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不等式在中学数学中的应用范文1
柯西不等式属于高中阶段进行数学教学不可忽略的内容.柯西不等式具有形式便捷、应用性强等几个方面的特点.近些年以来，我国在高考以及数学竞赛方面均开始注意并应用了越来越多的关于柯西不等式方面的知识点.解答此类问题过程中，常会应用到柯西不等式，形成假设条件，建立与结论之间的有效沟通.为此，采取何种方式或者手段利用柯西不等式，是我们需要探究的问题关键.
柯西不等式为著名数学家柯西在进行数学分析过程中获得的.基于历史角度分析，这个不等式也可以被称作是Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式.这是因为后两位数学家均已经在积分学领域之中发挥出其作用和价值.柯西不等式属于高中教学中的重要内容，也是现代高中数学研究内容之中的关键部分.柯西不等式作为一个至关重要的不等式，本研究中采用了三种方式解析与说明柯西不等式，同时，形成了部分柯西不等式在证明几何、函数等方面的应用.
下面列举数例，分析柯西不等式在高中数学中的应用.
案例1几何题型中的应用
例1（2008年高考试题）直线xa+yb=1通过点M（cosα，sinα），因此（）.
A.ax+bx≤1
B.ax+bx≥1
C.1a2+1b2≤1
D.1a2+1b2≥1
分析结合}意确定柯西不等式为
1=cosαa+sinαb2=cosα・1a+sinα・1b2
≤（cos2α+sin2α）1a2+1b2，
因此，可以知道1a2+1b2≥1，所以，正确答案为D.
本题在解题方法上可以选择较多形式，但是通过柯西不等式进行解答则效果最佳，读者或可以尝试其他方法进行解答.
案例2柯西不等式应用在数列与不等式中的应用
在高考试题中柯西不等式通常应用于数列与不等式证明中，如下例题所示.
例2已知数列{an}首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，3，….
（1）求{an}通项公式；
（2）证明：x>0，an≥11+x-1（1+x）223n-x，n=1，2，3…；
（3）证明：a1+a2+a3+…+an>n2n+1.
该例题是高考中较常见的题型之一，也是压轴问题.上述例题中（1）（2）较为简单，针对（3）的解题方法分析如下：
由已知任意的x>0，则
a1+a2+…+an≥11+xk-1（1+x）223-x+11+x-1（1+x）2232-x+…+11+x-1（1+x）2・23n-x=n1+x-1（1+x）223+232+…+23n-nx，
所以，取x=1n232+…+232=231-13nn1-13，
则得出
a1+a2+…+an≥n1+1n1-13n=n2n+1-13n>n2n+1.
所以，原不等式成立.
柯西不等式在教材中的应用与实践检验时间不长，但其已经逐渐成为高考中的重点题型.通过灵活把握柯西不等式解题方法，能够提高解题效率，对培养学生数学素养有着重要作用.
结束语
综上所述，借助柯西不等式解答试题的核心就是依据题目特征，构造符合题意的项，进一步获取关于柯西不等式方面的结构.针对相应项目进行构建的过程中也应当结合实际情况，确保合理性.例如，分母应当为0，平方根非负等是基本条件.结合全文可知道，准确运用柯西不等式，以此，可以更好地证明数据各类问题.并将复杂数学问题进行简化处理.
【参考文献】
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【关键词】数学分析；数学教学；中学教育；数学素养
【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2016）04-0127-01
数学分析在我国中学数学教学中的应用现状来看，其并非是一种简单的辅助教学方法，同时也是学生未来接触高等数学的必要学习内容之一。数学分析有助于培养学生发现问题、分析问题以及解决问题的能力，加强对其的研究有助于为后续理论研究以及实践教学活动开展提供参考依据。
一、中学数学教学中应用数学分析的指导作用
在中学数学教学中，应用数学分析具有十分深远的影响，所起到的作用十分突出，具体表现在以下几个方面：
（一）培养学生学习能力
在中学数学教学中，由于学科特性，很多学生在面临抽象的几何图像和复杂的函数计算时会感到十分抵触，有时候会感觉无从下手。可以说，数学分析能力水平高低，直接影响着学生的逻辑思维能力和空间想象能力。数学分析有助于学生沉淀所学的数学知识，对于学生知识积累程度同样存在直观重要的影响。
（二）培养学生举一反三能力
就当前我国教育事业发展现状来看，新课标教育改革提倡学生综合素质全面发展，部分中学数学教材内容经过反复的删减和增添后，内容更有助于学生学习，课堂教学也更加流畅。与此同时，中学课堂教学中对于不等式以及函数知识点的学习中，可以利用数学分析方法，寻找知识点中的乐趣，打破知识点的枯燥乏味，从而整合旧有知识，能够举一反三，掌握更多其他的知识。
（三）培养学生数学应用意识
数学并非是一门纸上谈兵的学科，需要注重理论知识的实践应用，通过数学分析在教学中的应用，能够将数学教材中更多典型的例子深化分析，通过自身所掌握的数学知识来解决实际生活中存在的问题。通过对这些实际例子分析和学习，有助于不断提高学生的实践应用意识和数学素养。
（四）为教学问题提供理论依据
中学数学课堂教学中，对于一些复杂、困难的数学问题，同给制作函数图形能够有效解决此类问题，除了通过函数单调性来判断极值点以外，还可以通过描点法构建函数图形，为解题提供帮助。在中学数学分析中，更多的是掌握基本函数知识，这些函数曲线并非是简单的连接，同时在每一点处都有切线，将这些点连接到一起，就形成了一条平滑的曲线。
二、中学数学分析在中学数学中的应用
（一）函数单调性
在中学数学教学中应用数学分析法，可以通过对数学知识的定义来推动出其他的知识内涵，诸如可以通过导数定义判断函数单调性，这样在寻找极值点的时候更加便捷，求出渐近线，最后画出函数图。此外，在数学教学中，微分学具有十分重要的作用，教师亦可以通过一系列的组合提问方法，帮助学生掌握合理的数学解题技巧。在判断函数单调性时候，学生多数通过定义内容及进行计算得出，这种方法十分麻烦，耗时耗力，但是如果采用微分学的严格单调充分条件定力，能够更加简单的判断出函数的单调性，即任意的x∈（a，b），如果fˊ（x）＞0或fˊ（x）＜0，函数f（x）在集合（a，b）中是严格增加或减少的。借助这种方法，学生能够更加简便的判断函数单调性，节省计算时间，对于学生逻辑思维能力培养有着十分突出的作用。
（二）不等式证明
不等式知识掌握是否熟练，对于其他知识的学习有着深远的影响。诸如在三角方程教学中，极值条件、三角函数以及不等式之间联系十分密切，对于不等式证明方法同样有很多种，但是尚未具有固定的解题模式。中学阶段对于不等式数学分析，主要是一些基础的不等式证明，多数采用数学归纳法和恒等变形方法。其中恒等变形发具有固定的解题模式，通过拼凑而成能够应用的不等式进行证明。函数单调性同样可以在掌握一些定积分知识后，从另一个角度来求解不等式，这种方式能够有效精简不等式求解过程，更加直观易懂，学生应用起来得心应手，提升学习成效。在中学课堂教学中，由于学科特性，很多学生在理解知识点时会感到费力，应用数学分析教学方法能够有效缓解此类问题，在数学教学中应用主要是针对导数、三角函数、不等式证明等知识点。在实际教学中，教师需要向学生讲解清楚数学分析法的应用原理，确保解题思路正确，潜移默化中提高数学素养和综合能力。
参考文献：
[1]刘小松.高师数学专业本科毕业论文撰写论析———以数学分析研究性内容为例[J].当代教育理论与实践,2011,03(2).
不等式在中学数学中的应用范文3
关键词：数；形；函数；值域
一、数形结合的内涵
教学实践表明：中小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想、方法及教学手段的现代化，加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键。因此，中学数学应该重视数学思想的教学，数形结合法是中学数学中一种基本的重要的数学思想。
恩格斯认为：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
二、数形结合法在函数及不等式中的应用
在中学数学中，数形结合的思想方法应用广泛。常见的如在函数的值域、最值问题，单调性，奇偶性与对称性中，在求复数和三角函数问题中，数与解析几何中的结合，一元二次不等式与图形的结合，本文主要论述数形结合思想在解方程和解不等式问题中的应用。应用数形结合思想，不仅能直观发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。在教学中要培养学生数形结合的思想意识，做到胸中有图，见数想图，以开阔他们的思维视野。
1.数形结合在方程中的应用
很多方程没有办法直接求出解，只能求出近似解或者掌握其解的个数，像这类问题我们可以借助图形的生动和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数为目的，利用图形直观、形象的特点解决问题。
例如：求方程lgx-sinx=0 的解的个数。
分析：此方程解个数即函数y=lgx的图象与函数y=sinx图象的交点个数。因为sinx≤1，所以lgx≤1，所以0
2.数形结合与绝对值不等式的结合
因为绝对值本身具有自己的几何意义，表示的是数轴上两点之间的距离，所以我们解绝对值不等式可以借助数轴来解决。
例：若│x+1│+│x-2│
解：两个绝对值表示的是数轴上到 -1与2的距离之和，我们从数轴来看：
我们从图上可以发现数轴上的点到 -1与2 的距离之和最小值为-1到2 的距离等于3，而不等式要无解的话，那么a应该小于等于左边的最小值，因为左边最小值为3，所以a≤3。
3.数形结合在一元二次不等式中的应用
下面以x2-x-2>0（0（0时x2，y
由此可知，不等式x2-x-2> 0的解集是（-∞，-1）∪（2，+∞），不等式x2-x-2
数形结合是很重要的思想，可应用于很多数学题的解答，不单纯是我所说的这几种，还有复数、平面几何、立体几何，等等。而学生对于这种思想的掌握又很困难，需要我们不断地去引导学生将数转化为形，同时还能够将形转化为数，让他们自己能够慢慢地形成这种思想，在解题中去应用这种思想。
参考文献：
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关键词：初中数学；函数与方程；关系
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）18-210-02
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想。
一、相关概念解析
函数思想是运用运动和变化的观点，分析研究数学中的等量关系，建立函数关系，在运用函数图像和性质分析问题中，达到转化问题的目的。
方程思想是以数量关系为切入点，用数学语言把问题转化为数学模型DD方程、方程组，通过求解方程、方程组转化问题。
虽然函数思想和方程思想是两个不同的概念，但是这两种数学思想却有着密切的联系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函数y=ax2+bx+c当函数值为0时自变量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的个数就是求函数y=ax2+bx+c与函数y=dx+e图像交点的横坐标或交点的个数。这种紧密的关系为函数思想与方程思想在初中数学中的相互转化提供了物质条件。
二、函数思想在方程、不等式知识当中的应用
事实上，代数式可以看作带有变量的函数表达式。求代数式的值就是求特定的函数值；方程实际上就是求已知函数满足一定条件的变数值，使在该变数值上已知函数有某个预先指定的值，特别是函数值为零时的自变量的值：不等式可以视为求函数的误差估计；如此D来，就把方程和不等式都统一到函数的范畴中，体现了数学的统一性。一元二次方程，一元二次不等式均可看作是研究二次函数和二次三项式的特殊情况。下面的例题更加说明了函数知识在解算式、不等式以及方程时的重要作用。
解析： 这是一道通过构造函数来求算式的值的问题，如何通过对题中所给的式子的形式的研究，巧妙地构造函数，从而使看似复杂的问题得到解决，是本题的关键。
不等式问题是中学数学中的一个难点，有些不等式采用常规的方法难以解决，若能够根据不等式的结构特征，唤起联想，巧妙地构造函数，将不等式问题转化成为函数的问题，借助函数的有关性质，常能使问题获得简捷明了的解决。
三、函数思想的应用
在初中数学中所遇到的数量关系有时没有那么直观，如果利用函数思想建立数学量之间的函数关系模型就能够有效解决这一问题。通过构建具体的函数模型研究初中数学问题，可以使很多东西简单化。同时，培养学生的函数思想有助于其学习能力的提高、学习成绩的进步。
例如：据报载，我省人均耕地已从1951年的2.93亩减少到1999年的1.02亩，平均每年减少0.04亩。若不采取措施，继续按此速度减下去，若干年后我省将无地可耕，无地可耕的情况最早会发生在（ ）。
A、2022年B、2023年C、2024年D、2025年
解：设x年后我省可耕地为y亩，则y与x的函数关系式为y=2.93-0.04x。
令y=0得x=73.25。
考虑实际情况x应取74，无地可耕的情况最早会发生在1951+74=2025，所以应该选D。
上述例题的解答问题就体现了函数思想。通过建立时间与耕地面积的函数关系使题目简单化。倘若直接计算，也能得到正确答案，只是解答过程会相对繁琐并且容易出现错误。其实，利用函数思想解决初中数学问题的中心思想很简单，就是构建函数关系式。但具体应用起来并非易事。学生要综合考虑函数的性质、图形及实际情况解答问题，并不是单纯地列出函数式就可以了。教师应加强学生的相关练习。
四、方程思想的应用
1、方程的思想在代数中的应用：对于一些概念性的问题可以用方程的思想解决。
例如：1）■+1与■互为相反数，求m的值；
2）p（x，x+y）与q（y+5，x-7）关于x轴对称，求p、q的坐标。
解题思路就是根据给出的语言描述，利用相反数的概念及关于x轴对称的性质列出相应的方程式，然后对方程式进行求解。
2方程的思想在几何中的应用：最典型的就是给出边（角、对角线、圆的半径）的比，求有关的问题。
例如：若三角形三个内角之比是1∶1∶2，判断这个三角形的形状。
解题思路为：设每一份为x，三个角分别就是x，x，2x，则x+x+2x=180，解方程得x=45，所以该三角形为等腰直角三角形。
从上面的例子可以看出，方程思想在具体应用中就是利用方程观点，用已知量和未知量列出等式或者不等式，然后再对方程进行求解。教师应该加强培养学生根据题意列方程的能力，这是利用方程思想解题的关键所在。
五、合作讨论，拓展学生的数学思维
在教学中，研究讨论一直是不可或缺的方法之一。研究讨论的方式不仅可以提高学生对数学知识的掌握，更可以加深学生对知识的理解，同时在研究讨论中十分有效地提高对学生数学思维的培养。在中学数学课堂上，教师可以将学生分成若干小组，多多提供机会将学生个人与小组结合起来，引导学生加强与组内成员的交流，提供充分的学生自主活动空间以及广泛的交流。例如，在学习方程函数的课程时，教师可以组织学生们进行小组讨论，对方程函数中的各种特点进行归纳、分类。合作讨论的教学方法不仅可以加深学生对知识的理解，提高学生对数学知识学习的兴趣，更可以培养学生们的团结合作精神，了解团队的重要性。这能够提高学生们对数学学习的兴趣和热情，使学生们喜欢上数学，从而大大提高了初中数学课堂教学。
在初中数学中，函数与方程是其中的核心知识，函数和方程概念是中学数学中的一个非常重要的部分，对数学的学习有着非常重要的作用。因此，在数学的教学中，要强调函数和方程思想的重要性，提高学生的综合能力，从而达到素质教育的根本要求。
参考文献：
[1] 刘昭慧 在初中数学教学中方程函数思想的运用[J].数理化学习（教育理论），2013
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关键词： 数形结合 思想方法 中学数学
1.引言
我国著名数学家华罗庚说过这样一句话：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。”所谓数形结合就是根据“数”与“形”之间的对应关系，通过“数”与“形”的相互转化来解决数学问题的思想方法。数形结合既是一种思想，又是一种方法，它是中学数学中一种重要的解题思想和策略，数形结合具有直观、形象、生动等优点，在有些题型中，运用数形结合的思想解题还能避开繁琐的讨论，减少运算量，大大地简化解题过程。
数形结合的思想可以使某些抽象思维变为形象思维，有助于把握数学问题的本质，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，并且解法很简单。在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的数形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使“数”与“形”的信息相互渗透，这样可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。“数”与“形”可以看成是一对矛盾，它包含以“数”助“形”和以“形”助“数”两个方面，数形结合的思想应用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面，它们渗透于中学教材之中。中学数学中常常用到数形结合方法的内容有：数轴上的点与实数的对应关系、函数与图像的关系、曲线与方程的关系、部分不等式与代数式的关系，等等。数形结合的思想方法在解方程和不等式、函数（包括三角函数）、解析几何中既能直观地发现解题途径又能避免复杂的计算，简化解题过程，这对于毕业班的学生来说在考试时有很大的帮助。
数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“数”与“形”之间的对应关系和转换来解决数学问题。在中学中主要有以“数”转化为“形”和“形”转化为“数”这两种关系。“数”与“形”是一种对应关系。“形”具有形象、直观、简洁明快的优点，能表达具体思维，是解决问题的关键。但部分比较抽象的数量难以把握，这就需要我们把与数量关系相对应的图形找出来，利用图形来解决问题。我们把数量问题转化为图形，并通过对图形的分析最终解决数量关系的方法叫图形分析法。这其中数量问题图形化是图形分析法的条件。对于“数”转化为“形”这类题目的基本解题思路：弄清题目所给的条件和所求的目的，从条件或结论出发，构造出相对应的图形，再利用构造出的图形的性质、几何意义等联系所要求的目标去解决问题。“形”虽然有形象、直观、简洁明快等优点，但对于定量分析还得借助于代数的计算，特别是比较复杂的图形，不但要正确地把图形信息转化为数字信息，而且要观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分地利用图形的性质和几何意义进行计算。对于这类题目的解题思路：明确题目中所给的条件和所求的结论，分析所给的条件和所求的结论的性质和特点，理解条件和结论在图形中的几何意义，正确将题目中的图形信息转化为代数信息，再利用条件与结论的联系，运用定理或公式解决问题。
2.数形结合的思想方法在中学数学中的应用
2.1解决函数问题
利用图像研究函数的性质是常用的方法，函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
令A（0，1），B（2，2），C（x，0），则问题转化为在x轴上求一点C，使 |CA|+|CB|有最小值。如图1，由于AB2.2解决方程或不等式问题
2.2.1在解方程时，把方程的根的问题看做是图像的交点问题。
例2.如果方程x+2ax+k=0的两个实根在方程x+2ax+a-4=0的两实根之间，试求a与k应满足的关系。
解：画出对应的二次函数y=x+2ax+k，y=x+2ax+a-4的草图，这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线（如图2），要使方程x+2ax+k=0的两实根在方程x+2ax+a-4=0的两实根之间，则对应的函数图像y与x轴的交点应在函数图像y与x轴的交点之内，它等价于抛物线y的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线y的顶点纵坐标，由配方法知y与y的顶点坐标分别为:P（-a，-a+k），P（-a，-a+a-4），故-a+a-4＜-a+k≤0，即可以求出a与k的关系为：a-4＜k＜a。
2.2.2在处理不等式时，联系相关函数，分析其几何意义，从图形上找解决题目的思路。
例3.解不等式≥x
解：作直线y=x和半圆弧y=的图像，由=x知x=，由直线和半圆弧的位置关系即可知原不等式的解为（-5，）。
2.3解决三角函数问题
在解决三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题时，数形结合是重要的方法。
例4.求y=的最值
解：y的结构类似于斜率公式，故可视为定点M（2，1）与单位圆上的动点N（cosx，sinx）连线的斜率，如图4，当MN与单位圆相切时，切线的斜率取值就是所求函数的最值，由图可知：0≤k≤，故可知y的最值为：y=0，y=。
2.4解决解析几何问题
解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数形思想运用于对曲线的性质及相互关系进行研究中。
例5.椭圆+=1的焦点为F、F，点P为其上的动点，当∠FPF为钝角时，P点横坐标的取值范围为?摇?摇 ?摇?摇。
解：如图5，由题意可知，点P在以FF为直径的圆的内部且在椭圆上时，∠FPF为钝角，则解方程组+=1x+y=5得圆与椭圆的交点横坐标x=±，所以点P的横坐标的取值范围是：- 3.结语
数形结合思想在中学数学中占有非常重要的地位，其“数”与“形”的结合，把代数式与几何图形相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。只有熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，才能熟练地运用这一思想方法。
参考文献：
［1］邱海泉.浅谈数形结合思想在高中数学的几点应用［J］.2005.3.
不等式在中学数学中的应用范文6
关键词:齐次线性方程组 线性组合 导函数 变量与常量 概率模型
高等数学由于其本身高度的抽象性和极强的逻辑性,使得不少人认为高等数学在中学数学教学中基本无用,但随着中学新课改的不断深入,中学数学中涉及高等数学的内容在不断地增加,可以说这是数学发展的必然.高等数学知识在开阔学生视野、提高学生学习兴趣、指导学生解题等方面的作用也日益突出.因此讨论高等数学知识在中学数学中的应用是很有必要的,下面结合具体的实例谈谈高等数学知识在中学数学解题中的应用.
一、利用高等代数知识解题
1.利用齐次线性方程组的方法解题
引理:含有n个未知量,n个方程的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是:方程组的系数行列式D=A=0.
例1.设f(x)=ax2-b且满足-4≤f(1)≤
-1,-1≤f(2)≤5,求f(4)的取值范围.
分析:本题容易出现如下错误解法
f(1)=a-b,f(2)=4a-b,f(4)=16a-b
-4≤a-b≤-1 (1)
-1≤4a-b≤5 (2)
由(1)得1≤-a+b≤4,(3)
由(2)+(3)得0≤a≤3(4)
0≤16a≤48(5)
由(3)得4≤-4a+4b≤16(6)
由(2)+(6)得1≤b≤-1(7)
-7≤-b≤-1(8)
由(5)+(8)得-7≤16a-b≤47
即-7≤f(4)≤47
本题可以用齐次线性方程组的方法来解.
解:由已知有f(1)=a-b,f(2)=4a-b,f(4)=16a-b
即a-b-f(1)=04a-b-f(2)=016a-b-f(4)=0
这是关于a,b,-1的齐次线性方程组且有非零解,所以
1 -1 f(1)4 -1 f(2)16 -1 f(4)=f(4)+4f(1)-5f(2)=0
即f(4)=-4f(1)+5f(2)
从而-1≤f(4)≤41
这个例子的实质就是根据已知条件的特征构造齐次线性方程组.这里正确确定方程组的变量是解题的关键.如果已知条件是关于几个变量的等式,而结论是只与其中某些变量有关的表达式,这时将结论中出现的某些量作为齐次线性方程组的系数,而将其余量作为方程组的未知量.
2.利用线性组合的方法解题
定义若向量α为向量组β1,β2,…,βs的一个线性组合,如果有数域P中的数k1,k2…ks,使α=k1 β1 +k2 β2 +…ks βs.
例1的解法二如下:
解:设f(4)=αf(1)+βf(2)=α(a-b)+β(4a-b)
即16a-b=(α+4β)a-(α+β)b
α+4β=16α+β=1?陴α=-4β=5
16a-b=-4(a-b)+5(4a-b)
又-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5
4≤-4(a-b)≤16,-5≤5(4a-b)≤25,
-1≤-4(a-b)+5(4a-b)≤41,
即-1≤f(4)≤41.
此种解法与例1的解法有异曲同工之效,此种解法的关键是把f(1),f(2)看成一个整体,利用待定系数法求f(4)关于f(1),f(2)的一个线性组合.最后所求的f(4)的取值范围也没有扩大和缩小,满足题目的要求.
二、利用数学分析知识解题
1.利用导函数的方法解题
函数是数学研究的主要对象,中学数学用代数方法研究它的一些形态,如单调性、周期性和极值性等,但是由于方法的限制,这些研究既不全面又不深入,并且计算繁琐,不易掌握其规律,导数为我们提供更深入地研究函数的性态提供了有力的工具.
例2.已知m,n是正整数,且1
证明:要证(1-m)n>(1-n)m
只要证nln(1-m)>mln(1+n)
x≥2,ln(1+x)>1
f ′(x)
f(x)在区间[2,+∞)上为严格减函数,
又1
2.利用“变量”与“常量”相互转化的方法解题
例3.解方程x3+6x2+9x+2=0
分析:此题若按三次方程求解x相当困难.若将“3”看成未知数,x看做常量,则是一个关于“3”的一元二次方程.
解:改写原方程为x・32+(2x2+1)・3+x3-1=0
三、利用高等几何解题
例4.过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF,连接CF和ED交AB弦于P,Q.
求证:PM=MQ.
分析:此题若局限在平面几何范围内去研究,虽能找到多种不同的证法(略),却都来之不易,但是如果我们利用高等几何中交比的方法来证明,就非常容易了.
四、利用概率论知识解题
例5.若0
分析:本题是一道关于不等式证明的题目,如用中学数学的知识来做,过程复杂且繁琐,下面用构造概率模型的方法来给出证明过程.
证明:令A,B是两个相互独立的事件,且使P(A)=a,P(B)=b
由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=a+b-ab
由概率的性质知0≤P(A∪B)≤1
从而0≤a+b-ab≤1
用概率论证明不等式,最基本的思路是将不等式中的数转换成若干个相互独立事件的概率,从而将实数之间的运算转换成概率的运算,利用概率的有关计算公式及性质,便可证得结论.
