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数学建模实例分析范文1
1.引言
数学分析是高等院校数学专业最重要基础课程之一，内容主要包括极限论、一元函数和多元函数的微积分学以及级数理论等。它所提供的理论知识、数学思想方法、逻辑思维能力不仅是学生学习其他后继专业课程的必备理论基础和工具，也是提高学生数学业务素质和数学能力的重要基石，更是引导学生应用所学知识解决实际问题和培养创造能力的重要途径。另外数学分析课程课时较多，而且是数学专业学生考研的必考科目，所以一直以来备受广大师生们的高度重视。
数学建模问题源于现实生活，建模过程是联系实际问题和数学之间的桥梁，要用数学方法解决一个实际问题就要设法在两者之间构设一个桥梁，在这个过程中就必须从习惯的解一套典型题的思维模式中跳出来，去重新组合所学知识建立一种新的知识和新的解题程序，这不但能体现数学知识的应用价值，同时能培养学生分析问题和解决问题的想象力和创造力，对独立学院培养应用型人才有着非常积极的作用。
就目前国内独立学院自身情况而言，由于办学时间较短，数学分析课程建设缺少足够的实践经验，加上生源等因素，使得这门课程的教学现状不容乐观，针对此现状，引发了我们对独立学院数学分析课程教学中融入数学建模思想的探讨。
2.数学建模思想融入独立学院数学分析课程的价值
首先，数学建模是高等院校数学与应用数学专业的重要实践课程，是培养学生应用所学知识解决实际问题，实现学以致用的重要手段，所以将数学建模思想推广和融入到传统的理论课，例如数学分析课程教学中有着重要的现实意义。在数学分析课程的教学过程中，针对对于学生来说抽象难懂的概念和定理结合适当的数学模型来讲解，这样既有利于学生对概念和理论知识的掌握和数学实践能力的提高，同时也能使学生感受到数学分析课程除了考研和后继课程的基础外，在现实生活中的贡献。
其次，整体而言，独立学院的学生数学基础较差，一开始学习接触极限语言，而极限语言在中学中有没有讲得很透彻。因此很多同学望而生畏，产生厌学情绪，更不利于日后的学习。
再者，从发展的观点看，数学的新知识在不断的产生，数学的应用与技巧千变万化，要想在有限学时的教学中讲透每一个问题是不可能的.因此，在教学中突出数学建模思想尤为重要，培养一种“建模”的数学思维往往要比教会学生做大量的“难题”有用得多.
总之，将数学建模融于数学分析教学，仅能够帮助学生理解抽象的数学知识，降低教学难度;又能使学生了解数学的应用价值，提高起学习兴趣。
3.将数学建模思想融入数学分析教学的措施
图1
通过图1给可以了解数学建模的过程，广义上讲，数学中的一切概念、定理、法则、公式、性质等都可以称之为数学模型，因为它们都是对现实的抽象。数学分析的教学主要分为概念教学、命题（定理、法则、公式、性质）叫教学、例习题教学，前文指出，这些内容也都是数学模型，因此下文便结合这些内容谈谈如何将数学建模思想融于数学分析教学。另外作业与考试也是教学的重要组成部分，能够反映学生对所学内容的理解，因此本文还要探讨如何在作业与考试中如何渗透与考察建模思想。
3.1 在概念引入中融入数学建模思想
数学分析中很多概念，如导数、定积分等都是从客观实际问题中抽象出来的。从数学史的角度而言，17世纪牛顿、莱布尼兹分别通过对物理、几何问题的研究而创立微积分的，（比如导数是研究瞬时速度，切线斜率而产生的;定积分的来源是变力做功和曲边梯形）只是之后的二百年间，才有柯西、魏尔斯特拉斯等人将微积分严格化。比如数学分析教科书呈现出的极限的概念就是维尔斯特拉斯给出的定义了，从数学的逻辑严密性角度来讲，教科书这样的安排是合理的，但是将微积分的来源简化了，学生将很难理解这些概念与实际问题的关系，更谈不上数学建模了。
因此教师在教学中，要再现这一过程。让学生体会到如何从实际问题中抽象出相应的概念。而且李大潜院士曾经指出，数学是玩概念的[1]。概念掌握透彻之后学生才能更好的去解决实际问题，这也体现了由具体到抽象，再由抽象到具体。这也是研究数学的重要方法。
一般来说，现在的大学生在中学学习了导数、定积分的概念，并且高中课程标注也是要求从世界问题引入这些概念，因此学生对这些概念还是较易理解的。但是多元微积分学中的概念，如重积分、曲线积分、曲面积分的概念，如果教师在教学中注重解释其来源的话，那么学生在以后做相关题目时，往往无从入手。因此在教学中，教师要突出这些概念的现实来源与背景。另外多元微积分的概念往往作图复杂，传统的黑板加粉笔的方式既花费大量时间，也不一定收到良好的教学效果。如果教师能够借助现代信息技术，如matlab，mathematica，超级画板等，则能收到良好的效果。
3.2 在定理证明中融入数学建模思想
概念多是数学分析难教难学的一个原因，另一个原因则是定理多。查看中学数学教科书，可以发现中学里没有太多的数学定理。因此大学生刚学习数学分析时对于定理教学不太适应，尤其是很多显而易见的定理都要证明，学生在心理上往往不能接受这一点。其实同概念的来源一样，这些定理很多也都是有现实背景的，因此可以将这些定理看做解决某些具体问题的模型。
在定理教学中，教师应当找些背景素材，不要按照教科书那样，一开始就给出定理，然后便是证明。先借助数学软件，借助几何直观，让学生通过观察，归纳、抽象最后提出猜想。虽然由学生提出的猜想可能是用自然语言描述的，和书中由数学语言刻画的定理还有一定差距。这时教师则应对能提出猜想的学生给予鼓励，然后再进一步引导，让学生进一步精致自己的猜想，最后再由教师概括为定理。之后才是证明。这样学生才不会陷于抽象的理论证明中，这样的教学方式一是使学生对数学产生恐惧感，另外则是不明就里，不知道学这些定理有什么用处。使学生不当学到知识，还体会到自己发现数学、创造数学的过程，进而也培养了学生的创新能力，这才是数学教育的最终目的。
3.3 在习题课教学中融入数学建模思想
习题教学是数学分析教学中的一个重要环节，但是传统的教学往往以教科书中的习题以计算和证明为主，较少有实际生活背景的题目，更谈不上数学建模了。因此教师要亲自查阅更多的参考书，选择出一些具有实际背景的建模题目。通过习题课的讲解，让学生再次经历数学建模，用数学解决实际问题的过程。加强对数学建模思想的渗透。
例如在讲完函数的最大值与最小值之后，可以安排轮船航行的速度与燃料费关系;在将最小二乘法、条件极值、傅里叶级数时均可找些相关背景的题目让学生感受数学的应用价值。
3.4 在作业布置中融入数学建模思想
做作业的过程就是学生进一步巩固所学知识的过程，教师布置作业可以不拘泥与教材，可以留一些建模题目让学生去做，也可以让学生自己找素材，编制题目来做。进一步提高学生对数学建模的认识。
另外有学生独立找素材编制题目难度较大，这时教师可以根据实际情况将学生进行分组，既能减轻学生的负担，又能提高学生学习的动机（心理学研究表明，当任务难度过大时，学生学习的动机将会下降）。同时小组合作也能提高学生的合作意识。这样既能使学生掌握知识方法，也能进行德育教育。
3.5 在考试命题中考察数学建模能力
传统的数学分析考试题型为选择、填空、计算、证明等。这些传统的命题方式基本只是对教科书中已有知识结论的考察，学生只要将教科书中的题目做熟，即可应对考试，甚至取得高分，这样的考试往往容易产生高分低能的现象，不能真正考察出学生的数学能力。因此在命题中可以适当做些改革，选择一些开放型的题目，既能考察学生的建模能力，也能较好的选拔人才。
4.结束语
传统的教学强调知识的掌握，而随着时代的发展，在强调掌握知识的同时还要注重应用能力的培养，通过本文的阐述，可以总结出
4.1调动学生的积极性，改变教师角色
由于独立学院多采用母体校所使用的数学分析教材，其内容对于学生来讲，偏难偏多。如果教师不改变教学方式的话，必然导致课时少，教学任务重，这样学生只能被动的听，较少有机会去思考问题，更不要说主动进行数学活动了。而在教学中根据独立学院的特点，精选教学内容，渗透数学建模的思想，学生既可以体会到数学的应用价值，又能参与到数学活动中来，能够调动学生的积极性。而教师也有单一的知识的传授者变成了学生学习的引导者。
4.2以知识更新为中心改变教法
虽然数学分析诞生与严格化已有200年左右的历史，书中的知识显得有些陈旧。但是实际问题总是在不断更新中。如果教师在教学中能够选择与生活紧密相关的实际问题，用所学理论解决问题，会使学生体会到新鲜感，提高学习兴趣。
4.3教学手段现代化、多样化
借助信息技术将建模思想融于数学分析教学，也改变了传统单一的教学模式。教学手段的现代化与多样化。心理学研究表明，人的学习83%通过视觉，11%通过听觉，人一般能记住自己阅读的10%，自己看到的和听到的50%，交谈时自己所说的70%，这些表明，如果学习过程中能够运用多种感官，能够增强学习效果。
4.4加强过程管理、考核多样化
课堂教学以教师讲解为主的模式，很难对学生的思维状态作出及时的评价。传统的考试题目由于答案具有唯一性，也很难区分出学生的差异。这样难以体现出过程评价，还是以终结性评价为主，而在教学中渗透数学建模思想，可以让学生主动参与到数学活动中来，也使教师能够及时了解学生的学习过程，便于过程性评价。平时作业中也设计角建模的题目，也体现了考核过程的多样化。（作者单位：天津师范大学津沽学院理学系）
基金项目：独立学院数学教学中融入数学建模思想的探索与研究
项目编号：JKⅧ1407540
数学建模实例分析范文2
[关键词] 三段式片段弓； 压低辅弓； 前牙压低； 三维非线性有限元分析
[中图分类号] R 318.01 [文献标志码] A [doi] 10.7518/hxkq.2013.01.019 片段弓技术于1977年由Burstone学者首先提出，并逐步发展为当今口腔正畸领域中一个独立的矫治体系。其遵循生物力学的观点，构建了一个相对简单的力偶系统，使其可以达到理想的牙齿移动[1]。以
前牙压低为目的的三段式片段弓由后牙支抗单位、前牙压低段以及压低辅弓三部分组成。以往临床研究表明：使用该技术打开咬合能有效的压低前牙，同时防止磨牙的伸长[2]。但是，利用三维有限元分析法
对片段弓技术进行生物力学的研究国内外还鲜有报道。本研究采用CT薄层扫描技术，结合Mimics 10.0、CATIA V5、Anasys 11.0等专业软件建立了包含三段式片段弓、直丝弓托槽的下颌牙列三维有限元模型，并将弓丝与托槽、牙齿与牙齿之间设定为接触关系，运用非线性计算方法初步分析了压低辅弓的力学特性及片段弓技术打开咬合的生物力学特点。
1 材料和方法
1.1 建模素材
参照文献[3]选择一副磨耗少、无缺损的成年男性下颌12颗牙齿。MBT直丝弓托槽和双管颊面管
（杭州新亚公司），Ni-Ti圆丝、方丝（北京有研亿金公
司），不锈钢方丝（3M公司，美国），TYPODONT（日进公司，日本）。
1.2 方法
1.2.1 排列整齐的下颌牙列模型的获取 将实验选择的12颗下颌牙齿按正常顺序排列在TYPODONT的下颌蜡堤上，依照MBT直丝弓治疗标准对下颌牙列粘接托槽和颊面管，然后按一定的弓丝更换顺序依次对牙齿进行结扎加力，弓丝更换顺序依次为0.356、0.406、0.457 mm Ni-Ti圆丝，0.457 mm×0.635 mm Ni-Ti方丝，0.483 mm×0.635 mm不锈钢方丝，每次更换弓丝后都将TYPODONT在55 ℃恒温水浴箱中加热以实现牙齿移动排齐。弓形均按照中国人的直丝弓弓形进行弯制[4]。待下颌牙列排齐后，去除托槽和颊面
管，抛光牙面备用。
1.2.2 下颌牙列三维实体模型的建立 使用西门子多层螺旋CT机对已排齐的下颌牙列TYPODONT模型进行扫描，获得的扫描图像以DICOM格式文件保存。使用Mimics 10.0软件读取CT扫描获得的DICOM数据，根据图像数据中灰度值的差异提取出实验所需的下颌牙列的点云数据，以ASCⅡ格式保存。用CATIA V5中DSE（Digital Shape Editor）模块提取点云数据，并对其进行过滤、降噪等优化处理，再通过Mesh Creation功能对点云进行铺面处理，最后运用CATIA V5的自由造型（Freestyle）模块对表面进行优化重构，生成实体，以CATProduct格式文件保存。
1.2.3 包含直丝弓矫治器的下颌牙列、牙周组织的三维有限元模型的建立 将下牙列三维实体模型导入Anasys 11.0软件中，依照牙根外形构造牙周组织（包括牙周膜和硬骨板）；依照下牙列外形及下颌骨相关结构数据[5-6]构建下颌骨模型（包括皮质骨及松
质骨）。利用Anasys 11.0中的CAD建模工具，参照中国人标准弓形方程[4]及直丝弓托槽数据建立一个截面
为5 mm×5 mm的三维实体弓形，在其唇面中央去除一块截面为0.559 mm×0.711 mm的实体弓形，即模拟了一根带有0.559 mm×0.711 mm槽沟的方丝弓弓形实体。将其置于下颌牙列唇面并使槽沟中心平面位于中切牙与第一磨牙牙冠中心所构成的平面上，参照直丝弓托槽数据及牙长轴方向去除多余的实体弓形部分，再在托槽的唇颊面加一层盖板，以模拟弓丝的结扎。对此模型进行有效的网格划分，即形成了包含直丝弓矫治器的下颌牙列、牙周组织的三维有限元模型。
1.2.4 包含三段式片段弓矫治技术的下颌牙列三维有限元模型的建立 根据下颌牙列的TYPEDONT模型弯制压低辅弓，选用0.432 mm×0.635 mm不锈钢丝弯制，片段弓水平前臂长32 mm、后臂长6 mm、龈向台阶高5 mm、小圈直径2 mm，压低辅弓前端制作成钩，钩挂于下前牙与尖牙托槽间的弓丝上，压低辅弓后端插入下颌第一磨牙辅弓管中，辅弓管长5 mm、内径为0.635 mm×0.711 mm。根据以上数据，用Anasys 11.0软件中的APDL语言建立了参数化的压低辅弓三维有限元模型。其中，压低辅弓水平前臂与后臂的夹角为θ（图1），其能根据需要设置不同的角度，便于研究其力学特性。
在中国人标准弓形方程[4]的基础上生成截面尺寸为0.43 mm×0.64 mm的方形主弓丝，将其网格划分并装配到直丝弓托槽中，同时在切牙与尖牙间将弓丝截断。最后，将上述模型与压低辅弓的模型合并，即得到了完整的三段式片段弓技术打开咬合的三维有限元模型。根据有限元中镜面对称原则，本实验仅建立了左侧下颌牙列及矫治器的模型（图2）。
1.2.5 材料参数 本研究将模型中各种材料和组织考虑为连续、均质、各向同性的弹性材料，具体数值见表1。
1.2.6 定义接触和边界条件 模型底部全部施加约束使x、y、z 3个方向上的位移和旋转均为0；压低辅弓末端同时施加y方向的约束。托槽与牙齿、牙根与牙周膜、牙周膜与牙槽骨间定义为粘接关系。定义压低辅弓的变形属于非线性几何大变形；定义弓丝、托槽、牙齿、牙周膜、牙槽骨为可变形接触体，弓丝与各托槽间、辅弓与辅弓管之间为非线性接触关系，摩擦系数为0.15。由于本研究模型只建立了实际模型的一半，因此对模型的对称面行对称约束。
1.2.7 载荷的施加 压低辅弓前臂向龈方弯折一定角度后再钩挂至前牙段弓丝上，压低辅弓前端挂钩对弓丝会产生相应的力；同时，其后臂对磨牙辅弓管也会产生相应的力。在Anasys 11.0中，将压低辅弓前臂在xz平面内向龈方旋转一定角度（即修改θ值），再将其约束至与辅弓管平行，即可计算出压低辅弓前端挂钩处所产生的力值。选取前端挂钩处产生0.245 N力值时的压低辅弓模型，将相应的力加载于下颌牙列的有限元模型上，也就精确模拟了临床上使用片段弓打开咬合的过程。
1.2.8 计算 使用Anasys 11.0软件，将θ角度从5°～75°平均设置15个工况，分别计算每个工况下压低辅弓前端产生的力值。将相应力加载于下颌牙列后，观察加力后下颌牙列的移动趋势，计算前后牙的受力大小及牙根、牙周膜、牙槽骨的Von Mises应力分布情况。
2 结果
2.1 各工况下压低辅弓前端产生的力
在15个工况下压低辅弓前端产生的力值的变化曲线见图3。在5°～25°范围内，压低辅弓前端的力值随角度的增加而快速增大；在30°时达到最大（0.604 8 N）；
在30°～65°范围内，压低辅弓产生的力在0.59 N左右波动；在65°以后，不锈钢材料超出了其形变范围，计算结果不收敛。
2.2 下颌各牙齿所受的力及其移动趋势
根据建立的压低辅弓角度-力值变化曲线，在Anasys 11.0中将压低辅弓前臂在xz平面内向龈方旋转6.5°，再将其约束至与辅弓管平行，压低辅弓前端挂钩处对弓丝产生的力约为0.251 1 N。同时，其后臂对磨牙辅弓管也会产生相应的力。将这两个力对应的加载于下颌牙列的有限元模型上，在受到压低辅弓的加载后，下颌牙列中位移改变最明显的是侧切牙和第一磨牙。侧切牙向远中唇侧倾斜并向龈方压入，其所受力为0.252 N，其中垂直向的分力最大，为0.251 N；而其近远中向及唇舌向的分力都接近为0。第一磨牙则后倾明显并伴有牙冠的近中颊向远中舌向旋转趋势，其受到的力为0.620 N；其中远中倾斜的分力最大，为0.462 N；使其向方伸高的分力最小，为0.113 N。其余牙齿所受的力都非常小，所以在加力的瞬间基本不会发生移动（表2、图4）。
2.3 牙根、牙周膜、牙槽骨的Von Mises应力分布
情况
牙根、牙周膜、牙槽骨的Von Mises应力分布情况见表3、图5。牙根、牙周膜、牙槽骨的应力分布情况大体相似。下颌牙列的应力集中区主要出现在侧切牙根的唇侧颈1/3处及第一磨牙根分叉附近，其牙周膜最大应力分别为4.40、2.25 KPa；其余牙齿的应力较小且分布均匀，无明显的应力集中区。
3 讨论
3.1 三维非线性有限元分析
在正畸治疗过程中，正畸力是通过弓丝、矫治器向牙齿及周围组织传递的。牙齿的实际受力并不等于施加于单个托槽或弓丝上的力，而要考虑弓丝与托槽、牙齿与牙齿之间的接触与摩擦。以往涉及正畸力作用下牙齿移动的三维有限元研究，有学者[7]通过部分或简化的建模，将单纯的点载荷直接加载到牙面或托槽对应的节点上，以此来避免弓丝与托槽间接触的过程。也有学者[8-9]使用弹簧单元来部分模拟弓丝与托槽间的接触，但仍不够精确。在实际受力过程中，弓丝与托槽间的接触点及接触区域不定，需要使用三维非线性有限元分析来模拟计算。目前，使用三维非线性方法来模拟分析正畸治疗中生物力学的研究相对较少[10]。在本研究中，笔者进行了全牙列建模，弓丝与托槽的尺寸与临床一致，并且将托槽与弓丝、辅弓与辅弓管间都设定为接触关系，共生成了2 360个接触单元。
非线性分析除了上述的接触非线性，还包括几何非线性及材料非线性。本实验中，压低辅弓在加
力过程中会产生几何大变形，属于几何非线性；弓丝材质为不锈钢，是双线性材料，属于材料非线性。因此，本实验采用三维非线性方法来分析计算，虽然这种方法加大了计算的难度，但所建模型更接近临床实际，计算结果也更为真实精确。
3.2 压低辅弓的力学特性
在临床上使用压低辅弓时，主要通过将压低辅弓的水平前臂向龈方旋转一定的角度来达到向其加力的目的，其实质上可视为一个单端固定的悬臂梁。本研究所建立的包含辅弓管的压低辅弓模型即模拟了这样一个临床过程，从结果中得出的压低辅弓角度-力值变化关系曲线，与弯制压低辅弓所用不锈钢丝的应力-应变曲线的变化趋势基本一致。其在初始阶段，力值随角度的增加而直线增大，属于弹性变形阶段；到了30°以后，力值稳定在最大值0.59 N，变化趋于平稳，属于塑性变形阶段；在65°以后，计算结果不能正常收敛，不锈钢材料超出了其变形极限。这个结果提示：在临床上一味的加大压低辅弓打开的角度并不会产生所想象的更大的力值。在很多临床情况下，正畸弓丝的形变都已超出了其弹性形变范围，它将不能完全恢复原状，但这时弓丝仍存在临床意义的回弹，除非其形变达到了断裂强度[11]。同时，本实验中弯制压低辅弓的材料是0.432 mm×0.635 mm的普通不锈钢丝，由于其刚度较大，弹性较小，因此压低辅弓的弹性变形范围较小，力值变化也相应较快。在正畸临床治疗过程中，需要尽量采用柔和持久的轻力来达到理想的牙齿移动效果，在有条件的情况下，使用材料弹性更好的β钛丝制作压低辅弓[12-13]是一种更好的选择。
3.3 三段式片段弓矫治技术
目前常用的通过压低前牙来控制深覆的矫治方法主要有J钩联合高位牵引技术、多用途弓技术、微种植支抗技术等，但都各有其优缺点[14-17]。而三段
式片段弓作为方法之一，其优点主要有：1）压低辅弓与前牙压低段的弓丝呈点接触，既可以产生适宜且持续的轻力，又可清楚的了解力的大小和方向，使压低力更接近前牙的阻抗中心，利于前牙整体的压入移动；2）压低辅弓段不直接扎入前牙槽沟，避免了入槽后产生不必要的转矩而影响前牙压入；3）通过辅弓段与前牙段接触位置的改变，可以有选择性的压低前牙；4）支抗需求的减少，除需强支抗的患者需要口外弓配合外，更多患者不必依赖口外弓的控制[2]。本实验中笔者只观察到了侧切牙有明显的压
入移动，这是由于有限元分析计算的是压低辅弓加力一瞬间所产生的变化。但是，可以想象随着侧切牙的压入，中切牙的位置就会相对抬高，弓丝在侧切牙处的压入力会逐渐转移到中切牙，在弓丝的作用下，中切牙也会产生压入移动。
在本实验结果显示侧切牙在压低的同时发生了一定的唇倾。这提示在临床操作中可以尝试使用更粗尺寸的不锈钢丝作为稳定弓丝来维持前牙正常的唇倾度。对于后牙支抗单位，第一磨牙发生了后倾及旋转移动，但伸长移动不明显，其移动趋势类似于在主弓丝上给其增加了外展弯及后倾弯的效果。在大部分情况下，这种移动对矫治过程是有益的，可以增加后牙的支抗。如果希望减少这种移动，可以采用舌弓等手段来抵抗。本实验的结果也再次证实了三段式片段弓能产生有效的压低前牙的效果。
3.4 前牙区适宜的压入力
对前牙压低治疗来说，需要持续的轻压力才能获得正常的前牙压入。大量的研究表明：单个前牙适宜的压低力为15 g[11]。过大的压低力不仅不会加快
前牙压低的效果，反而会造成牙根吸收、牙周组织损伤以及后牙伸长等副作用。有学者[18]研究发现：牙
齿的压低常伴有牙根的吸收，并且随着压入力的增大，牙根吸收也越明显；通常0.245 N的力作用于前牙就会产生牙根吸收。同时，牙周膜的应力水平也是衡量牙齿受力大小的一个重要指标。Lee[19]报道牙周膜的应力极限在26 KPa，若超过该应力，牙周膜就会产生永久性损害。本实验中给压低辅弓加载的初始力值为0.245 N，这与其他研究所推荐使用的力值相一致[2，17]。在加力初期，侧切牙上产生了0.245 N
的垂直向力。其虽然略大于单个牙的适宜压入力，接近了引起前牙牙根吸收的临界力值；但是，在该力作用下，牙周膜的Von Mises应力较小，因此笔者认为0.245 N的压入力在加载的即刻对于前牙牙周是合适的。根据临床应用实际，由于牙周组织的可压缩性及牙槽骨组织的改建变化，可以推测，随着下前牙的压低，辅弓的力量必然会有所衰减，因此，只要加力的初始力量处于合适的范围，随时间的变化，辅弓的力量也不会增大和造成不必要的牙周伤害。
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数学建模实例分析范文3
关键词：应用数学；数学建模；渗透；
一、数学建模在应用数学中的作用概述
数学模型是用数学来解决实际问题的桥梁。数学模型与数学建模不仅仅展示了解决实际问题时所使用的数学知识与技巧，更重要的是它告诉我们如何挖掘实际问题中的数学内涵并使用所学数学知识来解决它。数学建模就是应用数学理论和方法去分析和解决实际问题，简单的说，就是用数学语言描述实际现象的过程。如今，数学以空前的广度和深度向其他科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在也在迅速的贴近数学，特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此，数学建模不仅凸现出其重要性，而且已成为现代应用数学的一个重要组成部分。数学建模能解决各个领域的实际问题，它从模型和量去考察实际问题，尽可能用数学的规律和参数变量来模拟实际问题的发展和结果，数学模型的建立可分为以下几个步骤：用理论和定律来确定变量，建立各个参数之间的定量或定性关系，进一步建立出数学模型；用数学的计算方法进行分析、求解；然后尽可能用实验的、观察的、历史的数据来验证该数学模型。数学建模是一个需要多次迭代重复检验才能完成的过程，最重要的是它反映了解决实际问题的真实过程。数学建模思想在应用数学中的作用主要教体现在：
1.全面提高建立模型解决问题的能力。要学会将应用数学用到解决各种实际问题，需要很多方面的要求。对于每一个学习应用数学的人，首先有必要掌握充实的数学理论知识和方法，要有较强的自学能力，其实要有数学建模的意识，有能应用数学的知识去解决问题的能力。在数学建模的学习和掌握过程中，必须能使学到了应用数学的知识，又能运用它们解决一些实际问题，这才是应用数学培养人才的根本目标。为使学生能够进入一种周而复始的学习、应用的良性循环，从知识和能力来讲，数学建模的教学与实践活动非常重要。所以在培养学生学习应用数学的同时，要注重数学建模思想的培养，只有这样才能做到学以致用，才能全面提高用应用数学解决实际问题的能力。
2.全面提高创新综合分析问题的能力。传统的数学教学时枯燥而又封闭的，学生提不起兴趣，自己学不到有用的知识。而创新前提下的数学建模的教学具有开放性多元性的特点，学生主动阐明自己的想法，也是师生交流增多，更有利于产生碰撞的火花。在应用数学教学中渗透数学建模思想，更能全面提高学生的创新综合分析问题的能力，激发学习应用数学的兴趣，让他们通过数学建模更好的理解应用数学，真正明白应用数学的重要性。
二、应用数学的现状与发展历程
应用数学早已不仅仅局限于传统学科如物理学、医学、经济学的原始问题，而随着信息化时代的到来，应用数学更多的应用于新兴信息学、生态学一些划时代的学科中，在边缘科学中也发挥这越来越重要的作用，甚至进入了金融、保险等行业，给应用科学带来了巨大的前途和发展空间，充满了更多的机遇和挑战。应用数学是一门数学，更是一门科学。很久以来，在应用数学的教学和实践中，很多人一直不了解如何把理论知识与实际很好的结合，其根本原因就是没有将数学建模思想渗透到真正的应用数学中去。很多熟知应用数学的人员却不能将其运用到实际领域中去，他们也许很多人都还不知道什么是数学建模，也不了解数学建模的过程是什么，更不会知道数学建模能有这么大的用处。马克思曾经说过：“一门科学只有当它充分利用了数学之后，才能成为一门精确的科学。”随着应用数学的发展，给它提供了更广阔的空间，也给应用者们带来了巨大的挑战。这就迫使应用数学的学习者要自觉学习了解各个行业的知识，进入充满悬念的非传统领域，在高尖端的应用领域中放手一搏，能及时跟上应用数学的变化并走在时代的前沿。
三、将数学建模思想渗透到应用数学中去
首先，要注重数学应用与理论相结合，成立数学建模小组。数学的基础理论和概念是学习数学建模的根基。一切数学概念和知识都是从现实世界模型中抽象出来的，用建模的思想进行教学是理论与应用相结合的重要手段。在讲解数学概念时，尽量从学生熟悉的生活实例或与专业相结合的实例中引出，减少学生对应用数学的抽象感。用身边的实例进行讲解，能拓宽学生的思路。成立数学建模小组，举办专题讲座，学生自己选取实例进行建模，从而让学生尝到数学建模成功的甜和难于解决的苦，对数学建模的方法加深理解，增长知识，积累经验。其次，要以建模的思想开展应用数学教学内容，掌握建模方法并将教科书中的实例模型化，用经验材料进行描述，利用应用数学的理论跟公式推导运算出实际模型的结果，要转变观念，抛弃过去的僵化模式，以新观点来领导课堂，应用数学方法和思想进行综合分析推理的能力、锻炼创造力、想象力、联想力和洞察力、学习建模能力并查阅文献资料。应用数学的教学中应形成以实际问题为中心，以分析和解决问题为基本出发点，以数学模型的建立为基本途径，把应用数学、数学建模和课外活动有机的结合起来，完成应用数学和数学建模思想的渗透，寓数学建模于应用数学中
四、结语
应用数学是纯粹数学的互补物，本文通过对应用数学特点的分析，阐述了在应用数学中引入数学建模思想的理论与方法，同时讨论了渗透数学建模思想的意义以及对应用数学改革的重要性。在应用数学中引入数学建模的思想可以极大提高学生的兴趣和教学的效果，拓展了应用数学的内涵。
参考文献：
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数学建模实例分析范文4
【关键词】数学建模 高职教育 数学教学
近年来，高等职业教育迅速发展，已成为社会关注的热点之一。高职教育的目的主要是培养应用型、技能型人才，因此，各高职高专院校必须加强专业课的教学，强化对学生技能的培养，数学作为一门文化基础课程，其教学面临调整。于是，各高职院校都在改变原有的高等数学教学模式，使原本数学基础较差的高职学生摆脱对数学学习的恐惧，学会用数学的方法解决专业学习中遇到的实际问题。那么，将数学建模引入高职数学教学中势在必行。
一、数学建模的意义
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
二、将数学建模融入高职数学教学
数学本身就是为了实际应用才产生的，它的很多重大发现都是从实际应用的需要而出现的。我们现有的教材中数学概念都有其特定的背景，而在教学中向学生讲解的过程就是一个实际的数学模型的实例。例如：“极限的概念”中，我们首先引入了古代的“割圆术”，在无限细分的基础上，给出了数列极限的概念。再如“定积分的概念”，源于计算曲边梯形的面积。在教学过程中，强调了无限分割的思想，使学生对非均匀积累问题的数学建模有一个认识。事实上，在实际生活中，有很多的量，都需要用类似的方法进行计算。如旋转体的体积、非均匀细棒的质量、变力作功等等。
但由于近年来高职教育对基础课程的调整，高等数学的课时压缩，教学内容少，虽说要求是“以应用为主，够用为度”，但还是存在知识范围广、深度浅，往往成为本科数学的内容压缩，常常是理论过多，实际不足；运算过多，思想不足。所以，把数学建模所要用的主要数学方法和数学知识渗透到课堂教学中，就要求我们必须及时调整课程教学内容。在教学中要善于挖掘教学内容与学生所学专业及实际生活中实例的联系，根据学生专业的需求编排高等数学课程教学内容和教学重点，采用模块化教学。如在我们学校，经管类的专业在基础模块的基础上会加入概率论与数理统计内容，电气类专业又适当的加入了线性代数和积分变换等内容，机械类专业将微积分作为教学重点。另外，通过案例教学能很好的将数学建模在高职数学教学中广泛的应用。在教学中，学习完各章内容之后，选择一些简单的实际应用问题，引导学生分析，通过抽象、简化、假设等，建立数学模型，解答数学问题，从而解决实际问题。教学中，根据不同的教学内容，选则相应的数学模型进行案例教学。例如，在函数章节中可以分析银行存款复利问题：导数应用学完后，可以引入最大收益问题；在学习微分方程后可以讲解马尔萨斯人口模型、跟踪问题模型等。
把数学建模渗透到高职数学教学中，不仅转变了教师的教学观念，而且调动了学生的学习积极性，激发了学生学习数学的兴趣和热情，体会到数学的实用价值，增进了同学之间的友情，培养了团队的合作意识。
三、结束语
数学建模在以培养“应用型人才”为目标的高职人才培养中有着重要的作用，开展数学建模活动是对高职学生综合素质培养的一种训练。为了将所学的数学知识能更好的应用到实际问题的解决过程中，就要求广大数学教师和学生共同努力，在不断的探索中能更好的将数学建模融入到数学教学过程中。
参考文献
[1]何文阁.在高职院校开展数学建模活动的意义与实践[J]中国职业教育技术，2005（9）：40
数学建模实例分析范文5
【关键词】高职；数学建模竞赛；创新；教学团队
我国高等教育的首要任务是培养具有创新精神和实践能力的高级专门人才，而学科竞赛是创新人才培养的一个非常重要的途径之一。数学建模竞赛作为其中一门学科竞赛对于提高高职学生的综合素质、培养高职学生的创新精神和团结协作精神、培养符合社会需求的高素质人才具有重要作用和意义。当前，很多高职院校已经开展深层次的数学建模教学和竞赛活动，构建了相应的数学建模竞赛教学团队。但是我们注意到这些教学团队主要依托于课程的教学团队或者依托于科研项目的科研团队，于是我们提出了建设一支融合制度建设、教学研究、科研活动和竞赛指导等多方面于一体的高职数学建模竞赛创新教学团队。
一、创新教学团队构建的具体实施
1、组建教学团队、优化人员结构
组建数学建模竞赛创新教学团队应根据教师自愿的原则组成，通过自荐或由教师推选等方式确立团队负责人。负责人一般应具有学术、教学专长和有人格魅力的教师担当。通过认真分析研究，优化团队人员结构，确定团队内部每位指导教师的主攻方向，实现优势互补，对于团队建设急需的研究方向或技术力量，则通过内部物色、主动参与和领导动员等方式加入到创新教学团队。经过一定时间的磨合，打造出一支专业面宽、职称学历层次合理、年龄结构适中、配合密切、形成高效率高情商的数学建模竞赛创新教学团队。
2、设定教学团队目标、引入竞争机制、完善制度建设
设定有效的数学建模竞赛教学团队目标是保障团队教学效果的首要保证。在团队目标建设中，必须具有长远发展规划和中短期建设目标以及特定学年和学期的教学改革和建设任务，并注意在工作中为教学团队设置不同层次的挑战性目标。在教师个人发展目标方面，应对不同教师制定不同任务和发展目标，以确保教师发展的分类分层推进，以有效激发并保护教师的教学热情。
引入团队竞争机制，增强团队驱动力。当团队处于竞争环境时，其创造力和潜力才能得到激发。外部压力的存在，能够加强团队成员间相互依赖相互合作意识，使团队的凝聚力得到相应提升。
完善团队管理制度和奖惩措施，制定出一整套关于竞赛培训、辅导、竞赛带队、团队研讨、外出调研、交流学习等方面的管理制度，并制定明确的奖惩措施，实施公平竞争、劳有所得、多劳多得的激励机制和退出机制。
3、改变传统教学方法、重点采用项目化教学
数学建模课程是一门实践性极强的课程，而传统的教学方法理论性强，学生难以理解，因此我们根据高职学生的职业特点，采用项目化教学。依据项目难易程度，有时还需要多种教学方法相结合。常用的其它教学方法有实例分析法、分组讨论法、启发引导法、师生互动法等等。
（1）实例分析法：如在讲2008年全国大学生数学建模竞赛D题NBA的赛程分析时，引入循环应用的实训项目。
（2）分组讨论法：各项目的实施以小组为单位，要求学生查阅相关资料，各小组之间讨论实验方案、实验过程、实验结果，交流心得。
（3）启发引导法：对于有一定理论和操作基础的项目，引导学生自主学习，如三维绘图，由于前期已经学维绘图的基本原理和操作，因此，重点在于引导学生学习操作相关函数。
（4）师生互动法：实训项目结束后由教师和学生共同分析、总结实验相关问题，做好总结归纳，逐步培养学生分析、解决问题的能力。
4、开展数学建模竞赛研究、加强团队科研能力
数学建模竞赛教学团队要有计划、有步骤的开展数学建模竞赛研究活动，主要包括竞赛指导方法研究、竞赛赛题研究、竞赛论文写作研究、软件编程研究等，全面提升团队指导教师的水平。同时以竞赛创新教学团队为基础，有计划的加强团队内部教师的科研能力，提升科研水平，组织教师申报数学建模各级科研课题。数学建模竞赛教学团队科研能力的提升将有助于数学建模竞赛水平的提高。
5、加强竞赛指导与技能竞赛相结合
数学建模竞赛教学团队要加强竞赛指导，采用项目化教学方法，引入问题驱动的启发式教学模式，提起学生将数学理论应用于科学实践的兴趣，扩大参与面，营造数学建模的活动与竞赛的氛围，真正地实现教学与竞赛实战的互动。另外，要有计划的组织学生参加各类数学建模技能竞赛，展示学生理论联系实际能力。目前我校数学建模技能竞赛主要依托于“二大竞赛”：即全国大学生数学建模竞赛和学校的数学建模技能运动会。
二、创新教学团队的建设成效
通过实践检验，我们认为这种高职数学建模竞赛创新教学团队一种有效的、有利于人才培养目标实现的教学团队，能够给学生综合素质的提高带来积极的促进作用。主要体现在三个方面：第一，对数学建模学习有挫败感和厌倦感的学生明显下降。从整体上看学生正在重新产生对数学建模学习动力和热情。第二，学生的自主学习能力明显加强，主要体现在用数学建模的知识点查阅和对知识点进行求解的能力的提高等方面。第三，教学团队的合作能力明显加强。由最开始的配合生涩，到目前的团队配合游刃有余，教师获得了团队合作的亲身经验，教学效果明显提升。另外，我们教学团队还申请了厅局级数学建模课题两项、校级数学建模课题两项和数学建模网站一项，更重要是我们所指导的学生在参加2013年全国大学生数学建模竞赛中获得两项全国二等奖、一项省一等奖、两项省二等奖和两项省三等奖的好成绩。
参考文献：
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数学建模实例分析范文6
1. 数学建模为经济类院校的学生利用数学解决实际经济问题打下坚实的理论基础。数学建模课程教学重在培养学生的数学素质、逻辑思维能力，使数学与其他学科的结合更加紧密，突出了经济管理类专业的学科背景和经济数学的应用特色，其中数学与经济、管理、金融、证券等方面的结合就是数学建模的一个重要内容。在为经济管理类学生提供专业所必需的数学基础，进行必要的逻辑思维训练的同时，可以依托经济类院校的经济管理、金融等专业的实力，形成数学与经济、金融相互交叉渗透的学科群体综合优势，也通过教学过程中提供的大量经济应用实例，引导学生将所学的数学知识运用于经济实证分析之中，对学生运用数理分析方法分析经济问题的能力进行训练，为经济类院校的学生学会利用数学解决实际经济问题打下坚实的理论基础。
2. 在经济类院校开设数学建模课程，是培养具有定量建模能力的财经人才的有效手段。数学建模是联系数学理论与实际问题的桥梁。数学建模课程是为适应培养学生数学建模能力、科学计算能力以及创新意识的人才培养目标而建立的。学生利用所学的数学知识，将实际问题转化为合理的数学模型，关键的步骤是如何合理地结合实际问题，把其中的一些非量化因素定量，然后应用数学计算方法，利用计算机和数学软件来解决问题。由此可见，在经济类院校开设数学建模课程，是培养具有定量建模能力的财经人才的有效手段。
3. 数学建模有利于培养学生的综合能力。（1） 培养学生自主学习的能力和查阅文献资料的能力。 在数学建模过程中，很多数学模型需要将跨学科、跨专业的知识综合在一起才能解决，这就需要学生团结合作、相互交流、共同解决问题，通过交流、讨论使他们的知识结构互相补充，取长补短，这些有助于学生自主学习的能力提高；同时数学建模涉及的知识很多是学生原来没有接触过的，要想解决问题，就需要学生围绕要解决的实际问题广泛查阅相关文献资料，从而也锻炼和提高了学生的自学能力和查阅文献资料的能力。（2）增强学生利用数学理论解决实际问题的能力。数学建模就是利用数学理论知识解决实际问题，充分反映了数学的实用价值，它涉及的知识面很广，与很多学科都有结合点，并且许多模型就来源于实际。学生通过数学建模活动可体会到抽象的数学理论与现实的联系。 开展数学建模活动，给学生开辟了一个很好的理论应用于实际的途径，有利于增强学生利用数学理论解决实际问题的能力。（3） 培养学生的创新能力。数学建模是一个不断探索、不断完善的过程。在数学建模中，同一个问题从不同的角度理解，会获得不同的数学模型和求解方法，没有惟一的正确答案，这就给学生留出了自由发挥的余地和创造性思维的广阔空间。
根据我们的教学经验，在经济类院校开展数学建模教学应坚持以下几点：
1. 挖掘教材内容，渗透数学建模思想。由生活中的实例入手，建立客观事物之间的数量关系，从而抽象出数学中的一些概念、定理、公式等，这一过程体现了数学建模的思想。数学建模回复了数学研究收集数据、建立模型、求解验证的本来面目。因此，我们要深入挖掘教材内容，将其中所蕴含的数学应用知识，在教学过程中突出出来，让学生体会到数学在解决实际问题时的价值，体会到所学知识的用处，激发和调动学生的学习兴趣。
2. 加强数学建模指导教师团队建设。 应不断优化教师团队的学历结构，改善教师队伍的职称结构，以教师队伍的业务素质为核心，开展学习活动，邀请校外专家来校传授数学建模教学与竞赛的经验；组织骨干教师参加全国数学建模组委会组织的研讨会；选派优秀青年教师参加数学建模核心课程的培训； 打造一支学历层次高、年龄结构合理、教学科研力量强的教学团队。
3. 提高数学建模教学与人才培养目标的契合度。数学建模是数学理论与实际问题之间的纽带，是培养现代化高素质创新人才的一种重要手段。坚持以“基础创新是人才培养的基石”为理念，采用各种现代化的教学手段，利用多媒体设备辅助教学，以服务于教学科研和学科建设为宗旨，充分发挥多媒体、网络课堂等现代化教育技术在教学过程中所具有的时空自由、资源共享、便于操作等优势，以竞赛机制为手段，把教与学有机地结合起来， 以培养具有高素质人才为目的，极大地提高与人才培养目标的契合度。
参考文献：
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收稿日期：2013-05-20
