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高考重点数学知识点范文1
第一、遗忘空集是任何非空集合的真子集，因此对于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三种情况出现。在实际解题中，如果考生思维不够缜密，就有可能忽视第三种情况，导致结果出错。尤其是在解含有参数的集合问题时，要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊集合，考生因思维定式遗忘集合导致结果出错或不全面是常见的错误，一定要倍加当心。
第二、忽视集合元素的三性集合元素具有确定性、无序性、互异性的特点，在三性中，数互异性对答题的影响，尤其是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对考生字母参数掌握程度的要求。在考场答题时，考生可先确定字母参数的范围，再一一具体解决。
第三、四种命题结构不明若原命题为“若 A则B”，则逆命题是“若B则A”，否命题是“若A则B”，逆否命题是“若B则A”。这里将会出现两组等价的命题：“原命题和它的逆否命题等价”，“否命题与逆命题等价”。考生在遇到“由某一个命题写出其他形式命题”的题型时，要首先明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
在否定一个命题时，要记住“全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题”的规律。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，不是“a ，b都是奇数”。
第四、充分必要条件颠倒两个条件A与B，若A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;若B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;若AB，则AB互为充分必要条件。考生在解这类题时最容易出错的点就是颠倒了充分性与必要性，一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
第五、逻辑联结词理解不准确
在判断含逻辑联结词的命题时，考生很容易因理解不准确而出错。小编在这里给出一些常用的判断方法，希望同学们牢牢记住并加以运用。
p∨q真p真或q真，p∨q假p假且q假(概括为一真即真);
p∧q真p真且q真，p∧q假p假或q假(概括为一假即假);
p真p假，p假p真(概括为一真一假)。
函数与导数
第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。
在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。
第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。
对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。
第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。
在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。
第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。
高考重点数学知识点范文2
关键词：高考；高三复习；数学知识点；有效性
近年来，我国中学教育有了翻天覆地的大变化、大发展、大进步，全民的知识素养也有了前所未有的提高. 高三复习工作也从无到有，从有到精，发展到复习模式的标准化、系统化、完备化，形成中国中学教育的一个鲜明的特色. 现在，作为一名常年在高三指导学生数学复习工作的数学教师，都在高三数学复习计划上执行着一个不成文但约定俗成的程序化的流程，即高三数学的一轮、二轮、三轮复习. 同时，在检验我们复习效果的措施上，绝大部分省市都会在几个城市之间或者地区之间在高考前的三月、五月组织一模、二模，甚至三模考试. 我们的高三学生和高三教师经过高三这一年像上述模式化的学习和工作后，在高考结束后随之到来的成功与成就的体验后，又都伴随着同一个感觉：累、枯燥. 这一负面的感受折射出我们的高三数学复习教学到底有多少是有效的，值得我们教师去研究、反思.
[?] 知识重现的有效性
现在全国有10多个省份在实施新课程改革，我们江苏省的新课程改革已经进入到了第八届高中学生（新高一），江苏省的新课程下的新高考也已进行了七届（2008年～2014年）. 数学新高考在知识内容、试卷结构、试题功能上和以往的老高考有了很大的变化和发展，但是在试卷的形制、命题的模式上并没有发生很大的变化. 江苏新高考中，文、理第Ⅰ卷合卷有20个试题，14个填空题、6个解答题，理科加试第Ⅱ卷，4个解答题. 本人统计了近几年来新课改省份的数学高考试卷，发现数学高考所涉及的数学知识点细化到数量一般为80个左右，而一个高中生在高中三年的数学学习中所需要掌握的数学知识总量是多少呢？如果将我们的高中数学教材中所涉及的数学内容也细化到知识点数量，笔者粗略统计了一下，大约是800多个（不包括理科附加部分）. 从这个数据，读者可以清晰地发现，要在一张数学高考试卷的20个试题中来全面呈现800多个数学知识点是不现实、不可能的. 因为学习的知识点与考查的知识点的比例高达10∶1. 下面，我们再来看一组数据.
高考试卷（江苏省）的题目数量是20个恒定的. 我们的学生在高中三年中又做了多少个数学题目呢？我们可以这样计算，一个高中生一天做10个数学题目（算是比较懒惰的学生），三年我们算学习时间1000天，那就有10000道（其实大家都知道现实情况远远超出这个数量）. 10000∶20=500∶1，这已经是一个很惊人的比例了.
以上两组数据说明什么问题呢？问题就是高三复习过程中的数学知识点重现的有效性. 第一组数据说明了数学高考对所学数学内容进行知识点考查时有重点、对数学思想方法考查有倾向性.
[?] 近五年江苏省高考试卷所涉及知识点分布的统计分析
首先，我们来分析近五年（2010～2014）江苏省高考填空题命题所涉及数学知识点的重点方向. 读者可以仔细阅读这五年的试题分析，从14个填空题的知识点中对比后可以很清晰地看到，五年新高考考查的14个填空题所涉及的知识点分布是基本一致的. 新教材在教学内容上增加了概率、导数、统计、算法、复数、推理、向量七部分应用类数学的核心内容，在五年新高考中均有涉及，且在填空题中都有分布，体现出新课程理念比较注重数学应用，对于不同于以往老教材的教学内容是高考考查的必备考点. 这说明，平时我们在新课教学上就应重视这部分新增教学内容，深刻理解这部分内容并非是大学中高等数学内容的简单下放，而是新课程所倡导的“数学生活化”、“数学应用化”、“数学大众化”理念的推行，旨在学生在学习过程中体验数学改造生活的作用，数学推动社会科技发展的力量.
再从解答题考查的知识点来分析，读者不难发现解答题的命题设置还是比较稳定的，继承了中学数学中的经典数学内容，但是，在考查解答题所需的数学工具、数学思想方法以及呈现知识点所要借助的载体上呈现出在保持稳定的前提下逐步灵活多样的趋势. 在同一知识模块的考查上，命题时既考虑到知识点、数学工具、思想方法的选择，也考虑到试题出现位置的变化，体现出新课改的命题在注意保持稳定性的同时又避免死板造成八股形制，这说明我们的课改并不是摒弃一切旧的东西，而是继承经典，传承发展，对于数学中经典的数学工具、数学思想还是始终渗透在我们的新课程教学中.
最后我们来看看理科学生的四十分附加分：由于附加题加试时间仅为30分钟，命题所受的局限性会比第Ⅰ卷大，因为内容要涉及选修2系列和选修4系列的多章内容，命题确实有着很大的难度. 从知识点的分布可以看出，这五年的试题内容的选择已经做到了选修2系列和选修4系列的全覆盖，在难度上基本保持一致. 选做题考查基本知识，必做题考查学生的能力.
通过上述分析，第一组数据要陈述的观点是：高三复习的本质是知识的重现，要让学生在复习过程中逐步提高，就必须提高所复习内容知识重现的有效性，而提高这一有效性的重要方法就是我们教师要吃透考纲重点，通俗地讲就是要会“押宝”，当然这里的“押宝”不是“押题”而是“押方向、押重点”，以此提高复习的有效性.
第二组数据又说明什么呢？许多高三学生都有一个错误的认识：我平时做过的试题高考是不会出现的. 包括我们教师本身也有这方面狭隘的理解. 而通过第二组数据，笔者要对高三学生大声疾呼：“高考试题就是我们平时做过的试题，尤其是我们曾经做错的题目. ”很明显，高考的20个试题不是空中楼阁，它就来自于我们学生所付出的10000个题目，只不过，呈现知识点的载体有所变化而已. 因此，在高三复习阶段，如何发挥选用例题、习题、试题的功能和有效性十分重要. 而且，要重视学生错例的整理、再现工作，而不是盲目、简单机械、重复地做一套又一套的模拟试卷.
[?] 时间分配的有效性
还是来看数据，高考数学应试时间是2个小时（不算理科附加），也就是说，学生在展示自身数学素养与能力高低上也就是这2小时，而我们的学生高中数学学习的时间总量是多少呢？至少1000小时，每天1小时（包括数学课的40分钟），也算1000天吧. 学习时间：一锤定音的考试时间=500∶1，又是500∶1. 这无论对于学生还是教师来说压力是很大的，长期的学习而积累下的成果要在2个小时内得以体现，需要合理地安排数学知识的学习时间量与复习的分配，要提高学习与复习时间的有效性. 现在，我们高中数学教学时间安排的通常做法是：高一学完必修1、3、4、5，高二学完必修2，选修系列，高三一年复习. 这样就造成高中阶段的800多个数学知识点有近600个分配在高一，而高考所涉及的数学内容在比例上有接近65%的分值是高一所学的内容. 这样带来的问题是，虽然我们有高三一年充裕的时间去复习，但是由于高一的教学任务过于紧迫，造成学习时间与复习时间分配的有效度不高. 高一的新授知识学生掌握并不牢固，到了复习阶段使得复习与新授内容的界限很模糊，而且复习时间过长，学生容易出现疲劳感和所谓的“高原期”，降低了复习提高的效率. 因此，必须提高时间分配的有效性，应该适当减轻高一的教学任务，在新授课的时间分配上倾斜一点，压缩一下高三的复习时间分配，这样效果会更好.
[?] 考前模拟的有效性
高考重点数学知识点范文3
关键词： 新课改 高中数学 立体几何 有效教学 教学策略
为了有效提高学生对这部分知识的接受与掌握能力，教师需要根据新课改要求采取相应教学策略。
一、大力培养学生立体几何的空间立体感
高中数学立体几何部分知识点的难度虽然不像导数那么高，但是同样给学生带来了不小的困扰。因为学生从小接触到的几何知识大部分都是在同一份平面内的，如线段、直线、角度及封闭图形等。但是高中数学立体几何与它们不同，这是一门专门研究三维空间中图形的学问，学生在学习过程中由于没有良好的空间立体感，感到学习压力较大。教师在实际的高中数学立体几何教学过程中首要的教学任务即帮助学生培养良好的立体几何空间立体感。这种教学策略一方面从根本上解决了学生感到学习压力大的症结，帮助他们不断提高学习高中数学立体几何的能力。另一方面学生良好的空间立体感可以为今后更高层次的旋转变化、镂空设计等学习奠定扎实的基础。为了有效提高学生立体几何的空间立体感，教师可以从引导学生观看空间立体图形并画出其三视图做起，如长方体与正方体。学生在不断的观察与画图之中，逐渐提高空间立体感。
二、重视基础立体几何公理与定理教学
实际高中数学立体几何教学过程中为了提高学生空间立体感，可以从观看简单立体几何三视图入手。为了提高学生立体几何知识的运用水平，教师还要重视基础立体几何公理与定理教学。这种新式教学方法一方面可以有效帮助学生理清每一个公理与定理之间的关系，达到有效提高立体几何知识水平的目的。另一方面这种重视基础的教学方法还可以使学生对高中数学立体几何知识有进一步的认识与掌握，从而完善基础立体几何知识体系。如教师教授学生公理三（判定若干点共面的依据）：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。当学生对此公理有了一定的认识之后，教师可以趁热打铁地教授他们相关定理推论：（1）经过一个直线与不在这条直线上的任意一点，有且只有一个平面；（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面。教师通过使用“点在线上，线在面内”的推论思想，帮助学生理清公理三与其推论定理之间的关系，从而达到完善自身高中数学立体几何知识体系的目的。
三、开展平面几何到空间立体几何的引导教学
高中阶段立体几何教学不仅需要学生拥有良好的空间立体感，还要求他们理清繁多且复杂的公理与定理之间的关系，最终达到提高学生立体几何学习能力的目的。为了进一步加深学生对高中数学立体几何知识的认识，教师还可以开展平面几何到空间立体几何的引导教学。因为学生通过小学与初中平面几何数学知识的学习，已经拥有了一定的知识基础。同时平面几何与空间立体几何之间存在较强的联系性，可以很好地通过类比推理学习，以此帮助学生接受相关的空间立体几何知识。这种新式的教学方法一方面通过类比推理学习方法有效降低了空间立体几何知识的学习难度，从而帮助学生更好地理解了相关内容。另一方面教师使用的平面几何知识还能让学生产生亲切感，大大激发他们的学习热情，最终达到提高学生课堂学习效率的目的。如学习“空间中平面与平面之间的平行传递定理”的时候，教师为了帮助学生更好地理解立体几何知识点，可以首先引导学生回忆之前学习过的“平面内直线与直线之间的平行传递定理”：已知平面内存在一组平行线，如果现有一线直线平行于这组平行线中的任意一条直线，那么相应的这条直线一定平行于另外一条直线。然后教师帮助学生进行推理类比学习相关面面平行传递性：已知空间内存在一组平行平面，如果现有一个平面平行于这组平行平面中的任意一个平面，那么相应的这个平面一定平行于另外一个平面。教师采用的类比推理学习方法不仅有效降低空间立体几何知识的学习难度，而且达到巩固与复习学生原有数学几何知识点的目的。
四、解题过程中空间几何向量的熟练使用
高中数学立体几何题目一直都是历年高考的必考题目之一，所以教师在实际教学过程中应该着重教授学生基本解题技巧。空间几何向量同传统解题方法相比更具便捷性，所以空间几何向量的熟练使用可以有效帮助学生理解题意并快速解答问题，从而达到提高解题效率的目的。空间几何向量的使用还使得学生的解题过程变得规范化，便于阅卷教师快速找到该题的得分点，最终对他们高中数学考试成绩的提高奠定扎实的基础。以下为一道具体的高中数学立体几何解题过程，可供教师进行教学参考：
教师在实际高中数学立体几何教学过程中为了帮助学生掌握这一部分重点数学知识，可以采用培养空间立体几何感、重视基础公理与定理教学、类比推理学习空间几何知识及空间向量的实际使用等多种具体教学方法达到目的。学生通过教师全方位的立体几何教学，最终达到完善自身立体几何知识体系的目的。
参考文献：
[1]郭明旺.新课改高中立体几何教学研究[J].高中数理化，2014（08）.
高考重点数学知识点范文4
高考考试说明（文科数学）对概率部分的要求是：
（1）事件与概率：①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；②了解两个互斥事件的概率加法公式。
（2）古典概型：①理解古典概型及其概率计算公式；②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（3）随机数与几何概型：①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；②了解几何概型的意义。
所以概率部分的主要考点有：（1）随机事件的概率；（2）古典概型；（3）随机数与几何概型。而且，考试说明里的每一个要求部分都有可能是命题的来源，包括热点，也包括冷点。
二、考情分析
概率在高中新课程中，有一定的知识容量，概率（含统计）授课时数多，是高中六大主干知识之一，在高中新课程中有着突出的地位，高考对本块知识的考查力度也是较大的，从近几年新课程的高考试题来看，概率统计一般是1+1的模式，一大一小。几何概型是高考一个新的热点，并且它是一个重要的知识交汇点，通常会把几何概型与线性规划、解析几何以及其他数学知识综合起来进行考查，且重点考查“长度型”和“面积型”，主要以填空题、选择题的形式出现，试题难度为中、低档，所占分值为5分左右。古典概型是考查的热点，经常在解答题中与统计一起考查，属中、低档题，以考查基本概念为主，同时注重运算能力与逻辑推理能力的考查。近年来，背景新颖、知识交汇的题目越来越多，穿插考查合情推理能力和逆向思维能力等，难度可能有所提升，考生应有心理准备。下面以近几年的新课程高考卷或模拟卷为例，对核心知识点的考查举例说明。
我喜欢纯粹的东西，我不喜欢酒里掺水。我也这样对待我的生活。――杜尚
我们看似掌握一切，事实上却可能会被任何一种力量击倒。――戴维・罗特科普夫
三、核心考点例题分析
1考查随机事件的概率
【例1】 甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（ ）
A甲是乙的充分条件但不是必要条件
B甲是乙的必要条件但不是充分条件
C甲是乙的充要条件
D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【解析】 若A∩B为不可能事件（A∩B=），那么称事件A与事件B互斥；若A∩B为不可能事件，且A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件。因此，互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要条件但不是充分条件。选B。
【点评】 概念是思维的细胞，是知识，也是解题的基础，应掌握好。
【例2】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组。
（1）求A1被选中的概率；
（2）求B1和C1不全被选中的概率。
【解析】 （1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}共18个基本事件组成。由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的。用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}，
事件M由6个基本事件组成，因而P（M）=618=13
（2）用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件N由3个基本事件组成，所以P（N）=318=16，由对立事件的概率公式得：
P（N）=1-P（N）=1-16=56
【点评】 正面考虑“B1、C1不全被选中”这一事件的情况比较多，其反面“B1、C1全被选中”容易求，所以用对立事件的概率公式即能化难为易，化繁为简。
【变式训练1】 （2013・新乡模拟）一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球。从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率。
【解析】 方法一：（利用互斥事件求概率）记事件A1={任取1球为红球}，A2={任取1球为黑球}，A3={任取1球为白球}，A4={任取1球为绿球}，
则P（A1）=512，P（A2）=412，P（A3）=212，P（A4）=112，
根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=512+412=34
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=512+412+212=1112
方法二：（利用对立事件求概率）
（1）由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）=1-P（A3∪A4）=1-P（A3）-P（A4）=1-212-112=34
（2）因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，
所以P（A1∪A2∪A3）=1-P（A4）=1-112=1112
【变式训练2】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”。判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E
【解析】 （1）由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件。
（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件。由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生也会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件。
（3）事件B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件。
（4）事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件。
（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件。
2考查古典概型
【例3】（2013年高考江西卷，文4）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是
A23 B13 C12 D16
【解析】 从A，B中各取任意一个数，共有6种满足两数之和等于4的有（2，2），（3，1）两种，所以两数之和等于4的概率是26=13，选C。
重要的是与世界保持距离，不再观察本来的世界，而是幻想他它，并在幻想中自得其乐。――皮埃尔・玛里
尽管坚强勇敢吧。那才是路。随便什么事都要敢作敢为。要有大勇，敢于被人所爱。要胜于寻常男女。――舍伍德・安德森
【例4】甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设（i，j）分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。
【解析】 （1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示，其他用相应的数字表示）为（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4），共12种不同情况。
（2）甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23。
（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有（3，2），（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），共5种，故甲胜的概率P1=512，同理乙胜的概率P2=512因为P1=P2，所以此游戏公平。
【点评】 本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2、红桃3、红桃4和方片4分别用数字2，3，4，4′表示，抽象出基本事件，把复杂事件用基本事件表示，找出总体I包含的基本事件总数n及事件A包含的基本事件个数m，用公式P（A）=mn求解。解题时要注意题目中“红桃4”与“方片4”属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标注，还要注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响。
【变式训练3】（2012高考江西卷，文18）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0，）B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点。
（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
（2）求这3点与原点O共面的概率。
【解析】 （1）总的结果数为20种，则满足条件的种数为2种所以所求概率为220=110。
（2）满足条件的情况为（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，C1），（A1，A2，C2），（B1，B2，C1），（B1，B2，C2），所以所求概率为620=310
【变式训练4】（2013・北京朝阳二模）高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：
分数段[70，90）[90，100）[100，120）[120，150]
人数5a15b
规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生。已知该班希望生有2名。
（1）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；
（2）当a=11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；
（3）从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率。
【解析】 （1）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A，则P（A）=40-540=78所以从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为78
（2）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B，则当a=11时，成绩优秀的学生人数为40-5-11-15=9，所以P（B）=940所以当a=11时，从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为940
（3）设“从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事件C记这5名学生分别为a，b，c，d，e，其中希望生为a，b。从中任选2名，所有可能的情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种。其中恰有1名希望生的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种。所以P（C）=610=35所以从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为35
3考查随机数与几何概型
【例5】（2013年高考湖南卷，文9）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB=（ ）
A12B14C32D74
【解析】 如图，设AB=2x，AD=2y
由于AB为最大边的概率是12，则P在EF上运动满足条件，且DE=CF=12x，即AB=EB或AB=FA
所以AB2=AF2=AD2+DF2，又DF=32x，
2x=（2y）2+32x2，即4x2=4y2+94x2，
即74x2=4y2，y2x2=716
yx=74又ADAB=2y2x=yx=74，故选D
【点评】 本题考查几何概型，以及逆向推理能力。可见，几何概型的考查已呈多样化。
【例6】 一只蚂蚁在边长分别为5，6，13的三角形区域内随机爬行，试求其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率。
【解析】 由题意，画出示意图（如图所示）
在ABC中，由余弦定理，
得cosB=62+52-（13）22×6×5=45
于是sinB=1-cos2B=1-452=35
所以SABC=12×5×6×35=9
又图中阴影部分的面积为ABC的面积减去半径为1的半圆的面积，
即为S阴影=9-π2，所以蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=9-π29=1-π18
有些事情你就是不想让别人知道。不是因为它们是坏事，你就是想让它们成为秘密。有那么两三件事，即使是你们，我也不会说的。――卡森・麦卡勒斯
人的痛苦连过三次当然是种不幸，可是谁也没有想过，快乐重温三次，也是一种悲哀。――安伯托・埃柯
【点评】 几何概型与其它知识的交汇（向量，算法，数列等），是命题的一个创新点。本题融入了解三角形的知识，以及整体补形的技巧（三个小扇形的面积等于一个半圆的面积），这个小技巧帮你快速求解。
【变式训练5】（2009年福建卷，理8）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A035B025C020D015
【解析】 该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有191，271，932，812，393，共四组，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率p=520=025，选B
【变式训练6】已知向量a=（-2，1），b=（x，y）
（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a・b=-1的概率；
（2）若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足a・b
【解析】 （1）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，可用列举法列出所包含的基本事件总数为36个；由a・b=-1，有-2x+y=-1，
所以满足a・b=-1的基本事件为（1，1），（2，3），（3，5），共3个；
故满足a・b=-1的概率为336=112
（2）若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}；
满足a・b
画出图形如下图，
矩形的面积为S矩形=25，
阴影部分的面积为S阴影=25-12×2×4=21，故满足a・b
【变式训练7】（2102高考北京卷，文3）设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
Aπ4Bπ-22Cπ6D4-π4
