前言：中文期刊网精心挑选了对角线的规律范文供你参考和学习，希望我们的参考范文能激发你的文章创作灵感，欢迎阅读。
对角线的规律范文1
例1：观察下图，解答问题.
（1）上图画出了三到六边形的对角线，观察后将下表填写完整.
（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的对角线条数.
分析与解:
解法1：（1）易知，六边形的对角线条数为9.通过作图也易知七边形的对角线条数为14，那么n边形呢？
现将多边形边数与对角线条数提取进行分析：
边数 对角线条数分析及梯形面积公式法表达式
观察上表发现，将相邻对角线条数两数作差，再对作差后的相邻新数作差，它们的结果都为常数1.当设多边形的边数为n，对角线条数写成和的形式时，第一个数是2，最后一个数是1×n-2，共有（n-3）项，用梯形面积公式法求得n边形对角线条数为：
×（n-3）=（n-3）
（2）由n边形内角和公式可得：1440°=（n-2）×180°，解之得n=8.
这个多边形的对角线条数为：×（8-3）=20（条）.
解法2：（只对n边形的对角线条数进行探究）
现先对二次函数的性质进行研究.对于二次函数y=x+2x+2，有下表成立：
对y相邻的数求差得：10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…
对相邻新数再次求差得：7-5=2，9-7=2，11-9=2，…
发现的值连续两次作差为同一常数，再对其他的二次函数研究也有这样的结论，因此可以得出二次函数存在这样一个性质：二次函数的函数值连续两次作差为同一常数；反过来，如果一数列存在着：连续两次作差为同一常数，它的序数与所对应的数的表达式满足某个二次函数.利用这个性质，求本例n边形的对角线条数：
由解法1中的（1）可知，对角线条数相邻两数作差，再对作差后的新数作差，它们的结果都为同一常数，所以多边形边数及所对应的对角线条数满足某个二次函数.设这个二次函数为y=ax+bx+c，对多边形边数x及所对应的对角线条数y取出三对数：（3，0），（4，2），（5，5），于是有0=9a+3b+c2=16a+4b+c5=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.
所以多边形边数x及所对应的对角线条数y满足二次函数:y=x-x，
当x=n时，有y=n-n=n（n-3），
七边形对角线条数为：×（7-3）=14（条）.
例2：瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱的奥妙大门，请你按这个规律写出第七个数据是?摇 ?摇.
分析与解:
解法1：分子中第1个数:9=3；第2个数:16=4；第3个数:25=5；第4个数:36=6，
第n个数分子应该是（n+2）.
分母中：序数 分母对应数分析及梯形面积公式法表达式
分母中的数两次连续作差后为同一常数2，进一步分析可知，当设序数为n，分母对应的数写成和的形式时，第一个数是5，最后一个数是2×n+3，共有n项，用梯形面积公式法求得第n个数分母为：
×n=n（n+4）
第n个数为：
当n=7时，所对应的数是=.
解法2：（只对分母存在的规律进行探究）
由解法1知，分母中的数两次连续作差后为同一常数，所以分母中的序数及所对应的值满足某个二次函数.设此二次函数为y=ax+bx+c，对分母中的序数x及所对应的值y取出三对数：（1，5），（2，12），（3，21），于是有5=a+b+c12=4a+2b+c21=9a+3b+c，解之得：a=1，b=4，c=0.
所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x+4x，
第七个数的分母为：y=x+4x=7+4×7=77.
由例1和例2的解法2可知，当一数列连续两次作差后为同一常数，数列序数与对应的数满足某个二次函数的表达式，利用待定系数法，解出来的二次函数常数项都为0，是不是所有满足这种情况的二次函数的常数项都为0呢？请看例3.
例3:（2009牡丹江市）有一列数：-，，-，，…那么第7个数是?摇 ?摇.
分析与解:
解法1：易知，数列符号，单序数为负，双序数为正，分子按序数排列，关键的就是找分母的表达式.现将分母序数及所对应的数提取进行分析：
序数 分母对应数分析及梯形面积公式法表达式
分析发现，分母所对应的数两次连续作差后，为同常数2.可以预测，除符号和2外，第n个数，当写成和的形式时，第一个数是3，最后一个数是2×n-1，共有（n-1）项.
第n个数除符号外，分母为:2+×（n-1）=n+1
第n个数为:（-1）
第7个数为:（-1）=-.
解法2：（只对分母存在的规律进行研究）
由解法1知，分母所对应的数连续两次作差后，为一同常数2，所以分母中的序数及所对应的值满足某个二次函数.设这个二次函数为y=ax+bx+c，对分母中的序数x及所对应的值y取出三对数：（1，2），（2，5），（3，10），于是有2=a+b+c5=4a+2b+c10=9a+3b+c，解之得：a=1，b=0，c=1.
所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x+1，
第七个数的分母为：y=x+1=7+1=50.
由上三例可知，如果一数列存在着：连续两次作差为同一常数，它的序数与所对应的数的表达式满足某个二次函数，利用待定系数法，解出来的二次函数常数项不一定为0.
例4:如图，ABC中边BC上有n个点，每个点都与A连接，共有多少个三角形？
分析与解：用列举法进行探究.在BC上：有3个点（即B、D、C）时，有ABD、ABC、ADC共3个三角形；
有4个点（即B、D、E、C）时，有ABD、ABE、ABC、ADE、ADC、AEC共6个三角形；
有5个点（即B、D、E、F、C）时，有ABD、ABE、ABF、ABC、ADE、ADF、ADC、AEF、AEC、AFC共10个三角形；
例4题图
按同样方法列举，可知，当BC上有6个点时，共有15个三角形.
进一步分析还发现，这些三角形个数两次连续作差后，为同常数1.
即，第一次求差得：6-3=3，10-6=4，15-10=5，21-15=6，…
再次求差得：4-3=1，5-4=1，6-5=1，…
利用本文的二次函数一性质进行求解，设这个二次函数为y=ax+bx+c，对BC上的点数x及所对应的三角形个数y取出三对数：（3，3），（4，6），（5，10），于是有3=9a+3b+c6=16a+4b+c10=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.
所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x-x.
当x=n时，有y=n-n=n（n-1），
即ABC中边BC上有n个点，每个点都与A连接，共有（n-1）个三角形.
利用梯形面积公式法解决本例也很捷径，请读者自行完成.
综上所述，当一列数，只要两次连续作差后为同一常数，它的表达式除观察利用综合知识解决外，还有两种方法较为捷径：
1.它的某一项都可以写成有规律数的和的形式.当两次作差为同常数1时，和的最后一项是与1的倍数有关（如例1、例4）;当两次作差为同常数2时，和的最后一项是与2的倍数有关（如例2、例3）;……然后再求项数，代入梯形面积公式法：
M=（a+b）h
对角线的规律范文2
1.有意义接受学习在学习数学中的作用
在学习数学的时候使用有意义学习的方式，学生可以不用重新发现，而只需要在原有知识体系中寻找和新知识之间稳定的关联点，让它们之间进行融合，完成新旧资料之间的同化过程，从而实现知识的积累或者知识结构的改变。比方说，在学习“四则混合运算定理”的时候，学生只需要在已经学会单独使用这四种运算方法的前提下，记住“先进行乘除，后进行加减”的运算顺序，就可以完成这一新知识点的学习。逻辑性是数学的最大特征，相互联系的知识点构成一个完整的系统，这就让数学学习具有较大的思想性[1]。因此，大部分的数学知识需要使用有意义学习的方式来完成学习。
一般来说，有意义学习数学的过程，不但是学生通过新旧材料之间的关系学习新知识的过程，也是学生利用它们之间的联系对原有知识体系进行改造的过程。而完成这一过程的关键是对知识的“理解”。对于学生来说，这一过程是创新学习思维方式，是激发思考，是让他们保持兴奋的动力；对于教师来说，这一过程是教师遵照人类能力形成的一般原则指引学生通过努力实现能力提升的过程。
2.有意义接受学习的过程
关于新知识的学习，皮亚杰的观点是：学习不是学生对新知识的阐述，而是原有知识和新知识之间相互影响的过程。奥苏贝尔对这一观点进行了延伸，他认为学习新知识的过程就是对学生心理和新知识结构进行了解的过程[2]。
他这一观点的重心是学生对新材料的接受程度，学习的关键在于他原有的知识体系是不是和新知识之间有联系点，有意义学习的过程中材料和原有知识体系内部知识点相互影响，而这种影响不但是对新材料的影响，也包含对原有知识体系的改变。奥苏贝尔通过特别的公式来展现同化是如何发生的，他用“a”代表新材料，用“A”代表原有知识体系中的知识点，那么同化发生的过程就可以通过下面的式子展现：
同化之后，不但新材料的意义有所转变，就是原有知识点也都具备了新的意义。A转变为“A'”，a转变为“a'”。但是式子中所表现的只是同化过程的一个环节，在这一环节结束之后，马上就会有新的环节开始，也就是遗忘环节。假如在这一环节结束之后，不能很好地实现“A'+a'”状态中两个元素的分离，慢慢的“A'+a'”的综合就会被A'或A所取代，也就是说新材料在新的知识体系中被遗忘或者是取代。所以说这只是整个同化过程的一个子过程，随着这个子过程的完成，会有一个新的过程接踵而至，这就是遗忘过程。而想要减少新知识的遗忘，必须立即进行下一个同化环节，增加新材料中的可利用元素。其进程可以展现如下：
奥苏贝尔用同化这一观点来总结学习的规律，我们把这种模式归纳总结运用到教学当中去帮助学生开展有意义接受学习，在保持原有知识的前提下去拓展新知识[3]。奥苏贝尔在这方面没有得出最终结果，但是他用上面的公式来表示同化的过程，说明他还是在这方面进行了试验的，这样的试验具有不同凡响的意义。
二、有意义接受学习教学案例
1.下位学习案例（新授课：矩形）
本案例中的教学是对于矩形的新授课，学生之前已经学习了平行四边形，所以在进行矩形的新授课时，想首先在平行四边和矩形的定义之间建立联系，然后再讲授矩形的相关知识。
（1）思考
①当∠a发生改变，平行四边形的两条对角线的长度相应的怎么改变？
②当∠a是锐角时，对角线是否等长？如果∠a是钝角呢？
③当∠a是直角时，平行四边形为矩形，对角线是否等长？
答：在上述活动中
①当∠a的大小发生变化时，两条对角线也会发生相应的改变，长度较长的对角线相应变短，短的则会变长。如果∠a变成直角时，两条对角线的长度则会相等。当∠a再发生变化时，对角线的长度又会发生相应的改变。
②当∠a是锐角或钝角时，平行四边形对角线的长度不等。
③如果∠a是直角，此时的平行四边形就属于矩形，这时两条对角线是等长的。
结论：任意一条对角线都能把矩形分为两个全等的直角三角形，两条对角线将矩形分为四个等腰三角形。所以，关于很多矩形问题的解决可以通过直角三角形或者是等腰三角形来解决。
矩形的性质：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线等长且平分。
（2）巩固练习
下图中，矩形abcd，ad、cb交于点e，∠aeb=60°，ac=4cm.
①aec是什么形状？
②求对角线的长。
分析：①矩形的性质中就有对角线相等并平分，所以ae=ec，在aec中，因为∠aec=60°，而且两边ea=ec，所以aec是等边三角形。
②可直接运用矩形的性质来求对角线的长度。
解：①在矩形abdc中，
ad和cb是矩形abdc的对角线，ad与bc等长且平分
ea=ec，所以aec为等腰三角形。
又∠aec=60°
aec是等边三角形。
②aec是等边三角形，
ea=ac=4cm，矩形的对角线不但相等而且平分，可以得出ad=cb=2ea=8cm
对角线长度为8cm。
想一想：当平行四边形的对角线相等时，这样的平行四边形是什么四边形？怎么证明？和同学相互交流。
答：对角线等长的平行四边形是矩形。
证明：图中的平行四边形abdc中，ac=bd，cb=ad，cd=ab
abc=bdc（SSS）
∠acd=∠bdc
又ac//bd
∠acd+∠bdc=2∠acd=180°，即∠acd=90°
平行四边形abdc是矩形
对角线等长的平行四边形是矩形
由以上叙述我们可以总结出判读矩形的两个条件：
①内角为直角的平行四边形是矩形
②对角线等长的平行四边形是矩形
（3）归纳总结
①矩形的性质
所有内角都是直角；对角线不但相等而且平分；对边平行而且相等；轴对称图形。
②矩形的判别条件
矩形的判别可以分为两个步骤来进行，首先是看待定四边形是不是平行四边形，然后就要找出平行四边形中是否有直角。
（4）评析
平行四边形是一种比较特殊的四边形，而矩形在平行四边形中也是属于比较特别的一种，矩形就是平行四边形的一个下位概念。因为矩形是通过对平行四边形的条件加以限定而得出的，说明了相较于矩形，平行四边形具有更强的包摄性。通过矩形的学习，不但巩固了平行四边形的关键属性，还对平行四边形的关键属性进行了扩充。
对教材进行相应的分析可以得出，本节学习的课程符合有意义接受学习的条件，本节课程体现了奥苏贝尔学习理论中的“下位学习”。新的关于矩形的知识和已掌握的关于平行四边形的知识形成了下位关系，新的概念被同化以后并没有使上位概念发生本质的改变，但是上位概念具备了更强的概括性、包容性以及可迁移性。可以利用这一关系对平行四边形进行加工，找出平行四边形和矩形二者之间的关系：对角线相等的平行四边形就是矩形；平行四边形中有一个内角是直角的就是矩形等。矩形的知识就会被同化到平行四边形的知识结构中，而平行四边形的原有知识结构也会得到补充，就建立起了新的平行四边形的知识结构[5]。
2.上位学习案例（新授课：二元一次不等式）
（1）出示情景
呈现不等式题目并求解：y2-y-2
方案一，转换为不等式组，师生共解。如下：
根据原不等式等价于（y-2）（y+1）
y-20或者y-2>0y+1
所以解不等式组即原不等式的解集为：
{y|-1
方案二，应用变式，师导生解。如下：
根据原不等式等价于：
y2-y+■-■-2
教师在此处需要留足时间，便于学生认真思索上式的变式如何呈现。
思考后得出：|（y-■）|
（2）提出问题
①教师提出问题：假如不动笔解不等式，你有没有办法写出不等式y2-y-2
②教师“搭桥”：请你思考原式的补集并思考跟不等式的解集有什么联系？
③教师继续引导：仔细观察不等式y2-y-20及方程y2-y-2=0，认真思考，你有什么新发现？或者是你有哪些疑惑呢？
④学生汇报交流。
发现1：通过计算得知方程y2-y-2=0的根是-1和2；观察不等式会发现，他们的解集分别与-1和2有关，数轴直观的显示出y2-y-20的解集集中在两根之间的区间。发现2：根据上面的规律，我们可以先求出方程的根，再求不等式的解。
（3）归纳提升
①先求出一元二次方程的根y1，y2（y1
②教师表扬学生表述的非常清楚。新的情况是，附加说明a
（4）拓展练习
①2y2-3y-2>0 ②-5x2-4x>2
③-x2+2x+3
（5）评析
从本节课的片段中不难发现，这是一节典型的“上位学习”方式的具体运用，符合有意义接受学习的基本条件。本节课中学生的原有知识与新授知识（一元二次不等式的解法）之间构成了典型的上位关系。（见图3）
上位关系示意图清晰地显示出新知识与原有五个知识点之间的联系，新知识既是对原有知识的归纳概括，又能将原有知识加以整合运用。例如，解集是要用集合来呈现，求解过程通常需要化归后解决，数形结合的直观理解等，可见，新知识与原有知识相比，其包容性与概括性更强[5]。
化归思想、迁移思想以及数形结合思想的渗透与应用贯穿整个过程，师生的数学探究包含了教师的有效引导和学生的主动探究、积极思索、合理总结，整个案例呈现出了高效地运用上位学习的方式完成有意义接受学习的过程。
参考文献
[1] 王艳青，代钦.高中数学解题教学中的分类讨论策略.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2011（12）.
[2] 刘丽娟.奥苏贝尔有意义学习理论及对当今教学的启示.南方论刊，2009（5）.
[3] 蒋学聪.提高数学教师有效备课质量之研究.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2013（6）.
对角线的规律范文3
一、明了变式教学理论
无论应用怎样的教学方法，教师都需要先了解其理论基础。数学变式教学同样具备其独有的理论基础。尤其是对数学知识这种抽象性很强的知识，更需要学生做好充分的准备和积极的探究。初中阶段，学生的思维能力正在发展，对于学生理解能力的培养是非常重要的。数学中有很多概念和符号都比较抽象，学生在理解时会出现很大难度，难以快速形成系统的知识框架。目前，很多初中数学教师在课堂教学中，应用文字讲解加符号教学的方式进行教学，这对学生知识理解的帮助作用是微乎其微的，学生在难以理解知识的情况下，智力成长也会受到阻碍，从而导致学习效率无法提高，初中数学教学失去意义。例如：学习极限知识时，教师引入了一个例子：比较1与0.999哪个大？有的学生认为1大，根据极限理论，即使无限增大，也不可能超过1；也有一些学生认为0.999大，因为0.333接近三分之一个，如果在此基础上扩大三倍，那么结果显而易见。在初中数学变式教学中，其教学活动是围绕着培养学生理解能力这一主题展开的，通过教学知识的理论与应用，将传统的理论教学变成应用教学。
二、发挥变式教学的作用
在明确变式教学的理论基础后，还需要在实际的教学过程中进行应用，充分发挥其作用。在变式教学中需要用到非常多的例题，看起来与题海战术有相似之处，但两者的本质是完全不同的，变式教学引用例题，不是为了让学生见到更多题型，按套路解题，而是在教学抽象理论知识的时候，通过灵活多变的题目，将枯燥乏味的理论知识演绎出来，让学生运算规律操作得到充分的锻炼。在初中数学中应用变式教学，可以有以下三个作用。
其一，数学理论知识的变式教学的重点，变式教学能够很好地促进数学理论知识教学。在初中数学变式教学中，对于数学抽象理论知识的教学，无论是定理、概念、性质还是公式，都可以与其应用教学结合起来，首先从比较具有特殊性的问题入手，将抽象的理论知识具象化，让学生对知识有初步的了解，然后在逐渐发展到一般性的问题当中，对理论知识进行普适性讲解，从而易化学生对知识的理解，帮助学生快速掌握。
其二，数学变式教学有助于学生思维能力的提高。初中数学变式教学的实质是对理论知识的教学，在教学的过程中，学生的思维理解力一直在提升，对知识的深入探究，也能锻炼学生的思维深度。在变式教学中，通过反例的列举，能够从另一个角度，将知识的本质更清晰地反映出来，同时，学生在学习的过程中，将反例与原问题对比分析，能够提高学生的思维批判性，增强学生的判断能力；数学变式教学中，一题多解、一法多用以及一题多变等模式，能够将各类问题的多个角度展现在学生面前，学生在学习的过程中，能够有效提升自身的思维全面性和敏捷性。
其三，变式教学可以培养学生的辩证思维能力和逻辑推导能力。例如：在教学有关多边形的对角线的知识时，如果教师直接说出其公式，学生并不能很快的理解，对此，教师可以应用变式教学，举出这样的例子：从多边形的一个顶点，作对角线（如图所示），问题一，四边形从一个顶点出发，可以作1条对角线、五边形可以作2条、六边形可以作3条、那么七边形可以作几条对角线？n边形呢？问题二，上面做出的对角线把四边形划分为两个三角形、把五边形划分为3个三角形、六边形4个，问，把n边形划分为几个三角形？问题三，根据以上规律，探究多边形内所有对角线的条数，问，n边形有几条对角线？
对于第一问的解题，我们可以通过观察发现，其实从一点出发作对角线，就是与除了相邻点之外的所有点连接，所以七边形有4条，n边形有n-3条。对于第二问，同样的道理，可以推知n边形可以分成n-2个三角形。对于第三问，每个点出发可以作n-3条对角线，共n个点，相同两点作的对角线有重复，故n边形一共有n（n-3）/2条对角线。学生通过一步步的解题，就能够提高自身的探究能力和逻辑思维能力。
对角线的规律范文4
【关键词】数学教学发散型习题发散思维
初中生的思维定势是一种普遍的心理现象。在学生的学习中,既有积极的作用,也有消极的作用。积极的作用表现在:学生按常规的思维模式去学习和发散思维能力的发展。初中数学这门学科对学生的发散思维要求比较高,培养学生的发散性思维是数学教师努力的方向。对学生加强思维发散型习题的解题指导和练习训练,是培养学生发散思维有效途径之一。下面我结合实例谈谈个人的做法与体会。
案例一:菱形有哪些性质?如何判断一个四边形是菱形?
菱形是一种特殊的平行四边形,除具有平行四边形所有的性质外,还具有以下性质三个性质:(1)四条边都相等;(2)对角线互相垂直;(3)没一条对角线平分一组对角。
判断一个四边形是菱形的方法:
(1)四条边都相等
(2)对角线互相垂直的平行四边形
(3)有一条对角线平分一个内角的平行四边形
发散型习题1:在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,从(1)AB=CD;(2)AB∥CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)ACBD;(6)AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形,如(1)(2)(5)推出四边形ABCD是菱形。再写出符合要求的两个:___________推出四边形ABCD是菱形;____________推出四边形ABCD是菱形;
分析首先依据题意画出图形如下,
再联想平行四边形及菱形的判定方法,
由“对角线互相垂直的平行四边形”是菱形可得(3)(4)(5);由“有一条对角线平分一个内角的平行四边形”是菱形可得(1)(2)(6)或(3)(4)(6)。
答案:(3)(4)(5)(1)(2(6)
变式演练1如图所示,菱形ABCD的周长为40cm,∠BAD=120°,对角线AC的长为()
A. 5cmB.5(根号下3)cmC.10cmD. 103cm
发散型习题2:已知ABCD,试用两种方法将平行四边形ABCD分成面积相等的四个部分。
分析:平行四边形是中心对称图形,过对称中心的每一条直线可将平行四边形ABCD分成面积相等的两个部分。由于平行四边形对边平行,而两条平行的距离相等,可利用等底等高的三角形面积相等这一条件。
解方法一:连接AC、BD。如下图所示。
方法二:过对称中心分别作平行于AB、CD的平行线EF、MN即可。如下图所示。
方法三:过AD、BC的中点作直线EF,连接BE、DF即可。如下图所示。
案例二:等腰梯形的性质和判定
等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两角相等,对角线相等。
等腰梯形的判定方法:
发散型习题1如下图所示在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,梯形的周长为20cm,试求梯形的面积。
分析:由等腰梯形的性质,可知∠A=∠ABC=60°,由BD平分∠ABC,可得∠2=∠3=30°,则∠ADB=90°,因此有BC=DA=1/2AB,可求出上下底的长及梯形的高。
解在等腰梯形ABCD中,∠A=∠ABC=60°。
BD平分∠ABC,∠2=∠3=30°
∠ADB=180°―(∠A +∠3)=180°―(60°+30°)=90°,
AB=2AD。
AB∥CD,∠1=∠3,进而∠1=∠2。
CD=BC=AD。
AD+CD+BC+AB=20
CD=4,AB=8,AD=4。
作DEAB,垂足为E,则∠ADE=30°
AE=1/2BD=2,
DE=
S梯形ABCD=(CD + AB)•DE =
发散型习题2如下图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,点E是BC边的中点,求证:AE=DE。
分析要证AE=DE,可证ABE≌DCE,联想等腰梯形的判定定理和性质定理。
证明在在梯形ABCD中,
∠B=∠C,
梯形ABCD是等腰梯形。
AB=DC。
点E是BC边的中点,
BE=CE
ABE≌DCE,AE=DE。
发散型习题3(本题由学生自主完成,教师检查、点拨):在数学活动课上,要求同学们做下面的“循环分割”操作,然后再探索规律:如下图是一等腰梯形纸片,其腰长与上底长相等,且底角分别为60°和120°,按要求开始操作(每次分割,纸片不得有剩余)。
第1次分割,先将原等腰梯形纸片分割成3个全等的正三角形,然后将出的一个正三角形分割成3个全等的等腰梯形。
第2次分割,先将上次分割出的3个等腰梯形中的一个分割成3个全等的正三角形,然后将刚分割出的一个正三角形分割成3个全等的等腰梯形;以后按第二次分割的方法进行下去……
(1)请你在下图中画出第一次分割的方案图
(2)若原等腰梯形的面积为a,请你通过操作、观察将第2次、第3次分割后所得的最小的等腰梯形面积分别填入下表:
对角线的规律范文5
一、自主学习
为了提高学生学习的主观能动性，我们采用“课前自主学习”的教学模式，也就是在教师的指导下，学生课前先学，家庭作业就是完成预习作业课前自学既要阅读课本，也要做课本上练习而阅读课本，则是充分利用数学知识的逻辑性，不断在课文的适当地方进行分析，做出预测、猜想，得出相应的结论，从而获得知识因此，阅读课本要尽量采用主动式阅读
当然，阅读能力只是自学能力的一部分，而阅读能力本身也是一项综合能力，我们希望由此增强学生的主体意识，自觉并有主见地学习，树立自主学习观，有意识地培养、锻炼自己，并且在这个过程中实现自我控制，不断增强自主学习的能力、分析解决问题的能力
[BP（]如“有理数的乘方”一节，教材安排了三个有代表性的实例：
1某种细胞每30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个分裂成多少个？
2一张厚度为01 mm的纸，将它对折1次后，厚度为2×01 mm，对折2次后，厚度为多少mm？对折20次后厚度为多少mm？
3题“棋盘上的学问”
这些问题都蕴藏着一个奇妙的数学规律，课前教师可以取其中的一个实例，如第二个问题，让学生猜一猜到底有多厚，然后再找一找其中的变化规律，最后再算一算，使学生产生好奇心，求知欲，促使学生去自学、去思考、从中培养学生自主学习的习惯[BP）]
二、探索学习
学生只有通过主动探索、实践、参与才能促进个性发展教师应加强培养学生的求异思维，这样才能发展学生的探索精神和创新能力
在教学中教师要引领学生学会从不同角度进行思考，要鼓励学生多方位、多角度地去探索，追寻与众不同的答案
例[HTK]平行四边形ABCD，E，F在对角线BD上，且BE=DF（如图1），求证：AE=CF
变式1[HTK]如果E，F在对角线BD的外部，如图2，且BE=DF，求证：AE=CF
[TP7CS17TIF，BP#]
变式2[HTK]已知：平形四边形ABCD，E，F为对角线BD上两点，如图3，且BE=DF，求证：AE=CF
变式3[HTK]已知：平行四边形ABCD，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F，如图4，求证：AE=CF
[TP7CS18TIF，BP#]
几种变式的证明方法都是相同的，通过此题的变化培养了学生的发散思维
如在实施平行四边形教学时，没有按课本的顺序，从矩形、菱形到正方形，每个图形分别按概念、性质、判定来组织教学，而是根据学生实际情况，从平行四边形到矩形、菱形、正方形的关系出发，让学生自己动手做平行四边形教具，通过动手实践看看平行四边形是如何变成矩形、菱形和正方形的，试着自己给矩形、菱形、正方形下定义，然后教师给予修正，接着在得到正确的矩形、菱形和正方形概念后，可以让学生自己探索各个图形的性质，而矩形、菱形和正方形的性质很容易从图形中观察、猜想得到另外，学生已学过平行四边形的概念及性质，可以用“类比”的思想方法，分别从边、角、对角线去猜想矩形、菱形和正方形的性质，让学生得出尽可能多的性质，必要时教师给予提示（如对菱形的每一条对角线平分一组对角这条性质，学生不容易想出），最后让学生对这些性质进行整理，给出证明，在证明过程中，教师适时给予指导，同时在此基础上，让学生能独立完成一些作业这样的学习，学生学到的不仅是知识和技能，而是获得数学思想和方法
为了培养和发展学生的能力、特别是创新能力，学生进行探究式的学习是必要的，也是可能的但是，以为学生自主探索就不需要教师的引导，知识是学生自己构建，而放弃帮助学生的观点和做法，都是不适合的其次，在学习过程中，不是所有数学知识都可以依靠学生自主式探究活动而获得，有些知识应该讲授探索学习是否有效，关键在于教师对学生数学学习的指导与学生自主探究式学习之间的平衡与调控
三、合作学习
学生在学习过程中不可避免地遇到这样或那样的问题，独立钻研的精神固然可贵，但积极合作、相互探讨也是必不可少的一种方法未来的社会，对交流能力的要求已提高到了一个新的高度，学会交流是未来成为“社会人”的重要标志促进学生学会交流与合作，教师应让学生认识到交流与合作的重要性，让学生体会到在现代生活和科学研究中，交流与合作是必不可少的
在教学中，教师可以引导学生以“组内异质，组间同质”为原则，建立学习小组，一般4到6人为一组课堂或课下给学生充分讨论的时间和空间，让学生在讨论中达到相互取长补短、友爱互助的目的同时，学生之间针对出现的问题展开讨论，甚至辩论，相互交流想法，无形中也培养了学生的语言表达能力教师要鼓励学生在讨论过程中不断地说出自己的认识和想法
例如，在学习等腰梯形性质时，让学生观察图形，寻找梯形中边、角和对角线的性质同学们按小组进行讨论，从而能得出答案，然后，对同一底上的两个角相等和对角线相等进行证明大家互相讨论寻找添辅助线的方法，教师倾听学生的方法并适时给予肯定或指导通过此课教学可以培养学生的发散思维
[TP7CS19TIF，Y#]
过程如下：
边的性质：AB=CD，AD∥BC
角的性质：∠A=∠D，∠B=∠C，
∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°
对角线的性质：AC=BD
对角线的规律范文6
本节课的教学目标为：利用实验归纳法，得出互成角度的两个力的合成遵循平行四边形定则，并能初步运用平行四边形定则求合力，培养动手操作能力、物理思维能力和科学态度。同时，通过探索性实验归纳出互成角度的两个力的合成遵循平行四边形定则是本节课的重点和难点。
实验所需器材分为两部分：其中教师用器材：平行四边形定则实验器、钩码（12个）、细线若干、弹簧秤（3只）、橡皮筋（3条）、方木板（1块）、平行四边形定则演示器（2个）、投影（1套）、微机（1套）、三角板（2个）。学生用器材30套，每套包括：方木板（1块）、弹簧秤（2个）、橡皮筋（1条）、8开白纸（1张）、50cm细线（1根）、图钉（1个）、有刻度的三角板（2个）、记号笔（1支）、大铁夹（1个）。
根据本节课“验证性”和“探索性”的教学指导思想，设计如下教学环节：
一、联系实际引入新课教学
依据“一个力产生的效果，与两个力共同作用产生的效果相同，这个力就叫做那两个力的合力，求两个力的合力叫做二力的合成”这一学生已有知识经验，提出问题：“已知同一直线上的两个力F1、F2的大小分别为2N、3N，如果F1、F2的方向相同，那以它们的合力大小是多少？合力沿什么方向？”引导学生得出答案：“5N，方向与F1、F2的方向相同。”
进一步提问：“如果F1、F2的方向相反，那么它们的合力大小是多少？合力沿什么方向？”引导学生得出答案：“1N，方向与较大的那个力的方向相同。”
在此基础上，板书“在以上同一直线上两个力的合力，与两个力的大小、方向两个因素有关”，并讲述这就是初中所学的“同一直线上二力的合成”。
利用实验器材演示此现象。将橡皮筋一端固定在M点，用互成角度的两个力F1、F2共同作用，将橡皮筋的另一端拉到O点；如果我们只用一个力，也可以将橡皮筋的另一端拉到O点。如图1、图2所示。
一个力F产生的效果，与两个力F1、F2共同作用产生的效果相同，这个力F就叫做那两个力F1、F2的合力，而那两个力F1、F2就叫这个力F的分力。求F1、F2两个力的合力F的过程，就叫做二力的合成。如图3所示。与初中的二力合成不同的是，F1、F2不在同一直线上，而是互成角度。由此引出本节课教学。
二、“探究性”实验教学方式的新课教学过程
提出问题：“互成角度的两个力的合力与分力的大小、方向是否有关？如果有关，又有什么样的关系？”
我们通过实验来研究这个问题。首先应该确定两个分力的大小、方向，再确定合力的大小、方向，然后才能研究合力与两个分力的大小、方向的关系。那么怎样确定两个分力F1、F2的大小、方向呢？
启发学生回答：用弹簧秤测量分力的大小，分力的方向分别沿细绳方向，即沿所标明的虚线方向。
边演示边讲解两名学生如何分工合作：一名同学用两只弹簧秤分别钩挂细绳套，同时用力互成角度地沿规定的方向拉橡皮筋，使橡皮筋的另一端伸长到O点；另一名同学用记号笔分别在相应位置记下两个弹簧秤的读数。这就是分力的大小。注意：拉动橡皮筋时，要使两只弹簧秤与木板平面平行。
现在，请同学们观察M点有没有固定橡皮筋，规定的方向是不是明确，记录用的油笔有没有？用铁夹子将木板固定在桌上。都准备好之后，左边同学拉橡皮筋，右边同学读数并记录数据，测量两个分力的大小，测量完之后给出实验结果。
指导学生进行分组实验，并提出问题：“怎样确定合力F的大小、方向呢？”
引导学生得出答案：“用一只弹簧秤通过细绳套也把橡皮筋拉到位置O，弹簧秤的读数就是合力的大小，细绳的方向就是合力的方向。”
确定合力的大小和方向：一位同学用一只弹簧秤通过细绳套也把橡皮筋拉到位置O，另一位同学用记号笔记下细绳的方向，并在相应位置记下弹簧秤的读数。这就是合力的方向、大小。注意前后两次实验O点应该重合。
最后，请右边同学拉橡皮筋，左边同学读数并记录数据，确定合力的大小和方向。
到此为止，我们已经确定了两个分力以及它们的合力的大小、方向。为了弄清楚两个力的合力与分力的大小、方向的关系，我们可以用力的图示法形象地将分力和合力的大小、方向表示出来。
指导学生进行实验数据处理十分重要。用力的图示法分别表示分力及合力：选择适当的标准长度（3cm长的线段表示1N力），利用三角板，从O点开始，用力的图示法分别表示两个分力及合力的大小、方向。注意标准长度要一致。如图4所示，有向线段OA、OB、OC分别表示两个分力及合力。
现在，让学生用力的图示法将自己测量的分力和合力分别表示出来，同时提出问题：“分力的大小分别等于多少？合力的大小等于多少？”
进一步提问：由此看来，互成角度的两个力的合成，不能简单地利用代数方法相加减。那么合力与分力的大小、方向究竟有什么关系呢？
让学生仔细看看，O、A、C、B的位置关系有什么特点？
停顿20秒，引导学生猜出：O、A、C、B好像是一个平行四边形的四个顶点。OC好像是这个平行四边形的对角线。
教师解说：OC好像是这个平行四边形的对角线，这毕竟是一种猜测，究竟OC是不是这个平行四边形的对角线呢？我们可以以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，看平行四边形的对角线与OC是否重合。
用两个三角板，以表示两个分力的有向线段OA、OB为邻边，用虚线作平行四边形OACB。
现在请学生以自己所得的OA、OB为邻边，作平行四边形，并连接OA、OB之间的对角线。
学生操作，教师指导，选出典型，投影讲评。比较平行四边形的对角线和合力，发现对角线与合力很接近。
四组学生所得结果都是结论，教师所得实验结果也是结论，那么结论是不是普遍的呢？经过前人们很多次的、精细的实验，最后确认，对角线的长度、方向，跟合力的大小、方向一致，即对角线与合力重合，也就是说，对角线就表示F1、F2的合力。可见求互成角度的两个力的合力，不是简单地将两个力相加减，而是（可以）用表示两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。这就是平行四边形定则。如图5所示。
提出问题：“有没有同学实验结果是对角线与合力相距比较远？”
告诉学生，有这种情况很正常，一个规律的得出，是由很多人在很长时间里，进行了许多次实验，才能总结出来，并要经得起实践检验。因此，一个规律，并不是通过一次实验就能得到的。如果有同学实验结果是对角线与合力相距比较远，不要着急，课下我们一起来看看问题出在哪里。
三、引导学生做出本节课的小结
1.互成角度的两个力的合成，不是简单地利用代数方法相加减，而是遵循平行四边形定则。即合力F的大小不仅取决于两个分力F1、F2的大小，而且取决于两个分力的夹角。