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高中数学椭圆的相关知识点范文1
【关键词】 高中数学 课堂效率 难点 对策
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）06-023-01
众所周知，课堂教学效率可以用于课堂教学活动效果评价方式之一，其重要地位不言而喻。所谓课堂教学效率，从量的角度来看，就是课堂内实际参与教学的时间和有效的教学时间的比值。从质的角度来看，就是学生课堂上所能接受的知识和能力的实际量与教师所传授的课堂知识和能力的比值。
那么如何才能提高高中数学课堂教学效率，是摆在广大高中数学教师面前的一个难题，笔者从分析高中数学课堂效率教学的难点出发，有针对性地提出了几点提高高中数学课堂教学效率的对策，旨在提高高中数学课堂教学质量，供广大同仁参考借鉴。
1. 高中数学课堂效率教学的难点
（1）初中数学思想的束缚比较严重。学生从初中进入高中后，刚开始还很难摆脱初中数学思想的束缚，数学教师想要引导学生冲破这种束缚，接受新的数学思想和方法，并非易事。在初中阶段，数学问题没有那么复杂，只要我们知识点掌握牢靠，公式运用熟练，就基本上可以解决问题。但是，高中数学并不是那样，其复杂程度远远超过初中数学，用来处理初中数学的那套简单单一的方法不再适用高中了，然而很多学生往往跳不出初中数学思想的圈子，在高中数学解题时，考虑问题不周全，思考问题不透彻，导致很多学生对高中数学产生了畏惧和厌恶心理，害怕上数学课，数学课堂上也表现得很消极，进而导致课堂效率低下。
（2）很多教师无法摆脱教学手法单一的困境。很多高中数学老师教学方法较为单一，在课堂上给学生讲解数学问题时，很少或者几乎没有给学生介绍与问题相关的实际背景，都是就题论题，照本宣科地讲给学生听。对于数学公式的讲解，也是按照理论推导传授给我学生，课堂内容抽象，枯燥，导致学生课堂积极性不高，很多学生难以理解课堂内容，久而久之，很多学生上课就不再听老师讲课，导致课堂知识掌握不牢，最终导致数学成绩的下滑。
2. 高中数学课堂效率教学的对策
2.1 要有明确的教学目标
课堂教学的灵魂就在于要制定一个明确的课堂教学目标，有了这个目标，我们的教学才有目的性，才能使我们的课堂教学效果事半功倍。作为高中数学教师，我们在进行教学设计时，应该充分考虑所教的内容，要将知识、技能、方法以及情感价值观等目标具体化，使教学目标在课堂教学中落到实处。教师在课堂教学中，根据教学内容、教学对象以及教学设备的情况来灵活选用教学方法。例如，我们在讲解平面几何问题时，可以采用图形法，通过图形来对定理进行展示分析，再通过对图形进行变化，树形结合，各个定理就能很形象具体地在图形中展示出来，学生接收起来也相对轻松容易。在几何定理的教学时，我分以下几个步骤教学：首先我让学生去观察图形，通过已有的知识来探究出定理，接着，再改用文字叙述，最后在利用几何语言，将几何定理表述出来，通过这样树形结合的方式，使得课堂教学效率达到事半功倍的效果。总之，只要我们明确教学目标，就能使学生学得轻松，学得起劲，在不知不觉中提高课堂效率。
2.2 要突出重点和难点
在高中数学中，很多定理比较抽象，学生理解比较困难，而这些定理通常都是教学中的难点和重点。作为数学教师，我们要利用形象的教学方式，突出课堂教学重点和难点，激发起学生学习的热情，调动起学生课堂参与的积极性，进而促进学生接受新知识的能力。高中生日渐成熟，课堂上回答问题相对不是很积极，对此，我们教师应该设计一些富有新意和挑战性的新题型，勾起学生的好奇心，让学生主动参与进来，通过自己动手、动脑，在实践中探究问题。这样不仅可以锻炼学生的实践能力和探究创新能力，还有利于学生对书本知识的巩固和掌握。譬如，我们在教学椭圆这部分知识时，教学的重点就是掌握椭圆的定义和标准方程，其难点就是如何简化椭圆方程。作为教师，我们可以利用太阳、地球、人造卫星的运行轨道等来让学生对椭圆有个直观的认识，然后再引入新课，通过这种形象的方法，让学生在轻松的氛围中掌握了椭圆的相关知识。
2.3 转变学习观念，改进学习策略
（1）学习中的困难，我们要正确对待。对于学习中出现的问题，我们要敢于正视，高中数学相对于初中数学，难度有所加大，因此，学生要有不怕困难，越挫越勇的精神，要树立强大的信心，要注意及时解决数学问题，切不可将问题堆积，要学会积极动脑，要有探究精神，培养自身分析和解决数学问题的能力。
（2）要善于调整自己来适应教学的变化。在课堂教学中，教师通过一定时间的实践教学，加上自身对教材的理解，以及自身的教学经验和能力等，就会形成自己独有的教学风格，因此，学生要根据自己的实际情况，及时做出调整，来适应教师的教学方法，掌握适合自己的学习方法，不断适用课堂教学变化，进而不断提高课堂效率，促进自身能力的不断提升。
3. 结语
总之，作为一名高中数学教师，我们要立足学生，认真分析课堂效率教学中存在的难点，不断探索，努力寻求适合学生本身的，能够提高高中数学课堂教学效率的教学策略，进而提高学生分析和解决数学问题的能力，促进高中数学课堂教学质量的提高。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 远峰伟. 更新观念探索创新确保高中数学课堂效率[J]. 魅力中
国. 2011（1）：89-90.
高中数学椭圆的相关知识点范文2
【关键词】新课程；高中数学；教学方法
引言
新课程背景下的数学课堂重新确立了学生的主体地位，要求老师与学生平等对话，增加学生的课堂参与度，培养他们的数学态度、数学情感，教授他们数学学习方法，锻炼他们的数学思维.要抓住每名学生的个性，因材施教，促进所有学生的共同成长，全面提高.下面就针对新课改下的高中数学教学方法提出几点看法.
1.创设数学情境，调动学生的学习热情
新课程标准要求数学要强调数学化、数学情境，引导学生去经历数学知识的形成与演变.老师要将教科书的知识转化为问题，在问题的情境中引导学生去探究.如在讲统计的相关知识时，老师可以先在班级中做两个简单的统计，首先统计以男生为主的身高，然后统计以女生为主的身高，选取同样的样本容量，第一个样本统计出的平均身高比第二个样本要高十厘米以上，这是为什么呢？原因是选取的样本不一样，男生普遍比女生高，第一个样本是以男生为主的，统计出来的身高自然比第二个样本高，可以通过这样一个情境引出样本有效性的概念.同时，还可以变换一下，第一个样本只统计一个小组的生日分布，第二个样本统计全班的生日分布，自然第二个样本在十二个月中的生日分布比第一个均匀，由这个情境可以引出样本容量的问题，样本容量越大统计结果越贴近真实.一个好的教学情景能够有效抓住学生的眼球，带动他们的思维，引发他们的思考，调动他们数学学习的热情与兴趣.因此，老师要善于利用书本上以及生活中的素材创设问题情境，放飞学生思维的翅膀.
2.引导学生进行探究性学习
过去的教学模式中太注重知识的传授而忽略了学生探究性思维的培养，新课程标准对学生研究能力的培养提出了特别的要求.探究什么内容，如何探究是个问题，如果让高中生去探究一个数学原理、规律往往会花费很多时间，效果也不尽如人意，老师可以选择一些适合的教学内容与问题组织学生去进行探究，可以是一些开放思维的问题，也可以是一些一题多解的问题.同时，还可以通过一题多解的问题来培养学生的探究性思维，要打破传统教学中标准答案的概念，面对一个问题，要从不同的方面、不同的知识点进行思考，寻求解决方案.
3.对学生进行坡度教学，因材施教
现在的学生不仅学习状态、个性发展差别越来越大，学生成绩的差距也越来越大，新课标要求要根据每名学生的实际状态进行因材施教，在不同的基础上齐头并进.为每一名学生都设置一个总体的目标和阶段性的目标，阶段性的目标就像爬山过程中的一个个小山峰，攀越了一个个小山峰后达到最终的目标——登顶，每过一段时间就根据他们的学习状态对学习目标进行相应的调整.这样的方法不会使学生在学习中产生挫败感，每个人不同的目标也让他们能够进行纵向的自我比较，不断自我完善，不断进步.如我们在学习圆锥曲线的相关问题时，由于这部分难度比较大，不能要求学生一次性掌握，可以对他们实行坡度教学.如：
已知椭圆x2[]4+y2[]2=1，直线l：y=ax+b.
（1）请具体给出一组a，b的值，使直线与椭圆相交；
（2）a，b满足什么关系时直线与椭圆相交？
（3）若a+b=1，求直线与椭圆的位置关系.
问题（1）涉及的知识比较简单，也能够给学生提供比较大的想象空间，学生可以将y用x代替，采用一元二次方程组的方法来解决问题，也可以通过画图来解决问题.问题（2）考虑的是圆锥曲线与极值的相关问题，老师可以通过画图让学生一目了然地看出椭圆与直线相交的范围，有了问题（1）的积累，水到渠成.问题（3）比较难，条件给出的是一个直线所在的区域，学生需要对这一区域内l与椭圆的关系进行判断.这三个问题难度是递进的，我们在不同的学习阶段可以要求学生掌握不同的问题，他们的思维一步步递进，这样不会因为太难而让他们望而却步，也能够帮助他们掌握全部的知识点.
4.挖掘生活中的数学元素
数学源于生活也应用于生活，生活中处处都有数学元素，老师可以挖掘生活中的数学元素应用于教学之中，这样不仅能够有效地培养学生对于数学学习的兴趣，也能够锻炼他们数学知识的应用能力.例如，在学习等比数列时可以引入“一尺之杆，日取其半，万世不竭”的典故，不仅能够有效解释等比数列，还能够解释极限思想.在学习概率、抽样、统计的相关知识时，可以通过射击运动员打靶、国家统计局的统计年鉴、电视广告中提及的抽样调查数据等进行讲解，让学生联系生活实际，更深刻地掌握样本容量、概率、必然事件等知识的含义.
现代社会要求的不仅是知识型人才，更是能力型人才，我们在数学的教学中要不断创新教学方法，培养学生的思维能力、探究能力与学习能力，促进他们的全面发展.
【参考文献】
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［关键词］高中数学；问题驱动；教学模式
著名数学家波利亚曾经说过：“问题是数学的心脏。”提问是数学教学的源头活水，数学课堂因问题而精彩。高中数学知识有着较强的抽象性、思维性特点，学习起来难度较大，如果单纯依靠教师讲解，很难让学生深入理解，而在教学过程中设置合理的问题，不仅促进学生积极思考，点燃学生的学习思维，还能引导学生自主探究学习，促使学生成为学习的主人，进而提高学生的学习效率。因此，在高中数学教学中开展问题驱动的教学模式具有重要意义。本文中，我结合具体教学实践，谈谈如何顺利开展问题驱动下的高中数学教学模式，以期推动高中数学教学的顺利开展。
一、问题驱动教学模式的应用价值
问题驱动教学模式是实现数学教育再创造的有效途径。在高中数学教学中，问题是教学过程中不可或缺的重要环节，是数学知识发生与发展的重要核心。因此，在教学实践中，教师可充分研究数学知识，并从中挖掘质疑因素，提出适宜的问题，启迪学生的思维，从而引导学生主动投入到数学学习中，提高课堂教学有效性。问题驱动教学法是在尊重学生主体地位的基础上开展的以问题为核心的学习活动，在数学教学中运用这种教学模式，不仅使学生对数学学习产生强烈的学习欲望，还能调动学生的学习主动性，增强学生的数学应用意识，有助于实现数学教学的真正价值。除此之外，在高中数学教学中应用问题驱动教学模式，既有助于学生的主体地位在学习活动中发挥作用，也有助于发挥教师的引导作用，促进课堂教学的有效改革，真正提高数学教学质量。
二、问题驱动下的高中数学教学模式研究
（一）设计开放性问题，激活学习思维古人云：“学起于思，思源于疑。”在高中数学课堂上，只有让学生对知识产生疑问，才能激活学生思维，引发学生思考，从而自主探究数学知识。而开放性问题有利于拓宽学生学习思路，促进学生创新思维的发展，在强烈求知欲望的驱动下提高学生的学习动力，调动学生的学习积极性，同时有助于学生思维能力的发展。因此，在问题驱动下的高中数学教学中，教师可根据教学内容设计开放性问题，以促进学生积极思考，使学生在探究心理的驱动下进行数学学习，促使学生思维能力和学习能力的提升。例如：在讲双曲线这一课内容时，对于解双曲线方程-=1，我先提出了这样一个问题：“大家觉得这是一个双曲线方程吗？”这时有学生回答是，我又接着问：“它一定是吗，有没有什么条件限制呢？”通过这一开放性问题，激活学生学习思维，逐步引导学生对数学知识展开思考，使其在已有知识经验的基础上对问题进行分析，促进学生对这一知识点的深入理解与学习，从而达到问题驱动数学教学效率提升的目的。由此可见，在高中数学教学实践中，教师要有意识地设计开放性问题，让学生以开放的思维状态思考并探索数学知识，提高学生的学习积极性，进而达到事倍功半的教学效果。
（二）设计趣味性问题，提高学习兴趣南宋朱熹曾经说过：“教人未见趣，必不乐学。”说明在教学过程中，要想让学生乐于学习、主动学习，教学就要有趣，采用有趣的方式来促进学生学习。因此，问题驱动下的高中数学教学模式下，教师应设计趣味性的问题来提高学生的学习兴趣，激发学生的思维动力，使学生对数学问题产生主动思考的欲望，促使学生主动解决问题，进而有效提高课堂教学效率。例如：在讲等比数列这一知识点时，为激发学生的学习兴趣，教师可从问题出发，用有趣的问题激发学生的学习欲望，待学生的学习积极性被调动起来之后，再导入课堂教学知识，进而提高课堂教学效率。如：我在课堂开始设计了这样一个问题：“请每个人拿出一张纸，然后将白纸对折32下，看一看这时的白纸厚度有多高？”然后同学纷纷照做，以便将白纸进行一次又一次的对折，发现很难对折32次，然后我说：“如果我们要将一张纸对折32次，它将会和珠穆朗玛峰一样高，大家想不想知道，不用对折的方法怎么计算出对折32次白纸的高度呢？”学生听了感觉非常震惊，并表示出对知识强烈的求知欲望，此时，我就以此为切入点，引入了这节课的教学内容。通过设计这样趣味性的问题，不仅让学生对数学知识产生浓厚的兴趣，提高了学生的学习积极性，还为课堂教学有效性的提高奠定坚实基础。
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【关键词】高中数学；导入教学；温故知新导入；故事导入；问题导入
课堂教学的导入是学生在教师的引导下参与学习的一个过程和手段，也是课堂教学的一个必需的环节，更是教师须具有的教学技能。一个好的有效的导入不仅可以营造一个好的教学情境，还能集中学生注意力，激发学生的学习兴趣，启发学生的思维，更能激起学生的求知欲，为课堂教学取得好的教学效果奠定一定的基础。笔者就结合自己多年的教学经验来谈谈在高中数学的课堂教学中经常用到且有效的导入方法：
一、温故知新导入法
学生的学习活动是一个渐进的过程，是以所掌握的知识为基础而展开后继学习。遵循学生的这一认知规律，我们要利用新旧知识的联系，找准衔接点，以旧知来导入新知，使学生在巩固旧知的基础上学习新知，利于帮助学生将各知识点串连起来，形成完整的知识体系。如在学习“反函数”时，我们可以以学生前面所学过的知识来导入新知的学习。提问学生关于函数与映射的相关知识，使学生在回忆的基础上巩固函数与映射的定义与二者的联系，然后引导学生反过来思考。这样自然而然地引入了反函数的概念，学生通过学习不仅对反函数的定义与性质有了深刻的理解与掌握，而且将知识串连起来，将函数与函数的知识结合在一起，使学生认识到了二者间的内在必然联系。
二、多媒体导入法
多媒体是一种现代教学技术，与传统教学手段相比，最大的亮点在于动静结合，以图文声像来传递信息。这与黑板加粉笔加教材的传统教学模式相比，具有直观形象的特点，为学生营造一个图文并茂、声像同步的教学情境，可以化抽象为形象，化静态为动态，化无形为有形的特点，可以将知识立体直观地呈现出来，这既利于吸引学生注意力，激发学生学习兴趣，同时又可以增强教学的直观性，突出教学重点，化解难点，利于学生加深理解与记忆。因此在高中数学教学中，可有效地运用多媒体进行课堂导入。如在学习椭圆的相关知识时，用多媒体立体直观地呈现生活、宇宙中的椭圆，向学生展示鸡蛋、橄榄球，地球绕太阳运动所形成的轨迹，以及立体几何中用平面截圆柱、圆锥等所形成的切面等等，这样将一个抽象难懂的椭圆的概念与特征用多媒体转化为具体可感的物，使得学生对椭圆的认识更深刻，在此基础上再学习椭圆的性质等知识点，教学效果事半功倍。
三、故事导入法
古今中外上千年的文化发展史上，有许多与数学相关的奇闻迭事以及数学家的趣闻。而爱听故事与传说几乎是所有青少年的一种共性，因此在数学教学过程中，数学教师可以巧妙借用这些故事进行导入。运用有趣的故事进行导入，使学生在故事情节的带动下，全神贯注，迅速进入一种良好的听课状态，数学教师就可以把握时机，伴随着故事的情节，把学生的注意力引向新知识，在学生产生好奇心与欲望的时候，自然就会对新知识产生浓厚的兴趣，学生在这种状态下进行学习，自然就会产生事半功倍的效果，并且产生一种对新知识了解和学习的欲望，从而达到良好的课堂教学的效果。运用故事进行导入的方法，需要数学教师在平时要注意多搜索和累计一些与数学相关的奇趣故事，这样就可以在教学的时候可以依据实际情况信手拈来，巧妙运用，从而达到一个良好的导入效果。
四、联系生活导入法
生活与教学有着极为密切的联系。数学知识来源于生活，又服务于生活。随着新课程改革的深入发展，生活即教育的观念得到了广大教师的一致认可，并积极落实到具体的教学实践中。高中数学新课程改革标准提出：“学生能够认识到数学存在于现实生活中，并被广泛应用于现实世界，才能切实体会到数学的应用价值。”倡导数学教学要回归生活，让学生在生活中学到真正有用的知识。因此，将生活经验数学化，将数学知识生活化不失为一种良好的导入方法。如在学习指数的概念时，我们可以从学生所熟悉的细胞裂变问题来导入：一个细胞裂变成两个，两个裂变成四个，四个裂变成八个，以此类推。这样将抽象的数学概念与学生所熟悉的事物相联系，使学生在心理上降低了对数学抽象性的认识，拉近了学生与数学的距离，从而顺利地进入了新知的学习与讲授。
五、问题导入法
高中阶段的学生有着强烈的好奇欲，对一些新颖的东西总想看个究竟。以问题导入，可使数学知识在问题情境中得以生成，同时展现了数学知识的形成过程，让学生真正地理解数学，从而激发学生的思考欲望，调动学生的学习动机，提高学生将知识转化成解决实际问题的能力。因此，在高中数学课堂教学中，教师克结合教学内容设置一些适当的问题，创设逐疑探秘的导入情境，诱发学生的思维。如在学习解斜三角形《正弦定理、余弦定理》这一节前，笔者设置了一系列的问题：在初中时我们学习直角三角形的勾股定理：c2=a2+b2了解了直角三角形三边的关系，那么斜三角形的三边又是什么样的关系呢？是C2=a2+b2+x2还是C2=a2+b2-x2呢？如果存在这样的关系，那x=？通过这样的提问和启发从而引出正弦定理、余弦定理。但是在以问题进行新课导入时，应把握几点：第一，以问引思，提出问题只是导入的起步，最关键的是应通过问题目来活跃学生思维潜能。第二，巧设问题，教师应针对课本内容的重点与难点来设置一定的问题。
六、类比导入法
高中数学椭圆的相关知识点范文5
关键词： 高中数学教学 创新教学 激励式教学 创造性思维
教育本身就是一个创新的过程，教师必须具有创新意识，改变以知识传授为中心的教学思路，以培养学生的创新意识和实践能力为目标，坚持创新性教学原则。高中数学新大纲规定，数学教学的目的是使学生学好代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力及创新意识；进一步培养学生良好的个性品质和辩证唯物主义观点。为达到这一目的，我们必须创新数学课堂教学。
一、运用激励式教学培养学生的创造性思维。
教师激发学生创造性的最重要一步，是让学生知道，他们的创造性会受到赞扬。“激励法”为笔者提供了新的思路和教学方法，其做法是教师先提出问题，鼓励学生寻找尽可能多的答案，不必考虑答案是否正确，教师也不必作评论，一直到所有可能的想法都提出来为止。
不断地尝试激励式教学，鼓励学生大胆发言，大胆地提出问题，激发学生的求知欲，引发学生的好奇心，大胆地在成绩并不理想的学生中尝试创新意识的培养。这种方法改变了课堂古板的教学形式，让学生体会到学习数学的快乐，逐步地喜欢上这一学科，做到从学会到会学。
认真设计教学过程，备课是整个教学过程中最重要的环节。细致地分析每一个知识点，根据学生的情况，客观地分析每一名学生的接受能力，安排教学内容的难度，设计可能会遇到的问题及应对措施等；通过练习合理语速、精确的语言，尤其是适合学生的需求的语言。设计提问是最有学问的，一定要认真设计好某一问题提问哪一类学生，因为这是给学生树立信心的最佳时机；可以根据实际情况开辟一些问题空间，强化学生的认知，结合一些生活实际，提高学生的数学学习兴趣。
二、设计实验，创设实践操作问题情境。
心理学表明，思维是学习过程中智力的核心，一般要经过动作思维、形象思维、逻辑思维三个发展阶段。动作思维是一种初级的思维形式，可以促进其他两种思维的快速发展。在数学教学过程中，教师应让学生动手操作，从中发现规律，并通过探讨、归纳、总结，体验数学，进而培养学生分析问题和解决问题的能力，实现对知识的正向迁移。这契合《数学课程标准》中提出的“培养学生动手能力，体验数学，享受数学”的要求。
如教学椭圆的概念时，笔者先让学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，画出一个椭圆，然后提出问题供学生思考讨论，创设让学生实践操作的问题情境：
问题一：如何画椭圆，引导观察椭圆上的点有何特征？
问题二：当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？（学生动手实验）
这样，学生经过了感性认识―分析思考后，对椭圆定义的实质就会掌握得很好，就不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的认识错误。学生在讨论体验这些方法的形成过程中，加深理解。同时，通过问题的解决，一方面可以让学生掌握相关知识，另一方面可以培养学生发现、分析、归纳的思维能力。
高中数学椭圆的相关知识点范文6
一、转变教师的观念，理解“探究和拓展”的真谛
一部分教师认为，这个环节对于学生高考的帮助不大，实用性不强，所以在这个环节的教学时间比较短，案例比较简单。或者有的老师认为，这部分是学生自主探究的环节，可以完全将自主权交给学生，让学生在课下或是课上剩余的时间自行阅读和解决这些问题。这些观念是不正确的，老师要将这一环节的教学和素质教育的宗旨结合起来，和数学的实际应用和素质教育站在同一战线上。老师要转变自身的观念，学习数学知识不仅仅是为了高考，更是为了能够培养数学解决问题的能力以及发散思维，日后的工作学习中能够更好地应用数学知识去解决问题，发展新的知识。只要我们提高了学生应用数学知识的能力，就能够让学生在平时的学习中事半功倍。而这个过程需要老师的指导和帮助，让学生能够在正确的框架中提高数学能力。让学生去探索、创新，使学生有一个更高程度的发展。例如，在讲解椭圆图形的由来时，要求学生准备一张圆形纸片，然后在圆内任意选择不同于圆形的一点a，然后将纸片过这个点折起，展开之后再折，经过不断地折起、展开，观察得到的若干条折痕，看它们围成的轮廓是什么。学生经过自己发现之后就会得到是一个椭圆，这样就会对椭圆的特点、椭圆的中心线等基本概念有一个直观的了解。“探究和拓展”的目的不仅仅是对能力的拓展，更是一种对基本知识的实际操作和理解。解决完这个问题之后，还可以鼓励学生进行改变探索，例如如果a点取在圆的外面，那么得到的图形是什么；或者我们学习的图形能不能通过这种方式探索得到等等。
二、创新离不开基础，打实基础教学
“探究和拓展”环节就像是数学“高楼”的最高层，如果没有扎实的基础，那么这个最高层也不能够稳定存在，学生更不能够“登高而望远”。数学的基础就是数学概念的理解，对其要从感性认识开始，之后再上升到理性认识的高度。所以，老师也可以借助这个环节来给学生一个感性的认识，然后再给学生足够的练习去理解和深化这个概念，从而能够灵活地应用这个知识。数学学科的最大特点，那就是联系性非常强，对于同一领域的知识点，数学概念或是公式的推导需要步步递进，如果能够掌握之前的知识点，那么高深一点的知识点就比较容易得出。相应的，如果没有很好地掌握基础的知识点，那么接下来的学习只能是依靠死记，或者是套用公式的应用，不能够灵活地改变应用形式，更不能够拓展出新的知识点，所以，基础概念的掌握非常重要，是创新的基础和保证。例如，二倍角公式的教学，二倍角为三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦及正切公式后的又一重要公式，这个教学环节需要学生掌握好三角函数中的正弦、余弦的定义和推导公式，
进而可以利用二倍角公式对三角进行求值和简化，并理解公式在运用中起到的重要作用和在恰当的时候灵活运用公式。通过这个公式的推导过程，可以使学生掌握新的基本知识，让学生了解二倍角的实质，还能让学生明白可以从中变化出很多的公式来，而且很多新知识都是从原来所学的知识中发展而来的，只要掌握了一定的数学基础知识，数学的学习就会变得简单起来，这样经过一步步的递进拓展，才能够培养学生对问题的分析能力，并遵循一定的数学规律，轻松地掌握学习的方式，同时又完成了从一般到特殊的“化归”的数学思维和“问题转化”的数学思想的过程。
三、积极引导，培养学生探究的兴趣
枯燥的教学方式会给学生带来乏味感，不能使学生长久地保持探究数学学习的欲望，所以就要老师运用新颖的教学方式吸引学生的注意力，激发学习的兴趣。比如，用映射概念理解函数定义时，可以突然来个“惊喜”：窗外树上有群鸟，哪只最大？此时大家目光都会扫到窗外的小鸟。借题发挥，“大家的眼睛”这个集合作为定义域，“所有的小鸟”这个集合作为值域，就能很自然地理解到，函数应该是一个一对一，或者多对一的映射，“一双眼睛不能同时盯着两只以上的鸟”“一对多”不是函数。这样一来，对于函数概念的理解就不那么生硬了。圆形杯子里的水面，只要杯子的倾斜角度变化，水面就是一个离心率变化着的椭圆，通过这样的抽象，可以进一步探讨把一根圆形的钢管截开不损耗的拼接成一个直角形状，那么就会变成一个截面是椭圆的离心率的求解问题。这样的问题，在教师的积极引导下，学生也不会觉得乏味，用身边的数学探究，日积月累，学生数学学习的兴趣也就激发起来了。和学生一起探究拓展题的多种解题方法，并请学生各抒己见，讲出道理；让学生亲自动手利用点光源对足球斜照，学生会惊奇地发现，足球的影子原来竟是抛物线等等。通过这样类似的教学方式不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以培养学生的想象力，老师要积极引导学生类似方式的教学，让学生能够自主探究数学知识，
