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高考数学归纳法范文1
数列问题是每年高考数学中的热点和难点内容，它能考查学生对数学知识的综合运用能力和对数学基本思想方法的掌握程度。纵观历届有关数列的考题，形式多样，解法不一。但透过现象看本质，我们依然可以对各种题型进行归类，寻找规律，对它们的解法进行探讨.数列中第n项a与前n项和S的关系式S=a（n=1）S-S=a（n≥2）是一个基本关系式，它常与递推关系一起出现在各种考题中，下面我们就这一类数列问题的类型与求解进行详细的探究.
类型一：给定数列前n项和S，求通项a.
例1：若S是数列{a}的前n项和，且S=n，则{a}是（）.
A.等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非等差数列，又非等比数列
解析：这类题较为简单，一般出现在填空题或选择题中，利用a与S的关系就可直接得出.
a=S=1，
当n≥2时，
a=S-S=n-（n-1）=2n-1
即a=2n-1（n∈N），故选B.
类型二：给定数列前n项和S的递推关系，求通项a.
例2：已知数列{a}的前n项和S为，S=1，且S=S（n≥2），求通项a.
解析：常用方法是由S的递推关系式求出S，再由a与S的关系求出通项a.
S=S
S=S
S=S
……
S=S
上面各式左右两边分别相乘得：S=
所以a=S=1，
当n≥2时，
a=S-S=-=
即a=（n∈N）
类型三：给定含有S与a的混合型关系式.
这一类问题较前面两种要更为复杂，是常见的综合题型之一.这类题型的求解要结合类型一和类型二的解题思想来处理，常用的方法有以下三种.
（1）变形为关于S的递推关系转化成类型二求解.
例3：在各项均为正数的数列{a}中，数列前n项和S满足S=（a+），求通项a.
解析：可利用a=S-S（n≥2），将所给的递推关系式变为只含有S和S，求出S后再求出a.
由a=S，S=（a+）得S=1，
当n≥2时，
将a=S-S代入S=（a+）得：
S=［（S-S）+］
即S-S=1
所以数列{S}是首项为S=1，公差为1的等差数列，得：
S=1+（n-1）•1=n
因为a＞0，所以S＞0，有S=,
所以a=S-S=-（n≥2）
综上可得：a=-（n∈N）
（2）变形为关于a的递推关系求解.
例4：设数列{a}的前n项和为S，求通项a.
解析：根据题目所给的条件，可将递推关系式化为关于a的式子来求解.
因为S+S=2a①
S+S=2a②
②－①得：
a+a=2a-2a
即a=3a（n≥2）。
由S+S=2a得：a=2a=6
所以{a}是从第二项a=6起，公比为3的等比数列，得：
a=a•3=2•3（n≥2）
所以a=3 （n=1）2•3 （n≥2）
显然，此题也可用方法（1）求解，这里不再赘述.
（3）归纳猜想出a，采用数学归纳法证明.
例5：设数列{a}前n项和为S，且S=a，a=求通项a.
解析：这里可先根据条件求出数列前几项的值，寻找规律猜想结果，再用数学归纳法证明.
由S=a+a=a，a=，得a=0
同理，S=a+a+a=a，得a=-
S=a+a+a+a=a，得a=-
S=a+a+a+a+a=a，得a=0
S=a+a+a+a+a+a=a，得a=
S=a+a+a+a+a+a+a=a，得a=
……
由此猜想a=sinπ，下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a=sinπ=，a=sin=0成立.
（2）假设n≤k+1时成立，当n=k+2时
a=S-S
=a-a
=sinπ-sinπ
=2cosπ•sin
=cos（+）
=-sin
=sin（+π）
=sinπ
=sinπ
所以当n=k+2时成立.
因此，对n∈N，a=sinπ成立.
对于类型三，选择何种方法由题目给出的条件而定，不应拘泥于某种思路.但数学归纳法是最基本，也是最重要的方法之一，归纳、猜想与证明是数学发现的重要途径.
高考数学归纳法范文2
例.[2012年全国高考大纲卷理科数学第（22）题（本小题满分12分）]函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标。
（1）证明：2≤xn
（2）求数列{xn}的通项公式。
考查目标：本题考查递推数列的意义、等比数列的概念、数列的通项公式、数学归纳法的应用，综合考查考生运用数列知识进行运算求解和推理论证的能力。
试题评价：试题不落俗套，大胆创新，没有直接给出数列{xn}的递推关系，而是巧妙地以过两点P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标给出{xn}相邻两项之间的关系。第（1）问中，要求证明不等式，实际上是证明数列{xn}的增减性和取值范围，根据题设条件，只能用数学归纳法解决问题。同时，归纳法也为第（2）问求数列{xn}的通项公式奠定了基础。与以往的求递推数列的通项公式的试题相比，该题没有给出辅助数列，对于所求数列的通项完全需要充分发挥考生的主观能动性，这也是本题一大亮点所在。这是近十年高考数列通项公式的最高要求，看似超出了中学教学要求的范围，实际上正是新课程改革理念中所倡导的实践精神和创新意识的体现，这也是专家的匠心独在。该题对高考选拔高素质的创新人才具有很好的检测功能。
思考：高考备考不是一朝一夕的事。打好高考这一硬仗，与平时扎实有效的学习是分不开的，十年寒窗，功到自然成。仔细分析今年的高考数列解答题，如果剥去该题的外壳，我们还有似曾相识的感觉，那就是2010年高考全国卷一理科数学最后一道压轴题：
已知数列{an}中，a1=1，an+1=c-■，a1=1，an+1=c-■。
（1）设c=■，bn=■求数列{bn}的通项公式；
（2）求使不等式an
如果把上边例题中的第（1）问和第（2）问的设问顺序换一下，在解答时就可以按照常规思维，且求数列{xn}的通项公式时考生就可以联想类比2010年的这道考题，并且可以借鉴其解法做如下变式：
2012年全国高考大纲卷（22）题变式：函数f（x）=x2-2x-3。定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标。
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）证明：2≤xn
解题思路：（1）先由已知条件得出数列{xn}的相邻两项之间的关系，再通过巧妙构造新数列，化归转化成我们熟悉的等比数列，进而求出数列{xn}的通项公式。（2）既可以利用第（1）问数列{xn}的通项公式的结论，利用数列的通项公式证明其单调性，确定范围；也可以应用数学归纳法证明。
解题过程：
解：（1）过两点P（4，5）、Qn（xn，f（xn））的直线PQn的直线的斜率k=■=■=xn+2
则直线PQn的方程为：y-5=（xn+2）（x-4）
令y=0得：x=4-■，即xn+1=4-■
其中x1=2（n∈N+），从而有xn+1-3=1-■=■
令bn=xn-3，则有■=■=■+1，■+■=5（■+■）
则数列{■+■}是首项为-■，公比为5的等比数列故■+■=-■·5n-1，即■=-■·5n-1
-■，bn=■
所以，数列{xn}的通项公式为xn=3-■
（2）从数列{xn}通项公式出发，证明数列{xn}的单调性，并确定xn及范围xn+1的范围。
xn+1-xn=-■+■=
■>0，xn
由xn=3-■及{xn}的单调性知xn≥x1=2
xn+1=3-■，当n+∞时，■0，因此xn+1
综上有：2≤xn
高考数学归纳法范文3
关键词：归纳法；应用数学；教学
中图分类号：FG633.6 文献标志码：A 文章编号：1673－291X（2011）14－0304－02
数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。因此，它不仅是高考数学的一个考点，也是一个难点。在看似简单易懂，形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其实质。有些同学仅仅只是生硬的记忆和牵强的套用，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应用？在哪些类型题上使用可以更加方便？数学归纳法又有哪些局限性？我们应该怎样具体问题具体分析，更好的学习和利用数学归纳法呢？
在本文中通过对数学归纳法基本形式理解的基础上，进一步论述了在解决很多和自然数函数有关的整式、不等式、整除和几何等问题时数学归纳法的应用。当然数学归纳法，在很多时候也会使解题变的复杂繁琐，因此我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。
数学归纳法的基本形式：
（1）验证当n取第一个值时，命题正确：
（2）假设n＝k时命题正确，证明n＝k+1时命题也正确：
（3）根据（1） （2）断定命题对于全体自然数都正确。
例1： 证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）
证明：（1）当n＝1时，左边＝1＝右边，等式显然成立。
（2）假设n＝k时等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2
那么，当n＝k+1时，有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]
＝（2k-1）2+8k＝（2k+1）2＝[2（k+1）-1]2
即当n＝k+1时，等式也成立。故对于任意正整数n等式都成立。
通过数学归纳法基本形式和例题可以看出其原理就是递推思想，其中（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据，后面递推就没有了奠基。（2）是递推的依据是数学归纳法证明最根本的一步，是整个数学归纳法证明的核心，只有通过它无限次递推成为可能，人们的认识才达到了质的飞越――通过有限认识无限，所以数学归纳法的两个步骤缺一不可。
数学归纳证题的两个步骤虽然都很重要，但在证题时第一步较易，第二步较难。学生往往感到很困难，绞尽脑汁都难以完成这一步，到底我们应该怎样转化，不同的问题我们又应该怎样去解决？下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中的应用。
一、应用数学归纳法证明恒等式
应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。
例1：用数学归纳法证明： n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）
证明：（1）当n＝1时，左边＝1＝（2×1-1）2＝右边，等式成立。
（2）假设n＝k时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2
那么，当n＝k+1时有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]+8k
＝（2k-1）2+8k
＝4k2+4k+1
＝（2k+1）2
＝[2（k+1）-1]2
即当n＝k+1时，等式也成立，故对于任意正整数n，等式都成立。
二、应用数学归纳法证明不等式
应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种，严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“＞”或“＜”成立即可。对于非严格不等式而言，情况略显复杂。
例2：已知x1，x2，x3，…，xn都是正数，试证：
+++…≥x1，x2，x3…，xn
证明：（1）当n＝1时，因为＝x1，所以原不等式成立（取等号）
（2）假设当n＝k时原不等式成立，即
+++…≥x1，x2，x3…，xk
那么，当n＝k+1时，不等式的左边
+++…+＝（+++…）-++≥x1+x2+x3+…+xk++（*）
显然，只要证明
+≥xk-1
原不等式即可得证。但此式难以直接证明，经仔细观察发现，原不等式关于变量x1，x2，x3…，xn是轮换对称的，于是不妨设xk-1＝max｛x1，x2，x3，…，xk，xk-1｝，则xk-12-xk2＞0。
+≥+＝＝xk-1
故当n＝k+1时，不等式也成立。即原不等式对于所有自然数都成立。
三、应用数学归纳法证明整除问题
应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用之一。这类问题涉及到整除性的知识，如果a能被c整除，那么a的倍数ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除，从整数的基本入手，通过添项去项进行”配凑“，使之能够获证。
例3：证明f（n）＝5n+2•3n+1能被8整除。
证明：（1）当n＝1时，f（n）＝5n+2•3n+1＝8显然能被8整除，命题成立。
（2）假设当n＝k时，原命题成立，即f（k）＝5k-1+2•3k+1能被8整除，那么，当n＝k+1时，f（k+1）＝5k-1+2•3k+1
＝5•5k+6•3k+1+4•3k-1-4•3k-1
＝5•5k+10•3k-1+5-4•3k-1-4
＝5•f（k）-4（3k-1+1）
这里第一项由归纳假设能被8整除，第二项中3k-1是奇数，则3k-1+1是偶数。故第二4（3k-1+1）能被8整除，由整除性质可知，它们的差也能被8整除，这就是说：当n＝k+1时命题也成立。即原命题对所有自然数n都成立。
四、应用数学归纳法证明几何问题
应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。有很多与正整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明，但在证明之前要找出规律，获得公式，而后才能应用数学归纳法证明结论。
例4：证明凸n边形的对角线的条数f（n）＝n（n-3）.（n≥3）
证明：（1）当n＝3时，f（3）＝0，因三角形没有对角线，所以原命题成立。
（2）假设：当n＝k（n≥3）时命题成立，即凸k边形的对角线条数为f（k）＝k（k-3）。那么当n＝k+1，凸k边形的k个顶点增加一个顶点Ak-1成为凸k+1边形时，由顶点Ak-1与它不相邻的另外k－2个顶点A2，A3，A4，…，Ak－1可画出k－2条对角线，同时原来凸k边形的一条边A1Ak变成一条对角线。这样从凸k边形到凸k+1边形一共增加了k-1条对角线。由此凸 边形的对角线条数为：
f（k+1）＝f（k）+（k+1）
＝k（k-3）+（k-1）
＝（k2-k-2）
＝（k+1）（k-2）
＝（k+1）[（k+1）-3]
这就是说，当n＝k+1时，命题也成立。
需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n＝k到n＝k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定势，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。
例5：n∈N*，求证1+++…+＜2。
证：令bn＝2，则bn＝b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
当n≥2时，bn-bn-1＝2（-）＝＞＝，从而1+++…+＜b1+（b2-b1）+…+（bn-bn-1）＝bn＝2
即1+++…+＜2。
通过以上例题，只是想说明对于有关自然数的命题的证明，不一定都采用数学归纳法这一种方法而应该针对题目本身的特点，选择适当的方法达到简化证明过程的目的。从另一个角度来讲也能克服学习中的思维定势，使知识融会贯通，灵活运用。
以上我们对数学归纳法的基本形式，及在中学数学中和自然数函数有关的整式、不等式、整除问题和几何问题等，一些常见题型中的应用做了简单的举例，并通过相应的例题对这几种方法进行了解析，使学生对数学归纳法有了更进一步的了解。纵观科学技术迅猛发展的当今时代，我们对数学归纳法的研究已经取得了很大的进步，对于它的更加优越的性质和更广泛的应用仍需要我们继续努力钻研。深入探讨数学归纳法的相关性质，究竟何时使用归纳法何时不使用，中学数学归纳法还有哪些应用，还有待同学仔细研究和探索。
参考文献：
[1] 刘世泽.数学归纳法的另外两种形式[J].数学通报，1994，（1）.
高考数学归纳法范文4
高考数学的评分标准应能体现考生对数学知识、数学思想方法的掌握程度和能力水平, 能客观反映出考生解题的思维过程, 区分出考生的不同层次.所以,高考给分的基本原则是按照解题过程分步给分, 按所用数学知识, 数学思想方法要点式给分,全国卷以往公布的评分标准,近年来全国各省市高考实际在用的评分标准,都遵循这样的给分原则.因此,解答时必须步骤清,要点明,格式齐.
1.立体几何的解题过程,一般可分为作证、计算两部分.评分细则按作证、 计算两段分别给分,各段中又按要点给分.如1998年全国卷23题、1999年全国卷22题,都有3个小题,在公布的高考评分标准中(以下引用的全国卷评分标准都是公开的,不再强调),给出每小题4分,其中作证2分,计算2分.解答立体几何时,书写格式可先作证,后计算两部分.作证过程能反映出逻辑思维能力,必须写清怎样作,证明主要写清两点：①空间位置关系判断推理的依据(立几课本中公理、定理) ②什么是空间角和距离及理由(紧扣角和距离概念).特别要注意,没有写清角、距离要扣分.计算过程的书写一般是解三角形,因此要写清三角形中的条件,由此解三角形得出的结果.用等积法解题时,按找出等积关系及计算分段给分.
又如 2010年浙江卷第(1)题,若用向量法求角,则每个面的法向量得3分共6分,结论用向量数量积公式计算正确得2分,若用面积法cos θ=s1s2,按每个面积分别给分.在实际评卷中,即使做不出来,但只要能画图指出二面角的平面角,或者指出了二面角是平面法向量的夹角而没有计算法向量,或者写出了可用cos θ=s1s2计算求得而没有计算出面积,以上三种任何一种出现均给3分.二面角就算找错,过程分还是会尽量给的.
所以在应试答题时,吃不准的答案不要随意放弃,约束条件即使算不出,也要写上,能写出的都要写上,改卷时是直接寻找正确的答案部分,答卷上有正确的要点就会给分.
2. 综合题的评分是按问题解答的过程,分步给分,在每个步骤中又按要点给分.如 2000年全国卷文科22题,在高考评分标准中,建立坐标系,由对称性知 C 、D关于y轴对称,2要点得2分.设点坐标,依题意 E分AC 所成比为811,由定比分点公式得E点坐标xE , yE,3 要点得 3 分, 设双曲线方程,由题设条件 C、E在双曲线上,直译为方程组,3要点得 5分,解方程组消去h2b2,解得e,2 要点得4分.
又如2010浙江卷文科22题,第(1)小题3要点得5分,在实际评分中,只要见到p=m2,p2=2,p=4,y2=8x这四者中的任何一个就给满分5分,如果这些都没有,则只要出现F(p2,0)既得2分.第(2)小题按重心、d>r两步分别给5分和4分,每步再按要点细分为联立方程、重心坐标用m表示、圆心坐标、半径及结论正确分别给分.
再如2010浙江卷理科19题,第(1)小题按概率和期望两步给分,每步细分为概率p1,p2,p33点共6分,Eξ的式子和结论2点共2分.概率计算错而Eξ的表示对,或者概率对而Eξ的表示是错的,都适当给2分.特别是概率p1,p2,p3计算错误,但Eξ和P(η=2)方法都对,能将错误数据计算到底(将错就错)的,整个题目也给8分.
因此解综合题时,要尽可能把过程分步写出来,尽量不要跳步.根据题意列出关系,译出题设中每一个条件,增加分步按要点得分的机会,对于不会做的(做不到底的)题目,也不要轻易放弃,写出些知识点、公式、表示出些要点,就会有些分数,千万不可交空白卷.
3.推理论证题,三角恒等变形、分类讨论题等,按证明格式,推理变形步骤给分.如从定义出发证明函数单调性、奇偶性,用数学归纳法证明与自然数有关的命题,都有格式分.分类讨论题按所分类分别给分,加上综上归纳的格式分. 如 1996年全国卷理科20题解对数不等式,评分标准按 a>1 和0
又如2010年高考湖北卷21题第(3)小题,用数学归纳法证明数列不等式,评分标准按①当n=1,②假设n=k,证明n=k+1及根据①和②可得,分别给分.所以即使不会证明,也要写出当n=1,假设n=k的式子,证明n=k+1两边靠拢,写完整数学归纳法的格式,写得接近天衣无缝的就能近似得满分.
三角恒等变形中,每用一个公式,朝目标推进一步就给分.如 2000年全国卷理科17题,在高考评分标准中,y=12cos2x+32sin xcos x+1 变形到y=12sin(2x+π6)+54,用了 三个三角公式,3要点得6分.
解答论证题要按定义、步骤、规范证明格式,细化变形过程.即使推理证明不出,宁可缺中间,跳过去,也要套用格式,从条件、结论两个方面推理往中间靠,写完成格式,这样可以少扣分.
参考文献
高考数学归纳法范文5
摘要：本文以数学中体现的各种美为主线，不仅从美的角度解读各类高考试题，还从本质上探讨了高考数学试题的优美之处．
关键字：数学美；和谐美；统一美；简洁美；简约美；残缺美；极限美；奇异美；创新美
1. 数学美概说
数学美是一种真实的美，是美的高级形式，是理论思维与审美意识交互的产物． 数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性等． 数学美在中学课本里均有体现，例如在解析几何中，不同的圆锥曲线、椭圆、双曲线和抛物线可以用一个统一的定义，即平面上到定点和到定直线的距离的比为常数的动点的轨迹． 如此和谐统一，让人不得不赞叹数学的美妙！在数学教学中我们要充分挖掘教材中美的因素，让学生领略数学中的美丽风景． 数学的美学思维就是从美学的角度观察、思考和分析数学问题,从而达到解决问题的目的．
2. 从“美学”角度解读高考题
2.1 用数学的和谐美、统一美探寻高考数学的解题思路
数学是和谐美的殿堂，数学是一个严密的科学体系，各部分知识间有机联系和高度完善，无论形式还是本质都是和谐的，所以我们说数学是和谐的殿堂． 由于数学的和谐性，形成了数学各部分知识的交汇点、网络点、联结点． 而高考数学正是从学科整体意义和这些知识的交汇点来设计试题的． 因此，高考数学考查的是考生的系统化的、相互联系的、和谐的数学知识． 那种一知半解，没理解数学本质，只知支离破碎的、零散的数学知识的考生在数学高考中是不能取得好的成绩的．
一个严谨的高考试题是一个有机的整体，其各个部分之间具有和谐性，但是这些和谐关系的外部表现形式可以是多种多样的，有的甚至是繁杂的，包括试题中条件与结论的和谐、数与形的和谐、数学思想与思维的和谐、解题方法与思维策略的和谐等． 另一方面，数学中的矛盾,如正与负、等与不等、数与形、有理数与无理数、常量与变量、逻辑思维与非逻辑思维等和谐共生，实现对立统一和相互转化．
例1（2006重庆）若a，b，c>0，且a（a+b+c）+bc=4-2，则2a+b+c的最小值为（）
A．－1B． +1
C． 2+2D． 2－2
解析我们发现条件式a（a+b+c）+bc和结论式2a+b+c都有不和谐的地方，这样我们就要消除不和谐因素，以达到和谐一致之目的. 式子2a+b+c变形为（a+b）+（a+c），从而找到了条件与结论的联系，即（a+b）（a+c）=a2+ac+ab+bc=a（a+b+c）+bc，结合均值不等式即得解题思路. 所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2・=2－2.
2.2 用数学简洁美、简约美获取高考数学的解题佳径
简洁美是数学美的本质体现，无论是数学语言还是数学证明（解答），处处体现着数学的简洁美． 就数学语言的简洁性，我们从爱因斯坦的质能方程E=mc2就可见一斑，这一公式表达了深刻而复杂的理论，换用其他诗的语言、散文的语言、通俗的大白话都不能很好地或者很准确地表述． 又如欧拉公式eiπ+1=0． 这个公式把数学里既富有魅力又具备霸权的三个量（e是自然对数的底，i是虚数单位，而π是众所周知的圆周率）居然统一在如此简洁的一个明晰爽朗的式子里，这个公式让e，i，π，1，0五朵金花并立，更令其显得玉立娉婷！
例2已知椭圆方程为+y2=1，过D（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点M，N，且M在D，N之间，设=λ，求λ的取值范围．
[x][y][D][M][N][O]
图1
解析本题作为解答题较难，若利用直线与圆锥曲线的位置关系进行求解，则有一定的计算量；若从数形结合的角度思考，则可得简捷的解答． 如图1直线MN是过点D的直线系，当直线MN与x轴垂直时，|DM|最小而|DN|最大，这时得到λ的最小值为，当直线MN与椭圆相切时，这时M，N重合，λ=1，又|DM|
，1.
2.3用数学的残缺美、极限美，打破高考数学的常规思路
在美学史上，一些艺术家试图给维纳斯接上断臂，结果达不到很好的艺术效果． 这说明维纳斯的断手给我们无限的想象空间，这就是残缺美、极限美． 数学中直线、平面等也都给我们无限想象的空间． 如三条侧棱两两垂直的三棱锥P-ABC，在解题中，如果我们把这样的三棱锥想象成长方体的一只角，就能自然地解决一些问题．
例3 （2001全国）一间民房的屋顶有如图2所示的三种盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜. 记三种盖法屋顶面积分别为P1，P2，P3． 若屋顶斜面与水平面所成的角都是θ，则（）
A． P3>P2>P1B． P3>P2=P1
C． P3=P2>P1D． P3=P2=P1
① ② ③
图2
解析 该题以民房的建筑形式为背景，把立体几何与住房建筑形式结合起来，情景新颖真实，是数学大众化、平民化和生活化的典范． 本题也常规思维是用立体几何二面角公式cosθ=来思考，可得P3=P2=P1=，选D． 本题可以用极限思想来思考，若θ无限接近0，则得P3=P2=P1． 这一方法打破常规思路，另辟蹊径，得到简捷解法．
2.4 用数学的奇异美、创新美破解高考数学压轴题
数学的奇异美是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物（思想、方法、理论）所突破． 它显示出客观世界的多样性，是数学思想的独创性和数学方法新颖性的具体体现． 它常常给人一种新颖、新奇的美感． 它往往打破常规思维，另辟蹊径、别出心裁，从意想不到的角度出发得到一些简捷的妙解． 压轴题多数要用奇异美、创新美思维解决问题． 这种题更多地要使用逆向思维、极限思维、由特殊到一般思维、猜想证明思维、数形结合等思维，或妙用公式定理破解高考难题．
例4（2005重庆）有一个塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图3所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）
A． 4B． 5C． 6D． 7
图3
解析本题考查空间想象能力，若直接把每个正方体的表面积算出，然后相加，运算量大，容易出错． 利用空间想象思维，所有正方体上底面在底面的射影恰为一个最大正方体的一个底面，现只须考虑各正方体的侧面积和最大正方体的底面积． 从下到上各个正方体的边长依次为a1=2，a2=，a3=1，a4=，a5=，…侧面积依次为b1=16，b2=8，b3=4，b4=2，b5=1，…所以各层塔形的表面积为侧面积之和加8. 这样可分别求出k层塔形的表面积分别为S1=24，S2=32，S3=36，S4=38，S5=39，所以该塔形中正方体的个数至少是6层，选C. 本题创造性地利用射影的相关知识，给人一种清新、新奇的感觉，它常能激发学生的好奇心和求知欲，它突破了常规思维，将有效地培养学生的创新意识和创新能力．
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2.5 用数学的自然美、自由美思考解答高考数学题
人类是自然的一部分，自然美是美之最． 数学教育作为一种社会现象，也就有希望依傍自然，适应人的自然性，借助自然的伟大力量去得到美好的现实． 因而我们的数学教育如果依托自然之力，就会势如破竹，左右逢源，当前数学教育的许多问题将会一顺百顺，进而人的数学素养就会自然形成． 自由在于根据对自然界的必然性的认识来支配我们自己和外部自然界，因此它必然是历史发展的产物. 对高考数学解题规律掌握后，我们就获得了数学解题的自由，这时就给我们一种海阔凭鱼跃，天高任鸟飞的感觉． 对解高考数学题来说，我们也可从不同的角度来理解高考数学题，用不同的方法来分析高考数学题．
例5 （2004全国Ⅰ）从1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）
解析本题是排列组合和概率问题． 但它既不用分类计数与分步计数原理，又不用排列与组合的知识，而是回到最原始、最自然的直排方法，达到解决问题的目的． 按首位为1，2，3，4，5分类，如图4所示满足条件的三位数分别有3，4，5，4，3，共有19种． 所以所求概率为．
例6 （2007重庆）设b是1-a和1+a的等比中项，则a+3b的最大值为（）
A． 1B． 2C． 3D． 4
解析 本题的背景是等比数列，但本题可从多角度理解和分析其解题思路. 只要你用能想到的知识，就都有可能成功. 思考解答本题可使思维自由驰骋，思想得到大解放，掌握不同知识的人都有机会获得成功． 由题意得a2+3b2=1，本题可从三角知识出发思考；从构造一元二次方程，利用判别式思考；从平面向量知识思考；从不等式一章中练习题结论思考（柯西不等式）（a1b1+a2b2）2≤（a+a）（b+b）；从导数的知识思考． 选B.
2.6用数学的含蓄美、蒙胧美发现高考数学题的隐含条件
与文学艺术一样，数学也有含蓄美、蒙胧美，这是由数学的抽象性决定的. 数学概念、公式和定理都有其深刻的几何意义、数的意义、生活意义、物理意义等． 在高考数学中，我们要善于发现数学背后的深层含义，挖掘隐藏在概念、公式和定理中的本质．
例7（2006重庆）已知函数f（x）=（x2+bx+c）ex，其中b，c∈R为常数.
（1）若b2>4（c－1），讨论函数f（x）的单调性；（2）若b2≤4（c－1）且＝4，试证:－6≤b≤2.
解析（1）观察题目所给出的条件，发现条件形式与一元二次判别式相近，联想一元二次方程根的判别式，由导数与单调性的关系得解．
（2）由于所给出条件是极限形式，而导数定义就是极限给出的，经过联想和变形发现这一条件隐含着的是导数的知识． ==f ′（0）=4，即f ′（0）=b+c=4，结合b2≤4（c－1）得b2+4b－12≤0，解得－6≤b≤2． 在高考考试中，要十分重视一些题中的深层含义，挖掘隐含条件．
2.7用数学的严谨美、理性美完备高考数学解题过程
严谨是数学的一种独特之美，利用数学的严谨美、理性美，可以完善解题过程．
例8 （1994全国）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则cotθ的值为．
解析sinθ+cosθ=⇒1+2sinθcosθ=⇒sinθcosθ=－⇒=－，所以
=－⇒cotθ=－或cotθ=－． 本解答初看没什么问题，但仔细分析其答案是错误的，错误原因就是过程不严谨，没有挖掘题中隐含条件，合理取舍． 由sinθ+cosθ=，sinθcosθ=－知sinθ，cosθ是方程x2－x－=0的两根，解方程得x1=，x2=－，因为0
2.8用数学的对称美、非对称美理解高考数学试题疑难
对称是数学美的重要特征． 在现实世界中处处有对称性，既有轴对称、中心对称和镜像对称的空间对称，又有周期律的时间对称，还有与时空无关的更为复杂的对称，如宫殿、庙宇、教堂、纪念塔、城门、剧院常是镜像对称，24小时的昼夜循环在时间上显现出具有周期性的平移对称，函数与反函数关于直线y=x对称． 我们如果在思考高考题时利用这些对称性，常能收到简单、奇异的解题效果．
例9 （2005重庆）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是． （填写所有正确选项的序号）
①菱形 ②有三条边相等的四边形
③梯形 ④平行四边形
⑤有一组对角相等的四边形
[D][B][C][A]
图5
解析圆锥曲线是最优美的曲线，它们对称、统一、简明，给人无穷的想象空间． 因菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，平行四边形是中心对称，而抛物线是轴对称，所以选项①④不可作，选项②③易作，在抛物线上任找两点A，B作线段AB的中垂线交抛物线于C，D两点，则∠DAC=∠DBC，所以⑤可作．
2.9用数学的秩序美、顺序美找寻解高考数学的有效方法
自然数的顺序性是数学秩序美的基础，因为数学中一切序的规律都可以同自然数的子集建立一一对应的关系． 自然数序列何其简单，但在简单中却蕴含着征服人心的力量和神韵，自然数的序关系使自然数具有可比性、无限性、后继性；奇数与偶数的交替变化赋予它鲜明的节奏；各种进制表示使它显示出风格各异的周期性．秩序美是众多数学方法的灵魂． 逻辑推理方法及公理推理方法，其本质就是顺序关系． 顺序性使递推法、迭代法、数学归纳法等数学方法在数学解题中显得优美、简洁而富有成效．
例10（2007四川）已知函数f（x）=x2－4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（x））处的切线与x轴的交点为（xn，0）（n∈N*），其中x1为正实数.
（1）用xn表示xn+1；（2）求证：对一切正整数n，xn+1≤xn的充要条件是x1≥2；（3）若x1=4，求数列｛xn｝的通项公式.
解析本题是函数、导数、数列和不等式的综合题． 字数寥寥，题意叙述简洁明了，体现了数学简约之美． （1）容易得xn+1=+；（2）本问由于涉及顺序问题，结合（1）的结论，可用数学归纳法和基本不等式证；（3）这一问没有现成的公式或方法可用，只有对（1）这一递推式进行探究，摸着石头过河． 但我们可以一步一步由未知向已知转化．
xn+1=+==－2⇒xn+1+2=.
同理xn+1－2=，所以=
2，令an=⇒an+1=a，由（2）an>0，
高考数学归纳法范文6
关键词：高考；数学复习；备考
实际上，数学高考试题对于高三数学备考就有非常好的导向作用。借助对以往高考试题进行分析，能够让教师做出反思，促使在教学实践中进行修正、调整、改进高三的备考计划。
一、研究考试说明，把握备考方向
研究高考考试说明目的在于摸清高考命题的指导思想、需要检验的知识点、考卷题目的类型、试题的难易度与比例以及检验水平的层次要求等。此外，在高考复习活动中数学教师与学生还应该反复地研究，找准各个阶段的复习目标，并随时根据需要调整备课方向。
目前，高考数学试题重点在于考查考生的数学能力，也就是说在考查高中生基础知识、基本技能及基本方法的前提下科学地检测高中生继续深造所需具有的数学素质。尤其注重对高中生是否具有接受与揉和数学信息的能力、分析和处理数学问题的能力、探究能力这三方的能力进行考察。在高考备考过程中，应该仔细分析这一系列能力要求的内在含义，借助精选题实施有目的的训练。应以考试说明为中心加以复习，将精力集中用到所需的地方，从而实现事半功倍之功效。
二、基本知识的复习要立足于对概念的深挖掘
在高考试题里边有很多的题目都是源自于课本内容，是一种对课文例题和习题的再造与引伸的活动，其目的是检测考生对数学基本概念及基本公式的了解程度与掌握程度，考查考生的基本功底。譬如，在必修4《向量》这一章中，关于向量基底的概念，高中生不但应理解定理知识，还应该对概念进行深层次挖掘。其定理的内容是：若用平面内不共线的一对向量
、作基底，可将该平面内的任一个向量表示出来，即：。就这一概念而言，高中生不但应掌握系数x和y的涵义，还必须知道这一公式在问题解题过程中的运用。通常情况，该等式最少都有以下多个方面的运用：①借助向量分解式的唯一性来解答问题。②借助三点共线来解答问题。③借助向量终点的区域探求动点的轨迹，还可以借助点的变化探求向量终点的轨迹等来解决问题。
三、习题的选择要关注知识点的交叉、整合
正如我们所知，高考试卷中题目有限，但考点甚多，因此高考试题中的很多问题都涉及了几个知识点的揉合，求解的重点在于应弄清各个知识点之间的内在关联。在处理一些综合性的问题的时候应该拆作多个简单性的问题，进而寻求解题的切入点。以知识点交汇处而命题的考题也是分为3个层面来检验的：检验基础知识理解程度、是否具备数学思想与方法以及综合应用数学知识处理问题的水平与能力。以上3个层面属于递进式关系，以数学知识作为载体，把数学方法作为核心，将数学能力作为检验的目的。在进行复习的过程中，就例题的选择方面应该注重下列数学知识点的交叉与整合：①三角函数和向量；②三角函数和导数、积分；③解析几何和向量；④几何概型和积分；⑤概率和方程；⑥函数、导数和不等式、积分；⑦函数、数列和不等式等。
四、强调数学思想及数学方法的学习
高中数学当中蕴含了极为丰富、多样的数学思想和数学方法。关注对高中生的数学思想和数学方法的检验，已经是我国高考数学命题一直以来所注重的方向。中学阶段基本性的数学思想和数学方法，借助各种不同层次与不同形式渗透在高考试题当中，通过检验高考生对数学思想和数学方法的主动应用，进而区分高考生所具有的数学能力。因此，在高考备课的过程中，数学教师应该着重考虑高中阶段的这一系列的数学思想和数学方法的应用方法以及应用过程都具有那些特点与规律等。譬如，数学数形结合这一思想运用较多的地方是在选择与填空题当中；而函数思想、不等式思想以及方程思想往往会运用于处理不等式恒成立问题之中。此外，分类讨论这一思想就近些年来看，其在高考试题中出现的频率相对较普遍，所涉及到的试题的范围也相对较广，进行分类讨论这一思想的检验，可以很好地增加高考试卷的难度，促使高考试题具有比较明显的区分度。譬如，在2010年度的高考试题中，该卷中填空题的压轴题第12题及全卷的压轴题第21题之中便运用到了分类讨论这一数学思想。所以，分类讨论这一思想在理解和掌握的过程中具有相当的难度，因而需要进行着重训练
在高中这一学习阶段运用的相对较多的数学思想有以下几种：函数和方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化和化归思想、特殊和一般思想、有限和无限思想、必然和或然思想、推理和类比思想。在解题过程中，常用的数学方法可以划分为以下3大类：①代数学习中用到配方法、换元法、待定系数法、公式法、分离常数法等；②几何学习中用到平移、对称、伸缩、分割、补形等方法；③逻辑推理证明中主要有综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法等。
五、结语
总而言之，在高考数学备课的过程中，教师应该结合高考生的实际，与时俱进，革新教育教学理念，及时调整备课方法。无论老师还是学生，都不必一味盲目迷信复习资料，而应该回归课本，用扎实的基础赢得高考的胜利。
参考文献：
[1] 李志强.浅析初中数学应试策略[J].中国科教创新导刊2011（6）.
[2] 孙金霞.石海峰.浅谈高中数学考试技巧[J].新课程（教研）2011（11）.
