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混沌理论的应用范文1
中图分类号：TP271文献标识码：A文章编号：1009-2374（2009）06-0129-02
一、混沌概述
（一）混沌的定义
从数学上来讲，“混沌”这一词没有一个统一的严格定义，比较常用的有Li-Yorke、Devaney、Marotto意义下的三种定义。下面给出Devaney基于拓扑学的混沌定义：
定义：设V是一个度量空间，映射如果满足下列三个条件，便称f在V是混沌的。
（1）对初值敏感依赖；
（2）拓扑传递性：对V上的任一对开集X，Y，存在K>0，使；
（3）f的周期点集在V中稠密。
在定义中，对初值敏感依赖用数学语言描述是：存在δ>0，对任意的ε>0和任意的x∈V ，在x的ε邻域内存在 y和自然数n，使得 。用中国成语描述就是：“失之毫厘，差以千里”。这种敏感性并不局限于系统状态的初始值，同时适用于系统参数，著名的Logistic混沌系统就具有这种对初始条件、系统参数的极度敏感性。1979年美国气象学家洛仑兹（Edward Lorenz）在一次演讲中提到，巴西的一只小蝴蝶煽动一下翅膀，有可能在得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是所谓的“蝴蝶效应”，“蝴蝶效应”使得系统具有长期不可预测性。这种初始条件敏感性不仅存在于自然界，同样也存在于人类社会中。1997年东南亚金融风暴的始作俑者乔治・索罗斯就被人称为“犹太蝴蝶”，因为据说是他在当年3月份大量抛售泰国铢，导致泰国铢汇率狂泻，并逐渐演变为席卷东南亚的金融“龙卷风”。
图1为受迫Duffing方程，，当两个初始条件相差很小时（如x（0）＝2.01与x（0）＝2.02），解x（t）随时间的变化和解在相平面（ ）上的相轨迹。
所谓拓扑传递特性，是指对于任意两个区域，在其中一个区域内至少存在一个点，系统从该点出发，经过一定时间后能转移到另外一个区域。更直接的说，具有拓扑传递特性的系统有这样的一些特点，系统从它的任意小邻域内出发，最终可以到达其它任何领域，这实际上意味着系统具有遍历性。同时，这类系统也不能被细分或不能被分解为两个互不影响的子系统。
周期轨道的稠密性是指在系统吸引子中稠密地嵌入着周期轨道，从数学上讲，对于V中的任意一点，要么它是周期轨道，要么在它的任意邻域内，总存在无穷个周期轨道，且这些周期轨道都是系统的解。从整体来看，混沌系统中看不到单个轨道，而是一簇轨道的保络，其中稠密地嵌入了无穷的周期轨道。
（二） 通向混沌运动的途径
通向混沌的道路主要有三条：倍周期分叉道路，阵发性道路和茹厄勒（Ruelle）-塔根司（Takens）道路。
1．倍周期分叉道路。系统运动变化的周期是一种有序状态，在一定的条件下，改变参数能使系统轨道一分为二，即周期加倍，参数继续改变，轨道的辟裂就继续发生，由二到四到八成倍周期增长，最终丧失周期而进入混沌。例如虫口模型 ， 在大于3以后，即为倍周期分叉通向混沌。美国物理学家费根鲍姆（M.J.Feigenbaum）的发现，是倍周期分叉中最为杰出的研究。为探索混沌的内在规律找到了一条道路。
2．阵发性道路。阵发性表示时间域中系统不规则行为和规则行为的随机交替现象。在非平衡系统中，某些参数的变化达到某一临界值时，系统会出现表现在时间行为上的时而周期，时而混乱，在两者之间随机震荡的状况，最终进入混沌。阵发性混沌最早见之于Lorenz模型，它与倍周期分叉所产生的混沌是孪生姐妹，凡是能观察到倍周期分叉的系统，原则上都可发现阵发性混沌现象。
3．茹厄勒-塔根司道路。当流体系统发生湍流（混沌）时，其显著特点是系统同时存在着多种频率的振荡。因此由于某些参数的变化使得系统内有不同频率的振荡相互耦合时，系统就会产生一系列新的耦合频率的运动而导致混沌。茹厄勒和塔根司两人在1971年以及纽豪（Newhause）在1978年分别用实验证明了实际上在三次分叉后，规则运动就变得高度不稳定而进入混沌，即不动点极限环二位环面混沌。
（三）混沌判别方法
系统是否存在混沌？系统是否处于混沌状态？这是研究混沌首先遇到的问题。下面主要谈三种常用的方法：
1．替代数据法。替代数据法是由 Theiler 等人提出来的。该方法的实现步骤为：首先作零假设（假设所讨论的时间序列为线性随机序列），按照一定的算法由待检验序列出发产生出一组既满足假设条件又保留了原序列的傅里叶（Fourier）功率谱值的替代数据，分别计算待检验数据及替代数据的李雅普洛夫（Lyapunov）指数或关联指数等指标，再根据原序列和替代数据指标的显著性差异水平，在一定的置信度内决定接受零假设还是拒绝零假设。
2．G-P算法。G-P算法是由Grassberger&Procaccia提出的。计算序列的关联维数 ，并根据关联维数的值来判定序列的特性。这种方法的判断准则是：当D2=1时，系统处于自持周期振荡状态；D2=2时，系统具有两种不可约频率的准周期振荡；当D2不是整数或大于2时，系统表现出对初始条件敏感的混沌振荡。
3．Lyapunov指数法。Lyapunov 指数用于量度在相空间中初始条件不同的两条相邻轨迹随时间按指数律吸引或分离的程度，这种轨迹收敛或发散的比率称 Lyapunov 指数。
Lyapunov 指数λ实际上就是系统在各次迭代点处导数绝对值的对数平均，它从统计特性上反映了非线性系统的动力学特性。在混沌的诊断中，λ起着非常重要的作用：若λ0（且有限），系统即不会稳定在不动点，也不存在稳定的周期解，同时也不会发散，表明系统进入混沌；分叉点对应于稳定轨迹的边缘，故λ=0。
此外，判别混沌的方法还有Poincare截面法、功率谱法、分维法和拓扑熵法等，但其核心仍是计算 Lyapunov 指数。
二、混沌的应用方向
混沌现象在现实世界里随处可见，但直到上世纪混沌现象才被人们发现。尽管混沌理论发展到现在还不是很完善，但是最近几年混沌应用发展很快，几乎各行各业中都有人在研究混沌的应用。
（一）混沌控制
混沌控制的基本思想就是人为地利用初始条件的微小变化来保持系统稳定或直接利用这一点来控制系统的状态。在以下领域混沌都能起到有效的控制作用，如飞机机翼的振动控制、电力传送系统、涡轮机、化学反应、医学上的心脏起博器、传送带、经济规划、电脑网络、航空航天等。美国航空航天局在1978年发射了一艘飞船，1983年，为了重新设置一颗绕太阳旋转的彗星的运行轨道，NASA的工程师们运用卫星本身的推进系统、月球对卫星轨道的影响以及太阳本身的扰动，成功地对该卫星进行了重新定位。当时还没有提出“混沌控制”这个专业术语，但这次事件确实用到混沌控制的基本思想。实际上卫星、月球和太阳组成了一个开始提到的三体问题，即混沌系统，天才的工程师们就是利用了混沌系统对初始条件的敏感性――通过残存的很少一部分飞船燃料，使飞船自身状态得到微小变化以达到控制飞船的目的，这在非混沌系统中是不可能的。
（二）混沌同步
混沌同步是指由一个自治的系统出发，构造新的混沌系统，使它们具有共同的同步混沌轨道。1989年Tom Carroll创造了第一个同步混沌电子电路。在工程上设计理想的同步混沌系统还处于起步阶段，但有很好的应用前景。通过比较两个同样的混沌信号（即混沌同步）可以用于信息加密，也可以通过除去混沌信号而获知信息的内容，人为产生的服从某些规律的信号还能够用于信息的传输。
（三）混沌的短期预测
严格来说我们的世界是一个非线性的世界，混沌现象随处可见，尽管目前已经对混沌应用作了大量研究，但混沌至今还没有统一的数学定义，混沌应用更是个全新的学科领域，因此混沌理论及其应用都还有待于进一步探索，也预示着混沌应用具有巨大潜力。随着人们对混沌认识的不断深入，将能更好地控制和利用混沌为人类服务，甚至一些用已有的科学知识无法解决的疑难问题都将迎刃而解。
参考文献
[1]代榕．混沌保密通信系统的设计与研究 [D]．广西师范大学，2008．
[2]杨朝羽．时空混沌的控制研究[D]．广西师范大学，2008．
[3]王磊．混沌系统的控制与同步研究[D]．西华大学，2007．
混沌理论的应用范文2
[关键词] 混沌混沌控制蝴蝶效应混沌吸引子
随着现代大环境的变化，现代企业所面临的环境也变得越来越复杂，越来越容易发生不可预料的变化，处在一种有限动荡或混沌状态之中。这就要求现代管理者转换传统经营观念，应用现代化的管理理念，在复杂的混沌系统中带领企业突围。
一、现代企业管理系统是一类非线性的复杂系统即混沌系统
混沌是一种貌似无规则、类似随机的现象。其特性之一，是指在确定的非线性系统中，不附加任意随机因素亦可出现类似随机的行为即内在随机性，混沌的另一特点是系统的演化对初始条件十分敏感即初值敏感性。环境在迅速变化，以致于企业高层管理者无法对环境进行正确的把握和掌控，因而会影响其制定正确的发展战略，从而造成企业管理系统具有内在随机性、初值敏感性等混沌特征, 所以说企业管理系统是一类混沌系统。
1.内在随机性。随机性是指在一定条件下, 系统的某个状态既可能出现也可能不出现。对一个完全确定的系统, 在一定的系统条件下, 能自发地产生随机特性。对于一个企业说, 企业管理系统内部充满了非线性的关系, 比如企业各部门内部之间人与人的关系、部门与部门之间的关系、人员分配关系，工资分配关系等等。总的说来, 企业管理系统就是一个由自由个体通过一定的固定规则和复杂关系构成的耗散结构系统。系统具有自组织和内在随机的特性。
2.初值敏感性。系统对初值的敏感依赖性是指微小的初值变化就会造成系统状态的巨大变化, 这也就是所谓的“蝴蝶效应”。这种情况在企业管理系统中大量存在着, 比如系统的组织结构、管理体制及控制方式都没有大的改变, 而一个微不足道某部门的失误就会导致巨大的损失, 甚至导致企业的破产;同时一个看似简单的举措也会给企业带来巨大的效益, 例如一次个别人的奖励，会扭转员工的工作态度和工作作风，为工作注入了新的理念和活力,收到了意想不到的效果。
二、混沌控制理论在企业管理中的作用
在许多场合，混沌可能是一种不期望的现象，它可能导致震荡或无规则运行，使系统彻底崩溃。随着混沌理论的产生和发展，人们认识到混沌是一种只能控制而不能忽略的扰动现象。混沌有不利的一面，但如果人们充分了解它的特性，对不同的混沌系统施加不同的控制，就有可能得到不同的系统学行为，并使其为人类服务。
1.“蝴蝶效应”在企业管理中的作用。蝴蝶效应理论是指在非线性混沌系统中，初始条件的微小变化在宏观上将会产生系统的不确定性与不可预测性。从更深的层次看,混沌运动的本质特征是系统长期行为对初始条件的敏感依赖性。所谓内在随机性，是系统行为敏感地依赖于初始条件所必然导致的结果。
“蝴蝶效益”又被人们称为“鲶鱼效应”，应用到企业就是改变系统的初值，利用混沌系统对初值的敏感性达到预想不到的结果。企业管理系统内部充满了非线性的关系，企业管理系统中也充满了“蝴蝶效应”,使得企业可以用较小的激励达到较大的回报成为可能。虽然混沌系统是不稳定、不可长期预测的,但混沌系统具有的内在确定性规律,使得短期预测成为可能。对于一个复杂的系统, 如果精确地定义了初始条件并细致地构造了模拟模型, 就可以做出短期有用的预测。例如,当企业人力资源计划模型是按月或按年构造时, 就可在几个月或几年的时间尺度上做出有用的预测。现代人力资源管理的倾向是在运用数量分析的同时,加入质量分析, 即请第一线经理人员参与计划的制定,对数量分析的结果进行修正, 给单纯的数字测算赋予实际的内涵,这种结论能够经受多种复杂因素的考验,它的短期预测结果比较合乎实际要求。
2.“混沌吸引子”在企业管理中的作用。吸引子是系统被吸引并最终固定于某一状态的性质,是系统的收敛表现。在混沌系统中,对系统状态的运动范围和控制体现出三种不同的吸引子，即点吸引子、极限环和奇异吸引子。点吸引子与极限环吸引子都起着限制的作用，以便系统的形态呈现出静态的、平衡性特征，故它们也叫做收敛性吸引子。而奇异吸引子则与前二者不同，它使系统偏离收敛性吸引子的区域而导向不同的性态。它通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而创造了不可预测性。
企业属于耗散系统，其内部存在着不稳定性，而耗散系统又想保持其稳定性，这时“混沌吸引子”起到了关键的作用。对于一个企业来说，如果合理的培养“混沌吸引子”, 并努力加以控制，一定能提高企业的凝聚力。因此, 企业管理者必须致力于寻找复杂现象背后的某些规律性的东西，进而培育出“混沌吸引子”,这样一切工作就会有意识或无意识地围绕其运转起来, 形成一种向前发展的力量。在激励机制的设置上要本着以人为本的思想, 在充分分析员工需求的基础上, 对员工采用多种方式相结合的激励: 物质激励方式, 包括工资、奖金、各种津贴及其它福利，从而形成企业人力资源管理的“吸引子”。
混沌理论的应用范文3
[关键词] 小波分解 汇率 混沌 预测
汇率在宏观经济政策、商业经营和个人决策制定上的作用越来越重要,这种重要性使汇率预测已经成为国内外学者研究的热点。然而，汇率系统是一个复杂的系统，它具有复杂的非线性动力系统特征,既受确定性规律支配,又表现出某种随机现象，因此要做到对汇率进行准确的预测是一个很难的研究课题。
汇率预测问题属于时间序列预测范畴, 传统的时间序列分析模型主要是基于线性自回归(Auto Regression, AR)模型和线性自回归滑动平均(Auto Regression Moving Average, ARMA)模型，如矢量自回归模型、双线性模型以及门限自回归模型等。这些模型对线性系统具有较好的预测效果，但用于预测汇率这样的非线性系统时，准确性较差。神经网络预测方法虽然具有逼近非线性的能力，然而，当用它来预测汇率系统时，其结果并不理想，而且还存在着算法收敛速度、网络推广能力等目前难以突破的障碍和困难。
小波分析的提出和发展为研究汇率预测问题提供了强有力的工具。小波变换具有独特的多尺度分析能力，能将时间序列按不同尺度分解成不同的层次，从而降低时间序列中存在的非线性程度，而使问题变得简单，便于分析和预测。基于此，本文提出一种方法，将小波变换与混沌理论相结合，对汇率预测进行研究，以期提高预测的精度。
一、小波分解理论概要
设其傅立叶变换为，当满足允许条件：
(1)
时，称为一个基本小波或母小波。将经伸缩和平移后得
(2)
称其为一个小波序列，式中，a为伸缩因子；b为平移因子。
小波分析的重要应用之一是多分辨分析。多分辨分析是一种对信号的空间分解的方法，在其基础上，产生了小波分解的Mallat算法。运用Mallat算法，可以将信号一层层进行分解，每一层分解的结果是将上次分解得到的低频信号再分解成低频和高频两部分。例如，从第一层开始分解，结果有高频部分D1和低频部分；接着，对低频部分进行进一步的分解，结果有高频部分D2和低频部分。如此，一直把信号进行分解，经过N层分解之后，原始信号X分解为：
X=D1+D2+∧+DN+AN (3)
式中，D1,D2,∧,DN分别为第1层、第2层到第N层分解得到的高频信号(又称细节信号)；AN为第N层分解得到的低频信号(又称逼近信号)。
如能对D1,D2,∧,DN和AN进行预测，然后通过小波重构算法即可实现对原始信号的预测。
二、汇率预测研究
汇率价格具有波动特性，由于波动的时间性，其在不同时间上波动的快慢是不同的，即它具有不同的高或低频特性，利用小波变换的特性能够扑捉到这种特性，当不能完全展现波动特性时（精度不满足要求）就需要通过多层次的变换去实现。
本文选取2005年7月22日～2008年11月7日的加拿大元兑美元和英镑兑美元日汇率数据，对汇率进行建模和预测。数据来源于美国联邦储备银行圣路易斯官方网站。
1.小波分解及特征分析
利用小波分解算法，分别对加拿大元兑美元和英镑兑美元日汇率序列进行五层分解，即将原始时间序列分别分解成低频部分 和高频部分 ，分解层数的选择是根据预测误差最小而定。加拿大元兑美元和英镑兑美元日汇率序列分解后的高低频部分的波形分别如图1，图2所示。
文献已证明汇率时间序列是具有混沌特性的，因此，两个汇率序列经小波分解后的高频部分很可能仍然具有混沌特征，需要进行判断。判断一个序列是否具有混沌特征，要看这个序列的最大Lyapunov指数是否为正。如果为正，则此序列是混沌的。本文采用小数据量方法分别求取各高频部分的最大Lyapunov指数，其结果都为正，因此可以判断两个汇率序列的高频部分都具有混沌特性，可通过建立各自的混沌模型进行预测。图1、图2所显示的低频部分虽然较平缓，然而经过计算，其最大Lyapunov指数仍为正，因此低频部分也具有混沌特性，也可通过建立各自的混沌模型进行预测。
2.汇率预测
2005年7月22日～2008年11月7日加拿大元兑美元和英镑兑美元汇率数据，其样本数量分别为833个，将其分别进行5层小波分解后，分别得到6层时间序列，每层时间序列均有833个数据。由于分解后的时间序列都具有混沌特性，因此，对分解后的时间序列应分别建立混沌模型进行预测。混沌时间序列预测的基础是相空间的重构理论，因此，首先要通过重构相空间矢量来重构相空间。
小波分解得到的各混沌时间序列可表示为{xk}，k=1，∧K,则重构的相空间矢量为
Vn=(xn,xn-τ,∧,xn-(d-1)τ)(4)
式中τ为时滞时间；d为嵌入维数，可由零阶近似法确定;n=J0,J0+1，∧,Nf,且J0=(d-1)τ+1,Nf, 为样本值个数。由嵌入理论可知，存在一映射F∶RdRd使得
Vn+1=F(Vn) (5)
当时间序列的观察函数是光滑的且嵌入维数足够大时，式（5）的动力学行为与重构前原系统的动力学行为是拓扑等价的。在实际应用中，使用一标量方程来代替式（5）的矢量方程，即
xn+1=f(Vn) (6)
式（6）就是对分解后的时间序列建立的混沌模型，根据此模型就可由Vn预测出xn+1。
混沌模型建立后，可以把它用于预测。具体的做法是，每个时间序列的前800个数据用于确定预测模型和优化模型参数，后面33个数据用于实际预测。采用混沌模型对各时间序列分别进行预测，即得各时间序列的预测值。
将分解的各时间序列的预测值应用小波重构方法进行合成，得到的结果就是原始日汇率序列的预测值，即加拿大元兑美元和英镑兑美元汇率序列的预测值，各自的预测结果如图3、图4所示。
图3、图4中，实线为实际值，虚线为预测值，预测均方根误差分别为0.0260和0.0201,由图可见预测效果非常好。本文也采用式（6）所示的混沌模型对加拿大元兑美元和英镑兑美元汇率序列进行了预测，预测均方根误差分别为和0.2200和0.1232，由此可见本文的方法明显优于直接采用混沌模型的预测。
三、结论
本文应用小波变换和混沌理论提出了一种汇率建模及其预测的方法，并应用它对加拿大元兑美元和英镑兑美元的日汇率序列进行了预测。对于汇率这一复杂的时间序列而言，本文对两种时间序列的预测均方根误差分别达到和0.0260和0.0201，结果是比较满意的。本文的结果表明，通过对时间序列的小波分解，进而建立混沌模型并进行预测，再进行小波合成的方法是汇率预测的好方法，具有较高的精度，在汇率预测中具有极大的应用前景。
混沌理论的应用范文4
关键词 复杂网络；混沌同步；最优控制
中图分类号 O 482.4 文献标识码 A
Optimal Control for Complex Networks Chaotic Systems
MAO Beixing1，CUI Hongxin2
（1.Department of Mathematics and Physics，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry
Management，Zhengzhou，Henan 450015， China； 2.Department of Mathematics and Physics，Henan University
of Traditional Chinese Medicine，Zhengzhou，Henan 450008，China）
Abstract A quadratic objective function was determined in accordance with the constraints of control system energy ，and the optimal control law was proposed based on optimal control theory . Using Lyapunov stable theory ，we proved the asymptotic stability of the complex networks chaotic systems. The example proved the approach is effective.
Keywords complex networks； chaotic synchronization；optimal control
1 引 言
自Pecora 和Carroll于20世纪90年代提出混沌系统的完全同步方法以来，混沌同步研究取得了巨大的进展[1-4]，近年来，混沌同步的应用从物理学迅速扩展到生物学，信息学和保密通信等领域，由于混沌同步在工程技术上的重要价值和较广阔的应用前景，它一直是非线性科学领域的研究热点问题之一.另一方面，自然界和人类社会存在着大量的复杂动态网络，如Internet，电力系统，神经网络，生物网络，食物链网络，社会网络等. 复杂网络的混沌同步是网络动力学研究的热点问题，文献[5]研究了参数不确定异结构混沌系统的自适应同步控制问题，文献[6]提出了一种对复杂动态网络进行故障诊断的方法. 然而现有的方法没有考虑实际过程中对控制能量的限制. 在实际的控制系统中，控制器的输出能量总是有限的，并希望所需的控制能量越小越好，因此，针对复杂网络混沌系统的最优控制更具实际意义. 文献[7]研究了不确定动态混沌系统的最优控制问题，文献[8]研究了统一混沌系统的最优控制，基于最小值原理实现了统一混沌系统的镇定控制，然而，针对复杂网络混沌系统的最优控制这方面的研究结果则相对比较少，本文考虑到控制系统能量限制的要求，确定了一个二次目标函数，基于最优控制理论给出了复杂网络混沌系统的最优控制律，利用Lyapunov稳定性理论证明了闭环系统的稳定性，数值结果证明了该方法的有效性.
2 主要结果
考虑复杂网络构成的混沌系统
3 结 论
在实际的控制系统中，控制器的输出能量总是有限的，考虑到控制系统能量限制的要求，确定了一个二次目标函数，基于最优控制理论给出了系统的最优控制律，由稳定性理论证明了闭环系统的稳定性，数值结果证明了该方法的有效性.
参考文献
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[5] 张昭晗，高金峰. 参数不确定异结构混沌系统的自适应同步控制[J].郑州大学学报：工学版，2011，32（6）：117-125.
[6] 赵岩岩，蒋国平. 一类输出耦合时延复杂动态网络故障诊断研究[J].物理学报，2011，60（11）：2061-2066.
混沌理论的应用范文5
关键词：超混沌系统；双曲函数；同步；非线性项
中图分类号：O415 文献标识码：A
由于超混沌系统具有两个或两个以上的正Lyapunov指数，相轨在更多方向上分离呈现更为复杂的动力学特性，使得超混沌系统在混沌保密通信和混沌信息加密等方面具有潜在的应用［1］.目前，超混沌系统的产生与同步技术越来越受到研究者的关注而成为混沌研究的热点.自从Rssler［2］在1979年发现第1个超混沌系统以来，大量的超混沌系统相继提出，如王光义等［3］通过在3阶Lorenz系统中引入一个外加的状态变量构造了一个超混沌系统.刘扬正［4］在三维Lü系统的基础上增加一维状态构建了一个四维超混沌Lü系统.周平等［5］构造了只包含一个非线性项的四维超混沌系统.可以看出在所研究的众多新超混沌系统中，由于非线性项的不同导致了系统呈现出不同的超混沌特性，多数研究的非线性项均为系统的不同状态变量的乘积，对于含有双曲函数非线性项的系统是否会有同样的超混沌现象，其动力学行为特性目前尚未有研究.为此，本文在对这类自治系统研究的基础上，提出了一个新的四维超混沌系统，该系统非线性特征主要依赖于一个非线性二次双曲余弦项和一个非线性二次交叉项.
湖南大学学报(自然科学版)2012年
第8期余 飞等：含有双曲函数非线性项的超混沌系统及其同步
Pecora和Carroll［6］在1990年首次提出了混沌同步的原理，由于混沌同步在物理学、信息科学以及保密通信等领域存在重要的应用价值，几十年以来人们对其进行了广泛深入的研究，并且提出了用以实现混沌同步的多种方法，如主动和被动控制法［7-8］、线性和非线性反馈控制同步法［9-10］、基于观测器控制法［11］、滑模控制法［12］、自适应完全和反相同步方法［13］、Backstepping方法［14］、基于H∞控制器方法［15］和广义函数投影同步方法［16］等.最近，文献［5］提出了一种不删除驱动系统非线性信息的混沌同步方法，并利用严格数学理论证明了该混沌同步方法可行性，但是该方法只适用于2个同结构的超混沌同步，对异结构混沌同步会失效.本文通过对该方法的改进，实现了2个异结构的混沌同步，在同步过程中同样保留了驱动系统的非线性特性，而且通过调整控制参数，可控制同步收敛速度，使得驱动系统和响应系统能够快速精确达到同步.
3 结 论
提出了一个含有双曲函数非线性项的四维超混沌系统，通过对该系统的一些基本动力学特性进行数值模拟和理论分析发现，此超混沌系统在参数变化时具有混沌和超混沌等复杂动力学行为，为应用于保密通信等领域提供了选择.同时本文在文献［5］的基础上，给出了一个不删除驱动系统非线性项的异结构混沌同步方法，并给予了严格数学证明.数值模拟结果与理论分析的一致性表明了该改进的同步方法的有效性和可行性.
参考文献
［1］ SMAOUI N,KAROUMA A,ZRIBI M. Secure communications based on the synchronization of the hyperchaotic Chen and the unified chaotic systems［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(8): 3279-3293.
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WANG Guanyi,ZHENG Yan,LIU Jingbiao. A hyperchaotic Lorenz attractor and its circuit implementation［J］. Acta Physica Sinica, 2007, 56(6): 3113-3120. (In Chinese)
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混沌理论的应用范文6
关键词：混沌经济 研究 发展
混沌经济学的兴起
混沌经济学(chaotic economics)，也称为非线性经济学（nonlinear economics），是20世纪80年代兴起的一门新兴的学科，是指应用非线性混沌理论解释现实经济现象，在经济建模中充分考虑经济活动的非线性相互作用，在模型的分析上充分利用非线性动力学的分叉、分形和混沌等理论与方法，分析经济系统的动态行为，以期产生新的经济概念、新的经济思想、新的经济分析方法，得到新的经济规律的一门新兴交叉科学。
传统经济学自亚当・斯密1776年《国富论》问世以来，已逐步在西方经济学中确立统治地位。“完全竞争”市场的自动调节机制在瓦尔拉一般均衡理论和马歇尔的“均衡价格论”体系上取得规范的形式，并在经典科学的基础上建立了一整套分析方法。实际上，传统经济学所构建的经济分析框架，是牛顿力学的绝对时空观（即均衡流逝的绝对时间和恒等且不动的绝对空间）和拉普拉斯决定的可预测宇宙观（即一个单一的公式可以解释所有的现象并结束不确定性）在经济领域的重现。而从现状经济角度看，由于种种意外因素的存在和人类所面临的不确定性。不确定性是现实经济运行过程中最主要的特征之一。自然地，混沌学作为一种科学范式也就成为经济学家们研究经济系统的复杂性、不确定性和非线性的有力工具，成为社会、经济、技术预测的有力工具。混沌经济学 (或非线性经济学)已经成为当代经济学研究的前沿领域，并取得迅速的进展。
在文献中正式使用混沌一词的是李天岩和Yorke，他们在1975年发表的题为《周期三蕴涵混沌》的文章中对最简单的数学模型，即只有一个变量的模型，证明了一个重要定理，开启了近代混沌现象研究的先河。下面我们用f表示只有一个变量的函数略加说明。系统(即f)可能是周期的。同是周期现象有一个周期长短的问题。这个定理的第一部分说明，如果这样的系统有一个3周期点，即存在初始值x，使得x，f (x)，f2(x)两两不等，但x=f3(x)1，它就存在以任意整数为周期的周期点。周期现象重要，但非周期现象更重要。为此我们引进一个术语。对任意初始值或点x，x在f的迭代作用下的轨道，是一个点列。如果这个点列收敛到一个固定的点，即系统向一个固定的目标运行。如果系统不向一个固定的目标运行，情况就变得复杂了。定理的第二部分说明，存在由不可数无穷多点或初始值组成的I的子集合S，其中任意不同两点在同步迭代作用下的轨道时而聚拢，时而分离。这个现象说明，如果系统的初始值选在S内的点上，那么系统的运行就将是复杂多变的和不可预测的。也就是出现了混沌现象。1982年6月和1983年5月美国经济学家戴(Day)发表的“非规则增长周期”、“经典增长中显现的混沌”完成了混沌经济学理论上、实验上的突破，以1987年“黑色星期一”为契机，混沌经济学形成了一股不小的研究热潮，使混沌经济学开始步入主流经济学的领地。
经济系统的混沌性
在研究对象和研究方法上，混沌经济学与传统经济学都是利用提出假设，利用数学工具通过规范推演和实证检验来揭示社会经济现象的客观规律；但是由于客观地认识到经济系统的非均衡、非线性、非理性、时间不可逆、多重解和复杂性等特点，混沌经济学在研究和解决问题的具体思维方式和假设前提上以及确切的方法论上，与传统经济学存在显著差异。
混沌经济学假设关系是非线性的，认为经济系统所呈现的短期不规则涨落并非外部随机冲击的结果，而是系统内部的机制所引起的。经济系统中时间不可逆、多重因果反馈环及不确定性的存在使经济系统本身处于一个不均匀的时空中，具有极为复杂的非线性特征。非对称的供给需求、非对称的经济周期波动(现已证明：经济周期波动呈“泊松分布”而非“正态分布”)非对称的信息、货币的对称破缺（符号经济与实物经济的非一一对应）、经济变量迭代过程中的时滞、人的行为的“有限理性”等正是这种非线性特征的表现。
混沌经济学的方法论是集体(整体)主义，即“理论必须根植于不可再分的个人集团的行为”。在混沌经济学看来，经济系统由数以百万计的个体和组织的相互作用所决定，而每一个个体和组织又涉及到数以千计的商品和数以万计的生产过程，因此，个体行为并非是一种孤立的存在，仅仅完备地认识个体的行为并不能使我们掌握整个经济系统的演化状态。运用整体主义的方法论，混沌经济学在经济增长、经济波动、股市涨落、厂商行为、汇率浮动等领域进行探索，得出了经济波动源于经济系统的内生机制而非随机震荡、非均衡是经济系统的常态、杂乱无章的经济现象背后隐藏着良好的结构而非随机状态等一系列在新古典个人主义方法论下所无法得到的、更符合现实的结果。
混沌经济学的时间概念是时间具有不可逆性。认为系统的演化具有累进特征(积累效应)，时间之矢是永远向上的。随着时间的演进，系统总是不断地具有新的性态，绝不重复，原因与结果之间的联系并非唯一确定的，是一种循环因果关系。因此，混沌经济学的一个核心命题是“对初始条件的敏感依赖性”(亦称“蝴蝶效应”)。用通俗的语言来说，混沌系统象一个放大装置，可以将初始条件带进的差异迅速放大，最终将真实状态掩盖，从而实质上导致长期演变轨道的不可预测性。
混沌经济学更注重对递增报酬的研究，认为经济系统在一定条件下（指系统结构演化的各种临界值），小效果的影响力不但不会衰减，而且还倾向于扩大。而这种小效果的扩大趋势也正是由非线性动力系统内的本质特征所决定的。混沌经济学并不排除理性因素，只是认为那种完全理性的假设是不现实的，只有将理性因素和非理性因素综合起来考虑才更符合现实。它认为混沌这种表面上看起来是随机的现象后面隐藏着一定的规律性和秩序，如奇异吸引子、分支、窗口等。混沌学研究的内容就是找出其中存在的规律和秩序，并将事物发展的必然性和偶然性，几率描述和决定论描述统一起来，最后再将研究结果作为工具去解决实践中困扰我们的复杂性难题。
受到众多自然、富有创建性思想体系综合启发的混沌经济学，其思想根基比传统经济学触及更广的自然科学领域，因而也就开阔了它的经济研究视野。
混沌经济学的发展方向
国外的混沌经济学已涉及经济周期、货币、财政、股市、厂商供求、储蓄、跨代经济等几乎所有经济领域。鲍莫尔(Baumol)和沃尔夫(E．Wolff)等人从微观经济角度研究了混沌经济问题。1983年他们在考虑企业的研究开发(R&D)支出水平与企业生产增长率之间关系时发现，在R&D支出水平占企业销售收入的比例到达一定范围时，企业的生产增长率就会呈周期性或混沌态。1985年，鲍莫尔(Baumol)和夸得特(Quandt)发表了论文“混沌模型及可预测性”，研究了利润与广告的关系模型：Pt＝ayt(1一Yt)式中Pt为t时的总利润，Yt为t时的广告支出．他们假定厂商按本期利润的一个固定比例b用于下一期的广告支出，即Yt+1＝b×Pt，则在a×b＝α的条件下，可得到Yt+1＝α×Yt (1一Yt)；研究表明，这种关系模型经一段时间后，就会出现大幅度振荡，甚至出现混沌。戴(R．Day，1982，1983)研究了包括人口净自然出生率、生产函数和平均工资收入的古典经济增长模型，在最大人口数量时的收入若低于维持最低生活水平所需的收入时，人口的变化将会出现混沌状态。他和本哈比(Benhbib，1981)还研究了不同消费倾向将会产生不同的消费者行为：穷人的消费选择很可能是相当稳定的，而富人的消费行为则可能是周期波动的，甚至是混沌的。博尔丁(Boldrin，1988)的研究表明，经济现象的不规则波动是受到市场力、技术变革和消费倾向三者共同作用下经济系统内生决定的结果。鲁塞(J．B．Rosser，l993)等人以东欧集团国家的经济变革作了实证说明。中央计划的社会主义经济既会出现周期性波动，也会出现混沌，而进入混沌的条件，往往也是将要发生经济制度变革之时。1992年，底考斯持（D．P．Decoster）和米契尔(D．W．Mitchell)研究了货币动力系统混沌问题。布劳克(Brock，1988)、沙因克曼(Schenkman)和莱伯伦(Le Baron，1986)等人提出了用关联性、“搅拌”、“残差”等方法诊断经济时间序列的混沌性。索耶斯(Sayers)、巴雷特(Barnett)和费兰克(Frank)等人也都在股票证券、外汇交易、期货等市场产生高频经济数据的经济活动中找到了低维混沌吸引子。这意味着只需少数几个经济变量就可以描述这类复杂的经济现象。
在国内，1987年，旅美经济学学者陈平用实际数据，计算了分维，从宏观货币指数中发现了维数为1.5左右的奇怪吸引子。自他将混沌经济学研究引入中国后，1992年杨培才等人在论文“经济混沌的实例及可预报性”中，用伦敦外汇市场的英镑对美元周平均汇率的时间序列作为原始数据，研究了外汇系统中的奇怪吸引子，推出了汇价变动的规律性及近期的可预报性。1993年．王军等在“标准普尔500家指数(S&500)的混沌吸引子”一文中指出了S&500有一个混沌吸引子，其维数为2.33，并论述了该吸引子对资本市场运动的意义。刘洪在《系统工程理论方法应用》论证了道格拉斯生产函数产生混沌的条件。1994年，黄登仕、李后强在《非线性经济学的理论与方法》一书中．对经济系统中的分形特征作了较深入研究。他们首次使用非线性经济学的一些统计方法、预测方法(BDS统计、R／S分析)对香港黄金价格、深圳股市价格等进行了预测和实证研究。现在国内已有越来越多的学者从事混沌经济的研究工作。如庄新田等运用混沌经济学的方法，对股票市场的流动性及交易群体数量变动问题进行分析，探讨如何实现市场的流动性和均衡状态。王春峰、康莉等利用混沌经济学和向量自回归（VAR）方法，实证分析了我国通货紧缩的成因及发展趋势。沈华嵩等根据中国国民经济的数据，提出确认经济混沌的理论模型。
今后经济混沌的研究应从两个方面加强：要扩大经济混沌的实证范围和提高实证的质量；要在经济系统的动力模型方面深入研究，以期在控制和预测方面有所突破。混沌经济学的发展对经济学的贡献将是不可估量的，而且将会引起数理经济学及计量经济学的变革，从而可能在新的规范下建立包容已往各据一词的各个学派的统一经济理论，更好地解释现代经济的运行规律。
参考资料：
1. 庄新田、黄小原，股票市场的流动性与混沌研究，系统工程理论方法应用，2002
2. 周作领、舒元，混沌经济学的分析基础简评，经济学动态，2001
3. 王春峰、康莉，中国通货紧缩成因及发展趋势的实证分析，金融研究，2001
4. 徐瑞娥，关于混沌学与混沌经济学的探索，财政研究，2000
5. 张水安、湛垦华，非线性经济学的特点与展望，经济学动态，1996
6. 理查德・戴等，混沌经济学，上海译文出版社，1996
7. 傅琳，混沌经济学与新古典经济学的比较研究，经济学动态，1994
8. 黄登仕，李后强，非线性经济学的理论与方法，四川大学出版社，1993
9. 张守一，葛新权，对经济混沌的初步分析，大自然探索，1992
10. 刘洪，一个动态经济系统混沌的政策条件，系统工程理论方法应用，1993
11. 李京文，罗春龙等，混沌理论与经济学，数量经济技术经济研究，199l
