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勾股定理的研究范文1
勾股定理在几何学中有着重要的地位，因此证明勾股定理在我们学习几何数学中非常重要。千百年来有许多数学家对勾股定理进行证明，证明方法多种多样。对勾股定理的证明在1940年出版的《毕达哥拉斯命题》中就收集到了367种之多，但是这还不是全部的证明方法，根据不完全统计到目前为止证明勾股定理的方法已经达到了500多种。当然各种证明方法都有自己独特的优点，有的丰富有的简洁。在西方国家勾股定理还被人们称为毕达哥拉斯定理，这是因为毕达哥拉斯是最先发现直角三角形的勾股定理并且给出了严格的证明。
关键词：勾股定理
勾股定理在我国也称“商高定理”，因为在中国商高是最早发现和利用勾股定理的人，商高曾经说过：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”。这就是人们后面说的“勾三股四弦五”。勾股定理的应用十分广泛，到目前为止对勾股定理的证明方法非常多，美国总统伽菲尔德证明勾股定理在历史上也是很有名的。勾股定理的证明体现了数型结合得思想，这体现了在学习数学得过程中我们必须要重视思维方式的培养，以及对各种思维方式的应用，达到举一反三的效果。在学习勾股定理的过程中我们要领会数学思维的规律和方法，提高数学思维的灵活性。利用勾股定理解题的时候，常常要把有关的已知量和未知量通过图形结合起来解决问题，也就是说我们必须要数型结合才能更好的解决勾股定理的问题。在研究问题的时候把数和形结合起来考虑，并且把图形的性质转化为数量关系，可以使得复杂的问题简单话，抽象问题具体化，所以数型结合是一个重要的数学思想。
在早期的人类活动中，其实人们就认识到了勾股定理的一些特征，传说在公元前1000多年前我国就发现了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”来确定直角。但是有数学家对此也表示怀疑，例如美国的M・克莱因教授就曾经说过：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实。”不过在大约2000多年前的古巴比伦的泥版书上，经过考古专家的考证，在其中一块泥版书上记录着这样的问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”很明显这是一个勾股定理的例子。还有一块泥版上刻着一些奇特的数表，在表中一共有四列十五行数字，不难看出这是一组勾股数，从右边到左边一共有15组勾股数，从这里可以看出勾股定理实际很早就被人们所认识。
对勾股定理进行分类讨论可以对有可能出现的问题考虑得比较的完整，在解决问题的时候做到“不漏不重”。
证明勾股定理的方法很多，一一例举是不可能的，本论文只简单的讨论了几种简单易懂的证明方法。那么，接下来我们来看一下证明勾股定理的这几种方法。
1.通俗易懂的课本证明
2.经典的梅文鼎证法
例2：做四个全等的直角三角形，两条直角边边长分别是a、b，斜边为c。把这些三角形拼成如下图所示的一个多边形，使D、E、F在一条直线上，过C作AC的延长线交DF于点P。
8.总结
勾股定理作为中学数学的基本定理之一，是我们学习数学的必修课程。本文讨论了勾股定理的一些证明方法，简单的阐述了勾股定理的背景，这可以让我们对勾股定理能够由更深的了解。本文证明勾股定理的这几种方法都是比较简单和常见的，但是也是从不同的方面进行的验证，这会带领大家更加深入的了解勾股定理的证明，启发学生对学习的思考，养成多方面看待问题的思维习惯。通过本文主要是想让学生能够学好勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。学好勾股定理对我们今后的学习和研究由很大的帮助，所以我们学者对勾股定理的研究就显得很有必要，也具有相当大的价值。
参考文献
[1]赵爽.周脾算经注.2006.
[2]王工一.论《九章算术》和中国古代数学的特点[J].丽水学院学报.2006.
[3]王凯.勾股定理玉中国古代数学[J].邵阳学院学报.2005.
[4]张俊忠.史话勾股定理[J].中学生数理化.2002.
勾股定理的研究范文2
二、探索性学习不可或缺的题材
数学新课程理念下的数学学习将大量采用操作实验、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考等活动方式。而勾股定理是
三、通过勾股定理的欣赏与应用，接受文化的洗礼与熏陶，体会数学独特的魅力
勾股定理是一条古老的数学定理，不论哪个国家、民族，只要是具有自发的(不是外来的)古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理。在西方文献中，勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约前580－约前500)的名字来命名，称为毕达哥拉斯定理。更有趣的是我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场和发展》一文中谈到了想象中的首次宇宙“语言”时，就提出把“数形关系”(勾股定理)带到其它星球，作为地球人与其它星球上的“人”进行第一次“谈话”的语言。可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。因此，世界各国都非常重视勾股定理的社会文化价值，许多国家还发行了诸多勾股定理的相关邮票。
勾股定理的研究范文3
【关键词】数学史；勾股定理历史；融入；教学策略
1.勾股定理历史融入教学的意义
1.1 有利于激发兴趣，培养探索精神
勾股定理的证明是一个难点.在数学教学中适时引入数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题或趣闻轶事，消除学生对数学的恐惧感，可使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而激发起学生学习数学的兴趣.
1.2 有利于培养人文精神，加强历史熏陶
学习数学史可以对学生进行爱国主义教育.浙教版新教材对我国勾股定理数学史提得很少，其实中国古代数学家对于勾股定理发现和证明在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的数形结合思想更具有重大意义。
2.勾股定理历史融入教学的策略
在勾股定理教学的过程中，要求我们在教学活动中，注意结合教学实际和学生的经验，依据一定的目的，对勾股定理历史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性的加工，使学生容易接受、乐于接受，并能从中得到启发.在实践过程中，发现以下几种途径与方法是颇为适宜的.
2.1在情景创设中融入勾股定理历史
建构主义的学习理论强调情景创设要尽可能的真实，数学史总归是真实的.情景创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展历史，以数学史作为素材创设问题情景，不仅有助于数学知识的学习，也是对学生的一种文化熏陶.
案例1：
师：同学们知道勾股定理吗？
生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）
师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道.大家知道世界上许多科学家都在探寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等.我国数学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定会认识这种“语言”的.（投影显示勾股图）
可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定理有关的人.中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形].它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五.勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长……
《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例.卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日.”
由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天.勾股定理又叫做“商高定理”.毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了.
2.2在定理证明中融入勾股定理历史
数学史不仅给出了确定的知识，还可以给出知识的创造过程，对这种过程的再现，不仅能使学生体会到数学家的思维过程，还可以形成探索与研究的课堂气氛，使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程.
案例2.：
刘徽（公元263年左右）的证明：
刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股数──“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也.”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界比较常见的推测是如下图.
③剪拼法（学生动手验证）
证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，主要是用拼图的方法证明，使数学问题趣味化.
翻开古今的数学史，不仅勾股定理的历史深厚幽远，所有的数学知识都蕴涵着曲折的道路、闪光的思想、成功的喜悦和失败的教训.将数学史的知识融入数学教学中，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力的措施.正象法国数学家包罗·朗之万所说：“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊.”
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准 （实验稿） 》[S] 北京：北京师范大学出版社
勾股定理的研究范文4
例1 已知RtABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c且a=8、b=15，求c的长.
分析：由于题目没有指明哪个角是直角，因此有可能是边长为15的边所对的∠B是直角，或边长为c所对的∠C是直角，所以应分两种情况讨论，再根据勾股定理解答.
解：（1）若b=15是直角边，则c为斜边，由勾股定理得c2=a2+b2=82+152=289，所以c=17；
（2）若b=15是斜边，则c为直角边，由勾股定理得c2=b2-a2=152-82=161，所以c=.
所以c的长为17或.
点评：本题由于斜边不确定，因此需要分类讨论.
例2 下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题.
学习勾股定理有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“己知直角三角形ABC的两边长分别为7、24，请求出第三边长的平方”.
同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手回答：“第三边长的平方为625.”王华同学说：“第三边的长的平方为527.”还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话回答）
分析：本题首先要求在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两位同学的说法提出自己的看法.这时应注意题眼：“直角三角形ABC的两边长分别为7、24”，要对这个不确定条件进行分析研究.
解：设第三边长为x，则
当x为斜边时，由勾股定理得x2=72+242，解得x2=625；
当x为直角边时，由勾股定理得242=72+x2，解得x2=527.
所以，第三边长的平方为625或527.
由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题错误.
对于第（2）问，应在第（1）问的解答基础上，总结出“根据图形位置关系，运用分类讨论思想解多解型问题”，“考虑问题要全面”等体会.
点评：解答本题要注意题目条件的不确定性和由不确定性引起的分类，从而利用分类讨论思想来解决问题.
例3 等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 .
分析：抓住“一边上的高”将问题分为底上的高与腰上的高两种情况，又等腰三角形腰上有高，因此再分为锐角三角形与钝角三角形两种情况，可运用勾股定理分别求解.
解：若一边上的高是该等腰三角形底边上的高，如图1，此时由勾股定理易得BD=4，所以底BC=8；若一边上的高是该等腰三角形腰上的高，此时等腰三角形可以为锐角三角形，如图2，此时由勾股定理易得AD=4，故CD=1.
在BCD中由勾股定理易得BC=；
若一边上的高是该等腰三角形腰上的高，此时等腰三角形可以为钝角三角形，如图3，此时由勾股定理易得AD=4，故BD=9. 在BCD中由勾股定理易得BC=3.
故答案为8或或3.
图1
图2
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一、教学内容分析
本节课以勾股定理解决实际问题为载体，通过对它的学习和研究，体现数学建模的过程，帮助学生形成应用意识，其应用的广泛性让学生激发出学习数学的兴趣，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐.
二、教学过程设计
1. 情境引入
师：暑假里我走过两座桥――润扬大桥和南京长江三桥（多媒体显示两座桥的图片），这两座桥的夜景非常美丽，我们来仔细观察一下，这两座桥有什么共同的特征？
这两座桥都是斜拉桥，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形，如果我们知道了索塔的高，怎样计算拉索的长呢？这就是我们今天要学习的勾股定理的应用――生活篇.（师板书课题：2.7勾股定理的应用）
2. 简单应用
师：到了南京第二天，我决定去游玩玄武湖，到达中央路时，我发现玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直角三角形（如图1）. 从B处到C处，如果直接走湖底隧道BC，将比绕道BA（约1.36千米）和AC（约2.95千米）减少多少行程（精确到0.1千米）？
生1：根据勾股定理可以求出BC的长度，然后用AB与AC的和减去BC，所得的结果就是减少的行程.
评析 这是一次旅行，由公路与隧道引出，贴近学生的生活，激发学生继续探索下去的兴趣. 引导学生观察路线的最佳选择方案，通过运用勾股定理，从而解决实际的问题.
师：进入玄武湖，我们看到几只小鸟停在树上欢快地歌唱，其中一只小鸟从一棵树飞到了另外一棵树上. 这两棵树之间相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，那么这只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端至少要多少米呢？
生2：作辅助线得到直角三角形，可以求出两条直角边分别为5米和12米，由勾股定理可以求出小鸟飞行的最短距离为13米.
评析 对于没有直接给出直角三角形的实际问题，通过已知条件在图形中构造直角三角形，从而运用勾股定理解决问题.
3. 深层拓展
师：我们继续前行，看到满池的荷花，忽然想到南宋诗人杨万里的一首绝句“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”. 在池塘边有几个游人正在那里摘荷叶，由于靠岸边的荷叶都已经被摘掉了，只能去采摘离岸更远的荷叶. 这一幅场景让我想起了《九章算术》里的一道题目，叫作“引葭赴岸”.
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”
“有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺. 如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′. 水深和芦苇长各多少尺？”
生3：可以看出这个图形（图2）里有直角三角形ACB′，但只知道CB′的长度为5，还有AC与AB′的关系，可以设AC = x，则AB′ = x + 1，利用勾股定理可以求出x的值.
评析 选用这个问题作为勾股定理深层拓展的主要原因有二：其一，通过这个问题的讨论，学生可以进一步了解我国古代人民的聪明才智和勾股定理的悠久历史；其二，这个问题是引导学生感悟数学思想的一个载体. 在这个题目的教学中，不仅要关注勾股定理的应用，而且要把教学的重点放在引导学生感悟求解这个问题中所蕴含的数学思想.
师：我们租了两条游船，开始游览玄武湖.一船沿北偏西60°方向行驶，速度是6千米/小时，一船沿南偏西30°方向行驶，速度是8千米/小时. 经过多长时间我们两船之间的距离正好是20千米呢？
生4：设时间为t，可知OA = 6t，OB = 8t，利用勾股定理得到（6t）2 + （8t）2 = 400，求出t = 2小时.
评析 这个问题同样是只知道一个量，需要借助于时间这个未知量来建立方程，从而解决问题.
4. 巩固训练
师：经历了这一次南京之旅，我们学到了很多知识，下面让我们运用这些知识来解决这样一道生活中的问题.
如图3，一架长为10米的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米. 如果梯子的顶端下滑1米，那么它的底端是否也滑动1米？
评析 学生经过前面两题的训练已经掌握了此类题目的解法，即找出两个量之间的关系，从而根据勾股定理列出方程，解决实际中的问题. 通过本题加深学生对勾股定理应用的理解.
5. 提升总结
师：通过本节课的学习，你对勾股定理有怎样的新的认识？你有什么收获？
评析 让学生再一次回顾勾股定理在实际生活中的应用，总结本节课中所用到的数学思想方法. 将实际问题通过构造直角三角形转化为数学问题，从而通过勾股定理来解决. 6. 课后延伸
作业：课本67页习题2.7第1题，第2题，第4题.
勾股定理的研究范文6
一、勾股定理文化背景及其对现代教学的影响
勾股定理是中国几何的根源。中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系。勾股形与比率算法相结合，经推演变化已构成各种各样的测量法。古代数学家常以勾股形代替一般三角形进行研究，从而可以避开角的性质的研讨和不触及平行的烦琐理论，使几何体系简洁明了，问题的解法更加精致。从中国勾股定理的诞生与发展来看，中国古代数学文化传统明显有重视应用、注重理论联系实际、数形结合，以算为主、善于把问题分门别类建立一套套算法体系的特征。然而中国的传统文化注重“经世致用”，思维方式具有“重实际而黜玄想”的务实精神，使得勾股定理从诞生开始一直没有超越直观经验和具体运算，而发展成一套完整的演绎推理，它始终作为一种技艺在传播与应用，走的是为了解决实际问题的模式化发展道路。这种技艺应用的价值取向至今仍影响着我们对数学的认识，影响着我们的数学教学。在西方，从毕达哥拉斯学派发现了“与有理数不可通约的无理数”开始，勾股定理作为欧氏空间的度量标尺，经过演绎推理，为几何公理体系的完善和发展写下了新的篇章。欧几里得在证明勾股定理同时，结合图形分析，以演绎推理的方法获得了一系列的定理和推论。此后，西方数学家从数的角度将勾股定理推广到求不定方程的正整数解，引出了著名的费马猜想、鲍恩猜想、埃斯柯特猜想，从形的角度又把它推广到平面图形面积关系、立体图形的表面积关系的探讨。如此无穷延伸，在追求严谨的逻辑体系和数学美的过程中推动了现代数学的发展。这足以表明数学教育在西方文化中的宗教和哲学价值取向的理性地位，这对我们今天学习数学、理解现代数学体系结构的形成有着重要的启示作用。
二、现代勾股定理教学设计
1.从文化传统习惯入手，利用现代化教学手段进行数学实验。请学生自己画出几个直角三角形，利用直尺测量三条边长，并记录数据，计算边长的平方值，分析它们的关系，引导学生通过计算发现勾股定理。从几个学生构造的特殊例子出发，利用测量工具进行估算，寻找规律，提出猜想，符合我们的文化传统习惯，符合从特殊到一般的思维规律，容易发挥学生的主体积极性。
2.利用几何画板软件设计任一直角三角形，自动测量三边边长，验证学生的发现与猜想。几何画板软件就其本身设计来说，是一种模式化的算法体系，用它来精确测量三角形的边长，展示直角三角形的任意性，是传统文化精髓与现代文明的新结合。它不仅是一种测量工具的改善，更是一个数学教育现代化的平台。此法所展示的直角三角形的任意性，是传统教学手段无法实现的一个梦想。而几何画板软件可以让学生操作计算机来构造数学对象，在观察动态的图形变化中，直观体验了任意性的含义，深入理解任意性在数学中所起的作用。同时计算机提供快速反馈测量结果，进行验证猜想的能力，使学生有更多的时间从事于更高层次的数学思维活动。这一典型实例足以表明计算机技术可以为文化传统与数学教育现代化的结合提供了好的教学平台。