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数学建模插值法范文1
文章编号：1003-1383(2010)06-0727-02 中图分类号：R 651.1+5 文献标识码：B
doi:10.3969/j.issn.1003-1383.2010.06.039
慢性硬膜下血肿是神经外科常见疾病，手术治疗效果明显，以往手术方法多样，复发率高，并发症较多。我院2007年8月～2010年8月共收治慢性硬膜下血肿96例，采用简易定位法结合软通道置管冲洗引流,效果满意,现将诊治体会报道如下。
资料与方法
1.一般资料 本组96例患者，男74例，女22例;年龄35～83岁，平均(62.5±2.6)岁，其中有头部外伤史87例，外伤距手术时间1～18个月。车祸伤52例，摔伤36例，原因不详8例。临床表现：GCS 5～8分2例，9～12分34例，13～15分60例。症状及体征：有头痛、头昏78例；嗜睡32例；肢体不同程度偏瘫69例；智能障碍和精神异常者19例；癫痫2例。辅助检查：本组96例均作头颅CT检查确诊，血肿均位于幕上，CT影像表现为等密度26例，混合密度24例，低密度46例；单侧血肿81例，双侧血肿15例，血肿量30～160 ml平均85 ml。
2.治疗方法 本组病例全部采用简易定位法在血肿最厚层面钻孔置管引流,以血肿最厚层面中心为穿刺点，避开重要功能区和大血管，根据体表标志初步定位预穿刺点，在预穿刺点帖覆电极片重新CT扫描，根据电极片显影点校正穿刺点。手术均在局麻后于病床旁徒手锥颅，快速穿透颅骨，硬脑膜进入血肿腔，采用山东威海村松医用制品有限公司生产的一次性颅脑外引流器，置入8～12 F引流管，可见陈旧性血液流出，取出针芯，头皮缝合固定，用生理盐水等量置换，直至冲洗液基本清亮，接引流装置，持续密闭引流。3～5天CT提示血肿彻底引流后拔管，伤口缝合一针。术后处理：持续引流3～5 d;术后多饮水,补晶体液2 000～3 500 ml，促进脑组织复位;术后患者宜卧向健侧,变换头部,充分引流;术中见引流液黏稠或有沉渣不易引流者，注射尿激酶2～4万单位，夹闭2小时后开放，每天1～2次。本组采用尿激酶者8例。同时预防感染，避免过度引流导致低颅压。
结果
本组病例全部治愈，术后症状迅速改善，留置引流管3～7天，平均4天。其中82例全部消失，14例基本消失,残留少量血肿，予口服中药，促进其吸收。1例3个月后复发用同样方法治愈，1例发生癫痫对症治疗后痊愈，2例发生硬膜下积液，保守治疗后痊愈。未发生张力性气颅、颅内感染、颅内血肿等，随访半年～2年未见血肿复发，神经系统功能正常。
讨论
慢性硬膜下血肿是常见的颅内疾病，约占颅内血肿的10%［1］，大多数患者年龄超过50岁。本组大于50岁者86例，占全组的90%。关于出血原因，可能与老年性脑萎缩颅内空间相对增大有关，遇到轻缓惯性力作用时，脑与颅骨产生相对运动，使进入上矢状窦的桥静脉撕裂出血，血液于硬膜下腔，引起硬脑膜内层炎性反应形成包膜，新生包膜产生组织活化剂进入血肿腔，使局部纤维蛋白溶解过多，纤维蛋白降解产物（fibrin degradation product，FDP）升高，血肿腔内凝血功能降低，导致包膜新生的毛细血管不断出血及血浆渗出，从而使血肿再扩大。FDP是纤溶酶作用于纤维蛋白的多肽碎片，血肿液内高于血液含量，血肿液高浓度的FDP，会引起血肿外膜中毛细血管和小静脉不断出血，使血肿逐渐增多，血肿腔内的新鲜血液又产生更多的FDP，如此形成恶性循环。故“血肿外膜不断出血理论”是有充分依据的［2］。因此，慢性硬膜下血肿的复发与FDP关系非常密切，手术中应彻底冲洗，充分引流，尽可能将FDP冲洗干净，以防复发。
慢性硬膜下血肿临床表现可归纳为4种类型：①高颅压型，表现为头痛、头晕、呕吐、视水肿。②智力障碍和精神症状，表现为记忆力、计算力和判断力减退或精神异常。③以局灶性症状为主者表现为偏瘫、偏身感觉障碍、失语、癫痫发作等。④无明显症状，查体时CT发现。老年人慢性硬膜下血肿临床表现差异较大，因此对于老年患者有上述表现者应常规检查头颅CT，尤其是无明显症状，仅有智力障碍和精神症状者思想上要重视，以免漏诊。慢性硬膜下血肿行头颅CT即可确诊，等密度的慢性硬膜下血肿CT不容易显示，对移位不明显的高度怀疑本病患者，可行增强扫描或头颅MRI检查。本组2例行头颅MRI检查后确诊。
本病一旦诊断明确，及时手术，疗效多满意。方法有锥颅置管引流术、颅骨钻孔置管引流术及开颅血肿冲洗引流术。钻孔引流有单孔和双空法。本组病例全部采用单孔软通道引流,效果良好。体会如下:①应用电极片简易定位法,根据头皮标记物与血肿中心的关系准确定位,使头皮穿刺点100%准确,能够将引流管置入血肿最大层面的中心,避免靠近血肿边缘，引流效果良好。②锥颅前根据颅骨及头皮厚度调整快速颅锥的长度,防止颅骨钻孔时推移硬脑膜,形成硬膜外血肿。③钻孔时方向可呈斜坡样,与穿刺点垂直线成斜角,置管进入硬膜下间隙后即拔出针芯,再送入3～5 mm,以利引流软管不成角固定便于引流,且避免脑组织膨复后引流管尖端刺激皮层。④置管的过程中应谨慎操作，动作轻柔,以免戳破蛛网膜，造成硬膜下积液。同时避免导管穿过血肿内膜损伤皮层小血管，引起出血，形成硬膜下血肿，甚至插入脑组织造成脑内血肿。本组术后癫痫1例，复查头颅CT硬膜下血肿明显减少。Kotwica等［3］认为术后癫痫发生原因为血肿包膜刺激皮层所致，但本例笔者考虑系引流管刺激皮层造成。预防方法：选择引流管不能过粗，引流管放置时不要插入太深或反复调整，术后癫痫一旦发作，应抗癫痫治疗，同时行头颅CT检查以排除继发性颅内血肿。⑤慢性硬膜下血肿术后的血肿复发率为3.7%～38%［4］，以往的经验表明血肿液中的FDP含量越高，血肿越易复发［5］。针对慢性硬膜下血肿形成的机理,冲洗血肿时，冲洗液量要多，术中应用生理盐水反复冲洗，将絮状的凝血块及含大量FDP的液体冲洗彻底，以防复发。⑥手术时缓慢减压，控制血肿排出速度，冲洗时等量置换,缓慢引流，术后引流瓶位置不能过低, 可间断引流或平头颅平面引流。使颅内压逐渐下降，以免诱发颅内出血。⑦根据CT片显示血肿密度选用合适引流管，低密度者选用8号,等密度者选用10号,高密度者选用12号。⑧引流管固定要牢靠避免因患者头部活动而引起引流管的移位。⑨术后保证引流通畅，改变头部，尿激酶不作常规应用,对于引流液黏稠或有絮状血凝块者可注入尿液酶2～4万单位+生理盐水 5 ml,闭管2 h。每天1～2次溶解血凝块。⑩术后定期复查CT，观察血肿的变化。当术后患者意识恶化，症状体征不能改善或改善后又恶化，出现新的神经系统症状，引流管有新鲜血流或破碎脑组织流出，应及时复查CT，查明原因，采取相应措施处理。注意术后残腔积液、积气的吸收，脑组织膨起需时5～20天，故应作动态CT观察，如果临床症状明显好转，即使硬膜下仍有积液，亦不必急于再次手术。积液明显者可口服活血化瘀中药促进其吸收。
参考文献
［1］王忠诚.神经外科学［M］.武汉:湖北科学技术出版社，2004：448-450.
［2］常会民，林吉惠，陈由芝，等.慢性硬膜下血肿发病机理的探讨［J］.中国神经精神疾病杂志,1996，22(1):43-44.
［3］Kotwica,Brzezinski J.Epilepsy in chronic subdural hematoma［J］.Acta Neurochir,1991,113(3~4):118-119.
［4］汪海关，叶 磊，周 夏，等.应用Subdural 专用引流管治疗慢性硬膜下血肿［J］.临床神经外科杂志，2006，3(3)：112.
数学建模插值法范文2
关键词：数值计算方法；计算机专业；教学内容；教学方法；学习方法
一、引言
目前，理论、试验、计算是人类进行科学活动的三大方法，许多实际的科学与工程问题的解决都离不开科学计算，如：核武器的研制、导弹的发射、气象预报等。计算方法也称为数值计算方法或数值分析，是数学、计算机科学与其他学科交叉的产物，注重理论与实践紧密结合，应用范围广泛，如：计算物理、计算力学和计算化学等，是工程和科学技术工作者的必修课之一。计算方法作为笔者所在学校计算机专业的选修课，其教学目标是构建数学与计算机之间的桥梁，使学生掌握数值计算的基本方法，对算法进行程序设计及理论分析。在教学实践过程中出现了一些问题，如内容多学时少、学后容易忘、重理论轻实践、考核方式单一等，基于以上问题，笔者结合自身的教学经验和学生情况，对教学过程中所涉及的内容及问题进行一些探讨。
二、课程教学实践
1.教学内容。要想做一名优秀的教师，就需要不断地学习，树立终身学习的理念，这是教师发展和成长的必由之路。不断地加强专业知识的学习，熟悉教材及教学内容，掌握重点、难点，是对学生授业的前提，此外还要拓宽自己的知识面，了解专业最新的动态，授课时才能旁征博引。如果教师自身知识储备都不够的话，如何给学生讲授？学高方能为师。计算方法课程所涉及的内容较多，首先需要学习高等数学、线性代数、微分方程及泛函分析等基础课程。要根据计算机专业的培养目标选择合适的教材。作为笔者所在学校计算机专业的选修课，计算方法只有32学时，受学时所限，为了突出重点，着重讲解插值与拟合、数值积分与微分、线性方程组的直接解法和迭代解法、非线性方程数值求解和常微分方程数值解。快速傅里叶变换、矩阵特征值和特征向量的计算以及偏微分方程等是选学内容，可以对其做一些简要的介绍，让学有余力或感兴趣的同学课下探讨，还可以补充一些新的研究成果，如求解非线性方程的New-ton型迭代法[1]。计算方法这门课程有两条主线，一条是算法设计，一条是误差分析。这两条线除了概念的介绍和理论的推导，还应注重实践教学，在以后的教学过程中，要逐步地解决实验课问题，重点关注如何将数值解法的迭代公式及计算过程转化为计算机算法，进而编制程序，这样不仅能培养学生动手解决实际问题的能力，而且还能避免沉陷于纯数学理论的推导而使课程变得枯燥乏味。结合计算机专业的特点，除了理论课程的学习，还应该增加实验课，把学校的实验室资源充分利用起来，以培养学生的编程、上机操作能力。2.教学方法。随着高等教育从精英化迈向普及化以及学生自身多元化需求的增加，学生的基础及需求存在差异，如果想吸引学生，就要了解学生，做到“以学生为本”、“因材施教”，才能充分挖掘学生的潜能，促进学生的成长、成才[2]。教学中单纯地写板书或念PPT比较枯燥乏味，复杂的计算公式难以记忆，很难提起学生学习的兴趣，这会造成学生注意力分散，跟不上节奏，而数学类课程的逻辑性又很强，一步跟不上步步跟不上，容易造成“跟不上—听不懂—不想学”的恶性循环。如果想取得较好的教学效果，充分利用每个课时，教师就应掌握多种教学方法，如：启发式、讨论式、自主式和探讨式[3]，利用灵活多样的教学形式，充分利用互联网资源，以激发学生学习的兴趣。例如，在插值法这一章开始，可以首先回忆高等数学课中的泰勒公式，比较泰勒公式与牛顿插值多项式，比较泰勒公式的余项与插值多项式的误差，用板书证明插值多项式的存在唯一性。例如，讲到数值积分时，可以用生动形象的图形来演示矩形公式、梯形公式和辛普森公式。例如，讲解线性方程组的迭代解法时，可以用Matlab软件演示设计的雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法和逐次松弛迭代法，并对结果进行分析，比较这三种方法的收敛性及误差。可以鼓励学生参加全国大学生数学建模竞赛，将教学与数学建模结合起来，将课堂中所学的理论知识应用到实践中，加强课后的实践，让学生切身地体会计算方法的实用价值。课程的考核不是目的，而是教学方法，是为了引导、督促学生学习，以培养学习习惯，锻炼学习能力。笔者所在学校计算方法课程的考核方式单一且传统，只有平时考勤、课后作业以及期末考试，这种考核方式容易让学生形成为了考核而考核、上课人虽到而心未到、课后抄袭作业、期末盼老师画重点、考前临时抱佛脚等弊习。课程考核方式改革是教育教学改革的重要一环，可以尝试以“多元化—重过程—考能力”为指导思想[4]，把基础理论知识的考核和知识的理解运用考核结合起来，加强对学生能力的考核，使学生重视平时理论的学习，还要重视培养自己的分析问题和解决问题的能力。例如，根据专业特色，精心设计大作业[5]，一次作业中可以涵盖插值、拟合、解方程等多个内容，让学生写成小论文的形式，以培养学生对所学知识的综合运用能力。3.学习方法。学生在大学二年级课程比较多，也有很多的社团活动和社会实践，要想高效地利用课堂时间，学习方法就变得尤为重要，“授人以鱼，不如授之以渔”，可以建议学生合理规划自己的学习和生活，探索适合自己的学习方法，鼓励学生充分利用互联网资源，养成独立学习和研究的习惯，为以后的工作或进一步的学习打下坚实的基础。结合计算方法课程的特点，可以向学生介绍“从问题出发，以最优为导向，利用互联网”这样的思路来学习。例如，在插值法这一章中，利用问题教学法，从原始的问题出发，寻找解决的方法，发现方法的不足，以最优为导向，进一步地改进方法。问题是：通过实验或观测得到一组数据，用什么函数？怎么用函数来表示其内在的规律？根据节点及节点处的函数值可以直接写出拉格朗日插值多项式，但当节点个数增加时，拉格朗日插值多项式必须重新计算，这也是其不足之处。而牛顿插值多项式在节点个数增加时只需要在原多项式基础之上增加一项即可。牛顿插值多项式需要计算插商，在计算插商时可能会导致误差，为避免这种情况发生，得到了其改进形式即等距节点情况下的牛顿前插公式和牛顿后插公式。为了增加插值函数的光滑性，又进一步学习埃尔米特插值。而当节点个数较多时，这三种插值方法会出现龙格现象。为了避免这种情况发生，在插值时就应该选择低次插值，而低次插值的精度较低。为了提高计算精度，又进一步给出分段低次插值，为了增加分段插值时插值节点处插值函数的光滑性，又给出三次样条插值。最后，充分利用互联网资源，搜索与插值法相关的课件、视频以及这些算法的Matlab程序，进行阅读和上机操作实验，此外，还可以了解插值法在各个领域的应用，以激发学生的学习兴趣和拓宽其知识面。
数学建模插值法范文3
【关键词】数学建模；教学改革；创新实践
1.2015年广西自治区级重点教改课题：财经类院校数学教学质量提高的探索与研究（2015JGZl592015A03）；2.广西财经学院2016年教师创新创业教育能力研究专项课题：“互联网+”时代数学建模对创新创业型人才培养模式的探索与研究――以广西财经学院为例（2016JSZXCl4）.
全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，至今已有24年，目前已成为我国高校规模最大的基础性学科竞赛.竞赛之初，主要是以理工科类院校参加为主，文科和财经类院校较少参与.随着竞赛的普及，人们对数学建模竞赛有了更深刻的认识，意识到数模竞赛在提高大学生综合素质和培养创业创新能力方面发挥了重要的作用.近几年来，参赛的规模、院校和专业越来越多.2015年，来自全国33个省/市/自治区（包括香港和澳门特区）及新加坡和美国的1326所院校、28665个队（其中本科组25646队、专科组3019队）、近86000名大学生报名参加本项竞赛.
我校自2004年5月，由广西财政高等专科学校和广西商业高等专科学校合并组建广西财经学院以来，开始组织学生参加本科组竞赛.从开始每年8支队伍，逐步增加到10支队伍，到了2010年，基本上稳定在15支队伍左右.近5年来，我们每年举办数学建模培训讲座，开设数学建模选修课，每年基本上都获得1或2个全国奖（同时获得赛区一等奖），3个赛区二等奖，4个赛区三等奖，在2015年还获得了1个全国一等奖，实现零的突破.在取得这些成绩的同时，我们也摸索出适合财经类院校数学建模的一些做法，我们的数学建模教学指导团队逐渐稳定并走向成熟.
一、教学方法与创新实践
每年秋季学期期末，我校数学建模教学团队就本年度取得的成绩做工作总结，并讨论和布置安排次年的数学建模工作.我校数学建模竞赛工作主要分为校内选拔赛和暑期集中培训。
（一）校内竞赛
每年4月初在全校范围内，开始招募队员参加培训，主要利用双休日或晚自习，每周6课时，连续培训5周，约30个课时.针对财经类院校学生的特点，培训的内容主要有数学软件、数学模型及论文写作.其中数学软件的入门培训主要包括Matlab、SPSS、统计R软件；数学模型的培训则以姜启源、谢金星、叶俊的《数学模型》为教材，主要培训较为简单的初等模型、优化模型、回归模型等；论文写作则以如何查找文献资料、论文包含的要点及写作规范为侧重点.校内竞赛主要以宣传和普及竞赛为主，同时选拔对数学建模感兴趣的学生，尽量鼓励更多的同学参与到数学建模竞赛中来.5月中下旬，开展校内竞赛，选拔优秀学生，6月初确定竞赛名单。
（二）暑期集中培训
与大部分院校一样，我们学校也开展暑期集中强化培训，我校每年组织校内竞赛选拔的学生参加为期15天的暑期培训.结合财经类院校学生的特点，我校暑期培训与大部分高校会有所不同.除了常规的数学软件强化培训、论文写作、竞赛模拟外，我校数学建模教学团队的每位教师都做了大量的准备工作，罗列数学建模常用的近20种算法，包括多因素分析法、层次分析法、方差分析法、主成分分析法和SVM算法、拉格朗日插值法、灰色预测法、时间序列分析法、蒙特卡罗（MC）仿真模型、最少二乘法与多项式拟合、BP神经网络方法等等.由每一位教师负责讲授其中一种或几种，并结合案例开展教学及软件操作。
二、竞赛活动的几点启示
数学建模竞赛活动是一个长期的过程，从初期培训到选拔队员，再到暑期强化培训、模拟竞赛，以及最后的全国赛复赛.通过这几年对数学建模竞赛的摸索与实践，我们对数学建模竞赛工作有了更深的认识。
（一）数学建模竞赛工作须与本校实际相结合，探索出适合本校学生特点的工作方式与教学方法
一般而言，理工科院校的学生，数学基础较好，计算机编程能力较强.而财经类院校的学生虽不具备上述特点，但通常他们都具有较强的写作能力和经济学知识背景.在实际的教学和培训中，应扬长补短，继续完善和提高写作水平，同时强化和提高学生的建模思想和能力。
（二）数学建模竞赛活动需要有一支乐于奉献的教学团队
我校数模教学团队由十几名教师组成，80%以上都是80后年轻教师，其中有4个博士.他们年轻富有激情，乐于挑战和奉献，能够很好地将建模方法与自身从事的科研相结合，并将研究内容介绍给学生，有效的拓宽了学生的视野，为建模培训提供了有力的保障。
（三）数学建模竞赛活动对推动数学教学改革具有重大的意义
数学建模插值法范文4
关键词：数值分析；实践；教学改革
《数值分析》课程是计算数学方向的核心课程，研究数学问题数值解法，内容包括数值代数、数值逼近和微分方程数值解法等内容。课程既有抽象性与严谨性的特征，同时，由于研究控制计算误差，它有应用上的灵活性和广泛性。该课程是工科院校硕士研究生的一门重要学位课程，通过学习该课程，培养学生借助计算机解决科学与工程实践中出现的数值计算问题能力，使学生能够比较熟练掌握课程中要求的各种常用算法的原理和构造方法，学习过程中加强学生应用所学知识提高编程能力，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。因此，数值分析是一门实用性很强的数学课程。
一、我校《数值分析》课程教学中存在的问题
1.内容多、学时少的矛盾日益突出。《数值分析》课程内容较为丰富，包括了线性方程组数值解法和非线性方程数值解法等数值代数内容、插值法和函数的最佳平方逼近等数值逼近方面内容，以及常微分方程值解法与偏微分方程数值解法等微分方程求数值解等内容，在学习课程之前学生必须掌握微积分、线性代数、常微分方程和数学物理方程等本科阶段相关知识，否则很难学习和深刻理解该课程教学内容。该课程在我校一直在研究生第一学期开设，课时为60学时，我们会完整讲授误差与范数、非线性方程数值解法、线性方程组数值解法、插值法、函数的最佳平方逼近、数值微分与数值积分等内容。我校是一所工科院校，微分方程数值解法很重要，加上课程内容多，学时少，所以微分方程数值解法等内容都没时间系统讲解，只能根据教学时间讲一些基本的思路，学生如果本科阶段数学基础掌握不太扎实的话，学习效果就会很差。
2.没有安排实践教学环节。由于《数值分析》课程的一个显著特点是面向计算机，学习的所有算法最终都要通过编程或用数学软件在计算机上实现，学生通过系统的理论学习、编程和上机执行，才能真正理解和掌握算法，切实体会到它的实用性。然而到目前为止，《数值分析》课程没有安排课内实践环节，完全靠学生自己自觉课外上机，学生的动手能力训练放松了。结果是只学习了学以致用的课程，但没有达到学以致用的目的。
3.授课内容过于数学化。由于我校是交通类院校，在课程设置上对数学的要求较高，《数值分析》课程属于数学类课程，理论性和抽象性都很强，但是很多学生害怕学数学。我们教师在讲授过程中为了尽量保证课程的系统性、逻辑的严谨性和推导证明的准确性，算法推导和公式证明一丝不苟，同时出现的问题就是课程讲授过于数学化。例如在讲解代数插值多项式的误差分析时，证明中巧妙的辅助函数，反复用到微积分中Rool定理，才得到误差表达式。整个证明过程数学味特浓也特严谨，但要求学生学习和理解证明过程就比较困难。又比如，课程中一些计算公式比较复杂，在授课中推导很麻烦，并且表达式过于冗长，特别是三次样条插值函数推导中的M-表达式与m-表达式，板书时就会在视觉上让学生感到困惑。
4.没有处理好课堂教学中多媒体与板书的关系。《数值分析》课程教学中既有公式的推导，又有大量的计算过程。在黑板上进行迭代计算实际上是纸上谈兵，况且授课时间本来就十分紧张，不可能大量板书。光过分依赖多媒体课件，视觉效果固然好，信息量大，但削弱了严密的数学推导和计算过程，使得学生只记住了某些结果，忽略了过程。为了提高该课程教学质量，哪些章节应该以多媒体为主板书为辅，哪些章节应该以板书为主多媒体辅助教学？这个问题因人而异，我们虽然担任了多年该课程的教学工作，而且进行了教改立项研究，至今都没有很好地解决这个问题。综上所述，为了提高我校理工科研究生培养质量，《数值分析》课程教学改革是一个迫切需要研究与实践的课题。
二、数值分析课程教学的实践与改革研究
我校六位教授和副教授一直担任该课程的教学工作，近几年有几位年轻的博士、讲师加入课程组。通过十几年的教学实践，我们也感到学习该课程比较枯燥，要提高教学质量，在教学过程注重讲课的风趣性，要求授课教师知识面要广，数学建模能力和计算机编程较强。通过认识、实践、再认识、再实践，我们做了以下几个方面的工作：
1.根据我校专业特点，合理地制定课程教学大纲。通过长期教学实践，根据我校专业特点，我们认为优化数值分析课程教学内容是教学改革的重要内容。数值分析的研究内容多，既有理论推导又有算法实践，但对工科学生而言，他们的学习重点应放在各种数值计算方法的使用上，至于这些算法的由来可以不作为教学重点。基于此种思路，我们对教学大纲作了适当的调整，即教学中尽量做到“重概念，重应用，轻理论推导”。
2.优选教学内容，在问题处理上更加科学性。在教学过程中，我们在注意课程基本知识、基本理论、基本方法的同时，要强调通过课程学习培养学生分析问题和解决问题的能力。对一些经典问题采用新观点、新方法处理，比如在讲解追赶法时讲解算法的由来，而不照搬书上的分解算法；在讲解三次样条插值时同时介绍三弯矩法和三转角法。在课程教学中要适当介绍当今有关数值计算方法的最新理论。教师应着重介绍各类数学问题的内涵和实际背景，让学生明确该类数学问题的研究意义。例如，土木工程类研究生的数值分析课程，我们在学生学习非线性方程的数值解法时，结合桥梁设计时静力分析；在学习插值与逼近时，结合高速公路设计，将样条插值方法和曲线拟合应用于设计中。授课过程中要求学生结合所学专业既要注意细节的分析，但又不能把握整体和整体上把握该课程。
3.强调和重视实践环节。本课程是一门实践性和应用性较强的课程，如果授课教师只讲一些算法，不要求学生运用算法解决实际问题，学生的实践能力就得不到提高。为了达到学以致用的目的，现在我们布置课外作业，要求学生根据学习内容自己课外上机，课外作业是根据我校相关专业中的实际问题，设计实验题目，引导学生的学习兴趣。在应用相关软件（比如MATLAB）或程序中理解或体现算法的基本思想，激发了学生的创造性。另外，我们希望增加课程实践环节，如课程设计，加强动手能力培养，提高学习效果。
数值分析课程改革是一个长期的、系统的过程，要求我们任课教师努力探索，和调动学生学习的积极性，真正达到培养学生能力的目的。我们相信，在师生的共同努力下，数值分析课程教学改革一定会成功！
参考文献：
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[2]王燕.基于学生创新能力培养的数值分析课程教学改革和实践[J].科教文汇，2011，（6）：102—104.
[3]闵杰，李璐，刘华勇.土建类数值分析课程教学内容优化探讨[J].高等建筑教育，2010，19（5）：88-90.
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数学建模插值法范文5
【摘要】对于现代商业银行而言，将数学引入管理领域的做法在发达国家已经很成熟。国内银行也已经开始将先进的数学理论和模型广泛应用于管理决策和风险管理领域中，商业银行在多年的运营中积累了丰富的数据，利用这些数据，可以通过合适的数学理论及方法寻找其中蕴藏的规律，从而为商业银行的精细化管理提供决策依据。
【关键词】数学 商业银行 流动性 资产负债 盈利能力 风险管理
数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，是对复杂现象进行定量分析不可或缺的手段。对于现代商业银行而言，数学已经被广泛应用于管理决策支持、产品定价、市场营销、风险计量和管控等工作中，为银行的精细化管理提供了详实的决策依据。
1.短期流动性管理
流动性管理是商业银行经营管理的重要内容，可以分为短期和中长期两个方面，短期流动性管理主要是备付金管理。备付金一般为非盈利性或盈利能力很低的资产，商业银行持有的备付金越多，抵御流动性风险的能力就越强，但是会对银行的整体盈利性造成不利影响1。商业银行对备付金持有量的管理，往往利用数学模型进行分析，所用的数学模型包括：
1.1计量经济学模型。该模型利用过去较长一段时期的业务数据，对短期流动性需求、长期流动性需求、周期流动性需求和临时流动性需求分别进行建模和预测，在此基础上确定合理的备付金水平；
1.2运筹学模型。该模型首先确定资金的流动性要求及监管等方面的各种约束条件，然后建立目标函数，通过数学求解来确定银行的最佳备付金持有量，实现保证流动性的前提下的利润最大化；
1.3动态模型。该模型利用神经网络等动态建模技术，首先确定一个初始模型，然后再根据实际业务经营情况和模型期望值的差异不断进行调整和优化，最后形成一个稳定的模型，并以此为基础对备付金水平进行动态的调整。
2.资产负债管理
资产负债管理是银行通过对资金来源（负债）和资金运用（资产）进行综合管理， 以最大限度地实现其经营目标的管理手段。线性规划法是银行用于资产负债管理最常见的方法，一般采取三个步骤：第一，建立目标函数。银行通常把利润作为该模型的目标，然后根据资产的收益率来选择不同的资产组合，以现利润目标的最大值；第二，加上约束条件。在建立目标函数的基础上，附加政策法规的约束、流动性约束、安全性约束、其他方面的约束；第三，求解各种资产的具体数值。在利润最大的前提下，根据各种资产约束条件的具体限制便可找出一组最佳的资产组合。
通过线性规划法，可以使银行确定具体的经营目标，比较分析各种决策的结果，并根据约束条件的变动来调动资金的分配，从而建立银行资产负债优化模型。
3.盈利能力评价
在商业银行综合竞争力评价中，盈利能力是一个核心要素。运用模糊数学分析方法可以对多家银行的盈利能力进行准确和有效的评估2，一般分为三个步骤：第一，设计一套合适的盈利能力指标体系。该指标体系不仅能反映商业银行盈利能力的数量，而且能深入反映盈利能力的质量，通常有总资产利润率（ROA）、净资产收益率（ROE）、资本充足率（CAR）等；第二，合理确定各指标的权重。较常用的方法是排序打分法，即邀请若干个行业专家依据各项指标对商业银行盈利能力的重要程度进行降序打分；第三，计算各个指标的隶属度以及总体评价得分。假设多家银行中，某指标实际数值Xn的最小值为X0，最大值为X1，则利用线性插值法，可以求出该指标的实际数据在区间[X0，X1]中的映射， μn= （Xn-X1）/（X2-X1），即该指标的隶属度。
在上述基础上，根据各项指标隶属度的加权平均值就可以得到某家银行盈利能力的总得分Pi，Pi=μ1*Q1 +μ2*Q2 +… +μn*Qn 。其中，μn为第n项指标的隶属度，Qn为第n项指标的权重。
4.信用风险管理
在信用风险管理中，银行一般通过数学模型建立内部评级体系来对信用风险进行量化。总体而言，数学模型可以在以下几个方面发挥重要作用：一是信用政策。利用统计模型建立内部风险评分系统，当处理不同区域、规模或行业的客户时，可以提供客观且一致的方法；二是信用评级。评级是商业银行信贷风险防范的第一道防线，利用数学方法对企业的实际运行进行划分和分析，建立对应的评级模型，可以为授信审批提供科学依据；三是风险计量。通过建立数学模型计算风险加权资产，可以实现对商业银行信用风险资本充足率、预期以及非预期损失、资本占用等指标的计算，为满足外部监管部门要求以及实现内部决策管理提供科学依据；四是风险预警。客户风险预警系统正是基于对历史数据的分析，通过聚类分析将客户进行行业划分，利用复杂的模型工具计算和筛选财务指标，从而实现客户的风险信息预警。
5.市场风险管理
市场风险主要来源于利率风险、汇率风险、股票价格风险和商品价格风险，商业银行通过建立数学模型，对市场风险进行度量、分析。目前，风险价值（Value at Risk， VaR）已成为度量市场风险的主要指标3，是指在一定的持有期和给定的置信水平下，利率、汇率等市场风险要素发生变化时可能对某项资金头寸、资产组合或机构造成的潜在的最大损失。
VaR模型可以用来简单明了地表示市场风险的大小，可以事前计算风险，不仅能计算单个金融工具的风险，还能计算由多个金融工具组成的投资组合风险。国际银行业巴塞尔委员会也利用VaR模型所估计的市场风险来确定银行以及其他金融机构的资本充足率。
结束语：数学是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一体的学问，是自然科学、社会科学等的巨大智力资源。数学对商业银行有着直接的、明显的影响，大大推动了银行业的发展。同时，银行业的实践也影响着数学模型的产生与进步。在过去的几十年间，数学已成为全世界银行进行金融活动的重要工具。在未来， 数学必将在全球银行系统的运作中发挥越来越重要的作用。
参考文献：
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数学建模插值法范文6
利率期限结构是用于描述在给定起始日条件下，到期期限与利率之间关系的函数表达形式，也称为利率曲线。根据利率性质的不同，可以分为零息曲线（即期利率）、瞬时远期利率曲线和平价收益率曲线。利率期限结构直接反映了资本市场对未来利率走势的预期，对市场上不同风险偏好的投资者的投资行为提供了参考。在国外，利率曲线走势是中央银行进行货币政策调控的重要参考因素。货币政策制定者可以利用远期利率来预测未来某个时间段的市场利率，从而根据各自不用的经济发展目标对货币政策进行调整。此外，利率期限结构作为未来现金流的贴现因子，是各类金融衍生品定价、资产定价、保值和风险管理、套利以及投机交易的基准。随着中国债券市场的迅猛发展，债券及债券衍生品，如国债期货、互换、CDS等必将雨后春笋般出现在中国的金融市场上，成为资本市场和货币市场的一个重要组成部分。国债收益率曲线作为所有证券的定价基准，揭示了市场利率的总体水平和变化方向，是投资者必不可少的分析工具，构建国债利率曲线意义重大。
国外债券市场经过半个世纪的发展，已有大量学者对利率期限结构进行研究，利率期限结构的数学模型日臻完善。利率曲线构建可以最早可以追溯到债券研究的先驱David Durand （1942），采用一簇单调的包络线来刻画利率期限结构。利率曲线构建大致分为直接法和间接法两类。直接法包括息票剥离法、线性插值法、多项式插值法等。直接法产生较早，使用简单，适用于债券品种丰富、流动性高、买卖价差小的成熟的债券市场。不过，直接法拟合度不佳，此外会遇上债券到期日相同，由于息票率不同而导致得收益率不同的情况。而间接法解决了直接法无法选择合适的收益率的问题，且在发展中债券市场也适用。间接法包括样条插值法（多项式样条法、指数样条法）、Nelson-Siegel模型、扩展的Nelson-Siegel模型即Svensson模型、Varieble Roughness Penalty模型（简称VRP模型）、Vasicek 模型等。J. Huston McCulloch （1971， 1975） 提出了多项式样条法，用分段的多项式函数刻画贴现函数。Vasicek and Fong （1982）提出了指数样条法，用分段的指数函数表示贴现函数，提高了平滑性。但此两种样条法对数据过于敏感，参数稳健性差，经济意义不大。为此，Nelson&Siegel（1987）提出了一个用参数表示的瞬时远期利率模型，模型不同部分用以刻画利率长期、短期、中期效应，参数不多，却能解释90%以上的利率变动，对单调型、驼峰型、S型等众多形状的利率曲线都有不错的拟合效果。Svensson（1994）提出了扩展的Nelson-Siegel模型，亦成为Svensson模型，该模型增加了两个参数，更有利于刻画短端较为弯曲的利率曲线结构。近年来Anderson&Sleath（1999）又提出了VRP模型，较运用单一函数刻画利率曲线的Svensson模型而言，三次分段样条函数，由分段带来了拟合不同部分的利率曲线的相对独立性，还剔除了异常样本，提高了模型的可靠性。此外，Svensson模型由于模型自身的特点会在利率长端趋向渐进，无法刻画市场数据反应的长端斜率下倾的趋势；而VRP模型就没有这个缺陷。而且，VRP模型还可以在不扭曲长端曲线的前提下，利用更多的市场数据改进短端的拟合精度。因而，很快在实践中推广。不过VRP模型在提高精度的同时，也降低了曲线的光滑性，降低了运算速度，实践中需合理权衡。
国外成熟的债券市场上，经过多年发展，已经有了相对完善的利率期限结构的数学模型，并被广泛应用于实际的市场中。然而中国债券市场仍处于初步发展阶段，利率曲线的研究和应用还十分有限。比如杨大楷等人（1997）采用一元线性回归方程和线性插值的方法对收益率曲线进行建模分析；邵斌、徐蓉等人（2003）利用Nelson-Seigel、Svensson模型进行国债收益率曲线构造。此外我国债券市场起步较晚，产品较少，定价偏误较多，仅凭中债和万德提供的关键期限点的数据远不能满足中国迅速发展的债券市场的需求。更重要的是，中债编制利率曲线的HERMITE插值模型过于陈旧，模型存在理论上的缺陷。作为数据服务商的万德，没有提供编制模型的具体模型，所给出的结果亦不够精细，对计息方式、日期调整的参数调整也有待修正。这对于需要精确量化的债券市场而言，实在是远远不够的。
本文着眼于国债利率曲线的理论模型构造和具体实现。国债的信用等级高、流动性好，国债价格所隐含的收益率可以被当作是无风险利率来处理，而无风险利率是任何利率研究的基础。本文通过编程实现了债券利率模型中经典的Nelson-Siegel、Svensson模型以及现阶段国外大型金融机构广泛采用的VRP模型，采用万德债券价格数据，通过EXCEL处理后输入模型得到即期利率曲线和远期利率模型，并通过事后筛选过程剔除异常样本进行调整，得到精确的国债利率曲线。
一、术语简介
利率期限结构是用于描述在给定起始日条件下，到期期限与利率之间关系的函数表达形式，也称为利率曲线。根据利率性质的不同，可以分为零息曲线、瞬时远期利率曲线和平价收益率曲线。零息曲线描述的是当前市场上虚拟的零息债券和到其限期相关的收益率，也是将未来现金流贴现至当前的贴现因子曲线。瞬时远期利率是当前市场下，根据无套利原理计算得到的未来某一个时间点的利率水平，主要用于分析当前利率期限结构下，未来利率期限结构的走势。平价收益率曲线主要用于当前市场下，定价附息债券的票面利率。
零息利率是指从基准日开始，期限为t的时间段内的年化利率水平。在基准日确定的情况下，是期限t的一元函数。即期利率常用表示，表明经过期限t之后，基准日的1元的货币时间价值为。
远期利率是指在当前基准日情况下，未来每个时间点s开始，期限为的一段时间内的年化利率水平。在基准日确定的情况下，是未来时间点s和期限的两元函数。远期利率常用 表示。根据无套利原理，即同样的现金流产生同样的货币时间价值，可以得到远期利率和即期利率的关系式：
--------------（2.1）
当趋于0时，便得到瞬时远期利率，表示在当前基准日下，未来时间点s的利率水平，即
---------------------（2.2）
平价收益率利率是指在给定零息利率条件下，期限为t的债券平价发行时的票面利率，常用表示。即
-------------（2.3）
其中，ti表示第i 次付息时间。
可以看到，零息利率曲线、瞬时远期利率曲线和平价收益率曲线三者之间可以相互转换。当得到其中一条曲线的函数表达后，另两条曲线的函数表达形式可以通过变化求得。因此，在利率期限结构的构造过程中，只需要关注其中一条曲线的构造。在实际应用中，主要是构造瞬时远期利率曲线和零息曲线。
为后文阐述方便，我们在此引入贴现因子的概念。贴现因子是期限t的函数，表示距基准日时间期限为t的1元资产在基准日的现值，常用表示。即
------------------（2.4）
在连续时间计息情况下，写成
--------------（2.5）
由（2.1）、（2.2）、（2.4）、（2.5）不难推出在连续时间计息情况下，远期利率关于折现函数有一个良好的解析表达式，即
---------------（2.6）
因此，又可以把远期利率或者零息利率曲线转换成贴现因子曲线。
二、构造原理
我们给出在实际应用中构造利率期限结构的基本原理。
第一步，得到债券二级市场上的债券样本净价数据，利用MATLAB中的BNDYIELD函数计算出每个样本的TYM（到期收益率）；第二步，确定需要拟合的目标利率曲线的类型及模型。类型即上文提及的瞬时远期利率曲线和零息曲线，曲线模型为Nelson-Seigel模型、Sevensson模型及VRP模型。第三步，通过最优化目标函数得到参数。最优化目标函数主要为久期加权价格偏差、价格偏差或收益率偏差函数。第四步，将所得曲线对债券样本进行反向定价，通过事后筛选法则对构造函数进行调整，进而得到精确化的利率期限结构曲线。
简单而言，整个构建过程是一个最优化过程。确定了目标利率曲线的类型和模型，就能反向计算样本债券的理论价格，进而令久期加权的价格偏差函数最小，得到曲线的参数。但由于现阶段中国债券的交易模式主要为询价模型，万德提供的报价数据并非完全都是成交价格，存在一定的虚假报价数据，因此需要进行样本筛选。一般的筛选法则有事先筛选和事后筛选两种。事先筛选法则是指在进行曲线拟合前根据一定的筛选法则对样本进行剔除，然后进行曲线拟合。事后筛选法则是指事先不对样本进行任何处理，在得到拟合曲线后根据反向计算得到的价格偏差或收益率偏差进行剔除，并再次进行拟合，直到价格偏差或收益率偏差满足一定的条件。事先筛选的优点在于简单明了，可以凭借经验进行直观判断，而缺点在于筛选法则过于直观，当数据信息量巨大时容易造成错误的剔除。事后筛选的优点在于依赖客观准则，更科学更有效。缺点在于对计算器的运算速度要求更高。
本文对事先筛选和事后筛选都做了一定的研究，通过EXCEL处理进行事前筛选，同时编制了事后筛选的Matlab程序，并提出了基于事后筛选的进一步优化建议。
三、构造流程图
利率期限构造图：
四、模型介绍
设从债券市场的到债券样本量为N，每个样本的价格为Pi， 。
记贴现因子曲线的模型为（即），其中为估计参数向量。那么问题即转化为令：
-----------------（2.7）
最小，得到的估计值。其中，为权重系数，为估计价格，即
-----------------（2.8）
其中，mi表示第i个债券的现金流次数，Fij表示第i个债券的第j次现金流，tij表示第i个债券的第j次现金流的支付时间点。
代表了在目标函数中第i个债券样本所占的权重，决定了第i个债券信息的重要性。当均等于1，即每个债券权重相等时，即为价格加权模型。当等于每个债券的加权久期时，即为加权久期模型。此时，Di为第i个债券的久期， yi为第i个债券的到期收益率。
可以看到，利率期限结构构造的核心问题是贴现函数的构造，或者等价地说，是瞬时远期利率的构造。Nelson-Siegel模型中，构造了瞬时远期利率的形式：
----（3.1）
其中，为需要估计的参数向量。
Svensson在Nelson-Siegel模型基础上做了扩展，将瞬时远期利率的形式修改为以下形式：
（3.2）
以便更好的拟合利率曲线。
为了使拟合的曲线具有更好的光滑性、平稳性、流动性，近年来学术界又提出了Variable Roughness Penalty模型，简称VRP。在VRP模型中，贴现因子函数被构造出来，利用三次样条的方式，标准形式如下：
---（3.3）
以下是由Lancaster和Salkauskas提出的n次样条线性组合通用形式：
（3.4）
如果
最优化目标函数也被重新修改，添加了惩罚项函数。具体形式如下：
------（3.5）
其中，M债券样本中最长期限，为惩罚函数，为瞬时远期利率的两阶导数。
五、实例分析
我们从万德数据库得到2012年11月20日和2012年12月6日的记账式国债报价数据。当日未交易的样券没有反映债券的真实报价，存续期未满一年的债券万德算法与理论算法有重大偏差。基于此，从150余只样券中删除当日未有交易的样券和存续期未满1年的样券，分别获得28、26只当日有交易的样券。通过对删选后的数据进行处理，获得债券样本的起息日、到期日、票息，净价、Settlement、付息次数，将处理后的数据输入MATLAB。在本文中令，即采用价格加权模型。令目标函数求得在不同模型下的参数和目标函数值。
1、Nelson-Seigel模型
2012年11月20日最优参数组合为：目标函数的最小值为：。
2012年12月6日最优参数组合为：，，目标函数的最小值为：。
2012年11月20日和12月6日的国债实际收益率曲线和用Nelson-Seigel模型拟合的理论即期收益率曲线如图1、图2所示。
2012/11/20收益率曲线拟合图
图1
2012/12/06收益率曲线拟合图
图2
2、Svensson模型
2012年11月20日最优参数组合为：，，目标函数的最小值为：。
2012年12月6日最优参数组合为：，，目标函数的最小值为：。
2012年11月20日和12月6日的国债实际收益率曲线和用Svensson模型拟合的理论即期收益率曲线如图3、图4所示。
2012/11/20收益率曲线拟合图
图3
2012/12/06收益率曲线拟合
图4
3、VRP模型
2012年11月20日在相应的时间分段点上对应的三次样条系数分别为：
目标函数的最小值为：
2012年12月6日在相应的时间分段点上对应的三次样条系数分别为：
目标函数的最小值为：
2012年11月20日和12月6日的国债实际收益率曲线和用VRP模型拟合的理论即期收益率曲线如图5、图6所示。
2012/11/20收益率曲线拟合图
图5
2012/12/06收益率曲线拟合
图6
综上所述，Nelson-Seigel，Svensson，VRP三种间接法模型对实际收益率都能进行较好的拟合。如表1所示， Nelson-Seigel，Svensson模型在选取的不同时间点上拟合优度略有差别，而VRP模型均方根误差一直最小，显著优于Nelson-Seigel，Svensson模型。
表1 三种模型均方根误差比较
六、结果分析
本文从拟合程度和曲线的光滑性、稳定性、灵活性对三种模型进行了分析，认为VRP模型对国债利率期限结构拟合是最合适的，因而采用VRP模型。
主要理由有：1、VRP模型拟合得到的均方根误差最小，表示拟合程度最优。2、VRP模型具有很好的光滑性，有利于后续的利率走势分析。3、VRP模型较之其他两个模型更具稳定性，即单个数据的突变不会对曲线形状产生明显的影响。4、VRP模型的利率曲线远端因数据样本数据的变化而造成的变动较之其他两个模型更小，这更符合是债券市场中远端利率变化较之于短端更小的实际情况。
基于此，我们采用VRP模型对2012年11月20日的国债进行即期和远期的利率期限结构构建，如图7
图7
七、模型的完善
虽然本文已经构建了利率期限结构完整的构造流程图，但还有不少方面值得关注和改善。首先，对于样本的筛选法则还可以进行更深入的讨论。其次，对目标函数的构造也需要进一步的探讨，可以根据中国市场的实际情况来决定加权久期偏差函数还是收益率偏差函数，或者其他的最优化函数。
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