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类比推理的逻辑形式范文1
【关键词】 高中数学；类比推理；应用
高中数学作为高考的主要学科，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，而类比推理是很常见的思维方式和解题方法，在高考中的应用也屡见不鲜，因此在数学教学中，教师应注重类比推理的教学及类比思想的渗透，通过比较分析，寻找规律，联想猜测，推理论证的过程不断提升学生的思维能力和创新意识.
一、类比推理在高中数学教学中意义
高中数学知识具有连贯性和相似性的特点，教师在教学中如果能运用类比推理法探索知识与知识，方法与方法之间的联系，让学生在原有的知识水平上得到启发，将陌生转化为熟悉，将抽象转化为具体，将未知转化为已知，化复杂为简单，就能够大大激发学生习数学的兴趣，增强学生的思维想象力，培养其创造性思维.
二、类比推理在高中数学教学实践中的应用
（一）运用类比推理，梳理学习思路
运用类比推理，能够帮助学生梳理清楚学习思路，明确学习方向，加深学习印象.高中数学中，很多学习的知识点都是相互贯通的，多数章节之间都有密切的联系，所以教师在新课教学中可以将旧知与新知相结合，将两类对象进行类比，让学生发现其中的相似点，使学生对新知识不再感到陌生，学生能以前者为鉴，找到学习方向，有效梳理学习思路，建立清晰的知识脉络，从而打破难点，使新课能更加顺利地进行，同时也巩固了已学的知识.例如，在学习基本初等函数中的对数函数时，因对数式是由指数式转化而来的，所以对数函数和指数函数在图像和性质上有密切的联系.在学习指数函数时，我们主要是从一般形式，图像，定义域，值域，函数值变化情况，单调性这几个方面去研究，所以在学习对数函数时，自然而然地想到也从这几方面去探索，思路清晰，方向明确.学生在画出对数函数的图像后，通过类比推理，不难推出对数函数的这些性质，然后再列表对比，两类函数的知识点一一呈现，有条有理，区别与联系一目了然，这样学生在学习对数函数的同时又巩固了指数函数的知识，一举两得.
类比推理法不仅在新授课时适用，在复习课时也同样适用.在复习课中，将相关联的知识点系统归纳，比较，建立完整的知识体系，既能加深学习印象，又能帮助学生理清复习思路.
（二）类比推理，激发思维想象，开拓解题思路
康德曾经说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进.”在数学教学中，合理的运用类比推理法，能激发学生的思维想象.类比推理是观 察，回忆，联想，寻找相似点，拓展延伸的一系列过程，能充分调动学生的思维想象，提升思维想象力，也能帮助学生较快找到问题的突破口，使解决问题的方法更加快捷与简便.例如：在立体几何教学中，可以将平面几何类比空间几何，将面积转化为体积，点转化为线，线转化为面，长度转化为面积，线线所成角转化为二面角，利用发散思维来寻找联系，发现规律.
（三）类比推理，探索新结论
类比推理不是简单的模仿，而是一种创造性思维方式.通过已知的特殊结论，寻找相似点，探索规律，这种解题的方式就是通过类比推理，得出新的结论，体现了数学的无穷奥妙.
三、运用类比推理教学注意事项
运用类比推理教学，可以引导学生发现新的数学知识，但是也存在一定的弊端.比如，在学习思路梳理的过程中可以让两者之间形成良性互动，但是要求彼此之间的联系要有着内在的逻辑关系，很多学生为了找到两者之间的相互关系，让两个没有从属点的知识硬性的连接在一起，最终使自己的知识体系断层；类比定义时，容易先入为主，把已学的知识当成标准，负面迁移，陷入误区；类比解题思路时，常常忽略前提，片面推断，照搬照抄，导致错解；复习过程中不能较好的让各个知识点连接起来，导致学习知识点连贯性不好.这些都是教学中需要明确注意的事项，所以，教师在训练类比推理法的同时，也应注意培养学生思维的逻辑性和严密性.
结 语 类比推理法是一种很重要的数学方法，对高中数学的学习有很大的帮助，学生的每一次推理都是思维的一次飞跃.教师在平常教学中应不断渗透类比思想，在教学和解题中注重类比推理能力的训练，帮助学生提高学习效率，同时培养学生的研究性和创造性思维.
【参考文献】
[1] 庞东.高中数学教学中类比推理法的有效实施[J] .基础教育研究，2014（09）.
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下面就类比推理在高中新课标教学中的应用，进行探究：
所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比推理是由特殊到特殊的推理。
类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证.
类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理，它是某种类型的迁移性、相似性的推理方式。应用类比可以在两个不同的知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。经常有这样的情况：长时间沉思于某一问题而未得解决，然而在某一时刻，在其沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的启发作用，触发信息的过渡，使问题得以解决。这往往得益于类比。正如康德所说：“每当理解缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进。
运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象.按寻找类比对象的角度不同，类比法其步骤可由下列框图表示
1、升降级类比
（1）几何中升降维类比
将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，将一维对象升到二维（或三维）此种类比方法即为升降维类比.
（2）运算中升降级类比
将三级运算降到二级（或一级）运算，或将一级运算升到二级（或三级）运算，此种类比方法即运算中升降级类比.
2、结构类比
某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决.
3、简化类比
简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法.比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等.
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1.归纳推理
近几年高考特别注重对归纳猜想的考查，主要形式是根据已知条件归纳出一个结论，若是解答题，再用演绎推理对结论进行证明。归纳推理的注意点：①归纳推理是依据特殊现象推断一般现象，由归纳推理得到的结论超越了前提所包容的范围，因而必须立足于观察、检验、实验的基础上；②用归纳推理归纳结论时，切记不要以偏概全，不能根据几个特殊情况就得到一般性结论，需再用所学知识去证明结论是否正确，所以要慎重。
2.类比推理
类比推理在近几年的高考中屡有出现，且不断翻新，不但考查考生对联想、类比等方法的掌握情况，还考查考生的演绎（逻辑）推理能力。类比推理的注意点：①类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认知为基础，类比出新的结果；②类比推理是从一种事物的特殊属性推测到另一种事物的特殊属性，是由特殊与特殊的推理；③在几何问题的推理中，通常情况下，平面图形中的点、线、面可类比为空间图形中的线、面、体，平面图形中的面的面积可类比为空间图形中的几何体体积。
3.演绎推理
演绎推理的一般步骤：可根据具体问题灵活选择推理步骤，但几种推理规则基本都遵循“条件——推理——结论”这样的三步式。演绎推理的注意点：①在数学中，证明命题的正确性都是用演绎推理，而合情推理不能当作证明；②演绎推理中的三段论推理中的大前提在具体问题的推理过程中有时可以省略，但是必须明确大前提是什么。
4.直接证明
综合法与分析法是两种思路截然相反的证明方法。综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是要寻找上一步的必要条件。而分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，实际上是要寻找使上一步成立的充分条件。分析法和综合法各有其优缺点：①从寻求解题思路来看，分析法有利于思考，方向明确，思路自然；综合法往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论。②从表达过程而论，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法形式简捷，条理清晰。也就是说，分析法利于思考，综合法宜于书写。因此，在实际解题时，常常把这两种方法结合起来使用，即先用分析法探索证题的途径，然后用综合法写出证明过程，这是解决数学问题常用的一种重要方法。
5.间接证明
使用反证法证明数学命题的一般步骤为：（1）分清命题的条件与结论；（2）做出与命题相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确推理的方法，推出矛盾；（4）断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接证明原命题成立。
6.数学归纳法
用数学归纳法证明的关键在于两个步骤要做到“递推基础不能少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。因此必须注意以下几点：（1）验证是基础。数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找到一个数，这个数就是我们要证明命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题。（2）递推乃关键。数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次。（3）正确寻求递推关系。我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，如何寻求递推公式呢？①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推公式是有帮助的。②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置。③在书写f(k+1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项、少了哪些项都要分析清楚。
二、常见方法、技巧及注意点
1.使用反证法证明问题时，准确地做出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提，常用的“结论词”与“反设词”列表如下：
2.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾。常见矛盾有三类：
（1）与假设矛盾；（2）与数学公理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；（3）与公认的简单事实矛盾。
3.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑，如果只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误。
4.运用数学归纳法常见的错误：
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在中职数学教学中，有各种形式的数学类比，从定性和定量两方面来考虑问题是数学类比的思维特征，逻辑类比和直觉类比是数学类比的基本形式，类比和推理是中介思维的主要形式，在数学定理的发现和数学学习中，类比（思维）常常需要同归纳、联想一起协同作战，而学生自身处理问题能力的大小，也是影响类比推理的主观因素，而且类比推理也是加强学生的数学能力培养的一个重要方面，那么，在中职数学教学中，类比推理对对口单招数学教学有何重要作用呢？笔者认为可以从以下几方面探讨。
一、类比法能有效沟通新旧知识，突破教学难点
心理学研究表明，当学习内容处于学生的“最近发展区”范围之内时，学生更容易获得成功，这种成功感可以有力地保证学生不会因过多的失败而放弃他们的努力，失去发现的机会，同时，应用类比法，可以促使学生回顾旧知，L试在已有知识的基础上，去发现新结论、构建新知识，可以有效地实现旧知识在新内容中的正迁移，帮助学生建立新旧知识的联系，突破教学难点，降低教学难度，这也符合建构主义的学习理论。
二、类比法可以实现学生经历和体验创造性解决问题的过程
类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散，任何学习过程本身都可看成是一个迁移过程，数学教学也不例外，对口单招数学虽不像普通高中数学那么难，但是对于基本的数学知识，更要引导学生去学习数学的思想方法，感受数学理念，运用类比思想，学生必然对两个对象进行比较，找到它们的对应部分，并明确其具有的某些一般特征，即发现可类比的对象，把观察到的结果加以综合类比，清楚类比对象中结论的来源，然后对想要得到的结论进行猜测，推测证明的思路，最后证明或推测猜测，以加强新旧知识联系，促进迁移能力演绎法在中职数学中用得较多，也是传统教学方法的显著特点。
三、应用类比法可以加深学生对知识点的归纳
在对中职学生进行基础知识讲解、解题指导时，学生往往只注意到知识点和题目的一些外在形式，而忽视一些本质特征，忽视知识点、相关题目之间的联系，这容易造成学生经常出现解题盲点，无法将所学知识、掌握的解题方法、技巧顺利地应用到独立解题中，类比迁移可以将学生所学知识、技能进行归纳总结，找到它们之间的相互联系与区别，形成概念体系。
（一）定义定理的归纳总结
在数学学习中，要想让学生直接总结出一些定理定义是很难完成的，但是如果引导学生通过一些生活实例，对知识进行迁移就显得容易得多，对学生在学习中掌握并灵活运用这些定理定义有很好的效果，例如圆的定义与椭圆的定义都可以通过数学实验，让学生体会两者的差异，实现几何对象概念的类比迁移。
（二）法则的归纳概括
法则的概括归纳是指在数学教学中有一些题目的计算是有一定的规律的，如果通过实例总结出这些法则并在理解的基础上迁移运用这些知识，这样复杂的数学问题就简单化了，学生学习对数运算法则时比较困难，但教师可以通过复习指数运算法则，类比引入对数的运算，学生的学习会相对轻松。
（三）公式的归纳总结概括
根据数学学科的特点，从生活实际和实际例题概括总结出公式，利用这些公式可以解决很多实际问题，例如等比数列的通项公式可以通过大量生活中的实例，培养学生借助等差数列的通项公式的特点发现等比数列的通项公式，教育学生进行类比迁移掌握等差和等比两种数列间的联系与区别。
（四）方法的归纳概括
方法的归纳概括是对宏观和微观的数学方法在不同场合下的适用性进行概括，例如，三角函数中涉及一些实际生活的问题，这些问题的解决要想找突破口就要在三角函数的定义及公式中寻找，找出问题与定义及公式之间的关系，使解题思路更为清晰，同时可以解决一系列复杂问题。
四、用类比法构建知识网络。使知识更加突系统化
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关键词 科学方法 归类复习 生物学教学
中图分类号 G633.91 文献标识码 B
“科学方法”(科学研究的一般方法)作为一个专题进行划分是基于新课标高考生物考试大纲中的能力考核要求――“具有对一些生物学问题进行初步探究的能力，包括运用观察、实验与调查、假说演绎、建立模型与系统分析等科学研究方法”。科学方法是能力的组成部分，方法是能力的核心。
在科学方法复习中，教师要确定好复习目标，处理好教材，把握好以下的原则：重点知识结构化――抓各模块科学方法知识的中心点，将知识以此中心组织起来，形成知识网络；基础知识系统化――打破原教材的排序结构，系统地归类基础知识；难点知识问题化――以问题解决为难点，精编一些含有难点知识的习题，让学生在解题过程中消化和理解生物科学的研究方法，从而突破难点知识。
由于此专题在高考中占有很大比例，且“科学方法”贯穿于高考生物大部分知识点，笔者结合近几年高三复习课的教学实践，对此专题基础知识进行如下归类，目的是便于学生形成系统的知识结构。
1 科学研究方法的基本思路
观察、提出问题一提出假说并作出预期判断，得出假定性的结论一设计完成实验一分析数据、得出结论。
2 高考生物中考查的科学方法
依据考纲及考试说明归纳比较见表1。
2.1 获取经验性材料的方法
2.1.1 实验法
分析近几年高考生物试卷中的实验题，主要考查教材中的观察类和鉴别类实验(表2、3)。试题突出的特点是重视实验回归教材。从内容上看，既有对教材实际内容的直接考查，也有对教材相关实验原理和方法的拓展考查。通过创设新的实验情境，考查考生对教材实验的分析、理解和提取新信息的能力。因而教材中的实验在复习时尽量让学生做一做、想一想，找回感觉，摒弃“背实验”的错误复习方法，以引导考生通过探究获得新知和接受科学方法训练。
还可以归纳“常规实验技术比较”(光学显微镜观察，制作临时装片、切片和涂片，研磨、过滤技术，解离技术，恒温技术，纸层析技术，同位素示踪技术等)；“常规实验方法比较”(观色法，等组实验法，对比实验法，加法创意，减法创意，杂交实验法，化学分析法，分级离心法，梯度离心法，离体培养法，理论分析法，模拟实验法等)；“探究性实验与验证性实验比较”、“经典性实验比较”、“以教材知识为背景的实验题材归纳比较”、“教材中实验变量(自变量、因变量)比较”等等。
另外，设计类实验中常常提供实验器材、药品，如能明确它们的用途和使用方法，往往能从中发现实验设计的思路和方法，甚至具体的实验步骤。简单总结如下：
常用的化学试剂：NaHCO3――提供CO2；NaOH――用于吸收CO2或改变溶液的pH；NaCl--配制生理盐水及其他不同浓度的盐溶液，可用于测定动物细胞内液的浓度或用于提取DNA；龙胆紫或醋酸洋红――碱性染料，用于染色体染色等。
实验条件的控制方法：增加水中氧气――泵人空气或吹气或放入绿色植物；减少水中氧气――容器密封或油膜覆盖或用凉开水；除去容器中CO2――NaOH溶液；除去叶片中原有淀粉――置于黑暗环境；除去叶片中叶绿素――酒精隔水加热；除去光合作用对呼吸作用的干扰――给植株遮光；如何得到单色光――棱镜色散或彩色薄膜滤光；血液抗凝――加入柠檬酸钠；灭菌方法――微生物培养的关键在于灭菌，对不同材料，灭菌方法不同：培养基用高压蒸气灭菌；接种环用火焰灼烧灭菌；双手用肥皂洗净，擦干后用75％酒精消毒；整个接种过程都在实验室无菌区进行等。
2.1.2 调查法
调查是科学探究常用方法之一。调查类实验(实习)涉及调查方案的制定，随机取样、确定样本的大小、设计记录数据的表格、对调查结果的整理和分析、计算等(具体比较见表4)。
2.1.3 模拟法
有些科学实验由于受到一些特殊因素的制约，不能或不许直接对研究对象进行实际实验。为了获得对研究对象的认识，以揭示其本质和规律，通过对替代物的实验来获取经验性材料，这种方法叫做模拟法。复习时重点掌握教材中的案例(表5)，帮助学生分析模拟的过程与结论。
2.2 理性思维方法
2.2.1 类比推理法
类比推理又称类比法，它是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其它属性也相同的推理。在科学研究中，类比推理是提出假说的重要途径，往往可以导致新发现、新理论。但是，应当注意的是，类比推理的结论具有或然性，可能是正确的，也可能是错误的，其证实或证伪还需要通过观察或实验。在高考复习时要带领学生复习教材中的例子(表6)，以此训练学生思维，利于学生解答高考试题中的有关类比推理的试题。
2.2.2 演绎推理法
演绎推理是从一般到个别，从普遍到特殊的推理方式。从一般(普遍)到特殊(个别)，根据一类事物都有的一般属性、关系、本质来推断该类中的个别事物所具有的属性、关系和本质的推理形式和思维方法。通常用三段论式的演绎推理过程来理解，如必修1中“1969年，人们在坠落于澳大利亚启逊镇的陨石中发现了氨基酸，这些氨基酸不是来自地球。由此你可以作出什么推测?”这可以看成是三段论式的演绎推理。大前提：氨基酸是组成蛋白质的基本单位，蛋白质是生命活动的主要承担者；小前提：陨石(非地球来源)中有氨基酸；结论：陨石中存在生命形式。
高考试题中尤以遗传题、实验题考查演绎推理较多，演绎推理法对于学生的逆向思维的培养，对于学生能力的提高都有很好的作用。如2006年全国I卷的第31题第4问(试题略)。复习时注意演绎过程，让学生重点体会教材中的例子。
再如必修3第49页生长素的发现过程强调了“科学重视实证”，也强调了“逻辑推理过程”，并用技能训练栏目对学生的推理能力作了训练。这里所涉及到的严谨的逻辑推理，多数指的是演绎推理。第69页进一步探究“根据你对影响酵母菌种群数量增长的因素作出的推测，设计实验进行验证。”
2.2.3 模型法
必修1中的模型概念：人们为了某种特定目的而对认识对象所作的一种简化的概括性的描述，这种描述可以是定性的，也可以是定量的；有的借助于具体的实物或其他形象化的手段，有的则通过抽象的形式来表达。模型的形式包括物理模型、概念模型、数学模型等。高中生物中涉及模型法的案例较多。
3 复习建议
科学方法的复习尤其要重视科学思维的训练，即努力使学生将科学方法内化为自己的思维方式和行为方式。因此，为了达到较好的复习效果，在复习每一类科学方法时，除了掌握系统知识外，要进行配套试题的强化训练。
3.1 训练高考试题
因为高考试题的设计比较严密，尤其是生物实验的设计有较强的逻辑性，有利于培养学生科学方法(尤其是逻辑思维习惯)。教师和学生都要认真研究如何提出问题、做出假设、安排实验步骤、收集检验实验数据、得出实验结论等问题。
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[关键词] 推理 证明 高中数学 应用
推理和证明是通过生活实例和数学实例,利用推理去猜测和发现一些新结论,探索和提供解决一些问题的思路和方向,利用演绎推理去进行一些推理,证明一些数学结论等。本文将结合《新课标》,通过实例探讨推理与证明在高中数学学习中的应用。
一、归纳推理与证明
所谓归纳推理与证明,是指通过对特例的分析去引出普遍的结论;主要是通过实验、观察、分析从而归纳出结论,有时得到的结论不一定是正确的,要求对归纳出的结论进行严格的证明。具体过程是:归纳(不完全)――猜想――完全归纳。
例1.由圆是二次曲线,椭圆是二次曲线,抛物线是二次曲线,双曲线是二次曲线,归纳出圆锥曲线是二次曲线,用的就是完全归纳法。
归纳推理与证明是将一个无穷的归纳过程,根据归纳公理转化成一个有限的特殊演绎(直接验证和演绎推理相结合)过程,所以它有证明的功能。如欧拉定理,可以看出归纳猜想证明是思考问题解决问题的一种重要的方法。
二、类比推理与证明
《普通高中数学课程标准》(实验)把培养学生的类比推理能力作为主要的能力培养目标之一,并且近年来高考试卷中也频频出现了类比思维的问题。所谓类比推理与证明,就是已知两类事物之间所具有的某些共性,从而推测它们在其他性质上也可能相同的一种推理与证明形式。在数学研究中常用的类比有:数与形的类比、平面与空间的类比、有限与无限的类比等。可以通过对数的研究来探讨有关图形的性质,也可以通过对图形的研究来推出数的某些性质;熟悉了平面图形、掌握了它的性质之后,在遇到空间问题时,往往通过与平面图形的比较发现类似之处:或结论的形式类似、或解决问题的方法类似,进而找到解决问题的方法和途径。
例2.平面三角形与空间四面体的类比。
平面三角形与空间四面体的相似性推理可以表述如下:三角形是平面上数目最少的简单分界元素(直线)围成的图形,四面体是空间中数目最少的简单分界元素(平面)围成的图形。三角形是平面上最简单的(直边)封 闭图形,四 面体是空间中最简单的(直面)封闭图形。三角形与四面体从生成上看具有相似性(三角形上可看作平面上一条线段外一点与这条线段各点的连线构成的图形,四面体可看作空间中一个三角形外一点与这个三角形上各点的连线构成的图形。)因此,根据平面三角形的性质可以推测空间四面体的性质。
三、演绎推理与证明
演绎推理与证明的前提和结论之间有着必然的关系。只要前提是真的,推理是合乎逻辑的,就一定能得到正确的结论。因此,演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。
例3.在三角形的条件下,有许多恒等式与不等式,如
tana+ tanb + tan c= tana tan b tanc
ctana + ctan b + ctanc= (ctana)(ctanb)(ctanc)
cosa + cos b + cosc≤1/2等,只要有前提“ a + b +c= π”,借助于一些有关知识,经过一系列的推理与证明,都可以推出或说前提“ a + b + c= π”蕴涵有这些恒等式及不等式。