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逻辑思维与数学关系范文1
【关键词】 小学数学；数学教学；培养；逻辑思维
逻辑思维指的是符合某种认为制定的思维规则和思维形式的思维方式，我们平时所说的，逻辑思维主要遵循传统形式逻辑规则的思维方式. 对于人的逻辑思维能力的培养，要从孩子们抓起，尤其是在小学数学教学中，数学本身就是一门理性的、具有逻辑性的课程，利用数学小学课程培养孩子们的逻辑思维能力是非常合适的. 想要在小学数学教学中培养孩子们的逻辑思维能力，需要教师对传统的教学方式进行改革和创新. 本文就来浅析一下小学数学教学中学生逻辑思维的培养.
一、贴近生活，激发学生们的学习兴趣
兴趣是孩子最好的老师，尤其是在小学生的阶段，孩子们对事物还没有完全的认知，这个时候，激发孩子们的学习兴趣，才是集中孩子们注意力、提高学生们的学习效果的好时机. 数学本身就是一个抽象、严谨、难以理解的学科，所以在孩子们刚刚接触数学的时候，就应该增加学生学习的趣味性，为学生创造一个容易产生浓厚兴趣的环境，激发孩子们的学习兴趣，比如教师在教“一次方程的应用浓度问题”一课时，可以用一杯水和一杯果汁做实验，通过对于果汁水的配置，能够直观有趣的说明溶剂、溶质、溶液三者之间的关系，所需的物品都是生活中很容易找到的，贴近孩子们的日常生活，使学生们在动手分析的过程中还能够与周围的同学进行合作交流，激发孩子们的学习兴趣，孩子们自身经历的数学知识的形成过程，能够对孩子们逻辑思维能力的培养有很大的帮助.
二、建立和谐的师生关系
教师应该与孩子们进行心灵上的沟通，通过与孩子们之间的交流，真正的了解孩子们内心的真实想法，从而对的学习习惯、兴趣爱好等等都有一个详细的了解，有利于培养学生的个性发展，做孩子们的好朋友，建立和谐融洽的师生关系，使学生们每天都能在开心的课堂氛围中学到知识，使学生们大胆创新，发挥自己的优势，能够培养学生的逻辑思维能力，还应该为学生提供更多的自主学习的机会，让学生们在亲身实践中总结归纳出数学知识，培养学生的逻辑思维能力.
三、充分利用教材中的逻辑思维
数学本身就是一门逻辑性非常强的学科，想要培养学生的逻辑思维能力，应该充分的利用数学教材中的逻辑思维案例. 比如说在“数的整除”一课中，不仅能够达到教学目标，还能够培养学生的分析比较能力、抽象概括能力以及推理判断的能力，而且教师还应该注意的是应用题是培养学生逻辑思维能力的好帮手，在分析应用题中的数量关系时，能够培养学生的逻辑思维能力.
四、精心准备提问的问题
在小学数学教学中，教师在上课之前要进行备课，备课的时候应该精心准备一些与本节课有关的问题，既能够巩固课堂知识，还能够培养学生们的逻辑思维能力. 小学数学教材中都有一些例题，教师可以根据例题做一些适当的延伸，或者从一个问题转换成另一个问题，使学生能够完整的理解解题的方式，培养学生们举一反三的能力，教师还可以设计一些有逻辑性的题目，引导学生们自己动脑分析题目，培养学生们的逻辑思维能力.
五、有序的揭示知识，引导学生进行总结
在小学数学教材中，很多数学概念往往都不是独立存在的，而是要为接下来的概念提供基础的，比如乘法的概念就是建立在加法的概念的基础上的，但是乘法的概念又是除法的概念的基础，并不是独立存在的，在教学实践中，教师要注意将一些概念和知识分成一些部分，引导学生们自己由浅入深的学习，对知识进行总结和归纳，使学生的逻辑思维能力得到培养.
总 结
对小学生逻辑思维能力的培养是非常必要的，逻辑思维能力不仅能够帮助学生们的学习，还能够开发学生们的大脑. 教师在日常课程中对学生们逻辑思维能力的培养要具有一定的科学性，还要符合小学生们在这一时期内的发展特点和心理特点，从而制定出符合实际情况的计划来培养学生们的逻辑思维能力. 在小学数学教学中，培养学生的逻辑思维能力时，要贴近学生的生活，激发学生的学习兴趣，要与学生成为好朋友，而不是传统教学中“高高在上”的老师，还要充分利用教材来培养学生们的逻辑思维能力，在备课时精心准备课堂上要提问的问题，引导学生们自己对知识进行梳理、归纳和总结.
【参考文献】
[1]高斐.论小学数学教学中学生逻辑思维能力的培养[J].才智，2014，36：197.
逻辑思维与数学关系范文2
关键词：逻辑思维；教学结合；教学方法
数学教育是基础教育中的重要组成部分，因此，教育工作者需要引起重视，不断提高数学教学水平和效率。
一、培养学生数学逻辑思维
数学不同于其他学科，它需要学生具备较强的逻辑思维，学生如果想提高数学学习的能力，最重要的是培养数学逻辑思维。高中数学教师作为学生的引导者，在平时教学活动中，出来向学生传授数学知识和内容之外，更重要的是要培养高中生的数学逻辑思维，这种逻辑思维能力对于学生而言非常关键。学生如果具备这种逻辑思维在解答数学问题的时候能够更加有规律地去探讨解决问题的方向。
案例一：某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为3/5，且各次射击的结果相互独立。求射手在三次射击中至少有两次连续击中目标的概率。学生在解答这一道概率题的时候，可以列出以下可能情况：1 2；2 3；
1 2 3；设概率分别为p1，p2，p3。然后列出排列式子，最后得出一共有90/125的概率。在这个过程中学生能够运用数学逻辑思维来思考问题，这样就能够通过严谨的推理来找出问题的答案。
二、“教”与“学”相结合
在数学教学活动中，教师是教学的引导者，而学生才是学习的主体。但是，目前很多教师仍然认为自己是绝对的领导者，学生应该学会服从老师的意见。教师的这种错误观念很容易让学生处于被动，特别是在高中数学教学
中，如果教师一味的讲授数学知识，而忽视了学生的主观能动性，则可能会让数学教学质量得不到提升。因此，作为高中数学教师，应该将“教”与“学”结合在一起，既重视数学知识的传授，又要重视学生主动学习能力的发挥，将学生放在主体的位置上去，这样才能够提高学生自主学习的能力。
案例二：三角函数之间的关系tanα・cotα=1；sinα・cscα=1；cosα・secα=1。教师在讲解这一课程内容的时候，可以先将以上的公式写在黑板上，然后让学生讨论通过怎样的方式能够验算出三者之间的关系。学生会举手起来回答，必要的时候在黑板上进行论证。教师通过这种方式可以加强师生间沟通，从而提高教学质量。
总之，高中教师需要不断的进行探索，探讨出一套行之有效的数学教学模式，这样才能够推动数学教育事业的发展。
参考文献：
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数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维、形象思维和直觉思维三类。
《小学数学教学大纲》中明确规定，要“使学生具有初步的逻辑思维能力”。这一条规定是很正确的，下面试从两方面进行一些分析：首先从教学的特点看，数学本身是由许多判断组成的确定的体系，这些判断是用数学术语和逻辑术语以及相应的符合所表示的数学语句来表达的。再从小学生的思维特点来看，他们正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。这里所说的抽象逻辑思维，主要是指形式逻辑思维。因此可以说，在小学，特别是中、高年级，正是发展学生抽象逻辑思维的有利时期。数学逻辑思维是以数学的概念、判断和推理为基本形式，以分析、综合、抽象、概括、（完全）归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以逻辑地表达的思维方式。它以抽象性和演绎性为主要特征，其思维过程是线型或枝叉型地一步步地推下去的，并且每一步都有充分的依据，具有论证推理的特点。用数学家阿达玛的话来说，“逻辑”思维是以较少无意识“成分”，定向比较严密，一致性和清楚划分的思维过程为特征的。
数学形象思维是以数学的表象、直感、想象为基本形式，以观察、比较、类比、联想、（不完全）归纳、猜想为主要方法，并主要地通过对形象材料的意识加工而得到领会的思维方式。它以形象性和想象性为主要特征，其思维过程带有整体思考、模糊判别的合情推理的倾向。
数学直觉思维是包括数学直觉和数学灵感两种独立表现形式，能够迅速地直接地洞察或领悟对象性质的思维方式。它们以思维的跳跃性或突发性为主要特征。用阿达玛的话来说，“直觉”思维是以相当多的无意识“成分”，思维过程更分散、迅速和省略为特征的。
在具体的数学思维过程中，数学形象思维和数学逻辑思维往往是交织在一起不能分开的。它们相互渗透、相互启发，并向立体思维转化，使思维的方向朝着不同的角度、不同的方面舒展开来，呈现出一种发散的多维型思维的特征，并进而使原来的思维向更高级的思维形式――辩证思维转化和升华。因此，立体思维（或多维型思维）是指逻辑思维与形象思维的结合，集中思维与发散思维的结合。立体思维是一种初级形式的辩证思维。当立体思维达到把握事物的理性具体、反映事物的矛盾运动及其关系，溶解了形式思维固定分明的界限，能从动态的、全面辩证的观点看待事物的本质和规律时，它就进入了辩证思维。
数学教学的任务是帮助义务教育阶段的学生“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”，“帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”（《数学课程标准》）。为了实现上述目标，从小就要大力培养儿童的思维能力。
1. 培养学生抽象逻辑思维 刚刚入学的小学生，思维带有明显的具体形象性。在数学的计算中，小学生往往需要实物或手指的帮助才能运算。他们的思维活动在很大程度上，还是和面前的具体事物及生动的记忆表象联系着。小学生的思维逐渐由具体形象思维过渡到抽象逻辑思维为主要形式。他们思维发展“过渡”的实现是思维发展过程中的质变，是通过新质要素的逐渐积累和旧质要素的不断“消亡”及改造而实现的。实现显著质变的决定因素是小学生的生理成熟、集体生活环境和教育作用的综合效应，而不是简单地由哪一个方面所决定的。小学生思维发展过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，并不是说，他们的思维就不存在具体形象性了。相反，小学生的思维必须借助事物的具体形象来实现抽象逻辑思维，小学生低年级学生思维中的具体形象性成分占优势，而抽象逻辑思维居次要地位。随着年级的增高，他们的抽象逻辑思维才逐渐占主导地位。
2. 培养学生抽象逻辑思维的自觉性 小学生不能自觉意识到自己的思维过程，低年级小学生尤其明显。例如，对数学应用题的解答，小学生不会说出自己的思考过程，也就是常说的“知其然而不知其所以然”，也不习惯于自我检查。教师在教学过程中，要注意引导学生在解应用题时，说出思考过程，检查一下自己在解题时的思维障碍在哪里，并注意及时准确地检查作业，将有助于学生抽象逻辑思维自觉性的发展。
3. 引导学生抽象逻辑思维平衡发展 小学生抽象逻辑思维的发展在不同的学科中，其表现是不相同的。例如，在数学课学习中，尤其是经过系统的小学奥林匹克数学训练的学生，可以离开具体事物进行抽象思考。但在自然课上仍停留在较具体的形象水平上。
4. 思维应具有批判性 小学生的思维缺乏批判性，年龄越小的儿童越明显。他们常常不根据客观情况的变化，盲目按照教师所说的每一句话去做，以教师的言语作为衡量事物对错的唯一标准。这一方面要求教师的言行要慎重，时刻考虑到如何做有利于小学生身心健康发展；另一方面，也向教师提出了新的课题，如何使学生逐步克服这种盲目性，而多一些批判性和理性思考。
5. 思维要灵活 小学生的思维还缺乏灵活性，他们不善于考虑条件的变化，而以旧经验解答新问题。在数学学习中，这种特点表现最明显。一般说来儿童对熟悉的或学过的题目类型，在内容不变时能顺利解答，如果内容稍加变化，他难以随着变化的内容而改变方法，往往照着原来的形式套做题目。在课堂教学中，训练的形式要多样，使学生能够举一反三。随着年级、年龄的增长，知识经验的积累，第二信号系统的发展，到了中、高年级，学生思维的惰性将逐渐减少。
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【关键词】小学数学；教学；逻辑思维能力；措施
1. 前言
当今小学数学教学的基本任务之一是培养小学生的逻辑思维能力。如果想要为我国的社会主义现代化建设培养出更多优秀的人才，那么首先就必须培养学生勇于创新以及独立思考的能力，进而促进学生逻辑思维能力的提高。从一年级开始，小学数学教学就承担起了提高和培养学生逻辑思维能力的重要任务，因此，在目前的小学数学教学中加强对学生的逻辑思维能力的培养就显得尤为迫切。
2. 小学数学教学中学生逻辑思维能力培养的重要性和必要性
2.1学生逻辑思维能力的培养贯穿在数学教学的全过程中。在数学教学过程当中，始终贯彻着逻辑思维能力的培养，无论是其他阶段的教学还是小学数学教学，都是提升以及锻炼学生逻辑思维能力的最佳时期，并且二者是相辅相成，缺一不可的。
2.2学生逻辑思维能力的培养是小学教学的基本任务。通常情况下，学生所学到的知识门类多，显得杂乱无章，这就迫切的要求学生具备逻辑思维能力，把自身所学到的知识都能够罗列成一个简单、有序的系统，而小学数学教学中则能够锻炼以及形成这种逻辑思维能力。由此看来，小学数学教学对培养和提高学生的逻辑思维能力是非常重要的，并且对学生的综合能力的提高也有着极大的推动作用。
2.3学生逻辑思维能力的培养有助于学生其他能力的提高。在小学学习阶段，学生开始逐渐的向抽象逻辑思维方面过渡，这种过渡，是从形象思维转变为抽象思维，这是一个非常关键的质变过程。在学生的这个质变过程当中，学生需要运用自身的创新能力以及分析能力来把自己所直观看到的事物提升到一个感性认识的阶段，然后再进行相应的逻辑思维的思考。所以，学生形成逻辑思维能力的同时，还能够有效的提高其他方面的能力。
3. 小学数学教学中培养学生逻辑思维能力的措施
3.1科学的运用教学用具。逻辑思维属于抽象思维的范畴，在当今的小学教学当中，学生是比较难于接受抽象思维培养的，因此，小学数学教师就必须利用一些教学用具来辅助教学，以便于正确的引导学生，帮助学生解析逻辑思维方面的形体以及概念。除此之外，教师还应当要求有条件的学生能够自己准备这方面的道具，这样不但能够提高学生的动手能力，调动学生学习的主动性以及积极性，而且还能够充分的发挥学生的想象力，进而更好的提高学生的逻辑思维能力。
3.2重视学生的语言逻辑性。当今社会所需要的人才是能够将自身所学到的知识用自己的语言表达出来，并且能够学以致用的人才。小学数学教学过程当中，教师应当鼓励学生多“讲”，学生通过把自己学到的知识经过大脑组织、加工、提炼、表达出来，能够有效的锻炼自己的逻辑思维能力，这也是逻辑思维能力运用的良好体现。试想，如果学生仅仅只会做，但是却无法将学到的知识通过自己的语言逻辑表达给别人，那么可以说这种学生的能力和那些又会做又会说的学生的能力相比，肯定是有很大差距的，这也是和我国的教育方向相违背的，这是典型的“书呆子”，现代化建设的人才不需要这样的“书呆子”。因此，在日常的小学数学教学中，数学教师应当积极的鼓励学生勇敢的将自己所学到的知识运用自己的语言表达出来，鼓励学生多说多讲，通过学生语言组织和提炼的过程，能够使学生的逻辑思维能力得以有效的提高。
3.3促进学生独立思考。在小学教学阶段，学生逻辑思维能力提高的重要方法之一就是不断的促进和鼓励学生独立思考。数学教师应当留给学生独立思考问题的空间，为学生营造良好的独立思考氛围，还应当让学生将自己思考的过程叙述出来，并且说明自己的切实理由，进而提高思维的逻辑性。由此看来，如果想全面的提高和培养学生逻辑思维能力，那么必须鼓励学生勤于思考，并且能够独立思考。学生在进行有条理、独立思考的时候，首先应当明确基本的数学概念，然后做到推理合乎逻辑、条理清晰，不但要有比较基本的逻辑思维能力，还应当有深层次的独立解决问题的能力和深入的思维逻辑能力。因此，数学教师必须不断的对学生进行数学方面的科学训练，这也是学生独立思考的重要前提。除此之外，学生进行有根据、独立的思考需要借助于数学教师科学以及长期的培养和训练，在训练和培养的过程当中，数学教师应当选择与学生相适合的教育教学方式，将语言、思维和操作三者有机的结合起来。数学教师还应该明白，学生逻辑思维能力的培养和提高是一个不断积累的过程，也是一个循序渐进的过程，因此，培养学生有条理、有根据的独立思考的能力必须经过时间的不断积淀，教师不能够过于心急和迫切，因为短时间之内成效是不可能过于显著的，但是，只要坚持科学和持久的训练，便能够逐渐的将学生的能力培养起来，最终使学生的逻辑思维能力得以提高。
4. 结束语
总而言之，数学学科是一门有着较强逻辑性的系统学科。小学数学教师在培养学生逻辑思维能力的时候，应当将眼光放长远，将学生逻辑思维能力的任务贯穿在整个数学教学的过程当中。在教学过程中，教师必须有计划、有目的的训练以及培养学生的整体逻辑思维能力，使学生的逻辑思维能力在日常的学习当中逐步的提高。学生逻辑思维能力的培养是当今小学教学中的一项基本而又艰巨的任务，因此，小学教育工作者应当积极的承担起这项任重而道远的教学使命，义不容辞的为培养现代化建设的人才贡献出自己的力量，并且尽自身最大的努力将教育教学工作做好，为国家培养出更多逻辑能力强以及思维敏捷的优秀栋梁之才。
【参考文献】
[1]郭先丽.浅谈小学数学教学中学生逻辑思维的培养[J]
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关键词：初中数学教育 思维 探讨
随着素质教育的进一步推行，人们越来越清楚地认识到，数学教育不仅仅是向学生传授数学知识，让学生背诵枯燥的公式、运算繁杂的数据，要发展学生的智力，提升学生的数学素养。影响学生数学学习能力高低和效果好坏的因素很多，但是其核心因素是数学思维。提高学生的思维能力是数学教育的核心，是全面提升学生数学学习能力的关键所在。
一、对数学形象思维的分析
在数学教学中，思维是非常重要的，R.柯朗在《数学是什么》中这样解释：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。”我们常说的数学思维。主要包括形象思维、逻辑思维、直觉思维等。形象思维是指借助数学形象或表象。反映数学对物象的本质和规律的一种思维能力。在数学形象思维中，表象与想象是两种主要形式，其中数学表象又是数学形象思维的基本元素。
1.数学表象
数学表象这一概念。是指对已经感知过的观念形象的一种重现。数学表象常常以反映事物本质联系的特定模式。即结构来表现。例如，数学中“球”的形象，已是脱离了具体的足球、篮球、排球、乒乓球等形象，“球”这个概念在数学概念中是表示定点距离相等的空间内点的集合。这是一个非常抽象的概念，它所涵盖的内容包括：集合内的点(球面上的点)与定点(球心)之间的本体联系，距离相等。数学的表象就是对事物的本质联系用一种可以分解的结构模式进行拆分和重组。从而分析其形式和特征。
数学表象在人的头脑中是通过对客观事物、模型、几何图形、代数表达式、数学符号、图像、图表等的重现而形成的。而数学的形象思维恰恰是以数学表象为主要思维材料的一种形象思维。因此。在初中数学教学中，教师要重视发展和培养学生的表象思维能力。只有这样，才能有利于学生更好地接受课程中抽象的内容。善于利用表象思维能力去分析事物的性质特点等。从而利用这些特征学会解题、学会认知。培养学生的表象思维就是要使学生在几何学习中。对基本的图形形成正确的客观的表象，抓住图形的形象特征与几何结构。辨识不同关系的各种表象，在代数、三角、分析等内容的学习中。重视各种表达式和数学语句符号等所蕴含的构造表象。
2.数学想象
数学想象是组成数学形象思维的一部分。也是一种重要的形式。学科里通常把数学想象分为再造性想象和创造性想象两种类型。
首先，再造性想象指的是，根据数学的语言、符号、数学表达式或图形、图表、图解等提示，经过加工改造而成的新的数学形象的思维过程。再造性想象具有两个特征。一个是生产的新想象虽然没有感知过。但是并非是自己完全独立创造出来的，是根据别人描述或者示意再造出来的：另一个新形象是头脑中原有的表象经过再加工或改造。其中包含着个人的知识与理解能力的作用，因此又有创造的成分。学生在平时的数学学习中的想象，很多都属于再造性的想象。因为学生的心智发育还未完全成熟。很难对新的表象创造出独立的、全新的想象。所以，学生只能在教师的教导和自己的学习中。经过再加工、再现等方法去展开想象活动。
其次，我们要分析的是创造性的想象，它一般指不依靠现成的数学语言和数学符号的描述。也不根据现成的数学表达式和图式等方法的提示，只依据思维的目的和任务在头脑中形成独立的新的形象的思维过程。这种想象能力一般多出现在数学家和科学家的头脑中。一般中学生是比较难达到这个高度的，但是可以朝这个方向培养和发展学生的想象能力。
二、对数学逻辑思维的分析
形式逻辑思维和辩证逻辑思维是逻辑思维的两大组成因素。形式逻辑思维就是依据事物的形式。有规则、有逻辑地反映数学的对象、结构和它们之间的关系。这是一种对事物本质特征和内在联系的认识过程。这属于逻辑思维发展的初级阶段。对于逻辑思维的高级阶段——辩证逻辑思维，就是一种从运动过程及矛盾的相互转化中去认识物质客体。同时还要遵循对立统一、质量互变、否定之否定等规律去认识事物本质的过程，在这一过程中，需要学生运用更多的是哲学的思考能力。坚持客观的评价和认识事物。因为。就数学这门学科来说，本来就具有极强的逻辑性和系统性，是一门论证严谨、逻辑严密的学科。数学中的公式、定律和法则等。都是通过严谨的逻辑思维才能推导归纳出来的。所以在教学当中，我们一定要教会学生层层论证、逐步证明、反向验证等方法，这是一种掌握数学学习的技巧之一。如果学生没有一定的逻辑思维能力，就很难把数学学好。所以，在平常的习题练习当中，教师一定要教会学生如何进行论证和检验，锻炼学生的逻辑思维能力。
三、对数学直觉思维的分析
直觉思维在数学学科的学习中也是非常重要的。它主要是指以一定的知识经验为基础的。通过对数学对象作总体观察，而在瞬间顿悟到对象的某方面的本质，从而迅速地对数学对象作出估计判断的一种思维。在表现形式上。一般有以下特征：直接性、快速性、整体性和不可解释性。数学的直觉思维是一种非逻辑的思维活动。是知识能力经过长期积累和反复思考以后，某一瞬间触发了灵感而不自觉地对事物本质作出的一种判断。这种思维能力在学生的身上常常表现为对某一问题的突发性的好奇发问。或者是对教学内容的一种直接的认识，这种认识不一定正确或者全面。但是教师在教学过程中，一定要学会如何尊重学生的直觉思维，懂得将其不全面的直觉思维，加以逻辑的锻炼，从而帮助学生从数学的学习中，体会到数学的乐趣和魅力，帮助学生更好地认识学习数学。
逻辑思维与数学关系范文6
关键词：协同 思维 数学 教学
1971年德国科学家哈肯提出了统一的系统协同学思想，认为自然界和人类社会的各种事物普遍存在有序、无序的现象，在一定的条件下，有序和无序之间会相互转化，无序就是混沌，有序就是协同，这是一个普遍规律。什么是协同思维？ 考虑事物的相生或相辅相成，或相得益彰，或交互作用，或协同并存，这是事物协同，这样的思维就称为协同思维。协同思维和思维协同是同一思维的两面，人们培养和提高了协同思维能力，就能思维协同。数学教学中的思维研究越来越受到人们的重视，这是国际数学教育的发展趋势。在教学中，根据学生的学情，对数学思维的各个要素的本质及其联系进行研究，强调各种思维的协调和同步作用，加强协同思维的训练，其意义是不可低估的。
一、整理性思维和发现性思维相互作用的理论是协同思维的产物
在中学数学的教学中，大量地需要整理性思维，同时也需要发现性思维，在许多情况下，两者是互相渗透、互为作用的。整理性思维以演绎论证为主，发现性思维以直觉、猜想、归纳、类比为主，数学教育不能光强调单项训练，或偏重于某一方面，更重要的是它们的有机结合和协同互补。对此，很多数学家和数学教育家都有过论述。斯托利亚尔指出：“如果我们想在数学教学中在某种程度上反映出数学的创造过程，就必须不仅教学生证明，而且教学生猜测。”波利亚也十分强调在数学教学中必须既教证明又教猜想，既教论证推理又教合情推理，他在《数学与猜想》一书的序言中指出：“论证推理和合情推理在我看来它们互相之间并不矛盾，相反地，它们是互相补充的。”徐利治教授提出的在数学教学改革中贯彻“归纳与演绎交互为用”的原则也体现了这种思想。下面就以此为例作些详细的说明。
事实上，我们在数学教学过程中，以至在思维发展过程中，总是既用归纳又用演绎，尽管两者有各自不同的特点，但演绎推理的大前提——表示一般原理的全称判断，要靠归纳推理提供出来；为了提高归纳推理的可靠性，无论以一般原理作指导或者对归纳推理的前提进行分析，都要用演绎推理。归纳与演绎在思维运行过程中的这种辩证统一正体现了两者之间是协同互补的。以演绎推理中的三段论为例（中学数学教材中出现的多是第一格的结构），可以得到证明。
M—P（大前提：集合M的所有元素具有或不具有性质P），
S—M（小前提：集合S？奂M），
S—P （结论：集合S的所有元素具有或不具有性质P）。
例 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，
正弦函数y=sinx（x？缀R）是奇函数，
正弦曲线关于原点成中心对称图形。
这个演绎推理的大前提“奇函数的图像关于原点成中心对称图形”可由归纳推理提供，在这个归纳推理中，每一个前提可由演绎推理来论证。
“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系、它们的相互补充。”（《马克思恩格斯选集》第三卷P548）正确地认识和处理好归纳和演绎的关系，在教学中贯彻“归纳与演绎交互为用”的原则体现了思维的协同性。
我们再从在校青少年归纳推理和演绎推理发展的相关来看（根据朱智贤、林崇德的研究，相关系数r=0.56359），中学生掌握这两种推理的水平虽有差异，但其发展趋势是一致的。所以贯彻“归纳与演绎交互为用”的原则也符合青少年思维发展的规律。
根据前面的论述，对于整理性思维与发现性思维交互为用的更一般的思想，我们就有了更清楚的认识。
二、在数学教学中贯彻形式逻辑思维与辩证逻辑思维并重和统一的原则展现了思维的协同性
中学生的辩证逻辑思维的发展是与他们的形式逻辑思维的发展相辅相成的，这两种思维是一个人抽象思维整体的两个不可分割的部分，是互相促进、协同互补的，在发展学生形式逻辑思维的同时发展他们的辩证逻辑思维，可以使青少年的思维发展更加完整、更具有整体性，所以我认为新课标中的“逻辑思维能力”必须理解为包括形式逻辑思维与辩证逻辑思维在内的两种思维能力。
在以往的教学中，对于加强形式逻辑思维方面的训练我们已经有了充分的认识，有关数学教育的刊物及著作也论述得比较多，这显然是必要的，而且应当是主要的。但是对于数学思维所具有的辩证法特征却研究甚少，基本上是用静止和孤立的观点学习和研究数学问题，直就是直，曲就是曲，有限和无限除了对立就不存在相互转化的那种联系了。事实上，在中学数学中充满了辩证法，如概念和关系的变动性、两重性、矛盾性、同一性、相互联系和相互制约性，“数” 和“形”的对立统一，代数、几何、三角各学科之间的联系和转化，有理数运算中的性质符号和运算符号既是不同的又是可以统一的，在二元二次方程
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 （*）
的讨论中，一个方程就包罗了点、相交线、平行线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种方程，它们不过是方程（*）中各个系数取某些数值时的一种特殊状态而已，均统一在一个方程中；数学方法中的归纳与演绎、分析与综合、特殊与一般等，总之，从数学内容到数学方法到处充满了辩证法思想。
由于在中学数学中大量存在着相对稳定的状态，所以我们能用形式逻辑思维的方法进行分析和研究。但也存在着显著的变动状态（如前所述），故我们能用辩证逻辑思维的方法认识数学中概念和关系的变动性。例如，按照形式逻辑思维规律，对于每一个数学概念的认识要前后一致（同一律）而且不容许存在不相容的认识（矛盾律，如果存在两个互相排斥的认识，那么其中必有一真一假（排中律），概念教学必须遵循上述逻辑规则进行，但同时也应指出，用运动的和联系的辩证观点来思考，数学概念也是随着学生学习的数学知识结构的发展而发展的。许多对立的概念可以统一起来（比如实数和虚数同处于复数中，—元二次方程和一元二次不等式同处于二次函数中等）；一个概念在不同的场合或者不同的条件下可能有不同的认识（比如幂的概念，最初学习的是正整数指数幂，被理解为几个相同因素相乘的结果，以后发展到零指数幂——两个不等于零的相同的数相除所得的商等于1；正分数指数幂——正实数的若干次方根；负数指数幂——正数指数幂的倒数）；很多概念也反映了事物的运动是相互联系相互影响的这一规律（如函数概念中的x和f（x），x的值对应着一个或几个f（x）的值，x变f（x）就变，f（x）的变化依赖于x的变化而变此）。显然，这些思维方式已经不是孤立地、静止地看待各个数学概念了，这是辩证逻辑思维在中学数学中的生动体现，与形式逻辑思维相比更高一级。因此，在中学数学教学中，必须既重视形式逻辑思维的训练又重视辩证逻辑思维的训练，让两种思维在学生的数学学习中协同作用、相互补充，从而发展学生完整的数学思维能力。
三、 重视形象思维和抽象思维的结合是思维协同的表现
我们把人的思维分为三种，即形象思维、抽象思维和灵感思维，并且认为，每一个人的思维活动，往往是两种甚至三种先后交错在一起作用。事实上，脑科学的研究成果也表明，人的大脑左右两半球，既分工又协同活动，虽然左半球的功能主要在于抽象思维，右半球的功能主要在于形象思维，但任何一个思维产物都是左右脑密切配合协同活动的结果，每一个人的思维过程明显地存在着逻辑思维与非逻辑思维的互补运动。长期以来，人们总是认为左半球是大脑中占支配、统治地位的优势半球，而右半球则被认为是缺乏高级认识功能、处于从属地位的劣势半球，没有认识到大脑左右两半球的和谐发展和协同活动是思维发展的物质基础，加上数学本身的抽象性、严谨性，因而在学校的数学教学中“重左轻右”的现象就比较普遍，即只重视抽象逻辑思维（尤其是形式逻辑思维）的训练，而忽视数学教学中的形象思维的研究。例如，研究位置关系时，忽视其数量关系，记忆各种数量关系的结论时，不会求助于“形” ，离开图像死记硬背各种函数的性质。实际上这是数学教学中的思维非协同现象，说严重一点是忽视了半个大脑的作用，因此，我认为数学思维研究不仅要深入探讨抽象思维中的问题，更迫切地是要在形象思维方面打开缺口，开创新路子。同时我更主张，把形象思维和两种抽象思维有机地结合起来，使学生的数学思维能力和谐发展、协同并进。为此，我提三点教学建议：
1.在数和形的对立或差异中看到和谐与统一。在数学教材中，从数和形两个方面描述概念或课题的例子很多，如实数的顺序性和数轴上点的位置，复数a+bi及各种运算与复平面上的向量的相应变化，各种函数与它们的图像，解析几何中各类方程与其所对应的各类曲线，等等。在教学中由数思形、由形想数，不失时机地抓住两者的相互结合和转化，冲破数和形之间那种固有的差异，更多地强调二者的和谐统一。
