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三角函数变换规律范文1
考题解析
考点1：同角三角函数间的基本关系式与诱导公式。
此类问题容易因忽视角所在象限而失分。此题考查同角三角函数的基本关系与二倍角公式难度中等。
考点2：三角函数的图象。
本考点在高考中，一个是考察利用图象求解析式或用待定系数法求函数的解析式，题目难度不大，但常与三角函数的性质结合起来，求解的关键是确定各参数的值，另一个是考察三角函数图象的平移、伸缩、相位变换，尤其是平移变换。
例2（2012年湖南卷）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R， ω>0，0
考点3：利用恒等变换求值与化简。
利用恒等变换进行求值与化简，是每年高考必考内容，重点考察运用正、余弦函数的和、差角公式，正切函数的和、差角公式，以及倍角公式的正用、逆用、变形应用。从近几年高考趋势看，对于三角恒等变换求值与化简，高考命题以公式的基本运用、计算为主，在解题中一般有两个解题思路，一个是角的变化，即将多种形式的角尽量统一减少角的个数；二是"名"的变换，即三角函数名称的统一，要灵活利用公式，尽量实现切化弦，同时在实际解题时还要注意双管齐下，整体代换。
点评：在求三角函数值的问题中，要注意"三看"，即：一看角，把角尽量向特殊角或已知角转化；二看名，把三角函数中的切函数向弦函数转化，把多个函数名向一个函数名转化；三看式，看式子是否满足公式，能否逆用公式，能否向公式的形式转化。
考点4：利用恒等变换研究函数性质。
在高考中，恒等变换常与三角函数综合起来，通过恒等变换，将三角函数式化为"单角单函数"的形式，来研究三角函数的性质。
点评：要注意到三角函数名或角的差异，合理运用公式，进行恒等变换，化为"三角单角函数"的形式，进而研究三角函数的性质。
考点5：三角函数与向量的交汇问题。
三角函数变换规律范文2
关键词：三角变换 图像平移 解三角形 基本知识 基本技能 转化与化归
中图分类号：G633.6 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.117
三角函数是中学数学中一种重要的函数，它的定义和性质涉及的知识面广，并且有许多独特的表现，所以它是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，三角函数又和代数、几何有密切的联系，因此，它又是研究其他知识的重要工具，在高中数学中有着广泛的应用，三角函数在高考中既有选择题、填空题，一般也都有一道解答题，因此，我们既要注重它的基础性和工具性，又要兼顾它的灵活性和新颖性，注意培养应用三角工具解题的习惯，提高分析问题和解决问题的能力。
下面以2013年新课标全国Ⅱ卷（文、理）三角函数试题为例做粗浅解析。
1 原题再现
①（文4）ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，b=2，B=[π
6]，C=[π
4]，则ABC的面积为多少？
②（文6）已知sina2α=[2
3]则=cos2（α+[π
4]）=？
③（文16）函数y=cos（2x+）（-π≤≤π）的图像向右平移[π
2]个单位后，与函数y=sin（2x+[π
3]）的图像重合，则=__？
④（理15）设θ为第二象限角，若tan（θ+[π
4]）=[1
2]，则sinaθ+cosθ=__？
⑤（理17） ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.
（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求ABC面积的最大值.
2 试题解析
①这道解三角形的考题，以小题形式出现，属容易题。解三角形问题主要指求三角形中的一些基本量，即求三角形的三边、三角、面积等，它的实质是将几何问题转化为代数问题，解题关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序。本题考查的知识点有：正弦定理，面积公式，诱导公式和角正弦公式。
②这道题属于利用三角恒等变换求三角函数值的类型，三角函数化简的通性通法是从函数名、角、运算三方面进行差异分析，再利用三角变换使异角化同角、异名化同名、高次化低次等。求解此类问题的关键是能根据问题的特点发现差异（观察函数名、角运算间的差异），寻找联系（运用相关三角函数公式，找出差异之间的内在联系），合理转化（选择恰当的三角函数公式，促使差异的转化）。尽管此题属一道容易题，但是学生对于掌握升降幂公式历来都是一个难点，常常犯错。因此，我们在教授此知识点时，一定要让学生大量练习，灵活掌握。教材在这部分内容上给出了大量的习题，目的也在于此，所以高考备考复习时要抓纲务本，重视基础。
③这道图像变换题作为填空题的压轴题出现，对于文科学生来说还有一定难度，难度一：函数名、角不同；难度二：图像平移变换；难度三：正、余函数间的相互转化（利用诱导公式）。高考对三角函数的图像变换主要考查两种类型：先作周期变换、再作相位变换；先作相位变换、再作周期变换。
④这道题中，角的范围限定，属于容易题，但也有一定的综合性，因为集知识性、思想性、方法性于一体，不失为一道好题：a.考查和角正切公式；b.考查方程思想和化切为弦的转化思想；c.考查同角三角函数关系。
⑤解三角形问题是三角函数问题的姊妹题，在高考中与三角函数具有同等重要的位置，近几年新课标高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主。在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角两角和与差的正三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值。这道题作为解答题的第一个门槛，学生需要一定的知识储备和灵活的逻辑推理能力。它以考查正弦、余弦定理及三角形面积公式为载体，以边角转化思想与和角正弦公式为纽带，以基本不等式放缩为技巧，带有一定的综合性和灵活性，属于中档题，且有一定的难度，这道题困扰学生思维的地方有：第一，化边为角的转化思想（正弦定理）；第二，角A正弦转化为角B+C正弦的转化思想；第三，运用基本不等式放缩求最值的技巧。像这种体现基本知识、基本技能和基本技巧于一身的优秀考题，我们在今后的备考复习中应多加训练，融会贯通。解答如下：
（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB ①；
又A=π-（B+C），故sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC ②；
联立①，②和C（o，π）得sinB=cosB.由于所以B（o，π），所以B=[π
4]。
（Ⅱ）ABC的面积S=[1
2]acsinB=[ [2]
三角函数变换规律范文3
一、引言
三角函数是一门较重要的科学知识，它往往会与理工科的其他科目有联系，我们不仅会在数学中学习到三角知识，而且这一知识也与物理方面的相关知识挂钩，如在电学中，有不少波的相关公式，以及得出的物理现象就是用三角函数表达式表达的，所得到的图形是三角函数图。所以，三角函数不仅仅是一门对数学学习有帮助，同时对于工学类的其他科目也有用途的科学，在实际工作和生活中有广泛的应用。
二、三角函数问题概述
1三角函数问题的特点
到现在为止，我们已经接触过了不少问题，这些三角问题大多数是通过三角函数的性质和恒等变换来求解的。如我们要计算三角函数值某个角的大小，就往往是采用计算该角的某一种三角函数值，再依据我们学过的三角函数性质，根据三角函数值的正负来确定象限得出来的。我们要判断三角函数的单调性，或者确定三角函数的单调区间，往往可以通过基本三角函数的单调区间来求解。所以说，三角函数的一切问题的求解还在于二方面：一是对性质的把握，二是熟悉掌握三角恒等变换公式，并在具体的问题中学会灵活自如地加以应用。
三、考题分析
1考题
例题：在 中，角A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，
，求A，B及b，c
2考题求解过程分析
3总体分析
上面这道题是以三角形为主要的参考模型来考查三角函数知识的，这是三角函数大题的一大常用考试思路，主要是借助三角形，给出一些已知的参数（可以是边，可以是角，从而来求其他三角参数的值，如可以是面积，也可以是边角，这是三角函数的一种基本的考查形式。
3.2.2本题分析
先看考题第一问，要求的是A，B的值，通常情况下，要求出角的大小，我们往往是要求一下角所在的三角函数值的大小，所以根据这一思路，我们要求出B，C的三角函数值，题中给出了三个已知条件，其中第一个边的大小对于求解第一问起不到帮助，我们只能从后面的二个条件入手，很明显，从条件2，可以求出C角的三角函数值，其中 ，这很容易看出来，而根据这一点，我们可以求解出C角的三角函数值， ，角C是30或150度，再根据后面的第三个条件，仍然是把A换成B和C，可以得出 ，直接得出B和C角大小相等。由此，得到三个角的大小，是一个等腰三角形。
3.3考题求解
下面，我们按照先前确定的分析过程，理一下思路，求解二问，具体如下：
解：由 得
，又
由 得
即
由正弦定理 得
四、考题总结
根据上面的这道题，我们不难发现，从结论开始进行分析和展开联想是有必要的。上面的这一题的要求解的内容，将会直接决定我们分析的走向，如第一问要求三角函数，我们就要考虑采用三角和差公式，第二问要计算边长，我们就要联想到正、余弦定理。这都是我们在上面这道题中发现的规律。
4.倒推法求解三角恒等变换问题的基本思路
4.1以问题为出发点
在前面，我们就已经明确指出，倒推法是以问题为中心而展开的。所以，来了三角函数类问题，我们必须要对将要求解的问题做一个全面的了解，看一下该问题到底是要求什么，要求边，还是求角，还是求面积，或者是单调性等。在明确了问题以后，我们就要对此问题进行定性的分析。问题不仅仅是决定我们求解的方向所在，也是我们求解的关键突破口。由此看来，对于问题的性质进行全面的分析是极其重要的，它为后面的解答问题起到了铺垫的作用。
1 注意条件的对应关系
在搞清楚问题以后，我们就要开始进行推理和想象，如上面的那一个实例，我们要调动一切因素，使我们要解决的问题和已经存在的条件无限接近。如第二问，为了使边和面积之间建立联系，又是在三角形中，我们唯一想到的思路就是三角面积计算公式，通过公式，我们就可以得到二条边的乘积。此外，还有一点也是重要的，那就是给出了角的正弦值，就等同于给出了边的比例关系。如果没有突破这一点，也无法得以求解。
2 大胆推理和联想
在倒推法解决问题时，一定的联想是有必要的。而且由于我们高考题在情境上会不断发生变化，但是只是形式上的变化，仍然存在换汤不换药，新瓶装老酒的做法。所以，我们要根据相关的情况大胆进行推理和猜想，如有这样一个问题。
例2：若 则 a=B
（A） （B）2 （C） （D）
此题按常规做法是要计算的，而用倒推法，我们只要分析该角的大小，或者说所处象限就行了，根据公式有 sin （a+A）= 而A很明显是一个锐角，（a+A）=270度，意味着 处于第三象限，排除A与B选项，再根据sinA= 是一个小于30度的角，所以a必须要大于240度，于是 tan a的值比tan60的值要小，所以直接锁定答案D。根据此题，我们可以发现倒推法无法是用于解答小题还是解答综合题，都可以起到一定的作用。
五、结束语
根据本文的分析，倒推法不失是一种用来求解三角函数问题的基本方法。通过以问题为出发点，可以进一步理出学过的知识，求解的问题，以及我们现有的条件的关系，使我们在解决问题时，打开思路，自由发挥。更为重要的是，它是一种解决问题的思路，尤其是对于解决难度较大的综合型问题中更可以看到这一点。值得一提的是，倒推法不仅仅适用于解决三角函数问题，它在解析几何，立体几何以及数列等综合性问题中仍然有较大的用途，这一切都有待于我们在以后的解题过程中，多加总结，以便使其能够发挥更大的作用。
参考文献
[1] 周加付. 三角变换的技巧和方法[J]. 成功（教育） 2010年12期
三角函数变换规律范文4
【关键词】 平方关系 切割化弦 辅助角
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）03-023-01
一、 同角三角函数的基本关系的疑问解答
1. 如何已知任意角的一个函数值求其他几个函数值？
利用周角三角函数关生系求值，主要涉及三类问题：①定值定象限问题，这种问题求解三角函数值，只有一组结果；②定值不定象限问题，这种问题求解三角函数值，有两组结果；③不定值不定象限问题，这种问题求解三角函数值，需按象限角与轴线角进行讨论，从形式上看其结果有两组。
2. 如何利用同角三角函数关系来求值，化简与证明？
在计算、化简或证明三角函数时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切；多项式运算技巧的运用，如因式分解等；条件与结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用。
3. 何时使用“平方关系”的代换解决同角三角函数问题？
一般来说，当题中条件有正弦与余弦平方式的求值、化简或证明时，或者待求的参数值是通过同角的正弦与余弦来表示，常考虑通过平方，创造条件。比如，在条件中即出现了sinα+cosα又出现了sinαcosα，则需要考虑将进行平方利用平方关系。
4. 何时进行切与弦的转化？
通常在同一个条件关系中，即出现了正弦与余弦，又出现了正切（余切），要求值或证明相关命题，往往可考虑将弦化为切或将切转化为弦的形式，何时将弦化为切，何时将切化为弦，要视具体的题目而定。
二、两角和与差的三角函数
1. 如何推导两角差的余弦公式，其他公式是如何由此演变出来的？
首先运用向量的方法对公式C（α-β）进行推导，通过两个向量数量积的非坐标表达式和坐标表达式相等得到。对于其它公式的推导，则使用代换思想及诱导公式进行推导。比如，在C（α-β）用-β代换β得到C（α+β）；而公式S（α+β）的推导应先利用诱导公式，再借助C（α-β）公式即可推出，即：sin（α+β）=cos（■-α-β）=cos（■-α）cosβ+sin（■-α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ；公式T（α+β） 的推导应用了弦化切的思想，但要注意结果应使用tanα、tanβ及使其和与差角的正切有意义的角范围。
2. 利用两角和与差的三角函数公式应注意哪些问题？
（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式；（2）注意分角、并角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式；（3）注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其别要注意的是“1”的代换。
3. 角度变换常用的思路有哪些？
在三角函数的化简、求值、证明中，常要根据已知角与目标角之间的显性或隐性的关系，通过角度变换，利用诱导公式或两角和与差的公式，来寻找解题捷径，从而把未知变成已知，使问题得到合理的解决。
4. 什么是辅助角公式？
遇到形如asinα+bcosα的代数式，常需引入辅助角φ，将asinα+bcosα利用两角和与差的正弦公式化为：asinα+bcosα=■sin（α+φ）（其中φ角所在的象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ=■确定）。特别地，当a=b=1时，有sinα+cosα=■sin（α+■）。
5. 在求角或证明时，已知条件中的角与待求或待证的角如何相互表示？
在利用两角和与差的三角函数公式进行化简、求值与证明的题型中，常要根据函数名与角度的差异进行角度变换。若将已知三角函数值或相关等式中的角称为条件角，而将待求的目标函数中的角称为目标角，则这两种角何时用哪个角表示另一个角，在不同的题型中是有所区别的。
6. 如何求非特殊角的三角函数值？
非特殊角的求值难度比较大，对我们熟练掌握公式并灵活运用的要求比较高。一般来说，要依据题中非特殊角之间的联系与差异，利用两角和与差公式求解。本着三角函数的实质是“由角到值”，也就是先利用运算关系变出所需角，再运用和差角求解。
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九年级数学下学期教学计划
王建国
一、教学背景:
为了加强课堂教学，完善教学常规，能够保证教学的顺利开展，完成初中最后一学期的数学教学，使之高效完成学科教学任务制定了本教学计划。
二、学情分析:
这学期我所带的班级是九（1）班，成绩较为一般。及格人数只占到60%。这与我之前的计划相差还有一截儿。针对这些情况，分析他们的知识漏洞及缺陷，及时进行查漏补缺，特别是多关心、鼓励他们，让这些基础过差的学生能努力掌握一部分简单的知识，提高他们的学习积极性，建立一支有进取心、能力较强的学习队伍，让全体同学都能树立明确的数学学习目的，形成良好的数学学习氛围。
三、新课标要求:
初三数学是按照九年义务教育数学课程标准来实施的,其目的是通过数学教学使每个学生都能够在学习过程中获得最适合自己的发展。通过初三数学的教学，教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算， 逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。
四、本学期学科知识在整个体系中的位置和作用:
本册书的4章内容涉及《数学课程标准》中“数与代数”“空间与图形”和“实践与综合应用”三个领域的内容，其中第26章“二次函数”和第28章“锐角三角函数”的内容，都是基本初等函数的基础知识，属于“数与代数”领域。然而，它们又分别与抛物线和直角三角形有密切关系，即这两章内容既涉及数量关系问题，又涉及图形问题，能够很好地反映数形结合的数学思想和方法。第27章“相似”的内容属于“空间与图形”领域，其内容以相似三角形为核心，此外还包括了“位似”变换。在这一章的最后部分，安排了对初中阶段学习过的四种图形变换(平移、轴对称、旋转和位似)进行归纳以及综合运用的问题。第29章“投影与视图”也属于“空间与图形”领域，这一章是应用性较强的内容，它从“由物画图”和“由图想物”两个方面，反映平面图形与立体图形的相互转化，对于培养空间想象力能够发挥重要作用。对于“实践与综合应用”领域的内容，本套教科书除在各章的正文和习题部分注意安排适当内容之外，还采用了 “课题学习”“数学活动”等编排方式加强对数学应用的体现。本册书的第29章安排了一个课题学习“制作立体模型”，并在每一章的最后安排了2~3个数学活动，通过这些课题学习和数学活动来落实与本册内容关系密切的“实践与综合应用”方面的要求。
五、个单元章节:
第26章 二次函数
本章主要研究二次函数的概念、图象和基本性质，用二次函数观点看一元二次方程，用二次函数分析和解决简单的实际问题等。这些内容分为三节安排。
第26.1节“二次函数”首先从简单的实际问题出发，从中引发和归纳出二次函数的概念;然后由函数 开始，逐步深入地、由特殊到一般地、数形结合地讨论图象和基本性质，最后安排了运用二次函数基本性质探究最大(小)值的问题。这些内容都是二次函数的基础知识，它们为后面两节的学习打下理论基础。第26.2节“用函数观点看一元二次方程”从一个斜抛物体(例如高尔夫球)的飞行高度问题入手，以给出二次函数的函数值反过来求自变量的值的形式，用函数观点讨论一元二次方程的根的几种不同情况，最后结合二次函数的图象(抛物线)归纳出一般性结论，并介绍了利用图象解一元二次方程的方法。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。第26.3节“实际问题与二次函数”安排了三个探究性问题，以商品价格、磁盘存储量和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。本章教学结束之后，学生在已经学习了一次函数(包括正比例函数)、反比例函数和二次函数，这些都是代数函数，即解析式中只涉及代数运算(加、减、乘、除、乘方、开方)的函数。至此，学生对函数的认识已告一段落。
第27章 相似
本章的主要内容包括相似图形的概念和性质，相似三角形的判定，相似三角形的应用举例和位似变换等。此前学习的全等是图形之间的一种特殊关系，而本章学习的相似是比全等更具一般性的图形之间的关系。全等可以被认为是特殊的相似(相似比为1)，对于全等的认识是学习相似的重要基础。
第27.1节“图形的相似”从学生熟悉的一些实际问题说起，引出相似图形的概念，以及相似多边形的概念、性质等，使学生对相似先有一个一般性的认识。第27.2节“相似三角形”的内容是讨论最基本的多边形──三角形的相似关系，这是认识相似关系的基础，也是本章的重点内容。教科书首先安排了证明了“过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似”，然后将其推广到更一般的结论“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”。在此基础上，教科书安排了三个探究问题，引导学生得出相似三角形的三种主要判定方法。教科书对于其中第一个问题进行了推导证明，另两个问题的推导证明安排学生自己完成。接着，教科书通过三个例题讨论在测量中如何利用相似三角形的知识，这些例题代表了测量中的常见典型问题。本节最后安排了相似三角形的周长和面积问题。第27.3节“位似”讨论一种图形变换──位似变换。位似是一种特殊的相似，它的特殊性表现在“两个相似图形的对应点的连线都交于一点(位似中心)”。教科书安排了利用坐标描述位似变换的内容，这是数形结合方法的体现。本套教科书中先后共出现了四种图形变换:平移、轴对称、旋转和位似，本节最后安排了一幅包含这四种变换的图案，学生通过思考图案中的问题，可以对四种变换进行综合回
第28章锐角三角函数
本章主要内容包括:锐角三角函数(正弦、余弦和正切)，解直角三角形。锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的后的三角函数。解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与第18章“勾股定理”和第27章“相似”有密切关系。
第28.1节“锐角三角函数”中，教科书从沿山坡铺设水管的问题谈起，通过讨论直角三角形中直角边与斜边的比，使学生感受到锐角的大小确定后相应边的比也随之确定，而且不同的角度对应不同的比值，这种对应正是函数关系。教科书设置了“探究”栏目，让学生通过自主探究，利用相似三角形得出结论，由此引出正弦函数的概念。在此基础上，引导学生类比对正弦函数的讨论，得出余弦函数和正切函数的定义。接着教科书讨论了“已知角的大小求它的三角函数值”和“已知角的三角函数值求角”这两种问题，这样就从两个相反方向再次强调了锐角与其三角函数值之间的一一对应关系。现在计算器已经成为学习和运用三角函数的有力工具，教科书在本节最后介绍了如何使用计算器求三角函数值以及如何由三角函数值求对应的角。第28.2节“解直角三角形”中，教科书借助实际问题背景，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件(其中至少有一个是边)求解直角三角形，并归纳出解直角三角形常用的知识和方法。接着教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形在实际中的应用，这些问题的已知条件分别属于几种不同类型，解决方法具有典型性，体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用。本节最后通过对比测量大坝的高度与测量山的高度，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的数学基本思想。
第29章 投影与视图
本章的主要内容包括投影和视图的基础知识，一些基本几何体的三视图，简单立体图形与它的三视图的相互转化，根据三视图制作立体模型的实践活动。全章分为三节。
第29.1 节“投影”中，首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念;然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律;最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影。整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的。第29.2节“三视图”讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、一些基本几何体的三视图等，最后通过6道例题讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化。这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律，而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接的关系。第29.3节“课题学习 制作立体模型”中，安排了观察、想象、制作相结合的实践活动，这是动脑与动手并重的学习内容。进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式，也可以采用合作式学习的方式。应该把这个课题学习看作对前面学习的内容是否切实理解掌握以及能否灵活运用的一次联系实际的检验。六、教法和学法指导方案:(1)指导学生形成拟定自学计划的能力.(2)指导学生学会预习的能力.要求学生边读边思边做好预习笔记，从而能带着问题听课.(3)指导学生读书的方法.(4)指导学生做笔记、写心得、绘图表的方法，使他们能够把自己的思想表达出来.(5)指导学生有效的记忆方法和温习教材的方法.3.学习能力的指导 包括观察力、记忆力、思维力、想象力、注意力以及自学、表达等能力的培养.4.应考方法的指导 教育学生树立信心，克服怯场心理，端正考试观.要把题目先看一遍，然后按先易后难的次序作答;要审清题意，明确要求，不漏做、多做;要仔细检查修改.5.良好学习心理的指导 教育学生学习时要专注，不受外界的干扰;要耐心仔细，独立思考，不抄袭他人作业;要学会分析学习的困难，克服自卑感和骄傲情绪.对不同层次学生的数学学习能力的培养提出不同的要求;根据不同学习能力结合数学教学采取多种方法进行培养;根据个别差异因材施教，培养数学学习能力，采取小步子、多指导训练的方式进行;通过课外活动和参加社会实践，促进数学学习能力的发展. 总之，对学生数学学习方法的指导，要力求做到转变思想与传授方法结合，课上与课下结合，学法与教法结合，教师指导与学生探求结合，统一指导与个别指导结合，建立纵横交错的学法指导网络，促进学生掌握正确的学习方法.
七、阶段性测试或检查方式及辅导措施:
(1)注重课后反思，及时的将一节课的得失记录下来，不断积累教学经验。
(2)批好每一次作业:作业反映了一节课的效果如何，学生对知识的掌握程度如何，认真批改作业，使教师能迅速掌握情况，对症下药。
(3)按时检验学习成果，做到单元测验的有效、及时，测验卷子的批改不过夜。考后对典型错误利用学生想马上知道答案的心理立即点评。
(4)及时指导、纠错:争取面批、面授，今天的任务不推托到明日，争取一切时间，紧紧抓住初三阶段的每分每秒。课后反馈。落实每一堂课后辅助，查漏补缺。精选适当的练习题、测试卷，及时批改作业，发现问题及时给学生面对面的指出并指导学生搞懂弄通，不留一个疑难点，让学生学有所获。
(5)积极与其它老师沟通，加强教研教改，提高教学水平。
(6)经常听取学生良好的合理化建议。
(7)以“两头”带“中间”战略思想不变。
(8)深化两极生的辅导。
八、教学进度安排:
3.1---3.8 第一周:讲评期末试卷 第二十六章 二次函数(12)
26.1 二次函数及其图象、性质
3.9---3.15 第二周: 26.2 二次函数的应用
3.16-3.22 第三周: 26.2 二次函数的应用 26.3 课题学习建立函数模型
3.23-3.29 第四周: 综合小复习 单元测试及讲评
3.30-4.5 第五周: 第二十七章 相似(13) 27.1 相似形
4.6-4.12 第六周: 27.2 相似三角形
4.13-4.19 第七周: 27.2 相似三角形 27.3 相似多边形
4.20-4.26 第八周: 27.3相似多边形第
4.27-5.3 第九周: 小复习 单元测试及讲评
5.4-5.10 第十周: 期中考试 讲评试题
5.11-5.17 第十一周: 二十八章锐角三角函数(12) 28.1 锐角三角函数
5.18-5.24 第十二周: 28.2 解直角三角形
5.25-5.31 第十三周: 28.2 解直角三角形 28.3 课题学习测量 小复习 单元测试及讲评
6.1-6.7 第十四周: 第二十九章视图与投影(11)29.1 三视图
6.8-6.14 第十五周: 29.1 三视图 29.2 展开图
6.15-6.21 第十六周: 29.2 展开图 29.3 课题学习 图纸与实物模型小复习单元测试及讲评
6.22-6.28 第十七周: 综合复习一
6.29-7.5 第十八周: 综合复
三角函数变换规律范文6
近几年全国各省市高考试题中，有关三角函数的内容平均有20多分，约占总分的15%.试题包括一道考查基础知识的选择题或填空题和一道考查综合能力的解答题.解答题多考查三角化简和三角函数性质中的单调性、周期性、最值等问题.本文着重分析高考题和模拟题中有关三角函数的各类解答题，主要剖析命题切入点，围绕解三角函数解答题的方法思路，总结一些规律，供读者参考.
一、重视对三角函数定义的考查
例1如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
（Ⅰ）若点A的横坐标是35，点B的纵坐标是1213，求sin(α+β)的值；
（Ⅱ）若|AB|=32，求OA・OB的值.
【分析】本题第（Ⅰ）问直接考查三角函数的定义，根据定义求得α，β的正弦、余弦值.之后通过两角和的正弦公式展开，代入就可以求出结果.而第（Ⅱ）问求OA・OB的值的时候，除了下面解析中的定义法以外，也可以通过余弦定理求解.
【解】（Ⅰ）根据三角函数的定义知，
cosα=35，sinβ=1213.
α的终边在第一象限，sinα=45.
β的终边在第二象限，cosβ=-513.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=45×(-513)+35×1213=1665.
（Ⅱ）|AB|=|AB|=|OB-OA|，
|OB-OA|2=OB2+OA2-2OA・OB
=2-2OA・OB，2-2OA・OB=94，
OA・OB=-18.
【点评】三角函数定义对学生而言既熟悉又陌生，熟悉是因为有锐角三角函数定义的基础，理解不难；陌生是因为学过以后用得比较少，见面次数少了自然陌生.本题应用三角函数定义容易得α，β的正弦、余弦值，但是如果考生从解三角形入手，则会使本题变难，从而走不少弯路.
二、三角求值注意角的范围限制
例2（2013年湖南卷）已知函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)，g(x)=2sin2x2.
（Ⅰ）若α是第一象限角，且f(α)=335，求g(α)的值；
（Ⅱ）求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
【分析】本题主要考查简单三角求值以及三角不等式求解，求解此题的关键是利用好降幂公式、辅助角公式等，对已知函数关系式进行先化简，之后再根据三角函数图象或三角函数线的变化趋势去求解.
【解】（Ⅰ）因为f(x)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx，
所以f(α)=3sinα=335，
从而sinα=35，α∈(0，π2).
因为sin2α+cos2α=1，得cosα=45，且g(α)=2sin2α2=1-cosα=15.
（Ⅱ）f(x)≥g(x)3sinx≥1-cosx32・sinx+12cosx=sin(x+π6)≥12x+π6∈［2kπ+π6，2kπ+5π6］x∈［2πx，2πx+2π3］，k∈Z.
【点评】本题不难，但是考生在由sinα=35求得cosα=45时，千万要注意α∈(0，π2)，否则余弦应该有正、负两个取值了.此外，就是三角函数的相关公式必须熟练掌握.
三、辅助角公式要灵活应用
例3（2013年天津卷）已知函数f(x)=-2sin（2x+π4）+6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求f(x)在区间［0，π2］上的最大值和最小值.
【分析】本题主要考查两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及辅助角公式.还包括三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，需要考生熟练掌握相关公式和基本的运算求解能力.
【解】（Ⅰ）f(x)=-2sin2x・cosπ4-2cos2x・sinπ4+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=22sin(2x-π4).
所以，f(x)的最小正周期T=2π2=π.
（Ⅱ）因为x∈［0，π2］，所以2x-π4∈［-π4，3π4］，则sin(2x-π4)∈［-22，1］，所以，当2x-π4=π2，即x=3π8时，f(x)的最大值为22；当2x-π4=-π4，即x=0时，f(x)的最小值为-2.
【点评】所谓辅助角公式，其实就是两角和与差的正、余弦公式的逆用.显而易见，逆用公式比正用公式在理解上有困难，所以建议读者在做这类题的时候，不要怕麻烦，要尽量将步骤写全.如本题化简过程中有2sin2x-2cos2x=22(22sin2x-22cos2x)=22(sin2x・cosπ4-cos2x・sinπ4)=22sin(2x-π4).这样，化简自然不会失分.
四、会用换元法求二次函数型最值
例4已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.
（Ⅰ）求f(π3)的值；
（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值.
【分析】本题利用换元思想，引入参数，利用一元二次函数性质，根据一元二次函数的图象，即可求得f(x)的最值.
【解】（Ⅰ）f（π3）=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3=-1+34-2=-94.
（Ⅱ）f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3(cosx-23)2-73，x∈R.
因为cosx∈［-1，1］，所以，当cosx=-1时，f(x)取最大值6；当cosx=23时，f(x)取最小值-73.
【点评】其实，比如求函数f(x)=sinx・cosx+sinx+cosx的值域，我们也可以用换元法，求二次函数值域得结论.令sinx+cosx=t，则sinx・cosx=t2-12，就能很容易求得f(x)的值域.但是，在换元的过程中，千万注意变量的取值范围在变化前后的等价性，本例中就是t∈［-2，2］.
五、图象问题考查形式多样
例5（2013年上海卷）已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0.
（Ⅰ）令ω=1，判断函数F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，对任意的a∈R，求y=g(x)在区间［a,a+10π］上零点个数的所有可能值.
【分析】本题第（Ⅰ）问判断函数的奇偶性，考生习惯上马上入手判定F(x)与F(-x)以及-F(x)的关系.但是，当说明一个函数既不是奇函数也不是偶函数的时候，我们只需要有一个反例就够了.而第（Ⅱ）问考查函数图象的平移伸缩变化，是考生极易出错的地方，主要原因是没有抓住关键――不论平移与伸缩顺序如何，想要判断水平方向平移的单位数，关键是看自变量x的变化，当自变量由x变化到x+φ，函数图象向左（φ>0）或向右（φ
【解】（Ⅰ)F(x)=2sinx+2sin(x+π2)
=2sinx+2cosx=22sin(x+π4).
F（-π4）=0,F（π4）=22,
F（-π4）≠F（π4），F（-π4）≠-F（π4）.
函数f(x)=f(x)+f(x+π2)既不是奇函数也不是偶函数.
（Ⅱ）当ω=2时，f(x)=2sin2x，g(x)=2sin2(x+π6)+1=2sin(2x+π3)+1，其最小正周期T=π.由2sin(2x+π3)+1=0，得sin(2x+π3)=-12，
2x+π3=kπ-(-1)k・π6，k∈Z，
即x=kπ2-(-1)k・π12-π6，k∈Z.
区间［a,a+10π］的长度为10个周期，若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其他区间仍是2个零点.故当a=kπ2-(-1)k・π12-π6,k∈Z时，21个，否则20个.
【点评】函数图象问题包括图象变换（通常以选择题形式出现），上述试题是一个很不错的例子，通过函数图象的平移、伸缩变换求函数解析式.
六、与向量结合问题常考常新
例6（2013年辽宁卷）设向量a=（3sinx，sinx），b=（cosx，sinx），x∈［0，π2］.
（Ⅰ）若|a|=|b|，求x的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=a・b，求f（x）的最大值.
【分析】本题注意到向量的坐标表示，解决起来不是很困难.但是在考试的时候，考生容易忘记数量积a・b的坐标表示，而只是记得定义a・b=|a|・|b|・cosθ，从而使得本题第（Ⅱ）问解决起来比较困难.
【解】（Ⅰ）由|a|2=(3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.
又|a|=|b|，得sin2x=14，以及x∈［0，π2］，从而sinx=12，所以x=π6.
（Ⅱ）f（x）=a・b=3sinx・cosx+sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin(2x-π6)+12.由于x∈［0，π2］，则当x=π3时，sin(2x-π6)有最大值为1，所以f（x）的最大值为32.
【点评】向量与三角函数等代数知识相结合考查是近年高考的热点题型，其主要特点是用向量的形式给出条件，然后要求解决有关函数、三角、数列等问题.在解题时，有两方面可以考虑，一是把向量问题转化为代数问题，然后由代数知识解题；二是构造适当的向量，使问题目标向量化，然后通过向量运算来解题.
七、解三角形问题要注意挖掘隐含条件
例7（2013年江西卷）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+(cosA-3sinA)・cosB=0.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围.
【分析】本题注意到A+B+C=π，故cosC=-cos(A+B)，再利用两角和的余弦公式展开，就可以容易求得角B的大小.第（Ⅱ）问求b的取值范围，则需要注意到余弦定理的选择，以及通过二次函数求b2的取值范围，从而求出b的取值范围.注意，如果只是求b的最小值，还可以选择均值定理.
【解】（Ⅰ）由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0，
即有sinAsinB-3sinAcosB=0.
因为sinA≠0，所以sinB-3cosB=0.
又cosB≠0，所以tanB=3.
又0
（Ⅱ）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.因为a+c=1，cosB=12，
有b2=3(a-12)2+14.又0
【点评】三角形中的三角函数关系是历年高考重点考查的内容，以三角形为主要依托，以正、余弦定理为知识框架，结合三角函数、平面向量等内容进行综合考查.在三角形中，正、余弦定理将边和角有机地结合起来，实现了边角互化，从而使三角函数与几何建立了联系，为解三角形提供了理论依据.
八、与导数结合问题新颖
例8（2013年北京卷）已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a，f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围.
【分析】本题第（Ⅰ）问考查直线与曲线相切的问题，只要注意相切的本质――切点处曲线的斜率等于切线的斜率以及切点既在直线上也在曲线上，就可以求出a与b的值.本题第（Ⅱ）问设置得简单大气，但是对考生数学思维能力要求非常高.大多数考生判断出来函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增，且f(0)=1.于是马上下结论：若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，则必须b>1.但是，却因没有说明当x+∞时，f(x)+∞的，不能得满分.
【解】由f(x)=x2+xsinx+cosx，得
f′(x)=x(2+cosx).
(Ⅰ)因为曲线y=f(x)在点(a，f(a))处与直线y=b相切，所以f′(a)=a(2+cosa)=0，b=f(a).解之，得a=0，b=f(0)=1.
（Ⅱ）令f′(x)=0，得x=0.
当x变化时，f(x)与f′(x)的情况如下：
x(-∞，0)0(0，+∞)f′(x)-0+f(x)1所以函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增，f(0)=1是f(x)的最小值.当b≤1时，曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点；当b>1时，f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b，f(0)=1
所以存在x1∈(-2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)=f(x2)=b.
由于函数f(x)在区间(-∞，0)和(0，+∞)上均单调，所以，当b>1时，曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同交点.
