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线上教学定义范文1
关键词：动手操作；理解记忆；灵活应用
圆锥曲线中，椭圆和双曲线的概念都可以通过动手操作完成，并且操作简单方便，而抛物线的给出却不容易，这也是导致教师忽略的原因之一。正是动手操作的缺失，使得学生在遇到运用抛物线定义解题时，不能灵活。
比如下列一组题目：
1.动圆过点（1，0），且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________________。
2.若点P到直线y=-1的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点P的轨迹方程为________________。
3.设点F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则++=（ ）。
A.9 B.6 C.4 D.3
4.已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出点P的坐标。
这些全都是利用抛物线定义来解的题目，有些学生不会，或者感觉很陌生，主要是对定义的由来没有深刻印象，因为缺少动手操作，缺少亲身经历。人教B版中抛物线定义的给出方式很好，但在实际课堂中常常因为各种原因，没有让学生实际操作，造成学生对抛物线的定义只是死记硬背，不会灵活应用。
针对这种现实情况，结合自身的教学实践，我摸索出了抛物线的定义教学的几点做法：
一、画抛物线
让学生亲自画抛物线，体会定义由来的方法，介绍如下：
1.工具
画抛物线的图象，需要借助铅笔，带刻度的直尺，圆规。
2.原理
到定直线距离相等的点在一条和定直线平行的直线上，然后从该直线上通过圆规画弧，找到该直线上到定直线和定点距离相等的两个点，最后用光滑的曲线将所找到的点连起来，便画出了一条抛物线。
3.具体做法
（1）为了便于找点，先令定点F到定直线l的距离为2，作直线l1与l的距离为1，以F为圆心，1为半径画弧，与l1交于一点P1；然后作直线l2与l的距离为2，以F为圆心，2为半径画弧，与l2交于两点P2，P3；再作直线l3与l的距离为3，以F为圆心，3为半径画弧，与l3交于两点P4，P5；以此类推，作直线l4，l5与l的距离为4，5，以F为圆心，4，5为半径画弧，与l4，l5交于点P6，P7，P8，P9等等，然后用光滑曲线联系起来。
（2）改变定点F到定直线l的距离为4，再画一遍。
（3）改变定点F到定直线l的距离为ρ，该如何处理？
画出图象，再去分析抛物线上的点满足的几何条件，给出抛物线的定义，学生易于接受，效果比较好。
二、抛物线标准方程的推导
在抛物线标准方程的推导中，我采取了放给学生，让学生自己推导的方法。
在教学中，学生给出了三种建系的方法，分别是以K，F及K，F的中点为坐标原点来建系，我把学生分成三组，分别去尝试推导，然后去比较三种方程形式的特点，最后确定以K，F的中点为坐标原点来建系比较方便和简洁。
1.以K为坐标原点建系，则F（p，0），l∶x=0，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=0的距离d=x，MF=，由抛物线定义可知x=化简得：y2=p2-2px。
2.以F为坐标原点建系，则F（0，0），l∶x=-p，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=-p的距离d=x+p，MF=，由抛物线定义可知x+p=，化简得：y2=p2+2px。
3.以K、F的中点为坐标原点建系，则F（，0），l∶x=-，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=-的距离d=x+，MF=，由抛物线定义可知x+=化简得：y2=2px。
通过三种不同建系方法下的方程的比较，让学生明确建系方法不唯一，只是每种建系方法对应于不同的抛物线的方程，根据数学中的简洁原则，我们选择了以K，F的中点为坐标原点建立直角坐标系；并且在推导过程中，学生了解了焦点坐标和准线方程都与有关系，而p的含义是焦点到准线的距离；另外也知道了方程中一次项的系数为什么是2p，有助于大家记忆抛物线的标准方程。
三、关于抛物线定义的应用
在应用抛物线定义时，遇到抛物线上的点到焦点的距离，要把它化为到准线的距离，究其原因是我们研究的抛物线的准线都是与坐标轴平行的直线，点到准线的距离比点到焦点的距离好表示，运算起来更加简便。但是不转化也可以解决问题，比如求抛物线y2=4x上的点P（3，y0）到抛物线焦点F的距离。
解法一：抛物线的准线方程为x=-1，抛物线y2=4x上的点P（3，y0）到抛物线焦点F的距离即到准线的距离d=3-（-1）=4。
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“算两次”的解题形式，单教授将其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”。如果两个方面都是精确的结果，综合起来得到一个等式；如果至少有一个方面采用了估计，那么综合起来得到一个不等式。“算两次”不仅体现了从两个方面去计算的解题方法，还蕴涵着换一个角度看问题的转换思想。向学生介绍“算两次”的解题应用，能有效地培养学生思维的发散性，使学生体会到数学知识的内在联系及统一性。它应当成为学生进行再发现、再创造活动的探索方式。本文介绍算两次原理在高中数学解题中的应用情况，以期引起大家的重视。
一、算两次与解析几何
例1 椭圆以正方形ABCD的对角顶点A、C为焦点，且经过各边的中点，求椭圆的离心率。
评注 如何建立关于a、c的关系式从而求出e呢？在这里线段AM具有双重身份，可有两种表达形式，正是表达的多样性使得“算两次”有了用武之地。在很多与图形有关的题目中只要细心寻找诸如AM这样的量，“算两次”就有了一展身手的机会。
二、算两次与向量
评注 本题解决的关键是从两个角度来考虑向量AP。一个角度顺其自然（题目已知），一个角度曲径通幽（隐藏的结论）。教学过程中教师有必要总结提炼出这里的数学方法――算两次，使学生对问题的解决能力得到进一步提升。
三、算两次与导数
评注 题中分别利用导数的几何意义和斜率的坐标公式得到切线的斜率k的两种算法，建立方程使问题得以解决。数学中一些公式、定义有多种表达形式，正是这些公式、定义表达的多样性，使得公式、定义的应用具有很强的灵活性。而“算两次”正是灵活运用、理解公式和定义的一种重要手法。
小议曲线的切线方程 费小林 03，
曲线的切线方程是高考必考的一个重要的知识点。但是，我在教学过程中发现学生求曲线的切线方程时，对曲线的切线的概念理解不透彻，产生漏解和错解的现象。我们在初中平面几何中学过圆的切线，它的定义是：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。此时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。圆是一种特殊的曲线。它的切线的定义并不适用于一般的曲线。而曲线的切线是通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线。它适用于各种曲线。这种定义才真正反映了切线的直观本质。一般曲线的切线不象圆的切线，它可以与曲线有两个公共点。而圆的切线与圆只有唯一的公共点。如果对曲线的定义理解不够准确，解题时容易产生错解和漏解的现象。为此我根据自己的教学心得谈谈曲线切线方程的求法。
一、求曲线上某点处的切线方程
例1 曲线y=2x2+1在点P（-1，3）处的切线方程是
点评 求曲线上某一点处的切线方程时，先根据导数的几何意义求出切线斜率，再用点斜式写出直线方程即可。
二、求过曲线上某一点的切线方程
例2 求过点（1，-1）的曲线y=x3-2x的切线方程。
三、求过曲线外的一点的曲线的切线方程
例3 求过点P（3，5），且与曲线y=x2相切的直线方程。
四、算两次与证明定理
例4 在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对的边，证明：csinB=bsinC。
简证 过点A作ADBC，垂足为D，向量AB、AC在向量AD上的正射影数量，无论∠C是锐角、钝角还是直角，得到的两个数量都是相等的。
评注 对于一些等量关系不太明显的定理证明，“算两次”思想帮助我们找到了隐藏的等量关系，巧妙地、无中生有地建立了等式。算两次可用来证明高中数学中的一些定理如正弦定理、余弦定理、两角和与差的正、余弦公式等。
线上教学定义范文3
例题：求抛物线上与原点距离近的点的坐标。
解析：设所求的点P的坐标为（x，y），
则：|OP|=■=■=■，（x≤3）。
当x=1时，|OP|min=■，此时y=±2，所以点（1，
±2）为所求的点。
设计意图：从课本中较简单的习题出发，使学生能参与学习，体现了面向全体的基本原则。教师对解法适当点评后，要求学生考虑该问题的变式。
一、条件由特殊到一般，加深印象
将原题中“到特殊点（原点）的距离”改为“到轴上动点的距离”，这样使得题目更加一般化，而解法完全相同，从而帮助学生加深解对此类题的印象，将习题条件一般化正是设计变式题的常用方法。
变式1？摇在抛物线y2=6-2x上求一点P，使此点到点A（a，0）距离最短，并求出最短距离。
解析：设所求的点P的坐标为（x，y），
则：|PA|=■=■=■，（x≤3）。
若a≥2时，当x=3时，|OP|min=|a-3|，此时点
P（3，0）；
若a
P（a+1，±■）。
二、变化问题形式，深化概念理解
笔者从教学实践中体会到：学生如果只会机械地套用解题模式去处理问题的话，思想容易僵化，思维容易呆板。若将问题形式略加变化，引导学生回归基本概念、基本知识，则会在一定程度上克服机械套用解题模式的思维定式。比如将原题中抛物线上的点“到一个定点的最小距离”变更为“到两个定点的距离之和最小”，貌似增大了题目的难度――照搬原题的解法会比较难于操作。这时教师指导学生回归到抛物线的定义解题，让学生在“山重水复疑无路”之后恍然大悟，体验到定义带来的“柳暗花明又一村”，这就使学生产生强烈的认知冲突，从而加深其对基本概念的理解。
变式2 已知点A（1，1），F是抛物线y2=6-2x的焦点，点P是该抛物线上的动点，使求当|PA|+|PF|最小时点P的坐标。
解析：根据抛物线的定义可知，当AP连线与x轴平行时|PA|+|PF|最小，易求得此时P（■，1）。
三、改常规题为探索题，突出逆向思维
在现代课堂教学当中非常重视探索式教学，其中逆向思维探索显得尤为突出，它能使学生的思维突破传统习惯的框架。在变式教学中，将原题的条件变为要求的结论、原题的结论变为已知条件，使思维方向逆转，此举有利于培养学生的综合分析能力。
变式3 某抛物线顶点在x轴上，且以直线x=■为准线。如果点（1，0）到此抛物线上的点的最小距离是■，求此抛物线方程。
解析：设存在满足条件的抛物线，且顶点为（a，0），a≠0，设P（x，y）为抛物线上任一点，若a>■，则抛物线的开口向右，此时|PA|≥a-1>■；
若a
|PA|2=（x-1）2+y2=（x-1）2+（4a-14），
x-a=[x-（8-2a）]2-8a2+46a-63，
①若8-2a
②若8-2a>a即a
综上所述，所求抛物线方程为y2=6-2x或y2=
（-4■-10）（x-1+■）。
四、改变条件背景，促进知识交汇
在上题中，将定点A（1，0）变成了在某条定直线上运动的动点，彻底改变了题目的条件背景，促成了圆锥曲线与直线知识的交汇。如此处理对激发学生的求知欲、培养他们的知识迁移能力有促进作用。
变式4？摇有一抛物线以（3，0）为顶点，且以x轴为对称轴。如果动点A满足直线方程l：3x+4y=12，且到此抛物线上的点的最小距离为■，求此抛物线方程。
解析：由题意知，要求的抛物线必是开口向左，故可设抛物线的方程为y2=-2p（x-3），（p>0），
该抛物线上的点与直线l：3x+4y=12的最小距离为■，可先求出一条直线l′满足与l平行且与抛物线相切，
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“曲线与方程”这节课是一节承上启下的内容，既对必修2中解析几何初步学习进行了延伸，又为后面学习圆锥曲线做好了铺垫。
二、学情分析
学生在必修2中已经学过直线和圆的方程，体会到了解析几何的基本方法――坐标法的好处。但没有从理论的角度探索曲线与方程的关系，表现在求解一些轨迹问题或曲线方程的时候常常出现范围错误的现象。
三、教学重点、难点
重点：曲线的方程和方程的曲线的定义。
难点：运用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程。
四、教学目标
1.知识与技能：知道曲线的方程和方程的曲线的定义。给出一些熟悉的曲线的部分图象后能确定变量的取值范围。能够根据所给的方程画出相应的图形。
2.过程与方法：让学生参与教学的全过程，通过对定义的总结与应用，进一步体会数形结合的思想方法。
3.情感态度与价值观：通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受学习的乐趣，提高学生的兴趣，增强学生的信心。
五、教学方法
课堂教学中坚持以学生为主体，教师为主导，思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。我采用引导发现、问题引领等方法。
六、媒体资源选用
采用多媒体辅助教学，PPT制作课件，利用天宫一号的视频来让学生初步体会曲线与方程的关系。
七、教学流程
为突出重点，突破难点，完成教学目标，我设计的教学流程如下：
首先利用天宫一号的目标飞行器成功发射的模拟动画，使学生初步体会曲线上的点与方程的解是一一对应的关系，同时体会数学的应用价值。
我引导学生尝试用自己的语言归纳什么叫曲线的方程，什么叫方程的曲线，在学生自我归纳的基础上，教师给出标准的定义将其感性认识理性化。
为了帮助学生理解定义，我又从集合、充要条件两个不同角度进行剖析，也为后面解决问题做好了铺垫。
为了检测学生对定义的理解和应用，在习题配备上，我采用了二、二、三的结构。
首先给出两组练习，并设置问题。接着设置两道例题，让学生掌握利用定义判断及证明方程为曲线的方程。通过师生互动完成例题的证明过程，进一步加深学生对定义的理解，培养学生书面表达的严谨和简洁。
最后，让学生归纳、总结出本节课所学的主要内容，老师作适当点拨引导，培养学生的概括能力、表达能力和自我获取知识的能力，并布置课后作业。
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具体到一节课，可以从以下几个方面入手研读教材：理解教材整体结构及前后联系，明确例题的地位和作用，弄清习题和例题的关系.
【案例1】 （人教版）椭圆及其标准方程，在给出了椭圆的定义后，要求根据椭圆的定义求出椭圆的标准方程.
尽管课本已归纳了求曲线方程的几个步骤：
① 建立适当的坐标系，用有序实数对如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；
② 根据题意，写出适合条件P的点M的集合PM|P（M）；
③ 用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0；
④ 化方程f(x,y)=0为最简形式；
⑤ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
但在此学生刚接受了椭圆的定义，求圆锥曲线的方程对学生来说是陌生的，有一定的难度.笔者认为在给出了椭圆的定义后可以安排下面这样一个例题，一方面熟悉求曲线方程的知识，另一方面，可为求椭圆的一般方程做一个过渡.
【例1】 平面上两个定点F1、F2的距离为10，动点M到两个定点F1、F2距离之和为26.（1）判断动点M的轨迹；（2）求动点M的轨迹方程.
解：（1）动点M到定点F1、F2的距离之和为常数26，故M点的轨迹为椭圆.
（2）求动点M的轨迹方程.
①以F1F2所在直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设M点的坐标为(x,y)；
②M点满足的条件为|M F1|+|M F2|=26；
③用坐标表示M点满足的条件即为
（x+5）2+y2+(x-5)2+y2=26;
④化简上式变形为
(x+5)2+y2=26-(x-5)2+y2
，两边平方整理得
(x-5)2+y2=13-513x，两边再平方得
x2-10x+25+y2=132-10x+(513x)2，整理得x2132+y2122＝1，
即x2169+y2144=1.
⑤证明（略）.
在此，求曲线的方程、化简曲线的方程对学生来说都是比较陌生，比较困难的，尽管在课本（人教版）P106安排了化简含根式的方程的习题，在此笔者认为安排下面这样一个例题是必要的.
下面再由具体到抽象，从特殊到一般，可以按照教材的安排求出椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1(a＞b＞0).
为了进一步熟悉求曲线的方程，以下可安排学生自己练习，当椭圆的焦点坐标为F1（0，-c）, F2（0，c）,椭圆上的点到两焦点的距离为2a时，椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0).
【案例2】 在课本（人教版）的习题中，6，7两题又在求椭圆的标准方程的基础上加大了难度，增强了解决问题的技巧性.为了解决这些问题，培养学生的解题技能，对教材进行拓展和延伸是非常必要的，在此笔者对例2进行如下的拓展延伸.
【例2】 已知B、C是两个定点，|BC|=6，ABC的周长等于16，P1、P2为ABC底边的BC上的中线OA的两个三等分点，求点P1的轨迹方程.
解：①以BC所在的直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设P1的坐标为(x′,y′).
②要求写出P1的坐标(x′,y′)满足的条件（难点），在此x′,y′两个变量没有直接的联系，但我们看能不能把x′,y′与A点的坐标x,y联系起来.P1为OA的一个三等分点，由图可得，x′x=23,y′y=23，从而有x=32x′,y=32y′，A点的坐标x、y之间有对这两个概念的理解，收到了较好的教学效果.充分尊重学生的主体地位，通过数学教学，在获取数学知识的同时，让学生主动学习自行获取数学知识的方法，培养主动参与数学实践的本领，进而获得终身受用的数学能力、创造能力和社会活动能力.
二、激发学生思维促使学生全面发展
每个学生都渴望获得成功，都想要证明自己的的价值.但又并非每一个人都能获得成功，表现自己.如何才能使学生在学习数学活动的过程中获得成功？这里就需要发挥教师的作用.教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性，引导学生形成良好的意识倾向，促使学生主动地参与.增强学生的愉快情绪和探索兴趣.运用设问、提问、实验等方式，创设激感，创设一定的问题情境，来调动学生思维活动的积极性和主动性.教师要从学生的学习能力出发，从学生的知识水平出发，结合平常的教学活动的每一个细节因势利导，设置多个台价，分步到位，化难为易，为每个学生创造成功的机会.如我在讲“众数和中位数”时，首先是对学生的家长工作进行调查，对鞋店、成衣店的家庭学生提出问题：每天经营下班时你爸妈最关心店里的问题是什么？回答是多种多样，五花八门的.接着我又问：如果你是鞋店的老板，要想获得最好的效益，下次怎样进货？你最关心的问题是什么？这时激发和启发学生活跃思维.对众数和中位数概念的理解收到了良好的效果.我在讲：线段AC和BC在一条直线上，E、F分别是AC、BC的中点，如果AC=5.6cm，BC=2.4cm，求EF的长时，将原来的一问改为两问；（1）求EC、CF的长，这一问题比较简单，只要根据中点定义，就可求出，把这一问题交给学习有一定困难的学生，使他们尝到成功的喜悦，增强学习的积极性，同时也为下一问题目提供思考的“阶梯”.（2）求EF的长，由于题中没有画图，点B的位置不固定，先由学生分组讨论得出，可能出现两种情况：①点B线段AC上，这时EF=EC-FC，②点B在线段AC的延长线上，这时EF=EC+FC，这一问题情境的设计，有利于学生活跃思维，培养创新精神和创新能力，有利于学生真正成为学习主体，有利于个性品质的形成和发展.让学生能够按各自不同的目的、不同的选择、不同的能力、不同的兴趣选择不同的教学并得到发展，能力较强者能够积极参与数学活动，有进一步的发展机会；能力较低者也能参与数学活动，完成一些特殊的任务.这个过程也体现了教学目标的多元整合性.使学生可以全面发展.
三、重视培养发散性思维确保其参与教学活动的持续的热情
发散思维即求异思维，是创造性思维中重要的组成部分，是对数学中的定理和命题进行不同角度、不同层
次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法.发散思维具有流畅性，变通性和独特性等特点，即思考问题时注重多途径，多方案，解决问题时注重举一反三，触类旁通.通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情.因此，正确培养和发展学生的发散思维，对造就创造型人才，至关重要.
线上教学定义范文6
在初中数学中，几何知识是教学的重点和难点，很多学生对几何内容敬而远之。笔者分享两个几何问题设计的案例。
案例1：已知如图1，线段AB、CD相交于O，连接AD、CB，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由。
解答：解：在AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，
在BOC中，∠BOC=180°-∠B -∠C，
∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
180°-∠A -∠D=180°-∠B -∠C，
∠A+∠D=∠B+∠C；
如果把形如图1的图形称之为“对顶三角形”。那么在这一个简单的图形中，笔者循序渐进的设计了九个问题，现分享如下：
（1）仔细观察，在图2中“对顶三角形”有几个？
（2）在图2中，若∠D=46°，∠B=30°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用原题中的结论，试求∠P的度数。
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？
（4）如图3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=？
（5）如图4，若∠B=50°，∠D=32°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，求∠M的度数。
（6）如图5，设∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，用含n、x、y的代数式表示∠M的度数。
（7）如图6，点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N，求∠ANC度数。
（8）如图7，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，∠DAE的平分线和∠DCF的平分线交于点P，请直接写出∠APC 的度数。
案例2：如图1，O是ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB。
（1）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数。
（2）若∠A=40°，求∠BOC的度数。
（3）若∠A=α，用含α的代数式表示∠BOC。
分析：（1）根据角平分线的定义得到∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的度数；
（3）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出
。
为拓宽、拓深学生的思维，巩固所学知识，此题可以有如下几种变式：
变式1：如图2，若BO，CO分别平分ABC的两个外角，试探索∠BOC与∠ABC的数量关系。
分析：分别作∠ABC、∠ACB的平分线交于点G，这样就可以应用原题中第三问的结论了。证明如下：
BG、CG分别平分∠ABC、∠DBC
∠ABC+∠DBC=180°
∠GBO=90°
同理可得∠GCO=90°
∠GBO+∠GCO+∠G+∠O=360°
∠G+∠O=180°
由第三问结论可知：∠G=90°+（∠A/2）
∠O=180°-（90°+（∠A/2））
=90°-（∠A/2）
变式2：如图3，若BO，CO分别平分ABC一个内角和一个外角，交于点O，你能探索出∠O与∠A之间的数量关系吗？试试看。
分析：和变式1一样，可以作∠ACB的平分线与∠ABC的平分线交于点H，也可以利用原题中的结论了。
将图1、2、3糅合到一个图上，此类题型就得到一个升华，可以找出∠1、∠2、∠3、∠4之间的相互关系等题型。
