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高中数学分离常数法范文1
关键词：中等生；例题教学；有效性
问题的提出
2011年有幸观摩了一堂高三有关不等式问题的复习课. 教师用PPT显示一组题，让学生分小组进行讨论，然后小组派代表来阐明解题思路，教师只略微点拨，最后进行练习. 整堂课学生情绪高涨，思维活跃，练习准确率也很高.
引例 已知函数f（x）=8x2+16x+m（其中m∈R），g（x）=2x3+5x2+4x.
（1）对任意的x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范围；
（2）存在x∈［-3，3］，有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范围；
（3）对任意的x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求m的取值范围；
（4）对任意的x1∈［-3，3］，存在x2∈［-3，3］，使得g（x2）=f（x1）成立，求m的取值范围.
笔者觉得这个例题很好，将不等式中似是而非的问题串起来了. 回校后，笔者也用了这些题和这样的教学模式在自己的高三（3）班上进行教学，但教学效果不尽如人意.但在高三（4）班进行教学时，做了一些调整，收效很好，80%以上学生明白每小题之间的本质区别与联系.
调整后的教学过程如下：
例题中每个小题是通过PPT一个个地展现的，若5个小题全部显示，会分散学生的课堂注意力. 因为题（1）是学生接触较多的题型，教师让学生自己解答，然后将题（1）的详解展示在PPT上.
解：（1）任意的x∈［-3，3］，f（x）≤g（x）恒成立，即m≤2x3－3x2－12x在x∈［-3，3］上恒成立. 记h（x）=2x3－3x2－12x，由题知m≤hmin（x），x∈［-3，3］. 因为h′（x）=6x2－6x－12，令h′（x）≥0，得x≥2或x≤－1，所以y=h（x）在［-3，-1］上递增，在［-1，2］上递减，在［2，3］上递增.
又h（－3）=－45，h（2）=－20，
所以hmin（x）=－45，从而m≤－45.
学生进行校对，然后教师和学生一起总结：题（1）恒成立问题化归为求函数的最值问题.
展现题（2），留给学生思考时间，学生必会将题（1）与题（2）进行对比思考. 学生在原有知识基础上能判断出题（2）是存在性问题，即是不等式有解问题，学生能做到将题（2）化归为m≤h（x）max，x∈［-3，3］. 在题（1）基础上，易知h（x）max=7，得m≤7.
展现题（3），留给学生思考时间. 教师引导学生将题（1）与题（3）进行对比思考，学生在教师有目的的引导下，感受到题（1）中不等式f（x）≤g（x）两边的x是同时取相同的自变量的值，而题（3）中不等式f（x1）≤f（x2）两边的x1，x2的变化是互不影响的. 学生随即将题（3）化归为求使f（x1）max≤g（x2）min，x1，x2∈［-3，3］成立的m的取值范围问题.
解：当x∈［-3，3］时，f（x）=8（x+1）2+m－8，则fmax（x）=120+m.
又g′（x）=6x2+10x+4，令g′（x）≥0，解得x≥－或x≤－1；
于是g（x）在［-3，-1］递增，在－1，－递减，在－，3递增；
又g（－3）=－21，g－=，
故gmin（x）=－21. 由题知，只需120+m≤－21，得m≤－141.
?摇?摇展现题（4），留给学生思考时间，在题（3）的基础上，学生明白等式g（x2）=f（x1）两边的x1，x2的变化是互不影响.笔者观察学情后，让数学基础好的学生来说明解决此题的关键在于如何理解任意的x1∈［-3，3］，存在x2∈［-3，3］这两个条件在题中的作用，只要f（x）的值域包含于g（x）的值域即可. 教师将学生的表述润色为，此问题可化归为f（x）的值域是g（x）的值域的子集.在题（3）的基础上可得f（x）∈［m－8，120+m］， g（x）∈［－21， 111］，于是只需m－8≥－21，120+m≤111，解得－13≤m≤－9.
教师运用相同的例子对两个同等水平的班级采取了不同的教学方式，得到了不同的教学效果，为什么会这样？究其原因，问题的关键在于例题的后一种教学方式更适合本校学生的学情. 心理学家维果茨基关于“最近发展区”的理论认为，学生有两种发展水平：一种是现有发展水平，即已经达到的发展水平；另一种是潜在发展水平，即可能达到的发展水平，主要包含在教师指导下，通过自己的努力才能完成的智力任务. 原单位生源好，教师在平时的教学中也常强调这种解题方式，学生对问题的分析、对比和转化能力强. 经过学生相互之间的讨论，绝大多数学生对问题的认识能够更上一层楼. 而高三（3）班学生数学水平中等，这些问题本来就不是很清楚，堆在一起就更晕了，题组所需要的数学思维和能力已经超过了（3）班学生的“现有发展水平”，不能把学生的潜在发展水平进行开发，因此笔者的点拨只对部分学生起了作用，导致小组讨论失败了. 而在高三（4）班的例题教学很好地运用了“最近发展区”理论，笔者从学生熟悉的知识出发，引导学生层层转化.通过题与题之间的对比，让学生认清了题与题之间的区别与联系，使学生更好地将其内化成自己的知识. 笔者成功地将学生的现有发展水平不断向前推进，激发了学生的潜在发展水平.
高三的数学复习往往是围绕着例题教学展开的，例题教学在于精，不在于多. 美国著名的教学设计研究专家马杰（R.Mager）指出，教学设计依次由三个基本问题组成：首先是“去哪里”，即教学目标的制订；接着是“如何去那里”，包括学习者起始状态的分析、教学内容的分析与组织、教学方法与媒介的选择；最后是“如何判断已经到达了那里”，即教学评价. 也就是说，教学设计首先要解决的是“去哪里”即“教什么”的问题，也就是教学目标的定位；其次是“怎么教”，即方法和策略的问题. 因此，例题教学是否科学，是否合情合理，直接关系着高考目标实现的高低.
以中等水平为本的例题选编策略
1. 研究教材，严格以纲为纲，不超纲
教学有效的一个有效检验标准是考试分数的高低. 近几年来高考试题稳中求新，稳中求变，个别试题的灵活度有所加大，但从未超纲. 万变不离其宗，其所考查的内容和范围都以《考纲》为凭，其考查的要求和说明都是以《考试说明》为依据的. 《考试说明》是由国家教委考试中心颁发的高考法定性文件，规定了考试性质、内容、形式等，特别是明确指出了考试内容和考试要求，也就是说要考的知识点及各知识点要考到什么程度均有明确规定. 现在不少学校的数学教师在高二期末会选择一本高三复习用书，到高三复习阶段就以这本辅导书为数学复习的主要教材，表面上复习得很到位了，却不知犯了以偏概全的毛病. 原因主要有两个：①每本教辅书的编写者往往是以他自己的观点来编写参考书的，存在片面性. 有的教辅书更甚至于翻印了前几年参考书或其他出版社的参考书的部分内容，也不管是否超出本省的《考纲》和《考试说明》的范围. ②为了对每一个孩子公平，每年各省出高考的专家们都是以高中课本、《考纲》和《考试说明》为参考书进行高考试题的编写. 因此教师应以课本为本，以《考纲》和《考试说明》为依据，在备课前应该认真研读《考试说明》和《考纲》对数学每一章节的要求和整体要求，明确“考什么”“考多难”“怎么考”；也要学会借鉴当年各地各校编写的教辅资料，集众家之力量， 结合自己学生的学习情况，缺什么就补什么，缺多少就补多少，进而确定“选编什么例题”，使其对中等生的高考更加有效.
2. 研究高考
仔细推敲近几年，特别是近三年的高考试题的命题特点，熟悉高考试题的题型和要求，明确高考试题形式、题型分布、知识点的覆盖规律、每年高考试题的创新亮点、思想方法考查的切入点、能力考查的力度等，对了解高考命题方向、把握高三复习方向有很好的指导作用. 例如2009年之前，全国有关函数高考压轴题常考求函数的单调区间，或用函数的单调性解参等. 而2009年浙江高考命题组突破常规，考查了函数在区间上的不单调问题. 有些学校这一题的得分情况很好，一方面反映了该校学生灵活的解题能力，另一方面也反映了该校的教师很好地在研究各地的有关函数高考题的情况，并在2009年高考复习时已经选编过这类题型. 又如2010年浙江数学高考理21题与2006年湖北数学高考理21题是惊人的相似，浙江卷命题组教师在湖北卷基础上，结合本省的《考试说明》推陈出新. 因此，教师应通过研究高考，帮助中等水平的学生能攻克80%左右的经典题和重点题，帮助他们反复对比，并将其内化成自己的知识.
3. 研究学生
例题教学的起点是学生的学情现状. 笔者执教学校学生的总体水平在杭州属中等，近几年该校的数学理科高考平均分约在108左右. 每年浙江省高考卷常考常新，背景新颖、设问创新，但绝大多数试题，至少80%，新中见旧，属于旧题翻新，形变质不变；而真正意义上的创新试题不足20％. 而该学校的主要目标是使学生能很好地答完高考试卷的80%，剩下的部分尽可能多拿分.中等学生的思维特点主要有：（1）对公式的理解片面，顾此失彼. （2）运算过程中，观察对象不仔细. （3）思考问题时，忽视问题的特殊性. （4）面对多种情况，忽视分类讨论. （5）解决问题时，用特殊代替一般. （6）面对隐蔽问题，不会挖掘隐含条件. （7）缺乏逆向思维，考虑不周全. （8）思维不严谨，解题粗心马虎. （9）概括能力差，缺少反思和归纳. （10）对数学问题的数学本质认识不足. 通过几届高三教学，笔者一直在思考一个问题：如何对中等生进行有效的例题教学，使其更灵活地应用于高考？
以中等生为本的课堂教学策略
任何一名学生都是喜欢思考问题的.中等生已经掌握了较多的解题方法，其不能灵活地应用或掌握的知识是支离破碎的，当教师点明题意或引导思考时，中等生能从学过的知识中找出解题的方法. 教师对例题教学想说明什么问题，学生会在例题求解中出现怎样的状况，教师应该用怎样的问题引起他们的思维，教师要有一个预见性的诊断. 教师应针对学生的理解困难，以知识的“再发现”为线索，预设置一些好的“脚手架”，引导学生独立思考和探索，建构知识的发生、发展过程. 让学生在这个情景中去体验、思考数学问题，去感受挑战困难、战胜困难的愉悦. 如果教师只是自己理解了知识，却不知道以什么方式将这种理解传达给学生，那么知识就只是不可言传的“个人特技”. 因此要开展有针对性的课堂教学模式，力求逐个突破.
1. 淡化形式，寻求本质，突破难点
数学问题千变万化，例题教学归根到底是为了提高学生分析问题和解决问题的能力，是为了培养学生能较为迅速地寻求和发现走哪条路达到目标可能是最近的意识和能力. 寻到问题的本质，复杂问题总是由简单问题组成的. 在例题教学时，要注意引导学生想想它的简单情形，可以考虑或转化成熟悉的等价命题，或主动元与被动元互换等，从而把较复杂的问题转化为一个简单的问题. 这样就能以解决简单的问题作为跳板，从中寻找方法或受到启发，再“进”到复杂问题.正如数学家华罗庚所说：善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍. 在这一“退”一“进”之间，挖掘问题的本质.
例1 （2008年浙江理10）如图1，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A． 圆 B． 椭圆?摇
C． 一条直线?摇?摇 D． 两条平行直线
图1
例2 （2010年浙江理22题）已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x－a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）略.
例3 （2009年浙江文21）已知函数f（x）=x3+（1－a）x2－a（a+2）x+b（a，b∈R）.
（Ⅰ）略；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（－1，1）上不单调，求a的取值范围.
针对中等生的思维特点：对数学问题的数学本质认识不足；缺乏逆向思维，考虑不周全等，设计了以上例题. 通过例1，教师传授一种解题思路：通过主动元与被动元互换，将主动元点P在被动元平面α上形成的轨迹转换成被动元平面α截以AB为旋转轴，主动元点P到直线AB距离为半径的圆柱体形成的轨迹，抓住了问题的本质，简化了形式. 教师也适时指出该问题的知识来源于课本（选修2-1）P42探究与发现（为什么截口曲线是椭圆），让学生明白高考既源于课本，又略高于课本. 利用例2的教学，教师让学生体会到，面对题型熟悉而常规求解无法进行时，可以通过等价条件将问题转化，即“x=a是f（x）的一个极大值点”等价于“x=a处左边附近f（x）单调递增，右边附近单调递减”，或等价于“y=f′（x）在x=a处左边附近函数值为正，右边附近函数值为负”，或等价于“方程f′（x）=0根的分布问题”，即“方程［x2+（3－a+b）x+2b－ab－a］=0有两个实根，一个大于a，另一个小于a”. 当然，中等生对f（x）=（x－a）2（x+b）ex的求导往往是将其先展开成多项式和再求导，使得整个解题后续工作无法进行. 此时教师需要引导，并展现整个解题过程以便中等生能理解和掌握. 利用例3的教学，教师引导学生学会正难则反的思维方法.要求解原问题，可以通过反面“函数f（x）在区间（－1，1）上单调”来解决，即等价于“方程f′（x）=0至多有1个实根”. 教师适时指出这三道题在当年高考时学生的得分都很低，其实如果我们学会抓住问题的本质，难题也变可解题、容易题. 这种题型的教学可以鼓舞中等生的士气，激发学生的兴趣.
2. 例题呈现方式，突破知识零散性
高二结束，学生已经学完了考纲中规定的高中全部数学课程，学生对数学概念、定理、公式、基本数学方法已较好地掌握，但较分散. 针对学生存在的思维特点，要想在有限的时间内进行有效的复习，教师要帮助学生对已掌握的零碎的数学知识进行归类、整理、加工，使之规律化、网络化；对知识点、考点、热点进行思考、总结、处理，使学生掌握的知识更为扎实、更为系统，让学生更具有实际应用的本领，更具有分析问题和解决问题的能力. 同时将学生获得的知识转化成为能力，从而使学生做到：总复习全面化，普通的知识规律化，零碎的知识系统化. 教师在例题教学中可以常用题组教学、变式教学、知识交汇点教学、专题教学等形式，将知识进行有机的整合，逐渐完善中等学生的思维.
（1）题组教学
教师选择题组进行有效教学，能让学生真正弄懂形同质异或形异质同题的求解问题，改善中等生思维上的不足，如概括能力差，缺少反思和归纳；思考问题时，忽视问题的特殊性；对数学问题的数学本质认识不足；面对隐蔽问题，不会挖掘隐含条件等. 如引例中的几个小题，这类函数问题是常考常错，在高一、高二的教学中，很多时候都是分开教学，学生并没有真正理解这一类题目. 在高三教学中，将这几个题有效地组织在一起教学，可以提高中等生的分析概括能力. 求参问题也是中等生很头痛的问题，如下例.
例4 1. 已知方程2sin2x－cosx－a=0有实数解，求实数a的取值范围.
2. 已知函数f（x）=（a∈R），在x∈（－∞，1）时，f（x）有意义，求实数a的范围.
3. 已知函数f（x）=lg（a－ax－x2），若f（x）>0的解集为（2，3），试求实数a的取值范围.
教师利用例4题组对比教学，让学生明白：第一，无论是在闭区间上方程的有实根问题来求参数还是不等式恒成立来求参数，往往都可用分离变量法将其转化成两函数的交点问题；第二，不等式的解集问题本质上是方程的根的问题，只要通过代入根就可求解参数.通过这类问题的集中教学，可以使学生认清问题的本质. 当然，教师也要强调，题中涉及换元时要注意新元范围的变化，以改善中等生思维不严谨性.
再如在导数概念及其几何意义的复习课中，数学《大纲》要求：理解导数的几何意义. 根据高二时学生在这个知识点上常见的错误，笔者为学生选编以下例题.
例5 曲线y=4x－x3在点（－1，3）处的切线方程是________.
课堂练习：1. 直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则实数b=________.
2. 过原点作曲线y=ex的切线，则切线的斜率是________.
3. 已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程为________.
通过例题和课堂练习让学生理解：1. 在某点处的导数的几何意义为过该点的切线的斜率；2. “在某点处的切线”与“过某点的切线”是不同的概念，“在某点处的切线”中的点就是切点，“过某点的切线”的点并不一定是切点.
（2）变式教学
变式教学作为一种传统的、典型的数学教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且还具有很好的实践性. 在高三数学复习课教学中，选择变式教学，也是必需的. 教师通过变式教学，有意识地把教学过程转变为学生的思维过程，让学生多角度地理解数学定义、定理、公式，进而提高学生独立分析和解决问题的能力.
如均值不等式≥（x，y∈R+，当且仅当x=y时，“=”成立）是高中数学的一个重要知识点.但学生在使用时，很容易疏忽定理使用的条件，一正二定三相等. 为了让学生更好地巩固知识，笔者以课本（必修5）P114练习1为原题设计了以下变式教学：
例6 已知x>0，当x取何值时，y=x+有最小值？最小值是什么？
变式1：当x∈R时，函数y=x+是否有最小值？
变式2：已知x>5，求f（x）=4x+的最小值.
变式3：当x≥2时，y=x+的最小值是2吗？
通过例5的变式教学，一方面巩固了学生对均值不等式使用条件的掌握；另一方面，教师从图象向学生说明为什么要有这样三个条件，因而加深了中等生对定理的理解.
又如数列是高中数学中的一个重要知识，但也是令中等生头痛的问题，特别是通过递推数列求解数列的通项公式，进而研究数列性质.笔者以课本（必修5）P35例题为原题设计了以下变式教学：
例7 已知数列｛an｝满足a1=1，an=2an-1+1（n>1），求an.
变式1：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），求an.
变式2：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an+2n-1（n∈N*），求an.
变式3：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=2an+2n-1（n∈N*），求an.
变式4：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=（n∈N*），求an.
变式5：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an（n∈N*），求an.
通过以上变式教学，归纳出数列中利用递推关系式求数列通项这一类题型的常见用法，如叠加、叠乘、迭代等方法，将其化归成等差、等比数列来解决，提高中等生对问题的化归能力及对不同条件下数列问题的处理方法. 中等生在处理有多少项或者是否从第一项开始就满足求解出来的通项公式这些问题上往往会考虑不全，因此教师要在解题过程中一步步讲解清楚，如何确定项数或通项公式. 如在完成变式5后，笔者将变式5中条件“an+1=an”改成“an+1=an”，再让学生进行解答.
（3）知识交汇点教学
全国各地的高考总会在知识交汇点出题，这势必要求学生能从知识交汇点处抓出主干条件，进行有效解剖. 但中等生在这方面能力都较弱，因为这不光需要学生对每一章节知识的熟练掌握，而且还需要学生有很强的综合处理问题能力. 其实知识点交汇题型中，不少题目中某个知识点只是一个点缀，这需要教师在教学中有效培养和训练学生抓“点缀”的本领. 如圆锥曲线综合题是高考命题的重点内容之一，也是考生普遍感到困难的一种题型. 圆锥曲线与向量、圆锥曲线与圆、圆锥曲线与平面几何、圆锥曲线与数列等知识的交汇，只要挖掘下去，去掉枝叶大多都转化为直线和圆锥曲线的方程的根的问题，或坐标关系问题. 当然这类题型计算量很大，针对中等生的计算能力弱的特点，课堂上应挪出更多的时间让学生来进行演算，提高学生的计算能力和体验知识交汇题的不可怕，并感受综合题的解题方向往往会在计算的过程中豁然开朗，领悟教师归纳出的结论.
例8 （2010浙江理21）已知m＞1，直线l：x－my－=0，椭圆C：+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线l过右焦点F时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为G，H. 若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
此题考查椭圆的几何性质与方程，直线与圆锥曲线的位置关系. 问题的突破需要借助于两个三角形中涉及的重心，需要学生用数形结合的思想把重心转化为坐标式满足x=，y=，把几何问题转化为代数坐标运算． 教师指出点在圆内除了利用点到圆心的距离小于半径外，还可利用点在圆内侧点与直径端点所成的角∠GOH为钝角，而钝角则可转化为向量・
练习：（2010年北京理19）在平面直角坐标系xOy中，点B与A（－1，1）关于原点O对称，P是动点，直线AP与直线BP斜率之积等于－.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP与BP分别与直线x=3交于点M，N. 问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
通过以上练习，加强学生处理综合问题的能力，增强中等生的信心. 当然教师也要通过问题1中
“・=－”与“x2+3y2=4”的区别，改善中等生考虑问题的马虎性.
（4）专题教学
在高三第二轮复习时，对于一些高考中的重难点知识、数学思想方法等，教师要针对中等生的特点，应用专题教学方式，对中等生掌握的知识再次进行有效整合和提升. 如在立体几何教学中，笔者发现正方体用处非常大，为此在第二轮复习时设计了一节“构建正方体解题”专题课.
案例：“构建正方体解题”专题课
1. 正四面体与正方体
例1 在棱长为1正四面体ABCD中，E为AD的中点，试求CE与平面BCD所成的角得余弦值．
2. 正方体与球
例2 （2008浙江理14）如图2，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于________．?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇
图2?摇
3. 正方体与不规则图形
例3 （2007浙江理19）在图3所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CMEM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．
图3
作业：1. 如图4，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________.
2.平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD将其沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A'BD平面BCD. 四面体A′－BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________.
3.如图5，ABCD为矩形，AD平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF平面ACE.
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求证：AE平面BCE；
（3）求平面BDF与平面ABE的交线，并求平面BDF与平面ABE所成的二面角正弦值.
教师对“构建正方体解题”进行专题设计，从另一视角向中等生传授了求解这类问题的方法. 浙江卷的试题分布情况，立体几何占19分左右，其中一道14分的题布置在第二或第三解答题处，前三道解答题的得分情况直接影响中等生数学分数的高低及考试心态. 中等生在立体几何解答题中往往会出现以下三种情况：1. 表述不完整；2. 立体几何的定理、公理等的条件结论搞混或乱用；3. 方法没有掌握或掌握单一，不能灵活应用. 所以在立体几何题的证明时，教师应将例题详解展示在黑板上，提炼思路、常见解题方法及叙述定理，起一个良好的示范性作用.
当然，为了使例题教学更有效，还要选配“合身”的练习. 做到：每天反馈性练习保证及时、每周巩固性练习保证系统、每阶段综合性练习保证滚动和模拟性练习保证全面，对学生易错易混的地方，教师要有意识地多次重复，反复强调.
3. 突出学生主体地位，处理好“扶”、“放”、“收”三者关系
