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小学复数的概念范文1
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小学复数的概念范文2
关键词：中学数学；概念教学；有效性
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）05-153-01
概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式。数学作为一门抽象性极高的学科，概念可以说是学习数学知识最重要的基础。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。数学概念教学的有效性直接关乎数学教学成果，如何运用合理的方式进行概念教学，并行之有效服务于大数学教学，这是一个值得深思和研究的问题。
一、有效教学及数学概念的基本特征
1、有效教学的基本概念
有效教学的“有效”，主要是指通过教师在一种先进教学理念指导下经过一段时间的教学之后，使学生获得具体的进步或发展。有效教学的“教学”，是指教师引起、维持和促进学生学习的所有行为和策略。它主要包括三个方面：一是引发学生的学习意向、兴趣。教师通过激发学生的学习动机，使教学在学生“想学”“愿学”、“乐学”的心理基础上展开。二是明确教学目标。教师要让学生知道“学什么”和“学到什么程度”。三是采用学生易于理解和接受的教学方式。
2、数学概念的基本特征
①抽象性与具体性。这是因为数学概念代表了一类事物的本质，决定了它的抽象性，已远远脱离具体现实，且抽象程度越高距离现实越远。例如，数字是抽象字母的具体模型，而字母又是抽象函数的具体模型。并且数学概念始终是数学命题、数学推理的基础成分，它必然落实到具体的数、式、形之中。
②相对性与发展性。在某一科学体系或特定研究领域内，数学概念的意义始终是一致的。例如，在小学里的数，始终是指正有理数；在初中里的直线，始终是指平面直线。然而数、形等概念本身处于不断发展之中。例如，自然数有理数实数复数；直线上的点平面上的点空间中的点n维空间中的点；锐角任意角空间角等。
③可感性与约定性。例如，三角形“”，平行“∥”，它们除了特定的定义外，还有相应特定的名词与符号，具有名词、定义、符号“三位一体”的可感性，这不仅使学生在生活背景中准确地感知到实体模型，同时又明了地反映了概念的内涵；再比如，圆锥曲线，三角函数、实数等可感知它们的外延构成；这是其他科学所无法比拟的。然而，对于复数，二次函数，指数、对数函数，不为零的数的零次幂等概念则具有约定性。
3、数学概念教学中存在的问题
当前数学概念教学主要存在不重视、不会教、分不清主次、要求不当四方面的不良倾向。 有的老师不能真正认识到加强概念教学的重要性，他们对概念的讲解往往是蜻蜓点水，一带而过，而将精力化费在定理、法则的推导与应用上，不知道这完全是本末倒置，事倍功半的做法。适当淡化次要概念是现代教学的一种趋势。
二、如何在概念教学中进行有效教学
1、把握抽象性与具体性，重视概念引入
中学数学概念无论如何抽象，实际都有它的具体内容和现实原型。在教学中，既应注意从学生的生活经验出发（如负数、数轴、对称、切线概念等），也应该注意从解决数学内部的运算问题出发（如负数、无理数、复数概念等）来引入概念。这样，从学生熟知的语言和事例中提供感性材料，引导他们抽象出相应的数学概念，才能使学生较好地掌握概念的实质。比如有的老师在讲解复数的概念时，通过介绍叙述单位“i”的来历，让学生了解了复数的产生和数的发展历史，激发学生的学习兴趣。再例如在数列的极限的概念引入时，可以从《庄子》中那句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”开始。这样的引入方式还有有很多，可以通过故事、名言警句、名人轶事等等进行引入，既激发了学生了兴趣，也更能具体的呈现出什么是概念。
2、仔细分析概念的内涵及外延
为准确、深刻地理解概念，教者在提供感性认识的基础上，必须作出辩证分析，用不同方法揭示不同概念的本质。例如，对“种十类差”定义的概念，应揭示其种概念与类差，使学生认识被定义的概念，既有它的种概念的一般属性，又有它自己独有的特性，同时要讲清概念中的每一字、词的真实含义，这样，把握了概念的外延和内涵，也就能进一步掌握了概念的本质。数学的教学，必须建立在科学原则的基础之上，不恰当的发挥都容易对概念教学产生不良影响。
3、抓住主要内容，选择重点讲解
概念有主次，应抓住主要概念讲解。例如，在学习成比例、比例外项、比例内项、比例中项等概念时，应抓住成比例的概念。又如，函数概念有常量、变量、函数关系、定义域、值域、对应法则等概念，但应抓住“函数关系”、“定义域”这二个主要概念。 同时，应注意选择讲解重点。
小学复数的概念范文3
关键词：高职数学习题课 教学改革 数学能力
一、要注意数学概念的直观解析，培养学生形成正确思维方式
教师要深入剖析概念教学中学生容易误解的事实和现象。如对向量的数量积概念的习题讲解时，教师可以设问：一个向量在向量上的投影是多少？为什么要求这样的投影？通过这样的教学，学生不仅可以了解向量数量积的直观意义，也培养了数形结合能力和运算能力。
严格地说，很多数学概念如直线、平面等，在实际生活中是不存在的，只是为了处理实际问题的方便和简化计算难度，满足对问题抽象需要而引进的概念。在对这些概念的处理中，为了减小学习的难度，教师可借助图像的直观，然后进一步说明这样的数学模型在自然科学上的应用，还可以补充说明这些概念产生的背景和使用范围，弥补课堂教学中的欠缺和不足。在研究和习题解答过程中，学生在理解这些概念的基础上，还可能建立相应的数学模型，把概念和结果适当地进行推广。在此过程中，教师要相信学生的自主创新能力。
二、加强解题思路的训练
很多职业学校的教师，在给学生讲解例题或习题时，往往按照课本习题（或试题库）的要求，让学生记住问题的解答形式，而没有让学生真正理解解题的思路。我们认为，教师在讲解习题的解法时，要有意识地培养学生的解题思维，注意基本数学素养的提升。如把综合的问题分解成部分小问题，让学生看到整个问题的结构。一般地说，学生解决比较小而且直接的问题是容易的，但对于比较复杂的问题，由于其中隐含着很多的过程性小问题，学生就会感到求解难度大，往往由于一时找不出解题思路而对所学知识感到茫然，失去学习的积极性。如果我们经常在习题课上将综合性的问题分解为部分小问题，就可以降低学生学习的难度，有利于培养学生分析问题的方法和思路，便于他们掌握所学的知识和技能。
如习题：若复数满足且，求复数。
对于这样的综合题，教师可以把问题分解为：①就本题来说，复数用的什么形式比较方便；②两复数相等的条件是什么；③方程如何解。
通过以上的提示，学生会很容易求出本题的答案，从而训练了解题思路，培养了基本数学素质。
三、要注重中小问题的教学
在日常生活中，小题大做往往被认为是将简单问题复杂化。但在数学学习上，这样的方法往往是值得肯定的，因为看似很简单的问题往往蕴含着深奥的数学事实。在数学学习上，学生对很多问题看似明白，但一做题就找不到解题思路。究其原因是缺少有效的解题训练。而小的数学问题比较容易分析，学生容易解答，适合于学生的解题训练。一般地说，学生只要经过对简单的问题分析研究，是能够解决小问题的。这样有助于增强他们的学习兴趣，对于培养他们的解决问题的能力也能起到循序渐进的作用，同时学生对一些数学小问题的研究，可能会运用多种方法去解决，便于培养学生的缜密的思维方法和严谨的学习态度。
如在处理椭圆部分习题时，可补充：已知椭圆的焦点，直线是它的一条基准线，椭圆上一点满足，求三角形的面积。这是一个中等难度的习题，学生解答时需要研究椭圆方程的特点和椭圆上点的特征，进而找出解题思路，达到训练学生思维的目的。
四、要结合应用设计适当的数学训练题
数学虽然有自身的体系，但众所周知，数学对于学生专业课学习有很强的应用性。如三角函数在电学的表述，指数和对数在银行利息的计算，几何在工程测量上的应用等。因此，对于职业学校的数学教学，教师要培养学生的数学应用能力。在习题课上，教师要根据数学的课程标准（教学大纲），设计适当的数学应用训练题。设计应用题既要注意过程性和系统性原则，又要注意教学和创新目标。其具体步骤大致为：一是要学习课程标准，明确设计目标，探索教学的具体任务，确定习题的主要功能；二是习题设计要灵活新颖，根据实际问题，设计一些学生“一看就会，一做就错”的简单应用的趣味问题，如复数在电学中的相位角和谱的计算等，通过相应的计算培养学生的计算能力；三是明确设计问题的实施方案和建立相应数学模型所需的数学知识和原理，以及所需的数学推算过程，达到训练学生思维的目的。
小学复数的概念范文4
关键词： 教育科学 社会角色 伦理效应 传递结构 重要他人
从哲学母体分出，并逐渐拥有了“学”的名义，标志着教育的迈向独立。对教育现象进行科学的研究，并不断发展和丰富其内涵，标志着教育迈向成熟。
现代科学发展的学科交叉和融合趋势，促使教育科学提出了关于其统一性的问题。在分化的表象背后，教育科学有深厚的统一基础，即除了以教育理论为研究对象的学科之外，所有学科都聚焦于“教育”。
一、教育科学概念的发展
回顾教育科学发展的历史，有关教育知识的学科经历了由单一到多门学科的发展历程。从语词形态意义上，教育科学的概念，也经历了由单数（educational science）到复数（educational sciences）的变化。［1］单数的“教育科学”主要指按经验科学的模式而形成的教育学，复数的“教育科学”的产生，则源于教育学对其自身理论基础的思考，如：赫尔巴特明确将伦理学、心理学作为其理论的基石。又如：克拉帕雷德（1921）首次提出关于复数的“教育科学”的概念，涉及社会学、心理学、历史学及哲学。［2］
其背景系二十世纪初叶“实证主义”思潮的影响，自然科学的方法成为权威规范，社会科学领域也随之效仿，人们陆续意识到社会学、统计学、政治学等对教育的贡献，以上学科随之纷纷跨入了教育学研究的行列。
教育科学在形式上的单数—复数变化，不仅是一种文字上的变化，更蕴含着教育理论性质在认识上的差异。单数“教育科学”蕴含的观念是：力图把教育学变为经验科学，其“科学”含义是从严格意义上说的。复数“教育科学”蕴含的观念则是：教育科学是大量社会学科、甚至某些自然学科应用于教育领域而形成的，其“科学”含义比较广泛，在形式上可作为一切有关教育的学科的总称。
其复数形式也获得了较为正式、权威性的认可。如：在英语国家中，经常使用教育理论及其基础学科（educational theory and its foundation discipline）这一术语，其含义与教育科学复数形式相近。此外，在俄语国家，一般将“教育科学”与“教育学”作为同义词，如：“现代教育学既是一门统一的学科，又是多分支的许多教育学学科的总和。［3］”这些学科从不同的层面、不同的研究角度来认识和改进教育活动。
二、角色内涵与传递结构
鉴于复数“教育科学”的概念，审视具体的分支学科，可进一步探讨教育领域中的个体——“人”的问题。
人有多重属性，归纳起来可分为三类：一是自然属性，如：性别、年龄、种族等，二是社会属性，如：阶层、职业、价值观等，三是集自然与社会于一体的综合属性，如人格中的气质、能力等。从绝对意义上说，没有一种属性可以脱离个体而独立存在。但在研究过程中，若将任何一种属性抽出并分析，都能看到它与其他属性间的联系。如：从一个人的职业开始，就可以和收入和能力联系起来。从一个人的开始，或可推论其价值观和个性特点。
基于以上对人的属性的描述，使我们对人的个体认识不再停留在感官印象上，而是有着许多自然和社会规定性的总和，这个规定性的总和就是角色。［4］换言之，角色是由于个人与社会的结合，产生出的比个人更抽象的概念。个人是以角色的名义与他人发生关系的。因此，角色是个人与社会的链接，也是社会网络中最小的结合点。
人类学家拉尔夫·林顿（Ralph Linton）最先使用“角色”（role）这个概念。他认为，地位是权利和义务的一种直接集合，而“角色”则体现着地位的动态方面，即“角色”是围绕地位而产生的权利义务和行为规范、行为模式，是人们对处在一定地位上的人的行为期待。［5］
教育产生于人类社会生活的需要，教育的功能，随着社会生活对教育的需求及教育对这些需求的满足，逐步扩大、发展起来。就教育科学来说，由于它涉及对人的活动的解释，因而需要运用许多有关“人”的学科的概念与解释。教育科学的核心又涉及知识和信息传递的具体途径，即传递结构的问题。
日内瓦学派代表、结构主义著名学者皮亚杰，为联合国起草了对学科类型的全面分析，后于1972年撰写了《教育的权利》一文，根据其主张，教育的根本任务在于让儿童得到全面的发展，使每个儿童都具有完善的人格。
儿童的生活群体、劳动群体、教育群体及玩耍群体，彼时的多个角色是基本合为一体的。其传递结构也较为简单，由年长一代中负有向下一代传递文化的责任的某类成员与儿童所组成。在此结构中，居于核心、首要位置的，一般是家庭中的传递，家长同时也是教育者。社会教育职能的体现，即“家庭之外”的场所，如：学校及其他专门教育机构，不仅具备专门化、制度化的社会角色——教育者（教师）、受教育者（学生），还具备了专门化、制度化的——教育内容、活动空间和活动时间（学习年限）。
如此，对于那些已成为“学生”的适龄儿童来说，以“学校中心”的传递，便成为作用于其社会化过程的整个传递结构中的一种新的成分。
同家庭中的传递、邻里中的传递乃至社区中的传递相比，学校中心的传递具有系统性、规范性的特征。由于社会已开始将几乎所有必要的知识、技能与观念的信息传递均委托给学校，学校便成为学生的主要知识来源，成为其形成兴趣、标准、态度和价值观的地方。因而，学校在传递结构中的中心地位，开始具有普遍意义，并愈加巩固，学校的教育权威几乎不容置疑。
时至今日，学校中心的传递已受到来自其他传递主体日益强劲的挑战。学校的传递能力首先遇到的是家庭的挑战，这一挑战的种子，早在学校教育从以培养社会精英为主的教育，转向以培养合格公民为主的教育时就已埋下了。
在教育普及的初始阶段，大部分学生的家长自身从未受过或仅受过很少的学校教育，至少因在传递知识方面实在无能为力，故期盼其子女“在文化享有及由此决定的社会参与上，获得前人从未有幸获得的成功，并因此对学校教育怀有一种顶礼膜拜的态度”［6］。实际上，他们已将知识传递的职能全盘交给了学校。
而今，随着教育程度的提高，以及大众传播媒介的大量普及（网络、语音、平面媒体、影视节目等），越来越多的传递主体，已经有能力去介入和影响学生的社会角色。
三、“重要他人”的现实影响及其伦理效应
在学生的个体社会化形成过程中，“重要他人”［7］（significant others）的角色，指具有重要影响的具体人物。对于重要他人的理解，可分为两个层次，一是“互动性重要他人”，二是“偶像性重要他人”，前者一般包括：学生的日常交往对象，如：父母长辈、教师、同辈伙伴等，后者一般包括：社会知名人物，如：因受到学生特别喜爱、崇拜而被视作学习榜样的人，甚至包括萍水相逢的路人。
互动性重要他人与偶像性重要他人的共同之处在于，都对学生的个人社会化具有重要影响，且受到学生年龄阶段的影响。主要区别在于：其一，前者是学生的直接生活环境中的具体人物，是学生的互动对象，而后者并非学生的互动对象；其二，前者是学生与其双向沟通的产物，后者则是学生单项选择的结果；其三，前者对学生的影响是潜移默化的，并涉及个体社会化的方方面面，后者对学生的影响集中于某个阶段的价值取向变化，其结果往往是震撼性的。如：2006年深圳市教育局就“你最崇拜的人是谁”和“对你影响最大的人是谁”做了两项调查，深圳六个区5500名中小学生居然无一人选择自己的父母。另外，从教育及社会工作者关注的留守儿童到空巢老人等社会现象，现代社会关于“重要他人”角色缺失的质疑，不禁令人深思。
家庭、学校及同辈群体这三类角色共同构成了学生日常环境里的“小社会”，三者在所属关系上是相互独立的，由此，学生不自觉的成为“跨社会”的存在。而“重要他人”在社会阶层（经济、文化）、种族、地区、性别等方面的差异，会对教育活动产生间接的辐射作用。如：影响教育机会的均等（或起点均等）问题，与贫困阶层子女无法享有原本应有的义务教育的状况截然相反，富裕阶层的兴趣已不在其子女既有的法定教育机会本身，转而追求贵族化教育的品质和品位——拥有巨额财富，正是这一社会阶层的显著特点——这就是贫富差异悬殊的现实鸿沟。
在非义务教育阶段，也同样存在着受到经济阶层、文化阶层差异制约的反差现象。尤其是高等教育阶段，文化阶层对教育机会的影响非同小可。其总体趋向是，家长的文化层次越高，子女享受教育机会（尤其是高等教育机会）的可能性也越大。
综上所述，“重要他人”角色因其社会背景的差异，可能造成教育资源的高低效应。我们应由教育科学的伦理视角出发，进行深入研究，将教育应如何更好地履行教育职能的论题，作为我们理性探索的永恒追求。
附录：不同影响者的实际角色
参考文献：
［1］吴康宁著.教育社会学.人民出版社，2010.
［2］斯东·米亚拉雷著.雷若平译.法国的教育科学.国际教育科学杂志（中文版），1985，第三卷，（2）.
［3］∏.P.阿图托夫等主编.赵维贤等译.教育科学发展的方法论问题.教育科学出版社，1990.
［4］杨心恒，刘豪兴，周运清.论社会学的基本问题——个人与社会.南开学报（哲学社会科学版），2002，（5）.
［5］迈克尔·曼著.袁亚愚等译.国际社会学百科全书.四川人民出版社，1989.
小学复数的概念范文5
[关键词]:举例温故索因联系比喻类比
1、举例法：举例通常分成两种情况即举正面例子和举反面例子。举正面例子可以变抽象为形象，变一般为具体使概念生动化、直观化，达到较易理解的目的。例如在讲解向量空间的时候就列举了大量的实例。在解析几何里，平面或空间中从一定点引出的一切向量对于向量的加法和实数与向量的乘法来说都作成实数域上的向量空间；复数域可以看成实数域上的向量空间；数域F上一切m*n矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法来说作成F上一个向量空间，等等。举反面例子则可以体会概念反映的范围，加深对概念本质的把握。例如在讲解反比例函数概念的时候就可以举这样的一个例子。试判断下列关系式中的y是x的反比例函数吗？，，。这就需要我们对反比例函数有本质的把握。什么是反比例函数呢？一切形如的函数，本质是两个量乘积是一定值时，这两个量成反比例关系。(1)中y和x-1成反比例关系，(2)中y+3和x成反比例关系。定义中要求k为常数当然可以是-1，所以(1),(2)不是，(3)是。
2、温故法：不论是皮亚杰还是奥苏伯尔在概念学习的理论方面都认为概念教学的起步是在已有的认知的结构的基础上进行的。因此在教授新概念之前，如果能先对学生认知结构中原有的概念作一些适当的结构上的变化，再引入新概念，则有利于促进新概念的形成。例如：在高中阶段讲解角的概念的时候最好重新温故一下在初中阶段角的定义，然后从角的范围进行推广到正角、负角和零；从角的表示方法进行推广到弧度制，这样有利于学生思维的自然过渡较易接受。又如在讲解线性映射的时候最好首先温故一下映射的概念，在讲解欧氏空间的时候同样最好温故一下向量空间的概念。
3、索因法：每一个概念的产生都具有丰富的背景和真实的原因，当你把这些原因找到的时候，那些鲜活的内容，使你不想记住这些概念都难。例如三角形的四个心：内心、外心、旁心和重心，很多同学总是记混这些概念。内心是三角形三个内角平分线的交点，因为是三角形内切圆的圆心而得名内心；外心是三角形三条边垂直平分线的交点，因为是三角形外接圆的圆心因而的名外心；旁心是三角形一个内角平分线和两个不相邻的外角平分线的交点，因为是三角形旁切圆的圆心而得名旁心；重心是三角形三条中线的交点，因为是三角形的重力平衡点而得名重心。当你了解了上述内容，你有怎么可能记混这些概念呢？又例如：点到直线的距离是这样定义的，过点做直线的垂线，则垂线段的长度，便是点到直线的距离。那么为什么不定义为点和直线上任意点连线的线段的长度呢？因为只有垂线段是最短的，具有确定性和唯一性。再如：我们之所以把n元有序数组也称为向量，一方面固然是由于它包括通常的向量，作为特殊的情形；另一方面也是由于它与通常的向量一样可以定义运算，并且有许多运算性质是共同的。像这样的例子还有很多，不再一一列举。
4、联系法：数学概念之间具有联系性，任意数学概念都是由若干个数学概念联系而成，只有建立数学概念之间的联系，才能彻底理解数学概念。例如在学习数列的时候，我们不妨作如下分析：数列是按一定次序排列的一列数，是有规律的。那规律是什么呢？项与项数之间的规律、项与项之间的规律、数列整体趋势的规律。项与项数之间的规律就是我们说的通项公式，项与项之间的规律就是我们所说的递推公式，数列整体趋势的规律就是我们所说的极限问题。当项与项之间满足差数相等的关系时，数列被称为等差数列；当项与项之间满足倍数相等的关系时，数列就被称为等比数列。这样我们对数列这一章的概念便都了然于胸了。
5、比喻法：很多同学概念不清的原因是觉得概念单调乏味、没有兴趣，从而不去重视它、深究它，所以我们在讲解概念的时候，不妨和生活相联系作些形象地比喻，以达到吸引学生提高学习兴趣的效果。例如：在讲解映射的时候，不妨把映射的法则比喻成男女恋爱的法则。两个人可以同时喜欢上一个人，但一个人不可以同时爱上两个人。这不正是映射的法则:集合A中的每一个元素在集合B中都唯一的像与之对应吗？又如函数可以理解为一个黑匣子或交换器，投入的是数产出的也是数；投入一个数只能产出一个数；但是当投入不同数的时候可以产出同一个数。再如：满足和的像等于像的和、数乘的像等于像的数乘的映射称之为线性映射。这不正像一个人怎么舞动他的影子就怎么舞动吗？所以有的时候把线性映射理解为“人影共舞”的映射。
小学复数的概念范文6
美国数学家克莱因对数学美做过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”无数实践证明，数学美对于人们进行数学创造具有重要意义。因此，在数学教学中，教师应结合教材，充分挖掘教材潜力，充分展示教材的数学美，使学生受到美的熏陶，同时激发他们的创新意识，培养他们的创新能力，帮助他们树立学习的信心，激发学习潜能，在学习中获得愉悦感。
一、数学史的发展美
随着数学教学改革的逐步深入，数学史越来越受到数学教育教学工作者的重视。一些历史的例子可以古为今用，可以被开发出来作为阐释某些深奥数学概念和思想的教学载体。数学史的发展美包括两个方面：一方面是学知识体系的发展美。如数系的发展、坐标系的引入、微积分的发展等。既可以增加学生的知识面，扩大学生的视野，又可以使学生从这些史实中了解相关的数学知识与方法产生的历史背景，体会其中的思想、方法和创立一门新学科的艰辛。另一方面，天才数学家留下的许多有趣的故事，体现了人类的智慧。数学先驱的严谨态度值得我们学习，他们的献身精神值得我们景仰，他们的经验教训值得我们借鉴，他们追求整理的精神值得我们感动。
二、表达形式的简洁美
数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式、数学的证明方法和数学的理论体系的结构简洁。爱因斯坦曾说：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这种美学理论在数学界也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。
欧拉给出的公式：V-E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。
正弦定理：ABC的外接圆半径R，则===2R。
绝大部分数学公式都体现了“形式的简洁性，内容的丰富性”。正如伟大的希尔伯特所说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着。”如笛卡尔坐标系的引入，对数符号的使用，复数单位的引入，微积分的出现都体现了数学外在形式的简洁，内容的深厚。
三、数学知识的和谐美
数学知识的和谐美是数学的普遍形式。教学时，教师不但要对这种美有较深刻的领悟，而且要能艺术地表现出来。例如：推导椭圆的标准方程时，由定义“到两定点F（c，0）和F（-c，0）距离之和为定长2a的点的轨迹”可直接写出方程+=2a。这个方程能正确地表达椭圆的代数形式，但比较复杂，更不便于计算，故化简最终整理成+=1（a＞b＞0）。方程中的b开始似乎纯粹是为了追求方程的和谐美而引进的，但在研究椭圆性质时，可进一步发现a、b恰好为椭圆的长、短半轴长，竟有鲜明的几何解释。人们内心世界所追求的美恰好在外部世界得到如此完美的表现，这实际上也体现了美与美之间和谐的统一。教师在推导过程中的示范，唤醒了学生的审美意识，学生也进入美的境界，从而得到美的享受。在此基础上，让学生根据定义画出椭圆，且要求他们用生动形象的数学语言表达自己的思维活动。这样，在让学生感受和体验美的同时，激励他们创造美，使数学美在教学中的作用发挥得淋漓尽致。
再如欧拉公式：e=-1，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣莫弗―欧拉公式是cosθ+isinθ=e（1）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――的确是“天作之合”。因为，由他们的结合能派生出许多的美、有用的结论。比如，由公式（1）得cosθ=,sinθ=。由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。
和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比λ=，即0.61803398…，在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。又如在椭圆+=1（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B，若该椭圆的离心率为λ=，则∠ABF=。这样的椭圆不妨称之为“优美椭圆”。黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达・芬奇称黄金分割比λ=为“神圣比例”。他认为：“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上。”如名画的主题，大多画在画面的0.618处；弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更悦耳。
数学中的重要思想方法之一――数形结合法更体现了“数”与“形”的和谐美。
四、数学中的对称美
在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。事实上，译自希腊语的这个词，原意是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。对称不仅美，而且有用。数学中的对称美有：（一）数和式的对称美。如二项式定理、杨辉三角。（二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。（三）数学思想和方法的对称美。如分析法与综合法，直接法与反证法，逻辑思维与逆向思维，等等。
五、数学发展过程的统一美
数的概念从自然数、分数、负数、无理数扩大到复数，经历了无数坎坷，范围不断扩大，对数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否把复数的概念继续推广。英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a+ai+aj+ak（a，ai，aj，ak为实数）的数，其中i、j、k如同复数中的虚数单位。若a=a=0，则四元数a+ai+aj+ak是一般的复数。四元数的研究推动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性结合代数理论。物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希尔伯特所说：“追求更有力的工具和更简单的方法。”
六、数学结果的奇异美
奇异性是数学内涵美的又一基本内容。它是指所得的结果新颖奇特，出人意料。七巧板拼图是小学数学课常采用的内容。用七块板可以拼成一个最简单的正方形，也可以拼出千变万化的复杂图案，如人形、鸟兽、花草、房屋等。通过七巧板拼图练习，学生感到图案之多，出人意料；图形之美，妙趣横生。
有趣的数学知识能让学生感受到不同的美，而且利用数学的奇妙能装扮人们的生活。比如：搞服装设计，如果应用黄金分割的知识，作品就会让人赏心悦目。巴赫的音乐中充斥着数学的对称美，埃及的金字塔在建筑线条上凝聚了多少形象的数学……真可谓哪里有数学，哪里就有美。
在全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数，不合理地把b约去得到，结果却是对的？经过一种简单计算，可以找到四个分数：,,,。这个问题涉及“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现了一种奇异美吗？
人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：
到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的动点的轨迹，
当e＜1时，形成的是椭圆；
当e＞1时，形成的是双曲线；
当e=1时，形成的是抛物线.
常数e由0.999变为1、变为1.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。
这也体现了哲学中的量变到质变。数学中也蕴含哲学，这不是很美吗？教师平时要多注意总结、积累，提高自己的欣赏水平，同时也应引导学生多去发现。
七、数学应用之美
数学理论不管离现实多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向。数学不但是其他自然科学的一门工具性学科，同时还广泛应用于现实生活。
数学之美，还可从更多的角度去审视。数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。上面只是就某些侧面谈一些看法。而每一侧面的美都不是孤立的，它们是相辅相成、密不可分的，如和谐美中包含统一美，统一美中也包含和谐美。
