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混沌现象范文1
关键词：时变非线性；DC-DC开关变换器；混沌；开关频率
中图分类号：TM401.1 文献标识码：A文章编号：1007-9599(2011)07-0000-01
DC-DC Switching Converter Chaos and Application
Meng Junhong1,Zhang Youcheng2
(1. Shenyang Institute of Technology,Automotive Branch,Shenyang11015,China;2.Liaoning Dongmei Commerce Co.,Ltd.,Shenyang110010,China)
Abstract:At present,DC-DC switching power converter of the nonlinear phenomenon of chaos has been developed to control and application.This paper discusses on the DC-DC switching converter in its application,and future prospects of chaotic switching converter applications.
Keywords:Time-varying nonlinear;DC-DC switching converter;Chaos;
Switching frequency
DC-DC开关变换器是一个固有开关非线性系统，因此开关变换器运行中必然存在着丰富的非线性现象。诸如运行状态的突然崩溃、不明的电磁噪声、系统运行的不稳定、无法按设计要求工作等。已有的研究表明上述不规则现象是开关变换器中混沌现象的一种普遍的表现[1]。当DC-DC开关变换器工作在混沌区时，混沌的不确定性将导致系统的运行状态无法预测，从而使DC-DC 开关变换器的控制性能受到极大的影响，甚至完全不能工作。因此要从非线性系统混沌现象的理论高度来探索DC-DC开关变换器运行规律。通过对各种DC-DC 开关功率变换器的混沌现象探索和研究，可以达到如下重要的目的：(1)在变换器设计中优化参数设计，避免有害混沌现象的出现，消除奇异或不规则现象，使DC-DC开关功率变换器稳定工作并在高性能下运行。(2)由于混沌运动中存在很多不稳定的周期轨道，可以采用各种控制策略，控制功率变换器工作在预期的周期轨道上，从而实现周期轨道的快速变换，使DC-DC开关变换器的工作性能实现超常规的提高。
一、DC-DC开关变换器混沌现象的研究现状
20世纪90年代以来，DC-DC的研究逐渐成为国际上专家研究的热门课题。然而由于DC-DC开关变换器非线性工作的复杂性，使DC-DC开关变换器的混沌现象的研究工作尚处于理论探索和实验上的观察阶段。
虽然混沌的概念至今没有一个统一的严格定义，但混沌的基本特征已为人们所普遍接受，这些特征包括有：系统的动力学特性对初始条件极其敏感、存在不稳定周期轨道的稠密集、具有正的Lyapunov指数或有限的KS熵，功率谱连续、具有非遍历性等。DC-DC 开关变换器是一种时变非线性开关电路，除了稳定工作外， 还可能出现分叉、准周期、混沌等多模式的工作状态。
二、混沌状态在DC-DC 开关变换器中的应用
对于实际的功率电源设计者来说，变换器工作于混沌状态是一种不正常的、不可靠的现象，长期以来总是被回避和抵制。对DC-DC 变换器中的混沌现象产生方式与产生过程的研究有助于人们在设计中避开这种不理想的现象的发生，而使变换器工作于稳定的周期工作状态。然而，实际上混沌状态是一种有界的不稳定振动，具有整体的稳定性，因此DC-DC 开关变换器的混沌工作状态不会对电路产生破坏性的危害。相反，混沌状态的一些特性(如连续宽带频谱、遍历性、对扰动极其敏感性等)可为人们所利用以获得某些实际的应用。如扩展频谱以减弱电磁干扰[2]，利用混沌同步以实现保密通信[3]等。开关变换器的一个明显缺点是会产生电磁干扰(EMI)，尽管可通过优化设计、滤波及屏蔽等方法可使EMI得到一定程度的减小，但要达到国际电磁兼容标准的要求往往是十分困难的。由于电磁兼容(EMC)标准规定宽带噪声在一定程度上是可以容许的，而窄带噪声应受限制。因此可通过扩频技术来减少干扰频谱峰值，以满足电磁兼容性要求。通常的方法是对脉宽或开关频率进行周期调制，但需要增加额外的调制电路。然而可考虑令变换器工作在混沌工作状态以达到扩频的目的。因为开关变换器的混沌工作态是一种类似噪声的非周期工作态，具有连续的宽带频谱。尽管仍存在频谱尖峰，但相对于稳定的周期工作状态要平坦得多。文献[2]对峰值电流控制的Boost变换器进行了实验研究，证实了混沌工作态与周期工作态相比频谱峰值有较大的减小，平均减小达3.6dB，而且这还没有采取任何优化手段的结果。但这种扩频方法也衍生出一些问题，首先是混沌工作态的低频噪声功率增加了；其次为了实现扩频，必须保证变换器有一定的鲁棒性。
混沌系统的吸引子中有着极其稠密的不稳定周期轨道，且混沌运动具有遍历性，这就促使人们设想利用混沌状态的这些性质实现各周期之间的快速切换，虽然至今人们对这种快速切换在工程上有何应用价值并不十分清楚，但它实际上蕴涵了一种可能的潜在作用。为了使工作于混沌态的DC-DC开关变换器稳定于某个周期轨道上，需要对变换器的混沌工作态加以控制，基于混沌系统具有对微扰极端敏感的特性，可设计出DC-DC开关变换器的各种混沌控制方法。而令混沌开关变换器稳定于其混沌吸引子的某个不稳定周期轨道上所需的控制力是最小的，所以为实现对混沌的控制，首先均要从混沌吸引子的无数个不稳定周期轨道中分辩出需要加以控制的目标周期轨道，然后通过参数扰动法或修正导通时刻的方法使变换器运动轨迹稳定在这个目标周期轨道上。这些混沌控制方法的概念都非常清晰明了，且计算量小，不需构造离散时间映射，具有简单实用的特点。
经历了三十多年的研究，DC-DC 开关变换器尽管新的拓扑结构仍有可能不断出现，但从分析方法和控制方案上来看，已基本趋于成熟。然而，目前对DC-DC 开关变换器的混沌现象及其应用的研究才刚刚起步，技术手段仍然以数值仿真和典型电路的实验为主，对各种开关变换器电路的研究总是逐个进行，没有一种统一的混沌分析的理论方法。此外，开关变换器混沌的控制与利用仍为一片未开垦的处女地，其中应用混沌开关变换器实现高频混沌开关电源，可望使开关电源的EMC 问题得到解决。总之，有理由相信控制混沌和利用混沌的前景必定是十分广阔和无比美好的。
参考文献：
[1]D.C Hamill and D.J.Jefferies. Subharmonics andchaos in a controlled switched2mode power converter.IEEE Trans[J].Circuits systems,1988,35(8):1059-1061
混沌现象范文2
【关键词】非线性混沌 MATLAB与Fortran共享数据 灰度图像 流加密
近年来，随着通信和Internet网络的发展，网上信息被窃听，泄露等信息安全问题层出不穷。目前国际上广泛使用的加密算法主要有两种：DES和RSA。DES算法运算速度快，但是秘钥的分发和管理存在很大的困难；RSA算法的安全性高，但是存在秘钥空间小，运算速度慢的缺陷。要实现图像流加密的前提是完成图像与数据之间的相互转化以及对数据的多层嵌套处理。1949年Shannon证明了一次一密的密码体制才是绝对安全的，为流加密算法的发展研究提供了理论支持。在本文中，我们就是利用非线性混沌产生的伪随机数列作为流密码，在MATLAB与Fortran数据共享中，实现对图像流加密的。
1 生成混沌序列的步骤
首先我们把MATLAB中数据复制到Excel中，然后将Excel另存为"ANSI编码"的txt文件以实现MATLAB向Fortran的数据传递；在Excel中"打开"txt文件，然后将数据复制到MATLAB的"新建变量"中以实现Fortran向MATLAB的数据传递。紧接着我们利用密钥交换生成混沌序列初值，先将密钥交换得到的混沌序列初值X0进行Logistic映射，从第M个数开始截取，一直截取到第M+S-1个数，再将这截取的S个数每个均作为正弦平方映射的初值进行迭代N次，最后得到的S个数便组成我们所需要的混沌序列。
2 图像加密算法
第一步：在MATLAB中将原始图像转化为二维灰度值矩阵，并将其导入到Fortran中作为明文序列矩阵。
第二步：通过密钥交换，获得混沌序列初值后，经Logistic映射与正弦平方映射，生成混沌序列，并将其转化为二维矩阵的形式。
第三步：将混沌序列矩阵作用在明文序列矩阵上，生成加密序列矩阵（1）。
第四步：将加密序列矩阵（1）的奇数行与偶数行互换，奇数列与偶数列互换，生成加密序列矩阵（2）。
第五步：将加密序列矩阵（2）的每10行奇偶互换，每10列奇偶互换，生成加密序列矩阵（3）。
第六步：将加密序列矩阵（3）导入到MATLAB中作为灰度值矩阵，转化为加密图像进行发送。
3 图像解密算法
第一步：在MATLAB中将加密图像转化为二维灰度值图像，并将其导入到Fortran中作为加密序列矩阵（3）。
第二步：将加密序列矩阵（3）的每10行奇偶互换，每10列奇偶互换，生成加密序列矩阵（2）。
第三步：将加密序列矩阵（2）的奇数行与偶数行互换，奇数列与偶数列互换，生成加密序列矩阵（1）。
第四步：通过密钥交换获得混沌序列初值后，同样经Logistic映射与正弦平方映射，生成混沌序列，并将其转化为二维矩阵形式。
第五步：将混沌序列矩阵逆作用在加密序列矩（1）上，得到明文序列矩阵。
第六步：将明文序列矩阵导入到MATLAB中作为灰度值矩阵，便可转化得到原始图像。
4 仿真结果及分析
在本文中，我们假设发送方与接收方已提前约定：Logistic映射系数μ=3.99，正弦平方映射系数b=2，经秘钥交换获得混沌映射初值X0后，从第200位起取Logistic映射数列，随后将这一数列进行正弦平方映射迭代500次，最后输出得到混沌序列。
若双方经密钥交换得到的混沌映射初值为0.6，则对一个jpg格式的图像进行加密和解密，结果如图1所示。其中左图为原始图像；中间为加密图像；右边为解密图像。
若解密方的混沌映射初值X0取值错误，解密后将得不到原始图像，如将X0取为0.61进行解密，结果如图2所示。其中左图为原始图像；中间为加密图像；右边为解密图像。
上述仿真结果表明，基于非线性混沌与数据共享的图像流加密算法具有很好的保密性，较难破译。
5 结论
本文提出的算法吸收了密钥交换的思想，同时利用Logistic映射与正弦平方映射产生随机性很好的伪随机序列作为混沌序列，通过MATLAB与Fortran数据共享的方式，对图像进行流加密。密钥交换确定初始密钥的方法提高了密钥分发与管理的安全性。利用Logistic映射与正弦平方映射相互作用产生的混沌序列，能得到复杂度更高的密文。而将MATLAB与Fortran数据共享来实现图像加密，节省了大量的时间与精力。结果显示，该算法具有很高的运算速度，同时加密图像具有很高的复杂度。在不知道初始密钥的情况下，进行穷举法破译是非常困难的。下一步作者将改进该算法进行彩色图像加密的研究。
参考文献
[1]Richanrd Spillman.经典密码学与现代密码学[M].北京：清华大学出版社，2005.
作者单位
混沌现象范文3
[关键词]混沌理论信息资源管理信息管理
[分类号]G203
混沌的概念由来已久。在古代巴比伦、印度和中国的神话传说中，把开天辟地之前的形态称为混沌。恩格斯说：“在希腊的哲学家看来，世界在本质上是从混沌中产生出来的东西”。柏拉图把混沌视作物质范畴内的事物。康德(Kant)认为混沌由某种更基本的物质构成，构成的原因则是“多种多样性”，亦即复杂性。混沌真正成为一门科学却是从20世纪60年代才开始的。1961年，美气象学家洛伦兹在进行数值天气预报时，意外发现从两个误差为千分之一数量级的初始值开始，计算出来的天气模式差别越来越大，最终变得毫无相似之处。这一意外发现，播下了混沌理论这门新学科的种子。
非线性混沌科学不但在认识论上有重大的哲学意义，在求解基本问题时有重大科学意义，而且在研究生态环境、医疗诊断、经济发展、科学决策等问题时，都有重要应用价值。将混沌理论(chaos theory)应用于信息资源管理研究将成为一个新的趋势。信息资源的组织是非线性的，其实质是各信息要素之间相互影响、相互制约和相互依存的一类非线性反馈的系统性组织。混沌(chaos)是信息资源管理的一种本质行为，信息资源管理趋向混沌的特性要求必须对以决定论为指导的传统管理哲学重新思考。
1 混沌理论对信息资源管理的哲学启示
混沌理论对信息资源管理的哲学启示主要体现在以下五个方面：
・简单与复杂的辩证关系。混沌理论认为简单中孕育着复杂，从复杂中可以抽象归纳出简单的规律。信息资源管理虽说是一个较为复杂的工程，信息种类繁多，内容庞杂，关系盘根交错，无数信息的非线性相互作用使之成为一个复杂的层级系统，但其中的规律也可以用简单的方式表现。
・可测与不可测的辩证关系。由于信息世界原本处于一种包罗万象、错综复杂、瞬息万变、迷茫混沌的状态，无数的信息单元中有无数的非线性相互作用使之成为一个复杂的层级系统，因而要准确地描述信息或精准地预测信息的未来状况几乎是不可能的。混沌理论指出，混沌并不是简单的混乱，信息的发展变化并不等于没有规律可寻，而是被无序的表面遮盖着的更高层次的有序性。混沌理论要做的就是要在混沌中寻找出信息预测的规律。
・确定性与随机性的辩证关系。混沌虽然难以精确定义，但可以把它看作是确定系统所产生的随机性。“随机性”指的是不规则的、不能预测的行为。混沌的随机性是内在的，是确定性系统自身固有的，信息资源管理的不确定性主要来自于三个方面：①信息技术的不确定性，信息技术的变革可以完全改变信息资源管理的模式；②信息生态环境的不确定性，组织外部的信息生态环境处于变化莫测；③信息需求的不确定性，很难预料组织的信息需求。信息资源管理的随机性在适当的条件下，将以必然的形式从内部产生出来。
・稳定性与不稳定性的辩证关系。信息并不是处于静止的稳定态，而是在不断发生和演化着。传统信息资源管理思维中的那种纯粹的逻辑分析和演绎，往往是在构成论意义上而非生成论意义上来考察信息世界的静态思维，很难反映信息世界的真实状况。混沌理论则是将信息定位于混沌状态。混沌状态不仅具有整体稳定性，而且还具有局部不稳定性。局部不稳定性表现在初值的“敏感性”，初值“差之毫厘”，结果将“失之千里”。混沌理论用动态的思维考察信息状态，为信息资源管理提供了新视角。
・有序与无序的辩证关系。混沌不是纯粹的无序或混乱，而是一种“有序中的无序”。它没有经典意义上的周期和对称，表面上没有明显的有序，但它却有跨尺度的自相似性。这种结构是一种典型的有序性，是一种更深刻的变换中的不变性，有序渗透于表面的无序中。在知识经济时代，数据的无序，并不能说明在组织和管理信息过程中正熵的增加和负熵的减少是一种必然趋势。信息管理的开放性一方面可以使信息管理从外部环境中吸收负熵；另一方面知识经济时代可以通过学习来积聚和复合知识及信息。正如乔治・吉尔德(George GiIder，1989年)在《微观世界》(Mi-crocsrn)一书中所说：“思维征服了微观世界，超越了所有的熵陷阱，了物质本身”。这表明，后现代的信息资源管理不仅仅是处理信息的机器，更要善于创造出新知识。
2 混沌理论下的信息资源管理价值的定位
混沌现象是宇宙中的一种普遍现象。混沌不同于混乱，是介于有序与无序之间的特殊状态。以混沌理论的视角将信息资源管理解读为：信息资源管理的任务是研究如何治理信息源混沌状态和人们认知活动的混沌状态，如图1所示：
信息是数据的高级形态，强调智力和智能，强调运用知识的能力。信息资源管理是一个自组织系统，跟外部系统不断地交换信息。混沌现象是从这个自组织系统内部自发地产生的。混沌与有序是矛盾的概念，是对立统一的关系。混沌再现了信息的多样化和复杂性。信息组织的有序来自信息源的混沌，混沌包含了新的有序结构产生的必要条件和基础。在混沌的驱动力作用下，信息系统自发组织趋向有序，但是有序的过载又诱发了新的混沌。因此信息源本身一直处于绝对有序与绝对无序中间的混沌状态，在此命名为混沌1。引入混沌理论要做的就是，在信息源混沌中寻找出不确定性的规律。
人们的认知活动也处于一种混沌状态，在此命名为混沌2。这是因为，从认知心理学的角度来讲：人们对信息资源的认知具有“选择性注意、选择性理解、选择性记忆”的特点。当信息流不断输入时，人们选择性地注意、理解和记忆信息，有可能造成认知结构混乱。从中可以看出，语用信息蕴含于语法信息和语义信息，它来自于有序态，但对用户的作用却是无序的，这种无序又不是毫无秩序和规律的。人们的认知过程是一个混沌现象；当信息流不断输入到信息接受者的头脑中时，非但不能使用户的思维更清晰、更有序和更有规律，反而可能造成他的混乱；而信息接收者基于本身的认知结构，可以对这些信息有所理解也有所歪曲，有所记忆也有所遗忘，有所接受也有所排斥，经过这些无序的过程、混沌的状态，最后才有可能在新的认识层次上再达到有序。信息资源管理的价值突出表现在，治理信息源的混沌状态和人们认知活动的混沌状态。
3 混沌理论下的信息资源管理的维度
信息资源管理的任务是从信息源和认知的混沌状态找到各种规律。混沌理论有吸引力的方面是提供了把信息资源管理的复杂行为理解为有目的和有结构的某种行为的方法，而不是理解为外来的和偶然的行为。治理信息源的混沌状态，可以利用混沌理论计量各类
信息的产生、增长、老化以及分布状态的规律，当然这种规律不是单纯的线性关系；在信息的采集、组织、提炼过程中引入混沌理论能在有序与无序的辩证中寻找治理信息源混沌的方法；借助于混沌理论能深入了解简单与复杂、确定性与随机性、稳定性与不稳定的辩证关系，有利于在信息分析、预测中寻找信息资源管理稳定的、确定的规律，并把结果通过信息检索系统传递给用户；有助于用户理解、吸收信息和知识，有效治理认知活动的混沌。因此，利用混沌理论从信息计量、信息采集、信息组织、信息提炼、信息分析、信息预测、信息传递、信息检索人手，可以分别治理信息源和认知活动的混沌状态。借助混沌理论从这八个维度构建信息资源管理的框架，如图2所示：
4 混沌理论下的信息资源管理的框架构建
汤姆・J・彼德斯指出，未来的管理将从控制走向混沌。他认为，人们告别了命令和控制的时代，迎来了一个充满“好奇、创造力和想象力的新时代”。因此不要试图去进行指挥控制管理过程，而应去支持资源的分派、知识的再配置和适宜文化的设计。混沌理论为信息资源管理提供了新的发展契机，借助于混沌理论可以从信息资源的计量与采集、信息资源的组织与提炼、信息资源的分析与预测、信息资源的传递与检索8个维度来改进信息资源管理方法，如图3所示：
4.1计量与采集
混沌区具有无穷嵌套自相似结构，即该区域内显示出无穷无尽套迭的彼此相似的结构，任取一个小单元，放大看都具有和原来混沌区整体相似的结构，包含有整个系统的信息。由于信息之间的关系具有多样性，它们之间的地位有主次差别，因此在信息资源管理的信息采集过程中，可以利用混沌理论从混沌运动的自相似性中寻找信息源的分布规律，按照信息的重要程度赋予相应的权值。权重高的信息应该突出表现，并以之为中心。对于权重较低的信息不应该置之不理，或视而不见，应该通过扩大或缩小它们的语义范围，寻找与主要信息的联系，逐渐向权重高的信息靠拢。对于权重很低的信息在采集时也不能完全抛弃，可以作为补充和辅助手段突出主要信息。利用混沌理论采集信息归纳起来就是从混沌运动的自相似性中确定信息片断之间的语义联系，判断信息之间的主次关系，从而找出那些决定事物变化和发展方向的最关键的信息要素。在计量信息源的过程中，可以依照此种原理，描述某一区域信息源的特征，将之作为计量整体信息源的参考依据，对信息相互引证关系进行定量描述和统计分析，以便揭示信息源的数量特征和内在规律，为信息采集工作提供指导。
4.2组织与提炼
在信息世界里，两条信息之间存在着的关系有：非常紧密的关系、完全没有关系、很接近到几乎意味着同一件事、分离的但相等及一个拥有比另一个更丰富的信息。将众多的信息片断放置或排列在一起，可以明确或隐含地向用户表达信息之间的关系，可以将这种信息并置或排列后的结果看作是信息集合。信息片断转化为信息集合的过程就是信息组织的过程。在信息资源管理的信息组织方面，利用混沌理论研究信息源的相关性、转化性、离散性和集聚性。从混沌吸引因子的特性中寻找信息组织的方法。混沌吸引因子表示一个动态行为最终停留下来又被吸引过来的状态，是信息源混沌现象的一种内在规律性表现。根据混沌吸引因子所界定的描述混沌现象过程中的变量数目，通过实现信息片断的分离(信息的区分、分类)、判断其相关陛，寻找片段之间的语义关联，将无数的语义片段集聚排列(信息的归类)、组合整序(信息结构序化)，形成有序的信息内容集合，实现信息的有序组织。更进一层，利用混沌理论提炼混沌吸引因子，将信息集合结构和形态进行转化，使语义复杂性不断提高，将低价值的数据提炼为高价值的信息，从而实现信息的提炼。
4.3分析与预测
信息的分析与预测可以帮助用户减少信息理解和认知的障碍。在以前的信息预测和决策等工作中往往以牛顿范式为指导，即认为时间可逆，任何一个系统，只要知道了它的初始状态，就可以根据动力学规律推算出它随着时间变化所经历的一系列状态。传统的预测方法如平均法、线性回归法等都遵循该原理。然而，对于可能走向混沌的信息系统，长期预测决策注定要失败，稳定发展中总含有波动，危机间或发生。所以，在信息资源管理中应打破还原论的束缚，在预测和决策中用非决定论方法来分析和处理问题。在信息的分析与预测方面，可以利用混沌管理方法中的混沌动力学预测法、混沌唯象预测法、混沌情景预测法优化信息预测的模型。混沌动力学预测可以从动力学的角度研究混沌产生的条件，分析预测信息未来可能出现的情景性质。唯象预测法根据现象而不依赖确定规律的黑箱理论同样适用于混沌的信息预测研究。唯象预测法是一种从现象到现象的预测方法，它通过信息现象探讨事物的本质，以大量的现象为依据，探讨信息的发生和发展规律。混沌情景预测方法可以通过假定模拟当前的信息环境，预计未来的情景，以更好地分析信息的语法形态、语义功能和语用价值，为决策提供依据。
4.4传递与检索
混沌现象范文4
关键字：余弦函数 倍周期分支 混沌
中图分类号：O174 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）11（c）-0188-01
从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程，但当迭代次数很大，即当n∞时，演化会导致一个确定的终态。终态可取无穷多种值，对初值极为敏感，成为不可预测，开始出现混沌现象。在此前终态都是周期的、可预测的，并与初值无关。
混沌（Chaos）是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。混沌运动的动力学特性已经被证明在描述和量化大量的复杂现象中非常有用，但是，由于混沌系统所固有的系统输出对状态初值的敏感性以及混沌系统和混沌现象的复杂性和奇异性，使得混沌控制理论的研究更具有挑战性。
这里我们主要考虑一类关于余弦函数迭代映射的模型
（1）
的倍周期分支问题，其中，均为参数。首先作变换，则可有：。（2）
1 倍周期分支
倍周期分支是指在某个特定的参数值的一侧有稳定的不动点，但当参数经过这个特定的参数值变化到另一侧时，稳定的不动点变成不稳定的，并同时产生了周期2轨道。在给出我们的倍周期分支结果之前，我们先给出关于倍周期分支存在的判别法：
引理：[1]设是充分光滑的函数，记，如果下列条件成立：（1）；（2）；
（3）；
（4）；那么在处发生倍周期分支。更为详细的是，在附近存在一个不动的曲线，在一边是稳定的不动点，而过了以后成为不稳定的不动点；并且存在一条光滑的曲线在点与直线相切，而是关于的函数的图像。当时，新生成的周期2轨道是稳定的，反之则是不稳定的。
引理给出了函数关于参数在特定参数值处发生倍周期分支的充分条件。下面讨论模型（1）也就是模型（2）关于参数发生倍周期分支的条件。
定理1：若模型（2）的固定参数满足，参数是变化的，则在区间上，一定存在参数，模型的不动点在处存在倍周期分支，而且产生的周期2轨道是稳定的。
证明：定义函数，则有
.当时，由于，从而，所以在区间上是严格单调递增函数。又对任意的，都有
所以存在唯一的，满足。于是对于每一个，都有唯一一个零点与之对应，且关于是连续的。这是因为对于任何，一定有。如果不然，则存在，也就有
。
于是我们根据倍周期分支引理，我们可以知道模型（2）在参数经过时发生了倍周期分支，而且由可知所产生的周期2轨道是稳定的。
若固定参数，，，不变，模型（2）对参数也会发生倍周期分支。
定理2：若模型（2）的固定参数满足，参数是变化的，则在区间上，一定存在参数，模型的不动点在处存在倍周期分支，而且产生的周期2轨道是稳定的。
证明：定义函数.
因为
所以存在，满足。定义一个关于k的函数.由于从而有，所以至少存在一个，使得，得出于是我们根据鞍-结点分支引理，我们可以知道模型在参数经过时发生了倍周期分支，而且由可知所产生的周期2轨道是稳定的。
2 结论
根据倍周期分支的判别法，该文分别给出了一类余弦函数迭代映射后关于参数和关于参数发生倍周期分支的充分条件，深刻讨论了一类简单的余弦函数发生倍周期分支的这种复杂动力学行为。而倍周期分支是典型的一条通过混沌道路的途径。这说明这类余弦函数经过迭代也必然会发生复杂的混沌动力学行为。混沌是非线性科学中十分活跃、应用前景极为广阔的领域。混沌是比有序（此处指经典意义下的有序━━对称、周期性）更为普遍的现象。它向我们揭示出一个形态和结构的崭新世界。这个看似简单但又充满神秘，激励人们不断地去探究。
参考文献
混沌现象范文5
Abstract： This Paper deals with the Henon map， applied to the globally coupled network， a nearest-neighbor coupled network and a star-network three network structures， verifies the chaotic occurrence condition in the three networks. Then analyze the situation of initial-chaotic Henon map in the coupled network， and research in different parameters， the different influences that different coupled networks offer.
关键词： Henon映射；全局耦合网络；最近邻点耦合网络；星型网络
Key words： Henon map；the globally coupled network；the nearest-neighbor coupled network；star-network
中图分类号：T391 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）02-0008-03
0 引言
动态网络是近两年人们关注的焦点，因为一个节点可以代表一个个体，一个组织或者一个细胞等，一个边可以代表我们定义的关系[1]。随着混沌动力学的不断兴起，对于耦合动力学网络下出现的混沌现象的研究是一个日益突出的问题，也必将是一个重点问题。Henon映射，在能源预测，化工生产，以及处理湍流现象都有很好的应用[2-3]。为此，我们将二维Henon映射应用在一些耦合网络中，验证耦合网络在叠加中出现混沌现象的条件。将节点数目增加到N个，使其能更好地在比较大型的耦合网络中得到应用。并在此基础上，分析不同参数的取值对于Henon映射的影响，不同耦合网络对于Henon映射的不同影响，并加以比较，进一步阐释了耦合网络对于Henon映射的影响关系。
1 Lyapunov指数及Henon映射
1.1 Lyapunov指数 Lyapunov指数是一种描述系统在迭代过程中产生混沌状态的因子，其数学定义式为
λ=■■■1n■■（1）
其中λ称为Lyapunov指数，它表示系统在多次迭代中，平均每次迭代所引起的指数分离中的指数[4]。
若λ＜0，则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动；若λ＞0，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不稳定。若轨道还有整体的稳定因素，则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子[5]。
对于一个二维映射的迭代，满足方程式：
xn+1=f1（xn，yn）yn+1=f2（xn，yn）（2）
根据Lyapunov指数定义式，可得
λ=■■■1n■■=■■■1n■
=■■■1n■…■=■1n（λ0.λ1）（3）
即Lyapunov指数LE=■■1nλi，i=0，1，LE1=■1n？姿1，LE2=■1n？姿2其中λ为相应的Jacobian矩阵J=■ ■■ ■的特征值[6]。
1.2 Henon映射 Henon映射是一个典型的二维系统，在能源预测，化工生产，以及处理湍流现象都有很好的应用。[2-3]其迭代格式方程如下：xn+1=1-ax■■+ynyn+1=bxn（4）
其中a与b为参数，在参数不同的情况下，会出现周期性轨迹和混沌[7]。选取参数a=1.2，b=0.3[8]，做出前50个迭代点与Lyapunov指数的关系图（图1）。
首先研究参数a与Henon映射的关系。因为yn+1=b*xn，遵循一定的倍数关系原则，可知在b一定的时候，图像y和图像x的走势相同，相差的只是一个系数。故仅需研究参数a与x的关系，可以得知参数a与整个映射之间的关系。（图2）
由此可以得知，在节点数目一定时，a是属于（0.0.38）中的某个邻域内的一个点，迭代过程发生分岔现象不明显，此过程与节点数目N无关。但随着a的不断增大，Henon映射发生了周期性的分岔以及混沌。其次研究参数b和Henon映射之间的关系。在参数a取值使得系统发生混沌时，以及参数a取值使系统不发生混沌时，b点值与Henon映射之间的影响如图3。
有以上得知，参数b本身的取值不会影响Henon映射在迭代中产生分岔和混沌的结果，只是加强了参数a对于分岔和混沌现象影响的结果。
2 耦合网络的迭代行为以及混沌的出现
2.1 耦合网络 如果A=（aij）N×N RN×N代表耦合的配置网络，如果在节点i和节点j有联系（i≠j），那么aij=aji=1，否则aij=aji=0，取对角线元素
aij=-■aij=-■aji，i=1，2…N[1]（5）
（1）全局耦合网络：N个节点的全局耦合网络，其每两个节点都具有关联性，共有■边。其对应的耦合矩阵A为：A=■（6）
（2）星型网络：N个节点的星型网络，只有一个中心节点，每个节点只和中心节点发生关联，与其他边不发生关联。其对应的耦合矩阵A为：A=■（7）
（3）最近邻点耦合网络：N个节点的最近邻点耦合网络，每个节点只和最临近的节点发生关联。其耦合矩阵A为：A=■（8）
2.2 耦合网络迭代中混沌的出现 在耦合网络中进行数据迭代，除自身影响混沌性以外，节点和节点之间也会相互影响，影响系数记作c，表示耦合强度。
如果系统是一个离散的过程，第x节点对应的迭代方程为xi（k）=f（xi（k）），则对于固定的耦合强度c，第x+1节点对应的迭代方程为
xi（k+1）=f（xi（k））-c■aijf（xj（k）），i=1，2…N（9）
如果系统是一个连续的过程，第x节点对应的迭代方程为xi（k）=f（xi（k）），则对于固定的耦合强度c，第x+1节点对应的迭代方程为
xi（t）=f（xi（t））-c■aijxj（t），i=1，2…N[1]（10）
假定在连接之前每一个带参数的节点在初始系统状态下是不混沌的，但随着节点数目的增加以及耦合矩阵的迭代次数不同，某些耦合网络会发生混沌现象。
对于全局耦合矩阵和星型节点矩阵，当网络结构中节点数的数目增加到一定量的数值时，对应的全局耦合网络和星型网络结构可以经过有限次叠加完成从初始的非混沌状态到混沌状态的转变；对于最近邻点耦合网络，只要网络足够大，系统就不会有混沌状态的发生[1]。
3 Henon映射在耦合网络中的迭代
因为Henon映射自身会从从非混沌状态叠加到混沌状态，针对这种情况，选取出现混沌效果不明显的Henon映射（即a的取值很小）在三种网络中进行结果模拟，映射图如图4所示（均以第一个点为例，第一图为全局耦合网络，第二图为最近邻点耦合网络，第三图为星型网络）。因为节点数过小，在全局耦合矩阵和星型节点矩阵中混沌现象体现的不明显。
在上述论述中，我们验证了初始状态是不混沌的Henon映射在耦合网络中叠加产生混沌的结果。此时，a的取值过于小。而在一般研究中，我们常采用参数a=1.2，b=0.3条件下的Henon映射[6]，此时Henon映射在初始状态随着自身叠加已经出现了混沌状态。对此，研究不同参数条件下不同的耦合网络对于Henon映射的不同影响是十分必要的。（图5、6）
由此我们可以看出，在参数a略大的时候，Henon映射节点和节点之间也会在叠加过程中相互影响，对应的全局耦合网络和星型网络结构可以经过有限次叠加增加其混沌性，并且影响十分大：在节点数目一定的时候，叠加一定次数的全局耦合网络和星型网络已经接近于无穷；对于最近邻点耦合网络，只要网络足够大，系统的混沌性不会改变。
4 结论
本文分析了一定数目的Henon映射随着节点数目的叠加，在不同的耦合网络情况下发生从非混沌到混沌状态的改变，验证了耦合网络混沌状态转变的条件并能够更实用的应用在大型耦合网络中.分析不同参数，以及不同耦合网络同时对于Henon影射的影响，得出：最近邻点耦合网络，只要网络足够大，初始状态不发生混沌的系统不会发生混沌现象；初始状态发生混沌状态的系统的混沌性不会改变。我们可以在其他条件相同的情况下，更好更合理的利用大型的最近邻点耦合网络，使其应用效率达到更高的水平。
参考文献：
[1]Hai-Feng Zhang Rui-Xin Wu Xin-Chu Fu. The emergence of chaos in complex dynamical networks. Chaos Solitions and Fractals[J].2006，（28）：472-479.
[2]包森，田立新，王军帅.中国能源生产与消费趋势预测和碳排放的研究[J].自然科学报，2010，（8）.
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[4]刘秉正，彭建华.非线性动力学[M].北京：高等教育出版社，2004.
[5]刘宗华.混沌动力学基础及应用[M].北京：高等教育出版社，2005.
[6]肖江，唐依民，张焕英.矿区地下水系统演化混沌特性的Lyapunov指数判别[J].煤炭科学技术，2005，33（9）.
混沌现象范文6
【关键词】Lorenz混沌系统；Matlab仿真；模拟电路设计
0 引言
混沌系统对初始值非常敏感，并且具有类随机性，可控及同步性。近年来，混沌保密通讯、混沌电路及加密发展成为一个前沿领域。混沌加密等应用问题首先要解决的问题即混沌电路的设计。本文基于Lorenz混沌系统，分析其基本特性，并进行了电路仿真及模拟电路的设计。
1963年著名的气象学家E.N.Lorenz研究大气热对流运动时发现了一种特殊的混沌现象，即蝴蝶效应。Lorzen吸引子是目前文献记载最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成为“混沌之父”。至今， Lorzen系统族的发展虽然有很长的历史，但是Lorzen系统族丰富的动力学行为依然值得更加深入的研究，并进行更多的应用发展。
lorenz系统的动力学方程为：
■=-σx+σy■=-y+rx-xz■=-bz+xy （1）
式中，x，y和z表示对流强弱，水平温差和与温差有关的变量；σ、γ和b则分别为Rayleigh数、Rayleigh数和容器大小有关的参数。当σ =10，b=8/3，γ=28时，lorenz系统出现混沌现象。
1999年，我国学者陈关荣等人提出了一个新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的动力学方程为：
■=a（y-x）■=（c-a）x-xz+cy■=-bz+xy （2）
当a=35，b=3，c=28时，Chen系统产生混沌现象。
2002年，吕金虎提出了LU系统，它的动力学方程为：
■=a（y-x）■=-xz+cy■=xy-bz （3）
当a=36，b=3，c=20时，LU系统出现混沌现象。
这三个系统具有类似却不相同的动力学行为，被称为Lorzen系统族[1]，它对于混沌系统的理论研究以及控制、同步、加密应用等都具有重要的意义。
1 Lorenz系统的Matlab仿真
Lorenz系统的参数取固定值，σ=10，b=8/3，r=28，动力学方程为：
■=-10x+10y■=-y+28x-xz■=-8/3z+xy （4）
根据公式（4）提供的Lorenz系统数学模型，利用Matlab软件进行仿真，仿真结果如图1所示。
2 Lorenz动力学方程的改进
由图1的仿真结果观察得到，x轴范围为-30V～30V，y轴范围为 -30V～30V，z轴范围为0～50V。而一般运算放大器较好的线性工作范围是-10V～+10V，由此可见，没有经过变形的Lorenz混沌系统不能采用模拟电路来实现的。这也是Lorenz混沌系统不能实现电路的关键原因。下面将Lorenz动力学方程的参数进行调整，使各个输出端工作范围限制在-10V～+10V[2-3]。
引入三个全新的变量：
u=■，v=■，w=■ （5）
由相图可知，x在变化幅度为-30V～30V，取u=■后，u变化范围是-3V～3V。y轴范围为-30V～30V，取v=■后，v变化范围是-3V～3V。z轴范围为0～50V，取w=■后，w变化范围是0V～3V，均满足电路要求的动态范围。
以u、v、w三个变量表示的Lorenz动力学方程为：
■=σ（v-u）■=ρu-v-20uw■=5uv-βw （6）
既得改进后的Lorenz动力学方程。将变量u、v、w还原为x、y、z，
■=σ（y-x）■=ρx-y-20xz■=5xy-βz （7）
改进后Lorenz系统电路输出幅值范围满足实际电路要求幅值范围。其中xy乘积项显示的范围是近-4V～4V，xz乘积项显示的范围是近-4V～4V，yz的乘积项显示的范围是近0V～50V。因此，各参数幅值范围均在-10V～+10V。经过标度变换后，新的动力学方程完全可以符合电路设计的要求。
3 Lorenz系统的模拟电路设计
由改进的Lorenz动力学方程，建立Multisim仿真模型，经过计算确定所需要的电路器件及其参数。该仿真模型使用8个模拟运算放大器，2个模拟乘法器。通过运算放大器，电容及电阻搭建电路实现了三个积分器U2、U6、U8，它们的的输出端分别是X，Y，Z。乘法器A1输出端XZ，乘法器A2输出端是XY，R1=R2=R3=R4=R6=R7=R8=R10=R11=R14 =R15=R16=R17=10k， R5为13k， R9为200k， R13为200k， R18为20k，R20为50k， R21为91k， R12和R19为10k电位器，C1和C3为100nf， C2为910nf。Lorenz系统模拟电路如图2所示，仿真结果如图3所示， 得到了理想的仿真效果。
图2 改进后 Lorenz系统模拟电路
【参考文献】
[1]黄永念.非线性动力学引论[M].北京：北京大学出版社，2010.
