别为58、33，说明建立的证候网络模型有很好的收敛性能。
总之，中医证候的诊断规律蕴含在足够多的样本集合中，利用神经网络的自主学习能力从大量的样本中进行证候特征的规则提取，能够抽提出比较全面的内在规律；同时，网络的自组织、自适应能力又能加强对边缘相似病例的辨识能力，这样的证候诊断模型更能充分逼近证候真实面貌。基于改进的BP神经网络的证候非线性数学模型具有良好的诊断、预测能力，能够充分逼近证候的真实面貌，是证候非线性建模的可行性方法。
当然，用ANN建立的证候模型是否有强大的推广能力，取决于样本的含量以及样本所含信息的全面程度。因此，必须保证样本的含量足够大、样本所蕴含的证候诊断信息足够全面，这样才能尽量真实地展示证候全貌。同时，ANN的知识处理能力还需进一步提高，还需围绕如何提高神经网络的学习能力、收敛速度、可塑性以及普化能力等方面展开深入研究。但目前采用神经网络技术建立证候数学模型，从而实现对证候的非线性建模，对中医证候的规范化研究不啻是一种可行的方法。
【参考文献】
[1] 袁世宏，王天芳.多元统计方法在建立证候诊断模型研究中存在问题的思考[J].北京中医药大学学报，2004，27(4)：9－11.
[2] 白云静，申洪波，孟庆刚，等.中医证候研究的人工神经网络方法探析[J].中医药学刊，2004，22(12)：2221－2223.
[3] 许 东，吴 铮.基于MATLAB6.X的系统分析与设计——神经网络[M].第2版.西安：西安电子科技大学出版社，2002.19－24.
[4] 包含飞.初议中医学是复杂性科学[J].上海中医药大学学报，2003，17 (2)：3－6.
数学建模常用优化算法范文3
关键词：物流工程；运筹学；库存控制
作者简介：谢逢洁（1974-），女，重庆人，西安邮电大学管理工程学院，讲师。（陕西 西安 710061）崔文田（1966-），男，陕西米脂人，西安交通大学管理学院，教授。（陕西 西安 710049）
基金项目：本文系教育部高等学校物流类专业教学指导委员会教改课题（课题编号：JZW2011013）的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）04-0110-02
随着电子商务近十年的迅速发展，我国物流企业如雨后春笋般成长起来。摊开一张中国物流地图，密密麻麻的干线、支线一团乱麻似的交织在一起。然而，中国物流每年30%左右的增长速度仍然难以满足每年100%速度增长的淘宝货运需求。那么，有效地利用现有资源进行优化配置，成为物流企业满足社会经济发展需求的重要途径，这无疑给物流专业的“运筹学”教学工作提出了前所未有的挑战。根据《教育部高等学校物流类专业教学指导委员会关于物流工程本科专业培养方案的指导意见》，“运筹学”是各高校物流工程专业必需开设的学科基础课程，建议课程学分为3分左右，其他学科基础课具体课程及学分由各高校自定。这充分说明了“运筹学”课程在物流工程专业教学中的基础性和重要性。那么，根据我国物流业发展中的实际问题，结合物流工程专业“运筹学”教学需求，探讨教学内容和教学方法的改革具有重要意义，但同时这也是摆在每个物流工程专业“运筹学”教学工作者面前的重要问题。
一、我国物流业的主要问题及其原因分析
在电子商务环境下，涌现出大量种类多、批量小、批次多、目的地分散的随机零散的物流需要，这与传统的粮食、燃料、建材等大宗物资运输需求有着明显的差别。大量的零散物流需求为我国物流业发展带来了契机，同时也暴露出其存在的问题。
首先，物流成本高是我国物流业一直以来存在的问题。随着电子商务环境下零散物流需求的激增，成本问题愈发显得严重。据国家发改委2011年12月1日披露的数据，2011年1月至10月，我国社会物流总费用6.4万亿元，同比增长18.7%。目前，中国的物流成本占GDP总量比重约为18%，而日本是11%，美国是8%，欧盟只有7%。究其原因，除了油价上涨以及物流运输中的各种乱收费现象外，每年以30%左右的速度发展起来的物流企业资质参差不齐，配送中心的选址、库存控制、车辆路径规划等有利于物流企业降低成本的优化途径在一些新建物流企业中并没有得到很好地应用。这是我国物流成本高的主观因素，也是物流专业“运筹学”教学需要重点关注的问题。
此外，在电子商务环境下，客户对产品可得性的心理预期增强，进而使得其对交货时间的要求远远高于传统物流货运的要求。而我国大多数物流企业尚未形成一个完整有效的物流系统，配送中心和运输系统缺乏协调，库存控制和车辆路径规划存在矛盾，长途运输和短途配送缺乏衔接等问题普遍存在。这无疑会导致物流企业货运时间的拖延，使得客户对交货时间的需求时常难以得到满足。因此，物流系统的协调优化也是“运筹学”教学需要重点关注的问题。
二、物流工程专业“运筹学”教学的主要内容
“运筹学”教材种类繁多，本文以清华大学出版社出版的《运筹学》章节划分为例进行相关内容的阐述。目前，我国各高校管理类本科层次的运筹学教学内容通常由线性规划与目标规划、整数规划、动态规划、图与网络、排队论等几部分构成，略有差异。非线性规划、存储论、对策论、决策论、启发式方法等则通常作为研究生阶段的教学内容。物流工程专业具有管理学科的一般属性，同时还具有本专业的一些特性。为了更好地满足我国快速发展的物流业对专业人才的需求，物流工程专业“运筹学”教学应在保持管理类运筹学教学内容广度的基础上，突出物流工程专业“运筹学”教学需要解决的一些重要问题，包括配送中心选址、库存控制、车辆路径规划以及物流配送系统协调优化等问题。
1.配送中心选址问题相关教学内容
配送中心选址问题是给定某一地区所有需求点的集合，要求从中选出一定数目的需求点建立配送中心，实现对所有需求点的配送，并使得总配送路径或配送费用最小。整数规划是目前应用最广泛也是最主要的定量选址技术，其求解方法包括分支定界法、割平面法和隐枚举法，其优点是能获得精确的最优解。但是对一些模型太复杂的情况，如对整个物流网络进行规划时的大型复杂选址问题，由于变量和约束条件众多、形式复杂，往往只能用启发式算法获得最优解。此外，多目标决策方法可以和启发式算法相结合进行配送中心的合理选址。
2.库存控制问题相关教学内容
库存控制问题是在保证生产或销售对物资需要的前提下，尽可能地减少资金占用，降低物资的库存成本。目前，库存控制研究已取得了丰硕的成果，形成了较为完整的库存控制理论——存储论，主要包括定常需求的库存控制、时变需求的库存控制、随机需求的库存控制、依赖于库存水平需求的库存控制以及多种物品的库存控制等。库存控制模型的求解主要利用高等数学中的微积分原理给出最优解的性质，并结合启发式算法给出最优值。
3.车辆路径规划问题相关教学内容
车辆路径规划问题是针对一系列发货、收货点，设计适当的行车路线，使车辆有序地通过它们，在满足规定的约束条件（如货物需求量、交发货时间、车辆容量、时间限制等）下，实现一定的目标（如路程最短、费用最低、时间尽量短、车辆尽量少等）。根据研究重点的不同，车辆路径规划问题的模型构造及算法有很大差别。但整数规划、动态规划和图论是车辆路径规划问题最常用的建模方法，启发式算法在车辆调度问题的求解中得到了广泛应用。
4.物流系统协调优化相关教学内容
配送中心选址、库存控制、车辆路径规划问题之间有着千丝万缕的关系，其中一个问题的决策往往影响到其他问题的决策，如果某一问题决策失败就无法获得整个物流系统的最优。因此，物流系统的协调优化越来越受到重视，配送中心选址与运输路线安排问题的集成建模、库存控制与车辆路径的集成建模、以及配送中心选址与库存控制的集成建模已经得到了广泛研究，主要涉及的运筹学方法有整数规划、非线性规划、动态规划和启发式算法等。
由以上分析可知，物流系统优化涉及的“运筹学”教学内容主要包括整数规划、非线性规划、动态规划、图论、存储论、多目标决策、启发式算法等，这分别对应于清华大学出版社《运筹学》教材中的第5章、第6～7章、第8～9章、第10章、第13章、第16章、第17章。其中，以整数规划和启发式算法的应用最为广泛。以此为依据，笔者建议对物流工程专业的“运筹学”教学内容作适当调整，打破以教材章节为依据划分本科和研究生教学内容的模式，在本科阶段教学中增加非线性规划、存储论、决策论、启发式算法的内容，在研究生阶段教学中进一步深化整数规划、动态规划、图论的内容，保证本科和研究生阶段课程的可延续性，并在教学深度上形成一定的梯度。本科阶段侧重于物流系统基本问题的建模和基本求解方法的掌握，研究生阶段则侧重于综合问题的建模和多种求解方法的结合应用以及优化理论的创新。
三、物流工程专业“运筹学”教学的实施手段
“运筹学”是一门以数学方法为基础寻求实际问题最优方案的应用科学，特别强调对实际问题的解决。应用运筹学解决现实生产、生活中的实际问题，需要针对实际问题的优化要求及面临的客观条件作必要的假设，抽象为数学模型，然后利用恰当的数学方法加以解决。根据《教育部高等学校物流类专业教学指导委员会关于物流工程本科专业培养方案的指导意见》，物流工程专业是一门实践性很强的专业，要求该专业的教学注重理论教学与实践教学相结合，课堂教学与课外活动和谐统一。因此，对于物流工程专业的“运筹学”教学，强调对物流系统中实际问题的解决则显得尤为重要。然而，由于“运筹学”本身所具有的明显的数学学科特征，加上“运筹学”教材的通用性特点，教师在教学实践中很容易产生偏重数理演算、忽略实践应用的倾向，在基本原理和手工演算的讲授上花费大量的课时，而对于如何从物流系统的实际问题出发，抽象出合理的数学模型以及如何应用先进的计算软件实现模型的求解则重视不够，甚至忽略。鉴于此，笔者建议对物流工程专业“运筹学”教学的实施手段做以下改革尝试。
1.讲述教学法和问题解决教学法相结合的课堂教学方式
由于“运筹学”既要求对基本理论和优化方法的理解，又强调应用理论方法解决实际问题的能力。因此，笔者建议采用讲述教学法和问题解决教学法相结合的课堂教学方式。
讲述教学法是指教师运用叙述的方式传递教材知识的教学方法，也是最为常用的一种教学方法。“运筹学”的基本理论和优化方法以数学为基础，对于物流工程专业的学生而言相对抽象和晦涩。如果在课堂讲述时利用高深的数学理论来推导一个定理，或者花费大量的时间手工求解一个问题，则违背了物流工程专业“运筹学”教学的应用目的，学生不仅难以接受讲述的内容，而且其学习积极性会受到打击。因此，笔者建议教师在课堂讲述中弱化“运筹学”中定理的推导以及手工演算过程，通过板书教学与多媒体教学相结合的讲述方式，根据课程内容的需要穿插一些动画、声音视频，充分调动学生的学习兴趣，使学生快速理解“运筹学”的基本理论和优化方法。在此基础上，结合问题解决教学法培养学生应用理论方法解决实际问题的能力。问题解决教学法是启发式教学方法的一种，是以学习者为中心的教学方法。教师可在教学中有目的地引导学生选择典型的物流系统优化案例，可以从简单的配送中心选址、库存控制以及车辆路径规划问题入手，协助学生对实际问题进行合理假设、抽象和建模，使学生逐步掌握运用“运筹学”解决物流系统优化问题的思维方式和方法。
2.课堂教学、计算实验和课外活动紧密配合
由于课堂教学中弱化了定理的推导和手工演算的过程，加上启发式算法在物流系统优化问题中的广泛应用，物流工程专业的“运筹学”教学应开设专门的实验课程，将课堂教学内容和上机实验紧密结合起来，帮助学生掌握WINQSB、LINDO、LINGO、MATHEMATICA、MATLAB 等优化软件，利用计算机代替手工演算实现模型的求解。同时，注重培养学生不拘泥于课本上的算法与思维，努力尝试新方法，开拓新思路，提高自己的创造性思维能力，逐步引导学生将学习的重点放在对实际问题的分析建模和求解思路的设计上来。此外，可以鼓励学生积极参加全国大学生物流大赛，实现“运筹学”教学与物流优化实践的结合，提高学生应用运筹学解决物流企业实际问题的能力。
3.改革考核体系，突出教学重点
成绩考核是整个教学周期的最后环节，是评估教学质量和学习水平的关键。为了与物流工程专业“运筹学”教学内容和教学方式的调整保持一致，其成绩考核方式也应做相应的调整。首先，突出物流工程专业的“运筹学”教学目的，考核内容应围绕物流系统优化问题展开，比如配送中心选址、库存控制、车辆路径规划等都是重点考核内容，相应地弱化对其他专业的相关问题考核。其次，改变目前“运筹学”课程考核采取的形式单一的笔试方式，将平时课堂教学中的问题讨论和实验课程中的上机练习作为课程考核的一部分。比如，可以在课堂教学中定期地进行物流系统案例优化小测验，让学生在规定的时间内完成问题分析和模型构建，将评价结果记入课程考核，还可以在实验课程中设置一定的考核环节，检查学生利用计算机求解运筹学模型的能力，将评价结果记入课程考核。最后，在试卷考核中要注重检验学生掌握运筹学思维方式和方法的程度，即检验学生针对一个具体的物流系统优化问题展开分析，进行适当的假设和理论抽象，建立合理的数学模型的能力，避免学生把大量的时间花费到简单记忆和繁杂计算中。
四、结语
本文从电子商务环境下我国物流业存在的实际问题出发，确定物流工程专业“运筹学”教学需要重点关注的问题包括配送中心选址、库存控制、车辆路径规划以及物流系统协调优化。在此基础上，通过对这些重要问题的分析给出了物流工程专业“运筹学”教学的重点内容和章节，并对教学实施手段提出了改革建议。这些有针对性改革措施不仅有利于物流工程学生掌握运筹学的思维方式和方法，而且有利于培养学生应用运筹学解决物流系统优化问题的能力。
参考文献：
[1]杨艳，王克近.配送中心选址方法研究综述[J].物流技术，2011，
（23）：148-152.
[2]周永务.物流系统的库存控制模型与方法研究[D].合肥：合肥工业大学，2002.
[3]刘云忠，宣慧玉.车辆路径问题的模型及算法研究综述[J].管理工程学报，2005，19（1）：124-130.
[4]林岩，胡祥培，王旭茵.物流系统优化中的定位——运输路线安排问题（LRP）研究评述[J].管理工程学报，2004，18（4）：45-49.
[5]李文锋，毕娅.物流系统优化与仿真[M].北京：中国标准出版社，
2010.
[6]王旭.管理运筹学的课程定位研究[J].高等教育研究，2008，
25（3）：75-76.
数学建模常用优化算法范文4
创新能力培养是研究生教育质量的根本标志，是提高研究生培养质量的核心内容。工科研究生的创新能力主要是指在科学研究和工程技术的实践中，运用知识和理论，不断提供有创新性的思想、理论和方法的能力，其基本要素可归纳为构建知识的能力、发现和解决问题的能力、以及提升转化的能力[1]。研究生创新能力培养贯穿于研究生教育的学习和研究的全过程中，课程学习是研究生创新能力培养的重要环节。数学课程不仅为各学科研究生提升数学基础、培养应用数学思想和方法、解决专业问题的能力，而且对工科研究生解决实际问题的创新能力培养影响明显，具体表现在对工程技术问题的处理上后劲不足、理论深度不够。随着信息技术与大数据技术的高速发展，数学的思想、理论和方法不断发展，数学已成为关键技术的关键，在实际应用中显示出强大的活力，在研究生创新教育中，数学教育具有越来越重要的地位[2]。本文探讨了如何加强研究生公共数学基础课程教学改革，进一步培养研究生创新能力的理念和实践。
一、研究生课程学习阶段的教学现状
相对于本科教育是使学生在相关领域内初步建立起基本知识体系和具有一些基本的能力，研究生教育的目标是培养学生具有较强的研究能力，掌握相关领域内的研究方法和工具。研究生教育肩负着培养人才、取得创造性成果的任务，因此，知识的积累、科学研究能力的培养贯穿于研究生培养的全过程，研究生课程教学的质量直接影响研究生学科知识的宽广度和能力的培养。创新能力的体现要以数学为基础，数学课程对于工科研究生打牢学科基础、培养创新能力具有十分重要的作用。数学课程的设置既要满足学科专业的需要，又要注意数学学科本身的基础性和前沿性。目前各院校研究生的课程学习阶段大都在一年级进行，一般两学期都安排有数学课程，但有的培养单位的数学课程只在第一学期开设，数学教育在时间上投入明显不够，存在着数学公共课程设置较多、课程体系较复杂以及教学模式单一等问题，具体表现为以下几个方面。
1.为了各学科专业后继课程的需要，在研究生公共数学基础课程设置上，多数院校按通识课程、应用数学基础课程、近代数学课程等模块设置，有较强的针对性，但公共课程设置较多，课程体系较复杂，有的课程开设的层次偏低，不利于研究生系统地学习数学知识、掌握好数学思维方法，影响研究生创新能力的培养。
2.课程教学内容较多，理论性较强，学生有畏难情绪，学习积极性不高。部分学生不是为提高专业研究能力拓展数学基础选课，而是选择容易得到学分的课程，知识结构构建不完整，学习中没有感受到数学对创新能力培养的作用。
3.教学资源较紧张，数学课程多数是采取大班授课，多数课堂仍沿用本科教学模式，课程教学模式及功能大多仍只停留于教材知识传授[3]，讲授内容过细，重演绎推导、轻科研和创新中最珍贵的数学理性思维训练，师生之间互动交流明显不足，忽视创新能力的培养。
4.部分课程内容重复度较大，或与本科课程的部分内容有重复，没有很好地整合，教材或讲授内容过细，影响学生思维能力培养。
5.缺乏学习数学的主动性，学习目标不明确，开展研究工作的数学基础薄弱。另外，虽然课程学习时间是一年，但学生两学期选课门数或学分数量差别较大，不太均衡，并且有些专业第二学期没有设置数学课程。
二、数学课程教学与创新能力培养
培养具有创新能力、适应创新型社会发展的人才，是研究生教育的根本工作，贯穿于研究生培养的整个过程。工科研究生培养过程包括课程学习和科学研究两个阶段。后阶段主要以研究成果、学位论文等体现创新能力，在研究生培养过程中，创新性表现为既有丰富的专业基础理论和综合知识素养，又能以学科背景为基础，充分发挥自身的主动性，创造性地开展科学研究。而课程学习阶段是学生打好研究基础，不断提升创新思维和文化素养的一个过程。在这一段，数学教育对创新能力的培养具有不可或缺的作用，数学教育不仅为后继课程提供工具，并为研究打下数学基础，而且能够提高学生素质和思维能力，从而提高工科研究生分析问题和解决问题的能力。
在数学教学中实施创新教育，是数学教学的重要内容和任务。数学以其独特的思维方式反映研究对象的本质属性，具有抽象性、精确性和广泛的应用性等特点，尤其是抽象思维是培养创造力的重要基础。任何一门成熟的科学都需要通过建立数学模型来反映实际问题的变化规律，做出科学预见，建立数学模型的过程就是分析问题、设计模型，从而解决问题的一个创新过程。今天的技术科学如信息、航天、材料、环境等成功地运用了数学，其中信息科学与数学的关系最为密切，如信息安全、网络搜索、图像处理等。因此在工科研究生教育中，开设数学公共基础课程对于提高工科研究生数学素养和创新能力具有重要作用[4，5]。
三、在数学课程教学中探索创新能力培养
工科研究生在学位论文阶段所开展的科学研究，需要较全面的知识结构和扎实的专业知识。研究生教育的培养目标是使学生具有扎实的专业知识和较强的科研创新能力，课程教学是提高研究生教育质量的重要环节。研究生课堂教学与本科生教学要有区别，要结合学生实际和数学课程特点，不断改进教学方法和教学手段，激发学生数学课程学习的积极性，提高课堂教学的效果。结合我校实际，我们在课程体系与教学内容、教学方法、师资队伍建设等方面主要开展了以下工作。
1.优化研究生数学课程体系，整合教学内容。根据各学科专业的培养目标，在研究生培养方案制订过程中加强与培养单位的沟通协调，在数学课程的设置上兼顾研究生来自不同学校的背景，不同的数学基础。对于学术型和专业型两类研究生，数学课程体系对创新能力的影响也有所不同，要兼顾学术型与专业型研究生培养的不同特点。在信息科学技术领域，我校相关学科，如信息与通信工程、计算机科学与技术、控制科学与工程、电子科学与技术和电工理论与新技术等，注重学生学科知识的宽广度和研究基础，设置的研究生公共数学基础课程主要有“随机过程及其应用”、“高等代数与矩阵分析”、“图论及其应用”、“数值计算理论与技术”或“数值分析”、“应用泛函分析”等学位课，多数课程学术型和专业型研究生都可选修，根据各学科专业培养方案要求，工科研究生至少应选修一门课程。我们通过梳理和分类组合所设置的课程，按照教学大纲要求整合课程教学内容，注重不同课程内容之间的联系，根据研究生创新教育对数学素养的要求优化了数学课程结构，强化基础知识的传授和创新能力培养。
2.改进教学方法，突出数学思想方法教学。工科研究生数学课程的教学对象较复杂，作为公共基础课程，一般都是大班教学模式，对于不同专业、不同基础的学生，抓基础知识和能力培养是根本，使他们都能在不同程度上有所收获。数学方法是运用数学思想解决问题的技术和手段，具有可操作性和具体性[6]。数学发展过程中有重大影响的典型例子、数学分支的产生和发展，都蕴含着丰富的数学思想方法。基于创新能力培养的数学课程教学，要把讲授重点放在实际问题背景与数学概念、思想方法的联系上，使学生在课程学习中领悟到数学理论发现和创新的过程。
对于工科研究生数学课程教学，不论是定义、定理、公式等基本理论，还是运算、求解方法技巧等基本计算，可以讲授式和启发式为主，并以问题为驱动，体现研究式的教学过程，改变过去多讲、细讲、讲透的注入式教学方法。结合教师的教学与科研，用切身体会启迪学生思维，再现数学理论的探索过程，以此培养学生的创新能力。下面是我们在课程教学中的一些实践。
高等代数与矩阵分析是多数专业工科研究生的学位课程，矩阵是工程技术中常用的工具。我们在教学中突出矩阵相关理论在不同领域中的应用，如矩阵QR分解在通信领域的应用、矩阵规范型在系统解耦分析中的应用、矩阵微分在最优化理论中的应用等，培养学生解决实际问题的能力。讲授线性空间、线性变换、特征值和特征向量等问题时，通过与信号处理、模式识别中的应用实例结合，将抽象的内容具体化，使学生更好地理解矩阵分析中的相关概念和理论，激发学习数学课程的兴趣。
随着计算机技术的快速发展，图论及其求解思想已渗透到自然科学和社会科学的众多领域。图论及其应用作为研究生的公共基础课程，在很多工科高校中得到了重视，计算机相关专业的学生在本科离散数学、数据结构等课程的学习中，已经学过图论的一些知识，面对不同层次和专业的学生，我们按照的模式开展教学。“求同”是指要摸清学生选修该课程的共同兴趣，对学生的学习应有一个基本的公共要求；“存异”是根据不同专业需求和学生实际，力争在教学中保留同学们对图论这门课程知识需求的不同。实施这样的教学，既要在课堂教学中透彻讲解基本概念，增加课程的科普性和应用性，又要指导学生查阅文献，了解课程知识点在不同学科中的应用。例如讲到最优二叉树时，我们引出通信的编码问题，让学生自己去完善。结合教学实践编写出版的研究生教材《图论及其应用》，注重理论与实践结合，突出算法思想，较为系统地介绍了图论课程中的基本概念和方法。
数值计算理论与技术课程注重对学生由实际问题建立数学模型以及独立设计算法的能力的培养，重视现代数值分析理论基础的教学，体现学科的前沿性。改变过去单一的按照教材传授知识，教学中要结合工程中实际问题背景介绍数值分析的算法思想，及时更新和补充新理论和新方法，重视启发学生思考问题、设计求解算法。改变教学中偏重于数值分析理论推导，忽视算法程序设计和上机实现的教学过程，加强对实践教学的指导和检查，将应用背景问题与数值计算问题相结合教学，通过提高研究生的动手能力，充分利用计算机来突出对算法稳定性、收敛性和计算效率的分析，让学生更好地体会算法的优缺点，全面提高学生的创新能力。另外，课程教学方法的改革还要与课程评价结合，改进考核方式，我们在完成作业的基础上实行平时开放练习和期末考试相结合的成绩考核方式。平时开放练习的内容主要包括两个部分：一部分是课堂学习内容的延拓，需要学生通过查阅一些参考书和文献才能完成；另一部分是结合教学内容和实际问题的题目，需要上机实现。通过这样的评价机制，提升学生的研究能力和实践能力。
3.注重数学应用，培养数学建模能力。创新思维是创新能力的核心，激发学生学习积极性是培养创新思维能力的前提。数学课程教学中要融入数学建模的思想，培养和训练学生的逻辑思维能力，从而提高解决实际问题的能力。由于高校的一些专业在本科阶段已开设数学建模课程，多数培养单位在研究生课程设置中没有开设数学建模相关课程，但是实际上工科研究生中受过数学建模教育的学生并不多，学生运用数学知识解决实际问题的训练不足。数学建模是连接数学理论知识与具体实际问题的一座桥梁，培养数学建模能力是工科研究生创新能力培养中的重要环节。在工科研究生数学课程建设中，我们提出增开数学建模课程，进一步拓展学生的创新能力。数学课程教学不仅要注重对“数学建模”思想方法的培养和渗透，而且要创造条件进行“课赛结合”，将研究生数学建模竞赛与人才培养相统一，通过指导研究生数学建模竞赛促进人才培养质量的提高。近年来，我校研究生参加全国研究生数学建模竞赛，获得一等奖二项，二、三等奖十余项，获得市级研究生创新训练项目十余项，不断提高了创新能力。
4.加强师资队伍建设，推进研究生数学课程教学改革。在工科研究生数学课程建设中，队伍建设、教学资源建设对于促进研究生课程教学改革具有重要作用。课程教学团队建设方面要加强青年教师培养，注意教师梯队建设，选派责任心强、教学能力和学术水平较高的教师承担工科研究生数学课程教学工作。近年来，我们在实行研究生课程试讲制的前提下，通过传帮带等形式培养年轻教师，有5名新进的博士青年教师成为研究生数学课程主讲教师，其中有的已讲授课程3轮以上。他们将宽广的知识面、对问题的多角度分析、以及较强的创新能力融入数学课堂教学中，极大地扩展了工科研究生的学术眼界，对学生创新能力的培养起到了潜移默化的作用，也推动了研究生数学课程的教学改革。
数学建模常用优化算法范文5
关键词:数学建模 数学建模竞赛 大学综合素质
中图分类号: G642文献标识码:A 文章编号:1007-3973(2010)06-157-02
自从1995年我校首次组织学生参加全国大学生数学建模竞赛工作以来,不知不觉我在数学建模教学与竞赛工作已有16年。在校、教务处、理学院的领导下, 通过全体教练在教学上不断探索和共同努力, 取得了优异的成绩, 共获全国一等奖26项,全国二等奖49项,浙江省奖项多项,2006年至今共获美国特等奖1项,一等奖9项,二等奖16项。取得了省参赛高校与全国同类高校中的优异成绩。通过十几年来的教学与竞赛活动, 我感触很多, 现有如下一点认识与体会。
1数学建模教学及意义
数学建模是就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法,即就是通过对实际问题的抽象、简化,确定变量和参数,应用某些“规律”建立起变量、参数间的确定的数学模型,并对数学模型求解,解释、验证所得到的结论,从而确定能否用于实际问题的多次验证、循环并不断深化的过程。它作为联系数学与实际问题的桥梁,是数学在各个领域广泛应用的媒介,是数学理论知识和应用能力共同提高的最佳结合点,在培养学生过程中,数学建模教学起到了启迪学生的创新意识和创新思维、培养综合素质和实践动手能力的作用,是培养创新型人才的一条重要途径。
2数学建模教学内容和方法
数学建模教学的根本宗旨是学生能力的培养和综合素质的提高, 而能力和素质的培养应以知识及教学活动为载体, 同时须辅之以相应的教学内容和方法。由于数学建模课程教学不同与其它数学类课程,其主要特点:(1)数学建模的主要“载体”是一个个的具体问题, 这些具体问题大多是各领域的实际问题或是它们的抽象和简化。(2)数学建模的问题涉及各个领域, 且均有一定的深度和广度, 并非单靠数学知识和某些专业知识就能完成, 但如果不具备数学知识和相关的专业知识是根本无法建立数学模型的; 而且即使已建立起的模型, 单靠某一学科的知识往往不可能得到满意的模型解。总而言之, 数学建模常常需要跨学科跨专业的多学科多专业知识的综合施用。因此,我们必须处理好书本知识与实际问题的关系,数学知识与其它相关知识的关系。
我校自1995年开设数学建模课程以来,根据实际需要,课程设置不断得到改革,目前课程组面向全校开设了多种不同课时不同程度要求的数学建模系列课程,包括数学实验以及课程设计等实践性环节。课程设置满足了不同专业学生的多样化需求和大量学生学习数学建模的大众化需求。根据我校特点,我们将数学建模课程的目标定位为“学习数学建模的常用基础知识和基本方法,培养学生综合素质、团队精神和实践能力,努力提高学生研究性学习和创新性应用能力”。 根据这样一个目标定位,在教学安排上注意基础知识的宽泛性,建模训练的应用性,教学方法的研究性。课程教学内容分为四大模块。(1)常用的数学方法讲解,如运筹学中的规划论、图论、组合优化、排队论等,概率统计与马尔可夫过程、层次分析,常微分方程,还有计算方法等等。当然我们不可能把这些内容面面俱到地细讲,只是择其要义,把最基本最有用的一些思想与方法展示给学生,让学生知道一些基本思想,同时知道何处可以找到何种方法用于解决何种问题。余下的问题则由学生自己去解决。本模块教学时数在各个不同层次分别为20到40学时;(2)建模分析,这一块除了历年竞赛模型外,还从教师自身的科研课题以及大量的科技杂志上精选加工了为数不少的建模案例,让学生初步明白用数学方法解决实际问题的一些基本方法。这里有的是老师讲解分析,有的则是让学生先读后讲,即让学生先去尝试着对所给问题建模并给以解决,然后向大家介绍他所用的方法,并让大家讨论,最后老师作简要总结或补充。这种教学方式是完全区别于传统的教学方式的,也是数学建模课程最具特色的内容之一(时)。(3)数学软件的使用以及计算机编程能力的培养,这一模块可以穿插在前两块的过程之中,也可以数学实验课的形式得以体现。若以实验课形式出现,则根据各个层次的不同,学时为17学时(课程配套的课内实验)到33学时(独立开设的数学实验选修课)。以上三块内容互相补充,互为依托,彼此间也没有一个明确界限,每一块内容,也没有明确的范围限制,尤其是第二大块,我们几年下来,可以说每年的教学内容都有较大的更新。而数学建模也正因为此而使得它对于师生两方面都是极具挑战性。(4)在前面三块的基础上,再配以实践性教学环节的设计,该环节中学生分成3人一组,要求学生根据教师提出的实际问题进行充分讨论,广泛查阅有关资料,提出各自的观点及模型雏形,写出对应的论文梗概,然后在班上进行讨论。
通过学习要让学生学会数学建模的思想,即在理解问题的基础上,将具体问题总结归纳提炼为一个数学问题,并设计出一整套求解方法来加以求解。难点是能够使用的数学方法涉及面太多太广,作为一个本科学生,尤其是我校这样地方性普通学校的学生难以在短期内接受。针对这个难题,我们采用基础知识和案例教学相结合,理论教学和上机实践相结合,教师讲课和学生自主练习相结合,教师引导和学生收集资料,探索讨论相结合,学生报告加教师点评相结合的方法,较好地解决了这个难题。十余年的教学实践证明,经过我们以这样一个模式培养的学生已经初步具备了从实际问题,到数学方法,到计算机编程实现并最终解决问题的基本能力,这一点不仅从我们的学生在历年的竞赛中均取得良好的成绩中可以得到验证,而且从毕业设计,指导“新苗人才计划”、“创新杯”等科研活动,学生就业,及研究生学习中充分体现。
3数学建模教学与竞赛关系
从我校数学建模活动实践说明,数学建模竞赛推进了数学建模教学课程化,数学建模课程教学为竞赛活动开展打下了基础,同时开设数学建模课程的目的也转向了竞赛与普及相结合,以提高大学生的综合素质和实践能力作为一个重要目标。我校最初开设选修课是因为参加数学建模竞赛的需要,选修的学生数较少,而且必须是往年成绩较优的学生才允许选修。经过几年探索,我们通过以竞赛为平台, 加强引导与指导, 充分激发学生的学习兴趣和热情。而且通过数学建模竞赛,促进了我校教学内容、教学方法、教学手段的创新,参加过训练和竞赛的学生们普遍感到,以往学多门课程的知识不如参加一次竞赛集训学得全面和扎实。因为数学建模竞赛需要全面掌握本领域相关知识, 在深入理解、领会前人智能精髓的基础上, 敢于提出自己的想法和观点。只有善于进行创造性地学习和运用知识, 善于对已知知识进行融会贯通, 注意知识积累的同时更注重对知识的处理和运用, 才能取得成功。随着数学建模竞赛在我校影响的增加,同时参加竞赛过的学生能力的提高,要求选修数学建模课程的学生逐年增加,使得开设数学建模必修课有了一定的群众基础,同时开设数学建模课程的目的也转向了竞赛与普及相结合,以提高大学生的综合素质和实践能力作为一个重要目标。目前,已在自动化、信息管理、统计、电子信息科学与技术、计算机、软件、通信等专业的学生开设不同层次的数学建模必修课与限选课,同时仍然在全校开设不同层次的数学建模选修课。对于不同层次,理论教学学时分别为34、50、66学时,并辅以上机实践训练,每年从当初几十名学生到目前每年近2000名学生修读此课。参加校数学建模竞赛学生近600人。数学建模教学已经形成了多个品种、多种层次、多种方式的教学格局。
4数学建模教学团队重要性
课程教学实施与建设离不开教学团队建设,这一点数学建模教学团队建设更显得重要。因为一切科学研究都需要建模,而建模会用到多方面的知识与技能,例如,通过数据处理分析,找出统计规律的能力、运用数学知识建立数学模型的能力、运用最优化方法与技术改进模型并设计出算法的能力等等。这些能力的培养单靠一门课程的努力是不够的。因此数学建模教学与竞赛离不开集体的力量,教学内容涉及面广、方法多、工作量大,必须组建一支知识面宽、业务素质高、解决实际问题能力强、热爱学生、具有团结协作和乐于奉献精神的新型教师队伍。我校课程小组利用这些年新进教师比较多的实际情况,每年动员吸收适量新教师加入到数学建模教师队伍。通过以老带新,请专家来我校讲学或让有一定潜力的教师外出观摩或参加相关交流活动等形式逐步提高青年教师的数学建模教学水平。通过努力,已经建设成功一支规模适当、水平较高、结构合理、相对稳定的数学建模师资队伍,教师队伍从最初的5名教师扩展为现在的15位教师。课程教师队伍在年龄结构、学历结构、知识结构各个方面得到了很大的改善。原先5位教师中仅有2名副教授和3名讲师,现有教师中有5位教授,7位副教授,博士学位获得者有8名,超过50%。课程组教师的教学科研水平较高。这为我校数学建模活动很好开展作了保障。
5数学建模教学促进了数学课程教学的改革
数学建模教学促进了我校数学课程教学的改革工作,这种促进既有内容上的也有教学方法上的。比如早在上世纪末,我们与电子分院部分教师一道组织讨论,在高等数学、线性代数以及概率统计教学中,找一些结合学生专业方向工程背景的实际问题,融入到课堂教学中,加强应用所学方法解决实际问题的例子,一方面可以使学生学到数学在本专业用处与数学建模知识,另一方面也可以使学生加深对数学思想本质的理解。这与以后将数学建模思想融入到本科公共课程数学中思想是一致的。另外,在第二学期,开设高等数学实验试验。并且在数学建模教学方法上探索得到经验,有目的应用到其他数学教学方法上,在教学中注意强调讨论式教学以及学生的自主学习尝试。激发学生的多种思维,增强其学习主动性,培养学生独立思考,积极思维的特性,这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识,形成自己的学习机制,逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。
6数学建模教学活动对学生能力培养影响
通过数学建模教学、组织大学生数学建模竞赛,学生在数学应用能力、分析处理问题综合素质方面得到极大的提高,表现出很好的继续培养潜力。培养锻炼提高了教师的教学、科研能力;活跃了本科生的科技活动和学习氛围。正像我校参加过数学建模活动学生代表王教团感言那样,数学建模,它魅力无穷,能够很好地锻炼和考查一个人的综合素质,是培养创新能力的一个极好载体。它能充分体现参与者的洞察力、创造力、数学语言翻译能力、文字表达能力、综合应用分析能力、想象力、使用当代科技最新成果的能力等等;它能塑造参与者同舟共济的团队精神、自律精神和协调组织能力,提高自主学习的能力和主动寻求问题、思考问题、解决问题的能力。 正是这些能力的培养和锻炼,使我在后续的一些学习和研究工作中能够游刃有余。在大三大四阶段,我和团队的其余4位成员承担完成了07年省新苗人才计划项目,并最终顺利通过验收,撰写了一份调查报告以及发表了2篇学术论文。这让我第一次接触到了真实的研究型项目,通过这个项目,使我迅速成长起来。但是归根结底,没有数学建模期间积累的经验,我们是没法独立承担一个项目的。 在目前研究生阶段中,我同样非常得益于数学建模期间培养的能力。能让我在研究的过程中快速获取信息、接受新知识,充分发挥团队合作精神等等。我为我选择数学建模感到无比的荣幸,没有它,或许我还在布满荆棘的道路上摸索着。数学建模是一盏永不泯灭的明灯,指引着我找寻正确的方向,并为之不懈奋斗下去。 “一份耕耘,一份收获”、“天行健,君子以自强不息”成为我也是所有数模人共同的心得写照。
最后,数学建模教学活动开展除提高大学生的综合素质和实践能力以及推进大学数学课程内容与方法改革外,我感触最深的是开展数学建模教学与竞赛活动,推广了数学认知。这点好,而且非常重要。通过数学建模教学及校竞赛,让我校学生有机会知道将所学的数学知识运用到解决实际问题中,同时通过全国竞赛,扩展了影响,消除用人单位一些认识上的误区,让大家更加深刻地体会到数学的魅力,亲近数学。
参考文献:
[1]李大潜. 中国大学生数学建模竞赛[M]. 北京:高等教育出版社,2008.
[2]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社,2003.
数学建模常用优化算法范文6
的线特征匹配方法，进一步介绍了多源数据的融合方法。最后总结了当前发展特点及面临的挑战。
关键词 三维建模；摄影测量；城市
中图分类号 TU-0 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2014）112-0068-03
0引言
当前智慧城市建设正在成为地理空间信息产业的一个热点，智慧城市作为数字城市概念的进一步拓展，同样地需要将建筑物的三维建模技术作为重要组成部分。随着数据获取手段的更新以及数据量的急速增长，建筑物建模方法逐步从手工向人机交互甚至全自动化、从单个建筑建模到大规模场景批量建模发展。事实上，在摄影测量领域关于建筑物自动/半自动三维建模的研究已有二十余年历史。
然而，复杂建筑物的数字模型生成仍然是个颇具挑战性的问题。以影像为例，在实际生产中最为成熟的是人工编辑方法，例如使用Sketchup、Auto CAD等软件在影像基础上进行几何模型编辑以及纹理贴图，建立单个建筑物的三维模型。人工编辑虽然能保证重建模型的准确性和细节度，但是效率非常低下，无法适用于大规模场景建模的任务。而实现基于影像的全自动建模，需要在影像解译领域取得较大突破，而囿于当前的研究进展，许多学者提出了基于人机交互的半自动建模方法，而且也已经出现若干成熟的商业软件系统。例如瑞士联邦苏黎世理工大学推出的CyberCity-Modeler系统，利用航空遥感影像对多类地物进行三维点云生成、分割和多面片拟合，操作员只需对点云生成和分类步骤进行干预，因而效率较高，每天能完成500到1000个目标的工作量，该系统已经成功地应用于欧美多个城市的三维建模任务。另一类系统以德国Inpho公司推出的inJECT为代表，系统整合了一个包含多种常见建筑物线框模型的数据库，操作员只需根据图像的内容选择特定建筑物模型，系统能自动进行参数解算，使生成模型能够与输入影像保持相容性。同时该系统支持用户拓展数据库中的模型，以及由简单模型组合复杂模型，使其能更好适应复杂城市场景。全自动建模方法现在仍处于研究阶段，从计算机视觉的角度来看，三维建模可以转化为一个大型优化问题，需要在场景的局部以及全局约束中寻求平衡，由此引出“自上而下”（先验模型驱动）和“自下而上”（数据驱动）两类方法。由于这一问题的病态性，当前许多自动化方法都在多源数据融合中寻求解决方案。
航空影像作为传统摄影测量的数据源，在获取、储存和分发方面较于其他数据源有优势；近几十年随着高空间分辨率卫星遥感、近景摄影、地面移动测量、大倾角摄影等技术的进步，使得基于影像三维建模能够获取更多建筑物细节以及适用于大范围场景重建。值得注意的是，近年来有学者也在进行利用网络用户上传影像进行建筑物三维建模的研究。同时，LiDAR技术的出现也极大推动了建筑物自动建模的研究。通过记录后向散射激光束的时刻，借助机上的GPS/INS系统，该技术能直接测量地物点的空间三维坐标，从而回避了影像特征提取的步骤。LiDAR数据对建筑物的面特征描述效果较好，然而对于建筑物别重要的线特征效果欠佳，且依赖于扫描激光点云的密度，因此经常与包括影像数据在内的其他数据结合使用。此外InSAR数据也具有建筑物三维建模的潜力，但是当前研究尚在起步阶段。
本文将针对建筑物自动/半自动三维建模这一问题，从技术方案的角度介绍当前进展。
1三维参数模型
屋顶形状建模在城市三维重建中是关键步骤，在我国《城市三维建模技术规范》的LOD2模型和开放地理信息系统协会(OGC)CityGML2.0标准的LOD2模型中，屋顶形状都成为该层次主要描述的结构。一般通过航空影像或者机载LiDAR数据完成屋顶建模，大多数时候影像数据也是以生产的密集匹配点云作为三维建模的输入数据，因此本节将讨论广泛用于点云数据的参数化建模方法。
大多数建筑物顶层形状可以归类为平顶、单坡屋顶、四坡屋顶、尖峰屋顶、人字形屋顶、折线型屋顶、斜折线型屋顶等若干基本几何形状（如图 1），并区分成三个较大类别。如果忽略屋顶细部结构（如烟囱、采光窗），即使只能获取低密度点云，这类简单形状也能很好地拟合屋顶。
图 1屋顶基本几何形状
对于复杂建筑物屋顶，简单形状无法对其进行描述，一般需要将复杂形状分解为若干核不重叠的元胞，使得每个元胞能用简单形状基元进行拟合，最后在把各个元胞的建模结果组合成复杂建筑物模型。一般将包含建筑物的一个区块沿着建筑物特征线方向进行分解，并把划分的元胞与建筑物脚点叠合，认为元胞内的点云能用上述基本几何形状拟合。有学者提出了基于稳健估计RANSAC的预处理方法为模型拟合提供初值，另外有学者为了克服模型过分解问题，引入外部DEM数据重新合并过分解元胞。
2非参数模型
参数模型得到的是对点云整体最优拟合的模型，所以在建筑物特征线（如人字形房屋的脊线）上的拟合精度并不一定高。非参数方法很好地克服了这一缺陷，其无需先验假定潜在的几何模型。这一方法的一般流程为：首先分割点云并对拟合局部面片，然后建立面片间的邻域（拓扑）关系，根据邻域关系检测屋顶的特征线，最后进行三维模型表达。
点云分割方法可以分成四类：聚类，区域增长，模型拟合和能量函数优化。聚类方法利用点云数据的属性特征（如法线方向）进行聚类，一般可以采用K均值、均值漂移等成熟聚类算法，该方法缺点是对数据噪声较敏感。区域增长根据初始种子点增长面片，这种方法比较简单，其结果好坏取决于初始种子点的选取以及增长准则。模型拟合方法与参数拟合方法类似，然而拟合的对象一般为局部平面，RANSAC和Hough变换是这一类方法的有效工具，对于场景内的主要平面分割效果较好。能量函数优化方法灵活性较强，能根据事先给定的约束给出全局最优的分割结果，但是计算量较大。
分割后的点云面片需要建立相互的拓扑关系，通常可以用区域邻接图来表示（如图 2），各面片区域构成图中的结点，对于有公共交线的面片则建立相应的边表示它们的邻接关系。通过这种数据结构可以有效地检测数据中的交线、阶跃边甚至是屋顶的细小单元。一般采用阈值方法来判断邻接与否，例如面片边缘之间的最短距离。因此，交线便可以通过邻接面片相交求出。而借助外部DEM数据，可以用高差判断建筑物边缘点，当边缘点全部检测出来，使用二维的Hough变换就可以把建筑物屋檐线提取出来。
图2屋顶面片的拓扑邻域图
这一类方法最终得到了建筑物的多面片模型或者线框模型，不过也有学者提出对结果进行进一步的参数模型拟合。根据模型库里的基本屋顶基元建立相应拓扑图，然后使用非参数方法得到建筑物的拓扑图，并利用基元拓扑图对其进行子图分解，从而达到模型拟合的目的，有效回避了元胞划分的问题。
3基于线特征的方案
与基于点云的方法不同，此类方法利用影像中直接提取出来的直线特征进行三维建模。一般流程为：直线特征提取、直线特征匹配、三维直线特征生成、三维直线特征共面编组以及平面聚合和冲突处理。
图像处理领域提供了很多成熟的直线特征提取算法，例如分裂合并算法、RANSAC算法、相位编组算法、Hough变换算法，等等。直线提取中存在不确定性问题，因为影像噪声和地物遮挡等各方面因素的影响，使得提取的直线特征在完整性和准确性方面存在问题。完整性问题主要由于遮挡造成，此时提取的直线在不同视角中的属性不同，难以建立对应关系；准确性由影像质量决定，噪声较多的影像提取的直线特征无法准确地建立与实际空间三维直线的对应关系。当前解决这些问题的主要方法有左右匹配检查和不确定性统计建模。
直线立体匹配与点特征立体匹配相似，是从不同视角影像中寻找同名的直线特征，用于计算深度信息。由于线特征的不确定性较强，需要引入其他的约束条件衡量直线间的对应性，常用的约束包括：核线约束、视差连续性、有序性和拓扑性质。层次化的匹配策略也能有效改善匹配结果，通过由多条直线构造更加复杂的结构特征，利用高层直线结构的匹配和底层单条直线的匹配之间的相互支撑和约束，弱化匹配过程中的二义性。由于引入了多种约束条件，直线特征匹配通常应用多种数学优化算法，包括图优化、模拟退火法、松弛标记法、动态规划方法等，能够获得当前约束下的全局最优匹配结果。
特征共面编组对由匹配结果和成像模型计算的空间直线做后处理，以实现以下目的：合并冗余直线特征，剔除错误特征，恢复建筑物模型表面。而平面聚合和冲突处理作为高层次的后处理步骤，需要引入一些先验知识，通过几何推理进一步消除重建结果的不相容性。
4多源信息融合
利用多源数据进行三维建模已经成为摄影测量界的研究热点，这是因为单一数据源往往不能提供建筑物的完整信息。卫星影像虽然能提供大范围覆盖，但受基高比限制高程精度较差；航空影像作为三维建模的主要数据源，在地物遮挡处需要其他信息作为补充；机载LiDAR数据能提供高精度的三维信息，然而无法描述线性特征且细部表现能力受脚点密度制约，一般不作为单独的重建数据源。其他数据源如近景摄影测量、GIS数据等能够提供关于建筑物某一部分的信息。多源数据融合正是为了弥补单一数据造成的信息缺失，而实现信息互补。
影像和LiDAR数据的融合。利用前者对目标细节和边缘的表现能力，以及后者对目标表面的精确测量能力，为立体匹配提供了较强的先验知识和约束条件，进而提高自动化水平。这两类信息具有很强的互补性，因此是研究领域的热门，且有很强的实用性。
辅助GIS数据的应用。三维重建当中的GIS数据一般是指建筑物的地面规划图，能够提供建筑物的二维投影信息。前文提到参数模型拟合方法用于复杂建筑物时需要进行建筑物模型分解，而规划图数据恰能提供这一辅助信息。
多种影像信息的综合应用。最具代表性的是航空航天影像与近景影像的综合，前者可以获得建筑物的屋顶形状，然而遮挡和基高比的制约使其无法建立建筑物立面的细节，地面近景影像刚好能够提供这一信息，综合两者能建立建筑物完整的细节模型，满足《城市三维建模技术规范》的LOD3模型要求。两者间融合的关键问题在于异质相机内外方位元素的联合解算。另外也有学者引入数字正射影像，为立体匹配提供更精确的边缘信息。
5结论
以上从技术方案的角度对当前城市建筑物三维重建研究的状况进行了回顾，从这些案例中科院总结出当前发展的主要特点：数据源越来越丰富，多源数据综合利用水平越来越高，大大丰富了重建模型的细节度，提高了精确度和自动化水平；建筑物三维模型趋向于精细化，这是经济发展水平所推动的，也是传感器技术进步和多源数据融合的必然结果；商业软件的自动化水平越来越高，基于少量人机交互的半自动建模方法趋向成熟，自动化方法的研究突飞猛进。而这些发展也为研究者们带来了挑战：数据量增长以及对精细模型的需求，对建模方法的高效性提出了要求，也为三维建筑物模型数据库的管理和维护带来挑战；结合实际的应用需求，行业标准对建模方法的层次细节度提出了要求，使得建模过程需要同时考虑不同尺度下的模型表达；知识和语义信息亟待融入建模过程，正如前文所述，知识规则能有效提高三维模型的准确性和相容性，当前已有学者投入这方面的研究，然而离实用化尚有距离。
参考文献
[1]张祖勋，张剑清.城市建模的途径与关键技术[J].世界科技研究与发展，2003，25(3):23-29.
[2]许捍卫，范小虎，任家勇，张志强.基于SketchUp和ArcGIS的城市三维可视化研究[J].测绘通报， 2010，3.
[3]朱俊杰，郭华东，范湘涛等.高分辨率SAR与光学图像融合的建筑物三维重建研究[J].高技术通讯，2005，15(12):68-74.
