前言：中文期刊网精心挑选了数学中的反证法范文供你参考和学习，希望我们的参考范文能激发你的文章创作灵感，欢迎阅读。
数学中的反证法范文1
关键词：反证法；证明；矛盾；应用
中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）02-0077-02
在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入手甚至无法入手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易举。
一、反证法原理及解题步骤
1.反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答，但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确结论。
2.反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾：与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例总结几种常用反证法的情况。
二、反证法在中学数学中的应用
反证法虽然是在平面几何教材中提出来的，但对数学的其他部分内容如代数、三角函数、立体几何、解析几何中都可应用反证法。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命题。
1.基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。
例1 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点。证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a，b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b。
与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。
2.否定性命题。否定性命题，也就是结论以否定形式出现的命题，即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易人手，而运用反证法能使你见到“柳暗花明又一村”的景象。
3.存在性问题。在存在性问题中，结论若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此来推出矛盾，从而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我们用反证法来证明。
例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求证：a，b，c中至少有一个不小于1。证明：假设a，b，c都小于1，则2x2-2x+3.5
4.无穷性命题。无穷性命题是指在求证的命题中含有“无穷”、“无限”等概念时，从正面证明往往无从下手时，我们常使用反证法。
例3 证明■是无理数。证明：假设■不是无理数，那么■是有理数，不妨设■=■（m，n为互质的整数）， m2=3n2，即有m是3的倍数，又设m=3q（q是整数），代人上式得n2=3q2，这又说明n也是3的倍数，那么m与n都是3的倍数，这与我们假设m、n互相矛盾，■是无理数。
5.唯一性命题。有关唯一性的题目结论以“…只有一个…”或者“……唯一存在”等形式出现的命题，用反证证明，常能使证明过程简洁清楚。
例4 设0
从而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此与x1≠x2且0
三、应用反证法应该注意的问题
对于同一命题，从不同的角度进行推理，常常可以推出不同性质的矛盾结果，从而得到不同的证明方法，它们中有繁冗复杂，有简单快捷，因此，在用反证法证明中，应当从命题的特点出发，选取恰当的推理方法。
1.必须正确“否定结论”。正确否定结论是运用反证法的首要问题。
2.必须明确“推理特点”。否定结论导出矛盾是反证法的任务，但出现什么样的矛盾是不能预测的。一般是在命题的相关领域里考虑，这正是反证法推理的特点。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一出现，证明即告结束。
3.了解“矛盾种类”。反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。
反证法是一种简明实用的数学解题方法，也是一种重要的数学思想。学会运用反证法，它可以让我们掌握数学逻辑推理思想及间接证明的数学方法，提高观察力、思维能力、辨别能力，以及养成严谨治学的习惯。我认为，只有了解这些知识，在此基础上再不断加强训练，并不断进行总结，才能熟练运用。
参考文献：
[1]陈志云，王以清.反证法[J].高等函授学报（自然科学版），2000，13（6）：20-23.
[2]阎平连.浅谈反证法在初中数学中的运用[J].吕梁高等专科学校学报，2002，18（1）：28-29.
[3]张安平.反证法――证明数学问题的重要方法[J].教育教学，2010，1（11）：179-180.
[4]张世强.浅析“反证法”[J].成都教育学院学报，2000，6（06）：09-10.
数学中的反证法范文2
关键词： 反证法 近世代数 群 环
近世代数是一门较抽象的课程.它的主要研究对象是代数系统，即带有运算的集合.由于内容抽象，初学者往往会感到困难重重，尤其对于证明，不知如何从哪方面下手.其实，在掌握好它的基本概念、性质和定理的前提下，它所用的思考方式和手段，很多都是数学证明里常用的，如，类比、归化、转化、反证等.反证法在近世代数的证明中用途极其广泛.它在数学命题的证明中有直接证法所起不到的作用，如果能恰当地使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能.
反证法是分析问题和解决问题的一种科学方法.反证法又叫归谬法、背理法，是数学中常用的一种命题证明方法.反证法是对数学命题的一种间接证法，其理论依据是形式逻辑中的“排中律”和“矛盾律”.这种方法是从反面进行证明，即肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，使命题获得证明.有关“存在性”、“否定性”、“无限性”的命题，应用反证法的情况较多.在近世代数中，有些问题直接利用定理结论证明或用定义直接验证较困难时，可考虑使用反证法.本文就子群的阶、同构、主理想、素理想四个近世代数中几个重点难点内容展开讨论，希望学生在学习过程中由此能得到点滴启发.
反证法证题的步骤是：1.反设：反设是应用反证法证题的第一步，也是关键一步，反设的结论作为下一步“归谬”的一个已知条件.反设的意义在于假设所有证明的命题的结论不成立，而结论的反面成立；2.归谬：“归谬”是一个用反证法证题的核心，其含义是从命题结论的“反设”及原命题的已知条件出发，进行正确严密的推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾或自相矛盾的结果；3.结论：指出“反设”是错误的，原命题结论必正确.
1.反证法在子群阶中的应用
例1.设p，q是两个素数，且p
分析：这个结论易通过Sylow定理得到，但[1]中没有涉及Sylow定理，通过反证法可轻松证得.题目要证明至多存在一个子群，我们可以假设存在两个不同的子群.
证明：设H，K是群G的两个不同的q阶子群，但由于|H∩K|| |H|=q，且q是素数，故|H∩K|=q或1.
若|H∩K|=q，则由H∩K≤H且H∩K≤K知H∩K≤=H=K，与H≠K矛盾.
注：从这一例题中可以看到，直接说明pq阶群G最多有一个q阶群难度相当大，但如果假设有两个不同q阶子群，通过推理出现矛盾，则说明最多有一个q阶子群.
2.反证法在同构中的应用
同构在近世代数中是一个非常重要的基本概念.如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的.简单来说，同构是一个保持结构的双射.在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射.
换言之，G的乘法表是唯一确定的.因此阶为6的非交换群存在且互相同构.
注：这一证明题不是一开始就给予结论否定，而是在证明中部分地方利用了反证法.如|b|≠3.若|b|=3，则在后面的推论中出现矛盾.
3.反证法在环中的应用
例3.证明卡普兰斯基（Kaplansky）定理：设R是一个有单位元用1表示的环，如果R的元素a有一个以上的右逆元，则a就有无限多个右逆元.
4.反证法在理想中的应用
注：说明极大理想都是素理想，可以假设有一个极大理想不是素理想，根据这一假设推出矛盾.
数学思维方法的训练是实现“授之以渔”教学举措的有效手段，我们应该在教学中有意识、有计划、有目的地利用不同类型的问题，从不同视角、不同途径分析、思考和探索，帮助学生拓展证题思路，形成良好的数学思维品质.善于反思，巧妙利用反证是解决数学问题的重要方法和策略，不仅能揭示数学知识的内在联系、规律和相互关系，更能从复杂问题中找到突破口，从而避免繁琐的证题过程，有效提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的探索和创新精神.
参考文献：
[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1998.
[2]汪秀羌.反证法的应用[J].工科数学，1997，2：163-166.
[3]唐娜.浅谈如何加强大学素质教育[J].学园，2010，12：25-26.
数学中的反证法范文3
关键词：高中数学 逆向思维能力 培养途径
数学是一门注重培养学生思维的学科。《高中数学课程标准》中明确指出：“数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用，要注重对数学本质的理解和思想方法的把握。”长期的实践表明，如果按部就班的对学生进行引导，会导致学生形成思维定式。而有意识的对学生进行逆向思维的训练，有利于帮助学生转变错误的观念，形成正确认知，而且有利于帮助学生发展创新思维。本文结合笔者多年的教学实践经验，就“高中数学教学逆向思维能力的培养”这一课题浅谈如下自己的看法。
一、什么是逆向思维
所谓逆向思维，是一种创造性思维，它是指与原先思维相反方向上的思维。相对正向思维而言，它是与人们常规思维程序相反的，不是从原因（或条件）来推知结果（或结论），而是从相反方向展开思路去分析问题、得出结论。
逆向思维就是突破习惯思维的束缚，做出与习惯思维方向相反的探索。如果学生有逆向思维的能力，采用这种思维去解决问题，就很容易找到解题的突破口，寻找到解题的方法和恰当的路径，使解题过程简洁而新颖，逆向思维不仅可以加深对原有知识的理解，还可以从中发现一些新的规律，或许会创造出更新更好的方法。在数学教学中有目的地设汁一些互逆型问题，能从另一个角度去开阔学生的思路，就会促使学生养成从正向和逆向两个方面去认识、理解、应用新知识的习惯，从而提高学生分析问题和解决问魉的能力。
二、高中数学教学逆向思维能力的培养途径
1.在数学概念教学中训培养逆向思维。高中数学中的概念、定义总是双向的，不少教师在平时的教学中，只注意了从左到右的运用，于是形成了思维定势，对于逆用公式法则等很不习惯。因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展。
2.在解题教学中的培养逆向思维。解题教学是培养学生思维能力的重要手段之一，因此教师在进行解题教学时，应充分进行逆向分析，以提高学生的解题能力。
（1）顺推不行则逆推。有些数学题，直接从已知条件入手来解，会得到多个结论，导致中途迷失方向，使得解题无法进行下去。此时若运用分析法，从命题的结论出发，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解题途径。
（2）直接不行换间接。还有一些数学题，当我们直接去寻求结果十分困难时，可考察问题中的其他相关元素从而间接求得结果。
3.利用反证问题培养逆向思维。反证法实质上是证明命题的逆否命题成立，即当命题由题设结论不易着手时，而改证它的逆否命题，是从题断的反面出发，以有关的定义、定理、公式、公理为前提，结合题设，通过推理而得出逻辑矛盾。从而得知题断的反面不能成立。应用反证法证明的主要三步是：否定结论一推导出矛盾一结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
4.强化学生的逆向思维训练。一组逆向思维题的训练，即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目相似的新题型。在研究、解决问题的过程中，经常引导学生去做与习惯性思维方向相反的探索。其主要的思路是：顺推不行就考虑逆推；直接解决不了就考虑间接解决；从正面入手解决不了就考虑从问题的反面入手；探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性。
5.灵活运用基本数学方法，促进逆向思维发展。
（1）分析法是从结论出发“执果索因”，步步寻求结论成立的充分条件，它只要求每相邻的两个论断中，后一个是前一个的充分条件（不一定等价），用分析法思考，要论证的结论本身就是出发点，学生知道了应从什么地方着手，能自觉地、主动地去思考，学生的解决问题的信心便大大增强了。“由因导果”的方法通常称为综合法。分析法和综合法各有千秋，可以互相弥补对方的不足。在实际论证一个命题时，先用分析法思考发现可以作为论证出发点的真命题，再用综合法表达出证明过程，两者配合起来，在教学中运用十分广泛，且分析法常用于不等式和恒等式的证明。
（2）逆证法虽然也是从结论出发，但它与分析法还是有区别的，逆证法要求推理过程中，任何两论断都互为充要条件，逆证法首先对不等式或恒等式进行变形，逐步推出一个已知的不等式或恒等式，这比较直截了当，检查这些变形是可逆的并不困难，但在一般情况下使用逆证法并不省事，应让学生重点掌握分析法。
参考文献：
[1]韦德奉.浅析高中数学教学中的逆向思维[J].高中数理化，2011，（10）.
数学中的反证法范文4
一. 引言
有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
二. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式
定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。
模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：
反设：作出与求证结论相反的假设；
归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
三. 反证法的适用范围
1.否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。
例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。
证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900，且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。
2.限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。
例 在半径为 的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于 。
证明：每个小圆的公共部分的面积都小于 ，而九个小圆共有 个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于 ，又大圆面积为 ，则九个小圆应占面积要大于 ，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于 。
例 已知方程 ， ， 中至少有一个方程有实数值，求实数 的取值范围。
分析：此题直接分情况用判别式求解就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件 的集合的补集即可。
证明：假设三个方程都无实根，则有：
解得
例 已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1．
证 假设a，b，c中至少有两个数不小于1，不妨设a≥1，b≥1，则 m≥n+p，n≥p+m．
两式相加，得2p≤0，从而p≤0，与p是正整数矛盾．
所以命题成立．
说明 “不妨设”是为了简化叙述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．
所求 的范围为 .
3.无穷性命题
即涉及各种“无限”结论的命题。
例 求证： 是无理数。
分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设 是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将 表示为一个分数。
证明：假设 是有理数，则存在 互质，使 ，从而， 为偶数，记为 ， ， ，则 也是偶数。由 ， 均为偶数与 、 互质矛盾，故 是无理数。
例 求证：素数有无穷多个。
证明：假设素数只有n个： P1、P2……Pn，取整数N=P1?P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。
四. 运用反证法应注意的问题
1.必须正确否定结论
正确否定结论是运用反证法的首要问题。
如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”。
2.必须明确推理特点
否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准，有的甚至是捉摸不定的. 一般总是在命题的相关领域里考虑（ 例如，平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点。因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束。
数学中的反证法范文5
一、证明数学命题
这主要是指用间接法来证明数学命题。数学证明有直接证明和间接证明两种，反证法（又称为归谬法）是间接证法的一种常用形式。在证明一个命题时，我们若发现无法直接证明或很难直接证明时，就应想到用反证法去证明。这就体现了逆向思维的特点。而常常是这样的思考，会将一些问题看得透彻，最终获得成功。于是，反证法又被誉为是“数学家最精良的一种武器”。
那怎样的命题常用反证法来证明呢？一般来说，具有以下特点的命题常用反证法来证明。
1.否定式命题。
例1.已知m、n为奇数，证明方程x+mx+n＝0没有有理根。
证明：由于m、n为奇数，因此设m＝2k+1，n＝2t+1（k，t都为整数），
于是方程变为x+（2k+1）x+（2t+1）＝0，
要证此方程无有理根，
只要证得判别式不能在有理数范围内开方就行了。
其中判别式＝（2k+1）4（2t+1），显然是一个整数，
不能是一个既约分数的平方。
下面只须证明也不是任何整数（包括偶数和奇数）的平方。
（运用反证法）
（1）假设是某一个偶数的平方，设＝（2p）（p∈Z），
即（2k+1）4（2t+1）＝（2p）
4k+4k-8t-3＝4p
即k+k-2t-p＝3/4
由于左边为整数，而右边是分数，于是产生矛盾。
（2）假设是某一个奇数的平方，设=（2p+1）（p∈Z），
即（2k+1）4（2t+1）＝2（p+1）
（2k+1）（2p+1）＝4（2t+1）
即（k-p+1）（k-p）=2t+1
由于等式左边是偶数，而右边是奇数，于是产生矛盾。
综上可知，不是任何整数的平方。
于是此方程没有有理根。
此命题得证。
2.结论的反面较之结论本身更简单、更具体、更易证的命题。
例2.证明：如果21是质数，那么p也是质数。
证明：假设p不是质数，p=kt（k、t都是整数，且都不等于1和0），
21＝21＝（2）1
＝（21）［（2）+（2）+…+1］
由于后两个因数是整数，其中任何一个都不等于1，也不等于0。
21一定不是质数，于是产生矛盾，
原命题成立。
对于用反证法来证明时，要注意若结论的反面有多种情况时，要将各种情形穷举出来，一一驳倒后才能肯定原命题成立。这种反证法有时被称为穷举归谬法。
例3.已知：在ABC中，BE、CF分别是∠B、∠C的平分线，且BE＝CF。求证：AB＝AC。
证明：如下图1。如果AB≠AC，那么就有AB＞AC或AB＜AC，作平行四边形BEGF。
（）假定AB＞AC,那么有∠ACB＞∠ABC
∠BCF＞∠CBE
BF＝EG，BF＞CE
EG＞CE
连接CG，∠ECG＞∠EGC
但由于FC＝FG，∠EGC＜∠ECG
∠FCE＜∠FGE＝∠FBE
则有∠ACB＜∠ABC（自相矛盾）
由此，AB＞AC是不对的。
（）仿此，可以证明AB＜AC也是不对的。
AB＝AC
利用反证法证明实际上是通过揭示这个命题的相反的判断的错误来证明这个命题的，即是用证明题中命题的逆否命题正确，再因原命题与其逆否命题等价，所以得出原命题正确。
二、解决其它数学问题
主要是指间接解法。这常常在排列、组合、概率等问题中有广泛的应用。
即是：若要求得适合题设条件的数。不是去考虑如何直接得到它，而是先去研究那些不合题意（即不适合题中条件）的数，计算出这些数后，从总的数中（即符合题意和不符合题意的都算），抛去这些不合题意的数，就得到符合题意的种数。
例4．5男5女共10个同学排成一排。其中5名男生不排在一起，问有多少种排法？
析：若直接分类则较为复杂，可用间接法。从10个人的排列总数中，减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为：
AAA＝3542400
例5.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有多少种？
析：此题正面分析情形较多，若逆向思考，是转化为总体中除去3个面两两相邻的情形。
解：6个面中任意取3个，共有C个，其中3个面两两相邻对应于正方体的顶点个数，有8个。故所有不同的选法有C8=20-8=12个。
例6.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2。要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
解：同样用间接法可简单得到：
1-（1-0.2）＞0.9
得到n＞10.3
n∈N
n＝11
至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。
例7.设整数k不能被5整除，问xx+k能不能写成两个次数较低的整系数多项式的乘积？
证明：假设xx+k能写成两个次数较低的整系数多项式的乘积，
则xx+k＝（x+a）（x+bx+cx+dx+e）
或xx+k＝（x+ax+b）（x+cx+dx+e）
若为前者，则-a为xx+k＝0的根，即（-a）+a+k＝0，
所以，这与题设矛盾。
若为后者，比较系数知a+c＝0，ac+b+d＝0，ad+bc+e＝0，ae+bd＝-1，be＝k。
由前三个等式知c＝-a，d＝ab，e＝2ab-a，
代入第四个等式得3ab+1＝a+b，代入第五个等式，
得k＝2abab
＝2a（3ab+1-a）-ab
＝5ab+2（a-a）
而aa（mod5），所以5k，这也与题设矛盾。
因此结论成立。
总之，运用逆向思维来解决数学中的各种问题是非常有效的一种思考方式。它常常能使复杂问题的解答变得简便。
参考文献：
［1］谭光宙，丁家泰，赵素兰.中学数学解题方法.北京师范大学出版社.
［2］十三校协编组编.中学数学教材教法.高等教育出版社.
［3］陈传理，张同君主编.竞赛数学教程.高等教育出版社.
数学中的反证法范文6
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
例1.二次三项式x2-4x-1写成a（x+m）2+n的形式为
解：原式=x2-4x+4-5=（x-2）2-5.
点评：配方法的难点是配方，要求学生必须熟练掌握公式“a2±2ab+b2”，判断什么是：“a”或“b”或“ab”，怎样从a2、2ab这两项去找出“b”，或从a2、b2这两项去找出2ab”，或从2ab去找出a2和b2”.同学们要熟练掌握这些基本方法，从而做到心中有数，配方有路可循.
2、因式分解法
有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
例2.5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x（a+b）+3y（a+b）=（5x+3y）（a+b）
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
例3.解方程组：（x+5）+（y-4）=8；（x+5）-（y-4）=4。
解：令x+5=m，y-4=n，原方程可写为：m+n=8，m-n=4。解得m=6，n=2。所以x+5=6，y-4=2所以x=1，y=6。
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5，y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2bxc=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
例4.关的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2-1=0有实数根，则的取值范围是______
解：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有b2-4ac≥0
解得 a=1，b=-2（K+1），c=k2-1
b2-4ac=[-2（k+1）]2-4×1×（k2-1）=8k+8
因为方程有实数根，b2-4ac≥0，即：8k+8≥0，k≥-1
5、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
例5.已知函数y= 的最大值为7，最小值为-1，求此函数式。
【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
此题也可由解集（-1，7）而设（y+1）（y-7）≤0，即y2-6y-7≤0，然后与不等式①比较系数而得： ，解出m、n而求得函数式y。
另外，还有以下方法，由于版面有限不再例举。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法
