前言：中文期刊网精心挑选了高中数学导数的概念及意义范文供你参考和学习，希望我们的参考范文能激发你的文章创作灵感，欢迎阅读。
高中数学导数的概念及意义范文1
当前，《高等数学》作为高职院校的一门公共基础课，存在着内容多、学时少的矛盾。微分学和积分学在现有的高职数学教材中占了大量的篇幅。随着新一轮的高中数学改革，《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称为《标准》）把微分中的导数及导数的应用、积分学中的定积分作为高中学生必须掌握的知识点，也是高考的一个重要考点，所以学生对这部分知识的掌握也相对提高了。然而笔者认为高职数学的教学内容仍然涵盖此内容，并没有任何升华，这就导致传统的内容体系很难满足现在学生发展的需求。因此，高职数学教材的内容体系应逐步更新，即简化微分学和积分学的知识，增加线性代数、概率论和数理统计的知识，以达到高职高专教育的“实用为主、够用为度”的要求，从而体现高职数学的服务功能。
一、高中数学新课标与旧课标内容对比
《标准》将《导数及其应用》这部分内容安排在选修系列1-1的第三章和选修系列2-2的第一章中。虽然是选修内容，但对绝大部分高中学生来说，它依然是必需掌握的知识。选修系列2-2增加了微积分基本定理与定积分的内容，对运算的要求也略有提高。
《标准》对《导数及其应用》的处理与原《大纲》相比，有以下几点变化：1、突出导数概念的本质，原《大纲》把导数作为一种特殊的极限来讲，过于形式化及抽象的概念使学生学习起来比较困难。而《标准》则非常强调对其本质的认识，提高了对导数几何意义以及用导数处理实际问题的要求。教材让学生从随处可见的平均变化率开始，巧妙地通过瞬时变化率引入导数的概念。这样引入能让学生更深刻地理解变量数学的本质，有助于学生对函数这一核心概念的深入理解。2、突出了导数在实际问题中的应用，从导数概念的引入到导数的应用，教材都列举了大量的实例。这些实例恰好是体现导数价值的最好素材，这主要体现在以下几方面：1、用导数求匀变速运动的瞬时速度；2、用导数处理切线问题；3、用导数研究函数，包括用导数研究函数的单调性、极值和最值，方法较以前的简便且具有一般性；4、用导数处理生活中的优化问题等。
二、高职数学教材的现状
现行的高职数学教材从内容展开的层次看，还是按照以前《大纲》的安排：第一章 函数、极限与连续；第二章 导数与微分；第三章 导数的应用；第四章 不定积分；第五章 定积分及其应用；第六章 常微分方程；第七章 向量代数与空间解析几何；第八章 多元函数微分学；第九章 多元函数积分学；第十章 无穷级数。现行高职数学教材中函数、导数的概念和导数的应用、定积分、数理统计等内容在高中《标准》选修系列2-2，选修系列2-3中占有很大的比重，并规定一学期来学习这部分知识，也是高考的必考内容。
高职院校在数学教学课时安排方面，无论是文科学的《经济数学》和理科学的《高等数学》都是把“一元函数微积分”作为所有专业的必修模块，高职院校在第一学期大部分专业开设高职数学，课时定为60学时。第一册内容包括：函数、极限与连续；导数概念及导数的应用；积分学及其应用。教学计划安排16课时讲解函数、极限与连续，24课时讲解积分学及其应用，20课时讲解积分学及其应用。这就重复学习了高中《标准》选修系列2-2，选修系列2-3中的数学知识。第二册的内容包括：多元函数微积分；无穷级数；微分方程；矩阵及其应用。第二学期只有少数专业开设数学课，因此现行高职数学教材内容导致学生浪费大量的时间重复学习高中已经掌握的知识。
三、高职数学教材体系重构的必要性
现行高职数学教材除了导数和定积分概念按惯例简单介绍了产生背景外，基本是沿用传统“定义、定理及证明例题”的固定模式，微积分只在部分章节后介绍一点数学概念的经济意义，片面强调数学技巧，学生无法创造性运用已有的数学知识去解决实际问题。而学生真正需要的与专业知识相联系的数学知识却涉及很少。两者没有达到有机整合，使学生觉得学习数学课程和专业课程无关联，无法激发学生学习数学的激情和兴趣。
高职教育改革的目的是要缓和学校人才培养模式与社会需求之间的差异和矛盾,更确切地讲,是要让高职院校学生能够掌握必需的理论知识与实践技能。就高职数学教育来看,重构数学教材体系的必要性与重要性在于:现行的教材内容的分布不合理，函数、导数概念及导数的应用在高中《标准》中作了详细的介绍也是高考的考点，不定积分的概念在《标准》中也作了介绍，所以学生对这部分知识掌握得比较好。现在高职数学教材中的微分部分又重复的讲解着部分知识。每个学校也安排了大量的课时来学习这部分知识。
四、高职数学教材体系重构的设想
基于上述保持数学的系统性理念及高职数学应该与专业相联系的基本原则，通过大量调研与实际经验的基础上，笔者认为高职数学教材体系重构可以从以下几个方面着手。
(一)“随风而动”保持数学的系统性为突出和体现数学的应用性，将新的高职教育数学课程体系确定为“应用数学”课程体系。整合后的课程内容包含：微积分、线性代数、概率论等。
1、微积分部分：由于高中《标准》对学生掌握微分和定积分知识的要求有所提高，高职数学教材应适当减少这部分内容，不要让学生浪费一学期的时间重复高中学习过的内容。因为，学生在高中的学习过程中都已经掌握微积分的基础理论和常用的计算方法。教材在这部分内容上应从数学方法解决几何、经济等实际问题的能力训练出发，通过微积分部分的学习，逐步培养学生的抽象概括能力、运算能力和综合分析问题、解决问题的能力，从而提高学生学习数学的兴趣。
2、线性代数部分：行列式、矩阵、方程组是线性规划、企业管理等学科的重要基础和工具。此部分的重点是计算方法、计算方法的应用。突出实际案例的选择和编排，达到使线性运算直接用于企业管理之中的目的，让数学和专业知识密切相关。
3、概率论与数理统计部分：概率论从数量上研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础。数理统计研究处理随机性数据，它以概率论为基础，建立有效的计算方法，进行统计推断。目前，概率论与数理统计的理论与方法在经济、金融与管理各个领域也有广泛应用。同时，概率论与数理统计的理论与方法又向各个基础学科，产生了一些边缘性的应用学科，是经管类各专业的一门重要的基础课和工具课。此部分重点是介绍数据统计方法，建立有效的统计方法，进行统计推断及假设检验，突出概率计算在统计方法中的应用，使学生掌握概率论和数理统计的基本方法，并具备应用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
(二)改变模块顺序,增强数学的应用性与传统的经济数学相比，整合后的内容在知识结构顺序上发生变化。由于学生在高中的学习中已经熟练掌握了微积分和定积分的部分知识，所以在高职数学的教材中就应该减少计算性的例题，增加与专业有关的例题。介绍积分的计算既可以传授知识又可以满足学生的求知欲，达到节省学时提高效率之目的。最后介绍积分的应用，让学生把学到的知识用于实际问题之中。
(三)在各模块内容中做好教学重难点的转化教学内容和教学顺序的改变使得教学重难点也应随之改变。重新整合后的教学内容在以下几个方面实现了突破：一是极限理论处理办法是用复习方式一带而过。二是中值定理的处理，中值定理是导数应用的理论依据，但中值定理的结论抽象，其定理证明更是难点。教学时可以用简单的几何解释，使学生直观地理解定理及其意义。三是定积分的运算及定积分的应用采取复习的方式，教材例题增加与专业相关的题型，从而提高学生应用数学知识解决与专业相关问题的能力。四是矩阵的乘法，矩阵的乘法历来是学生学习的重点和难点，复杂的运算，让学生感到困难、无用。在此选取了有代表性的某公司年度预算报表中的实际案例，不仅使复杂的矩阵乘法运算得以轻松的解决，也使学生享受到数学概念在实际工作中应用的乐趣。
五、小结
高职数学作为一门公共基础课，在数学教学中突出应用不但是高职教育的目标要求，而且符合数学教学改革的趋势，因此，在高中数学教学不断改革的今天，高职教师必须对高职数学内容做全面的审视和反思，从高职数学课程设置、教材内容的改革等方面来寻求一种既能满足高职教育的需求，又能有效提高学生学习质量的有效途径。以最大化地体现“实用为主，够用为度”的原则。
参考文献：
[1] 人教版高中数学教材选修2-1[M] 人民教育出版社.2011.
[2] 人教版高中数学教材选修2-2[M] 人民教育出版社.2011.
[3] 胡龙.高等数学(上册)[M].高等教育出版社.2006.
高中数学导数的概念及意义范文2
关键词: 中学数学核心概念 导数 “变化率与导数”教学
导数的概念是中学数学核心概念之一,是联系中学数学与高等数学的桥梁,是进一步学习数学和其他自然学科的基础,是研究现代科学技术必不可少的工具。本文就《普通高中课程标准实验教科书・数学・选修2―2》中第一章第一节“变化率与导数”教学进行了简要的分析和探讨。
1.概括实验教材内容
选修2―2(人教A版教材)第一章导数及其应用的第一节的内容有以下几点。
1.1变化率与导数
1.1.1变化率问题
问题1:气球膨胀率;问题2:高台跳水;函数的平均变化率及其几何意义。
1.1.2导数的概念
高台跳水中瞬时速度问题(从平均速度到瞬时速度,通过数值计算来逼近);瞬时速度的物理学说法;极限的描述性说法及记号;函数在某一点的导数的概念(瞬时变化率)及记号。如例1:油温的瞬时变化率(求函数在某一点的导数,通过解析式计算来得出)。
1.1.3导数的几何意义
曲线的切线(从割线到切线,通过直观观察得到);导数的几何意义(切线的斜率)。如例2:高台跳水不同时刻的瞬时速度比较(从切线来观察);例3:人体血管药物浓度的瞬时变化率(从切线利用网格来估算);导函数的概念(简称导数)。
看得出,教材遵循了《课标》的要求,还在导数的几何意义部分渗透了“以直代曲”的逼近思想。其中,教材为我们呈现了“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”的三种方式:①数值逼近;②解析式抽象;③几何直观感受。正是这三种不同的方式,强化了导数的思想和内涵,是导数概念学习的核心。我认为这是教材最成功的地方。
1.1.3.1数值逼近
对于给定的函数f(x)和点x,在x附近取x(i=1,2,3,…),使|x-x|
1.1.3.2解析式抽象
对于给定的函数f(x)和点x,形式化地取自变量的增量Δx=x-x,计算函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x),计算平均变化率(或直接计算=),对解析式=g(Δx)进行抽象观察:当Δx0时,g(Δx)?(多数情况等同于取Δx≈0来进行求值g(0)≈?)
1.1.3.3几何直观感受
给定函数y=f(x)的图像和图像上的定点P,在点P的附近形式化地取函数图像上的动点P,观察:当点P越来越靠近点P时,直线PP的位置变化趋势。定义曲线(函数的图像)的割线与切线。
2.《普通高中数学课程标准》要求
2.1导数概念及其几何意义
2.1.1通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵(参见例2、例3)。
2.1.2通过函数图像直观地理解导数的几何意义
从表面来看,这一段文字似乎已将高中学生如何学习导数概念说得很全面了,不仅阐述了“学什么”,而且规定了“怎么学”。但仔细想想却有些迷惑:导数的思想及其内涵是什么?
从课标所给的例2(企业治污效果:平均变化率的比较)、例3(高台跳水瞬时速度:从平均变化率到瞬时变化率)来看,这两个例子并不是回答“什么是导数的思想及其内涵”的。从上下文联系来看,既然“瞬时变化率就是导数”,那么导数问题就是瞬时变化率的问题。但是,瞬时变化率的思想及其内涵又是什么呢?
其实,我们不用去猜这个谜语。既然“导数就是瞬时变化率”,那就追问:瞬时变化率是什么?我们还可以追问:“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”是怎样的?这样追问下去,谜底自然是:瞬时变化率是平均变化率的极限。我们可以这么说:函数的变化率和极限的思想及其内涵就是导数的思想及其内涵,而由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程。
3.纠正教学认识上的偏见
偏见之一:跳过极限学导数。
一个简单问题:中学数学中有极限吗?由于课标中强调不讲极限(数列极限与函数极限)概念,特别是不讲极限的严格定义(ε-N),或者说新课标将这些内容删去了,所以就有人认为:中学数学现在不学极限了,不学极限,直接学导数了。但仔细阅读教材后可以发现,实际上并不是“不学极限学导数”。教材尽管是“不讲极限概念”,但那只是“不讲极限的严格定义(ε-N)”,而类似于“无限趋向于”这样的极限描述性语言还是在使用的。就导数概念的学习,拿“本质”这个流行的词来说,“数值逼近”的本质是数列极限,“解析式抽象”的本质是函数极限,“几何直观感受”的本质是图形的“无限逼近”,显然也是极限。因此不但没有跳过极限学导数,相反正因为没有专门学极限,所以在导数概念教学中需要让学生重点体验“极限的过程和思想”。
偏见之二:照搬教材设计教学。
在“1.1变化率与导数”中,教科书给出了“1.1.1变化率问题”、“1.1.2导数的概念”、“1.1.3导数的几何意义”三小节内容,教师用书提供了3个课时参考,人们就自然认为每个小节的内容教学1个课时。第1课时的主题是“平均变化率”。这节课的内容平淡、单薄,教学中很难出新、出奇、出彩。于是,教学也就设计成“通过大量实例”来不厌其烦地讲一个“函数的平均变化率”。难道我们真舍得用一课时让学生在平均变化率这一个点上去“充分体验”吗?毋庸讳言,教科书很难与教学设计完全一致。上文已经说到,导数概念的核心是由平均变化率到瞬时变化率的极限思想与过程,那么我们还有什么理由不让学生去重点体验它呢?因此,由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程,应该是第一课时的重点和难点。
4.我的教学设计方案
针对材第一节教的内容,我设计了一个用3课时完成的教学方案。
第1课时:变化率
主要内容:1.平均变化率的概念;2.从平均变化率到瞬时变化率。
过程方法:数值逼近。
关键表述语:越来越接近于。
第2课时:导数
主要内容:1.极限概念;2.导数概念;3.导函数概念。
过程方法:解析式抽象。
关键表述语:趋向于。
第3课时:导数的几何意义
主要内容:1.割线与切线的概念;2.变化率的几何意义。
过程方法:几何直观感受。
关键表述语:趋向于、无限接近于。
这3节课的内容是紧密联系着的,在实际教学中可以将导数的几何意义结合在前两课时中教学,这样会使内容呈现的顺序更自然些。重点体验由平均变化率过渡到瞬时变化率所体现的极限的过程和思想以及导数的几何意义所体现的数形结合的思想。
5.教学中应注意的几个问题
5.1注重概念的形成过程
导数概念的建立是基于“无限趋近”的过程,这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同。为此,在教学中教师应注意以下两点:第一,要根据学生的生活经验,通过实际背景创设丰富的情境;第二,要通过“问题串”引导学生用心体会“无限趋近”所蕴涵的“量变到质变”、“近似与精确”的哲学原理,不要急于得出形式化的定义,应努力追求水到渠成的教学效果。同时要注意对概念的教学不要用极限理论,以免涉及过多的极限知识而冲淡或干扰对概念本质的理解。
5.2加强数学建模能力的培养
数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。它是数学学习的一种新的方式,有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识。导数在解决实际问题中有着广泛的应用。导数是描述事物变化的数学模型,任何与变化率有关的问题一般都可以用导数加以解决。教师在教学中应注重选取一些生活中与变化率有关的问题,设计教学活动,引导学生运用导数思想、方法和相关知识加以解决,从而培养学生的应用意识和数学建模能力。
5.3加强数学思想方法的教学
“知识是数学的躯体,问题是数学的心脏,数学思想方法则是数学的灵魂”,加强数学思想方法教学的重要性是不言而喻的。“无限趋近”的本质是极限的思想。在导数概念的形成、导数的几何意义的探究中,运用“无限趋近”来描述其本质形象直观,容易理解。“无限趋近”在以往的数学学习中没有涉及,在教学中,教师要注重让学生体会和感受这种思想的实际意义和作用。数形结合能使抽象的知识直观化。导数和定积分的教学,几何意义的探究,导数与函数的关系研究,以及微积分基本定理的给出,都是数形结合的经典范例。在教学中,教师要充分运用“数”与“形”的有机结合,让学生直观去认识和感受。这样既可以简化严格的推导过程,减少学生学习的困难,又可以使抽象枯燥的数学教学充满活力。
参考文献:
[1]教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].湖南出版集团出版中心,2007.3.
[2]章建跃.对高中数学新课标教学的建议[J].中学数学教学参考,2007,(3).
高中数学导数的概念及意义范文3
一、“消元”是函数与方程思想的基础
值得注意的是“元”在高中数学中含义的拓展：由单一或多个元组合而成的数学结构（表达式）从本质上都可视为一个新的元，通常所说的“整体换元”正是缘于这一认识.如sin2x+2sinx-3=0中的元更应理解为sinx.深刻理解“元”的内涵是灵活运用函数与方程思想的重要前提.
解三角形尽量“全化为边或全化为角的关系”，此外，数列中利用项an与和Sn的相互转化尽量全化为项的关系或全化为和的关系等等，其实质是“减少未知量的种类”；向量用基底表示，归根到底是为了“减少未知量的个数”，这都是“消元”的具体运用.
二、数形结合――函数图象是连接方程与不等式的桥梁
高中教材以研究基本初等函数的图象性质为载体渗透数形结合的思想，继而将一元方程f（x）=0的解表述为y=f（x）的零点，这为我们理解方程、函数、不等式相互关系提供了感性依据.下列三个小题可作为这类问题的典型代表：①方程x=sinx解的个数；②关于x的方程ax=x（a>0，a≠1）有两个实数解，求实数a的取值范围.③f′（x）>f（x）恒成立，求ef（x）>f（1）ex的解集.①将方程解转换为函数f（x）=x-sinx的“零点”，f（x）为奇函数且单调递增，故有唯一解x=0，②等价变形为lna=lnxx（代数意义“分离参数”），再运用f（x）=lnxx和y=lna的图象（几何叙述为构造定曲线、动直线）；③运用函数f（x）ex的单调性.这类问题集函数性质与图象、方程与不等式等知识于一体，可综合体现函数与方程思想的运用能力.
本题可与2014江苏高考第19题对照，知识背景简单，涉及指数和对数函数的图象特征性质（a0=1，lne=1）以及作差比较大小的方法，深层次的知识要求是透彻理解函数单调性的本质即“函数值的大小关系与自变量的大小关系相互转化”；此外，发现方程的解f′（0）=0，g（1）=0，h（e）=e-1等对观察数学式结构的要求较高，由函数性质推测图象，由图象探究函数性质，正是高三学习容易忽视的数学基本能力.
三、构造与转换――函数与方程思想的延伸
思想不是复杂、深奥的方法，恰恰相反，数学思想总是贯穿在概念的形成、发展、延伸和方法的联系、类比、变化之中，以简约的模式、具体而典型的问题深刻反映数学思维的本质，数学概念不同的语言指向往往从不同的侧面体现数学的思想.结构转换、再构造新的函数或方程以联系相等与不等关系，是运用函数与方程思想的重要技能.
例3 已知f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx（1-1恒成立.
分析：以f（m）和f（n）的表达式代入将会陷入繁琐的运算.f（m）-f（n）m-n这个结构在引入导数概念时称为“平均变化率”.f（x）递增ΔyΔx>0f′（x）≥0是对“单调递增”概念及方法体系的完善.f（m）-f（n）m-n>-1即f（m）+m-[f（n）+n]m-n>0，故即证g（x）=f（x）+x（x>0）递增，这是从一个函数向另一个函数性质的转换；由此即证g′（x）=1x[x2+（1-a）x+a-1]≥0亦即证t=x2+（1-a）x+a-1≥0，这是同一性质不同表述形式之间的转换.10恒成立.
教材以函数、三角函数、数列、直线与圆为线索不断渗透函数与方程思想，继而以简易逻辑及推理方法引导我们进一步感悟与提升：“等价转化”（充要条件）提供我们分析、简化、逆向思辨问题的能力，归纳与演绎训练猜测、类比、迁移知识的能力，归根到底是为整合数学的思想与方法应用.比例3更高一个层次的问题，如已知a为负实数，f（x）=x-1-alnx，若x1，x2∈（0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|，求a最小值.条件中的不等式也是“自变量大小与函数值大小的关系”，首先要断定从形式上无法变形为与f（x）直接相关的平均变化率，由此只能用导数判断f（x）单调性化简；其次特别注意不等式中的等号反映数学思维的严密性：由f（x）递增，仅当x1=x2原式取等号，故当x1>x2时f（x1）+4x1
透彻理解数学式或数学结构的含义，特别是数学概念、数学公式定数学式的含义，抽象或转化为我们熟悉的基本问题，是代数论证、解几运算的关键，尤其是多元方程或不等式问题，代换消元、整体换元消元、抽象（构造）消元都是高中能力考查的重点.
四、回归本质――赋值与待定系数
函数基于集合与对应的思想研究运动与变化，寻求对应法则，如求函数表达式、求数列的通项公式、求圆锥曲线的方程等都需“待定系数”，运动中的稳定如何对应，如求函数最（极）值、求数列及二项展开式中的某些项、求曲线的定点定值等问题，简单地说都与“赋值”相关，“待定系数法”与“赋值”是函数与方程思想的基石.
例4 曲线C：x23+y2=1下顶点H，直线l斜率k>0且l不过原点，l交C于A，B点且AB中点E，射线OE交曲线C于G且交x=-3于D（-3，m）.
（1）能否AH=BH？如能，求l的斜率取值范围，否则说明理由；
（2）求m2+k2最小值；
（3）OG2=OD・OE，证明l过定点；
（4）在（3）条件下，B，G能否对称于x轴？若能，求ABG外接圆方程.
点在直线或曲线上，其实质是给方程“赋值”，求直线或曲线方程，关键是待定系数，无论是求解或减少未知数，其本质都是“消元”，其中点差法可理解为加减消元与整体构造消元的综合.
高中数学导数的概念及意义范文4
关键词：核心概念；课堂教学；理解；概括
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0091
一、正确地理解概念
从20世纪50年代以来，《中学数学教学大纲》虽经历多次修订，但都有一个共同的指导思想，这就是搞好三基。并强调指出，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。而当前我国数学教学中的突出问题，恰好是把掌握数学基础的前提，即数学概念的正确理解被忽视了。一方面是教材低估了学生的理解能力，为了“减负”，淡化甚至回避一些较难理解的基本概念；另一方面，“题海战术”式的应试策略，使教师没有充分的时间和精力去钻研如何使学生深入理解基本的数学概念。说是为了减负，其实南辕北辙，教师、学生的压力都增加了。
其实，我们知道，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能掌握各种法则、定理、公式，从而也就不能进行计算和论证。因此，讲清概念，使学生正确地理解概念，对于提高数学教学质量具有重要的意义。鉴于此，教师们都渐渐地开始重视概念的教学。
在较长的一段时间里，概念教学搞“一个定义三项注意”，不讲概念产生的背景，也不经历概念的概括过程，仅从“逻辑意义”列举“概念要素”和“注意事项”，忽视“概念所反映的数学思想方法”，导致学生难以达成对概念的实质性理解，无法形成相应的“心理意义”。没有“过程”的教学，因为缺乏数学思想方法为纽带，概念间的关系无法认识，概念间的联系难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性。用例题教学替代概念的概括过程，认为“运用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。结果不仅“事倍功半”，而且“功能僵化”――面对新情境时无法“透过现象看本质，难以实现概念的正确、有效应用，质量效益都无保障。那么，怎样才能有效地进行概念教学呢？
二、对不同的概念，采取不同的方法
有的只需在例题教学中实施概念教学。比如：相关关系的概念是描述性的，不必追求形式化上的严格。建议采用案例教学法。对比函数关系，重点突出相关关系的两个本质特征在：关联性和不确定性。关联性是指当一个变量变化时，伴随另一个变量有一定的变化趋势；不确定性是指当一个变量取定值时，与之相关的变量的取值仍具有随机性。因为有关联性，才有研究的必要性。因为其不确定性，从少量的变量观测值，很难估计误差的大小，因此必须对变量进行大量的观测。但每个观测值都有一定误差，为了消除误差的影响，揭示变量间的本质联系，就必须要用统计分析方法。
有的先介绍概念产生的背景，然后通过与概念有明显联系、且直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，提炼出本质属性。如：“异面直线”概念的教学，可以在长方体模型或图形中（或现有的教室中），引导学生找到既不相交也不平行的两条直线，直接给出像这样的两条直线叫“异面直线”。然后画出一些看起来是异面直线其实不是异面直线的图，以完善异面直线的概念。再给出简明、准确、严谨的定义。最后让学生在各种模型中找出、找准所有的异面直线，以体验概念的发生发展过程。
有的要联系其他概念，借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学。比如：导数是微积分的一个核心概念，它有着极其丰富的背景和广泛的应用。高等数学里，导数定义为自变量的改变量趋于零时，函数的改变量和相应的自变量的改变量之比的极限（倘若存在），涉及有限到无限的辩证思想，这样的数学概念是比较抽象的，这与初等数学在知识内容、思想方法等方面有较大的跨度，加上学生刚接触导数概念，所以往往把导数作为一种运算规则来记忆，却没有理解导数概念的内涵和基本思想。建议：1. 导数教学前要加强变化率的实例分析；2. 利用多媒体的直观性，帮助学生理解动态无限趋近的思想；3. 利用APOS理论指导导数概念教学。
有的在情景设计、意义建构、例题讲解、课堂小结整个教学环节中实施，比如“函数”一课。我们知道函数是一个核心概念，函数思想是一种核心的数学思想方法。衢州高级中学何豪明老师是用三个实例（以解析式、图象、表格三种形式给出）设计情景，以小组讨论的形式让学生自己归纳出函数概念及三要素，又用四个例题层层深入地加深对概念的理解。整堂课紧紧围绕函数概念和思想方法进行教学，上出“简约”而“深刻”的效果。
概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较、分析、综合、概括、判断、抽象等一系列思维活动，逐步认识到它的本质属性以后才形成的。数学概念也不例外。因此，数学概念的产生和发展，人们对数学概念的认识都要经历由实践、认识、再实践、再认识的不断深化的过程。学生要形成、理解和掌握基本的数学概念也是一个十分复杂的认识过程，这就决定了对较难理解的数学概念的教学不能一步到位，而是要分阶段进行。
高中数学导数的概念及意义范文5
【关键字】课堂质量； 有效备课； 优化课堂； 教后反思
《普通高中数学新课程标准》在课程理念、课程目标、课程体系、课程内容、课程学习方式及评价方式都充分体现了新课程改革的精神。课堂教学是积极实施新课标、渗透教学理念、体现教学改革的前沿阵地，是影响学生知识建构、数学素养、培养能力的主要场所。所以一线的数学教师应在教学中正确把握教学改革的方向，想方设法提高数学课堂教学的质量，使每个学生都学到有价值的数学，能力得到不同的发展。
一、 更新教学理念是提高数学课堂教学质量的前提基础
高中新课程标准理念要求教师从片面注重数学知识的传授转变到注重学生的数学思维能力的培养上来。教师不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生的数学学习过程。要想提高数学课堂教学的质量，教师必须先转变教学的理念，更新自己的教学观念，由过去的以教师为主体转变为以学生为主体的理念上来，转变到创设问题情境，引导学生自主、探究、合作的教学方式上来，转变到培养学生的自我学习、自我发现、分享快乐的学习方式上来，转变到培养学生的数学思维能力上来。只有教师更新了自己的教学理念，课堂教学的质量才有保证，教学的质量才能得以提高。
二、有效备课是提高数学课堂教学质量的重要保证
“工欲善其事，必先利其器。”要提高课堂教学的效率，有效备课是关键。 备教材称为“静态备课”，而把备学生称为“动态备课”。教师面对的是富有个性的学生，他们具有自己的知识体系，对每个问题每个学生都有不同的见解。教师在备课时就应从多个角度去认真备课。
1、备教材
备课时首先要认真钻研、理解教材这样编写的意图，明白本节课在整章书中的作用与地位，才知道要教什么，怎样教。备教材，要多钻研，多思考，多交流。教师要通读教材，熟悉教材中每一章节的知识，熟悉高中数学内容前后知识上的连贯性，备课时不能随意改变教材的设计意图。例如在讲高一《正切函数图象与性质》时，课本是由正切函数的性质得出函数的图象。而前面学习正、余弦函数都由图象得出函数的性质。备课时我就思考能不能还按照旧教材也先得出函数的图象呢？新教材为什么这样设计呢？我揣摩了新教材的这种设计意图，学生通过正、余弦函数已有的知识具备了探索画正切函数图象一定的能力，这样不仅有助于学生加深对知识的理解，同时对培养学生的发现问题、探索问题、归纳能力有极大的帮助。
2、备学生
教师面对的是一个个活生生的学生，他们有思想，有自己的见解，有不同的层次，教师应该怎样去教，才能使每个学生都学到有用的知识，使他们都听得明白，使他们的能力都得到不同程度的发展。这些都是我们在备课时一定要考虑到的，甚至在课堂上他们会有怎样的想法，怎样的行为，作为老师的都应想到，这样才能在教学的过程中，处理好各种现象，达到提高数学课堂教学效果的目的。
3、备教法与学法
了解学生的实际，因材施教，“对症下药”。只有深入了解学生的实际，才能在教学中因材施教，收到良好的教学效果。为了适应不同层次学生的不同需要，作业和练习的设置应呈阶梯式，供优等生、中等生、学困生使用。第一梯度：设计基本的、简单的易于模拟的题目，促进知识的内化和熟化。第二梯度：设计具有综合性和灵活性的供大多数学生使用的题目，加强对知识的同化。第三梯度：设计一些思考性和创造性较强的题目，供学有余力的学生使用，以利于对知识的强化和活用，这类题目适用于优等生。平时多鼓励学生自学，充分挖掘其潜能，总结规律，提高其学习的积极性。
三、优化课堂教学过程是提高数学课堂教学质量的中心环节
教学过程的优化与否直接关系着教学的效果，决定着教学质量的高低。那么如何优化课堂教学过程呢？把握好以下三点是关键。
（一） 创设有效的问题情境，激发学生学习的兴趣
（1） 利用学生动手做实验、操作的方式创设问题情境
让学生去动手实验、操作，为学生提供了一个真实而完整的问题情境，学生在实践中发现了问题，学会了知识，理解了概念，提高了能力，激发了学生探究知识的欲望。如在学习椭圆的概念时，我们教师可以让学生动手做以下的实验。
实验课题：椭圆的概念。
实验目的：理解椭圆的概念，探究椭圆的定义成立的条件。
实验用具：图钉、细绳、铅笔、白纸、木板。
实验步骤：将白纸放在木板上，一人用图钉将细绳的两端固定，一人用铅笔拉紧细绳画出其轨迹。
（2） 利用科技新成果创设问题情境
在科技迅速发展的今天，很多高科技问题与数学有一定的联系，中间蕴含着丰富的数学知识，我们可以以这些高科技成果为题材创设问题情境，以激发学生学习的求知欲望。如在学习椭圆的概念及椭圆的标准方程时，可设计如下的情境。北京时间2005年10月12日9时9分52秒，我国自主研制的神舟六号载人飞船，在酒泉卫星发射中心升空，正确进入预定轨道。这是我国第二次进行载人航天飞行，也是第一次将我国两名航天员同时送上太空，完成我国真正意义上有人参与的空间科学实验。
（3） 利用数学小故事创设问题情境
历史上有很多伟大的数学家，在发现问题时都经历过许多有趣的故事，我们可以将这些故事讲给学生听，让学生感受数学发展的趣事，以激发学生学习数学的兴趣。如在讲述等差数列的前几项和时，可先让一位学生讲述少年小高斯的故事。又如在讲述等比数列的前几项和时，可先让一位学生讲述国王与棋手的故事。
（4） 利用现代科学技术创设问题情境
利用电脑、多媒体的技术，将数学的问题、知识展现在屏幕上，让学生感受数学之美，体会数学变化之妙，从而产生探究的欲望。如在讲数学归纳法时，可用多媒体播放“多米诺骨牌”的有关视频；在讲轨迹方程时，可用软件几何画板来显示其轨迹。
（二）让学生探索知识的形成过程，在探究合作活动中培养学生的各种能力
我们在课堂教学中要将问题作为教学的出发点，按照学生的认知规律，将所学的知识设计成具体问题系列，用所创设的问题情境来启动学生的思维，引导学生的自主探索活动，使学生在自主探索的过程中真正理解一个数学问题是怎样提出来的，一个概念是如何形成的，一个结论是怎样探索和猜想到的，使学生从具体问题的分析过程中真正地得到了启发，提高了能力，培养了思维方法，提高了课堂教学质量。如在学习函数的单调性与导数时，可以设计以下的教学过程。
1、小组合作、探究问题。
师：下列函数y=f（x）在区间A上的导数f ’（x）的符号与函数的单调性有什么关系？
高中数学导数的概念及意义范文6
【关键词】数学课程；数学文化；平均数；众数；中位数
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）38-0027-03
【作者简介】1.陈克胜，安徽师范大学（安徽芜湖，241003）数学计算机科学学院副教授，博士，硕士生导师；2.徐文彬，南京师范大学（南京，210097）课程与教学研究所教授，博士生导师。
一、问题的提出
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）是在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基础上修改而来。自其颁布之日起，对《课标》内容的讨论一直不绝于耳。如《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》（以下简称《课标解读》）中所述，《课标》是从社会发展与数学课程之间的关系及相互影响、数学学习心理规律与数学课程设计、现代数学进展与数学课程之间关系、义务教育阶段学生数学学习现状和国际数学课程改革的特点等五个方面考虑研制的[1]，但其中缺乏具体到某个数学知识点的研究报告。这一缺失，既不利于更广泛地调动数学教育工作者参与课改的热情，也不利于教材编写者对课标的理解。基于此，笔者尝试以“众数、中位数和平均数”这一内容为例来做一番分析。（注：下文中，除特别说明外，“平均数”均指“算术平均数”。）
关于统计量“众数、中位数和平均数”的定位问题已有的研究如下：一是中外数学教材的比较研究；二是2011年以前的国内部分研究者的主张，认为将“众数、中位数和平均数”前置在小学阶段是可行的，采用螺旋式上升的教学方式，循序渐进地让学生学习这些统计量的意义[2]，这也是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的内容；三是小学数学教学实践显示，中国的小学生学习接受众数、中位数和平均数不存在认知阻碍[3]。现行的《课标》将“众数、中位数和平均数”这一内容分拆在两个学段学习：第二学段要求“体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义”；第三学段要求“理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述”。在这里，我们不禁发问：“平均数的意义”具体有哪些？第二学段应学习平均数的哪些意义？第三学段应学习哪些？其依据是什么？这样的学习顺序是最好的选择吗？
二、问题的分析
1.基于数学文化的分析。
数学文化是在一定历史发展阶段，由数学共同体在从事数学实践活动过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。[4]国内外数学家和数学教育家已十分肯定数学文化（数学史）对数学教育的意义，归结起来至少有以下三点：有助于理解数学；激发学生的学习兴趣；指导数学课堂教学。基于此，有很多专家学者提出：数学教育本质上是数学文化教育。由此，有必要将“（算术）平均数、众数和中位数”置于数学文化的视角来分析。
义务教育阶段，反映数据集中趋势的统计量一般有众数、中位数和算术平均数。从历史上来看，这三个统计量的来源却不一样。人们最早应用反映数据集中趋势的统计量可能是众数。公元前428年，雅典受困需要突破敌人的围城，很多人通过数城墙砖的层数的方法来估计城墙的高度，利用众数来反映该组数据的一般水平。在历史上，人们还使用中位数替代（算术）平均数来反映某个总体的集中趋势。1599年，爱德华・怀特（Edward Wright）将中位数应用于航海，用以确定指南针所指定的位置。1874年，费 歇 尔（R. A. Fisher）将中位数用来描述社会和心理现象。1882年，高尔顿（Galton）第一次使用“中位数”一词。使用（算术）平均数有以下几个来源：第一，用平均数来估计较大的数。公元4世纪，印度鲁帕那（Rtuparna）为了估计果树上树叶和果实的数目，使用了平均数。第二，重复测量取平均数以减少误差。公元16世纪末，第谷（Tycho Brahe）为了减少观测的误差，率先取重复测量值的平均数作为天文学观测的数据。后来，这种方法在欧洲得到广泛的运用，有效地减少了系统误差。第三，平均数的补偿性。古希腊时期，数的大小用线段表示，其平均数的定义为“a和c中间的数b称为算术平均数，当且仅当b-a=c-b”，古代中国也有类似的思想。第四，利用平均数来公平分配。大约公元前1000年，地中海地区航海贸易比较发达，但存在风险，人们想到利用平均数的方法解决公平分担风险问题。第五，平均数是总体的代表值，在现实情境下不一定具有实际意义。1831年，魁特奈特（A. Quetelet）提出“平均人”概念：有这样一个人，他在一切重要的指标上都具有某一群体中一切个体相应指标的平均值。[5]
基于数学文化的分析，可以建立有关反映数据集中趋势的数学知识结构，从而帮助学生形成结构完善的概念图。在数据分析时，人们倾向于先使用众数和中位数刻画数据的集中趋势。因此，有必要将平均数、众数和中位数安排在同一个单元。
2.基于学习心理学的分析。
统计与概率虽然进入基础教育比较晚，但是有关统计与概率的学习心理研究随着课程改革在不断地深入。关于反映数据的集中趋势的统计量的一些研究有了以下一些结果。
Strauss和 Bichler研究发现：50%的8岁学生和几乎所有的10岁学生能够理解平均值位于最大值和最小值之间。几乎所有的学生能够理解平均数受每个数据的影响，平均数不一定是真正的数据。[6]Mokros和 Russell发现：有些低年级的学生将“平均数”理解为出现次数最多的一个数据（众数）。有些低年级的学生将平均数理解为中位数。有些低年级的学生虽然意识到算术平均数，但是具体数据问题中不会应用。[7]Russell和Friel设计了一道测试题：九个不同品牌的薯条，袋子大小规格相同，所有品牌的平均价格是 1.38 美元，问九种不同牌子各自价格是多少？测试的结果是：大部分学生认为平均数是数据中出现最多的数。小部分学生认为平均数是中间的数，并构造一些以平均数为中心的对称数据。[8]Moritz、Watson和 Pereira-Mendoza研究了1014位澳大利亚学生，发现：40%的三年级的学生、7%的六年级学生和 2%的九年级的学生不理解平均数。[9]上述研究表明，关于这三个统计量的学习难度存在不同，学生学习众数和中位数的难度较低，而平均数则比较难。由此，不妨先学习众数和中位数，让学生建立反映数据的集中趋势的思想方法，然后再进一步学习平均数。
3.基于数学知识内容的分析。
平均数、众数和中位数作为反映某组数据的集中趋势，并在比较中判定在某种条件下所适用的统计量，这是数学知识的内在规定。根据数学知识内在规定的特点来组织教学，才能更深刻、全面地理解平均数概念及其统计意义。
平均数、众数和中位数都是作为反映某组数据的集中趋势的统计量，但一般来说，这三个统计量的使用存在着前提条件。如果某组数据呈现正态分布，那么平均数、众数和中位数都能客观地反映该组数据的集中趋势，三个统计量没有区别。如果某组数据呈现偏态分布，那么必须考虑这三个统计量的适用条件，才能客观地、较为真实地反映该组数据的集中趋势。一般地，在明显存在极端值的情况下，用中位数更能代表总体的一般水平。在某些数据出现的频次相对比较多的情况下，用众数能较真实地代表总体的一般水平。在某些数据呈现均匀分布的情况下，往往使用平均数来反映该组数据的集中趋势。这三个统计量所蕴涵着的统计意义，归结起来大体有四点：作为判断事物的数量标准或参考；作为代表来衡量不同总体之间的水平；作为用样本的平均数来推断总体的水平；作为总体的平均数通过在某段时间内的发展变化，探索研究对象的发展规律。
三、思考与建议
行文至此，有必要梳理一下相关结论并给出相关建议了。首先，从课标研制的角度而言，理论与实践的结合是数学课程标准制定的永恒法宝。数学课程标准的研制需要考虑社会发展与数学课程之间的关系及相互影响、数学学习心理规律与数学课程设计、现代数学进展与数学课程之间关系、义务教育阶段学生数学学习现状和国际数学课程改革的特点等这五项基础性研究，但是更细致地、深入到每一个数学知识点的研究，则需要从数学知识内在规定性、学习心理学的相关研究以及数学历史文化三个方面对具体知识点进行综合分析，并且开展相关的教学实验对理论分析进行验证。
其次，应尽可能多地调动数学教育工作者参与课改。数学教育工作者往往只了解到课标研制的宏观过程，至于具体到某个数学知识点则没有相应的研究报告。因此，在研制课标的过程中，有必要将相关的研究成果让一线数学教师了解，便于让更多人参与进来，同时也进行相关的教学实验，使课标得到更广泛的实践检验。
最后，由于“众数、中位数和平均数”这一内容本身具有一定的抽象性，需要学生具备一定的计算能力，因而笔者赞同将其放在第二、三学段进行教学，但对具体的教学顺序与要求有自己的看法。具体而言，（1）将平均数、众数和中位数安排在一个单元，有利于相似知识的连贯性教学；（2）先学习众数和中位数，让学生建立反映数据的集中趋势的思想方法，然后再进一步学习平均数；（3）考虑到平均数的统计意义有4点，不妨考虑以平均数的统计意义为学段划分的依据，分两个学段进行学习，《课标》中第二学段有关的内容标准不妨这样修订：“体会众数、中位数和平均数的统计意义――作为判断事物的数量标准或参考和作为代表来衡量不同总体之间的水平，能确定中位数、众数，能计算平均数，了解中位数、众数和平均数的关系”，第三学段的内容标准可修改为“理解众数、中位数和平均数的统计意义――作为用样本的平均数来推断总体的水平、作为总体的平均数通过在某段时间内的发展变化、探索研究对象的发展规律，能计算加权平均数，理解众数、中位数和加权平均数的关系”；（4）由于教师在进行教学设计时，往往会先从数学教材出发揣摩《课标》中的要求，因而，不同教材对同一知识点的编写应在内涵上保持一致。
总之，修订和完善数学课程标准的指导思想是最大限度地符合数学教育规律，而检验的方法和策略是先从系统观念出发，联系数学知识内在规定、数学学习心理和数学文化三个方面统筹分析，然后在此基础上进行有针对性的教学实验。同时，公布更具体的研制成果，充分调动广大一线的数学教育工作者参与其中，在教学实践中进行更广泛的检验，这样才能够更有利于数学课程标准的完善。
【参考文献】
[1]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]张辅，唐华军.上海与加州数学课程标准小学“统计与概率”比较研究[J]. 泰山学院学报，2006（06）.
[3]闫炳霞.从美国小学的一节统计课谈我国小学“统计与概率”的教学[J].中小学教学研究，2006（02）.
[4]陈克胜.基于数学文化的数学课程再思考[J].数学教育学报，2009，18（01）.
[5]吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J].数学通报，2013，52（11）.
[6]Strauss S， Bichler E. The Development of Children’s Concepts of the Arithmetic Average[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1988（19）.
[7]Mokros J， Russell S J. Children’s Concepts of Average and Representativeness[J]. Journal for Research in Mathematics Education. 1995（26）.
[8]Russell， Susan Jo， Friel， Susan N. Collecting and analyzing real data in the elementary school classroom[J]. In P. R. Trafton & A. P. Shulte （Eds.）， New Directions for Elementary School mathematics，1989：134-148.
