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乘除法的规律范文1
关键词：拜尔法 钙硅比 钠硅比 线性回归
前言
在氧化铝市场竞争日益白热化的今天，各大生产厂商纷纷研究如何进一步降低生产成本来提高企业竞争力。在降低生产成本的同时对精益生产管理提出了新要求，本文主要从我厂近年实际生产出发，对工业生产过程数据进行整理统计，并借助统计学分析方法，得出溶出稀释矿浆钙硅比与钠硅比的量化关系，为氧化铝生产过程中合理配灰提供了理论依据，为企业进一步降本增效的精益生产管理提供了科学指导。
一、配灰的作用
山西省北部地区铝土矿多为一水硬铝石铝土矿，其特点是高硅、高铝、低铁，其结构致密、溶出困难，在工业生产中需要加入一定量的石灰后在高温高压的条件下下才能较好地将氧化铝溶出。石灰在氧化铝溶出过程中的主要作用通常表现在以下几个方面。
1.消除氧化钛的危害
在一水硬铝石型铝土矿溶出时通常加入一定量的石灰，这主要因为铝土矿中的氧化钛会与氢氧化钠发生反应生成不溶性的钛酸钠。此时，不但增加了碱的损失，而且由于钛酸钠非常致密，会形成一层保护膜把矿石颗粒包裹起来从而阻碍氧化铝的溶出，使整个溶出过程非常困难，添加石灰后，石灰会与氧化钛反应生成不溶性的钛酸钙，消除钛酸钠在溶出过程的危害，可以提高氧化铝的溶出率和溶出速度。
添加石灰在一水硬铝石型铝土矿溶出过程中可以消除铝土矿中氧化钛的危害，配入石灰的最小数量应满足矿石中的氧化钛全部转变为2CaO・TiO2・2H2O。
2.减少碱的消耗
同时，在高压溶出反应过程中加入过量的石灰后，其还会与含有氧化硅的钠硅渣发生反应，生成水化石榴石从而降低碱的损失。有文献指出溶出稀释矿浆残渣中Na2O/SiO2的质量比只与CaO/SiO2有关，而与矿石含硅量没有任何关系[1]。
3.其它作用
另外，据前苏联和我国的一些学者在研究中还发现在氧化铝溶出过程中添加石灰还有促进针铁矿转变为赤铁矿，使铝酸钠溶液中的一些杂质转变为钙盐分离，加快赤泥沉降速度等作用[2]。
二、现状分析
1.现有石灰配比方式
在氧化铝生产过程中，大多数企业的石灰的添加量仍主要根据经验，按照高压溶出后稀释矿浆固相的化验结果中的钠硅比这一指标来指导调整配灰，当钠硅比偏高时适当提高石灰的配比，当铝硅比偏高时适当降低石灰的配比。一般石灰添加量根据工业生产实践经验按铝土矿质量的8%-12%之间进行调整[3]。
2.现有石灰配比的不足
通过对现有石灰配比的描述，我们可以看出在配灰量的控制上大家习惯性依靠经验数据，在一水硬铝石型铝土矿的溶出过程中添加石灰可以提高氧化铝溶出率，加快氧化铝溶出速度和降低碱耗的观点已经被广大学者接受并已经在工业生产中得到了普遍应用。但通过加入过量石灰，会相应减少Na2O的损失，但同时却增加了Al2O3的损失。
所以生产中石灰配入量多少才是最合适、最经济的，这才是需要我们深入研究的一个焦点。后续我们将用科学的方法来分析研究各项技术指标与经济指标之间的关系，用于指导生产，达到精益生产管理需求，实现最优生产组织。
三、石灰配比对钠硅比影响的量化分析
1.数据统计
下面结合我厂工业生产实际，以2010年高压溶出Ⅰ系列化验分析数据为依据，整理得出表3-1高压溶出反应工艺条件和表3-2不同配灰钙硅比下的钠硅比数据对比。
其中，表3-2中的数据采取如下方法整理得出。以我厂溶出Ⅰ系列化验分析数据为基础，剔除异常数据，再从中随机抽取了150组数据，并按照钙硅比以0.5为等份进行分组，然后分别对每组数据求平均值，得到最终对比数据。
2.线性回归分析
根据表3-2，利用EXCEL工具画出（钙硅比：钠硅比）的散点图，见图3-1，横坐标为钙硅比，纵坐标为钠硅比。
图3-1 反映钙硅比与钠硅比相关关系的散点图
从图3-1中我们可以看出样本数据（C/S：N/S）连接后基本成一条直线，这说明变量C/S与N/S之间存在明显的线性相关关系。另外，从所绘制的散点图可以看出随着混合矿中C/S的增加，溶出稀释矿浆N/S就会减少，这也就意味着随着配灰量的增加，溶出稀释矿浆中的含碱量就会减少，生产1t氧化铝的化损碱耗就会减少。
根据表3-1，利用Excel数据分析选项中的回归对C/S与N/S在置信度为95%时进行回归分析[4]，输出结果如图3-2所示。
图3-2稀释钠硅比对钙硅比的回归直线
在Excel输出的回归结果中，方差分析表部分给出了线性关系显著性检验的全部结果。我们可以看出“Significance F”的值F=2.21072E远远小于给定的显著性水平α的值0.05，这说明了溶出稀释矿浆N/S与C/S之间存在着显著的线性关系。从输出表得出关系式为y=-0.174x+0.584，且判定系数R2=0.9701，表明了回归直线对观测数据有很好的拟合优度[5]。
3.今年以来生产数据对比
为了进一步说明线性回归分析所得出的相关关系式y=-0.174x+0.584在工业生产中的适用性，我们随机抽取了10组今年4、5月份我厂的工业生产实际化验数据，将其与用相关关系公式求得的预测数据进行了对比，整理得出如表3-3。
从表3-3可以看出稀释矿浆N/S的实际化验结果与我们所用公式推导出的预测数据十分接近，误差值在工业生产计算允许的范围之内，误差率平均值仅为1.10%，完全可以满足预测需要，由此我们完全可以将此公式推广应用到实际工业生产中来指导配灰的调整。
另外在研究的过程中通过数据的比对我们还发现：入磨矿石A/S对稀释矿浆N/S并无明显影响；稀释矿浆A/S虽然会随着配灰量的增加有升高的趋势，但其又受到溶出温度和母液添加量的影响非常大，其与C/S的相关关系必须在更为严格苛刻的实验条件下才能用此方法计算得出。
四、成本分析及优化
上节提到稀释矿浆A/S的变化受影响的因素较多，那么我们假定在配灰不断升高的情况下稀释矿浆A/S保持不变，来分析对比不同C/S下的原材料成本。
我们假定入磨铝土矿、配入的石灰和碱的情况如表4-1所示。
下面我们继续核算在不同钙硅比时，不考虑后序水解的影响下，以溶出稀释矿浆为准进行核算生产1t氧化铝所需要的铝土矿、石灰和碱的成本。计算过程假定稀释矿浆A/S为1.20，N/S按照上文所得出的公式y=-0.174x+0.584进行推导。得到如表4-2的结果
从上表可以看出，在不考虑石灰添加量对稀释A/S的前提下，石灰的配入量只要能满足将矿石中氧化钛等杂质的影响消除，确保溶出可以顺利进行，则在目前原材料价格的市场条件下，配灰量越小，则消耗的原材料成本越低，而不是一味追求N/S指标的降低。
五、结论及展望
1.影响稀释矿浆N/S的最主要因素是配灰量的多少，而与铝土矿铝硅比并无明显关系。且稀释矿浆N/S与C/S存在很好的线性相关关系。
2.尽管通过提升石灰配比能够降低碱耗，但却增加了石灰和铝土矿的消耗，从最优成本考虑，必须根据当前市场原材料和氧化铝的价格来组织生产。
3.氧化铝生产流程长、化学反应复杂且各指标存在相互影响，企业在生产过程中应不断加大科技创新，建立适应自己企业的动态成本控制系统，才能进一步优化成本控制。
参考文献：
[1] 毕诗文.氧化铝生产工艺[M].第1版.化学工业出版社，2013.1：61
[2] 毕诗文.氧化铝生产工艺[M].第1版.化学工业出版社，2013.1：91-92
[3] 袁华俊，项阳，袁艺.拜尔法中石灰用量与氧化铝溶出率和碱耗的关系，[J].贵州工业大学学报，1998，27（5）：67-71
乘除法的规律范文2
教材分析：分式的乘除法是本章的一个重要的内容，是分式的基本性质、分式的约分的进步提高及应用。本课时包含分式的乘法、分式的除法的内容。分式的除法可以转化为分式的乘法进行运算。分式的乘法是本课时的一个重点。分式的乘除法是建立在小学分数乘除运算的基础上，又与数的运算有很大的不同。
教学目标：（1）知识与技能目标：使学生理解并掌握分式的乘除法运算方法，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。（2）数学思考目标：经历探索分式的乘除法运算方法，发展合情推理的推理能力，培养学生大胆猜想的能力。（3）解决问题能力：形成解决问题的基本策略，从特殊到一般，从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算，也为以后学习分式的加减运算作铺垫。（4）情感与价值目标：教学中注意渗透类比转化思想，让学生在大胆猜想中学到方法，培养学习数学的自信心。
教学重点：使学生掌握分式的乘除法运算。
教学难点：分子、分母为多项式的分式的乘除法运算。
教学方法：探究式、引导式、小组交流合作。
教学准备：多媒体辅助。
教学过程：问题1：一个长方体容器的容积为v底面的长为a宽为b，当容器内的水占容积的
时，水高多少？长方体容器的高为____，水高为____
问题2：大拖拉机m天耕地a公顷__，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？大拖拉机的工作效率是
公顷，天，小拖拉机的工作效率是__公顷，天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的__倍。
（1）学生小组活动：讨论并填空。（2）教师提问：这是一个什么运算？怎样计算呢？
（板书课题：16，2分式的运算1、分式的乘除法）
设计意图：有问题1、问题2创设问题情境，在学生感到新奇而不知所措的过程中激发学生强烈的求知欲、设置悬疑、无疑为学生对本节课的学习创设了良好的情绪状态，面从实际生活引入，体现了数学知识源于生活。
学生交流：分数乘法法则？分数除法法则？分数乘法法则：分数乘以分数，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。分数除法法则：分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。（1）教师叙述：通过上面分数乘除运算可先约分再相乘。但对于除法运算首先把除法化为乘法，然后约分、相乘。设计意图：通过对旧知识的复习、引导学生从旧知识中寻找新知识的生长点，符合新事物的规律、由浅入深、同表及里、逐渐深化。（2）探索新知：你能用代数式表示上题中（（旧知再现）观察下列运算）的计算过程中吗？与同伴
通过类比，得出：①分式乘除法与分数乘除法类似；②“数”变为“式”后，其运算又有不同。
设计意图：观察、类比、迁移的方式达到自然导人的目的，培养合作交流意识。注意的是通常分式除法首先应转化成乘法、为了方便记忆可说为“除以一个式子等于乘以这个式子的倒数或者一变一传倒”。
乘除法的规律范文3
一、如何找准单位“1”的量
在解答分数乘除法应用题时，关键是要找准单位“1”的量。这部分知识，有些教师在教学中只告诉学生把谁分了，谁就是单位“1”，而没有告诉学生，为什么是这样。学生没有从根本上理解，也就不知道理论依据，所以导致一部分学生（中等学生）难于掌握。
对于这部分的内容，我是这样教的：首先，从基本概念“分数的意义”入手，结合分数在语句的含义，让学生理解谁是单位“1”的理论依据。这样有理有据，学生比较信服，掌握起来就会得心应手。
比如，“男生人数是女生人数的1/3”这句话把谁看作单位“1”的量？我进行了如下的设计。我先提问：“1/3表示什么意思？”学生答：“1/3表示把单位‘1’平均分成三份，取这样的一份，即1/3。”我问：“男生人数是女生人数的1/3，这里的1/3，又表示什么意思？1/3是谁的1/3？”学生答：“女生人数的1/3，其含义是把女生人数平均分成三份，男生人数占其中的一份。”通过1/3与1/3在句子中的含义比较，学生就不难看出，女生人数就是单位“1”的量。
再如，针对“女工人数是男工人数的2/3”，我先问：“2/3表示什么？”学生答：“2/3表示把单位‘1’平均分成三份，取其中的二份，即2/3。”我问：“题目中的2/3是谁的2/3？”学生答：“男工人数的2/3，其含义是把男工人数平均分成三份，女工人数占其中的两份。”由2/3与2/3的语句中的含义比较，可以看出，男工人数是单位“1”的量。用同样的方法，学生就会很容易得出以下几个题目的单位“1”的量。
（1）甲数的3/4是乙数。
（2）合唱队人数的3/5正好等于舞蹈队人数。
（3）今年产量是去年的产量的4/5。
在分析的同时，教师在这几个例子中的单位“1”的量下面用彩笔分别画上横线，其板书如下：
（1）甲数的3/4是乙数。
（2）合唱队人数的3/5正好等于舞蹈队人数。
（3）今年产量是去年的4/5。
然后让学生观察，提问：单位“1”的量所处的位置在什么地方？同时教师手示每题中单位“1”的量。由于小学生观察力较强，通过找规律，学生便能很快找出单位“1”的量所处位置（在分率的前面）。正因学生懂得了单位“1”的来历，又自己总结出单位“1”所处的位置，所以寻找起来比较准确。经过这样的训练，学生对单位“1”的寻找正确率可达100%。
二、如何正确写出数量关系式
如何正确写出数量关系式，这是正确解答此类应用题的关键所在，所以正确写出数量关系式，是保障列式正确的关键一步，非常重要。分数乘除法应用题可分为简单分数乘除法应用题和较复杂的分数乘除法应用题两类。
1.对于简单分数乘除法应用题的教学，上课前教师可设计这样一组复习题：（1）男生人数是女生的3/4；（2）第一组学生数是第二组的1/3；（3）五班人数是六班的2/5；（4）现在成本是原来的4/5。然后，教师应注意从基本概念“分数乘法的意义”入手，提问：“求一个数的几分之几是多少，用什么方法？”（用乘法。）“女生人数的3/4是男生人数，怎样列式？”学生就不难写出：女生人数×3/4=男生人数。教师应让学生根据分数乘法意义，引导他们写出以下小题的数量关系式：
（1）男生人数是女生人数的3/4女生人数×3/4=男生人数；
（2）第一组学生数是第二组的1/3第二组人数×1/3=第一组学生人数；
（3）五班人数是六班的2/5六班的人数×2/5=五班人数；
（4）现在成本是原来的4/5原来的成本×4/5=现在成本。
教师引导学生观察：关系式中第一列的量是语句中的什么量？等号后面的量是语句的什么量？通过观察学生就能很容易得出写数量关系的规律：单位“1”的量×分率=分率所对应的量。只要掌握了关系式的写法，对于简单分数乘除法应用题的列式，就手到擒来了。即单位“1”的量已知，直接代入数字列式，反之，就可以用方程解答。
2.关于较复杂的分数乘除法应用题的教学，同简单分数乘除法应用题教学一样，也必须让学生学会写数量关系式。教学这部分知识，教师可以画线段图，使学生更直观看出两种量的相等关系。学生只要把关系式写正确，就会列出正确的算式，这也是正确解答此类应用题的关键。
比如，针对“男生人数比女生多1/5”，教师提问：“谁是单位‘1’（女生），1/5表示什么？”学生答：“把女生人数看作是单位‘1’，平均分成五份。男生人数比女生人数多其中的一份，即画线段图时，先画出女生人数的五份，再画出男生人数的六份。”
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教师接着提问：“多1/5，指多谁的1/5？”（女生人数的1/5。）“那么，男生人数与女生人数之间是怎样的相等关系？”（女生人数+女生×1/5=男生人数。）
再如，“今年产量比去年增产了1/4，在此谁是单位‘1’？”（去年产量。）“今年比它怎样？”（多。）“1/4表示什么？”教师边提问边画线段图：
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教师再提问：“比去年多了谁的1/4？”（去年的1/4。）所以今年与去年产量的关系是：去年产量+去年产量×1/4=今年产量。用同样的方法，教师再出示例题：今年用电比去年节约1/3，九月份烧煤比十月份少1/10，然后用同样的方法写出数量关系式。
以上几道例题的板书如下：
（1）男生人数比女生人数多1/5女生人数+女生人数×1/5=男生人数。
（2）今年产量比去年增产了1/4去年产量+去年产量×1/4=今年产量。
（3）今年用电比去年节约1/3去年用电-去年用电×1/3=今年用电量。
（4）九月份烧煤比十月份少1/10十月份烧煤量-十月份×1/10=九月份的烧煤量。
根据板书，教师可引导学生观察：所写数量关系有什么特点？通过学生自己观察分析，能得出写数量关系式的规律：单位“1”的量±单位“1”×几分之几=比较量。学生掌握了写数量关系的方法，对于解答较复杂的分数乘除法应用题就可以运用自如。
乘除法的规律范文4
片段一：加减法，从本质上找联系
师：（手指黑板上的课题）同学们今天我们复习的内容是――四则运算。四则运算是指哪几种运算？
生：加、减、乘、除。（竖着板书：加、减、乘、除）
师：有哪几种数的加、减、乘、除四则运算？
生：整数、小数、分数。（横着板书：整数、小数、分数）
师：（出示作业纸上第一题）今天陈老师给大家带来几道题目。请同学们看一看。（停顿10秒）你觉得哪几道题比较容易？
生1：我觉得 ① 35+416 ② 3/4+ 2/5 ③ 51.7-3.48比较容易。
生2：我觉得 ⑦ 4/5×2/3 ⑧ 2/3÷1/18也比较容易。
师：刚才同学们点到的题有①②③⑦⑧。看来有部分同学觉得像这样的（手指①②③）加减法比较容易。为什么？
生：因为只要数位对齐算就行了。
师：你们指的数位对齐算是指――（手指黑板上的三类数）
生：整数、小数。（在“整数”和“小数”下方板书：数位对齐）
师：为什么要数位对齐呢？
生：数位对齐，计数单位就统一了。
师：也就是说相同的计数单位才能相加减。
（在“数位对齐下方”板书：相同的计数单位）
师：整数、小数的加减法只要数位对齐就能算了，那分数的加减法又是怎么算的？
生：分母相同的分数，分母不变，分子相加减。
师：除了分母相同的情况之外，还有没有其他情况？
生：分母不同先通分，然后再加或减。
师：为什么要通分呢？
生：为了统一分数单位。
师：看来所有的加减法道理都是一样的DD，就是把相同计数单位上的数相加减就可以了。方法简单，道理一样，这是你们喜欢加减法的原因，对吧？
……
【设计意图：在上课之前对学生进行了前测，拿着自己出的练习题叫学生指出最喜欢算哪几题？最不喜欢算哪几题？发现学生比较喜欢算整数、小数、分数的加减法，分数的乘除法；不太喜欢算小数的乘除法。问学生为什么喜欢？答案很简单，容易算。整数、小数、分数四则运算的计算方法粗粗分有12条，细细分就更多了，如果一条一条讲显然太单调、太枯燥。更何况有些计算方法学生不会讲或讲不完整，但不代表他不会做或不理解。基于以上的几点考虑，我决定不一条一条回忆，让学生从各种算法之间的共同点着手，找到算法与算法之间的联系，把有联系的算法进行沟通，达到更好、更快、更简单的掌握各类算法的目的。同时又在原有旧知上有所提升，从“旧”中出“新”。课一开始直接揭题，接着抛出两个问题：“你觉得哪几道题比较容易？”“为什么？”找到整数、小数加减法算法的共同点“数位对齐”，本质就是“相同的计数单位才能相加减”，接着再沟通分数加减法与整数、小数加减法的共通点“通分，本质也是相同计数单位才能相加减”。这样一来就透过整数、小数、分数加减法算法的不同表象，发现了相同的本质，使学生对算法的理解更加透彻和深刻。】
片段二：乘除法，从转化中找联系
师：这些题目中你们觉得哪几道题比较难？
生：1.25×1.3，5.6÷0.35
师：看来大家都觉得小数乘除法比较难。为什么？
生1：小数乘法在计算时要把小数化成整数。
生2：小数点容易点错。
生3：计算小数除法时，要把除数是小数的转化成除数是整数的，再计算，转化时不小心会搞错。
师：看来在计算小数乘除法时都要―――
生：转化。（在“乘”“除”法右边板书：转化）
师：同学们对这样要转化过再来计算的题目，觉得比较烦，觉得比较容易出错。那么对这样容易错的题目你有什么地方要提醒大家的？
生：小数点不要移错。
……
师：带着这些注意点，拿出作业纸，静静的完成作业纸第一题。
……
师：刚才同学提到这两道题（1.25×1.3，5.6÷0.35）比较容易算错，其实这两道题容易错在哪儿？
生：小数点。
师：谁能结合1.25×1.3这道题来说说，积的小数点怎么确定的？
生：先把1.25化成整数，小数点向右移动了2位，把1.3化成整数，小数点向右移动了1位，得出答案之后再移回去。
师：扩大了，后面要怎么样？
生：缩小回去。
师：所以小数点的这个点点在哪里，跟谁很有关系的？
生：跟两个乘数里小数的位数有关。
师：乘数里面一共有几位小数，积里面就要点出几位小数。
师：那小数除法又是怎么算的？
生：先把除数转化成整数。
师：转化的时候要注意什么？
生：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要同时向右移动几位。
师：这里运用了什么性质？
生：商不变性质。
师：乘除法中小数点还要跟原来的对齐吗？为什么？
生：因为在计算的时候是转化过的。
……
乘除法的规律范文5
关键词：约定俗成；四则运算；括号；5x；整体
在数学六年级中解方程36÷5x=2，都是把5x看成除数，解答方法如下：36÷5x=2，5x=36÷2，5x=18，x=3.6；但是一次在金陵晚报上我看到过类似此题的解法，引发了小学、中学甚至大学老师们的争论，说5x是5×x的简写，这道题完整的写法应该是36÷5×x=2，根据同级运算应该按照从左到右的顺序，应该先计算36÷5=7.2，然后是7.2x=2，x等于十八分之五。但是和同事交流的时候，没有人同意报纸上的看法，大家还是说要把5x看作一个整体进行计算，所以我很疑惑，到底谁对谁错呢？
我首先想到的是向教研员求助，得到的回复是：对于这样的写法没有明确的具体规定，按习惯是把5x看作一个数。在中学的方程中是不会出现这样的形式的，有除法时都是写成分数形式，他建议回避，有除法直接写成分数形式。看了回复，我对如何在课堂上教学有了明确的思路，要把5x看作一个整体。
但为什么要把5x看作一个整体呢？我还是没有找到明确的依据，接下来，我求助特级教师，特级老师告诉我，把5x看成一个整体，这在小学数学中是约定俗成的。约定俗成是指事物的名称或社会习惯往往是由人民群众经过长期社会实践而确定或形成的。 《荀子・正名》中说：“名无固宜，约之以命，约定俗成谓之宜，异于约则谓之不宜。”为了进一步弄清为什么把5x看作一个整体是约定俗成的，我翻查资料，终于在《小学数学疑难问题研究》中“四则混合运算为什么要规定从左到右、先乘除后加减？”一文中得到了启示。
加减乘除四种运算统称“四则运算”。如果一个算式中包含两种或两种以上的这些运算，则称为四则混合运算算式。一般的，有了结合符号（如，各种括号），我们就可以根据需要，表达出四则混合运算算式所要求的任何一种运算顺序。如下面的算式包含三个运算15×4+16÷4，适当运用括号，可以表示出实施这三个运算的任何一种顺序。三个运算共有六种不同的运算顺序。下面是其中的三种：先乘后加再除，[（15×4）+16]÷4，先除后加再乘，15×[4+（16÷4）]，先加再乘后除，[15×（4+16）]÷4。
在表达四则混合运算的算式中各个运算应有的顺序时，为了尽可能少用一些括号，人们对运算顺序做出了以下几点规定：
（1）“从左到右”：在一个没有括号的算式中，如果只有加减法，或者只有乘除法，则从左到右依次计算；
（2）“先乘除、后加减”：如果没有括号的算式中既有加减法，又有乘除法，则先做乘除法，再做加减法；
（3）在一个有括号的算式中，先按上述规定计算括号里面的式子；
（4）有几层括号时，从里到外依次计算。
由此，上述三个四则混合运算的算式可以化简为：先乘后除再加，（15×4+16）÷4，先除后加再乘，15×（4+16÷4），先加再乘后除，15×（4+16）÷4，另三种运算顺序可分别表达为：先除后乘再加，15×4+（16÷4）；先乘后除再加，15×4+16÷4；先加后除再乘，15×[（4+16）]÷4。这六种不同的运算顺序平均只需用一对括号就能表达清楚。如果没有这些规定，平均就得用两对括号才行。
至于为什么要规定“从左到右”，而不是“从右到左”，可能是为了使这种没有括号并且只有加减法或者只有乘除法的算式的运算顺序与算式的书写顺序相同。于是，“{[（a+b）-c]+]}-e”中的括号可以全部省略，写成a+b-c+d-e；但算式“a+{b-[c+（d+e）]}”要保持原定的运算顺序，其宗的三对括号一对也不能省。
规定了“先乘除，后加减”之后，（15×4）+（16÷4）中的括号可以省略，把它写成15×4+16÷4；而（15+4）×（16-4）中的括号则不能省。如果当初的规定不是“先乘除、后加减”，而是“先加减，后乘除”，则前一个算式中的括号不能省，后一算式中的括号可以省去。
“从左到右”和“先乘除、后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律，而是一种人为的关于数学符号语言的规定，目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。
像“从左到右”和“先乘除、后加减”这样人为规定的知识，在数学知识体系中占有一定的份额，教师也都因为其“规定性”，觉得没有什么道理可讲，就直接告诉学生了。这样的教学，表面上看，学生也能接受教师的“告诉”，但时间长了，学生习惯了接受，就会产生这样的想法：老师这样告诉我们的，我们就这样去记，记住了就能做对题目了。显然，从促进学生持续发展的角度来看，这样的教学就远远不够了。
其实，很多数学规定从产生到被普遍认可都有一个曲折而漫长的过程，怎样规定更合理都有其内在的原因，并不是轻描淡写的一句“数学上规定”就能解释的。我们需要留心有关数学史料，提高自身文化专业知识，当学生有可能理解某一规定背后的原因时，不妨给学生创造条件，让学生更好地认识和理解这样的规定，体会规定的合理性与必然性。
参考文献：
[1]方金秋.小学数学疑难问题解答[M].广州：广东人民出版社，1983.
乘除法的规律范文6
一、抓实持久训练
聚沙成塔，集腋成裘。小学生的口算教学历时悠长，它起始于孩童朦胧感知之时，而无终结时代，所以坚持口算学习是一个学生终身的使命，也是一个教师的教学使命。
利用一切可能的教学时机，见缝插针地组织必要的、基础性的口算训练，使口算得到家长的重视，得到孩子的重视。如，在教学“表内乘除法”时，可以每节课都安排3分钟左右的时间，一边让学生进行100以内加减法口算训练，一边设计适合乘除法学习进度的口算题，通过滚雪球式的积累，学生不仅能对加减法的口算做到口口清，也能实现记忆当前所学的乘除法口诀纯熟无比，并能达到脱口而出的程度。
口算训练并非一蹴而就的事情，需要教师有长期规划的意识，长远谋划，精心准备，并通过契合教学实际的真实训练使口算学习成为数学学习一个有机的整体，在长久训练之后学生的口算能力一定会有大幅度的攀升，口算水平也会得到较大的提高。
二、抓牢基础训练
口算训练需要的是时间，是积累。这也就要求教师重视基础训练，优化方法训练，让学生达到既会算，而且算得快，算得准，并能够理解透算理，掌握准方法。同时，又要结合教学进度，整合现阶段的学习，科学设计，以达到“人人达标，个个精彩”的目的。
如，在小学低年级口算教学中，就得先从10以内的认识着手，让学生看图片口算，摆小棒口算，并学会把加法和减法有机地连在一起口算。接着扩展到20以内的加减法，使训练循序渐进，成螺旋状上升的态势。再随着学习推进，逐步延伸到乘法、除法、分数、小数等相关的口算，使训练成为整体，成为一条有机链。
学习需要训练迁移，使之产生积极的共振。因此，在日常教学中教师要加强基础训练，不奢求一天一变样，但随着积累和实践，一定能实现从量变到质变的巨变，学生的口算能力才能得到长足的发展。
三、抓紧灵活训练
抓实口算，还要在活字上下工夫。只有灵活的练习，才会使学生感到新鲜，才不会产生厌学情绪，才会有旺盛的经历去思考、学习。如在“四则混合运算”教学中，可以组织学生自主设计口算题来考考自己、考考大家，还可以利用扑克牌玩24点的游戏来强化口算训练，让学生在比中学，在玩中学。
同时，还要在灵巧层面多谋划。一是指导学生掌握一些基本定律、性质等，让学生能在口算中随机提取、正确提取，为口算助力。如加法交换律、结合律，减法的性质，乘法交换律、结合律、分配律，除法的性质，以及商不变的性质等，通过对性质、定律的记忆，会让学生口算更加灵活，实现口算速度的大幅度提升。
再次，指导强化部分算式的记忆，以促进知识的积累，从而达成口算的高速、准确、灵便的理想效果。如从三年级开始就要不断引导学生记忆：2×5=10，25×5=100，125×8=1000等，在以后的学习中只有看到2.5、0.25、1.25、12.5等都要直觉地联系到它们最亲密的伙伴，从而避免无谓的计算，实现思维的简约，达到口算脱口而出的神奇境界。
最后，指导学生善于总结口算方法，不时提炼出有价值的口算小窍门等，促进口算速度的提升，提高口算的质量，进而发展学生的口算能力。如遇到乘15、11这样特殊类的口算，就得让学生在大量口算积累中找寻规律，并记牢规律，从而在新一轮的学习中能够迅速提取、争取提取，实现学习的最优化。
四、抓实思维训练
口算能培养学生思维的灵活性、敏捷性，也能发展学生敏锐的观察力，还能发展学生的综合思维能力。因此，在口算训练教学中就要围绕思维训练这根主线，强化指导，科学引领，以提高学生口算的熟练程度，促进学生口算能力的快速发展。
重视说算理，促进思维更缜密。提高小学生的口算能力，题海战术不是明智之举，更不是长效之举，重视引领学生分析算理，掌握规律才是上上之策。如果学生能够说得出、理得清，那么他的思维水平就会在说中、想中得到发展。如，在“9+几”教学中，就应该让学生说出自己的思考，可以是9与1凑成十，再加上余下的，得到答案；还可以是几加什么凑成十，再加9中余下的部分。这样的说理过程就是思维训练的过程，也是为口算训练积累的过程。
重视观察，促进综合思维发展。观察是思维的窗口，所以在口算教学中首先要培养学生看的能力，能够看懂题目的基本思路，明晰算理。如，在8+2-8+2、25×4÷25×4等习题中，学生稍有不慎就会误入歧途。其次要重视技巧的积累，以实现口算快速、简洁、正确的训练目的。
