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数学学习的概念范文1
一、引入概念，打开思维
由于小学生的认知能力还不够，对事物的认识一般都是从感性到理性、从具体到抽象的过程，尤其是低年级学生的思维还处在具体形象的阶段，更加需要注重从实际引入概念。随着小学生年龄的不断增长，其知识面也在不断地扩大，所学会的概念也在逐渐增多，思维逐渐朝着抽象方向发展，但是这种抽象的思维也是建立在具体事物形象的基础之上的。所以，小学数学教师在引入数学概念时，就应该先从学生熟悉的事物出发。例如在讲解长方形之前，学生已经对直线、线段、角等概念有了初步的认识，教师就可以利用黑板、课桌、书本等实际的例子让学生观察，从而帮助学生抽象出长方形的具体特点。通过学生的总结能够得出，长方形有四条边，并且其对边相等，四个角都是直角，这样能够使学生更加直观地理解概念。
同时，教师在引入新概念时，也可以通过与其相关的旧概念引入，并通过对旧概念的引申和指导，使学生更加直观地理解新概念。例如教师在讲解分数乘法的概念时，就可以通过整数乘法的概念引入，先帮助学生复习整数乘法的概念，再逐步地深入分数乘法概念，这样不仅能够复习旧知识，也能够降低教学难度，帮助学生更好地理解概念。
二、形成概念，深化理解
学习数学概念最根本的目标就是为了揭示概念的内涵与外延的意义。针对一些描述性的概念，就需要了解概念的本质属性，从其内涵上深入；而针对定义性的概念，除了揭示其内涵以外，还需要讲清楚它的外延，这样才能够帮助学生更加深入地理解概念。首先，教师在概念教学当中应该突出概念的本质属性。由于数学概念都是从客观事实当中总结出来的，而客观事实都具有很多属性，其中就包括本质属性与非本质属性。其中，本质属性是指这一事物与其他事物相区别的特征，在教学当中教师只有抓住了最本质的属性和特征，才能够深化学生的理解。例如教师在讲解无限循环小数的概念时，就应该注意其两点本质：第一，这部分讲的是小数部分，和整数部分无关；第二，循环的一个或几个数字应该重复地出现，并且需要依次不断地出现。
其次，教师在讲解概念时需要进行比较。在数学当中有很多概念都是具有相互联系的，这些概念既有相同点，也有不同之处，教师在讲解时只有帮助学生理解了异同之处，才能够使学生更加明确这些概念。例如在帮助学生区分长方形和平行四边形时，就需要让学生了解长方形是特殊的平行四边形。通过这种对比的方法，就能够更加清晰地反映出两个概念之间的异同。
第三，教师在讲解概念时需要突出概念中的内涵与外延。如果在教师的教学过程当中不断地重复某一种例子或者图形，就很容易把学生的注意力引入到一些非本质的属性当中去，却忽视了对事物本质属性的认识。教师在讲解概念当中的内涵和外延时，就应该通过例题的变化来加深学生的理解。例如教师在讲解图形时，就可以把三角形、平行四边形、梯形等图形不断地变换，让学生在变换过程当中也能够认识图形，从而激发学生对数学学习的兴趣。
三、巩固概念，加深认识
教师在教学当中运用识记教学的过程就是对学生数学概念的巩固过程，也能够加深学生对数学概念的理解与运用。首先，教师应该更加深入、透彻地讲解概念，通过这种深入的理解，学生的记忆才会更加深刻，在今后的学习当中才能够更加灵活地运用。巩固学生的数学概念不能直接让学生死记硬背，而是应该在实际的应用当中深入，而在实际的计算、应用等问题当中，就需要使用大量的数学概念，通过实际的应用，不仅能够帮助学生巩固概念，也会更加深入地理解概念。因此，教师在讲解完新概念之后，就应该给学生设计一些练习题。
除此之外，对于一些重要的概念来说，不能够直接孤立的应用和练习这些概念，而应该在系统的概念当中，结合多个概念，这样才能够使学生理解得更加透彻。例如要想使学生理解自然数的概念，除了需要扩大学生的认数范围之外，也需要结合进位概念和四则运算，这样才能够使学生学会知识的融会贯通。
数学学习的概念范文2
数学概念是构成抽象数学知识的“细胞”，是进行数学思维的第一要素。使学生掌握正确、清晰、完整的数学概念，有利于帮助学生掌握基础知识、有效发展学生的思维，提高学生探索和解决实际问题的能力，形成一定的数学思想和观念。有效的概念教学，一方面是让学生借助自己的知识和经验，在教师的指导下观察一定数量具体事例并抽象、概括出概念的本质属性。另一方面是引导学生将新概念纳入到原有的认知结构中，在有效体验中促进学生数学概念的掌握。
1.感知素材，形成清晰表象。
概念教学首先是引入概念，概念如何引入，将直接关系到学生对概念的理解和接受。在引入过程中，要注意使学生对所感知材料加以观察、分析或通过语言文字形象描述。建立表象的关键在于学生观察所提供的材料时，能否抓住事物的共性。例如，一位教师在教学“三角形的认识”时，准备了4厘米长的小棒3根，3厘米、2厘米、9厘米长的小棒各1根，先请学生用9厘米长的小棒去搭三角形，学生发现：随便配上哪两根小棒都不能搭成三角形，为什么呢？学生认为：这根小棒太长了，其余两根小棒太短了。“如果把它们换掉，能搭成吗？”学生积极尝试，结果搭成了各种三角形。孩子们兴趣盎然，积极主动地投入到操作活动中，在亲自操作中做出有序的观察，获取了有效的信息，初步感知了三角形的特征。教师为学生提供的学习材料，及时让学生领悟了数学的思想和观念，学会了用数学语言交流，培养了实事求是、严谨认真的科学态度，让学生在体验中感知，形成了清晰、准确的表象。
2.分析探究，建立概念模型。
教师除了提供丰富、准确的感性材料让学生形成鲜明的表象外，还必须在此基础上，引导学生分析和探究比较它们的属性，并及时抽象出共同的本质属性；引导学生主动参与概念从具体到抽象的概括过程，建立起数学概念的语言和形式上的模型。我在教学“分数的意义”一课时，为帮助学生建立分数的概念模型，安排了如下的活动。
师：把8支铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是多少？
生：4支。
师：把10支铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是多少？
生：5支。
师：把所有的铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是多少？
生：。
师：如果把它平均分给5位同学呢？10位呢？50位呢？如果是100支铅笔呢？1000支铅笔呢？500本练习本呢？
这样做沟通了具体数量和抽象数量之间的联系，让学生深刻感知把一个整体平均分的含义，帮助学生有效地建立了分数的概念模型（把文具盒里的铅笔平均分给几位同学，每位同学得到的铅笔数就是几分之一）。这样学生就在老师有意识、有计划的指导下掌握了学习数学的方法，增强了学习能力。
3．错例比较，理解概念意义。
现代教学论主张“学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心的创造与体验来学习数学”。因此，有效的数学学习在于让学生自己去发现，教师可以创设情境引导发现。我在学习完长方体的长、宽、高之后，设计了这样一个问题：利用小方块摆长方体，并说说是怎样想的。
生1：我是这样摆的（图1）。（绝大部分同学都是这样摆的）
生2（迟疑地）：我这个长方体（图2）好像和别人不一样。
师提问：你更倾向于哪种观点，是不是长方体？（学生纷纷举手表决回答）
生3：它是不完整的，没有6个面、12条棱和8个顶点，不是长方体。
生4：我们组在摆的时候是紧扣长、宽、高来的，我们觉得只要摆出相交于同一顶点的三条棱的长度，就能确定这个这个长方体的大小了。
生5：我反对，他们讲的不是长方体，性质已经变了。
生6：我们知道它虽然不完整，但根据长、宽、高是完全可以想象出来的啊！
生7：……
对于学生在课堂上出现的错误或是认知矛盾，我没有急于解释、下定论，而是把错误抛给学生，把错误作为一种教育资源，引导他们从正反两面去修正错误，给他们一些研究争论的时间和空间。对于片段中的问题争论的结果已显得不那么重要了，学生在争论中分析、反驳，在争论中明理，在争论中内化知识，从而形成学习智慧。这样的课堂呈现出“万紫千红春满园”的景色，学生在情境中生动地实践、体验、探究，尽可能地去重新经历知识的形成过程，在这个过程中体验和领悟、探究和发现、把握和发展。这一富有创造性的设计促使学生获得成功体验，丰富了审美情感，使学生感受到智慧的力量，增强了学生的自豪感与自信心。
4．实践体验，凸显概念价值。
数学学习的概念范文3
关键词：高中数学；概念教学
一、 认知主义学习观与教学观
对传统的中学数学概念教学的反思数学概念的教学是数学教学中非常重要的一个环节。数学概念相对比较抽象，难以把握，教材中一般只给出数学概念的定义，省略了形成过程，给学生学习造成了一定困难，Ⅲ所以教师的教学观念和方法就显得特别重要。当前一大部分中学数学教师存在这样的传统教学观念：（1）把知识看成是定论，重结果轻过程；（2）把学习看成是知识从外到内的输入，重灌输轻引导；（3）低估了学习者的认知能力、知识经验及其差异性，重“教”轻“学”；（4）在教学中表现出了过于简单化的倾向。
（一） 认知主义的数学学习观与教学观
用认知主义学习理论指导数学教学就形成了认知主义的数学学习观和数学教学观。
（二） 认知主义的数学学习观
数学学习观是指对数学学习本质的认识，认知主义认为：数学学习是一个主
动的、积累的、建构的、诊断的、情境化的具有目标导向的过程（Shuell，1988）。
数学学习不会自动地产生，而需要学生进行大量的、高密度的心理活动。这些活
动涉及学习者对已获得知识进行意义归属；将新知识整合到已有的知识结构中或
智力模型中。此外意义学习是有目标导向的。
二、 高中数学教学概念的特征
数学概念具有很多其他学科概念不具备的特性，数学概念作为一种思维形式，反映着事物内部的本质特质，其具有双重性与抽象性的特征.在使用符号化与形式化的数学语言后，数学概念也更加抽象，高度抽象的概念都是在具体模型之上
建立的.数学概念的描述有必要借助符号化的语言，很多意思不能用汉字直观的表示出来，因此，强调符号的作用，可以将抽象化的数学概念形式化.数学概念也具有很强的系统性，概念之间的联系也较为广泛直接，学生可以在学习小概念的基础上，逐步扩充知识面，对整个知识体系有一个系统的了解.数学概念是在不断更新与发展的，因此，在高中数学的教学过程中，有必要提高概念教学的重视度，让学生对高中数学概念有个较为系统且深刻的掌握，为今后数学学习奠定基础。
概念，是人们对事物本质的认识，是逻辑思维的最基本单元和形式u J.概念是人们用于认识和掌握自然现象之网的纽结，是认识过程中的阶段.思维要正确地反映客观现实的辩证运动，概念就必须是辩证的，是主观性与客观性、特殊性与普遍性、抽象性与具体性的辩证统一.概念还必须是灵活的、往返流动的和相互转化的，是富有具体内容的、有不同规定的、多样性的统一心1.人类对真理的认识，是在一系列概念的形成中，在概念的不断更替和运动中，在一个概念向另一个概念的转化中实现的.恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系.”而数学的定理、法则、运算的逻辑基础就是数学概念，它是解决数学问题的基础和重要工具，同时，高中的概念明显比初中的增加很多，因此，强化概念教学是建立理论体系的中心环节和解决问题的前提，高中数学教师为了提高教学效果，对其必须予以重视.下面谈一些数学概念教学中应注意的问题。
三、在体验数学概念产生的过程中认识概念
数学概念的引入，应从实际出发，创设情景，提出问题：通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性。如在“异
面直线”概念的教学中，教师应先展示概念产生的背景，如在长方体模型中，当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线，接着提出“什么是异面直线”的问题，让学生相互讨论，尝试叙述，
经过反复修改补充后，给出简明、准确、严谨的定义：“我们把不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线”。在此基础上，再让学生找出教室或长方体中的异面直线，最后以平面作衬托画出异面直线的图形。学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识，同时也经历了概念发生发展过程的体验。
四、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念
新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义。由止己慨念衍生出：（1）三角函数值在各个象限的符号；（2）三角函致线；（3）同角三角函数的基本关系式；（4）三角函数的凼象与性质；（5）三角函数的诱导公式等二可见，三角凼数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。
结语
概念教学是数学教学的重要组成部分，为提高高中数学概念教学的深度与广度，提高学生对概念学习的重视度，本文从概念教学的路径进行分析，提出了三种概念教学的方式，从概念的实际教学意义出发，希望能通过概念教学，提高学生学习数学的兴趣度，提升高中数学教学的整体质量与水平.，在概念教学中，要根据课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材。对教材中干扰概念教学的例子要更换，对脱离学生实际的概念运用问题要大胆删去，优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和本质的目的。
参考文献：
[1] 杨帆 高中数学概念教学应注意的几个问题[期刊论文]-辽宁师专学报（自然科学版）2009，11（3）.
[2] 王世明 高中数学概念教学[期刊论文]-读写算：教育教学研究2011（41）.
[3] 周文贤 高中数学新课标的教育理念及其应用[期刊论文]-四川教育学院学报2006，22（4）.
数学学习的概念范文4
关键词：数学概念；概念的形成APOS理论；布鲁纳；建构主义
数学概念是数学的逻辑起点，是学生学习数学知识的基石，也是学生进行数学思维的核心，在数学教学中具有重要地位。早在1910年，F.N.Freeman就作出了“关于儿童与成人的数的概念的形成”的研究。随着建构主义的广泛认可，数学概念的学习分为概念的形成和同化两种形式。
概念的形成是指在教学条件下，从大量的具体实例出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方式，概括出一类事物的本质属性。在数学学习中，对于初次接触的或较难理解的概念往往采用这种学习形式。主要的操作步骤为：1.辨别一类事物的不同例子；2.概括出各例子的共同属性；3.把本质属性与原认知结构中适当的知识联系起来，使新概念与已知的有关概念区别开来；4.把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以表明它的外延；5.扩大或改组原有数学认知结构。这种方式从较为直观，具体的问题人手，容易使学生理解抽象概念；但是由对具体实例的感性认识上升到理性认识并归纳概括出概念，对学生的归纳总结能力有着较高的要求。比如说在给出棱柱的概念时，可以先观察桌面上竖着的铅笔，课本，老师出示的正方体，五棱柱，然后总结出其共同特点：有两个面互相平行，其余各面的交线也互相平行，因此各个面为平行四边形。再归纳总结出棱柱的定义。这样学生就从直观的物体上了解了抽象的概念，比直接给出棱柱的概念更有利于学生对棱柱的进一步学习。
学生在学习直接用定义形式陈述的概念时，主动地与其认知结构中原有的有关概念相互作用并领会新概念的本质属性，从而获得新概念的方式叫做概念同化。我国中学教材的编写，知识结构总是螺旋上升的，当新概念能与学生原有的知识结构一致融合时，多采用这种学习形式，“是学生获得概念的最基本方式”。这种方式过程简明，使学习者能够比较直接的学习概念。但是与概念的形成相比，这种方式是对已有知识的概括，对学生的原有知识结构的要求较高，学习方式更多的是接受学习、，学生较为被动，自主学习的成分较少。例如，三角函数，的定义，经历了从直角三角形得定义到锐角的坐标法定义再到0度到360度间的角的三角函数定义最后到任意角的三角函数定义。任意角的三角函数定义是与三角形的有关概念及函数概念相关联的，直接给出任意角的三角函数的概念，概念能够与学生原有的知识结构一致融合，不会有出现太大的理解困难。 近几年来，美国数学教育家杜宾斯基在数学教育研究的实践中提出了新的关于概念学习过程的理论，即APOS理论。APOS理论以皮亚杰关于个体思维的反省抽象理论为基础，阐述了个体认知数学概念的过程。他认为学生学习数学概念是要进行心理建构的，这一建构过程主要经历以下四个阶段：
1 操作(Action)阶段。这是个体对数学“对象”进行变形，一般来自外部刺激，通过学习一步步动作指示来获得，这一获得有时是显而易见的，有时来自于记忆。这里的“活动”泛指所有的数学活动，如猜想，回忆，计算，推理等，而不仅仅指学生的肢体动作。比如：在有现实背景的问题中建立函数关系y=x2，需要用具体的数字构造对应：2－4；3－6 14－16；…通过操作，理解函数的意义。
2 对象(Process)阶段。不断地被个体重复并反省它，动作已经自动化了，不再需要外部刺激，个体已经形成内部构造时，“活动”就内化为“过程”表现为个体能够将数学概念一般化，并构造更复杂的“活动”。例如上述的操作活动综合成函数过程为：x－x2，其他各种函数也可以概括为一般的对应过程：x－f(x)
3 对象(Object)阶段。当个体将“过程”看作一个整体，并可以对它变形。这时“过程”就凝聚成“对象”。可将上述的函数过程上升为一个独立的对象来处理；对其进行加减乘除，复合运算等。在f(x)g(x)表示式中，f(x)和g(x)均作为整体对象出现。
4 概型(Stheme)阶段。此时的概念，以一种综合的心理图式而存在于脑海中，在数学知识体系中占有特定的地位。如函数概念在此时就变成含有具体的函数实例，抽象的过程，完整的定义，乃至和其他概念的区别和联系的心理图式。
杜宾斯基取四个阶段英文单词的首字母，定名为APOS理论。
笔者认为APOS理论的操作过程与布鲁纳的发现理论有着类似的地方，两种理论都以学生的主动性为前提，要求学生通过对大量的实例的观察，分析，归纳总结出概念。但APOS理论明显优于布鲁纳的理论。
首先，教师参与的程度不同。布鲁纳的认知一发现理论强调在教学过程中，学生是一个积极的探索者，教师的作用只是创设一种学生能够独立探索的情景，学生进行的是独立探索，教师不干涉学生的探索进程和步骤。虽然APOS理论的主体仍然是学生，但在教学过程中更多强调的是教师与学生的互动交流，是由教师逐步引导学生的思维活动的，教学活动是在教师的设计下进行的，学生既不是单纯的被动接受，也不是毫无界限的随意探究。在这个过程中，学生的探究进程和步骤都是在老师的引导下进行的，都渗透着师生共同的心血。APOS理论是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，教师也可根据是否有利于“活动”的“自动化”来判断教学设计的有效性。
其次，适用范围不同。由于APOS理论是杜宾斯基在研究高等数学思维的时候提出的，对高等数学的学习有指导性的作用。后来被加拿大的Riazazkis研究证实该理论同样适用于基础数学的学习。所以，APOS理论主要针对的是个体的数学学习。而布鲁纳的理论是适用于所有科目的学习的，是认知主义的经典理论之一，适用范围更加广泛。
由此，笔者猜测APOS理论在实践中还有可能会出现以下问题：
第一：学生可能会归纳出错误概念。这是由于选取的实例可能不符合学生已有的知识结构，不符合学生的心理发展规律或者这一组实例有着其他的显著共性，导致出现“土豆站起来”的结果。一旦学生出现这样的错误，想要再引导回正确的概念就比较困难了。纠正一个错误概念所付出的努力远远大于接受一个新概念的，因为无论何时提到这个概念，学生头脑中首先提取到的总是第一次记忆中的错误版本。
第二：由于APOS理论在我国尚属推荐阶段，许多数学老师对这一模型的使用尚存在不少疑虑，因而普及面不大。对这种理论，许多老师显得经验不足，对各个阶段及衔接过程把握不准。因此推广应用中可能会出现一味讨论实例的性质或讨论无意义的实例等情况，导致耗时多，效果差的问题。
所以对APOS理论的学习，应用和推广还有待于进一步的深化。
数学学习的概念范文5
方法。
一、举例法
举例通常分成两种情况，即举正面例子和举反面例子。举正面例子可以变抽象为形象、变一般为具体，使概念生动化、直观化，达到较易理解的目的。例如，在讲解向量空间的时候就列举了大量的实例。在解析几何里，平面或空间中从一定点引出的一切向量对于向量的加法和实数与向量的乘法来说都作成实数域上的向量空间；复数域可以看成实数域上的向量空间；数域F上一切M×N矩阵所成的集合，对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法来说，作成F上一个向量空间，等等。举反面例子则可以体会概念反映的范围，加深对概念本质的把握。
二、温故法
不论是皮亚杰还是奥苏伯尔，在概念学习的理论方面都认为概念教学的起步是在已有的认知结构的基础上进行的。因此，在教授新概念之前，如果能先对学生认知结构中原有的概念作一些适当的结构上的变化，再引入新概念，则有利于促进新概念的形成。例如，在高中阶段讲解角的概念时，最好重温一下在初中阶段角的定义，然后从角的范围推广到正角、负角和零；从角的表示方法推广到弧度制，这样有利于学生思维的自然过渡，较易接受。又如，在讲解线性映射时，最好先温习一下映射的概念，在讲解欧氏空间的时候同样最好温习一下向量空间的概念。
三、索因法
每一个概念的产生都具有丰富的背景和真实的原因，当你把
这些原因找到的时候，那些鲜活的内容，使你不想记住这些概念都难。例如，三角形的四个心：内心、外心、旁心和重心，很多同学总是记混这些概念。内心是三角形三个内角平分线的交点，因为是三角形内切圆的圆心而得名内心；外心是三角形三条边垂直平分线的交点，因为是三角形外接圆的圆心因而得名外心；旁心是三角形一个内角平分线和两个不相邻的外角平分线的交点，因为是三角形旁切圆的圆心而得名旁心；重心是三角形三条中线的交点，因为是三角形的重力平衡点而得名重心。当你了解了上述内容，你又怎么可能记混这些概念呢？又例如，点到直线的距离是这样定义的，过点作直线的垂线，则垂线段的长度便是点到直线的距离。那么为什么不定义为点和直线上任意点连线的线段的长度呢？因为只有垂线段是最短的，具有确定性和唯一性。像这样的例子还有很多，不再一一列举。
四、联系法
数学概念之间具有联系性，任意数学概念都是由若干个数学概念联系而成的，只有建立数学概念之间的联系才能彻底理解数
学概念。例如，在学习数列的时候，我们不妨作如下分析：数列是按一定次序排列的一列数，是有规律的。那规律是什么呢？项与项数之间的规律、项与项之间的规律、数列整体趋势的规律。项与项数之间的规律就是我们说的通项公式，项与项之间的规律就是我们所说的递推公式，数列整体趋势的规律就是我们所说的极限问题。当项与项之间满足差数相等的关系时，数列被称为等差数列；当项与项之间满足倍数相等的关系时，数列就被称为等比数列。这样我们对数列这一章的概念便都了然于胸了。
五、比喻法
很多同学概念不清的原因是觉得概念单调乏味、没有兴趣，从而不去重视它、深究它，所以我们在讲解概念的时候，不妨和生活相联系做些形象的比喻，以达到吸引学生提高学习兴趣的效果。例如，在讲解映射的时候，不妨把映射的法则比喻成男女恋爱的法
则。两个人可以同时喜欢上一个人，但一个人不可以同时爱上两个人。这不正是映射的法则:集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的像与之对应吗？又如，函数可以理解为一个黑匣子或交换器，投入的是数产出的也是数；投入一个数只能产出一个数；当投入不同数的时候也可以产出同一个数。再如，满足和的像等于像的和、数乘的像等于像的数乘的映射称之为线性映射。这不正像一个人怎样舞动他的影子就怎样舞动吗？所以有的时候可把线性映射理解为“人影共舞”的映射。
六、类比法
在学习向量空间的时候，很多同学疑问重重。向量不就是那些既有大小又有方向的量吗？怎么连矩阵、连续函数、甚至线性变换也可以理解为向量呢？这一切是不是太不可思议了。但是当你做如下思考的时候，一切便顺理成章了。让小学生算一道“5-7”的题，他会说你这道题出错了，但是让一个初中生去做，他就会告诉你等
于-2；当你让一个初中生对负数进行开平方运算，他会说不能对负数进行开平方，然而高中生却能够进行运算。这就说明了一个问题，随着年龄的增长和认识层次的提高，人们对于同一概念的理解和认识也在逐步地深入和扩大。正如数的概念由小学学的整数、分数和小数扩大为初中学的实数最后扩大为高中学的复数。同样对于向量的理解也就不能只限于既有大小又有方向的量，应该把这一观念转变过来。
像这样的方法还有很多，不再一一列举。总之一句话，数学概念是重要的，分析概念是有趣的，在乐趣和玩赏中去理解概念是容易做到的。
数学学习的概念范文6
关键词：联系；网络；数学概念；学习
数学教育研究者已逐渐认识到，数学概念之间具有联系性，任一数学概念都由若干数学概念联系而成；只有建立数学概念之间的联系，建立数学概念的不同表示之间的联系，才能透彻理解数学概念。概念学习实际上就是通过建立概念之间内在的以及概念的不同表象之间的各种联系，使之形成概念网络。
一、概念联系
（一）概念联系的含义
“概念联系”可分为两种：不同概念之间的联系与同一概念的各种联系。这两种联系又各有数学角度的联系与心理学角度的联系。这些理解互有重叠，有时互相冲突，因而给“联系”的理解与建立带来困难。
1.不同概念之间的联系。因为学生大多接触的不是一个独立的概念，而是以某概念为中心的一个概念群，所以，建立概念之间的逻辑联系就十分重要。这些联系包括数学中各种关系（运算、逻辑连接、变换等）以及各种抽象（强抽象、弱抽象、广义抽象等）。从心理学角度看，这些不同概念之间的联系，表现为数学概念的意义是从多种情境中提取出来的，但是，要分析每一种情境又不能只用一种概念，而要用到好几种概念。这就是“概念域”的思想。因此，“学习概念不是学习一个个孤立的概念，而同时是建立众多概念之间的联系”，“每一概念都具有一定的复杂程度，特别是，只有在与其他概念所形成的网络中才能全面理解它”。[1](125)
2.同一概念的相关联系。在数学上表现为同一概念的内部逻辑结构、同一概念和各种等价表示之间的联系以及与具体模型相联系的外部表示之间的抽象。在心理学上表现为三种联系，即所谓的外部联系、内部联系、内外联系。外部联系指同一概念的不同表示（图形的、符号的、语言的、实物的）之间的联系。内部联系指内部表征将表象进行相连的内容，包括不同心理表征之间的转换并进而整合出概念意象。这种联系也是对外部概念表象进行辨认、识别、加工的过程。它是一种动态的、变化的、活跃的、没有结构的、不牢固的过程，具有场性、弥散性、歪曲性。如何建立外部的学习内容与内部的认知结构之间的联系（内外联系），一直是数学教育的研究课题，也是教育心理学研究的重要内容，皮亚杰、奥苏贝尔、布鲁纳、建构主义学说已有很多理论与假设。但这一切都是建立在假设“学生内在已有一个认知结构”基础上的。内外联系实际上是思维的转换，包括监控、调节、组合、评价、决策等，指从内部网络中排出序状的联系提供给外部，同时把外部的内容转换给内部，激活内部相应的网络。这是对概念内外联系的一种理解。
概念的内外联系还表现为外部表示形式与内部的表示之间的转换上。这就是Gerard Vergnaud提到的被表示物（思维对象）和表示物（外部表示）之间的联系。这些联系尤其表现在外部语言、书写记号所构成的外部表示系统与学生个人的内部表征形式之间的联系上。“书写的记号必须在内部表示为数学的对象而不是在纸上代表了别的东西的记号”。[2](147)
关于概念内外联系的第三种理解是社会建构主义的思想。鉴于过去研究只是对概念的“客观意义”（教材中的标准定义）的把握，这种理论提出对概念的理解要从“主观”的角度进行，“理解一件事物表示把这件事物同化入一个适当的schema之中”，[3](36)从而获得该事物的确切的意义。究竟如何才能使“外化”了的数学对象重新转化成思维的内在成分呢？“显然，这并非是在头脑中机械地重复有关对象的形式定义，而主要是一个意义赋予的过程，也即应当把新的概念纳入到主体已有的认知框架之中，从而成为可以理解的和有意义的”。[1](94)实际上，所谓的内外联系就是个体对外部的解释过程，使外部内容变成个体的内部网络的一部分。
（二）概念联系的方式
由于对概念的联系的理解有多层意义，因而有关概念联系的方式也是多样的：1.在不同概念之间，从数学角度看，联系的方式有抽象，包括强抽象、弱抽象、广义抽象等。从心理学角度看，不同概念之间的联系还包括描述、类比、比喻等。2.对于同一数学概念，从数学角度考察，外部不同表示之间的联系方式有变换，系统内为等价变换，系统之间为同构变换，非系统之间有拟同构变换（含比喻、类比等）。从心理学角度考察：“同一概念的不同表示形式之间的联系通常是基于相似关系和判别关系”，在建成概念内部网络时，其内部联系包括包含关系与归类关系等。[2](134-140)
（三）概念联系的特征
概念联系的特征与联系的含义紧密相连。反映数学概念形式化、结构化方面的联系实际上是数学的关系与抽象，这些联系是稳定的。而反映数学概念的各种表象之间的联系，又多与变换紧密相连，它反映数学概念心理表征的特征，这些联系是活跃的、变化的、不稳定的。这里只讨论后一种概念联系的特征。
1.概念联系的灵活性
数学概念的内部联系并不是呆板的、机械的、固定的，而是灵活的、变化的。这种灵活性表现为对“熟悉”概念能迅速建立联系，对“陌生”概念采取“回避”的态度。在学习运用中，常常自觉地与距离较远的熟悉概念建立联系，而不愿与较近的陌生概念建立联系。因此，在内部表征中，每个学生的概念网络也不相同，在理解概念与运用概念时，各个学生启用的“联系”也有很大的差别。
2.概念联系的稳定性
概念联系的稳定性指概念之间的联系程度有强弱之分。相对来说，每一概念都由一批与之有较强联系的概念支持着。对于不同学生来说，这些概念是不同的。然而，联系程度较强的概念愈丰富，所建立的概念就愈容易理解。在数学概念学习中，有一些概念容易发生理解困难，究其原因，可能与同这个概念联系密切的概念太少有关。研究表明，建立一个概念的稳定网络有利于概念的学习与理解，但也会造成理解的障碍。这是由于联系较强，网络相对稳定，定势不易打破，会带来发展变化上的阻碍，影响新的概念学习。
3.概念联系的变化性
概念联系几乎随概念与背景的改变而发生变化。同样，一种联系在不同的两组概念中的作用差异很大。当概念本身的内容发生变化时，概念之间的联系也发生变化，包括联系的强弱程度、距离长短的选择等。当新的联系建立后，原有的联系会自动地改变或消失，但在建立新的联系时，旧有的联系在起促进作用的同时，也阻碍着新的联系的建立。
4.概念联系的整合性
概念之间联系的灵活性、变化性、稳定性，并非是自由散乱的，而是有目标的，它们时刻保持系统的整合性。调查表明，当学生接触一个数学概念时，即使他只建立极少的联系，也会由这些联系整合出概念的一个表象来，尽管这个表象是不完整的、扭曲的、错误的。在概念表征调查中，有大量的事例可以说明这一点。这种自觉的整合有利于整个概念的获得，随着新的联系的建立、不断整合，概念便不断获得新的理解，进而达到完善。然而，这种整合，也会造成过早的不恰当的表象建立，造成学生理解上的滞停或错误。
5.概念联系的生长性
学生学习是主动建构的，而非被动接受已经形式化的内容。这种建构是通过和外部的表象的不断联系来完成的，“学生创造出自己的内部表示和建立自己的表示网络，学生在构造过程中关键的一面是他们的创造发明”。[2](152)实际上，学生在学习过程中，会不断地发明出许多方法，这些方法“聪明”地建立与外界的联系，并“巧妙”地建立自己的内部联系与网络。在概念表征的调查中，我们见到学生很少论述概念的形式定义，他们创造出各种巧妙的表征概念的方式，建立概念之间的联系。这种发明对学生学习概念具有积极作用，发明使得概念联系具有生长力或繁殖性。然而，联系的生长性、理解的创造性发明，也有其消极的一面，学生会根据已有的经验，盲目地进行发明创造，建立不恰当的联系。例如将实数概念推广到复数中去，在｜x｜的调查中，学生把实数中的性质推广到了复数中。在差生的概念表征中，许多错误就在于建立这种错误的发明，使联系错误地不恰当地生长着。
6.概念联系的相依性
概念只有在概念网络中才能获得意义，单独一个概念是无法理解的。概念联系也是这样，它们必须在与概念相连的网络中才能存在。概念之间的联系、概念内部表象与外部表示之间的联系都依赖于整个网络的丰富与灵活程度。单独的或少量的联系是无法存在的，而且容易发生改变，这时与之相联的信息也容易变质。相反，当一个信息与一个较大的网络建立丰富的联系时，联系可得以存在，与之相联的信息才容易得到恢复。概念是靠概念间联系建立的，而联系又同样依存于它所联系的概念之间。
二、概念网络
（一）概念网络的含义
关于概念网络（concept network）的理解也是在多种意义下进行的。第一类是关于知识逻辑建构的系统，这是相对稳定的。第二类是心理内部表征的系统，是比较灵活的、变化的，是一种过程。本文只讨论后一类。这一类又含有两种意义。一种是思想，即概念是与各种概念或其他事物、背景相联系的整体。概念不是孤立的，而是处于一个复杂的联系的系统中。谈及概念时，不仅指一个词，一个对象，也指激活有关这个概念所在的一个网络系统。皮亚杰的认知图式、认知结构理论也含有这种思想。另一种是具体建立的各种内部表征的网络模型（network model），用以解释概念内部表征。现代认知心理学中广泛使用的是语义网络或符号网络模型。“符号—网络模型中的概念通常用节点（nodes）来表示，这里所显示的节点通过箭头与另一个节点联结。这个简单的规定表明概念之间所有可能的联系”。[4](155)如下页图就是符号—网络模型的一小部分，“为了表示记忆中的概念，图形给出两种东西：框面和箭头，框面表示概念”，箭头有两个重要的特性：“第一，它们是有方向的”，方向不同，理论意义不同；“第二，它们是有名称的，至今有三类名称──特性、例子和类别”。[5]
现代研究者反复提醒，概念内部的网络不同于外部知识的形式网络，尽管他们不得已用语词或符号来描述这种网络，“虽然我（们）所看到的所有模型好像都由词和箭头组成，但是节点被认为是表象概念而不是词……心理事件的表象（不是复制），一定比单词本身复杂得多”。[4](155)现代认知心理学通过大量研究证实：“在几乎每一个从永久记忆的提取活动中都包括情景记忆和语义记忆”。[4](156)将概念的相关性信息用上面的图逐级相连，便形成记忆或内部表征中有意义（语义）的各成分之间相互联结的网，这就构成概念网络。语义网络是通过指示符或关系把节点彼此相联结而成的。
转贴于 （二）概念网络的形式
概念网络的模型有多种，如TLC层次模型，激活—扩散模型等。TLC网络模型认为，“贮存在知识系统里的信息是由单位、特征和指向联结所组成的，并以分层形式构成网络”。[7]语义知识便可以表征为一种由相互联结的概念组成的网络。而这个网络又是具有层次性的。层次网络模型对语句的加工，主要通过搜寻，即将语句中所涉及的主项概念与宾项概念放入记忆网络，寻找这两个节点联结起来的通道，看与语句中的论断是否相符。
针对TLC的缺点，激活—扩散网络模型认为，“第一，联结两个概念的直线长度具有理论意义，直线越短，概念联系越紧密。第二，类似于TLC，激活扩散模型假设上级关系以‘是一种’联结来表示，……然而这个模型比TLC先进在于它也包括一些‘不是一种’的联结”。[4](161)这种理论表明，在回答某问题时，首先进入有关语义网络中，使一个节点得以激活，激活的节点又向外激活其他概念节点。首先被激活的是与这个概念关系密切的直接相连的节点，然后又激活与之相连的节点，形成扩散的网络。同时，这种理论也表明，在学习与搜寻概念时往往并不是按TLC网络那样进行逐级逐层搜寻的，有许多关系的知识是在网络中直接预存的，以避免扫描记忆。这实质上与传统的认知心理学中的图式意义有些相近。在新手与专家的概念学习上，往往就体现这种层次搜寻上的差异，专家往往是对“块”进行搜寻，而新手往往是对单个概念进行搜寻。
在数学教育研究的现代文献中，有关概念网络的思想多与这两种模型有关。对于内部的联系，研究者提出：“当建成了概念的内部表示之间……关系时，就会产生知识的网络”，“网络可以像垂直的谱系或是像蜘蛛网一样的结构，当网络的结构像谱系那样时，有些表示法包括其他的表示法作为更一般的内部的或下面的细节”，当网络的结构像蛛网时，“节点就可以认为是所表示的各条信息，而中间的线就是它们的联系或关系。……蛛网中的全部节点最终是联结着的，因而就可以按照已建立了的联结在它们之间漫游”。[2](134)这实质就是TLC模型和激活—扩散网络模型的渗透与运用。从纵向和横向对网络进行分析，纵向（谱系）反映层次，反映不同水平（集合）上的概念，横向（蛛网），反映同一水平上的结构，构成同一水平上整体网络结构。纵向反映着抽象、凝聚等特征，横向反映着等价、同构等变换。两者之间的联系也有本质的不同。在前述文中，我们提到过概念概念群概念域概念系统的思想，也可以视做层次与结构的思想。
综上分析，关于数学概念网络的形式，我们可以给出下述五种模型。
（三）概念网络的特征
针对数学概念的特征，数学概念网络具有层次性、灵活性、兼融性、相依性、生长性。
1.层次性。数学概念内部网络尽管反映的是概念的内部表征，其中概念的节点可以是表象等非形式成分，联系也未必是数学关系，可以是比喻、模拟等关系。但这个内部网络在不断整合中仍是清晰地反映外在数学概念网络的，因而它具有层次性、结构性。概念网络是有层次的，每一个网络都由若干层次低的小网络组成，而这个网络又与其他网络相联系，构成高一层次的网络。皮亚杰也阐述过相关思想：“每个图式（schema）同所有其他图式相协调，而每个图式本身又是由已分化的部分组成的整体。”[7]
2.灵活性。数学概念内部网络并非形式化的逻辑网络，它随着联系与结论的不断变更而及时发生变化，及时进行调整，以适应新的情境。这种网络随时都在变化，然而这种变化在优秀生那里，表现为整个网络有顺序、有目的地进行调整改变，变而不乱。在差生那里，由于许多联系的缺漏或脆弱，这种网络在变化时就容易破损而发生错误。
3.兼容性。对于节点所建立的新联系，或联系所产生的新结点，每个结点与联系的意义更新，网络将及时主动进行改变，使之与新的意义相适应，这就是网络的兼容性。这种兼容性，表明对概念的理解程度，不可能出现“空白”或“全部联系”的网络。即在学习概念过程中，所谓全部或全无现象不可能存在。由于学生不能迅速兼容新的节点与联系，所以在概念学习中常常会出现滞停或分离的现象。例如角的概念，学生往往不能将角的数值与图形合为一体，而是把二者分割开。
4.相依性。网络是依赖于更小网络而存在的，最终依赖于节点与联系。因而概念依赖于网络才能获得理解，而整个网络又依赖于概念的联系的建立才得以建立，二者是相互依赖的。前面已多次说明，建立概念网络的节点和联系并非是数学中形式化的名称、符号或关系，而是丰富的概念表象、意义与联系。要想获得概念网络，就必须建立概念的各种表示。只有建立概念内部表征等之间的联系，才能使“节点”内容丰富，才能使联系密切，才能使概念网络丰富而灵活。否则，仅建立形式上的所谓网络，或是用形式化的逻辑体系代替内部网络，使整个网络成为僵化的稳定结构，学生难以理解概念，从而为新的概念学习造成障碍。
5.生长性或繁殖性。概念网络具有生长性，表现为：一是上述已论及的概念学习中，随节点、联系的生长，网络随之改变而丰富。二是随着网络的增加、兼容，也使后来的网络产生了增长。学生学习因式分解，在实数范围内所成网络到复数范围所成网络，就发生了增加扩大。学生学习式、方程、函数后，把三种网络相并也形成了网络的增加。三是网络的重组也使网络获得生长。“经过全新组织后形成了新的联系，而旧的联系可以作改变或被抛弃。新的关系建立起来后可能强迫受影响的网络形成一个重新的构成。……最终，随着重新组织产生更丰富的，联系着的，有凝聚力的网络，理解就增长了”。[2](141)
三、概念联系与概念网络对数学概念学习的影响
由于对联系的含义的认识不同，对怎样建立概念联系形成概念网络有不同的观点。一种观点是把联系看作是内部的或内外结合的。认为教学应着重从给定的数学概念或方法含义的问题导出的联系出发。另一种是把联系看作是外部的，认为讲授应基于数学结构的分析方面。以杜威及布鲁纳为代表的思想反映为前者，而以奥苏贝尔及加涅理论为代表的思想则反映后者。“奥苏贝尔的著作的中心前提是讲授开始时应先指定主要概念是如何相互联系的，并和学生们所已经知道的内容相关联，而布鲁纳则认为通过解题而发现关键的关系，由学生们自己构成联系，从而可获得解题用的相关知识”。[2](181)这实际上给出建立联系和网络的两种区别，一种从外部的联系，通过外部方式给出联系与网络。它的优点是可见的、稳定的、逻辑的、清晰的，缺点是单调的、被动的、机械的、形式化的。另一种是通过内部自我联系去建构外部结构之间的联系，形成丰富的内部表象系统，优点是丰富的、主动的、非机械的、非形式化的，缺点是不可见的、可变的、直觉的、模糊的。
由于出发点不同，所建立的理论就有很大的差异，所以导致数学概念的教与学理论也有很大差异。我们看到，奥苏贝尔点认知固着点、“建立非人为的实质的联系”等观点在对数学学习有较大影响的同时，也暴露了它的弊端。这种理论忽视了人的主观能动性，忽视了内部的联系，只从结构上进行转换。学生学到的只能是机械性的知识，更多的概念联系将无法用“同化”学到。这是因为，概念内部联系中的许多内容是无法通过“同化”得到的。
根据上述分析，关于数学概念学习过程中概念联系、概念网络的建立，我们有以下建议。
1.内部联系、外部联系、内外联系是融于一体、不可分割的整体。概念的逻辑体系，外部各种表示（实物、图形、语言、符号），内部的各种表征（表象、定义、言语）之间的联系应当充分建立，才能透彻地理解概念，获得概念的真正意义。过分强调一个侧面，忽视另一个侧面对概念学习都是不利的。
2.建立概念之间的联系，由联系而建成概念网络是理解的基础，更是概念运用的基础。“每一概念都具有一定的复杂程度，特别是，只有在与其他概念所形成的网络中才能全部地理解它”。[1](125)没有建立联系或联系不当的概念不仅难以理解、运用，而且会对学生学习产生限制、干扰。学生解决问题失败或错误的分析表明，多数失败与错误都与概念之间联系建立不当或不能建立联系有关。
3.概念之间的联系有两个重要作用，一是通过联系建立网络，二是通过联系激活网络。在教学中应同时注意这两种功用的训练。否则，只重视前一侧面，就容易导致网络的机械、僵化。表面上看，学生掌握了概念网络，但他却不能激活网络，因而便不会运用。奥苏贝尔通过“实质的非人为的联系”建立的认知结构（可视为网络），在功能激活侧面便未予以足够关注。而只重视后者，表面上看，网络内每一个节点都很活跃、丰富，但由于整个网络联系不清晰、过于疏散，实质上也未形成真正的概念网络。因此，建立概念网络与激活网络应同步进行。
4.数学概念联系与概念网络都是易变的、易动的、活跃的。概念网络依赖于活跃的概念联系，数学概念之间的联系必须有繁殖力、生长性。仅以逻辑关系作为联系建立的只能是逻辑形式网络，而不是学生内部联系的网络。因此，可以说，奥苏贝尔在批判机械学习观的同时，又走入另一种机械学习观。
5.概念的联系自身也有不同类型，概念网络也有层次差异。在同一水平上的网络中，各个概念（节点）的地位并不均等。在概念整个网络中，有一些概念具有中心地位。无论是建立网络，还是激活网络，这些概念周围构成的区域网络都具有举足轻重的作用，这些关键概念也影响概念的运用与问题解决。同样，概念之间的联系中也存在一些重要的联系，对概念网络的建立与激活起关键作用。
6.概念联系与概念网络的建立，也反映着学生的个体差异。这种差异除了表现在水平上，还表现在学科上，以及个人倾向性上。有的学生侧重于由内到外，有的学生侧重于从外到内，但对概念理解与运用未有差异。
参考文献
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［4］J B Best.认知心理学［M］.黄希庭，等，译.北京：中国轻工业出版社，2000.
［5］〔美〕P H 林赛，D A 诺曼.人的信息加工心理学概论［M］.北京：科学出版社，1987.278—279.
